Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminación

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Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminación

  1. 1. INTEGRANTES: •Henry Guarnizo •Juan Pablo Arrobo •Oswaldo Alvarado
  2. 2. INTRODUCCIÓN: El método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se basa en el principio algebraico de eliminación de variables. Se verá que la operación análoga de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar en una EDO con cierta combinación de derivadas
  3. 3. ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA: La eliminación de una incógnita en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se agiliza al escribir una vez más cada ecuación del sistema en notación de operador diferencial. Recuerde que una sola ecuación lineal (n) ( n −1) an y + an −1 y + ... + a1 y′ + a0 y = g (t ) Donde las ai , i = 0,1,..., n son constantes, puede escribirse de nuevo como: (an D ( n ) + an −1 D ( n −1) + ... + a1 D + a0 ) y = g (t ) (n) ( n −1) Si el operador diferencial de n-ésimo orden an D + an −1 D + ... + a1 D + a0 se factoriza en operadores diferenciales de orden menor, entonces los factores conmutan.
  4. 4. EJEMPLO: Escriba otra vez el siguiente sistema en términos del operador D x′′ + 2 x′ + y′′ = x + 3 y + sent x′ + y ′ = 4 x + 2 y + e − t SOLUCIÓN: Primero se reúnen en un lado los términos con variables dependientes y segundo se agrupan las mismas variables y tercero se reescribe cada una de las ecuaciones del sistema en notación de operador diferencial (D). x′′ + 2 x′ − x + y′′ − 3 y = sent x′ − 4 x + y ′ − 2 y = e − t ( D 2 + 2 D − 1) x + ( D 2 − 3) y = sent ( D − 4) x + ( D − 2) y = e −t Notación de operador diferencial
  5. 5. EJEMPLO: Escriba otra vez el siguiente sistema en términos del operador D x′′′ − 2 x′′ + y′′ − 2 y′ = x′ − 4 x + 3 y + cos t x′′ + x′ − 2 y′′ = 3 x + 4 y′ + 5 y + sen2t SOLUCIÓN: x′′′ − 2 x′′ − x′ + 4 x + y′′ − 2 y′ − 3 y = cos t x′′ + x′ − 3 x − 2 y′′ − 4 y′ − 5 y = sen2t ( D 3 − 2 D 2 − D + 4) x + ( D 2 − 2 D − 3) y = cos t ( D 2 + D − 3) x − (2 D 2 + 4 D + 5) y = sen2t
  6. 6. PROCEDIMIENTO PARA EL MÉTODO DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE EDO LINEALES POR ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA PASO 1: Se cambia el sistema de la notación Leibniz a la notación Prima PASO 2: Se reúnen en un lado los términos con variables dependientes y se agrupan las mismas variables. PASO 3: Se reescribe el sistema en términos del operador D. (Sistema transformado) PASO 4: Se elimina la variable x; multiplicando la ecuación (I) por el coeficiente de x de la ecuación (II) y, multiplicando la ecuación (II) por el coeficiente de x de la ecuación (I), tratando de que al multiplicarse ambas ecuaciones queden con coeficientes de signo contrario para poder eliminarlos realizando la suma. PASO 5: La ecuación factorizada obtenida en el paso (4) se resuelve utilizando la ecuación característica (método de las m) para obtener las raíces. PASO 6: Observando el tipo de raíces obtenidas en el paso (5) se decide la solución complementaria y (t) que se tendrá.
  7. 7. PASO 7: Al realizar de nuevo los pasos (4), (5) y (6), se elimina la variable y y se obtiene x (t) PASO 8: Sustituyendo las ecuaciones obtenidas en los pasos (6) y (7) (x (t), y (t)) en la ecuación (I) del sistema transformado obtenido en el paso (3) se calculan c3 y c4 en términos de c1 y c2 respectivamente. PASO 9: se encuentra la solución del sistema original en términos de c1 y c2.
  8. 8. PROCEDIMIENTO PARA EL MÉTODO DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE EDO LINEALES POR ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA EJEMPLO 1: Por el método de eliminación sistemática resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales de primer orden. dx = 3y dt dy = 2x dt PASO 1: Se cambia el sistema de la notación Leibniz a la notación Prima x′ = 3 y y′ = 2 x PASO 2: Se reúnen en un lado los términos con variables dependientes y se agrupan las mismas variables. x′ − 3 y = 0 2 x − y′ = 0 PASO 3: Se reescribe el sistema en términos del operador D. (Sistema transformado) Dx − 3 y = 0 (I ) 2 x − Dy = 0 ( II )
  9. 9. PASO 4: Se elimina la variable x; multiplicando la ecuación (I) por el coeficiente de x de la ecuación (II) y, multiplicando la ecuación (II) por el coeficiente de x de la ecuación (I), tratando de que al multiplicarse ambas ecuaciones queden con coeficientes de signo contrario para poder eliminarlos realizando la suma. (−2) Dx − 3 y = 0 − 2 Dx + 6 y = 0 ( D) 2 x − Dy = 0 2 Dx − D 2 y = 0 − D2 y + 6 y = 0 D 2 y − 6 y = 0 → ( D 2 − 6) y = 0 Ecuación factorizada PASO 5: La ecuación factorizada obtenida en el paso (4) se resuelve utilizando la ecuación característica (método de las m) para obtener las raíces. m 2 − 6 = 0 → m 2 = 6 → m1 = D1 = 6 , m2 = D2 = − 6 PASO 6: Observando el tipo de raíces obtenidas en el paso (5) se decide la solución complementaria y (t) que se tendrá. (en este caso la solución complementaria corresponde al de raíces reales y distintas) m1t m2 t y (t ) = c1e + c2 e
  10. 10. 6t 6t y (t ) = c1e + c2 e − ( A) PASO 7: Al realizar de nuevo los pasos (4), (5) y (6), se elimina la variable y y se obtiene x (t) 6t 6t x(t ) = c3e + c4 e − ( B) PASO 8: Sustituyendo las ecuaciones (A) y (B) en la ecuación (I) del sistema transformado se calculan c3 y c4 en términos de c1 y c2 respectivamente. 6t 6t 6t 6t 6c3e − 6c 4 e − − 3(c1e − c2 e − =0 6t 6t ( 6c3 − 3c1 )e + (− 6c4 + 3c2 )e − =0 ( 6c3 − 3c1 ) = 0 (− 6c4 + 3c2 ) = 0 3 3 6 3 6 6 6 6c3 = 3c1 → c3 = c1 →c 3 = c1 = c1 = c1 → c3 = c1 6 6 6 6 2 2 3 3− 6 −3 6 6 6 − 6c4 = 3c2 → c4 = c 2 →c 4 = c2 = c2 = − c2 → c4 = − c2 − 6 − 6− 6 6 2 2
  11. 11. PASO 9: se encuentra la solución del sistema original en términos de c1 y c2. 6 6t 6 − 6t 6t − 6t x(t ) = c1e − c2 e , y (t ) = c1e + c2 e 2 2

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