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Metodos iterativos

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Metodos iterativos

  1. 1. Parte 4. M´todos iterativos para la e resoluci´n de sistemas de ecuaciones o lineales Gustavo Montero Escuela T´cnica Superior de Ingenieros Industriales e Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Curso 2006-2007
  2. 2. Generalidades de los m´todos iterativos e Metodo de Jacobi M´todo de Gauss-Seidel e M´todo de Relajaci´n Sucesiva e o Convergencia de los m´todos e Resumen
  3. 3. Generalidades de los m´todos iterativos e Metodo de Jacobi M´todo de Gauss-Seidel e M´todo de Relajaci´n Sucesiva e o Convergencia de los m´todos e Resumen
  4. 4. Introducci´n o Ventaja frente a los m´todos directos e Son menos sensibles a los errores de blackondeo y esto se aprecia en sistemas de orden elevado donde los errores de blackondeo de los m´todos directos son considerables e Definici´n de m´todo iterativo o e Un m´todo iterativo construye una sucesi´n de vectores xm tal que e o lim xm = x m→∞ siendo x la soluci´n del sistema Ax = b. o Construcci´n de un m´todo iterativo o e Se parte de una aproximaci´n inicial x0 y luego se calcula o xm+1 = F (xm ), m = 0, 1, . . . donde F se toma de forma lineal: F (x) = B x + c xm+1 = B xm + c, m = 0, 1, . . . La matriz B se denomina matriz de iteraci´n y de sus propiedades va a depender la convergencia del m´todo. o e
  5. 5. Definici´n de convergencia o Definici´n de convergencia o Un m´todo se dice que es convergente si: e −1 lim xm = x = A b m→∞ Teorema del Punto Fijo Aplicando el Teorema del Punto Fijo, ||F (x ) − F (x )|| ≤ L||x − x || es decir, ||Bx − Bx || ≤ L||x − x || Luego si v = x − x =⇒ ||Bv || ≤ L||v || Teorema general para la convergencia de los m´todos e iterativos Un m´todo iterativo del tipo anterior es convergente si y s´lo si se cumplen simult´neamente las siguientes e o a condiciones, c = (I − B)A−1 b ρ(B) < 1
  6. 6. Construcci´n de m´todos iterativos o e Sea A = M − N, con M invertible Teorema de caracterizaci´n de m´todos iterativos o e Si se toma, −1 B = M N −1 c = M b el m´todo considerado cumple la primera condici´n anterior. e o Pero adem´s se debe cumplir la segunda condici´n, a o −1 −1 ρ(M N) < 1 o tambi´n e ||M N|| < 1 Teorema de construcci´n de los m´todos iterativos o e Todo m´todo del tipo estudiado verifica las condiciones del teorema anterior con M − N = A y M invertible. e El m´todo resulta, e −1 −1 xm+1 = M Nxm + M b es decir, Mxm+1 = Nxm + b Por tanto, conviene elegir M tal que sea f´cilmente invertible (diagonal o triangular). a El n´mero de operaciones de los m´todos iterativos es O(n2 ) × no iter u e
  7. 7. Generalidades de los m´todos iterativos e Metodo de Jacobi M´todo de Gauss-Seidel e M´todo de Relajaci´n Sucesiva e o Convergencia de los m´todos e Resumen
  8. 8. Algoritmo de Jacobi Matriz de iteraci´n de Jacobi o La matriz de iteraci´n de Jacobi resulta, o Descomposici´n suma de una matriz o Sea A = D − L − U, con a a13 a 0 − 12 1 1n 0 1 0 aa 11 0 a · · · · · ·0 − − a11 C a21 B 011 11 B B a22 a23· · · 0 Ca2n C B −D = B 0 − ··· − B B C C a . . a22 . . Ca; C a22 B a . . .. . Ca22 C B B − 31 @ − . 32 . 0 ···. A 3n C B − C B B a33 a33 0 0 ··· ann a33 C C . . 1 . . B C B . ··· . 0 . 0. . . C ··· ·B· · −a12 C −a13 ··· −a1n 0 1 0 B . . . .0 . C B −a21 0 ·@· · an1 · · · an2 0 C an3 B 0 0 A −a23 ··· −a2n − − C− B·· · C B −a31 0 −a32 0 ann · · · 0 B C ann C; U = B . . . . C a B .. C L=B nn B . . . . C B . . . .. . C B . . . . . C B . . . . . C @ ··· C @ . . . . A ··· ··· 0 −an−1n A −an1 −an2 ··· −ann−1 0 0 ··· ··· ··· 0 Algoritmo El m´todo de Jacobi consiste en elegir M = D y N = L + U, resultando en forma matricial, e Dxm+1 = (L + U)xm + b n X es decir, aii (xm+1 )i = − aij (xm )j + bi ; i = 1, 2, . . . , n j=1 j=i
  9. 9. Generalidades de los m´todos iterativos e Metodo de Jacobi M´todo de Gauss-Seidel e M´todo de Relajaci´n Sucesiva e o Convergencia de los m´todos e Resumen
  10. 10. Algoritmo de Gauss-Seidel Algoritmo El m´todo de Gauss-Seidel consiste en elegir M = D − L y N = U, resultando en forma matricial, e (D − L)xm+1 = Uxm + b i n es decir, X X aij (xm+1 )j = − aij (xm )j + bi ; i = 1, 2, . . . , n j=1 j=i+1 o, finalmente, i−1 X n X aii (xm+1 )i = − aij (xm+1 )j − aij (xm )j + bi ; i = 1, 2, . . . , n j=1 j=i+1 Ventaja frente a Jacobi Menor requerimiento de almacenamiento respecto a Jacobi, ya que no necesita dos vectores para la soluci´n (xm+1 , xm ). En el m´todo de Gauss-Seidel las actualizaciones de la soluci´n se guardan en las o e o posiciones de los valores anteriores El m´todo de Gauss-Seidel tiene mejores condiciones de convergencia que el de Jacobi e
  11. 11. Generalidades de los m´todos iterativos e Metodo de Jacobi M´todo de Gauss-Seidel e M´todo de Relajaci´n Sucesiva e o Convergencia de los m´todos e Resumen
  12. 12. Algoritmo de Relajaci´n Sucesiva o Algoritmo Si tomamos un par´metro ω = 0, podemos hacer la descomposici´n de A de la forma, a o 1 1−ω A=D−L−U = D−L− D−U ω ω 1 1−ω y eligiendo M = D − L, N = D + U, resulta ω ω 1 1−ω „ « „ « D − L xm+1 = D + U xm + b ω ω i−1 n 1 X 1−ω X aii (xm+1 )i + aij (xm+1 )j = aii (xm )i − aij (xm )j + bi ; i = 1, 2, . . . , n ω j=1 ω j=i+1 Algoritmo en dos pasos El algoritmo SSOR se puede expresar en dos pasos, un primer paso que coincide con el m´todo de Gauss-Seidel un e segundo paso de relajaci´n de la soluci´n, o o i−1 X Xn aii (¯m+1 )i + x aij (xm+1 )j = aij (xm )j + bi ; i = 1, 2, . . . , n j=1 j=i+1 (xm+1 )i − (xm )i = ω ((¯m+1 )i − (xm )i ) x
  13. 13. Generalidades de los m´todos iterativos e Metodo de Jacobi M´todo de Gauss-Seidel e M´todo de Relajaci´n Sucesiva e o Convergencia de los m´todos e Resumen
  14. 14. Resumen de resultados de Convergencia Si A es sim´trica y definida positiva, el m´todo de Gauss-Seidel converge. e e Si A es sim´trica y la matriz e a11 −a12 ··· −a1n 0 1 B −a12 a22 ··· −a2n C B C D+L+U =B . . .. . C B . . . . C @ . . . A −a1n −a2n ··· ann es definida positiva, el m´todo de Jacobi es convergente. e Si A es sim´trica y definida positiva, el m´todo de relajaci´n converge si y s´lo si 0 < ω < 2. e e o o Si ω < 1 el m´todo se denomina de subrelajaci´n y si ω > 1, de sobrerrelajaci´n. e o o Si A es sim´trica, definida positiva y tridiagonal, el valor ´ptimo de ω para la convergencia del m´todo de e o e relajaci´n es, o 2 ω= q 1 + 1 − ρ2 j siendo ρj el radio espectral de la matriz de iteraci´n del m´todo de Jacobi. o e
  15. 15. Generalidades de los m´todos iterativos e Metodo de Jacobi M´todo de Gauss-Seidel e M´todo de Relajaci´n Sucesiva e o Convergencia de los m´todos e Resumen
  16. 16. Resumen Los m´todos iterativos tienen un coste computacional de O(n2 ) × no iteraciones. e Si el n´mero de iteraciones es peque˜o comparado con n, los m´todos iterativos u n e son preferibles a los directos. Asimismo, los errores de blackondeo no se acumulan despu´s de cada iteraci´n, lo que supone una ventaja adicional. e o El m´todo de Gauss-Seidel es usualmente m´s eficiente que el de Jacobi e a Podemos acelerar la convergencia mediante la t´cnica de relajaci´n. e o Generalmente se suele utilizar valores de ω entre 1 y 2 (sobrerelajaci´n) o En la actualidad los m´todos iterativos estudiados en esta asignatura est´n e a obsoletos. Los m´todos m´s utilizados son los basados en los subespacios de e a Krylov.

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