Taller 10 texto guía calculo 2 v 2010 parte 2

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Taller 10 texto guía calculo 2 v 2010 parte 2

  1. 1. Solución Taller 10. Regla de L´Hôpital (Parte II)Texto guía Calculo II Versión 2010 - Taller 11. lim z cot z z 0 cos 0 1lim z cot z lim 0 cot 0 = 0 =0 = 0z 0 z 0 sen 0 0Reescribiendo la funcion, tenemos: z z 0lim z cot z lim limz 0 1 z 0 z 0 tan z 0 cot zEntonces, por l´Hôpital: z 11 1lim lim 1z 0 1 tan z z 0 sec2 z 1 cos2 (0) 1____________________________________________________ 1 7z 83. lim ln z 0 z 4z 8 1 7z 8 1 7(0) 8lim ln ln ln(1) 0z 0 z 4z 8 0 4(0) 8Reescribiendo la funcion, tenemos: 7z 8 7z 8 7(0) 8 ln ln ln 1 7z 8 4z 8 4z 8 4(0) 8 ln(1) 0lim ln lim limz 0 z 4z 8 z 0 1 z 0 z 0 0 0 1 zEntonces, por l´Hôpital: 1 ((4 z 8)(7)) ((7z 8)(4)) 7z 8 7z 8 (4 z 8)2 7(4 z 8) 4(7z 8) ln 4z 8 4z 8 (7z 8)(4 z 8)lim lim limz 0 z z 0 1 z 0 1 28 z 56 28 z 32 24 24 24 (7z 8)(4 z 8) (7z 8)(4 z 8) (7(0) 8)(4(0) 8) 64 3 lim lim z 0 1 z 0 1 1 1 8Orlando Correa Martínez – 1010346 -3745 Calculo II
  2. 2. Solución Taller 10. Regla de L´Hôpital (Parte II)5. lim z (e1 z 1) z 0lim z (e1 z 1) = lim 0 (e1 0 1) 0 (e 1) = 0z 0 z 0Reescribiendo la funcion, tenemos: (e1 z 1) (e1 0 1)lim z (e1 z 1) = limz 0 z 0 1 1 z 0Entonces, por l´Hôpital: 1 1z (e1 z ) (e 1) z 2lim lim lim (e1 z ) e1 0 ez 0 1 z 0 1 z 0 z z2____________________________________________________ 1 19. lim x 2 x 2 ln(x -1) 1 1 1 1 1 1 1 1limx 2 x 2 ln(x -1) 2 2 ln(2 -1) 0 ln(1) 0 0Reescribiendo la funcion, tenemos: 11 ln(x -1) ( x 2) ln(2 -1) (2 2) ln(1) 0 0 0 0lim limx 2 x 2 ln(x -1) x 2 (x 2)(ln(x -1)) (2 2)(ln(2 -1)) (0)(ln(1)) 0 0 0Entonces, por l´Hôpital: 1 1 1 1 ln(x -1) (x 2) (x -1) (x -1)lim lim limx 2 (x 2)(ln(x -1)) x 2 1 x 2 x 2 (1)(ln(x -1)) ( x 2) ln(x -1) (x -1) (x -1) 1 1 (2 -1) 1 1 0 0 , Con la primera derivada aún se conserva la expresion , 2 2 0 0 0 ln(2 -1) 0 (2 -1) 1por esta razón se debe derivar de nuevo cada función.Entonces, por l´Hôpital: 1 (0)(x 1) (1)(1) 1 1 1 (x -1) (x -1)2 (x -1)2 (2 -1)2lim lim limx 2 x 2 x 2 1 (1)(x 1) (x 2)(1) x 2 1 3 1 3 ln(x -1) (x -1) x -1 (x -1)2 x -1 (x - 1)2 2 -1 (2 -1)2 1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 2 1 1Orlando Correa Martínez – 1010346 -3745 Calculo II
  3. 3. Solución Taller 10. Regla de L´Hôpital (Parte II) 1 114. lim t 0 t sen t 1 1 1 1lim = =t 0 t sen t 0 sen 0Reescribiendo la funcion, tenemos: 1 1 sen t t sen 0 0 0lim limt 0 t sen t t 0 sen t t sen 0 0 0Entonces, por l´Hôpital: 1 2 t cos t 1 cos t sen t t 2 t 2 t 2 t cos t 1lim lim lim limt 0 sen t t t 0 sen t t 0 2t cos t sen t t 0 2t cos t sen t t cos t 2 t 2 t 2 0 cos (0) 1 2(0)(1) 1 1 2(0) cos (0) sen (0) 2(0)(1) 0 0____________________________________________________21. lim z z z 0lim z z 00z 0Reescribiendo la funcion, tenemos:lim z ln(z) 0 ( )z 0 ln(z) ln(0)lim z ln(z) lim limz 0 z 0 1 z 0 1 z 0Entonces, por l´Hôpital: 1 ln(z) z2lim lim z lim - lim -z 0z 0 1 z 0 1 z 0 z z 0 2 z zAhora, reemplanzando en eL :lim z z e0 1z 0Orlando Correa Martínez – 1010346 -3745 Calculo II
  4. 4. Solución Taller 10. Regla de L´Hôpital (Parte II)22. lim z sen z z 0 sen zlim z 00z 0Reescribiendo la funcion, tenemos:lim sen z ln(z) 0 ( )z 0 ln(z) ln(0)lim sen z ln(z) lim limz 0 z 0 1 z 0 1 sen z 0Entonces, por l´Hôpital: 1 ln(z) ln(z) z 1 1 tan z 0lim lim lim lim limz 0 1 z 0 csc z z 0 csc z cot z z 0 (z)csc z cot z z 0 (z)csc z 0 sen z tan z tan z 0 tan z tan 0 0 0lim lim lim 0z 0 (z) z 0 ( z) 0 z 0 1 1 1 1 1 sen z 0 cos z cos 0 1 csc zAhora, reemplanzando en eL :lim z sen z e0 1z 0___________________________________________________________________________Orlando Correa Martínez – 1010346 -3745 Calculo II
  5. 5. Solución Taller 10. Regla de L´Hôpital (Parte II) t 123. lim 1 t t t 1 1lim 1 1 (1 0) 1t tReescribiendo la funcion, tenemos: 1 t ln 1 1 1 1 tlim 1 lim t ln 1 0 lim t ln 1 limt t t t t t t 1 tEntonces, por l´Hôpital: 1 t 1 11 t (t 1) t t 1 ln 1 ln t t ln(t 1) ln(t) t (t 1) t (t 1)lim lim lim lim t 1 t lim limt 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 2 2 2 t t t t t t 2 t t lim lim , Se debe derivar de nuevo. t t (t 1) t (t 1) t 1lim lim 1t (t 1) t 1Ahora, reemplanzando en eL : t 1lim 1 e1 et t_____________________________________________________________________________27. lim (1 2z)1 3 z zlim (1 2z)1 3 z 0zReescribiendo la funcion, tenemos: 1lim (1 2z)1 3 z lim ln(1 2 z) 0z 3z z 1 ln(1 2z) lim ln(1 2z) limz 3z z 3zEntonces, por l´Hôpital: 1 2 2 2 2 ln(1 2z) (1 2z) (1 2z) 1 2( ) 0 lim lim lim 0z 3z z 3 z 3 3 3 3 LAhora, reemplanzando en e :lim (1 2z)1 3 z e0 1zOrlando Correa Martínez – 1010346 -3745 Calculo II
  6. 6. Solución Taller 10. Regla de L´Hôpital (Parte II) t 125. lim 1 2 t t t 1 1lim 2 1 1 (1 0) 1t tReescribiendo la funcion, tenemos: t 1 1lim 1 lim t ln 1 0t t2 t t2 1 ln 1 1 t2lim t ln 1 limt t2 t 1 tEntonces, por l´Hôpital: 1 t2 1 1 2 2t 2 2(t 2 1) ln 1 ln 2t t2 t2 ln(t 2 1) 2ln(t) t2 1 t t (t 2 1)lim lim lim lim limt 1 t 1 t 1 t 1 t 1 2 2 t t t t t 2 2 2t 2t 2 t (t 2 1) 2t 2 2t 2 lim lim lim , Se debe derivar de nuevo. t 1 t 2 t (t 1) t (1 t 2 ) (1 2 ) t2 2t 2 1 1lim 2 lim lim 0t (t 1) t 2t t tAhora, reemplanzando en eL : t 1lim 1 2 e0 1t tOrlando Correa Martínez – 1010346 -3745 Calculo II
  7. 7. Solución Taller 10. Regla de L´Hôpital (Parte II)BibliografíaEdwards C.H, Penney D.1994. Calculo con geometría analítica. Cuarta edición. Pág. 458-468Orlando Correa Martínez – 1010346 -3745 Calculo II

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