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  Competencias matemáticasDurante la educación básica se requiere que el alumno adquiera cuatro   competencias:1.Resolver...
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Grado:   Bloque 1       Bloque 2        Bloque 3         Bloque 4        Bloque 51°       Uso de          Regla de       P...
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Por parejas contesten las siguientes preguntas: (Explicitación)-¿Hay alguna relación entre la segunda y la tercera columna...
(Orientación libre)Resuelve los sig. problemas:-Se traza una circunferencia cuyo radio es la tercera parte del    radio de...
   Actividad 3.(Integración).GeogebraConstruyan con ayuda de tu profesor un hexágono de 4 unidades de lado    inscrito en...
Fin de la segunda sesión.
Actividad 4.El objetivo de esta actividad es que los alumnos aprendan a    justificar de forma geométrica la fórmula para ...
Circunferencia   Radio   Radio al cuadrado   Área aproximada1                22                33                44       ...
Aproxima el área de cada circunferencia por medio de la cuadrícula.    -¿Hay alguna relación entre la segunda y la tercera...
-¿Hay alguna relación entre la segunda y la tercera columna de la tabla?Ahora llena la misma tabla pero usando el botón “á...
   Evocando a Arquímides. Arquímedes de Siracusa (Siracusa (Sicilia)    , ca. 287 a. C. – ibídem, ca. 212 a. C.) fue un m...
3.Calcula el perímetro de la circunferencia con el botón “medida”.4.Usa el botón “trazar segmento dado un punto y longitud...
Se esperaría que el alumno sea capaz de deducir lo siguiente:A = (bh)/2 = (2 π r) (r) / 2 = π r2 .El profesor ayudará para...
   Contenido 1:-Instrumentos:La pregunta donde se pide explicitar una fórmula para el perímetro de la    circunferencia  ...
Justificación de las fórmulas para calcular el perímetro de la circunferencia y el área del círculo.
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  1. 1. Sobre la RIEBLa Reforma Integral de la Educación Básica culmina un ciclo de reformas curriculares en cada uno de los tres nivelesque integran la Educación Básica, que se inició en 2004 con la reforma de Educación Preescolar, continuó en 2006 con la de Educación Secundaria y en 2009 con la de Educación Primaria, y consolida este proceso aportando una propuesta formativa pertinente, significativa, congruente, orientada al desarrollo de competencias y centrada en el aprendizaje de las y los estudiantes. Propósitos educación básicaMediante el estudio de las Matemáticas en la Educación Básica se pretende que los niños y adolescentes desarrollen formas de pensar que les ayuden a resolver problemas matemáticos. Para lo cual deben dominar ciertos procedimientos de manera efectiva. Y desarrollar una buena disposición ante el estudio de las matemáticas y el trabajo colaborativo.
  2. 2.  Estándares curriculares en la materia de matemáticas para secundariaSe organizan en:1. Sentido numérico y pensamiento algebraico2. Forma, espacio y medida3. Manejo de la información4. Actitud hacia el estudio de las matemáticasEstos conducirán el aprendizaje del alumno de la sig. forma : El alumno entenderá la importancia de las matemáticas como una herramienta que le ayude a resolver problemas. Comenzando con la traducción de enunciados, profundizando sus conocimientos para hacer más eficiente el uso de las fórmulas o algoritmos matemáticos teniendo como fin último desarrollar capacidades para el trabajo autónomo.
  3. 3.  Enfoque didáctico.El método que aquí se sigue para enseñar matemáticas consiste en el uso de secuencias didácticas cuyos objetivos son despertar el interés de los alumnos, inviten a la reflexión, la justificación de resultados y que impliquen desde luego los conocimientos y habilidades a desarrollar. Estas secuencias didácticas estarán basadas en un enfoque constructivista en el cual el alumno juega un papel central al ser él mismo el que construye sus propios conocimientos. Por lo cual cada secuencia didáctica debe partir de los conocimientos previos de los alumnos. Los problemas planteados en las secuencias didácticas se aplicarán de tal forma que el alumno mejore cada vez más su capacidad de razonamiento.
  4. 4.  Competencias matemáticasDurante la educación básica se requiere que el alumno adquiera cuatro competencias:1.Resolver problemas de manera autónoma.Que el alumno sea capaz de identificar la naturaleza de un problema y distintos métodos de resolución para este.2.Comunicar información matemática.Que el alumno pueda “leer” la información presentada mediante el lenguaje matemático. Y que infiera relaciones de tipo cualitativo o cuantitativo del fenómeno considerado.3.Validar procedimientos y resultados.Que el alumno justifique sus argumentos de acuerdo a su propio nivel de manera “formal”.4.Manejar técnicas eficientemente.Que el alumno use fórmulas, algoritmos, procedimientos de manera adecuada.
  5. 5.  Modelo de Van HieleEl Modelo de Van Hiele es una teoría didáctica para el aprendizaje y la enseñanza de la geometría creada en 1957 por el matrimonio holandés van Hiele. Esta teoría didáctica postula que el aprendizaje (en matemáticas) del individuo se produce de manera gradual transitando por “niveles de razonamiento”. La transición entre estos niveles de razonamiento se producirá mediante una adecuada serie de actividades para el alumno, cuyo orden y dosificación son guiadas por “las fases de aprendizaje” del modelo.Los niveles de razonamiento poseen cada uno un lenguaje específico, la transición entre los niveles se produce de forma gradual y la estructura de estos es jerarquizada pero recursiva, esto último en el sentido de que aquello que es implícito en un nivel se vuelve explícito en el nivel siguiente. Los niveles de razonamiento son:1.Reconocimiento, 2.Análisis, 3.Clasificación, 4.Deducción formal y 5.Rigor.Las fases del aprendizaje son:1.Información, 2.Orientación dirigida, 3.Explicitación,4.Orientación libre, 5.Integración.
  6. 6.  Tecnologías de la Información y la ComunicaciónEl uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (Geogebra) en esta propuesta está justificado por las ventajas que aporta al aprendizaje de los estudiantes. Las actividades basadas en estas tecnologías presentan los contenidos de forma “visual” lo que induce un aprendizaje más significativo en una materia como Geometría. Además de que con el software usado los alumnos pueden construir, “experimentar”, tener ejemplos variados y observar las construcciones geométricas en su totalidad o por partes.
  7. 7.  Grado: Primero. Eje: Forma ,espacio y medida Bloque: lV Tema: Justificación de las fórmulas para calcular el perímetro de la circunferencia y área del círculo. Explicitación del número π como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.
  8. 8. Grado: Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque 4 Bloque 51° Uso de Regla de Proporcionali Justificación Uso de fórmulas . fórmulas tres directa. -dad y de fórmulas Cálculo de áreas y geométricas. Justificación funciones. para el área perímetros. de fórmulas Construcción del círculo y en polígonos de el perímetro regulares polígonos. de la (área y El polígono circunferenci perímetro). inscrito en la a. Número π. circunferenci (TEMA) a.2° Área de sectores circulares y de la corona.3° Justificación y cálculo de volúmenes de cilindros y conos.
  9. 9. Aunque este aspecto se trabaja en la primaria, es necesario que en este gradose profundice en el análisis sobre la relación entre la circunferencia y su diámetroy que los alumnos se familiaricen con la diversidad de problemas que se pueden plantear.Por ejemplo:¿Cuánto aumenta la longitud de la circunferencia si la longitud del diámetro aumentaal doble?¿Y si aumenta al triple? ¿Y si aumenta cuatro veces? ¿Qué conclusión se obtiene de este hecho? Determinen la relación entre las longitudes de los diámetros de dos círculos cuyas circunferencias miden12 y 24 m, respectivamente.Este tipo de problemas permite vincular la geometría con la proporcionalidad directa.La justificación del área del círculo puede hacerse gráficamente o mediante cálculos algebraicos derivadosde la fórmula para calcular el área de polígonos regulares.
  10. 10.  Profesor: -Inducir a los alumnos en el descubrimiento de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo.-Que los alumnos comprendan el número π como el cociente entre la circunferencia y su diámetro. Alumno:-Justifico las fórmulas para calcular el perímetro de la circunferencia y el área del círculo geométrica y algebraicamente.-Reconozco el número π como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro de la misma.
  11. 11. Sesión Nivel inicial Nivel de Actividades Duración de razonamient razonamient o alcanzado oPrimera 1 2 -Video 1hr -Geogebra (2)Segunda 2 3 -Geogebra 1hr -ProblemasTercera 2 3 -Geogebra 1hr (deducción geométrica) -Geogebra (deducción algebraica) -Problemas
  12. 12. Centro L. Radio L. diámetro L. CuerdaCircunferencia 1 (0,0)Circunferencia 1 (0,0)Circunferencia 2 (0,3)Circunferencia 2 (0,3)Circunferencia 3 (1,0)Circunferencia 3 (1,0)Circunferencia 4 (-2,2)Circunferencia 4 (-2,2)Circunferencia 5 (-1,-2)Circunferencia 5 (-1,-2)
  13. 13.  Actividad 2 Se pretende que el alumno al término de esta actividad alcance el nivel tres de razonamiento en el primer contenido: la deducción del perímetro de la circunferencia y la explicitación del número pi como el cociente entre la circunferencia y el diámetro:Juan reta a Enrique a una carrera en una pista circular, le dice: yo corro dos vueltas por el perímetro de la pista y tú recorres cuatro veces el diámetro de la pista. Suponiendo que Juan y Enrique son igual de rápidos ¿Quién ganará la carrera? (Información)En Geogebra por parejas realicen la sig. actividad: (Orientación dirigida)1.Activa cuadrícula2.Selecciona “trazar circunferencia dados su centro y radio” y traza una circunferencia.3.Usa “trazar segmento entre dos puntos” para trazar su diámetro.4.Selecciona “calcular longitud” y con doble clic obtén la longitud del diámetro . Ahora calcula la longitud de la circunferencia con el mismo botón.5.Llena la tabla siguiente:
  14. 14. Radio Diámetro Circunferencia24 106.59 20 21
  15. 15. Por parejas contesten las siguientes preguntas: (Explicitación)-¿Hay alguna relación entre la segunda y la tercera columna de la tabla? Pista : busca una relación de proporcionalidad. ¿Pueden encontrar una fórmula que relacione ambos valores?-La tapa de un frasco redondo tiene un diámetro de 5cm ¿Cuánto medirá su circunferencia, aproximadamente?¿Cómo obtuviste tu respuesta? Coméntalo con tu compañero.-La circunferencia de una mesa de forma circular tiene una longitud de 3.14m¿Cuánto mide su diámetro?¿Y si su circunferencia mide 6.28cm?¿Y si su circunferencia mide 9.42m? Fin de la primera sesión.
  16. 16. (Orientación libre)Resuelve los sig. problemas:-Se traza una circunferencia cuyo radio es la tercera parte del radio de la otra. ¿ Cuál es la razón entre las longitudes de ambas?-Se traza una circunferencia cuyo radio es el doble del radio de la otra ¿Cuál es la razón entre las longitudes de ambas?-El diámetro de una llanta de un automóvil es de 78cm. ¿Cuántas vueltas dará esta llanta en un recorrido de 1 km?-Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una plataforma que gira y su amiga Laura se ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la plataforma ha dado 50 vueltas.
  17. 17.  Actividad 3.(Integración).GeogebraConstruyan con ayuda de tu profesor un hexágono de 4 unidades de lado inscrito en una circunferencia de cuatro unidades de radio como se muestra en la figura.Contesten las sig. Preguntas sin usar Geogebra:-¿Cuál es el diámetro de la circunferencia?-¿Cuál es la longitud de la circunferencia?¿Cuál es el perímetro del hexágono?-¿Cuál es la razón entre el perímetro del hexágono y el diámetro del círculo?-La razón anterior es mayor o menor que π?Ahora comparen sus respuestas con las de Geogebra usando el botón “longitud”.
  18. 18. Fin de la segunda sesión.
  19. 19. Actividad 4.El objetivo de esta actividad es que los alumnos aprendan a justificar de forma geométrica la fórmula para el área de la circunferencia mediante la “idea intuitiva” de área llegando así a un nivel 2 de razonamiento:Se quiere fertilizar un jardín circular de 30m de diámetro y el costo para fertilizar un metro cuadrado es de $1.¿Cuánto dinero se necesitará? (Información)Geogebra (Orientación dirigida)1.Activa ejes y cuadrícula.2.Con “trazar circunferencia dado centro y radio” traza circunferencias con centro en el origen para llenar la sig. tabla:
  20. 20. Circunferencia Radio Radio al cuadrado Área aproximada1 22 33 44 55 10
  21. 21. Aproxima el área de cada circunferencia por medio de la cuadrícula. -¿Hay alguna relación entre la segunda y la tercera columna de la tabla? Ahora llena la misma tabla pero usando el botón “área” para encontrar el área de las circunferencias. (la segunda tabla es igual que la primera, pero con una mejor aproximación a los valores reales la relación área/r2 exhibe de una forma más clara el número pi).Circunferencia Radio Radio al cuadrado Área1 22 33 44 55 10  
  22. 22. -¿Hay alguna relación entre la segunda y la tercera columna de la tabla?Ahora llena la misma tabla pero usando el botón “área” para encontrar el área de las circunferencias.-¿Hay alguna relación entre la segunda y la tercera columna de la tabla? Sugerencia: busca una relación de proporcionalidad. ¿Puedes encontrar una fórmula que relacione ambos valores?
  23. 23.  Evocando a Arquímides. Arquímedes de Siracusa (Siracusa (Sicilia) , ca. 287 a. C. – ibídem, ca. 212 a. C.) fue un matemático griego, físico, ingeniero,inventor y astrónomo. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad clásica.Arquímides descubrió que el área de un círculo es igual al área de un triángulo cuya base es el perímetro de la circunferencia y cuya altura es el radio de la circunferencia. (Información).Actividad 5: El objetivo de la actividad es que el alumno deduzca la fórmula A=π r2 algebraicamente apoyándose en la construcción geométrica llegando así a un nivel 3 de razonamiento:Geogebra (Orientación dirigida).1.Activa “ejes y cuadrícula”.2.Elige “trazar circunferencia dado centro y radio” y traza una circunferencia de radio 1 con centro en el origen.
  24. 24. 3.Calcula el perímetro de la circunferencia con el botón “medida”.4.Usa el botón “trazar segmento dado un punto y longitud” para trazar un segmento horizontal a partir del punto (0,-1)cuya longitud sea la obtenida en el paso 3.5.Elige “trazar polígono” y forma el triángulo formado por el segmento anterior y el centro de la circunferencia.6.Calcula en tu cuaderno el área del triángulo.7.Usa el botón “medida para calcular el área del círculo”.¿Qué observas?¿Tenía razón Arquímides?Sabemos que el argumento de Arquímides se cumplirá para todo círculo.Sea A el área del círculo, r el radio. ¿Basados en la construcción anterior cuál es la fórmula para calcular el área del círculo?
  25. 25. Se esperaría que el alumno sea capaz de deducir lo siguiente:A = (bh)/2 = (2 π r) (r) / 2 = π r2 .El profesor ayudará para que los alumnos lleguen a esta deducción en caso de ser necesario. (Explicitación)(Orientación libre e integración)Resuelve los sig.problemas:-En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.-La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.-La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?
  26. 26.  Contenido 1:-Instrumentos:La pregunta donde se pide explicitar una fórmula para el perímetro de la circunferencia 50% La actividad número tres pues engloba todos los aprendizajes esperados 50%.-Indicadores. Las tablas llenadas por los alumnos presentan resultados congruentes que demuestren que trabajaron de una manera correcta. Contenido 2.-Instrumentos: El alumno logró deducir la fórmula para el área del círculo de forma geométrica o algebraica. 100%.-Indicadores: El alumno hizo la última construcción de forma correcta.

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