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Transformadas de Laplace de Algunas Distribuciones Relevantes

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Distribución Uniforme en el Plano s, determinación de su esperanza y la varianza.
Distribución Exponencial en el Plano s, determinación de su esperanza y la varianza.
Distribución Erlang en el Plano s, determinación de su esperanza y la varianza.

Las propiedades utilizadas para determinar las transformadas de Laplace y su inversa se adjuntan en una tabla.

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Transformadas de Laplace de Algunas Distribuciones Relevantes

  1. 1. Transformadas de Laplace de Algunas Distribuciones Relevantes Oscar Reyes H. 16/10/2001
  2. 2. Contenidos • Distribución Uniforme en el Plano s, determinación de su esperanza y la varianza. • Distribución Exponencial en el Plano s, determinación de su esperanza y la varianza. • Distribución Erlang en el Plano s, determinación de su esperanza y la varianza. • Las propiedades utilizadas para determinar las transformadas de Laplace y su inversa se adjuntan en una tabla.
  3. 3. Distribución Uniforme • La función de densidad de probabilidad de la distribución Uniforme: • Para llevar fx(x) al plano de Laplace es conveniente escribirla de la siguiente forma:       > ≥≤≤− = abetoc babxaab xfx .0 0,)/(1 )(      < > =− −⋅ − −−⋅ − = ct ct ctu donde btu ab atu ab xfx 0 1 )( )( 1 )( 1 )(
  4. 4. Distribución Uniforme • Luego aplicando la transformada a fx(x) tenemos: (4) )}( 1 )( 1 {))(()( btu ab atu ab LxfLsF x −⋅ − −−⋅ − == )}({ 1 )}({ 1 )( btuL ab atuL ab sF −⋅ − −−⋅ − = )})({)}({( 1 )( btuLatuL ab sF −−−⋅ − = )( 11 )( bsas ee sab sF −− −⋅⋅ − =
  5. 5. Distribución Uniforme, Cálculo de la Esperanza • Para calcular la transformada de E[x] ocuparemos la propiedad de evaluación de integrales (n°3 de la tabla adjunta). , E[t]=valor esperadodttfttE t )(][ ∫ ∞ ∞− = ∫ − = b a dt ab t tE )( ∫⋅ − = b a tdt ab tE 1 )( dtdx atxsea = −= ∫ −= +⋅ − = abX dxax ab xE 0 )( 1 )( , pero para aplicar la propiedad n°3 descrita en la tabla adjunta es conveniente hacer el siguiente cambio de variable:
  6. 6. Distribución Uniforme, Cálculo de la Esperanza Aplicando la transformada de Laplace a la expresión anterior tenemos: })(( 1 {)}({ 0 dxax ab LxEL X ∫ +⋅ − = })({ 1 )( 0 dxaxL ab sE X ∫ +⋅ − = ) 1 ( 1 )( 23 s a sab sE +⋅ − = Por las propiedades n° 3 y n°6 de la tabla adjunta se llega a :
  7. 7. Distribución Uniforme, Cálculo de la Esperanza Aplicando la transformada inversa a la expresión anterior: }{} 1 { 1 2 1 3 1 s a L s L ab E −− +⋅ − = ) 2 ( 1 )() 2 ( 1 )( 2 a X X ab Xa X ab tE +⋅ − =⋅+⋅ − = 2 )( ab tE + = )} 1 ( 1 {)}({ 23 11 s a sab LsEL +⋅ − = −− Pero recordemos que X=b-a ) 2 ()( 1 a ab ab ab E + − ⋅−⋅ − =
  8. 8. Distribución Uniforme, Cálculo de la Varianza Para calcular la transformada de Var[x] ocuparemos la propiedad de evaluación de integrales (n°3 de la tabla). Por definición: 2222 ))(()(])[(][][ dxxfxdxxfxxExExVar xx ∫∫ ∞ ∞− ∞ ∞− −=−= dttfttE t )(][ 22 ∫ ∞ ∞− = Por lo tanto solo es necesario obtener el valor de E[x2 ] y luego restarle el valor de E[x]2 ∫ − = b a dt ab t tE 2 2 )(
  9. 9. Distribución Uniforme, Cálculo de la Varianza Pero par aplicar el teorema n° 3 de la tabla es conveniente hacer el siguiente cambio de variable: por lo tanto ahora tenemos: dtdx atxsea = −= ∫ −= − + = abX dx ab ax xE 0 2 2 )( )( ∫ −= ++⋅ − = abX dxaxax ab xE 0 222 )2( 1 )(
  10. 10. Distribución Uniforme, Cálculo de la Varianza Aplicando Laplace a la expresión anterior se llega a: ) 21 ( 1 )( 2 34 s a s a sab sF ++⋅ − = ∫ ++⋅ − = X dxaxaxL ab xEL 0 222 })2({ 1 )}({ )}{}{2})({( 1 )}({ 0 0 2 0 22 ∫ ∫∫ +⋅+⋅ − = X XX dxLadxxLadxxL ab xEL Aplicando la transformada inversa a la expresión anterior: )} 21 ( 1 {)}({ 2 34 11 s a s a sab LsFL ++⋅ − = −−
  11. 11. Distribución Uniforme, Cálculo de la Varianza Desarrollando se llega a: ) 2 2 3 ( 1 )( 2 23 2 Xa aXX ab xE ++⋅ − = }){} 2 {} 1 {( 1 )}({ 2 1 3 1 4 11 s a L s a L s L ab sFL −−−− ++⋅ − = Pero recordemos que X=b-a ) 3 )( ()( 2 2 ab ab xE + − = ) 3 ( 1 )( 2 2 2 aaX X X ab xE ++⋅⋅ − = 3 )( 22 2 aabb xE ++ =
  12. 12. Distribución Uniforme, Cálculo de la Varianza Recordemos que deseamos encontrar: )( 3 1 )( 222 aabbxE ++= 22 ])[(][][ xExExVar −= Y tenemos que: 2 )( ab xE + = Finalmente tenemos: )2( 4 1 )( 3 1 )( 2222 babaaabbxVar ++−++= )363444( 12 1 )( 2222 babaaabbxVar ++−++= 12 )( )2( 12 1 )( 2 22 ab aabbxVar − =+−=
  13. 13. Distribución Exponencial La función de densidad de probabilidad de la distribución Exponencial: Aplicando la propiedad que dice:      ≤ = − .0 0 )( etoc xae xf ax x λ λ + =⇒⋅= − S A sHeAth t )()( sa a sF + =)( Tenemos que para fx(x) la transformada es:
  14. 14. Distribución Exponencial, Cálculo de la Esperanza Para calcular la transformada de E[x] ocuparemos la propiedad de evaluación de integrales entre los límites cero a infinito (ver bibliografía pág. 27). Por definición la esperanza es: Por lo tanto: dttfttE t )(][ ∫ ∞ ∞− = dtetatE at− ∞ ⋅= ∫0 exp ][ También sabemos que: 2 0 1 ][ s dtetsF st =⋅= − ∞ ∫
  15. 15. Distribución Exponencial, Cálculo de la Esperanza Luego si hacemos s = a tenemos: 2 0 1 a dtet at =⋅ − ∞ ∫ Por lo tanto: ) 1 (][ 2exp a atE ⋅= a tE 1 ][exp =
  16. 16. Distribución Exponencial, Cálculo de la Varianza Tenemos que por definición: 2222 ))(()(])[(][][ dttftdttfttEtEtVar tt ∫∫ ∞ ∞− ∞ ∞− −=−= dtetatE at− ∞ ∫= 0 22 ][ Por lo tanto solo es necesario obtener el valor de E[t2 ] y luego restarle el valor de E[t] ya calculado elevado al cuadrado. También sabemos que: 3 0 2 2 ][ s dtetsF st =⋅= − ∞ ∫
  17. 17. Distribución Exponencial, Cálculo de la Varianza Luego si hacemos s = a tenemos: 3 0 2 2 a dtet at =⋅ − ∞ ∫ Por lo tanto: ) 2 (][ 3 2 exp a atE ⋅= Finalmente tenemos que: 22 ])[(][][ xExExVar −= 22 12 ][ aa xVar −= 2 1 ][ a xVar =
  18. 18. Distribución Erlang La función de densidad de probabilidad de la distribución Erlang: Aplicando la Transformada de Laplace:        ≥>≤ −= −− . 1,0,0 )!1()( 0 1 etoc nx n ex xf xnn x λ λ λ } )!1( {)( 1 − = −− n ex LsF xnn λ λ } )!1( {)( 1 − = −− n ex LsF xn n λ λ
  19. 19. Distribución Erlang Aplicando las propiedades n°8 se llega a : n n s sF )( 1 )( λλ + =
  20. 20. Distribución Erlang, Cálculo de la Esperanza Para calcular la transformada de E[x] ocuparemos la propiedad de evaluación de integrales entre los límites cero a infinito (ver bibliografía). Por definición la esperanza es: Por lo tanto: dttfttE t )(][ ∫ ∞ ∞− = También sabemos que: dt n et ttE tnn erlang ∫ ∞ −− − ⋅= 0 1 )!1( ][ λ λ 1 0 1 )!1( } )!1( { + ∞ −− = − = − ∫ n sxnn s n dx n ex n x L
  21. 21. Distribución Erlang, Cálculo de la Esperanza Luego si hacemos s = λ tenemos: Por lo tanto: )(][ 1exp λ λ + = n n n tE λ λ 1 0 1 )!1( + ∞ −− = −∫ n xn n dx n ex )(][exp λ n tE =
  22. 22. Distribución Erlang, Cálculo de la Varianza Tenemos que por definición: 2222 ))(()(])[(][][ dttftdttfttEtEtVar tt ∫∫ ∞ ∞− ∞ ∞− −=−= Por lo tanto solo es necesario obtener el valor de E[t2 ] y luego restarle el valor de E[t] ya calculado elevado al cuadrado. También sabemos que: dt n et ttE tnn erlang ∫ ∞ −− − ⋅= 0 1 22 )!1( ][ λ λ 2 0 11 )1( )!1( } )!1( { + ∞ −−+ + = − = − ∫ n sxnn s nn dx n ex n x L
  23. 23. Distribución Erlang, Cálculo de la Varianza Luego si hacemos s = λ tenemos: Por lo tanto: λλ λ nn n nnnn tE )1( ) )1( ][ 2 2 exp + = + ⋅= + Finalmente tenemos que: 22 ])[(][][ xExExVar −= 2 2 2 )1( ][ λλ nnn xVar − + = 2 ][ λ n xVar = λ λ 2 0 1 )1( )!1( + ∞ −− + = −∫ n xn nn dx n ex
  24. 24. Tabla de transformadas de Laplace y Propiedades
  25. 25. Bibliografía Teoría Y Problemas de Transformadas de Laplace Murray R. Spiegel Editorial McGraw-Hill 1970

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