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Análisis Simple Probabilidades en el Poker

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Análisis de posibles formas en que se puede obtener algún tipo de mano en un juego.

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Análisis Simple Probabilidades en el Poker

  1. 1. Probabilidades en el PókerProbabilidades en el Póker Análisis SimpleAnálisis Simple Guillermo Gómez D.Guillermo Gómez D. Oscar Reyes H.Oscar Reyes H.
  2. 2. EstructuraEstructura • Breve descripción. • Análisis de las probabilidades de ganar en el comienzo del juego. • Ejemplos de cómo varia la probabilidad al cambiar cierto número de cartas en la segunda ronda.(caso un jugador). • Descripción de un juego donde participan dos jugadores.
  3. 3. DescripciónDescripción • Se analizarán las posibles las formas en que se puede obtener algún tipo de mano, con la que se obtiene puntaje. • Se hace el supuesto que el juego es conocido, por lo tanto no se dan mayores explicaciones de él.
  4. 4. Descripción de la TareaDescripción de la Tarea Definiciones: • Cuando hablemos de comb(n,r) se estará hablando de: • Para simplificar el análisis se utilizará una un diagrama de tabla que represente las cartas ordenadas de 1 a 13, en lugar de As a Kaiser, y de A-D en lugar de trébol-negro, diamante, pica, corazón, las x representan una carta ubicada en una posición arbitraria. • Todas las manos posibles se calculan como comb(52,5)=2.598.960 !)!( ! rrn n r n ⋅− =      A B C D 1 2 x 3 x 4 x 5 6 7 8 9 x 10 11 12 13 x
  5. 5. Análisis de las probabilidades en elAnálisis de las probabilidades en el comienzo del juegocomienzo del juego • Maneras de sacar Un Par: • Hay que elegir 1 fila de las 13 que existen esto implica comb(13,1), estando en esa fila se deben tomar 2 de las cuatro cartas comb(4,2). De las 12 filas restantes hay que elegir 3 cartas cualesquiera comb(12,3), y en esas doce filas restantes las cartas pueden cuantro posibilidades cada una, como son tres cartas implica comb(4,1)3 . • Finalmente tenemos: 240.098.14220613)( 334 1 12 3 4 2 13 1 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ CCCC Que son todas las combinaciones posibles para obtener Un Par. A B C D 1 x x 2 3 x 4 5 x 6 7 8 9 x 10 11 12 13
  6. 6. Análisis de las probabilidades en elAnálisis de las probabilidades en el comienzo del juegocomienzo del juego • Maneras de sacar Dos Pares: • Hay que elegir 2 filas de las 13 que existen esto implica comb(13,2), por cada fila se deben tomar 2 de las cuatro cartas comb(4,2)2. De las 11 filas restantes hay que elegir 1 carta cualesquiera comb(11,1), y estando en esa fila restante las carta puede cuatro valores posibles, lo que implica comb(4,1). • Finalmente tenemos: 552.12344678)( 24 1 11 1 24 2 13 2 =⋅⋅=⋅⋅⋅ CCCC Que son todas las combinaciones posibles para obtener Dos Pares. A B C D 1 2 x xxxx 3 4 5 6 7 x x 8 9 10 11 x 12 13
  7. 7. Análisis de las probabilidades en elAnálisis de las probabilidades en el comienzo del juegocomienzo del juego • Maneras de sacar Tres Iguales: • Hay que elegir 1 filas de las 13 que existen esto implica comb(13,1), en esa fila deben existir exactamente tres cartas iguales en cualquier combinación, lo que implica comb(4,3). De las 12 filas restantes hay que elegir 2 cartas cualesquiera comb(12,2), estas dos cartas pueden ser cualesquiera de la fila en donde se encuentran lo que implica comb(4,1)2 . • Finalmente tenemos: 912.54466413)( 224 1 12 2 4 3 13 1 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ CCCC Que son todas las combinaciones posibles para obtener Tres Cartas Iguales. A B C D 1 x 2 3 4 5 6 7 8 9 x x x 10 11 12 x 13
  8. 8. Análisis de las probabilidades en elAnálisis de las probabilidades en el comienzo del juegocomienzo del juego • Maneras de sacar Escalera Simple: • Para formar una escalera la secuencia de cartas recibidas debe ser de 5. De 1-5, 2- 6,...,10-1, lo que implica 10 posibles combinaciones comb(10,1). Cada carta de la escalera debe corresponder a una posición de las 4 columnas por lo panto se tiene comb(4,1) para una carta y comb(4,1)5 para las cinco cartas. Al resultado obtenido se le debe restar los casos en que pueda salir una escala de la misma pinta y las escalas reales, 40 posibles escalas en total (este caso se analizará más adelante). • Finalmente tenemos: 200.10401024040)( 54 1 10 1 =−=−⋅ CC Que son todas las combinaciones posibles para obtener Escalera Simple. A B C D 1 2 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 9 10 11 12 13 1
  9. 9. Análisis de las probabilidades en elAnálisis de las probabilidades en el comienzo del juegocomienzo del juego • Maneras de sacar 5 Cartas de la Misma Pinta: • Hay 4 pintas de las cuales se puede escoger 5 de las 13 cartas o comb(13,5), entonces tenemos 4*comb(13,5) combinaciones totales de obtener 5 cartas del mismo color, pero al número antes encontrado debemos restarle el número de escalas posibles de la misma pinta y las escalas reales que son 40 como se vera más adelante. • Finalmente tenemos: 108.540148.540)(4 13 5 =−=−⋅ C Que son todas las combinaciones posibles para obtener 5 Cartas de la Misma Pinta. A B C D 1 2 x 3 4 x 5 x 6 7 8 x 9 10 11 12 13 x
  10. 10. Análisis de las probabilidades en elAnálisis de las probabilidades en el comienzo del juegocomienzo del juego • Maneras de sacar Full: • Hay 13 diferentes filas de donde sacar un trío, dado lo anterior quedan doce 12 filas de donde sacar un par. Estando en la fila del trío hay que escoger tres de las 4 cartas es decir comb(4,3). Y estando en la fila del par hay que escoger dos de las cuatro cartas lo que implica comb(4,2). • Finalmente tenemos: 744.36412134 2 4 3 12 1 13 1 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ CCCC Que son todas las combinaciones posibles un Full. A B C D 1 2 3 x x x 4 5 6 7 8 9 10 x x 11 12 13
  11. 11. Análisis de las probabilidades en elAnálisis de las probabilidades en el comienzo del juegocomienzo del juego • Maneras de sacar 4 del Mismo Tipo: • Hay 13 diferentes filas, debemos escoger una comb(13,1), luego debemos escoger 4 de las 4 cartas comb (4,4). De la las 12 filas restantes debemos escoger solo una comb(12,1), y estando en esa fila debemos escoger una de las 4 cartas comb(4,1). • Finalmente tenemos: 6244121134 1 12 1 4 4 13 1 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ CCCC Que son todas las combinaciones posibles un 4 Cartas del Mismo Tipo. A B C D 1 2 3 x x x x 4 5 6 7 x 8 9 10 11 12 13
  12. 12. Análisis de las probabilidades en elAnálisis de las probabilidades en el comienzo del juegocomienzo del juego • Maneras de sacar Escala de la misma Pinta: • Las escalas están pueden estar formadas por cartas del 1-5,2-6,3-7,...,9-13, hay nueve posibles combinaciones. Como son cuatro pintas el resultando anterior se multiplica por cuatro. • Finalmente tenemos: 36494 1 9 1 =⋅=⋅CC Que son todas las combinaciones posibles de Escalas de la Misma Pinta. A B C D 1 2 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 9 10 11 12 13
  13. 13. Análisis de las probabilidades en elAnálisis de las probabilidades en el comienzo del juegocomienzo del juego • Maneras de sacar Escala Real: • Por cada pinta hay solo una posibilidad, 10- AS en cada una. • Finalmente tenemos: 44 1 =C Que son todas posibles Escalas Reales. A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 11 x 12 x 13 x 1 x
  14. 14. Análisis de las probabilidades en elAnálisis de las probabilidades en el comienzo del juegocomienzo del juego • Maneras de sacar nada: • Una forma de obtenerla es restando a todas las combinación de manos posibles comb(52-5), la sumatoria de todos las posibles manos. Otra forma de verlo es haciendo las combinaciones tales que no se forme ni siquiera un par, o que todas las posibles cartas se encuentren en filas distintas, es decir comb(13,5). Además debemos considerar que se debe tomar una de las cuatro cartas en cada casilla por lo tanto se tiene comb(4,1)5 . A la multiplicación de los dos resultados anteriores debemos restar todos las posibles escaleras y todas las manos de la misma pinta • Finalmente tenemos: Que son todas las combinaciones posibles de sacar una mano sin puntaje. 540.302.1)108.5240.10()( 54 1 13 5 =+−⋅ CC A B C D 1 2 x 3 x 4 x 5 6 7 8 9 x 10 11 12 13 x
  15. 15. Análisis de las probabilidades en elAnálisis de las probabilidades en el comienzo del juegocomienzo del juego • Finalmente tenemos todas las maneras posibles de sacar alguna jugada que nos entregue puntaje, y con ello las probabilidades de cada mano: Mano CombinacionesProbabilidad Escala Real 4 0,00000154 Escal de la misma Pinta 36 0,00001385 Cuatro del Mismo Tipo 624 0,00024010 Full 3744 0,00144058 5 Cartas de la Misma Pinta 5108 0,00196540 Escala Simple 10200 0,00392465 Tres del Mismo tipo 54912 0,02112845 Dos Pares 123552 0,04753902 Un Par 1098240 0,42256903 no obtener puntaje 1302540 0,50117739
  16. 16. Probabilidades en el Póker, algunosProbabilidades en el Póker, algunos ejemplosejemplos Definiciones • 1P=1 par • 2P=2 pares • TI=tres cartas iguales • FH=Full • CI=cuatro cartas iguales • Los casos analizados no corresponden a un juego real sólo ejemplifican los resultados, es decir, se toma en cuenta que hay 47 cartas desconocidas de las que puedo disponer (estoy jugando solo). • Las probabilidades se analizarán como casos favorables divididos por casos totales
  17. 17. Probabilidades en el Póker, algunosProbabilidades en el Póker, algunos ejemplosejemplos • Algunos ejemplos: 1¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro cartas iguales o full house si se tienen un trío, y cambio 1 o 2 cartas? • Primero veremos las probabilidades si cambio una carta: • Al cambiar una carta me quedan tres posibles cartas para lograr el Full, p.ej.- tengo 5-5-5-4-3 y me deshago del 3, entonces sólo quedan tres 4 que pueda sacar cambie1]yP[CI/TIcambie1]yP[FH/TI1carta]cambieyCI/TIoP[FH += 47/3 1 47 1 3 cambie1]yP[FH/TI =            =
  18. 18. 0.08514/471]cambiey)/TIP[(FH)o(CI ≅= Probabilidades en el Póker, algunosProbabilidades en el Póker, algunos ejemplosejemplos Al cambiar una carta sólo me queda una posible carta para lograr cuatro cartas iguales, p.ej.- tengo 5-5-5-4-3 y me deshago del 3, sólo queda un 5 que pueda sacar 1/47cambie1]yP[CI/TI =
  19. 19. Probabilidades en el Póker, algunosProbabilidades en el Póker, algunos ejemplosejemplos • Si cambio 2 cartas: • Al cambiar 2 cartas la cantidad de posibles cartas a sacar esta dada por comb(47;2)=1081 • 2*comb(3;2):quedan tres cartas iguales de cada una de las que cambie • 10*comb(4;2):quedan cuatro cartas iguales de cada una los “números” que no me salieron en la primera mano cambie2]yP[CI/TIcambie2]yP[FH/TI2cartas]cambieyCI)/TIo(P[(FH) += 1081/66 2 47 1 3 *10 1 3 *2cambie2]yP[FH/TI =                    +      =
  20. 20. Probabilidades en el Póker, algunosProbabilidades en el Póker, algunos ejemplosejemplos • me queda sólo una carta posible para lograr cuatro cartas iguales la que es posible combinar con las 46 restantes • Como se puede ver es preferible cambiar 2 cartas a cambiar 1 1081/46 2 47 46cambie2]yP[CI/TI =      = 0.1036/10811122]cambiey)/TIP[(FH)o(CI ≅=
  21. 21. Probabilidades en el Póker, algunosProbabilidades en el Póker, algunos ejemplosejemplos 2.-¿Cuál es la probabilidad de obtener un FH, CI, TI o 2P si tengo un par(1P) y cambio 2 o 3 cartas? • Primero cambiando 2 cartas: • (47-3-2)*comb(3;1): saco una de las tres cartas del mismo “número” de la que deje en mi mano, y esta combinación la multiplico por las 47 cartas restantes menos las tres cartas anteriores y menos las dos cartas iguales al par. • 9*comb(4;2):la cantidad de pares que puedo hacer con los “números” que no tuve en la primera mano • 2*comb(3;2):la cantidad de pares que puedo hacer con las cartas del mismo “número” de las cartas que cambie cambie2]yP[2P/1Pcambie2]yP[TI/1P cambie2]yP[CI/1Pcambie2]yP[FH/1P2cartas]cambiey)/1P)o(TI)o(2PP[(FH)o(CI + ++= 1081/186 2 47 2 3 *2 2 4 *9 1 3 *)2347(cambie2]yP[2P/1P =                    +      +      −−=
  22. 22. Probabilidades en el Póker, algunosProbabilidades en el Póker, algunos ejemplosejemplos • (47-3-2)*comb(2;1):debo sacar una de las dos cartas iguales al “número” del par y esto por las 47 cartas restantes menos las tres cartas iguales a la que deje en mi mano y menos las 2 cartas iguales al par • comb(3;2):dado que me quedan tres cartas iguales a la que deje en mi mano • comb(2;1)*comb(3;1):dado que me quedan dos cartas iguales al par y tres cartas iguales a la carta que deje en mi mano 1081/84 2 47 1 2 *)2347(cambie2]yP[TI/1P =            −−= 1081/9 2 47 1 3 * 1 2 2 3 cambie2]yP[FH/1P =                          +      =
  23. 23. Probabilidades en el Póker, algunosProbabilidades en el Póker, algunos ejemplosejemplos • comb(2;2):sólo quedan dos cartas iguales al par 1081/1 2 47 2 2 cambie2]yP[CI/1P =            = 259.0 1081 280 2cartas]cambiey)/1P)o(TI)o(2PP[(FH)o(CI ≅=
  24. 24. Probabilidades en el Póker, algunosProbabilidades en el Póker, algunos ejemplosejemplos • Ahora cambiando 3 cartas: • Al cambiar cartas la cantidad de posibles cartas a sacar esta dada por comb(47;3)=16215 • comb(3;2)*3*(47-3-2):dado que me quedan tres grupos de tres cartas iguales los cuales pueden ser combinados con las 47 cartas en el mazo menos las tres cartas usada anteriormente y menos las dos cartas iguales al par • comb(4;2)*9*(47-4-2):dado que quedan en el mazo nueve grupos de cuatro cartas iguales que pueden ser combinados con las 47 cartas restantes menos las cuatro cartas anteriores y menos las dos cartas iguales al par cambie3]yP[2P/1Pcambie3]yP[TI/1P cambie3]yP[CI/1Pcambie3]yP[FH/1P3cartas]cambiey)/1P)o(TI)o(2PP[(FH)o(CI + ++= 16215/2592 3 47 2 4 *)2447(*9 2 3 *3*)2347(cambie3]yP[2P/1P =                    −−+      −−=
  25. 25. Probabilidades en el Póker, algunosProbabilidades en el Póker, algunos ejemplosejemplos • comb(2;1)*comb(45;2):dado que me quedan dos cartas iguales al par y 45 cartas más que puedo juntar de a dos • comb(2;1)*3*comb(3;2):dado que debo restar la posibilidad de lograr un Full con las cartas iguales a las que cambie y con las cartas iguales al par original • comb(2;1)*9*comb(4;2):dado que debo restar la posibilidad de lograr un Full con las cartas que no tenía originalmente en la mano y con las cartas iguales al par original 16215/1854 3 47 2 4 *9* 1 2 2 3 *3* 1 2 2 45 * 1 2 cambie3]yP[TI/1P =                          −            −            =
  26. 26. Probabilidades en el Póker, algunosProbabilidades en el Póker, algunos ejemplosejemplos • 3*comb(3;3):ya que me quedan tres grupos de tres cartas iguales a las cartas que cambie • 9*comb(4;3):ya que me quedan 9 grupos de cuatro cartas iguales que corresponden a las cartas de valor distinto a las que tenía originalmente en mi mano • comb(2;1)*3*comb(3;2):ya que me quedan dos cartas iguales al par y tres grupos de tres cartas iguales a las cartas que cambie • comb(2;1)*9*comb(4;2): ya que me quedan dos cartas iguales al par y cuatro cartas iguales que corresponden a las cartas de valor distinto a las que tenía originalmente en mi mano 16215/165 3 47 2 4 *9* 1 2 2 3 *3* 1 2 3 4 *9 3 3 *3cambie3]yP[FH/1P =                          +            +      +      =
  27. 27. Probabilidades en el Póker, algunosProbabilidades en el Póker, algunos ejemplosejemplos • comb(2;2)*(47-2): sólo quedan dos cartas iguales al par y las puedo combinar con cualquiera de las otras 45 cartas • Como se puede ver es preferible cambiar 3 cartas a cambiar 2 16215/45 2 47 )247(* 2 2 cambie2]yP[CI/1P =      −      = 294.0 16215 4776 3cartas]cambiey)/1P)o(TI)o(2PP[(FH)o(CI ≅=

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