Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Connect your Facebook account to check out what your friends are sharing on SlideShareConnect ×SlideShareUploadBrowseGo Pr...
‹›
1             /19RelatedMore                   20 effective ways to use digital comics in the classroom 345 views         ...
New Teacher Evaluation System. Admin Retreat 1-14-13. Shepard977 views             Carat: 10 trends for 2013 1503 views   ...
Big Data in Healthcare: Case Study on Brigham & Womens Hospital1138 views                 The Power of a Lawyers Online Pr...
How to set up a Global Strategy on Social Media? 1650 views                 Dr. Judy Garber on Cancer Genetics 968 views  ...
Conversion Content Marketing by Scott Brinker 1657 views                     M2 Research: CES Presentation - Game Trends i...
Cara cepat menyelesaikan graf DocumentTranscript1. 1 BAB I PENDAHULUAN1.1 Latar Belakang Masalah Dalam suatu model matemat...
macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek- objek agar lebihmudah dimengerti. Beberapa contoh gra...
jumlah derajatsemua titik dari G.Teorema 2.1.3.1 : Misalkan G adalah sebuah graf. Jumlahderajat total psuatu graf adalah g...
Connect on LinkedInFollow us on TwitterFind us on FacebookFind us on Google+Learn About UsAboutCareersOur BlogPressContact...
‹›
1    /19
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect

279 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Connect your facebook account to check out what your friends are sharing on slide share connect

  1. 1. Connect your Facebook account to check out what your friends are sharing on SlideShareConnect ×SlideShareUploadBrowseGo ProLoginSignupEmailFavoriteDownloadEmbed
  2. 2. ‹›
  3. 3. 1 /19RelatedMore 20 effective ways to use digital comics in the classroom 345 views Getting behind the Perfect Pitch - Harvard Innovation Lab Workshop3775 views 10 Trends on Mobile 384 views 20120124 Europe Asia Event Forum 554 views HR Outsourcing From A to Z 287 views 10 Amazing Mobile Figures 763 views How to Publish a Book 1391 views Promoting peace 2013 867 views
  4. 4. New Teacher Evaluation System. Admin Retreat 1-14-13. Shepard977 views Carat: 10 trends for 2013 1503 views Streamlining Nonprofit Organizations - Its all About the Cloud!3538 views 10 creativity tips from the worlds greatest scientists 1851 views Climate Change in the American West 879 views Tips on how to pitch 963 views All Hands Support - Talk to your Customers 2714 views When it all goes wrong (because it will) 1207 views Taking the hippie bus to the enterprise 503 views
  5. 5. Big Data in Healthcare: Case Study on Brigham & Womens Hospital1138 views The Power of a Lawyers Online Presence 1380 views No one uses smart TV because its sucks (Prisa Digital R&D connected TVand 2nd … 806 views Important Quotes from the 2013 Presidential Inauguration 900 views Enterprise Customer Experience - DRI 1553 views 12+1 Business Tactics to Steal - edition 2013 - by @boardofinno4045 views The story of snapchat. 1573 views why agile? 2967 views Social Justice and Equity through Information 1173 views
  6. 6. How to set up a Global Strategy on Social Media? 1650 views Dr. Judy Garber on Cancer Genetics 968 views Instagram in the philippines 2013 1000 views Pubcon Blog Planning Strategies 1228 views Social Media & International Justice 927 views Design (for developers) 1145 views The Shocking State of SEO in 2013 4586 views ROI of Blogger Press Trips and How to do it right! 1373 views The Starter League - How to become RubyOnRails hero fromprogramming zero 823 views
  7. 7. Conversion Content Marketing by Scott Brinker 1657 views M2 Research: CES Presentation - Game Trends in 2013 1097 views 10 Things for an Online Portfolio 1475 views How to become your design co-founder 23284 views How To Promote Your Business on LinkedIn 12145 views0inSharePin ItWordpress + FollowCara cepat menyelesaikan grafby Oka Ambalie on Dec 26, 2012144 viewsNo comments yet Subscribe to comments Post Comment1 Favorite Oka Ambalie, teacher at SMP Negeri 1 Mengwi 3 weeks ago
  8. 8. Cara cepat menyelesaikan graf DocumentTranscript1. 1 BAB I PENDAHULUAN1.1 Latar Belakang Masalah Dalam suatu model matematika,berbagai masalah atau situasi kehidupan sehari-hari biasanya didefinisikan kemudiandinyatakan dalam suatu sistem yang bersifat matematis. Salah satu contoh representasikeadaan nyata (riil) yag banyak diketahui dapat kita jumpai dalam geometri datar, programlinier maupun trigonometri. Graf merupakan contoh lain dari representasi keadaan nyata yangbanyak sekali manfaatnya. Graf secara kasar dapat diartikan sebagai suatu diagram yangmemuat informasi tertentu jika di interpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-harigraf diguakann untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalahsebagai visualisasi objek- objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh graf yangdijumpai dalam kehidupan nyata, antara lain struktur organisasi, bagan alir pengambilan matakuliah, peta, rangkaian listrik dll. Tiap diagram memuat sekumpulan objek (kotak,titik dll.)dan garis yang menghubungkan objek-objek tersebut. Garis bisa berarah atau tidak berarah.Garis berarah biasanya digunakan untuk menyatakan hubungan yang mementingkan urutandiantara objek-objek. Urutan objek-objek akan berarti lain jika arah garis diubah. Sebaliknya,garis2. 2 tidak berarah digunakan untuk menyatakan hubungan antara objek yang tidakmementingkan urutan. Karena begitu pentingnya aplikasi graf dalam kehidupan sehari-haridan pada perkembangan komputer maka pemahaman teori graf mutlak untuk dipahamidewasa ini supaya kita tidak hanya terjebak dalam penguasaan kulit tanpa pengertian akanisinya. Terkadang dalam menggambar graf sederhana biasanya kita akan mengalamikesulitan dalam menentukan urutan gambar yang belum digambar. Oleh karena itu, dalamseminar matematika ini penulis akan khusus mengkaji dasar teori graf hingga penyelesaiangraf sederhana menggunakan cara yang lebih efektif yang ditemukan penulis sendiri sehinggagambar graf akan tersusun secara sistematis dan jauh dari kesulitan dalam menentukangambar graf yang belum digambar pada banyak graf-graf sederhana yang terbentuk daribeberapa titik dan beberapa garis.1.2 Rumusan Masalah 1.2.1 Apakah yang dimaksud dengangraf ? 1.2.2 Apakah dasar-dasar teori graf ? 1.2.3 Bagaimana cara efektif untukmenyelesaikan graf sederhana dalam mata kuliah matematika diskrit ?3. 31.3 Tujuan Dari latar belakang dan rumusan masalah yang telah terurai, maka tujuan yangingin dicapai dalam seminar makalah ini adalah: 1.3.1 Anggota seminar dapat memahamipengertian graf. 1.3.2 Anggota seminar dapat memahami dasar-dasar teori graf. 1.3.3Anggota seminar dapat memahami dan menggunakan cara efektif untuk menyelesaikan grafsederhana dalam mata kuliah matematika diskrit.1.4 Manfaat 1.4.1 Manfaat Praktis Hasilseminar ini diharapkan dapat bermanfaat bagi mahasiswa, guru dan pemerhati pendidikankhususnya di bidang matematika. a. Bagi mahasiswa Hasil penelitian ini diharapkan dapatmeningkatkan kemampuan berpikir mahasiswa dan penentuan sikap ataupun karakter yangtepat dalam upaya meningkatkan prestasi belajar mahasiswa. b. Bagi guru dan pemerhatipendidikan Menambah masukan tentang alternatif dalam menyelesaikan graf sederhanasehingga dapat memberikan sumbangan nyata bagi peningkatan prestasi belajar matematikamahasiswa selanjutnya.4. 41.4.2 Manfaat Teoretis Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusidalam bidang pendidikan dan memperkaya teori pendidikan khususnya dalam bidangmatematika.5. 5 BAB II PEMBAHASAN2.1 Landasan Teori2.1.1 Pengertian Graf Graf secara kasardapat diartikan sebagai suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika di interpretasikansecara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari graf diguakann untuk menggambarkan berbagai
  9. 9. macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek- objek agar lebihmudah dimengerti. Beberapa contoh graf yang dijumpai dalam kehidupan nyata, antara lainstruktur organisasi, bagan alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik dll. Tiapdiagram memuat sekumpulan objek (kotak,titik dll.) dan garis yang menghubungkan objek-objek tersebut. Garis bisa berarah atau tidak berarah. Garis berarah biasanya digunakan untukmenyatakan hubungan yang mementingkan urutan diantara objek-objek. Urutan objek-objekakan berarti lain jika arah garis diubah. Sebaliknya, garis tidak berarah digunakan untukmenyatakan hubungan antara objek yang tidak mementingkan urutan.6. 62.1.2 Dasar-dasar teori Graf Definisi 2.1.2 Sebuah graf adalah suatu himpunan V yangtidak kosong, yang memenuhi sifat tidak refleksi dan simetris dari suatu relasi pada V. Suatugraf G terdiri dari dua himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik-titik yang tak kosongdan himpunan garis-garis. Oleh karena relasi R pada V simetris, maka untuk setiap pasanganterurut (u,v) ϵ R dinotasikan dengan E. Sebagai contoh, sebuah graf G dapat didefinisikandengan himpunan V = {v1 ,v2 ,v3,v4 } dan relasi R = {( v1,v3), (v2,v3), ( v2,v4), ( v3,v4), (v3,v1) ( v3,v2), ( v4,v2) ,( v4,v3) } Dalam hal ini E = {( v1,v3), (v2,v3), ( v2,v4), ( v3,v4) }= (e1, e2 ,e3 ,e4 ) Dalam sebuah graf G, V merupakan himpunan titik dan setiap elemen Vdisebut titik (vertex) yang disimbolkan dengan V(G). banyaknya titik dalam G disebut ordedari G. sedangkan E disebut sisi (Edge) yang7. 7disimbolkan dengan E(G). Banyaknya sisi dalam G disebut dengan ukurandari G.Dengandemikian |V| = orde dari G dan |E| = ukuran dari G.Setiap garis berhubungan dengan satuatau dua titik. Titik-titik tersebutdisebut dengan titik ujung.Garis yang hanya berhubungandengan satu titik disebut dengan loop.Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yangsama disebut degangaris pararel. Dua titik dikatakan berhubungan (adjecent) jika adagarisyang menghubungkan keduanya. Titik yang tidak mempunyai garis yangberhubungandengannya disebut titik terasing (isolating point).Jika graf G didefinisikan dalam bentuksebuah himpunan titik V dan suaturelasi R pada V, maka (u,v) ϵ R dan (v,u) juga elemenR.Dengan demikian {(u,v),(v,u)} adalah sebuah sisi dari G.Untuk memudahkan penulisan,sebuah sisi cukup dinyatakan dalam notasiuv atau vu saja. Dengan demikian graf G dalamcontoh diatas dapatdijadikan sebagai himpunan V= {v1 ,v2 ,v3,v4 } dan E = {( v1,v3),(v2,v3),( v2,v4), ( v3,v4) } sehingga orde dan ukurannya adalah 4. Himpunan V x Vdimungkinkan berupa himpunan kosong, karenarelasi R pada V memenuhi sifat tidakrefleksif dan antisimetris.8. 8 Hal ini berakibat bahwa himpunan sisi dari suatu graf bisa berupa himpuan kosong ataudengan kata lain sebuah graf mungkin tidak mempunyai sisi. Graf yang tidak memiliki titik(sehingga tidak memiliki garis) disebut dengan graf kosong. Dalam graf tak berarah(undirected graph) yaitu graf yang semua garisnya tidak berarah, garis e dengan titik ujung (u,v) menyatakan suatu garis dari titik u ke titik v. Dengan diketahuinya graf, maka himpunangaris, titik, serta titik-titik ujungnya adalah tunggal. Akan tetapi tidak berlaku sebaliknya.Dengan diketahui himpunan garis, titik serta titik-titik ujungnya, maka dapat dibentuk grafyang berbeda. Perbedaan graf tersebut terletak pada panjang garis, kelengkungan dan posisititik yang berbeda antara graf yang satu dengan yang lainnya. Akan tetapi, visualisasiperbedaan panjang garis, kelengkungan dan posisi titik tidak berpengaruh, maka graf-graftersebut merupakan graf yang sama meskipun secara visual tampak berbeda.2.1.3 Derajat(Degree)9. 9 Sebelumnya sudah diperkenalkan dua bilangan yang berkenaandengan orde dan ukuransebuah graf. Selanjutnya kita akan membicarakansejumlah bilangan yang berkaitan dengansuatu graf G. Misalkan v adalahsebuah titik dari G. banyaknya sisi dari G yang berujung di vdisebutdengan derajat dari v yang disimbolkan dengan deg Gv atau deg v ataud(v).Definisi2.1.3 : Misalkan v adalah titik dalam suatu graf G. Derajattitik v (deg v) adalah jumlah garisyag berhubunngan dengan titik v dangaris suatu loop dihitung dua kali. Derajat total G adalah
  10. 10. jumlah derajatsemua titik dari G.Teorema 2.1.3.1 : Misalkan G adalah sebuah graf. Jumlahderajat total psuatu graf adalah genap atau ∑ deg v i =1 i = 2qTeorema 2.1.3.2 : Jika k adalahbanyaknya titik ganjil dari suatu graf,maka k genap atau jumlah titik yang berderajat ganjildalam suatu grafadalah genap. Misalkan R adalah jumlah derajat semua titik yangberderajatgenap, S adalah jumlah derajat semua titik yang berderajat ganjil dan Tadalahderajat total graf G.10. 10 Jika R=deg v1 + deg v2 + ... + deg vk S= deg u1 + deg u2 + ... + deg un Maka T = R +S, dimana T adalah bilangan genap. Dari relasi T = R + S berarti S = T - R. Oleh karena Tdan R bilangan –bilangan genap, maka S = deg u1 + deg u2 + ... + deg uk merupakanbilangan genap. Padahal menurut asumsi deg u1 + deg u2 + ... + deg uk masing-masingadalah bilangan ganjil. Jadi S berupa bilangan genap jika merupakan jumlahan uk buahbilangan ganjil. Hal ini bisa terjadi apabila banyaknya uk atau k adalah genap.2.1.4 GrafSederhana ( Simple Graph ) Definisi 2.1.4 : graf sederhana adalah graf yang tidak memilikiloop atau pun garis pararel. Contoh 2.1.4.1 : Gambarlah semua graf yang dapat dibentuk dari3 titik {a,b,c} dan 2 garis. Penyelesaian :11. 11Dalam graf sederhana sebuah garis selalu berhubungan dengan dua buah 3!titik. Olehkarena ada 3 buah titik, maka 3 C 2 = = 3 buah garis (3 − 2)!2!yang mungkin dibuat, yaitugaris-garis yang titik ujungnya (a,b) , (a,c) dan(b,c). Selanjutnya dari tiga garis yang mungkinakan dipilih 2 diantaranya. 3!Jadi ada 3 C 2 = = 3 buah graf yang mungkin dibentuk. (3 −2)!2!Graf –graf tersebut dapat dilihat pada gambar 2.1 berikut ini. a a a b c b c b c Gambar2.1Jika tiap titik dari suatu graf G memiliki derajat yang sama misalnya n,maka graf G adalahgraf regular denngan derajat n (graf lengkap) atausering disebut dengan n-reguler. Sebuahgraf lengkap orde p adalah(p-1) – regular dan dinotasikan dengan Kp.12. 122.1.5 Cara Efektif Menyelesaikan Graf Sederhana Contoh 2.1.5 : Gambarlah graf yangdapat dibentuk dari 5 buah titik dan 3 buah garis. Penyelesaian : Langkah 1 ; Dalam grafsederhana sebuah garis selalu berhubungan dengan dua buah 5! titik. Oleh karena ada 5 buahtitik, maka 5 C 2 = = 10 buah garis (5 − 2)!2! yang mungkin dibuat. Selanjutnya dari tigagaris yang mungkin akan dipilih 2 diantaranya. 10! Jadi ada 10 C3 = =120 buah graf yangmungkin dibentuk. (10 − 3)!3! Langkah 2 ; Kita misalkan titik-titik yang ada dinamakan titik{a,b,c,d,e}. Sehingga didapat 10 garis yang titik ujungnya {ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce,de} Misalkan, {ab=1, ac=2, ad=3, ae=4, bc=5, bd=6, be=7, cd=8, ce=9, de=10} Sehinggadapat dibuat tabel atau diagram sebagai berikut :13. 1314. 14Sehingga gambar graf yang terbentuk dari tabel adalah sebagai berikut : a 1. Graf 123 :b e c d a 2. Graf 124 : b e c d a 3. Graf 125 : b e c dDan seterusnya hingga 120 gambargraf.Soal Latihan : 1. Buatlah semua graf yang terbentuk dari 4 buah titik dan 3 buah garis !15. 15 BAB III PENUTUP3.1. Kesimpulan Dengan penyelesaian graf menggunakan caraefektif seperti diatas, maka diharapkan pembaca akan lebih mudah dalam menggambar grafyang terbentuk. Terutama dalam pembuatan graf dalam jumlah besar seperti pada contoh2.1.5 dengan jumlah graf sebanyak 120 buah.3.2. Saran Diharapkan kepada pembaca agarmempelajari materi di berbagai sumber atau referensi mengingat cakupan materi yangdisajikan dalam makalah ini masih sangat terbatas. Diharapkan kepada pembaca agarmemperhatikan seminar sebaik mungkin, karena jika hanya berdasarkan makalah,pemahaman mengenai isi materi belum optimal.16. 16 DAFTAR PUSTAKAJong Jek Siang. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya padaIlmu Komputer .Yogyakarta:AndiEka Mahendra I Wayan.2010 .Diktat Mata KuliahMatematika Diskrit. Denpasar17. 1718. 1719. 17
  11. 11. Connect on LinkedInFollow us on TwitterFind us on FacebookFind us on Google+Learn About UsAboutCareersOur BlogPressContact usHelp & SupportUsing SlideShareSlideShare 101Terms of UsePrivacy PolicyCopyright & DMCACommunity GuidelinesSlideShare on mobilePro & moreGo PRO NewBusiness SolutionsAdvertise on SlideShareDevelopers & APIDevelopers SectionDevelopers GroupEngineering BlogBlog Widgets© 2013 SlideShare Inc. All rights reserved.RSS FeedENGLISH
  12. 12. ‹›
  13. 13. 1 /19

×