UNIDAD 3 LOGICA  MATEMATICA 3.1  LOGICA  PROPOSICIONAL
La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un teorema ...
Una proposición o enunciado es una oración, frase, o expresión matemática que puede ser falsa o verdadera, pero no ambas a...
3.1.2 PROPOSICIONES COMPUESTAS (DISYUNCION, CONJUNCION, NEGACION, CONDICIONAL, BICONDICIONAL) Existen conectores u operado...
<ul><li>En matemáticas, una disyunción lógica (comúnmente conocida como O, o ) es un operador lógico que resulta en verdad...
ASOCIATIVIDAD Y CONMUTATIVIDAD Para más de dos elementos de entrada o puede ser aplicada a los primeros dos, y el resultad...
DISYUNCION (Operador O) Conectiva Notación Ejemplo de uso Análogo  Natural Ejemplo de uso en el lenguaje natural Tabla de ...
OPERACIÓN CON BITS La disyunción es utilizada a menudo para operaciones con bits. Por ejemplo: Cero ó cero:  Cero ó uno: U...
EJEMPLOS <ul><li>Una persona puede entrar al cine si compra su boleto  o  le regalan un pase. </li></ul><ul><li>P: Una per...
CONJUNCION Una conjunción lógica (comúnmente simbolizada como  Y  o ∧) es, lo cual en matemáticas y lógica lo hace un oper...
Ejemplo: Una lámpara eléctrica se enciende si hay corriente eléctrica, el interruptor esta conectado, el fusible esta bien...
<ul><li>Operación con bits </li></ul><ul><li>La conjunción es utilizada a menudo para operaciones con bits. Por ejemplo: <...
NEGACION El operador lógico not tiene como función negar la proposición. Esto significa que si alguna proposición verdader...
PROPOSICION CONDICIONAL (->)  Una proposición condicional es aquella que esta formada por dos proposiciones simples o comp...
Ejemplo: Considérese un candidato a la presidencia de México dice:  “Si salgo electo presidente de la república, entonces ...
De esta forma el enunciado anterior se puede expresar como p->q y su tabla de verdad es la siguiente: En esta tabla hay qu...
<ul><li>1)  p  ≡ 1 significa que “el candidato salió electo”, mientras que  q  ≡ 1 significa que “el crecimiento anual del...
PROPOSICION BICONDICIONAL (↔)   Sean  p  y  q  dos proposiciones, entonces se puede indicar la proposición bicondicional d...
Ejemplo: Considérese el enunciado “Es buen estudiante, si y solo si, tiene promedio de diez.” Para representar esto con no...
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Lógica Matemática

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Lógica Matemática

  1. 1. UNIDAD 3 LOGICA MATEMATICA 3.1 LOGICA PROPOSICIONAL
  2. 2. La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un teorema es falso o verdadero, ademas de que es ampliamente aplicada a la filosofía, matemáticas, física y por supuesto a la computación. En matemáticas la lógica es una herramienta muy útil para demostrar teoremas e inferir resultados, así como para resolver problemas. En la computación la lógica se aplica en la elaboración y revisión de programas, en el estudio de lenguajes formales y la relación existente entre ellos. Con el apoyo de la lógica, en la inteligencia artificial se logra que una maquina tome decisiones precisas. 3.1.1 CONCEPTO DE PROPOSICION
  3. 3. Una proposición o enunciado es una oración, frase, o expresión matemática que puede ser falsa o verdadera, pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. A continuación se presentan algunos ejemplos de proposiciones validas y no validas: Las proposiciones s , q y p tienen un valor de falso o verdadero, por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a x y en determinado momento.
  4. 4. 3.1.2 PROPOSICIONES COMPUESTAS (DISYUNCION, CONJUNCION, NEGACION, CONDICIONAL, BICONDICIONAL) Existen conectores u operadores lógicos que permiten proposiciones compuestas. Se dice que una proposición es compuesta cuando esta integrada por dos o mas proposiciones simples conectadas por medio de operadores lógicos.
  5. 5. <ul><li>En matemáticas, una disyunción lógica (comúnmente conocida como O, o ) es un operador lógico que resulta en verdadero si cualquiera de los operadores es verdadero. </li></ul><ul><li>Nótese que en el lenguaje cotidiano el uso de la palabra &quot;o&quot; significa a veces &quot;alguno, pero sólo uno&quot;, por ejemplo: &quot;¿Vas a ir mañana a México o a España?&quot;. En lógica, a esto se le llama &quot;disyunción exclusiva&quot; u &quot;o exclusivo&quot;. Cuando se utiliza formalmente, &quot;o&quot;, permite que uno o más de los elementos de la disyunción sean válidos, por lo cuál &quot;o&quot; es también llamado &quot;disyunción inclusiva&quot; </li></ul>DISYUNCION
  6. 6. ASOCIATIVIDAD Y CONMUTATIVIDAD Para más de dos elementos de entrada o puede ser aplicada a los primeros dos, y el resultado obtenido operado con o al siguiente elemento y así sucesivamente: (A o (B o C)) ⇔ ((A o B) o C) Debido a que o es asociativo, el orden de las entradas no importa: el mismo resultado se obtiene sin importar la asociación que se haga. El operador xor es también conmutativo y por consiguiente el orden de los operandos no importa: A or B ⇔ B or A
  7. 7. DISYUNCION (Operador O) Conectiva Notación Ejemplo de uso Análogo Natural Ejemplo de uso en el lenguaje natural Tabla de verdad Disyunción V P V q ó Está lloviendo o es de noche.
  8. 8. OPERACIÓN CON BITS La disyunción es utilizada a menudo para operaciones con bits. Por ejemplo: Cero ó cero: Cero ó uno: Uno ó cero: Uno ó uno:
  9. 9. EJEMPLOS <ul><li>Una persona puede entrar al cine si compra su boleto o le regalan un pase. </li></ul><ul><li>P: Una persona puede entrar al cine </li></ul><ul><li>Q: si compra su boleto </li></ul><ul><li>R: le regalan un pase </li></ul><ul><li>P=(Q v R) </li></ul>P:Estas dentro de la casa. Q:Estas fuera de la casa. P v Q: Estas dentro o fuera de la casa. P Q PvQ V V F V F V F V V F F F P Q PvQ V V V V F V F V V F F F
  10. 10. CONJUNCION Una conjunción lógica (comúnmente simbolizada como Y o ∧) es, lo cual en matemáticas y lógica lo hace un operador lógico(and) Definición En lógica y matemática una conjunción Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero Símbolo El símbolo para la conjunción lógica varia en la literatura. Además de utilizar &quot;Y&quot;, el símbolo en forma de es comúnmente utilizado para la conjunción. Por ejemplo: A ∧ B se lee como &quot;A y B&quot;. Esta Conjunción es cierta si ambas A y B son ciertas a la vez. En todos los demás casos es falsa.La noción equivalente en teoría de conjuntos es la intersección de conjuntos. Y el símbolo representativo es &quot; y &quot; y ∧
  11. 11. Ejemplo: Una lámpara eléctrica se enciende si hay corriente eléctrica, el interruptor esta conectado, el fusible esta bien y la lámpara no esta fundida, en cualquier otro caso la lámpara no se encenderá. Para dos entradas A y B, la tabla de verdad de la función conjunción es:
  12. 12. <ul><li>Operación con bits </li></ul><ul><li>La conjunción es utilizada a menudo para operaciones con bits. Por ejemplo: </li></ul><ul><li>Cero y cero: </li></ul><ul><li>Cero y uno: </li></ul><ul><li>Uno y cero: </li></ul><ul><li>Uno y uno: </li></ul><ul><li>Para cuatro bit: </li></ul>
  13. 13. NEGACION El operador lógico not tiene como función negar la proposición. Esto significa que si alguna proposición verdadera se le aplica el operador not, se obtendrá su complemento o negación. Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {',¬,-,~}. La tabla de la verdad relacionada con el operador not es la siguiente: La negación o complemento de una función, es el valor contrario. Si p = 1, su complemento binario es p' = 0. Ejemplo: Sea p : &quot;El automóvil es azul&quot;; entonces su complemento es p' : &quot;El automóvil no es azul&quot;. Una doble negación de una proposición es equivalente a afirmar la proposición, esto es, p = p&quot; . Si una proposición tiene un número impar de negaciones es como si solo tuviera una, por ejemplo p&quot;'=p'. Por otro lado, un número par de negaciones equivale a una proposición verdadera: p&quot;&quot;=p. p p' 1 0 0 1
  14. 14. PROPOSICION CONDICIONAL (->) Una proposición condicional es aquella que esta formada por dos proposiciones simples o compuestas p y q , y que se indica de la siguiente manera: p -> q Esto se lee “si p entonces q”.
  15. 15. Ejemplo: Considérese un candidato a la presidencia de México dice: “Si salgo electo presidente de la república, entonces el crecimiento anual del país será del 7%.” Una declaración como esta se conoce como condicional, y para analizarla sean las proposiciones: p: Salió electo Presidente de la República. q: El crecimiento anual fue del 7%.
  16. 16. De esta forma el enunciado anterior se puede expresar como p->q y su tabla de verdad es la siguiente: En esta tabla hay que observar que el único caso en el que ( p->q ) es 0 es cuando p ≡ 1 y q ≡ 0. La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente: p q p -> q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
  17. 17. <ul><li>1) p ≡ 1 significa que “el candidato salió electo”, mientras que q ≡ 1 significa que “el crecimiento anual del país fue de 7%”, por lo tanto ( p -> q ) ≡ 1 indica que el candidato dijo la verdad en su campaña. </li></ul><ul><li>2) p ≡ 1 y q ≡ 0 significa que el candidato mintió, ya que fue electo y el crecimiento anual no fue del 7% como lo prometio, por lo tanto la afirmación del candidato es falsa: ( 1->0) ≡ o. </li></ul><ul><li>p ≡ 0 y q ≡ 1 significa que aunque no salió electo hubo un crecimiento del 7% anual en el país, crecimiento que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto tampoco mintió, de tal forma que ( 0->1) ≡ 1. </li></ul><ul><li>p ≡ 0 y q ≡ 0 significa que el candidato no salió electo y que el crecimiento anual del país fue de 7%, por lo tanto el candidato no mintió respecto a la afirmación que hizo en su campaña, por lo que ( 0->0) ≡ 1. </li></ul>p q p -> q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
  18. 18. PROPOSICION BICONDICIONAL (↔) Sean p y q dos proposiciones, entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente forma: p ↔ q Esto se lee como “ p si solo si q ” en donde la preposición que representa el enunciado ( p ↔ q ) es verdadera si p es verdadera si y solo si q también lo es. O bien la proposición es verdadera si p es falsa y solo si q también lo es.
  19. 19. Ejemplo: Considérese el enunciado “Es buen estudiante, si y solo si, tiene promedio de diez.” Para representar esto con notación lógica en forma de proposición bicondicional se definen las proposiciones p: Es buen estudiante q: Tiene promedio de diez La tabla de verdad correspondiente es la siguiente: Como se ve en la tabla, la posición bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son verdaderas o bien si ambas son falsas. p q p↔q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

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