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Arithmetique

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Arithmetique

  1. 1. Arithmétique dans un anneau commutatif intègre Essaidi Ali Dimanche 09 septembre 2012 1 Arithmétique dans un anneau commutatif intègre : A un anneau commutatif. 1.1 Idéal d’un anneau commutatif : Définition 1.1.1 Soit I ⊂ A. On dit que I est un idéal de A si : – I est un sous-groupe de (A, +). – ∀a ∈ A, ∀i ∈ I, ia = ai ∈ I. Remarques : – Si I est un idéal de A alors 0 ∈ I. En particulier, un idéal n’est jamais vide. – {0} et A sont des idéaux de A. On les appelle les idéaux triviaux de A. – {0} s’appelle l’idéal nul de A. On le note aussi 0. – Tout idéal de A autre que {0} et A s’appelle idéal propre de A. – Soit I un idéal de A : – Si 1 ∈ I alors I = A. – Si I contient un élément inversible alors I = A. – Si A est un corps alors ses seules idéaux sont les idéaux triviaux {0} et A. – Un idéal I de A n’est jamais un sous-anneau de A sauf dans le cas I = A. Caractérisation 1.1.1 Soit I ⊂ A. I est un idéal de A ssi    A = ∅ ∀x, y ∈ I, x − y ∈ I ∀a ∈ A, ∀i ∈ I, ai ∈ I Proposition 1.1.1 Soit a ∈ A. L’ensemble aA = {ax/x ∈ A} des multiples de a est un idéal de A, on l’appelle l’idéal de A engendré par a et on le note (a). Exemples : – n ∈ Z. nZ est un idéal de Z. C’est l’idéal engendré par n. – P ∈ K[X]. PK[X] est un idéal de K[X]. C’est l’idéal engendré par P. Remarques : – (1) = A et (0) = {0}. – Soit a ∈ A. a est inversible ssi (a) = A. On déduit que A est un corps ssi ses seuls idéaux sont les idéaux triviaux. – Soient a ∈ A et I un idéal de A. Si a ∈ I alors (a) ⊂ I. Autrment dit, (a) est le plus petit idéal de A au sens de l’inclusion qui contient a. Rappels : – Soit a ∈ A. On dit que a est un diviseur de zéro si a est non nul et il existe b ∈ A non nul tel que ab = 0. – L’anneau A est intègre s’il est non nul et sans diviseurs de zéro. Définition 1.1.2 Un idéal de A est dit principal s’il est de la forme aA avec a ∈ A. A est dit principal si A est intègre et les idéaux de A sont principaux. Proposition 1.1.2 Soient A, B deux anneaux et f : A → B un morphisme d’anneaux. – L’image réciproque d’un idéal de B par f est un idéal de A. En particulier, ker f est un idéal de A. – Si f est surjectif, alors l’image directe d’un idéal de A et un idéal de B. 1
  2. 2. CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali Remarques : Cette proposition est pratique. Pour montrer que I est un idéal de A, on montre que c’est le noyau d’un morphisme d’anneaux. L’image directe d’un idéal par un morphisme d’anneaux n’est pas forcément un idéal. En effet,l’application f : Z → R définie par f(n) = n est un morphisme d’anneaux, Z est un idéal de Z alors f(Z) = Z n’est pas un idéal de R. Les morphismes de corps sont toujours injectifs. En effet, si f : K → L est un morphisme de corps alors ker f est un idéal de K. Puisque K est un corps donc ker f = {0} ou ker f = K d’où f est injectif ou nul. D’autre part, f(1) = 1 et dans un corps 1 = 0 donc f ne peut pas être nul et par suite f est injectif. Exemple : Soient X un ensemble non vide et a ∈ X. L’ensemble {f ∈ F(X, A)/f(a) = 0} est un idéal de F(X, A). En effet, l’application u : F(X, A) → A f → f(a) est un morphisme d’anneaux et I = ker u. Proposition 1.1.3 Soient I et J deux idéaux de A, alors I ∩ J et I + J sont des idéaux de A. Remarques : Soient I et J deux idéaux de A : I ∪ J est un idéal de A ssi I ⊂ J ou J ⊂ I. I + J est le plus petit idéal contenant I et J. Autrement dit, si K est un idéal de A tel que I ⊂ K et J ⊂ K alors I + J ⊂ K. 1.2 Division dans un anneau intègre : Définition 1.2.1 Soient x, y ∈ A. On dit que x divise y s’il existe z ∈ A tel que y = zx. Dans ce cas on note x|y. Remarques : Soient a ∈ A inversible. On a ∀b ∈ A, b = a(a−1 b) donc a | b. Par conséquence, les inversibles de A divisent tous les éléments de A. L’ensemble des inversibles de A est un groupe pour la multiplication dans A. On l’appelle le groupe des inversibles ou des unités de A et on le note U(A) ou A× . Propriété 1.2.1 Soient x, y, z ∈ A. Alors : – x|y et y|z ⇒ x|z. – Caractérisation de la division par les idéaux : x|y ⇔ yA ⊂ xA. Dans la suite, on suppose que A est intègre. Propriété 1.2.2 – ∀a, b ∈ A, ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0. – Tout élement non nul de A est régulier. – ∀a, b ∈ A, a|b et b|a ⇒ ∃u ∈ A inversible tel que b = ua. Définition 1.2.2 Soient a, b ∈ A. On dit que a et b sont associés si ∃u ∈ A inversible tel que b = ua. Remarques : – "être associés" est une relation d’équivalence sur A. – La classe d’équivalence de 0 est {0}. – Soit a ∈ A inversible. La classe d’équivalence de a est le groupe des inversibles de A. – Caractérisation des éléments associés par les idéaux : a, b ∈ A sont associés ssi a|b et b|a ssi (a) = (b). Exemples : – m, n ∈ Z sont associés ssi |m| = |n|. – P, Q ∈ K[X] sont associés ssi ∃λ ∈ K∗ , P = λQ. – Dans un corps, tous les éléments non nuls sont associés. 2 Arithmétique des entiers : 2.1 Idéaux de Z : Rappel : Les sous-groupes de Z sont les nZ avec n ∈ N. Proposition 2.1.1 Soit I un idéal de Z. Il existe un et un seul entier naturel n tel que I = nZ. Les idéaux de Z sont principaux et Z est principal. Corollaire 2.1.2 Soient a, b ∈ Z. – ∃!d ∈ N, aZ + bZ = dZ. d s’appelle le PGCD de a et b et on le note a ∧ b. – ∃!m ∈ N, aZ ∩ bZ = mZ. m s’appelle le PPCM de a et b et on le note a ∨ b. www.mathlaayoune.webs.com 2/6 mathlaayoune@gmail.com
  3. 3. CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali Caractérisation 2.1.1 Soient a, b ∈ Z, d, m ∈ N. Alors : – d = a ∧ b ⇔ d|a et d|b ∀n ∈ Z, (n|a et n|b) ⇒ n|d . – m = a ∨ b ⇔ a|m et b|m ∀n ∈ Z, (a|n et b|n) ⇒ m|n . Théorème 2.1.1 (Théorème de Bézout) Soient a, b ∈ Z. a ∧ b = 1 ⇔ ∃u, v ∈ Z, au + bv = 1. Théorème 2.1.2 (Théorème de Gauss) Soient a, b, c ∈ Z, a|bc a ∧ b = 1 ⇒ a|c. 2.2 L’anneau Z/nZ : Soit n ∈ N∗ . Définition 2.2.1 Soient p, q ∈ Z. On dit que p et q sont congrus modulo n si n|p − q et on note p ≡ q[n]. Remarques : La congruence modulo n est une relation d’équivalence sur Z. L’ensemble quotient est noté Z/nZ. ∀m ∈ Z, m ≡ r[n] où r est le reste de la division euclidienne de m par n. Z/nZ contient exactement n éléments ¯0, . . . , n − 1. Propriété 2.2.1 Soient a, b, c, d ∈ Z. Alors : a ≡ b c ≡ d ⇒ a + c ≡ b + d ac ≡ bd Corollaire 2.2.1 Les opérations ∀a, b ∈ Z, ¯a + ¯b = a + b, ¯a¯b = ab sont bien définies sur Z/nZ. Z/nZ muni de ces opérations est un anneau commutatif. Proposition 2.2.2 – ¯m ∈ Z/nZ est inversible ssi m ∧ n = 1. – Z/nZ est un corps ⇔ Z/nZ est intègre ⇔ n premier. – L’application π : Z → Z/nZ m → ¯m est un morphisme d’anneaux surjectif. On l’appelle la surjection canonique de Z vers Z/nZ. Remarque : (Z/nZ) × = { ¯m ∈ Z/nZ/m ∧ n = 1}. Proposition 2.2.3 (Théorème des restes chinois) Soient m, n ∈ N∗ . Z/mZ × Z/nZ et Z/mnZ sont isomorphes ssi m ∧ n = 1. Dans ce cas, l’application π : Z/mnZ → Z/mZ × Z/nZ ¯a → (¯a, ¯a) est un isomorphisme d’anneaux ssi m ∧ n = 1. Résolution du système ( ) n ≡ p[a] n ≡ q[b] avec a ∧ b = 1. On a π est un isomorphisme donc ∃n0 ∈ Z, π(n0) = (n0, n0) = (¯p, ¯q) donc n0 ≡ p[a] n0 ≡ q[b] . On déduit que le système ( ) admet n0 comme solution particulière. Si n ∈ Z est une solution de ( ) alors π(¯n) = π(n0) donc ¯n = n0 d’où ∃k ∈ Z, n = n0 + kab. Réciproquement, tout entier de la forme n = n0 + kab avec k ∈ Z est solution de ( ). Tout revient à trouver une solution particulière de ( ). On a a ∧ b = 1 donc ∃u, v ∈ Z, au + bv = 1. Donc bv ≡ 1[a] au ≡ 1[b] . On déduit que qau + pbv ≡ p[a] qau + pbv ≡ q[b] . Une solution particulière est n0 = qau + pbv. Les solutions du système ( ) sont les entiers n = qau + qbv + kab avec k ∈ Z. www.mathlaayoune.webs.com 3/6 mathlaayoune@gmail.com
  4. 4. CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali 2.3 Indicatrice d’Euler : Définition 2.3.1 Soit n ∈ N∗ . On appelle indicatrice d’Euler de n l’entier card{k ∈ 1, n /n ∧ k = 1}. On la note ϕ(n). L’application ϕ : N∗ → N n → ϕ(n) s’appelle l’indicatrice d’Euler. Exemples et remarques : – ∀n ∈ N∗ , 1 ∧ n = 1 donc ϕ(n) ≥ 1. – ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4, ϕ(6) = 2, ϕ(7) = 6, ϕ(8) = 4. En particulier, ϕ n’est ni croissante, ni injective. – ∀n ≥ 2, ϕ(n) ≤ n − 1 avec égalité ssi n est premier. – ϕ(n) = n ⇔ n = 1. – ϕ(n) est le nombre des éléments inversible de l’anneau (Z/nZ, +, ×). C’est encore le cardinal du groupe (Z/nZ)× des unités de l’anneau (Z/nZ, +, ×). Proposition 2.3.1 Soient m, n ∈ N∗ tels que m ∧ n = 1, alors ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). On dit que l’application ϕ est multipli- cative. Proposition 2.3.2 Soit n ≥ 2. Si n = pα1 1 · · · pαk k la décomposition de n en facteurs premiers alors : ϕ(n) = (pα1 1 − pα1−1 1 ) · · · (pαk k − pαk−1 k ) = n(1 − 1 p1 ) · · · (1 − 1 pk ) Exemples et remarques : – Si n = 2a 3b alors ϕ(n) = n 3 . – Si p et q sont premiers alors ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1) et ϕ(pm ) = pm − pm−1 . – ∀n > 2, ϕ(n) est paire. En particulier ϕ n’est pas surjective. – ∀m, n ∈ N∗ , ϕ(nm ) = nm−1 ϕ(n). Proposition 2.3.3 ∀n ∈ N∗ , n = d|n ϕ(d). 3 Arithmétique des polynômes : K = R ou C. 3.1 Idéaux de K[X] : Remarques : Soient P, Q ∈ K[X]. (P) = (Q) ssi il existe λ ∈ K∗ tel que P = λQ. Si P et Q sont unitaires alors (P) = (Q) ssi P = Q. Proposition 3.1.1 Soit I un idéal de K[X] alors il existe un unique polynôme unitaire ou nul P ∈ K[X] telque I = (P). Les idéaux de K[X] sont principaux et K[X] est alors principal. Remarques : Soit I un idéal non nul de K[X]. Il existe un infinité de polynômes P ∈ K[X] tels que I = (P). Ces polynômes sont associés. En particulier, ils ont le même degré. Si I = (P), le degré de P est le plus petit parmi les degrés des éléments non nuls de I. On dit que P est de degré minimal. Corollaire 3.1.2 Soient P, Q ∈ K[X]. – ∃!D ∈ K[X] unitaire ou nul tel que PK[X] + QK[X] = DK[X]. D s’appelle le PGCD de P et Q et on le note P ∧ Q. – ∃!M ∈ K[X] unitaire ou nul tel que PK[X] ∩ QK[X] = MK[X]. M s’appelle le PPCM de P et Q et on le note P ∨ Q. Caractérisation 3.1.1 Soient P, Q, D, M ∈ K[X] avec D, M unitaires ou nuls. Alors : – D = P ∧ Q ⇔ D|P et D|Q ∀R ∈ K[X], (R|P et R|Q ⇒ R|D) . – M = P ∨ Q ⇔ P|M et Q|M ∀R ∈ K[X], (P|R et Q|R ⇒ M|R) . Théorème 3.1.1 (Théorème de Bézout) P, Q ∈ K[X], P ∧ Q = 1 ⇔ ∃U, V ∈ K[X], PU + QV = 1. Théorème 3.1.2 (Théorème de Gauss) P, Q, R ∈ K[X], P|QR P ∧ Q = 1 ⇒ P|R. www.mathlaayoune.webs.com 4/6 mathlaayoune@gmail.com
  5. 5. CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali 3.2 Polynôme minimal : Définition 3.2.1 Soient A, B deux K-algèbre et f : A → B. On dit que f est un morphisme d’algèbres si : – f(1) = 1. – ∀a, b ∈ A, f(a + b) = f(a) + f(b). – ∀a, b ∈ A, f(ab) = f(a)f(b). – ∀a ∈ A, ∀α ∈ K, f(αa) = αf(a). Notation : Soit A une K-algèbre, x ∈ A et P = n k=0 akXk ∈ K[X]. On note P(x) = n k=0 akxk où x0 = 1A et ∀k ∈ N, xk+1 = xxk . Exemples : – K est une K-algèbre. Soit x ∈ K : – Si P = n k=0 akXk alors P(x) = n k=0 akxi où x0 = 1 et ∀i ∈ N, xk+1 = xk ◦ x. – Si P = 7X3 + 4X2 − 5X + 3 alors P(x) = 7x3 + 4x2 − 5x + 3. – E un K-espace vectoriel alors L(E) est une K-algèbre. Soit u ∈ L(E) : – Si P = n k=0 akXk alors P(u) = n k=0 akuk où u0 = idE et ∀k ∈ N, uk+1 = uk ◦ u. – Si P = 2X3 − 5X2 + X − 6 alors P(u) = 2u3 − 5u2 + u − 6idE. – m ∈ N∗ alors Mm(K) est une K-algèbre. Soit M ∈ Mm(K) : – Si P = n k=0 akXk alors P(M) = n k=0 akMk où M0 = Im et ∀k ∈ N, Mk+1 = Mk ◦ M. – Si P = X4 + 2X3 − X2 − X + 1 alors P(M) = M4 + 2M3 − M2 − M + Im. Proposition 3.2.1 Soit A une K-algèbre et a ∈ A. L’application f : K[X] → A P → P(a) est un morphisme d’algèbres. On l’appelle le morphisme d’évaluation sur A en a. Remarque : Soient P, Q ∈ K[X], A une K-algèbre et a ∈ A. Alors : – (P + Q)(a) = P(a) + Q(a). – (PQ)(a) = P(a)Q(a). – 1K[X](a) = 1A. Exemples : – Soit a ∈ K. L’application f : K[X] → K P → P(a) est le morphisme d’évaluation en a. – Soient E un K-espace vectoriel et u ∈ L(E). L’application f : K[X] → L(E) P → P(u) est le morphisme d’évaluation en u. – Soient m ∈ N∗ et M ∈ Mm(K). L’application f : K[X] → Mm(K) P → P(M) est le morphisme d’évaluation en M. Définition 3.2.2 Soient A une K-algèbre et a ∈ A. Un polynôme P ∈ K[X] est dit annulateur de a si P(a) = 0. Exemples : – Soient a ∈ K et P ∈ K[X]. P est annulateur de a ssi a est raçine de P. – E un K-espace vectoriel et u ∈ L(E) : – Si u est un projecteur alors u2 = u donc P = X2 − X est annulateur de u. – Si u est une symétrie alors u2 = idE donc P = X2 − 1 est annulateur de u. – Si 3u5 − u2 + 2u + idE = 0 alors P = 3X5 − X2 + 2X + 1 est annulateur de u. – Soient n ∈ N∗ et M ∈ Mn(K) : – Si la matrice M est nilpotente alors Mn = 0 donc P = Xn est annulateur de M. – Si 2M4 + M3 − 2M2 + M + In = 0 alors P = 2X4 + X3 − 2X2 + X + 1 est annulateur de u. Proposition 3.2.2 Soient A une K-algèbre et a ∈ A. L’ensemble I des polynômes annulateurs de a est un idéal de K[X], on l’appelle l’idéal des polynômes annulateurs de a. Si a admet un polynôme annulateur non nul alors il existe un unique polynôme unitaire noté πa tel que I = (πa). πa s’appelle le polynôme minimal de a. www.mathlaayoune.webs.com 5/6 mathlaayoune@gmail.com
  6. 6. CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali Remarques : Soient A une K-algèbre, a ∈ A et f le morphisme d’évaluation en a : L’idéal des polynômes annulateurs de a est ker f. On suppose que a admet un polynôme annulateur non nul. Alors : – Le polynôme minimal πa de a existe. – πa(a) = 0. – Pour tout polynôme annulateur P de a on a πa|P. – On suppose que l’algèbre A est non nulle. Les polynômes annulateurs non nuls de a sont non constants. En effet, si P = λ = 0 alors P(a) = λ1K[X](a) = λ1A = 0. En particulier, πa n’est pas constant. On suppose que l’algèbre A est non nulle. Le polynôme minimal de 0 est π0 = X, celui de 1 est π1 = X − 1. On appelle polynôme en a tout élément de A de la forme P(a) où P ∈ K[X]. L’ensemble des polynômes en a est Im f, c’est une sous-algèbre de A. On le note K[a]. Si ker f = {0} alors le seul polynôme annulateur de a est le polynôme nul. Dans ce cas K[X] est isomorphe à K[a]. Proposition 3.2.3 a admet un polynôme annulateur non nul ssi K[a] est de dimension finie. Dans ce cas, dim K[a] = deg πa. Corollaire 3.2.4 Si A est de dimension finie alors tout élément de A admet un polynôme minimal. Corollaire 3.2.5 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Tout endomorphisme de L(E) admet un polynôme minimal. Corollaire 3.2.6 Soit n ∈ N∗ . Toute matrice de Mn(K) admet un polynôme minimal. www.mathlaayoune.webs.com 6/6 mathlaayoune@gmail.com

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