Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Divina Proportio1

4,676 views

Published on

Fibonacci numbers are everywhere!

Published in: Business, Technology
  • Follow the link, new dating source: ❶❶❶ http://bit.ly/2Qu6Caa ❶❶❶
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Dating for everyone is here: ❶❶❶ http://bit.ly/2Qu6Caa ❶❶❶
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Do You know where in architecture of Cracow can I find DIVINA PROPORTI???
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

Divina Proportio1

  1. 1. „ Divina proportio” - Matematyka w poszukiwaniu piękna …
  2. 2. ? ? ? ? ? ? ? ? 1,618 ? ? ? ? ? ? ? ? <ul><li> </li></ul><ul><li>Co możemy powiedzieć o tej liczbie? </li></ul>
  3. 3. Leonardo Fibonacci i ciąg Fibonacci’ego <ul><li>1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … </li></ul><ul><li>- Liczby z ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego , </li></ul><ul><li>- Pierwszy i drugi wyraz to 1, - Każdy następny to suma dwóch poprzednich, </li></ul><ul><li>Postać rekurencyjna ciągu ( f n – n- ty wyraz ciągu): </li></ul>Leonardo z Pizy (Fibonacci) 1170-1240 Podróżnik i kupiec z Pizzy Autor „Liber abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy matematycznej (1202 r.), Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego, Autor słynnego zadania o królikach.
  4. 4. Ciąg Fibonacci’ego a złota liczba φ (fi)… Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby: 3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625 … 89:55=1,61818… 144:89=1,61797… Wzór ogólny ciągu ( φ -złota liczba) – wzór Bineta:
  5. 5. Własności złotej liczby… <ul><li>Aby podnieść do kwadratu złotą liczbę, wystarczy dodać do niej jedynkę. </li></ul><ul><li>Aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od niej jedynkę. </li></ul><ul><li>Potęgi złotej liczby są liniowo zależne od tej liczby. (Współczynniki przy φ, jak i wyrazy wolne, są kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego). </li></ul>
  6. 6. Wzory i zależności… - złota liczba jest dodatnim rozwiązaniem równania: - dokładna wartość: - przybliżona wartość: - kwadrat złotej liczby: - odwrotność złotej liczby: - dokładna wartość: - przybliżona wartość:
  7. 7. ZADANIE FIBONACCIEGO : ILE PAR KRÓLIKÓW MOŻE SPŁODZIĆ JEDNA PARA W CIĄGU ROKU, JEŚLI <ul><li>- każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, </li></ul><ul><li>- para staje się płodna po miesiącu, </li></ul><ul><li>- króliki nie zdychają? </li></ul>
  8. 8. W JAKI CIĄG UKŁADAJĄ SIĘ LICZBY PAR KRÓLIKÓW W KOLEJNYCH MIESIĄCACH?
  9. 9. LICZBA FI I ZŁOTY PODZIAŁ W PRZYRODZIE…
  10. 10. PSZCZOŁY… <ul><li>Badając związek między pszczołami płci żeńskiej a pszczołami płci męskiej w społeczności ula możemy stwierdzić że pszczół płci żeńskiej jest zawsze więcej niż pszczół płci męskiej. Jeśli podzielimy liczbę pszczół płci żeńskiej przez liczbę pszczół płci męskiej jakiegokolwiek ula na świecie zawsze dostaniemy ten sam wynik – fi. </li></ul>
  11. 11. SŁONECZNIK…. <ul><li>Pestki w tarczy słonecznika układają się wzdłuż spiral. Liczby nasion w tych spiralach to też liczby Fibonacciego. Co za tym idzie, stosunek średnic obrotu kolejnych spirali wynosi fi. </li></ul>
  12. 12. NAUTILUS… <ul><li>Stosunek jednej spirali muszli nautilusa do drugiej wynosi również fi. </li></ul>
  13. 13. SZYSZKI SOSNY… <ul><li>Nasiona w szyszkach układają się wzdłuż spiral. Liczby nasion w tych spiralach to też liczby Fibonacciego. Również i w tym przypadku stosunek jednej spirali do drugiej wynosi fi. </li></ul>
  14. 14. NIEWIARYGODNE CZYŻ, NIE? <ul><li>Ale co to ma wspólnego ze sztuką??? </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Jeden z matematyków odrodzenia - Łukasz Pacioli wydał traktat zatytułowany &quot;O boskiej proporcji&quot; z ilustracjami Leonarda da Vinci. Leonardo da Vinci obok działalności artystycznej i naukowej wiele pisał, czego najistotniejszym śladem jest &quot;Traktat o malarstwie&quot; zawierający m.in. uwagi dotyczące różnych rodzajów perspektywy, problematyki światła, koloru, konturu czy wreszcie złotej proporcji. </li></ul>R ysunek Leonarda da Vinci
  16. 16. STAROŻYTNOŚĆ… <ul><li>Grecy wysoko cenili harmonię i proporcje. </li></ul><ul><li>Złoty podział uważali za proporcję doskonałą. </li></ul><ul><li>Stosowali go w architekturze i sztuce. </li></ul>
  17. 17. RENESANS… <ul><li>-okres wielkiej fascynacji antykiem, </li></ul><ul><li>-złota proporcja nazywana jest boską proporcją ( divina proportio ), </li></ul><ul><li>-powstaje traktat matematyczny -„O boskiej proporcji” Luca Pacioli (1509r.), </li></ul><ul><li>ilustracje do traktatu wykonuje Leonarda da Vinci – mistrz proporcji i  perspektywy. </li></ul>
  18. 18. CIAŁO CZŁOWIEKA PODPORZĄDKOWANE BOSKIEJ PROPORCJI???
  19. 19. PARTENON NA AKROPOLU… <ul><li>Fronton świątyni mieści się w złotym prostokącie. </li></ul><ul><li>Plan świątyni jest złotym prostokątem. </li></ul>
  20. 20. PIRAMIDY… <ul><li>Złotą liczbę wykorzystano przy budowie Wielkiej Piramidy w Gizie. </li></ul>
  21. 21. SANTA MARIA NOVELLA… <ul><li>Później, złotą proporcję stosowano przy budowie katedr zwanych gotyckimi oraz renesansowych pałaców włoskich takich jak Palazzo Strozzi, Palazzo Rucelai, Santa Maria Novella, Kaplica Palazzo Vendrai. Santa Maria Novella </li></ul>
  22. 22. BRAMA BRANDENBURSKA… <ul><li>Złoty podział wykorzystano również przy budowie klasycystycznej Bramy Brandenburskiej. </li></ul>
  23. 23. ZŁOTY PODZIAŁ = ZŁOTE CIĘCIE… <ul><li>Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami. </li></ul><ul><li>Liczba nazywa się złotą liczbą (w przybliżeniu wynosi 1,618) i jest wynikiem tzw. złotego podziału, który brzmi następująco: &quot;Całość ma się tak do większej części, jak większa część do mniejszej&quot;. </li></ul><ul><li>Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych. </li></ul>
  24. 24. ZŁOTY PROSTOKĄT <ul><li>Złotym prostokątem nazywamy prostokąt, w którym stosunek długości boków wynosi  . </li></ul><ul><li>Prostokąt otrzymany po odcięciu możliwie największego kwadratu jest złotym prostokątem . </li></ul>a b a b -a
  25. 25. ZŁOTY PODZIAŁ ODCINKA… <ul><li>Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek </li></ul><ul><li>całego odcinka do dłuższej części. Liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ ( fi )). </li></ul>a b a + b a + b a a b
  26. 26. ZŁOTE CIĘCIE MOŻNA SPOTKAĆ W ŚWIECIE ZWIERZĘCYM I ROŚLINNYM, MA RÓWNIEŻ SZEROKIE ZASTOSOWANIE W ARCHITEKTURZE, A NAWET W MUZYCE.
  27. 27. APOLLO BELWEDERSKI… <ul><li>-Twórcą rzeźby był Leochares (IV wiek pne.) </li></ul><ul><li>-Linia I dzieli na dwie części całą postać w złotej proporcji, </li></ul><ul><li>-linia E wskazuje złotą proporcję między głową a górną częścią tułowia, </li></ul><ul><li>-linia O zaznacza podział nóg w kolanach według złotego cięcia. </li></ul>
  28. 28. SONETY MOZARTOWSKIE… <ul><li>Fi jest obecne w strukturach sonat mozartowskich. </li></ul>
  29. 29. PIĄTA SYMFONIA BEETHOVEN’A… <ul><li>Fi jest obecne w „Piątej Symfonii Beethoven’a” </li></ul>
  30. 30. KOMPOZYCJE BARTOKA…
  31. 31. KOMPOZYCJE DEBUSSY’EGO…
  32. 32. KOMPOZYCJE SCHUBERTA…
  33. 33. SKRZYPCE STRADIVARIUSA…
  34. 34. MICHAŁ ANIOŁ BUONARROTI (1475 - 1564)
  35. 35. ALBRECHT DÜRER…
  36. 36. LEONARDO DA VINCI…
  37. 37. <ul><li>Studium kości dłoni i Madonna Litta. </li></ul>
  38. 39. PENTAGRAM… <ul><li>- pięciokąt foremny gwiaździsty </li></ul><ul><li>- gwiazda pitagorejska </li></ul><ul><li>- godło Bractwa Pitagorejczyków </li></ul><ul><li>- symbol doskonałości według Pitagorejczyków </li></ul>
  39. 40. WŁASNOŚCI PENTAGRAMU… <ul><li>- miara kąta w wierzchołku pentagramu jest równa 36º. </li></ul><ul><li>- suma kątów przy wierzchołkach pentagramu wynosi 180°. </li></ul><ul><li>- we wszystkich punktach skrzyżowania promieni gwiazdy pitagorejskiej jest złote cięcie. </li></ul><ul><li>- złotemu podziałowi podlega cały promień gwiazdy oraz jego dłuższa część powstała w wyniku podziału. </li></ul>
  40. 41. LICZBA FI JEST O WIELE BARDZIEJ ODLOTOWA NIŻ PI!!! <ul><li>Rację mieli Grecy nazywając liczbę fi i złoty podział &quot;boską proporcją&quot;. Parafrazując znana sentencję Kroneckera można by rzec - &quot;złotą liczbę stworzył dobry Bóg, wszystko inne jest dziełem człowieka&quot;. </li></ul>
  41. 42. LITERATURA… <ul><li>- Śladami Pitagorasa – Szczepan Jeleński </li></ul><ul><li>- Ścieżki matematyki – Nigel Langdon i Charles Snape </li></ul><ul><li>- Przez rozrywkę do wiedzy – Stanisław Kowol </li></ul><ul><li>- Księga liczb – John Conway i Richard Guy </li></ul><ul><li>- Liczby i algorytmy – Krystyna Dałek </li></ul>

×