Himpunan

4,212 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
4,212
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
121
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Himpunan

  1. 1. HIMPUNAN Matematika Diskrit Politeknik Negeri Padang 2013 Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
  2. 2. Pendahuluan  Himpunan atau Set adalah sekumpulan objek yang berbeda, yang dapat didefinisikan dengan jelas.  Contoh : A = {8,9,10,11,12,13,14,15} B = {4,5,6,7,12,13,14,15} C = {2,3,6,7,10,11,14,15} D = {1,3,5,7,9,11,13,15} Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
  3. 3. Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Pendahuluan…Lanjutan  Penulisan suatu himpunan dimulai dari huruf besar sebagai nama/simbol himpunannya dan untuk keanggotaan himpunan dituliskan menggunakan notasi ‘ ‘ Contoh : 8 A 9 A 1 A
  4. 4.  Cara penyajian Himpunan : a. Enumerasi b. Menggunakan simbol baku c. Menuliskan kriteria anggota himpunan d. Diagram Venn Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Pendahuluan…Lanjutan
  5. 5. Enumerasi  Penyajian suatu himpunan dengan cara enumerasi yaitu dengan menyebutkan semua anggota himpunan di dalam suatu kurung kurawal “ { } “  Contoh : Himpunan lima bilangan genap pertama : A = { 2,4,6,8,10} Himpunan bilangan asli yang kurang dari 100 : B = {1,2,3,…,99} Himpunan lima bilangan prima pertama : C = {2,3,5,7,11} Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
  6. 6. Simbol Baku  Penyajian himpunan dengan menggunakan simbol-simbol yang telah diketahui secara umum.  Contoh : N = Himpunan bilangan asli/natural = {1,2,…} Z = Himpunan bilangan bulat = {…,-2,-1,0,1,2,…} Q = Himpunan bilangan rasional R = Himpunan bilangan riil C = Himpunan bilangan kompleks Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
  7. 7. Menuliskan Kriteria Anggota  Penyajian himpunan dengan menuliskan syarat keanggotaan himpunan tersebut, dituliskan dengan cara A = {x|syarat yang harus dipenuhi oleh x}.  Contoh A adalah himpunan bilangan asli yg kecil dari 7 A = {x | x≤7 dan x N} atau A = {x N | x≤7} Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
  8. 8. Diagram Venn  Penyajian himpunan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn.  Contoh : Misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} A = {1,3,4,5}, dan B = {4,5,6,7} Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
  9. 9. Diagram Venn…Lanjt S A B 1 4 6 3 5 7 2 Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
  10. 10. Istilah penting dalam Himpunan  Kardinalitas Adalah jumlah anggota pada suatu himpunan Contoh : Misalkan S = {x| x bilangan bulat positif kecil dari 20}. Jika A = {x| x bilangan genap}, B = {x| x bilangan yang habis dibagi 3} dan C = {x| x bilangan yang habis dibagi 5}, dapatkan kardinalitas bagi A, B, dan C Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
  11. 11. Istilah penting dalam Himpunan…Kardinalitas  Jawab : Jika ditulis secara enumerasi, maka : A = {2,4,6,8,…,18}, |A| = 9 B = {3,6,9,12,15,18} |B| = 6 C = {5,10,15} |C| = 3 Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
  12. 12. Istilah penting dalam Himpunan…Himpunan Bagian  Himpunan Bagian Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan unsur dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Sedangkan A bukan himpunan bagian dari B jika setidak-tidaknya terdapat satu anggota A yang tidak ada di B. Notasi A himpunan bagian B : A B atau A B Notasi A bukan himpunan bagian B : A B atau A B Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
  13. 13.  Jika digambarkan diagram venn bagi himpunan bagian, maka akan didapati himpunan yang menjadi subset akan berada di dalam himpunan superset- nya S B Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Istilah penting dalam Himpunan…Himpunan Bagian 6 C 12 18 3 9 15
  14. 14. Istilah penting dalam Himpunan…Himpunan Semesta  Himpunan Semesta dan Himpunan Kosong Himpunan Semesta adalah himpunan yang anggotanya adalah gabungan semua himpunan yang menjadi objek pembahasan, dinotasikan dengan S (sebagian buku menggunakan notasi U) Contoh ; Mahasiswa jurusan Teknologi Informasi (TI) yang terdiri dari dua program studi Teknik Komputer dan Manajemen Informatika. Jika : A : {x | x mahasiswa TI prodi Teknik Komputer} B : {x | x mahasiswa TI prodi Manajemen Informatika} Maka himpunan semesta pada kasus ini adalah S = {x | x mahasiswa jurusan TI} Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
  15. 15. Istilah penting dalam Himpunan…Himpunan Kosong  Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Contoh : Mahasiswa jurusan TI di atas, terdapat sebuah himpunan C dimana : C = {x | x mahasiswa TI prodi Teknik Mesin} Dapat disimpulkan bahwa C merupakan himpunan kosong, karena di jurusan TI tidak ada prodi Teknik Mesin, atau jika disimbolkan : C = { } atu C =Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
  16. 16. Istilah penting dalam Himpunan…Himpunan Kuasa  Himpunan kuasa bagi A adalah suatu himpunan yang naggotanya adalah semua himpunan bagian bagi A, termasuk himpunan kosong dan A itu sendiri. Notasi : P(A), kardinalitas bagi himpunan kuasa adalah |P(A)| = , m = |A| (kardinalitas himpunan A) Contoh : A = {a}, |A| = 1 P(A) = { ,{a}}, |P(A)| = = 2Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M m 2 1 2
  17. 17. Contoh : B = {a,b}, |B| = 2 P(B) = { ,{a},{b},{a,b}}, |P(B)| = = 4 C = {a,b,c}, |C| = 3 P(C) ={ ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} |P(C)| = = 8 Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Himpunan Kuasa…Lanjt 2 2 3 2
  18. 18.  Himpunan kosong , memiliki himpunan kuasa, P( ) = , sedangkan suatu himpunan yang anggotanya sebuah himpunan kosong, { }, himpunan kuasanya : P( ) = { , { }} Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Himpunan Kuasa…Lanjt
  19. 19.  Suatu himpunan dikatakan ekivalen, jika dan hanya jika kardinalitasnya sama. Contoh : A = {S,U,K,S,E,S}, |A| = 6 B = {1,2,3,4,5,6}, |B| = 6 Karena |A| = |B| = 6 , maka himpunan A adalah ekivalen dengan B , A B . Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Istilah penting dalam Himpunan…Ekivalen
  20. 20.  Dua buah himpunan dikatakan sama, jika dan hanya jika setiap elemen atau anggota pada dua himpunan tersebut adalah sama Contoh : C = {R,U,M,A,H} D = {H,A,R,U,M} Himpunan C = D, sebab semua anggota pada himpunan tersebut adalah sama. Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Istilah penting dalam Himpunan…Kesamaan Himpunan
  21. 21. Operasi pada Himpunan a.Irisan (intersection) Andaikan ada dua buah himpunan, A dan B, irisan antara dua himpunan tersebut adalah satu himpunan yang anggotanya berada di himpunan A dan B. A B = {x|x A DAN x B} Diagram Venn : Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M  S A B
  22. 22.  Contoh : Jika A = {1,3,6,9,12}, B = {1,2,3,4,5,6} maka A B = {1,3,6}  Irisan mirip dengan konjungsi atau ‘DAN’ Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Operasi pada Himpunan…Irisan 
  23. 23.  Gabungan (Union) Gabungan pada suatu himpunan berarti menggabungkan dua buah himpunan atau lebih. Gabungan mirip dengan disjungsi atau ‘ATAU’. Misalkan ada dua buah himpunan, A dan B, gabungan antara dua himpunan tersebut adalah satu himpunan yang anggotanya berada di himpunan A atau B. AUB = {x|x A ATAU x B} Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Operasi pada Himpunan…Gabungan
  24. 24.  Diagram Venn Contoh: Jika A = {2,3,4,5,6}, B = {2,4,6,8,10} Maka AUB = {2,3,4,5,6,8,10} Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Operasi pada Himpunan…Gabungan S A B
  25. 25.  Komplemen berarti pelengkap. Misalkan A suatu himpunan yang berada dalam semesta S. Komplemen bagi A dinotasikan sebagai A’, yaitu suatu himpunan selain A yang berada dalam S. A’ = {x|x S dan x A} Contoh : Jika S = {1,2,3,4,5,6,7,8} dan A = {2,4,6,8} Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Operasi pada Himpunan…Komplemen
  26. 26.  Diagram Venn bagi Komplemen Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Operasi pada Himpunan…Komplemen S S A’ A
  27. 27.  Selisih bagi himpunan A dan B, notasi: A – B = {x|x A dan x B} = A B Contoh : Jika A = {2,3,4,5,6}, B = {2,4,6,8,10} Maka A – B = {3,5} Diagram Venn : Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Operasi pada Himpunan…Selisih S A B
  28. 28.  Beda Setangkup bagi himpunan A dan B dinotasikan : A B, dimana setiap anggota di A B merupakan anggota di A atau di B, tetapi bukan anggota di A dan B sekaligus. A B = (AUB)-(A B) = (A-B)U(B-A) Contoh : Jika A = {2,3,4,5,6}, B = {2,4,6,8,10} Maka A B = {3,5,8,10}Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Operasi pada Himpunan…Beda Setangkup
  29. 29.  Diagram Venn : Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Operasi pada Himpunan…Beda Setangkup S A B
  30. 30.  Perkalian kartesan bagi himpunan A dan B dinotasikan oleh : AxB = {(a,b)|a A dan b B} Jika A dan B merupakan himpunan terhingga, maka kardinalitas bagi perkalian kartesan AxB adalah : |AxB|=|A|x|B| Contoh : Jika A={1,2},B={a,b,c} Maka, AxB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)} |AxB|=2x3=6 Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Operasi pada Himpunan…Perkalian Kartesan
  31. 31.  Perlu diingat bahwa pasangan terurut (a,b) ≠(b,a). Akibatnya perkalian kartesan tidak bersifat komutatif atau AxB ≠BxA, dimana A dan B bukan himpunan kosong  Jika A = atau B = maka A x B = B x A = Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Operasi pada Himpunan…Perkalian Kartesan
  32. 32. Hukum-hukum dalam Himpunan a. Identitas A U = A A S = A b. Null A = A U S = S c. Komplemen A U A’ = S A A’ = ‘ = S Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
  33. 33. d. Idempoten A U A = A A A = A e. Involusi (A’)’ = A d. Penyerapan A U (A B) = A A (A U B) = A Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Hukum-hukum dalam Himpunan…Lanjt
  34. 34. g. Komutatif A U B = B U A A B = B A h. Asosiatif A U (B U C) = (A U B) U C A (B C) = (A B) C i. Distributif A U (B C) = (A U B) (A U C) A (B U C) = (A B) U (A C) Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Hukum-hukum dalam Himpunan…Lanjt
  35. 35. j. De Morgan (A U B)’ = A’ B’ (A B)’ = A’ U B’ Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M Hukum-hukum dalam Himpunan…Lanjt
  36. 36. Prinsip Dualitas  Prinsip dualitas adalah dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. Prinsip ini ditandai dengan mengganti notasi : U menjadi menjadi U S menjadi menjadi S Contoh : A U (A’ B) = A U B Dualnya : A (A’ U B) = A B Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

×