1. Departamento de F´
ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.
˜ n
Las Palmeras 3425, Nu˜oa. Casilla 653, Correo 1, Santiago
fono: 562 678 7276
fax: 562 271 2973
e-mail: secretaria@fisica.ciencias.uchile.cl
´
´
MECANICA CUANTICA I
Rodrigo Ferrer P.
Herbert Massmann L.
Jaime Roessler B.
Jos´ Rogan C.
e
7. ´
Indice de Figuras
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
Caja met´lica usada para analizar la radiaci´n del cuerpo negro.
a
o
Cascar´n esf´rico en el espacio k. . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
e
Densidad de energ´ en funci´n de la frecuencia. . . . . . . . . .
ıa
o
´
Atomo absorviendo energ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa.
Energ´ de los electrones emitidos en funci´n de la frecuencia. .
ıa
o
Distribuci´n temporal de electrones. . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Colisi´n fot´n electr´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o
o
Experimento de Thomson, Davisson y Germer. . . . . . . . . . .
Difracci´n de Fresnel de neutrones. . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Diagrama de complementariedad. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Experimento de interferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geometr´ del experimento de interferencia. . . . . . . . . . . .
ıa
Experimento de dos fotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Electr´n precipitandose al n´cleo. . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
u
Vida media del primer estado excitado del Hidr´geno. . . . . . .
o
Radio cl´sico de una orbita de Bohr. . . . . . . . . . . . . . . .
a
´
Atomo de hidr´geno, transiciones entre niveles . . . . . . . . . .
o
Orbita electr´nica como onda estacionaria . . . . . . . . . . . .
o
Potencial de pozo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Experimento de difracci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Superposici´n de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Paquete de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estados cuasiestacionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
3
5
6
7
8
9
11
12
12
13
13
14
17
18
19
20
21
23
26
27
28
29
Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Paquete de onda en el espacio de momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propagaci´n de un paquete de ondas para tiempos no muy grandes. . . . . .
o
Ancho de un paquete de ondas gaussiano en funci´n del tiempo. . . . . . . .
o
∗
Gr´fico de la envolvente σ(t ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
Evoluci´n temporal de la temperatura en un s´lido al depositar cierta cantidad
o
o
de energ´ en r = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa
3.7 Representaci´n esquem´tica de la energ´ potencial y cin´tica para el caso en
o
a
ıa
e
2
2
que U (x) − k ≥ M > 0 ∀x > x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Comportamiento de las funciones φ1 (x) y φ2 (x) para x > x0 . . . . . . . . . .
3.9 Comportamiento de las funciones f (x) y g(x) para x → ∞. . . . . . . . . . .
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87
89
90
92
93
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
vii
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. 99
. 124
. 124
. 126
8. ´
INDICE DE FIGURAS
viii
3.10 Comportamiento esquem´tico de la energ´ potencial del ejemplo discutido en
a
ıa
el texto para establecer las caracter´
ısticas del espectro de energ´ . . . . . . . 128
ıa.
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
Pozo infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funciones de onda de los tres primeros estados de un pozo infinito. . . . . .
Gr´fico del potencial usado en el ejemplo ilustrativo. . . . . . . . . . . . . .
a
Soluci´n gr´fica de la ecuaciones (4.6) y (4.7). La l´
o
a
ınea mon´tonamente decreo
ciente corresponde al lado derecho de las ecuaciones. Las dem´s l´
a ıneas corresponden a los lados izquierdos ,las l´
ıneas cortadas para las soluciones impares
y las l´
ıneas llenas para las pares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potencial usado para discutir el comportamiento de las soluciones. . . . . . .
Comportamiento t´
ıpico de una soluci´n num´rica de la ecuaci´n de Schr¨dinger
o
e
o
o
del potencial mostrado en la figura anterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comportamiento de la funci´n de onda a medida que se aumenta la energ´
o
ıa
E1 < E2 < E3 < . . . Las energ´ de los autoestados se denota con εn ,
ıas
n = 0, 1, 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gr´fico usado para mostrar que no puede aparecer un cero doble en la funci´n
a
o
de onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Niveles de energ´ para una part´
ıa
ıcula de masa m = 0.2 y m = 0.5 ligada a
varios potencial que decaen con distinta rapidez a cero para |x| −→ ∞. . . .
Niveles de energ´ para una part´
ıa
ıcula ligada a un potencial con un mont´
ıculo
al centro. En el caso de la arriba la part´
ıcula tiene mayor masa que en el de
abajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribuci´n espectral de la densidad de probabilidad de encontrar la part´
o
ıcula,
para t > 0, en el continuo con energ´ = E/E0 . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa
Probabilidad de ionizaci´n en funci´n de Γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o
Potencial correspondiente a una pared dura con una barrera delta enfrente. .
Corrimiento de fase δk en funci´n del momento de la part´
o
ıcula incidente. . .
Probabilidad relativa de encontrar la part´
ıcula al interior del “pozo” en funci´n
o
de la energ´ incidente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa
Estados cuasi-estacionarios. El ancho de cada nivel se muestra con una banda
achurada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forma de la tercera resonancia, con α = 20. Comparaci´n entre el resultado
o
exacto y el obtenido con la f´rmula de Breit-Wigner. . . . . . . . . . . . . .
o
Dos barreras, una centrada en x = 0 y la otra en x = a. . . . . . . . . . . . .
Representaci´n gr´fica de los procesos de transmisi´n con 0, 2, y 4 rebotes
o
a
o
virtuales entre ambas barreras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representaci´n de los procesos de reflexi´n con 0, 1 y 3 rebotes virtuales entre
o
o
ambas barreras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representaci´n de los procesos de transmisi´n con 0, 2, y 4 rebotes reales entre
o
o
ambas barreras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potencial peri´dico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Gr´fico de la ecuaci´n (4.60) para mW0 a/ 2 = 3π/2. . . . . . . . . . . . . .
a
o
Bandas de energ´ del modelo de Kroning-Penney. . . . . . . . . . . . . . . .
ıa
Espira circular de radio b por la cual circula una corriente I. . . . . . . . . .
. 135
. 136
. 147
. 148
. 150
. 154
. 155
. 156
. 158
. 159
.
.
.
.
171
171
172
174
. 174
. 175
. 176
. 185
. 187
. 187
.
.
.
.
.
189
190
194
195
196
9. ´
INDICE DE FIGURAS
ix
4.26 Solenoide, de longitud infinita, con n vueltas por unidad de longitud, por la
cual circula una corriente I. Note que r sen θ = χ sen α. . . . . . . . . . . . . . 197
4.27 Espectro de energ´ para diversas intensidades del flujo magn´tico. . . . . . . . 200
ıa
e
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Aplicaciones sucesivas del operador de bajada. . . . . . . . . . . .
Estado fundamental del oscilador arm´nico. . . . . . . . . . . . .
o
Funciones de onda del oscilador arm´nico . . . . . . . . . . . . . .
o
Funci´n de onda del estado fundamental . . . . . . . . . . . . . .
o
Evoluci´n temporal del oscilador en el espacio α. . . . . . . . . . .
o
Fuerza externa que act´a sobre el oscilador analizado en el texto.
u
Experimento con luz coherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espectro de energ´ de un oscilador tridimensional. . . . . . . . .
ıa
6.1
6.2
Rotaci´n de r0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
o
Rotaci´n infinitesimal del r0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
o
7.1 Funci´n de Onda y su rotaci´n . . .
o
o
7.2 Gr´fico esquem´tico de j (kr) . . . .
a
a
7.3 Potencial coulombiano atractivo. . .
´
7.4 Orbitas keplerianas y no keplerianas .
.
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208
212
215
225
232
234
236
238
273
277
290
295
10. Cap´
ıtulo 1
La crisis de la f´
ısica cl´sica.
a
En este primer cap´
ıtulo recapitularemos los principales hechos que condujeron al desarrollo
de la Mec´nica Cu´ntica.
a
a
A fines del siglo XIX se hizo cada vez m´s evidente que la f´
a
ısica desarrollada hasta
ese entonces era completamente incapaz de dar cuenta de varios hechos experimentales. El
estudio de estos problemas llev´ a un conjunto de principios y descripciones, a veces bastante
o
forzadas, conocidas hoy en d´ con el nombre de Mec´nica Cu´ntica antigua. En el presente
ıa
a
a
cap´
ıtulo analizaremos algunos de estos problemas.
1.1
La radiaci´n del cuerpo negro.
o
Consideremos una cavidad cerrada con s´lo un peque˜o agujero y cuyas paredes se mantienen
o
n
a una temperatura constante T . La energ´ emitida por las paredes en equilibrio termodin´ıa
a
mico, llenar´ la cavidad. Una porci´n despreciable de la radiaci´n escapa al exterior por el
a
o
o
agujero. La radiaci´n emitida por este agujero se denomina radiaci´n del cuerpo negro1 .
o
o
Experimentalmente se encuentra que el espectro emitido por el agujero s´lo depende de
o
la temperatura T y no del material de la que est´ hecha la caja.
a
Veamos brevemente con qu´ dificultades se encontr´ la explicaci´n cl´sica de este fen´e
o
o
a
o
meno.
1.1.1
Teor´ cl´sica de Rayleigh–Jeans.
ıa a
Consideremos una caja de paredes met´licas y de tama˜o Lx , Ly , Lz (ver figura 1.1).
a
n
¿Cu´les son los modos electromagn´ticos posibles dentro de esta cavidada? Para responder
a
e
a esta pregunta, consideremos el campo el´ctrico de la radiaci´n. Que las paredes sean
e
o
conductoras significa que el campo el´ctrico paralelo a la superficie debe anularse. Al interior
e
de la cavidad el campo el´ctrico satisface la ecuaci´n de ondas libres
e
o
2
E−
1 δ2
E=0.
c2 δt2
1
Con cuerpo negro se denota cualquier cuerpo que absorbe toda la radiaci´n que choca contra ´l. Toda
o
e
la radiaci´n que incide desde el exterior sobre el agujero de la caja, penetrar´ al interior no siendo reflejado
o
a
nada.
1
11. ´
CAP´
ITULO 1. LA CRISIS DE LA F´
ISICA CLASICA.
2
^
z
Lz
^
y
0
Ly
Lx
^
x
Figura 1.1: Caja met´lica usada para analizar la radiaci´n del cuerpo negro.
a
o
Busquemos soluciones del tipo
E = Ex (x, y, z, t)ˆ + Ey (x, y, z, t)ˆ + Ez (x, y, z, t)ˆ ,
x
y
z
con
Ex (x, y, z, t) = cos(kx x) sen(ky y) sen(kz z) eiωt ,
Ey (x, y, z, t) = sen(kx x) cos(ky y) sen(kz z) eiωt ,
Ez (x, y, z, t) = sen(kx x) sen(ky y) cos(kz z) eiωt .
El campo debe satisfacer las siguientes condiciones de borde
Ex (x, y, 0, t) = Ex (x, y, Lz , t) = 0 ∀x, y, t
Ex (x, 0, z, t) = Ex (x, Ly , z, t) = 0 ∀x, z, t
Ey (0, y, z, t) = Ey (Lx , y, z, t) = 0 ∀y, z, t
Ey (x, y, 0, t) = Ey (x, y, Lz , t) = 0 ∀x, y, t
Ez (0, y, z, t) = Ez (Lx , y, z, t) = 0 ∀y, z, t
y
Ez (x, 0, z, t) = Ez (x, Ly , z, t) = 0 ∀x, z, t
Estas ecuaciones se satisfacen si elegimos k de manera que
sen(kx Lx ) = 0 ,
sen(ky Ly ) = 0
y
sin(kz Lz ) = 0 .
12. ´
1.1. LA RADIACION DEL CUERPO NEGRO.
3
En otras palabras, los vectores de onda ki , (i = x, y, z) no son arbitrarios sin´ que deben
o
satisfacer
ni π
ki =
, n i ∈ N∗ .
(1.1)
Li
2
2
2
Sea k 2 = kx + ky + kz el m´dulo al cuadrado del vector de onda. La relaci´n entre el vector
o
o
de onda k y la frecuencia angular ω de la onda electromagn´tica es
e
k2 =
ω2
c2
(relaci´n de dispersi´n) .
o
o
¿Cu´ntos modos hay que poseen un vector de onda con magnitud entre k y k + ∆k ? A partir
a
de la ecuaci´n (1.1) se deduce que, para cada componente, la separaci´n entre vectores de
o
o
onda contiguos es
∆kx =
π
π
, ∆ky =
,
Lx
Ly
∆k2 =
π
,
Lz
ya que ∆ni = 1 (nx , ny y nz pueden variar s´lo en un entero). Luego cada modo de oscilaci´n
o
o
electromagn´tico “ocupa” en el espacio k un “volumen”
e
∆kx ∆ky ∆kz =
π3
π3
=
.
Lx L y L z
V
kz
∆k
k
0
ky
kx
Figura 1.2: Cascar´n esf´rico en el espacio k.
o
e
Para encontrar el n´mero de modos con vector de onda entre k y k + ∆k basta calcular
u
el volumen de la c´scara esf´rica mostrada en la figura 1.2 y dividirlo por el volumen que
a
e
ocupa cada modo. En la figura 1.2 se considera s´lo un octante de la esfera, ya que ni s´lo
o
o
toma valores enteros positivos. Sea n(k) ∆k el n´mero de modos con vector de onda entre k
u
y k + ∆k, entonces se tiene que
1 4πk 2 ∆k
V k 2 ∆k
n(k) ∆k =
2=
.
8 π 3 /V
π2
(1.2)
13. ´
CAP´
ITULO 1. LA CRISIS DE LA F´
ISICA CLASICA.
4
El factor 2 que aparece en la ecuaci´n anterior se debe a que, para cada k, existen dos
o
estados de polarizaci´n. (una vez elegido k = (kx , ky , kz ), quedan s´lo dos grados de libertad
o
o
para el campo el´ctrico ya que E necesariamente debe ser perpendicular a k.) A partir de
e
(1.2) y usando las relaciones
∆k
n(ω) = n(k)
∆ω
y
∆k
1
= ,
∆ω
c
se obtiene, para la densidad de modos de frecuencia ω
V k2 1
ω 2 V
n(ω) = 2 =
.
π c
c π2c
Para encontrar la densidad de energ´ u(ω) hay que multiplicar la densidad de modos n(ω)
ıa
¯ω que posee un modo con frecuencia ω:
por la energ´ promedio E
ıa
¯
u(ω) = n(ω)Eω .
Seg´n la teor´ estad´
u
ıa
ıstica cl´sica, la probabilidad de que un oscilador tenga la energ´ entre
a
ıa
E y E + dE, si la temperatura es T , viene dada por
exp (−E/kB T ) dE
. (Distribuci´n de Boltzmann)
o
exp (−E /kB T ) dE
∞
0
Usando este resultado podemos evaluar el valor promedio de la energ´ para el modo ω. Se
ıa
obtiene
∞
∞
¯ω = 0 ∞E exp (−E/kB T ) dE = − d log
E
e−β d
dβ
exp (−E /kB T ) dE
0
0
d
1
1
= − log = ,
dβ
β
β
donde, β ≡ (kB T )−1 y kB es la Constante de Boltzmann. Con este resultado se obtiene para
la densidad de energ´ la expresi´n
ıa
o
u(ω) =
ω 2 V kB T
. F´rmula de Rayleigh-Jeans
o
π 2 c3
(1.3)
La energ´ interna total U de la radiaci´n al interior de la caja se obtiene integrando la
ıa
o
densidad u(ω)
V kB T ∞ 2
U= 2 3
ω dω = ∞ ,
π c
0
resultado obviamente absurdo. La ecuaci´n (1.3) no puede ser correcta. Esto se observa
o
con mayor claridad en la figura 1.3, donde se grafica la densidad de energ´ en funci´n de
ıa
o
la frecuencia ω. Para peque˜os valores de ω el resultado de la teor´ de Raleigh–Jeans
n
ıa
concuerda bastante bien con los datos experimentales. Para valores grandes de ω la teor´
ıa
est´ en completo desacuerdo con los datos experimentales: Raleigh–Jeans diverge mientras
a
que experimentalmente se encuentra que la densidad de energ´ tiende exponencialmente a
ıa
cero. Esta dificultad se conoce con el nombre de “cat´strofe ultravioleta”.
a
14. ´
1.1. LA RADIACION DEL CUERPO NEGRO.
5
u(ω)
Rayleigh−Jeans
∼ω2
Resultado Experimental
hω
3 e− kBT
∼ω
hω ∼ kBT
hω
Figura 1.3: Densidad de energ´ en funci´n de la frecuencia. La l´
ıa
o
ınea s´lida corresponde al
o
resultado experimental mientras que la l´
ınea cortada corresponde al resultado de la teor´ de
ıa
Raleigh–Jeans.
1.1.2
Teor´ de Planck.
ıa
Para evitar la aparici´n de la divergencia ultravioleta es necesario lograr que la energ´
o
ıa
¯
promedio Eω de un modo con frecuencia ω, sea menor que kB T para frecuencias altas. Max
Plank logr´ precisamente esto introduciendo una hip´tesis bastante revolucionaria. Planck
o
o
supuso que la energ´ de un oscilador siempre es un m´ltiplo entero de ω, donde es una
ıa
u
constante y ω es la frecuencia angular del oscilador, es decir,
E=n ω
(n = n´mero cu´ntico ∈ N∗ ).
u
a
¯
Ahora, para calcular Eω , en (17) hay que usar sumatorias, en lugar de las integrales.
Luego:
n
−k ω
∞
BT
n=o n ωe
n
−k ω
∞
BT
n=o e
¯
Eω =
ω
=
e
ω
kB T
∞
d
=− ω
log
e−nx
dx
n=o
ω
kB T
ω
si
kB T
k T
B
si
− 1 ωe− kBωT
ω
BT
x= k
1, Rayleigh–Jeans
(1.4)
1, Ley emp´
ırica de Wien
Esta es la distribuci´n de Planck.
o
Usando (1.4) se obtiene una densidad de energ´ que est´ en completo acuerdo con los
ıa
a
resultados experimentales:
u(ω) =
V ω2
c3 π 2
ω
e
ω
KB T
−1
15. ´
CAP´
ITULO 1. LA CRISIS DE LA F´
ISICA CLASICA.
6
si
toma el valor:
= 1.0545887 × 10−27 [erg·s]
1.2
El efecto fotoel´ctrico.
e
Al iluminar una placa met´lica con luz, escapan electrones del metal (efecto fotoel´ctrico).
a
e
Este hecho por s´ solo es f´cil de explicar: la luz que incide sobre la placa transporta una cierta
ı
a
´ que la traspasa a los electrones. Algunos electrones adquieren suficiente energ´ como
energIa
Ia
para sobrepasar la barrera de potencial que los mantiene dentro del metal. El estudio m´s
a
cuantitativo de este efecto trajo sin embargo algunos resultados completamente inesperados.
Lenard encontr´ que la energ´ de los electrones emitidos, no depend´ de la intensidad de
o
ıa
ıa
la luz incidente; al disminuir la intensidad de la luz, s´lo disminuye el n´mero de electrones.
o
u
La energ´ de los electrones emitidos s´lo depende de la frecuencia de la luz y del metal
ıa
o
considerado. Otro hecho experimental interesante es que aparecen electrones tan pronto
como se hace incidir luz sobre la placa met´lica.
a
La teor´ electromagn´tica cl´sica es completamente incapaz de explicar estos resultados.
ıa
e
a
La intensidad de la luz es proporcional al cuadrado del campo electromagn´tico. Cl´sicamente
e
a
la energ´ irradiada por una carga oscilante es proporcional a la energ´ del oscilador y
ıa
ıa
viceversa. Por lo tanto, la energ´ absorbida por una carga es proporcional a la intensidad
ıa
del campo electromagn´tico a la que est´ expuesta. Luego se espera que la energ´ de los
e
a
ıa
electrones emitidos sea proporcional a la intensidad de la luz.
Evaluemos el tiempo que requieren los electrones para absorber la energ´ observada de
ıa
−12
∼ 1 [eV] = 1.60219 × 10
[erg], al ser iluminada una placa met´lica por una ampolleta de
a
1 [W] = 107 [erg/s] situada a 1 [m] de distancia.
1[Watt]
átomo
−8
~2x10 [cm]
100 [cm]
´
Figura 1.4: Atomo absorviendo energ´
ıa.
Sobre un ´tomo de la placa met´lica inciden
a
a
107
erg
·
s
π(10−8 )2 [cm2 ]
4π(100)2 [cm2 ]
= 0.25 × 10−13
erg
s
El t´rmino en par´ntesis es el ´ngulo s´lido sustentado por el ´tomo.
e
e
a
o
a
.
16. ´
1.2. EL EFECTO FOTOELECTRICO.
7
Luego para absorber 1.6 × 10−12 [erg] se requiere un tiempo de al menos
1.6 × 10−12
[s] ∼ 60[s] = 1 [min] .
0.25 × 10−13
Esto est´ en contradicci´n con los hechos experimentales, pues los electrones aparecen inmea
o
diatamente. Pareciera ser que la energ´ de la luz no se distribuye homog´neamente sobre
ıa
e
toda la placa (como lo requiere la teor´ electromagn´tica cl´sica), sino que “la onda colapsa”,
ıa
e
a
concentrando toda la energ´ y entreg´ndosela a un electr´n.
ıa
a
o
Planck tuvo que suponer que un oscilador de frecuencia ω s´lo puede tener energ´ En =
o
ıas
n ω con n ∈ N∗ , luego al absorber energ´ de un campo electromagn´tico la energ´ del campo
ıa
e
ıa
electromagn´tico s´lo puede cambiar en un m´ltiplo entero de ω. Estas consideraciones
e
o
u
hicieron postular a Einstein la siguiente hip´tesis para resolver el problema planteado por el
o
efecto fotoel´ctrico.
e
Hip´tesis: Una onda electromagn´tica de frecuencia ω y energ´ n ω colapsa en
o
e
ıa
(est´ compuesta de) n part´
a
ıculas (llamadas fotones) de energ´ ω.
ıa
De esta hip´tesis se deduce inmediatamente que la cantidad de part´
o
ıculas que aparecen
por el colapso de la onda es proporcional a la intensidad de onda electromagn´tica. Note que
e
la energ´ de las part´
ıa
ıculas, sin embargo, depende s´lo de la frecuencia.
o
Si φ es la funci´n de trabajo del metal (es decir, la energ´ necesaria para remover un
o
ıa
electr´n de la superficie del metal) entonces la energ´ del electr´n emitido viene dada por
o
ıa
o
Ee = ω − φ
Ee
φ
hω
Figura 1.5: Energ´ de los electrones emitidos en funci´n de la frecuencia.
ıa
o
Este comportamiento lineal de Ee con ω (ver figura 1.5) predicho por Einstein, fue m´s
a
tarde verificado experimentalmente por Millikan. La teor´ de Einstein explica completamente
ıa
todos los hechos experimentales del efecto fotoel´ctrico.
e
Al iluminar una placa met´lica con luz coherente proveniente de un l´ser y medir el tiempo
a
a
transcurrido entre la detecci´n de dos electrones emitidos por el metal se encuentra que estos
o
est´n distribu´
a
ıdos seg´n una distribuci´n de Poisson.
u
o
El hecho de que la distribuci´n observada sea de Poisson indica que el proceso de colapso
o
es un proceso que ocurre completamente al azar (o sea intr´
ınsecamente irreproducible).
17. ´
CAP´
ITULO 1. LA CRISIS DE LA F´
ISICA CLASICA.
8
distribución
de Poisson
metal
n
Laser
luz coherente
E=Eo cos(kz−ωt)
(Reproducible)
∆t
detector de e−
Multicanal
Figura 1.6: Distribuci´n temporal de electrones.
o
1.3
Calor espec´
ıfico de un gas de mol´culas diat´micas.
e
o
Cada ´tomo de un gas monoat´mico posee 3 grados de libertad traslacionales. De acuerdo
a
o
con el teorema de la equipartici´n de energ´ de la mec´nica estad´
o
ıa
a
ıstica cl´sica. (Ver por
a
ejemplo Reif: Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, p´g. 248) cada uno de estos
a
3 t´rminos contribuye con 1 kB T a la energ´ total (no relativista) del ´tomo:
e
ıa
a
2
3
U = kB T ,
2
donde kB es la constante de Boltzmann y T la temperatura.
De (25) se obtiene para el calor espec´
ıfico:
Cv ≡
∂U
∂T
v
3
= kB ,
2
valor que coincide con el resultado experimental para gases monoat´micos.
o
Para una mol´cula diat´mica hay 6 t´rminos de energ´ cin´tica, 3 de traslaci´n, 2 de
e
o
e
ıa
e
o
rotaci´n y uno de vibraci´n, y un t´rmino de energ´ potencial (vibraci´n). Luego de acuerdo
o
o
e
ıa
o
con el teorema de la equipartici´n de la energ´ se deber´ tener
o
ıa
ıa
7
U = kB T ,
2
y por lo tanto
7
Cv = kB .
2
Sin embargo, experimentalmente se obtiene que a temperatura ambiente, la mayor´ de los
ıa
gases diat´micos tienen un calor espec´
o
ıfico.
5
Cv = kB .
2
18. 1.4. LOS RAYOS-X Y EL EFECTO COMPTON.
9
Esta contradicci´n desaparece al considerar el hecho de que un oscilador (vibraci´n) de freo
o
cuencia ω s´lo puede tener una energ´ que es un m´ltiplo entero de ω. De acuerdo con la
o
ıa
u
ecuaci´n (1.4), el grado de libertad vibracional contribuye en promedio, con una energ´
o
ıa
ω
Enb =
exp
ω
kB T
−1
a la energ´ total de la mol´cula. A partir del espectro vibracional de la mol´cula se puede
ıa
e
e
obtener el valor de ω. Para mol´culas diat´micas tiene un valor del orden de 5000 [K]. Luego
e
o
a temperatura ambiente (T ∼ 300 [K]).
ω
>> 1 .
kB T
Luego, el grado de libertad vibracional no contribuye a la energ´ total de la mol´cula (el
ıa
e
grado de libertad vibracional est´ “congelado”), lo cual explica el valor experimentalmente
a
observado del calor espec´
ıfico para mol´culas diat´micas.
e
o
1.4
Los rayos-X y el efecto Compton.
En 1865 Roentgen observa por primera vez los rayos-X. Experimentos posteriores demuestran
que los rayos-X no son otra cosa que radiaci´n electromagn´tica igual que la luz pero de
o
e
frecuencia mayor. Particularmente importantes son los experimentos de Von Laue y los
hermanos Bragg que obtienen diagramas de difracci´n de rayos-X al hacerlos incidir sobre
o
cristales. De acuerdo con estos resultados, la longitud de onda para los rayos-X es similar a
las dimensiones at´micas.
o
λ=
c
2πc
=
∼ 10−8 [cm] ,
ν
ω
considerando que la longitud de onda de la luz visible es del orden λ ∼ 5 × 10−5 [cm].
Compton en 1923 retoma las ideas de Einstein y le asocia a los rayos-X de frecuencia
angular ω una part´
ıcula (fot´n) de energ´ ω y de masa nula y estudia la colisi´n el´stica
o
ıa
o
a
entre tal fot´n y un electr´n.
o
o
Suponiendo al electr´n inicialmente en reposo en el sistema de laboratorio se tiene:
o
hω
p= ___
c
p =0
e
fotón
e−
E= hω
E=moc 2
Antes de la colisión
E= hω’
θ
e−
Después de la colisión
Figura 1.7: Colisi´n fot´n electr´n.
o
o
o
19. ´
CAP´
ITULO 1. LA CRISIS DE LA F´
ISICA CLASICA.
10
Sea v la velocidad del centro de masa. Realizando una transformaci´n de Lorentz desde
o
el sistema del Laboratorio al sistema del centro de masa se obtiene para la energ´ del fot´n
ıa
o
antes y despu´s de la colisi´n el resultado
e
o
v
c
v
1−
c
ω 1−
ω=
¯
¯
ω =
2
v
cos θ
c
v 2
1−
c
1−
ω
(1.5)
En el centro de masa la descripci´n de un choque el´stico de 2 part´
o
a
ıculas es particularmente
simple; las energ´ de las part´
ıas
ıculas antes y despu´s de la colisi´n son las mismas, o sea
e
o
¯
ω= ω ,
¯
(1.6)
luego, reemplazando (1.5) en (1.6) se obtiene
ω −
v
c
=ω
1−
v
cos θ
c
.
(1.7)
De (1.7) se obtiene que
∆λ = λ − λ = 2πc
1
1
−
ω
ω
=
2πc 1 − cos θ
.
c
ω
−1
v
Ejercicio: (Problema 1). Demuestre que la velocidad del centro de masa v viene dada por
c
mo c2
=1+
.
v
ω
(1.8)
Usando la ecuaci´n (1.8), ∆λ se puede reescribir de la forma
o
∆λ = λc (1 − cos θ) ,
(1.9)
donde la longitud de onda de Compton para el electr´n es
o
λc =
2π
= 0.02426 [˚ ,
A]
m o c2
la anterior corresponde a la longitud de onda Compton para el electr´n.
o
La ecuaci´n (1.9) concuerda plenamente con las mediciones realizadas por Compton.
o
M´s adelante incluso se midi´ la energ´ de retroceso del electr´n en una c´mara de Wilson,
a
o
ıa
o
a
confirmando que se trata de un choque el´stico entre fotones y electrones.
a
Lo anterior reafirma el car´cter corpuscular de la radiaci´n electromagn´tica, entre ellos
a
o
e
la luz y los rayos-X, en aparente contraposici´n con las propiedades ondulatorias obtenidas
o
de los experimentos de Von Laue. Paradojalmente fue el mismo Compton quien hizo uso
de estas propiedades ondulatorias de los rayos-X. al medir directamente sus longitudes de
onda mediante el uso de una red de difracci´n ´ptica (1925). Este ultimo trabajo llev´ a una
o o
´
o
determinaci´n precisa de las dimensiones at´micas al combinarse con los resultados de Von
o
o
Laue, W. Bragg y L. Bragg.
Ejercicio: (Problema 2) Demuestre la ecuaci´n (1.9) usando directamente la conservaci´n
o
o
de la energ´ y el momento lineal.
ıa
20. ´
1.5. LA HIPOTESIS DE LOUIS DE BROGLIE.
1.5
11
La hip´tesis de Louis de Broglie.
o
Los experimentos y efectos descritos en las secciones anteriores demuestran que la luz tiene
un comportamiento ondulatorio o corpuscular seg´n la situaci´n en que se observa.
u
o
Para la luz se tiene
E = ω (Postulado de Einstein)
E = pc
luego
p=
ω
hν
h
= k=
=
c
c
λ
(1.10)
donde
k = vector de onda = k = ω/c
ν = frecuencia = ω/(2π)
λ = longitud de onda = c/ν
h = 2π .
En 1924 Louis de Broglie aventura la hip´tesis de que una part´
o
ıcula material cualquiera
(electr´n, prot´n, ...) se comporta tambi´n como onda siendo la longitud de onda
o
o
e
λ=
h
p
(1.11)
en concordancia con la ecuaci´n (1.10) para fotones. Tal hip´tesis no era m´s que una
o
o
a
especulaci´n, pero en 1925 Davisson y Germer descubren accidentalmente que al hacer incidir
o
electrones de 40 [eV] sobre un monocristal de n´
ıquel se observa, efectos de difracci´n.
o
θ
d
Planos
cristalinos
Figura 1.8: Experimento de Thomson, Davisson y Germer.
Hay interferencia constructiva si
2d cos θ = nλ con n ∈ N
Casi al mismo tiempo que Davisson y Germer, Thomson hace incidir electrones de alta
energ´ (∼ 10.000 [eV]) sobre l´minas muy delgadas de oro, observando las mismas im´genes
ıa
a
a
21. ´
CAP´
ITULO 1. LA CRISIS DE LA F´
ISICA CLASICA.
12
que aquellas obtenidas por rayos-X. Por ultimo Rupp mide la longitud de onda de un electr´n
´
o
mediante una red de difracci´n, confirmando la ecuaci´n (1.11), ¡y sin embargo el electr´n
o
o
o
muestra masa y carga definida, como cualquier part´
ıcula!
Johnson observa propiedades ondulatorias de ´tomos de hidr´geno y m´s adelante Stern
a
o
a
y Frish (1937) observan difracci´n de ´tomos de He sobre cristales de fluoruro de litio.
o
a
Tambi´n se ha observado la t´
e
ıpica difracci´n de Fresnel en la difracci´n de neutrones
o
o
lentos por un borde bien determinado (ver Am. J. Phys. 295, (1977)).
neutrones
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
intensidad
¡
Absorbente
Figura 1.9: Difracci´n de Fresnel de neutrones.
o
Estos experimentos confirman la idea de que las part´
ıculas poseen tambi´n propiedades
e
ondulatorias (difracci´n). Por otra parte el efecto fotoel´ctrico y el efecto Compton muestran
o
e
que las ondas electromagn´ticas manifiestan adicionalmente propiedades de part´
e
ıcula. As´ es
ı
como se lleg´ a la formulaci´n del principio de complementaridad.
o
o
1.6
Principio de Complementariedad (dualidad ondapart´
ıcula).
“La materia posee naturaleza de part´
ıcula y de onda. Cu´l de ellas se manifiesta en un
a
experimento particular depende de qu´ propiedad es medida por el aparato”.
e
El siguiente diagrama representa al principio de complementariedad
Aparato que mide propiedad de
partícula
"colapso"
partícula
onda
"evaporación"
Aparato para ondas
Figura 1.10: Diagrama de complementariedad.
22. 1.6. PRINCIPIO DE COMPLEMENTARIEDAD (DUALIDAD ONDA-PART´
ICULA). 13
Apart´monos de la secuencia hist´rica que llev´ a la construcci´n de la Mec´nica Cu´ne
o
o
o
a
a
tica, y analicemos el significado de la dualidad onda-part´
ıcula. Consideremos por ejemplo el
siguiente experimento de interferencia; enviemos un onda luminosa sobre una l´mina con dos
a
rendijas.
intensidad
onda plana
direcciones en las
que se superponen
los máximos
pantalla
Figura 1.11: Experimento de interferencia.
En el caso de dos rendijas es particularmente simple encontrar las direcciones de interferencia constructiva; ´stas deben satisfacer
e
d sen θ = nλ n ∈ N .
A
d
B
θ
Figura 1.12: Geometr´ del experimento de interferencia.
ıa
La difracci´n de Bragg-Von Laue no es m´s que una versi´n microsc´pica de este efecto;
o
a
o
o
all´ la luz se reemplaza por rayos-X y las rendijas por la estructura peri´dica del cristal (ver
ı
o
23. ´
CAP´
ITULO 1. LA CRISIS DE LA F´
ISICA CLASICA.
14
Ashcroft-Mermin, en Solid State Physics (Holt, Rinehart and Winston 1976) p´g. 96).
a
A nivel de la F´
ısica Cl´sica son totalmente incompatibles las caracter´
a
ısticas corpusculares
y ondulatorias; en efecto, imaginemos la onda ubicada a la izquierda de las rendijas como
una distribuci´n homog´nea de fotones que viaja hacia la derecha; supongamos el flujo sufio
e
cientemente bajo, de modo que en cada momento se tenga a lo m´s un solo fot´n cruzando
a
o
la rendija. De acuerdo a la imagen cl´sica de una part´
a
ıcula, parece razonable suponer que los
fotones que formar´n la imagen de interferencia cumplen con la siguiente proposici´n l´gica:
a
o o
P 1 “Cada fot´n cruza o por la rendija A o por la rendija B ”.
o
Tal proposici´n parece confirmada al poner una fotoc´lula justo en frente de una de las
o
e
rendijas; se detecta o bien un fot´n completo (de energ´ ω) o bien no se detecta nada.
o
ıa
Nunca se detecta un fot´n de energ´ ω/2.
o
ıa
Sin embargo, si suponemos cierta esta proposici´n debemos concluir que el diagrama foro
mado sobre la pantalla no es m´s que la suma de los diagramas asociados a una y otra rendija.
a
El diagrama de intensidad obtenido por la proposici´n P 1 no concuerda con el experimeno
talmente observado (ver figura); es decir, la proposici´n P 1 no contempla la interferencia
o
(superposici´n) de las ondas provenientes de cada una de las rendijas.
o
intensidad
intensidad
A
B
Intensidad si la rendija
A está abierta y la
rendija B está cerrada.
Intensidad total en el
caso que P1 sea cierta
Intensidad si la rendija
B está abierta y la
rendija A está cerrada.
Intensidad total en el
caso que P2 sea cierta
Figura 1.13: Experimento de dos fotones.
Planteamos la proposici´n alternativa a P 1 adecuada a la imagen ondulatoria de la luz
o
(pero incompatible con el concepto cl´sico de part´
a
ıcula).
P 2 “Cada fot´n cruza a la vez por ambas rendijas ”.
o
24. 1.7. PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA.
15
Esta hip´tesis describe correctamente el diagrama de interferencia experimentalmente
o
observado pero no resulta adecuada para describir otros experimentos, por ejemplo, montar
una fotoc´lula contigua a la rendija A, de acuerdo a lo indicado anteriormente.
e
Resumiendo: Si colocamos un fotodetector sobre la pantalla (alejada de las rendijas), es
util la imagen del fot´n como onda hasta el momento de la medici´n (momento en el cual se
´
o
o
comporta como part´
ıcula), y por lo tanto pareciera cumplirse P 2. Pero al montar el fotodetector contiguo a una rendija pareciera cumplirse P 1. Este es el gran misterio que presenta
la microf´
ısica: no es posible hacerse una imagen (´nica) de los procesos microsc´picos; la
u
o
F´
ısica Cu´ntica nos exige renunciar a la intuici´n. Tan sorprendente situaci´n requiri´ un
a
o
o
o
cambio fundamental de actitud en los f´
ısicos de la d´cada de 1920; ya no podr´ seguir
e
ıan
buscando interpretaciones de la realidad microsc´pica-cu´ntica en t´rmino de concepciones
o
a
e
a-priori, provenientes de nuestra experiencia macrosc´pica; en cambio hab´ que construir
o
ıa
nuevas concepciones f´
ısicas capaces de describir esta nueva realidad. El enunciado del principio de complementariedad de Bohr mostraba este cambio de actitud; seg´n Bohr el hecho de
u
que un objeto cu´ntico tenga comportamientos diversos (aparentemente incompatibles desde
a
el punto de vista de nuestra intuici´n cl´sica) ante operaciones de medici´n mutuamente exo
a
o
cluyentes entre s´ no debe ser visto como contradictorio, sino que la informaci´n as´ obtenida
ı,
o
ı
debe considerarse como complementaria para el conocimiento del objeto cu´ntico.
a
La mec´nica cu´ntica plantea una situaci´n nueva; ya no es posible tener im´genes intuitia
a
o
a
vas de los distintos procesos cu´nticos; en cierta medida los distintos experimentos parecieran
a
proporcionalmente im´genes de “algunas facetas” del mundo cu´ntico; sin embargo, si trataa
a
mos de aunar toda la informaci´n experimental mediante una unica imagen cl´sica, nuestro
o
´
a
esquema resulta inevitablemente incoherente.
Los aparatos de medici´n s´lo son capaces de darnos facetas parciales de un objeto cu´no o
a
tico, dado el car´cter cl´sico de los primeros. S´lo tenemos acceso a la interrelaci´n objeto
a
a
o
o
cu´ntico-aparato de medici´n; no tenemos acceso al objeto cu´ntico “en si”.
a
o
a
1.7
Principio de correspondencia.
En la ´ptica f´
o
ısica, al considerar ondas electromagn´ticas de longitud de onda λ mucho menor
e
que las dimensiones t´
ıpicas de los elementos con que interact´a se obtiene lo que es conocido
u
como “´ptica geom´trica”. En la ´ptica geom´trica la naturaleza ondulatoria no entra en
o
e
o
e
juego y perfectamente se puede considerar a la luz de naturaleza corpuscular. De la misma
forma se puede pensar que la mec´nica cl´sica de Newton es el l´
a
a
ımite de longitudes de onda
corta de la mec´nica cu´ntica.
a
a
o
´ptica f´
ısica
λ→0
− − ´ptica geom´trica
−→ o
e
λ→0
mec´nica ondulatoria − − mec´nica cl´sica
a
−→
a
a
Recordando la relaci´n de de Broglie (1.11)
o
λ=
se obtiene que si h → 0 entonces λ → 0.
h
p
(1.11)
25. 16
´
CAP´
ITULO 1. LA CRISIS DE LA F´
ISICA CLASICA.
Principio de correspondencia.
Consideremos un fen´meno cl´sico. Si en el problema cu´ntico an´logo que le corresponde
o
a
a
a
se realiza el l´
ımite h → 0 (es decir, en el l´
ımite en que la mec´nica se vuelve continua), los
a
resultados cu´nticos deben coincidir con los resultados cl´sicos.
a
a
El proceso l´
ımite h → 0 de la mec´nica cu´ntica tiene varias sutilezas (en otras palabras,
a
a
no es trivial), a las cuales nos dedicaremos en un cap´
ıtulo posterior.
Adem´s, es conveniente hacer notar que no todo fen´meno cu´ntico tiene un an´logo
a
o
a
a
cl´sico. Por ejemplo para el spin σ de un sistema cu´ntico que s´lo posee dos niveles, no
a
a
o
existe un an´logo cl´sico.
a
a
Consideremos un sistema cu´ntico descrito por un n´mero cu´ntico n, entonces otra forma
a
u
a
equivalente de enunciar el principio de correspondencia es:
“Al realizar el l´
ımite de grandes n´meros cu´nticos (n → ∞) en un problema cu´ntico,
u
a
a
los resultados cu´nticos deben coincidir con los resultados cl´sicos”.
a
a
El principio de correspondencia asegura que no haya contradicciones al aplicar la mec´nica
a
cu´ntica a problemas macrosc´picos bien descritos por la mec´nica cl´sica.
a
o
a
a
1.8
El ´tomo de hidr´geno.
a
o
A principios del siglo XX se afianz´ la idea de que la materia macrosc´pica est´ en utlimo
o
o
a
´
t´rmino formada por ´tomos, principalmente a ra´ de los trabajos de A. Einstein sobre el
e
a
ız
movimiento Browniano. Posteriormente Rutherford (1911) logr´ determinar la naturaleza de
o
estos ´tomos como resultado de sus experimentos de dispersi´n de part´
a
o
ıculas por delgadas
l´minas de oro. En efecto, al combinar sus resultados con experimentos anteriores sobre la
a
carga y masa de un electr´n (Millikan, 1910, Thomson y Zeeman 1897) emergi´ la siguiente
o
o
−12
imagen de un ´tomo: su centro (n´cleo) tiene una dimensi´n del orden de 10
a
u
o
[cm], estando
all´ concentrada la mayor parte de su masa (m´s del 99.9% de ella). La carga nuclear es
ı
a
positiva y a su alrededor giran electrones de carga negativa, en ´rbitas de unos 10−8 [cm] de
o
di´metro (i.e. unas 10.000 veces mayor que el di´metro nuclear); en total la carga at´mica
a
a
o
es neutra.
La imagen anterior estaba en principio de acuerdo con las leyes de Newton (esto al hacer
una analog´ entre ´tomo y el sistema planetario), pero no as´ con las ecuaciones de Maxwell,
ıa
a
ı
seg´n las cuales una carga en movimiento circular deber´ irradiar luz (visible o no visible),
u
ıa
perdiendo constantemente energ´ hasta precipitarse al n´cleo. La luz irradiada no formar´
ıa
u
ıa
un espectro discreto (como el observado en los tubos de descarga), sino que uno continuo, es
decir, el ´tomo de Rutherford no explica ni la estabilidad at´mica ni su espectro de emisi´n.
a
o
o
Evaluemos el tiempo que tarda un electr´n para precipitarse al n´cleo. La potencia
o
u
irradiada viene dada por
2 e2 2
dW
=
a ,
dr
3 c3
(1.12)
(ver Jackson, ec. 14.22), donde a es la aceleraci´n.
o
La fuerza centr´
ıfuga y la fuerza Coulombiana atractiva vienen dadas por
Fcent =
mv 2
,
r
Fcoul = −
e2
.
r2
26. ´
´
1.8. EL ATOMO DE HIDROGENO.
17
e−
v
−8
ao
ao ~ 10 [cm]
núcleo
Figura 1.14: Electr´n precipitandose al n´cleo.
o
u
Al imponer
Fcent + Fcoul = 0 ,
se concluye
mv 2 =
e2
.
r
(1.13)
La aceleraci´n a viene dada por
o
a=
v2
.
r
(1.14)
De (1.12), (1.13) y (1.14) se concluye que
dW
2e6
= 3 2 4 ,
dt
3c m r
(Potencia irradiada).
(1.15)
Por otra parte, la energ´ del sistema es
ıa
1
e2
e2
1
E = mv 2 −
= − = − mv 2 ,
2
r
2r
2
(1.16)
luego
dE
e2 dr
= 2·
,
dt
2r dt
(Variaci´n de la energia del sistema)
o
(1.17)
Como, por conservaci´n de energ´
o
ıa,
dW
dE
+
=0,
dt
dt
se obtiene, sustituyendo (1.15) y (1.17) en (1.18) que
dt = −
3c3 m2 r2
dr .
4e4
(1.18)
27. ´
CAP´
ITULO 1. LA CRISIS DE LA F´
ISICA CLASICA.
18
Finalmente integrando, el tiempo de “decaimiento” resulta ser
t(r=0)
dt =
t(r=ao )
3 c2 m 2 3
r
8 e4
r=0
=
r=ao
3c2 m2 a3
o
∼ 10−5 [s] .
4
8e
Es interesante hacer notar que la vida media del primer estado excitado en el ´tomo de
a
hidr´geno es aproximadamente igual a la vida media cl´sica (principio de correspondencia).
o
a
Los problemas planteados por el ´tomo de Rutherford se pueden resolver introduciendo las
a
2s
−9
~10 [s]
1s
Átomo de H
Figura 1.15: Vida media del primer estado excitado del Hidr´geno.
o
siguientes hip´tesis (´tomo de Bohr):
o
a
1. Existen ´rbitas (n = 1, 2, 3, 4, ...) que no irradian.
o
2. El ´tomo irradia cuando el electr´n cambia de una ´rbita a otra. La frecuencia de la
a
o
o
radiaci´n en tal caso viene dada por:
o
ω = ∆E ,
= En − En−1 ,
diferencia de energ´ entre las 2 ´rbitas.
ıa
o
para ´rbitas contiguas.
o
3. Para n → ∞ la frecuencia de la radiaci´n debe coincidir con la cl´sica, (Principio de
o
a
correspondencia), o sea
En − En−1
dE(n)
−−
−→
= ω
¯
ω = En − En−1 =
n − (n − 1) n→∞
dn
frecuencia de luz emitida
ω=
¯
v
,
r
frecuencia del electr´n orbitado
o
frecuencia del electr´n orbitando.
o
Usando (1.13) esta ecuaci´n se puede escribir de la forma
o
ω=
¯
mv 3
.
e2
(1.19)
28. ´
´
1.8. EL ATOMO DE HIDROGENO.
19
Se tiene
mv 3
m
dE(n)
= ω=
¯
= 2
2
dn
e
e
8 3/2
E ,
m3
donde la primera igualdad corresponde al principio de correspondencia, la segunda igualdad
a la ecuaci´n (1.19) y la ultima a la ecuaci´n (1.16). Despejando
o
´
o
E −3/2 dE = −
2
e2
8
dn .
m
Integrando se obtiene
−2E −1/2 =
2
e2
8
n,
m
o sea
En = −
e4 m
2 2
1
R
=− 2
n2
n
n = 1, 2, . . . ,
(1.20)
donde R, la constante de Rydberg es
R≡
e4 m
e2
=
≈ 13.6 [eV] .
2 2
2ao
En (1.21) ao es el radio de Bohr y viene dado por
2
ao ≡
m
≈ 0.53 × 10−8 [cm].
Los radios de las distintas ´rbitas de Bohr vienen dados por
o
rn = −
e2
= ao n 2 .
2En
(Si el n´cleo tiene carga Ze hay que reemplazar en todas las ecuaciones e2 por Ze2 ).
u
Energía
0 rn
En
r
e
V(r) = _ ____
r2
Figura 1.16: Radio cl´sico de una orbita de Bohr.
a
(1.21)
29. ´
CAP´
ITULO 1. LA CRISIS DE LA F´
ISICA CLASICA.
20
E
Paschen
Balmer
0
n=3 −1.51 [eV]
n=2 −3.30 [eV]
n=1 −13.6 [eV]
Lyman
Átomo de Hidrógeno
´
Figura 1.17: Atomo de hidr´geno, transiciones entre niveles
o
Al cambiar un electr´n de la ´rbita con n´mero cu´ntico n2 a la ´rbita n1 , la energ´ del
o
o
u
a
o
ıa
fot´n asociado a la radiaci´n electromagn´tica es
o
o
e
∆E = ω = R
1
1
− 2
2
n1 n2
Evaluemos el momento angular para las distintas ´rbitas:
o
L = rp =
e2
e2
mv =
=
mv 2
v
=
2 n2
e4
−m 2
e
2E
e2 = n ,
o sea, obtenemos el siguiente sorprendente resultado
Ln = n ,
Cuantizaci´n del momento angular.
o
(1.22)
En lugar de la hip´tesis iii, tambi´n se podr´ haber postulado (1.22) para encontrar la
o
e
ıa
ecuaci´n (1.20) para la energ´ de los estados excitados del ´tomo de hidr´geno.
o
ıa
a
o
Hacemos notar que el resultado (1.22) resulta totalmente concordante con la hip´tesis de
o
De Broglie sobre la naturaleza ondulatoria de los electrones. En efecto, usando la hip´tesis
o
de De Broglie (1.11) se obtiene
r
h
h
= rp = L = n = n
,
λ
2π
o sea
n=
2πr
λ
n = 1, 2, 3, . . . .
(1.23)
30. ´
1.9. LA REGLA DE CUANTIZACION DE BOHR-SOMMERFELD.
21
rn
núcleo
Figura 1.18: Orbita electr´nica como onda estacionaria
o
Es decir, la longitud de onda de De Broglie asociada al fot´n est´ contenida un n´mero entero
o
a
u
de veces en la longitud de la ´rbita electr´nica. Lo anterior es una condici´n necesaria para
o
o
o
ondas estacionarias. De no ser as´ la onda auto-interferir´ aniquil´ndose. Resulta bastante
ı,
ıa
a
dif´ compatibilizar la idea de part´
ıcil
ıcula en una ´rbita definida con la de onda. Con el
o
establecimiento definitivo de la Mec´nica Cu´ntica (1924-1926) esta dificultad desapareci´
a
a
o
pues se abandon´ completamente la idea de “trayectoria del electr´n” u “´rbita electr´nica”.
o
o
o
o
1.9
La regla de cuantizaci´n de Bohr-Sommerfeld.
o
El razonamiento que nos llev´ a la ecuaci´n (1.23) lo podemos generalizar para cualquier
o
o
movimiento peri´dico.
o
El n´mero de ondas a lo largo de una trayectoria peri´dica viene dado por la integral
u
o
dq
,
λ(q)
donde q es la coordenada que mide la distancia a lo largo de la trayectoria. Para que la
onda auto-interfiera constructivamente se debe tener que el n´mero de ondas a lo largo de la
u
trayectoria sea entero, es decir
dq
= n con n ∈ N.
λ(q)
Usando la relaci´n de De Broglie (1.11) se obtiene la as´ llamada regla de cuantificaci´n de
o
ı
o
Bohr-Sommerfeld.
p(q)dq = nh .
Poniendo
dq = vdt
p = mv .
(1.24)
31. ´
CAP´
ITULO 1. LA CRISIS DE LA F´
ISICA CLASICA.
22
La ecuaci´n (1.24) queda de la forma
o
p(q)dq =
mv 2 dt = 2
T dt ≡ 2τ < T >= nh ,
(1.25)
1
donde · · · representa al promedio temporal, T = mv 2 es la energ´ cin´tica y τ es el
ıa
e
2
per´
ıodo del movimiento.
Si el potencial es del tipo V (q) = Aq S (con A y S constantes), podemos usar el teorema
del virial (ver por ejemplo Berkeley Physics Course I, p´g. 202 y 296). Seg´n el teorema del
a
u
virial, para movimientos en un potencial del tipo arriba mencionado, se tiene que:
T =
S
E,
S+2
(1.26)
donde E es la energ´ total.
ıa
A partir de (1.24), (1.25) y (1.26) se deduce que
2τ
S
E = nh ,
S+2
o sea
En = hνEn
S+2
2S
n
.
(1.27)
En (1.27) νEn es la frecuencia de la oscilaci´n que est´ relacionada con el per´
o
a
ıodo por la
ecuaci´n
o
νEo =
1
.
τ
Apliquemos estas ultimas relaciones a algunos casos particulares:
´
1. Oscilador arm´nico.
o
El potencial para el oscilador arm´nico es
o
1
V (q) = mω 2 q 2 ,
2
es decir en este caso S = 2. La frecuencia del oscilador arm´nico es independiente de
o
la energ´ Usando (1.27) con S = 2 se obtiene la forma en que est´n cuantizados los
ıa.
a
niveles de energ´ de un oscilador arm´nico:
ıa
o
En = nhν = n ω ,
resultado que esta de acuerdo con la hip´tesis de Planck. Este resultado, de la mec´nica
o
a
cu´ntica antigua, difiere del obtenido rigurosamente dentro de la Mec´nica Cu´ntica
a
a
a
s´lo en la energ´ del punto cero, es decir un t´rmino aditivo adicional de tama˜o ω/2.
o
ıa
e
n
32. ´
1.9. LA REGLA DE CUANTIZACION DE BOHR-SOMMERFELD.
23
¡
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¢
£
£
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¢
¢
£
£
¡
−c
0
c
q
Figura 1.19: Potencial de pozo.
2. Part´
ıcula en una caja.
Consideremos el potencial
V (q) =
0 |q| ≤ c
q
= lim
∞ |q| > c n→∞ c
n
.
En este caso S = n y n → ∞.
Para la frecuencia se obtiene en este caso (usando un argumento puramente cl´sico)
a
que:
τ=
1
4c
=
= 4c
νE
v
m
.
2E
(1.28)
Usando (1.27) con S → +∞ y sustituyendo (1.28) se obtiene
En =
hνE
hn
n=
2
8c
2En
.
m
Despejando En de esta ultima ecuaci´n se obtiene finalmente para los niveles de energ´
´
o
ıa
cuantizados la ecuaci´n
o
En =
π2 2 2
h2
n2 =
n ,
32mc2
8mc2
resultado que, como veremos m´s adelante, coincide con el obtenido rigurosamente
a
dentro de la Mec´nica Cu´ntica.
a
a
3. El ´tomo de Hidr´geno.
a
o
Para el ´tomo de hidr´geno el potencial es
a
o
V (r) = −
e2 Z
,
r
33. ´
CAP´
ITULO 1. LA CRISIS DE LA F´
ISICA CLASICA.
24
en este caso S = −1.
Del teorema del virial (1.26) con S = −1 se obtiene que
T = −E
(1.29)
Consideremos las partes radial y angular separadamente:
T = Tr + Tθ .
(1.30)
˙
Lθ
1
˙
,
Tθ = m (rθ)2 =
2
2
(1.31)
Para Tθ se tiene que
mientras que Tr se obtiene usando (1.25) para la parte radial:
Tr =
nh
hνE n
=
.
2τ
2
(1.32)
Como ya sabemos el momento angular viene cuantizado por la ecuaci´n:
o
L=
;
= 0, 1, . . . .
(1.33)
Tambi´n se tiene que
e
˙
θ = ωE = 2πνE ,
(1.34)
luego a partir de (1.31), (1.33) y (1.34) se obtiene
Tθ =
h νE
2πνE
=
.
2
2
(1.35)
De las ecuaciones (1.29), (1.30), (1.32) y (1.35) resulta
EN = −
hνE
hνE
(n + ) = −
N ,
2
2
(1.36)
donde
N ≡n+
= 0, 1, . . . ,
n = 1, 2, . . . .
Falta evaluar νE . El per´
ıodo τ = 1/νE se obtiene de la tercera ley de Kepler:
τ2 =
1
m2 π 2 3
=
R ,
2
νE
2Ze2
(1.37)
donde R es el semieje mayor de las trayectorias el´
ıpticas. Adem´s, se sabe que para el
a
potencial coulombiano, el semieje mayor R y la energ´ E est´n relacionadas por
ıa
a
E=−
Ze2
,
R
(1.38)
34. 1.10. EL PRINCIPIO DE INCERTEZA.
25
luego, de (1.36), usando (1.37) y (1.38) se obtiene
E2 =
h2 N 2 2Ze2
h2 N 2
=
,
4τ 2
4 mπ 2 R3
o bien
E=−
mZ 2 e4 1
.
2 2 N2
El espectro de energ´ que se obtiene es id´ntico al que se obtuvo anteriormente pero
ıa
e
el significado de los n´meros cu´nticos es diferente.
u
a
N
1
2
3
n
1
1
2
1
2
3
degeneraci´n
o
0
1
0
2
1
0
1
3
1
5
3
1
4
9
.
.
.
Como se desprende de la tabla, en la presente soluci´n se puede tener = 0, m´s
o
a
a´n, los niveles excitados del ´tomo de hidr´geno son degenerados teniendo los estados
u
a
o
varios momentos angulares orbitales distintos. Esta soluci´n del problema del ´tomo
o
a
de hidr´geno se asejema bastante m´s a la soluci´n cu´ntica rigurosa, que la soluci´n
o
a
o
a
o
presentada en la secci´n anterior.
o
(Ver tambi´n L. Gottdiener, Am. J. Phys. 45, 771, (1977)).
e
1.10
El principio de incerteza.
Un concepto muy importante de la Mec´nica Cu´ntica es el de “observables complementarios”;
a
a
esto se refiere a dos par´metros f´
a
ısicos tales que la medici´n del primero altera el resultado
o
de una medici´n simult´nea del segundo.
o
a
Un caso t´
ıpico de observables complementarios son la posici´n y el momento lineal en una
o
determinada direcci´n. Para ilustrar esto consideremos una rendija de di´metro d sobre la
o
a
que incide un fot´n con momento lineal p en la direcci´n x.
o
o
Al llegar a la rendija la “onda plana” asociada al fot´n, esta se difracta. Como es bien
o
sabido de la ´ptica f´
o
ısica, la direcci´n de propagaci´n de la onda no es estrictamente en la
o
o
direcci´n x sino que se difracta en un ´ngulo θ dado por
o
a
λ
= sen θ
2d
con λ =
h
p
.
35. ´
CAP´
ITULO 1. LA CRISIS DE LA F´
ISICA CLASICA.
26
intensidad
onda plana
θ
d
y
x
Figura 1.20: Experimento de difracci´n.
o
El hecho que un fot´n particular cruce la rendija representa una medici´n de la coordenada
o
o
y del fot´n, aunque con una imprecisi´n d, i.e. el error ∆y en la determinaci´n de y es
o
o
o
∆y =
d
.
2
(1.39)
Por otra parte el momento en la direcci´n y tampoco est´ bien definido, en vez de ser nulo
o ˆ
a
(como antes de traspasar la rendija), ahora est´ acotado aproximadamente por los valores
a
py = ±p sen θ, i.e.
∆py ≈ p sen θ .
(1.40)
De (1.39) y (1.40) se obtiene
d
d
h
∆y∆py ≈ p sen θ =
h sen θ = .
2
2λ
4
Siguiendo un camino m´s riguroso se obtiene (como veremos m´s adelante) que siempre se
a
a
cumple
∆y∆py ≥
2
.
(1.41)
Esta relaci´n se conoce como el principio de incerteza de Heisenberg (1926). Su aceptaci´n
o
o
elimina autom´ticamente el concepto de “trayectoria” en Mec´nica Cu´ntica: s´lo se puea
a
a
o
de conocer la posici´n y el momento de una part´
o
ıcula en una direcci´n cualquiera con una
o
precisi´n m´xima acotada por (1.41). Tal indeterminaci´n no es un problema de error experio
a
o
mental, sino que, de acuerdo al formalismo de la Mec´nica Cu´ntica, es una indeterminaci´n
a
a
o
esencial.
Como ilustraci´n consideremos:
o
1. Un electr´n localizado en una zona de dimensiones at´micas.
o
o
En este caso
∆x ∼ ao ∼ 0.5 × 10−8 [cm] ,
36. 1.10. EL PRINCIPIO DE INCERTEZA.
27
luego
1
∆p
=O
=O
me
∆x me
ao m e
2
2
e
e
km
=O
=O
c ∼ 2000
,
c
s
lo que corresponde aproximadamente a la velocidad promedio de un electr´n at´mico.
o
o
∆v =
2. Un prot´n localizado en una zona de dimensiones at´micas.
o
o
En este caso
km
.
ao m p
s
Esta velocidad es del orden de la velocidad t´rmica para el hidr´geno, obtenida de la
e
o
“Teor´ cin´tica de gases” para la temperatura ambiente.
ıa
e
∆v = O
∼1
Otra forma de visualizar el origen del principio de incerteza es el siguiente: Consideremos una part´
ıcula libre (en una dimensi´n) con un momento p1 bien definido. De
o
acuerdo a la hip´tesis de de Broglie, a tal part´
o
ıcula se le asocia una onda (plana) de
longitud de onda λ1 = h/p1 bien definida. Es claro que tal onda no est´ localizada.
a
Para localizar la part´
ıcula en una regi´n del espacio x hay que formar, como es bien
o
sabido, un paquete de ondas, es decir, hay que superponer ondas con distinto momento
lineal.
Consideremos la suma de 2 ondas planas
λ1
+
#1
λ2
=
#2
Superposición
∆x
A
B
Figura 1.21: Superposici´n de ondas.
o
Para obtener una interferencia destructiva en los extremos AB es necesario que el
n´mero de ondas de las 2 ondas difiera en 1 en el intervalo ∆x, o sea
u
∆x ∆x
−
∼1,
λ1
λ2
37. ´
CAP´
ITULO 1. LA CRISIS DE LA F´
ISICA CLASICA.
28
es decir
1
λ
∆x · ∆
=
1
∆x∆p ∼ 1 ,
h
de donde nuevamente se deduce que
∆x∆p ∼ h .
El principio de Incerteza no s´lo rige para la coordenada espacial y el momento lio
neal respectivo, sino que se cumple para cualquier par de coordenadas generalizadas
can´nicamente conjugadas, por ejemplo:
o
∆L∆θ ≥
2
,
∆t∆E ≥
2
,
∆y∆py ≥
2
,
etc.
Consideremos un observador situado en un lugar fijo que “ve” pasar un paquete de onda
Para este paquete se tiene que ∆x∆px ∼ . Por otra parte
∆x
x
Figura 1.22: Paquete de ondas.
E=
p2
o
,
2m
o sea
px ∆px
= vx ∆px .
(1.42)
m
El observador est´ inseguro del instante en que pasa el paquete en la cantidad
a
∆x
∆t =
.
(1.43)
vx
De (1.42) y (1.43) se obtiene
∆E =
∆E∆t = ∆x∆px ∼
.
(1.44)
Otra circunstancia en que interviene la relaci´n (1.44) es en el decaimiento de estados
o
cuasiestacionarios.
Tanto m´s demora el sistema en decaer tanto menor es ∆E. La raz´n de esto reside en
a
o
que si el sistema se encuentra poco tiempo en el pozo no es necesario que la regla de
cuantificaci´n de Bohr-Sommerfeld se cumpla con toda precisi´n. Si el sistema queda
o
o
durante un tiempo τ en el pozo y el per´
ıodo del sistema en el pozo es T , entonces lo
unico que debe satisfacerse es que en la τ /T pasadas, la onda no se desincronice en m´s
´
a
de τ /2. Luego, tanto mayor es τ , tanto menor es la desincronizaci´n de la onda dentro
o
del pozo.
40. Cap´
ıtulo 2
Introducci´n Matem´tica.
o
a
En este cap´
ıtulo se recopilar´n algunos resultados matem´ticos – sobre todo del ´lgebra lineal
a
a
a
– que ser´n de mucha utilidad para el desarrollo de estos apuntes. En la mayor´ de los casos
a
ıa
no demostraremos los resultados aqu´ enunciados, suponi´ndose que el lector ya los conoce
ı
e
de los cursos de matem´ticas.
a
2.1
Espacio vectorial sobre el cuerpo complejo C.
Consideremos un conjunto de elementos
H ≡ {| x , | y , . . . } .
Supongamos que existen dos leyes de composici´n tales que:
o
i) A todo par | x ∈ H, | y ∈ H, la primera ley de composici´n (para la cual usaremos el
o
s´
ımbolo +), asigna un objeto (| x + | y ) ∈ H, y se cumple:
(a) | x + | y = | y + | x
(Ley conmutativa).
(b) | x + (| y + | z ) = (| x + | y ) + |z
(Ley asociativa).
(c) Existe un elemento nulo |0 ∈ H, tal que
|x + |0 = |x .
(d) Todo | x puede ponerse en correspondencia con un elemento de H, que denotaremos
por | −x , denominado opuesto de | x , tal que
| x + | −x = | 0 .
ii) A todo elemento | x ∈ H y a todo n´mero α ∈ C la segunda ley de composici´n (para
u
o
la cual usaremos el s´
ımbolo ·), asigna un objeto α · | x ∈ H, y se cumple:
(a)
1 · |x = |x .
(b)
α · (β · | x ) = (αβ) · | x
(Ley asociativa, β ∈ C).
31
41. ´
´
CAP´
ITULO 2. INTRODUCCION MATEMATICA.
32
(c)
(α + β) · | x = α · | x + β · |x
(d)
α · (| x + | y ) = α · |x + α · |y (Ley distributiva).
(Ley distributiva para la adici´n de escalares).
o
Diremos en tal caso que H es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los n´meros complejos C.
u
Es inmediato ver que
0 · |x = |0
y (−1) · | x = −| x = | −x .
Es usual ignorar el s´
ımbolo · para la multiplicaci´n por un escalar.
o
2.2
Operadores Lineales.
ˇ
A es un operador lineal en H si es una aplicaci´n de H en H que cumple con
o
i)
ˇ
A| ψ ∈ H ,
ii)
∀ α, β ∈ C y | x , | y ∈ H ,
2.3
∀| ψ ∈ H ,
ˇ
ˇ
ˇ
A(α| x + β| y ) = αA| x + β A| y
Linealidad.
Vectores duales y producto interno.
A cada vector | x ∈ H le asociamos un vector dual {| x }† ≡ x |. Esta asociaci´n define un
o
espacio dual de H, denotado por H† , si tal asociaci´n cumple con:
o
{α| x + β| y }† = α∗ x | + β ∗ y | .
Introducimos, adem´s, una aplicaci´n de H† × H −→ C, un “producto interno” entre los
a
o
†
elementos de H y H por:
x | ∈ H† , | y ∈ H −→
x|y ∈ C .
La aplicaci´n H† × H −→ C cumple con las condiciones siguientes:
o
i) ( α x1 | + β x2 | ) | y = α x1 | y + β x2 | y .
ii)
x | ( α| y1 + β| y2 ) = α x | y1 + β x | y2 .
iii)
x | x ≥ 0.
iv)
x | x = 0 si y s´lo si | x = | 0 .
o
2.4
Base de un espacio vectorial.
Un conjunto de vectores {| mk } de H es una base de H si ∀ | ψ ∈ H, existen coeficientes
unicos Ck ∈ C, tales que
´
|ψ =
Ck | mk .
k
42. 2.4. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.
33
Como aqu´ se trabaja siempre en espacios con producto interno, se dispone de una m´trica
ı
e
y luego de conceptos adecuados de convergencia e integraci´n. Esto nos permite escribir
o
sumas como la anterior a´n en casos en que los Ck son no nulos para un conjunto infinito
u
numerable de ´
ındices k. Siempre que se escriba una tal suma, se supondr´ impl´
a
ıcitamente
que ´sta converge.
e
El n´mero de elementos de la base de H se denomina la dimensi´n de H o bien la
u
o
cardinalidad de H.
ˇ
ˇ
Sea A una aplicaci´n lineal de H en H. Al conocer el efecto de A sobre los vectores de
o
ˇ
una base de H, podemos determinar f´cilmente el efecto de A sobre cualquier vector | ψ .
a
En efecto, sea
ˇ
A| mk =
A k| m
,
y supongamos conocidos los coeficientes A k . Si | ψ =
ˇ
Ck A| mk =
ˇ
A| ψ =
k
Ck | mk , se tiene
Ck A k | m
,k
k
=
A k Ck
|m
.
k
Una base {| mk } de H es ortonormal si cumple con
mi | mj = δij
i, j = 1, . . . , n ,
donde n es la dimensi´n del espacio H.
o
En una base ortonormal {| mi }, el producto interno o “producto punto” de los vectores
|x =
xi | mi ,
|y =
i
yj | mj ,
j
puede expresarse como sigue:
x∗ yj mi | mj =
i
x|y =
ij
x∗ yj δij ,
i
ij
o sea,
x∗ yi .
i
x|y =
i
De esta ultima ecuaci´n se deduce inmediatamente que
´
o
x | y = ( y | x )∗ .
43. ´
´
CAP´
ITULO 2. INTRODUCCION MATEMATICA.
34
2.5
Espacios vectoriales de dimensi´n continua.
o
a dimensi´n de un espacio vectorial puede ser finita o infinita. En este ultimo caso la dimeno
´
si´n puede ser numerable (en cuyo caso el ´
o
ındice k que rotula los vectores de una base es
discreto) o no numerable (siendo el ´
ındice k que rotula un conjunto completo de vectores del
espacio vectorial una variable continua).
Para un espacio de dimensi´n no numerable, las ideas anteriores deben generalizarse. En
o
este caso la sumatoria debe reemplazarse por una integral, escribi´ndose la expansi´n de un
e
o
vector | ψ en la forma
|ψ =
dk C(k) | m(k) .
A los valores que puede tomar el producto interno hay que agregarle el ∞. La ortonormalidad de un conjunto completo de vectores base de un espacio de dimensi´n continua queda
o
expresada por
m(k) | m(k ) = δ(k − k ) ,
donde δ es la “delta de Dirac” (ver secci´n siguiente).
o
Consideremos los dos vectores
|x =
dk x(k) | m(k) ,
|y =
dk y(k ) | m(k ) .
Si las funciones x(k) y y(k) son de cuadrado integrable, entonces es posible introducir una
m´trica. En tal caso el producto interno de los dos vectores queda expresado por
e
x|y =
=
dk dk x∗ (k) y(k ) m(k) | m(k )
dk dk x∗ (k) y(k ) δ(k − k ) ,
es decir,
x|y =
dk x∗ (k) y(k) = ( y | x )∗ .
Cuando un vector | x es no normalizable, impondremos al menos que |x(k)| sea acotado.
Si bien este caso puede presentar dificultades formales, en lugar de presentar una teor´
ıa
demasiado general que pueda sobrepasar el margen de inter´s f´
e ısico, trataremos de resolverlas
en la situaci´n espec´
o
ıfica donde ellas surjan.
2.6
La δ de Dirac.
La δ de Dirac no es una funci´n en el sentido convencional, sino que est´ definida como una
o
a
distribuci´n. Esto significa que δ(x) no viene definido por su valor en cada punto, sino que
o
solamente por los valores de la integral
+∞
f (t) δ(x − t) dt ,
−∞
44. 2.6. LA δ DE DIRAC.
35
que se obtienen para un x arbitrario, cuando f (t) es cualquier funci´n continua. La “funo
ci´n” δ(x) se puede interpretar como el l´
o
ımite de una sucesi´n de funciones fn (x), con
o
∞
dx | fn (x) | < A, con A fijo, y que satisface
−∞
+∞
fn (x − x ) dx = 1 ,
lim
n→∞
−∞
y que tienden a anularse en todo punto x, salvo para x = 0. Es f´cil mostrar que tal “funci´n”
a
o
cumple con
+∞
dx g(x ) fn (x − x ) = g(x) .
lim
n→∞
−∞
Algunas sucesiones que generan a la δ de Dirac son:
i)
δ(x) = lim
a→∞
|x| ≤ 1/a
,
|x| > 1/a
a/2
0
ii)
δ(x) =
1
lim
π n→∞
sen (nx)
x
,
iii)
δ(x) =
1
lim
π →0
2
+ x2
,
iv)
1
1
x2
δ(x) = √ lim √ exp −
π →0
.
Sea f (x) una funci´n con derivada continua en x = xo . Entonces algunas propiedades de
o
la δ de Dirac son:
i)
+∞
+∞
δ(x − xo ) f (x) dx = f (xo ).
ii)
+∞
−∞
δ (x − xo ) f (x) dx = −f (xo ).
iii)
+∞
−∞
δ (n) (x − xo ) f (x) dx = (−1)n f (n) (xo ).
iv)
δ(x) = δ(−x) = δ ∗ (x), o sea, la δ de Dirac es par y real.
v)
δ(x) = 0 en cada intervalo cerrado que no contenga el 0.
vi)
f (x) δ(x) = f (0) δ(x).
45. ´
´
CAP´
ITULO 2. INTRODUCCION MATEMATICA.
36
vii)
Como caso particular de la propiedad anterior: x δ(x) = 0.
viii)
δ(ax) =
ix)
δ(x)
|a|
δ(f (x)) =
+∞
−∞
x)
i
δ(x − xi )
, donde xi son cero simples de f , es decir, f (xi ) = 0 ∀ i.
| f (xi ) |
δ(x − t) δ(s − t) dt = δ(x − s).
xi)
δ (x) = −δ (−x), la derivada de la δ de Dirac es impar.
xii)
Si
f (x)
es una funci´n continua en x = 0, entonces
o
x
+∞
+∞
1
δ (x) f (x) dx = −
δ(x) f (x) dx ,
−∞
−∞ x
en tal caso se puede escribir
1
δ (x) = − δ(x) .
x
xiii)
δ(x − xo ) =
1
2π
+∞
eik(x−xo ) dk .
−∞
Esta relaci´n es delicada. S´lo tiene sentido si se usa en una integral y luego se intero
o
cambia el orden de integraci´n ( o si se usa con un factor de convergencia, como por
o
ejemplo, exp (−|k|η) con η −→ 0).
xiv) Es c´modo imponer (y as´ se supondr´ durante el curso) que
o
ı
a
∞
0
1
dx f (x) δ(x) = f (0) .
2
Algunas relaciones utiles de la δ en tres dimensiones son:
´
1
eikr d3 k .
δ(r ) = δ(x) δ(y) δ(z) =
(2π)3
δ(r ) F (r ) d3 r = F (0) .
δ(r ) =
δ(r − r ) =
δ(r)
.
2πr2
1
δ(Ω − Ω ) δ(r − r) ,
r2
donde
δ(φ − φ ) δ(θ − θ )
.
sen θ
La integraci´n de la variable radial, como es usual, se realiza partiendo de r=0.
o
δ(Ω − Ω ) = δ(φ − φ ) δ(cos θ − cos θ ) =
46. ´
´
2.7. ORTONORMALIZACION DE UNA BASE DE DIMENSION DISCRETA.
2.7
37
Ortonormalizaci´n de una base de dimensi´n diso
o
creta.
Una vez definido el producto interno, una base discreta cualquiera puede ser ortonormalizada
usando el m´todo de Gram-Schmidt. Para ello se procede como sigue: Sea {| mi }i una base
e
arbitraria. Comenzamos normalizando | m1 ,
| m1 −→ | m1 =
| m1
m1 | m1
.
A continuaci´n, se construye un vector | m2 , que sea una combinaci´n lineal de | m1 y | m2
o
o
y sea ortogonal a | m1 . Es f´cil mostrar que el vector
a
| m2 = | m2 − overlinem1 | m2 | m1 ,
cumple con esos requerimientos. Normalizamos | m2 ,
| m2 −→ | m2 =
Introducimos ahora | m3
| m2
m2 | m2
.
dado por
| m3 = Cte · [ | m3 − m1 | m3 | m1 − m2 | m3 | m2 ] .
Este vector es ortogonal a | m1 y | m2 , etc...
2.8
Norma.
La norma de un vector | x viene definida por
2
i |xi |
x|x =
|x| ≡
dk |x(k)|2
caso discreto,
caso continuo.
La norma de | x es siempre positiva o cero, lo ultimo s´lo si | x = | 0 .
´
o
2.9
Operadores de proyecci´n P.
o ˇ
Consideremos un espacio H provisto de una norma. Sea | m ∈ H y m | ∈ H† . Definamos
ˇ
el operador P = | m m | como sigue:
∀|ψ ∈ H ,
ˇ
P| ψ = {| m
ˇ
P : H −→ H ,
m |} | ψ ≡ | m { m | ψ } ∈ H .
operador
∈H
∈H
∈C
47. ´
´
CAP´
ITULO 2. INTRODUCCION MATEMATICA.
38
El operador | m
|m
m | es lineal. En efecto
m |(α| φ + β| ψ ) = ( α m | φ + β m | ψ ) | m
= α( | m m | ) | φ + β( | m
m | )| ψ .
ˇ
Demostremos que cualquier operador lineal A es una combinaci´n lineal de operadores de
o
ˇ un operador lineal que sobre los vectores de una base ortonormal {| mk }
proyecci´n. Sea A
o
act´a de la siguiente forma:
u
ˇ
A| mk =
A k| m
,
ˇ
entonces, A se puede expresar en la forma
ˇ
A=
A j| m
mj | .
j
En efecto,
ˇ
A| mk =
A j| m
mj | mk
j
A k| m
A j | m δjk =
=
.
j
Los conceptos aqu´ desarrollados se pueden extender (en la medida que las expresiones
ı
involucradas se mantengan con sentido) para casos en que los vectores de la base est´n
e
normalizados a la funci´n δ de Dirac.
o
2.10
El operador identidad.
Consideremos un vector | ψ ∈ H en la base ortonormal {| mk }:
ψk | mk .
|ψ =
(2.1)
k
Se tiene que
ψk m | mk =
m |ψ =
k
ψk δ k = ψ ,
k
o sea,
ψ = m |ψ ,
(2.2)
Reemplazando (2.2) en (2.1), se obtiene
|ψ =
mk | ψ | mk =
k
∈C
{| mk
=
k
| mk
k
mk | ψ
k
∈H
mk |} | ψ
operador
=
| mk
∈H
ˇ
mk | | ψ = 1| ψ .
48. 2.11. OPERADORES UNITARIOS.
39
Esto nos permite identificar
| mk
ˇ
mk | = 1
Operador identidad.
k
Esta ultima ecuaci´n tambi´n se llama relaci´n de completitud o de clausura y es v´lida al
´
o
e
o
a
usar una base ortonormal completa.
Si la dimensi´n del espacio vectorial es continua, el operador identidad se escribe de la
o
forma
ˇ
m(k) | = 1 .
dk| m(k)
2.11
Operadores unitarios.
ˇ
Consideremos los operadores U que “preservan” el producto punto, es decir, ∀ | ψ , | φ ∈ H
cumplen con
ψ|φ = ψ|φ ,
(2.3)
donde,
ˇ
| ψ = U| ψ
ˇ
y | φ = U| φ .
ˇ
En tal caso decimos que U es un operador unitario. A partir de lo anterior podemos concluir
que los operadores unitarios transforman una base ortonormal en otra base ortonormal.
ˇ
ˇ
Sea A un operador y ψ | ∈ H† , definimos el vector dual ψ |A por
ˇ
ψ |A = ψ |
A j| m
mj |
j
≡
A j { ψ | m } mj | .
j
∈C
∈C
∈H†
ˇ
ˇ
Sea A un operador y | ψ ∈ H y evaluemos {A| ψ }† :
†
ˇ
{A| ψ }† =
A j| m
mj | ψ
j
∈C
A∗j {
=
mj | ψ }∗ m |
j
A∗j ψ | mj
=
m |
j
A∗j | mj
= ψ|
j
m |
,
49. ´
´
CAP´
ITULO 2. INTRODUCCION MATEMATICA.
40
es decir,
ˇ
ˇ
{A| ψ }† = ψ |A† ,
donde
†
ˇ
A† =
A j| m
mj |
A∗j | mj
≡
j
m |.
j
Resumen (del efecto de la operaci´n †):
o
i)
{| ψ }† = ψ |.
ii)
{ ψ |}† = | ψ .
iii)
{| φ
iv)
{ φ | ψ }† = { φ | ψ }∗ = ψ | φ .
v)
ˇ
ˇ
{A† }† = A.
ψ |}† = | ψ
φ |.
ˇ
Consideremos ahora la expresi´n ψ | { A| φ }. Tenemos
o
ˇ
ψ | {A| φ } = ψ |
∈H†
Aij | mi
mj | | φ
ij
∈H
= ψ|
∈H†
Aij | mi
ij
mj | φ =
∈H
∈C
Aij ψ | mi
=
∈C
Aij ψ | mi
mj | φ
ij
mj | | φ
ij
=
ψ|
Aij | mi
mj |
ˇ
| φ = { ψ |A } | φ ,
ij
luego
ˇ
ˇ
ˇ
ψ |{A| φ } = { ψ |A}| φ ≡ ψ | A | φ .
El trabajo reci´n realizado muestra las distintas posibilidades de la notaci´n que se est´
e
o
a
empleando. Esta poderosa notaci´n, que no presenta ambig¨edades, fue introducida en la
o
u
mec´nica cu´ntica por Paul Dirac.
a
a
ˇ
Evaluemos mi | A | mj . Tenemos
ˇ
mi | A | mj = mi |
A k| m
mk |
| mj
k
A k mi | m
=
k
mk | mj =
A k δi δkj ,
k
50. 2.11. OPERADORES UNITARIOS.
41
finalmente,
ˇ
mi | A | mj = Aij .
Estas son las componentes de un operador en la base {| mi }.
Expresemos ahora en componentes la acci´n de un operador sobre un vector:
o
ˇ
ˇ ˇ ˇ
ˇ ˇ
A| ψ = 1 · A · 1| ψ = 1 · A
| mk
=
|m
ˇ
mk | A | m ψ =
k
| m k Ak ψ
k
| mk
=
m || ψ
Ak ψ
.
k
Note que la expresi´n en el ultimo par´ntesis no es otra cosa que un producto matricial.
o
´
e
ˇ | φ )∗ . Se tiene
Evaluemos ( ψ | A
ˇ
ˇ
ˇ
( ψ | A | φ )∗ = ( ψ |{A| φ })∗ = {A| φ }† | ψ
ˇ
= φ|A† |ψ ,
de lo cual conclu´
ımos
ˇ
ψ|A|φ
∗
ˇ
= φ|A† |ψ .
Usando esta relaci´n se obtiene
o
ˇ
A∗ = m i | A | m j
ij
∗
ˇ
= mj |A† |mi = (A† )ji ,
es decir,
(A† )ji = A∗ .
ij
ˇ ˇ ˇ
Ejercicio: (Problema 2-1) Sean A, B, C tres operadores, demuestre que:
i)
ˇˇ
ˇ ˇ
(AB)† = B† A† .
ii)
ˇˇˇ
ˇ ˇ ˇ
(ABC)† = C† B† A† .
ˇ
ˇ
ˇ
Definici´n 2.1 Un operador A es autoherm´
o
ıtico si A† = A.
Usando componentes se tiene:
A∗ = (A† )ji = Aji ,
ij
ˇ
es decir, un operador A es autoherm´
ıtico s´lo si las componentes del operador en una base
o
ortonormal cualquiera cumplen con
A∗ = Aji .
ij
51. ´
´
CAP´
ITULO 2. INTRODUCCION MATEMATICA.
42
ˇ
Consideremos nuevamente un operador unitario U y una base ortonormal {| mi }. Deˇ
notemos por | mi a los vectores que resultan al operar con el operador U sobre los vectores
ˇ
de la base, es decir, | mi ≡ U| mi . Se tiene:
(2.3)
δij = mi | mj = mi | mj
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
= {U| mi }† {U| mj } = { mi |U† }{U| mj }
ˇ ˇ
= mi | U† U | mj ,
luego,
ˇ ˇ
mi | U† U | mj = δij .
(2.4)
Por otra parte se tiene
ˇ
1=
| mi
mi | =
i
| mi
mi | mj
mj |
ij
δij | mi
=
mj | .
(2.5)
ij
Reemplazando (2.4) en (2.5), se obtiene
| mi
ˇ ˇ
mj |( mi | U† U | mj )
| mi
ˇ
1=
ˇ ˇ
mi |U† U| mj
ij
=
mj |
ij
| mi
=
ˇ ˇ
mi | U† U
i
| mj
mj |
j
ˇ ˇ
ˇˇ ˇˇ
= 1U† U1 = U† U .
ˇ
ˇ
Conclu´
ımos que el inverso U−1 de un operador unitario U es igual a su herm´
ıtico conjugado:
ˇ
ˇ
U−1 = U† .
(2.6)
ˇ
Rec´
ıprocamente, si un operador satisface la relaci´n (2.6), entonces U es unitario. En efecto,
o
ˇ
ˇ
sea | ψ = U| ψ y | φ = U| φ , entonces
ˇ ˇ
ˇ
ψ | φ = ψ | U† U | φ = ψ | 1 | φ = ψ | φ .
2.12
Cambio de Base.
El poder de la notaci´n de Dirac se pone de manifiesto al cambiar de base, proceso que en la
o
notaci´n habitual resulta a veces un poco confuso.
o
52. 2.12. CAMBIO DE BASE.
43
ˇ
Sean {| mi }i y {| tk }k dos bases completas y ortonormales de H y A un operador.
Entonces se tiene
ˇ
ˇˇˇ
A = 1A1 =
| mi
ˇ
mi | A | mj
mj |
ij
| mi (m A)ij mj |
=
ij
ˇ
El super´
ındice m se usa para recordar que (m A)ij son las componentes de A en la base | mi .
Por otra parte,
ˇ
ˇˇ ˇ ˇˇ
A = 11A11
| tk
=
ˇ
mi | A | mj
tk | mi
mj | tl
tl |
ikjl
ˇ
tk | mi (m A)ij mj | tl
| tk
=
tl |
ij
kl
ˇ
| tk (t A)kl tl | ,
=
kl
lo que nos permite identificar
(t A)kl =
tk | mi (m A)ij mj | tl .
(2.7)
ij
ˇ
Analicemos ahora la forma del operador U que realiza el cambio de base. Se tiene
ˇ
U| mk = | tk ,
por consiguiente
ˇ
U−1 | tk = | mk .
Por otra parte
| tk
ˇ
tk | U | mi
| tk
ˇ
U=
tk | ti
mi |
ki
=
mi | =
k,i
| tk δik mi | ,
k,i
por lo tanto,
ˇ
U=
| tk
mk | .
k
El “ket” | tk crea un vector | tk mientras que el “bra” mk | aniquila un vector | mk . An´a
logamente
ˇ
U−1 =
| mk
k
tk | .
53. ´
´
CAP´
ITULO 2. INTRODUCCION MATEMATICA.
44
Adicionalmente, podemos escribir
ˇ
ˇˇ
U = 1U =
| mj
mj | tk
ˇ
mk | = (U en la base{| mk }) ,
jk
ˇ
ˇˇ
U = U1 =
| tk
mk | t
ˇ
t | = (U en la base{| t }) .
k
ˇ
ˇˇ
U−1 = 1U−1 =
| tj
tj | mk
tk |
jk
ˇ −1
U
ˇ −1 ˇ
| mj
=U 1=
tj | mk
mk | .
jk
De las relaciones anteriores se deduce que
ˇ
ˇ
(m U)jk = mj | tk = (t U)jk = Ujk ,
(2.8)
−1
∗
ˇ
ˇ
(m U−1 )jk = tj | mk = (t U−1 )jk = Ujk = Ukj ,
(2.9)
y
ˇ
es decir, las componentes del operador unitario U que realiza el cambio de base son las
mismas en las dos bases.
Al reemplazar las ecuaciones (2.8) y (2.9) en (2.7) se obtiene
ˇ
( t A)k =
ˇ
ˇ
ˇ
(U−1 )ki (m A)ij (U)j ,
ij
recuperando as´ un resultado conocido del Algebra Lineal.
ı
2.13
Notaci´n de Dirac y la notaci´n convencional de
o
o
matrices.
Consideremos, por simplicidad, un espacio vectorial de dimensi´n finita N . Sean los vectores
o
{| 1 , | 2 , . . . , | N } = {|i }, i = 1, . . . , N , una base ortonormal. Como ya hemos visto, un
ˇ
operador A se puede expresar de la forma
ˇ
A=
aij | i
j|.
ij
ˇ
Los coeficientes aij forman una matriz cuadrada (que es la matriz de A en la base {| i }i )
a11 a12 a13 . . . a1N
a
a22
·
ˇ 21
A= .
.
.
..
.
.
.
.
.
aN 1 . . .
aN N
54. 2.14. AUTOVALORES DE UN OPERADOR.
45
ˇ
Ejemplo: En un espacio de dimensi´n 2 considere el operador A = α| 1
o
de coeficientes en este caso es
0 α
0 0
ˇ
A=
2 |. La matriz
.
ˇ ˇ
Sean A, B dos operadores que en la base {| i } se expresan por
ˇ
A=
aij | i
j|,
bij | i
j|.
ij
ˇ
B=
ij
ˇˇ
Para el operador AB tenemos entonces:
ˇˇ
AB =
aij | i
j|
bkl | k
ij
k
aij bk | i
=
|
j |k
|
ijk
=
|i
aij bj
i
|.
j
Por otra parte,
ˇˇ
ˇ
AB ≡ C =
ci | i
|.
i
De las expresiones anteriores se deduce que
ci =
aij bj ,
j
ˇ
ˇ
ˇ
o sea, la matriz de C es simplemente el producto de la matriz de A y la matriz de B.
2.14
Autovalores de un operador.
ˇ
ˇ
Dado un operador A, decimos que | x es un autovector de A siendo λ ∈ C el correspondiente
autovalor si
ˇ
A| x = λ| x .
(2.10)
Si | x es un autovector, entonces α| x , con α ∈ C, tambi´n es un autovector. Usualmente
e
se considera a | x y α| x , como “un mismo autovector”.
55. ´
´
CAP´
ITULO 2. INTRODUCCION MATEMATICA.
46
Para el caso de un espacio de dimensi´n n finita, usando una base arbitraria del espacio
o
la ultima ecuaci´n se puede escribir de la forma
´
o
A11 A12 A13 . . . A1n
x1
x1
A21 A22
x2
x2
·
.
. =λ . .
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
An1 . . .
Ann
xn
xn
De ac´ se deduce la ecuaci´n para λ:
a
o
ˇ
ˇ
det (A − λ 1) = det (Aij − λ δij ) = 0 .
Esta ecuaci´n, conocida como ecuaci´n secular, da lugar a un polinomio de grado n, llamado
o
o
polinomio caracter´
ıstico
λn + cn−1 λn−1 + . . . + c0 = 0 .
En el campo complejo C, esta ecuaci´n tiene n soluciones; cada soluci´n distinta da lugar a
o
o
un autovector, de modo que si todos los autovalores son distintos tambi´n hay n autovectores.
e
Si hay autovalores que coinciden (en cuyo caso se dice que el autovalor es degenerado), puede
ocurrir que el n´mero de autovectores sea menor que la dimensi´n del espacio. En todo caso,
u
o
siempre existe al menos un autovector para cada autovalor.
Veamos ahora el problema desde otro ´ngulo. Partamos con un operador diagonalizable,
a
y por simplicidad elijamos la base en que ya es diagonal, es decir,
λ1 0 0 . . .
0 λ2
ˇ
A= .
.
.
.
λ3
.
..
.
.
.
Tenemos
ˇ
ˇ
det(A − x1) =
λ1 − x
0
0
0
λ2 − x
0
0
0
λ3 − x
.
.
.
0
...
λn − x
= (λ1 − x)(λ2 − x) · . . . · (λn − x)
= P (x) = polinomio de grado n.
ˇ
Las ra´ del polinomio P (x) dan los n autovalores de A.
ıces
ˇ
Si A no es diagonal, pero diagonalizable (luego veremos que todo operador autoherm´
ıtico
ˇ
ˇˇˇ
es diagonalizable), entonces se tiene que existe un operador S tal que SAS−1 es diagonal, es
decir,
λ1
0
λ2
ˇˇˇ
SAS−1 =
.
..
.
0
λn
56. 2.14. AUTOVALORES DE UN OPERADOR.
47
ˇ
ˇ
Nuevamente calculemos det (A − x1). Usando dos de las propiedades de los determinantes:
ˇ −1 = (det S)−1 y det (AB) = (det A)(det B), se obtiene:
ˇ
ˇˇ
ˇ
ˇ
det S
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
det (A − x1) = (det S) det (A − x1)(det S−1 )
ˇˇˇ
ˇ
= det (SAS−1 − x1)
λ1 − x
0
λ2 − x
=
..
.
λn − x
0
= (λ1 − x)(λ2 − x) . . . (λn − x) ,
o sea,
ˇ
ˇ
det (A − x1) = (λ1 − x)(λ2 − x) . . . (λN − x) = P (x) .
As´ pues, sea o no sea diagonal, al extraer las ra´
ı
ıces del polinomio P (x) se obtienen los
ˇ
autovalores de A.
Ejemplo Encontremos los autovalores y autovectores de
ˇ
A=
0 1/2
1/2 0
−x 1/2
1/2 −x
= x2 −
.
Soluci´n:
o
ˇ
ˇ
det (A − x1) =
1
=
4
x+
1
2
x−
1
2
,
es decir, los dos autovalores son λ1 = 1/2 y λ2 = −1/2. Para encontrar los autovectores | λ1
y | λ2 procedemos de la siguiente manera: Expresemos el vector | λ1 = α| 1 + β| 2 en
notaci´n matricial:
o
α
β
= notaci´n matricial del vector | λ1 .
o
ˇ
Entonces la ecuaci´n de autovalores A| λ1 = λ1 | λ1 se escribe de la forma
o
0 1/2
1/2 0
α
β
= λ1
α
β
.
Para el autovalor λ1 = 1/2, la ultima ecuaci´n da la relaci´n
´
o
o
β/2
α/2
=
1
2
α
β
=⇒ α = β .
Como |α|2 + |β|2 = 1 (si los | λi est´n normalizados), se concluye que
a
1
α=β= √ ,
2
57. ´
´
CAP´
ITULO 2. INTRODUCCION MATEMATICA.
48
o sea,
1
1
| λ1 = √ (| 1 + | 2 ) −→ √
2
2
1
1
.
An´logamente, para el otro autovalor, λ2 = −1/2, se obtiene
a
1
1
| λ2 = √ (| 1 − | 2 ) −→ √
2
2
1
−1
.
Note que no siempre una matriz no autoherm´
ıtica es diagonalizable. Por ejemplo
ˇ
M=
λ b
0 λ
.
ˇ
ˇ
no es diagonalizable. Demuestre como ejercicio (Problema 2-2) que M = M† y que s´lo el
o
1
ˇ
vector proporcional a
es autovector de M.
0
Ejercicio : (Problema 2-3)
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Demuestre que si A = A† y B = B† , entonces los siguientes operadores son autoherm´
ıticos:
ˇ
i) An ,
∀ n ∈ N.
1
ˇ
ˇ ˇ
ˇˇ
ˇˇ
ii) C ≡ − 2 i [A, B] = − 1 i (AB − BA).
2
1 ˇ ˇ
ˇ
ˇˇ
ˇˇ
iii) D ≡ 2 {A, B}+ = 1 (AB + BA).
2
ˇˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Concluya de ac´ que AB = C + iD con C y D autoherm´
a
ıticos, no es autoherm´
ıtico aun
ˇ
ˇ
cuando A y B lo sean.
2.15
El caso de operadores autoherm´
ıticos.
ˇ
ˇ
Si A = A† , podemos hacer afirmaciones m´s fuertes que en el caso general; en efecto:
a
ˇ
Proposici´n 2.1 Los autovalores de A son reales.
o
Demostraci´n Tomemos el dual de la relaci´n (2.10)
o
o
ˇ
x |A† = (λ| x )† = λ∗ x | .
ˇ
ˇ
Realizando el producto punto con | x y usando el hecho que A = A† se deduce que
ˇ
x|A|x =
ˇ
x |A† | x
ˇ
x | A| x
= λ∗ x | x
= λ x|x
= λ∗
=λ
=⇒ λ = λ∗ .
q.e.d.
58. 2.15. EL CASO DE OPERADORES AUTOHERM´
ITICOS.
49
ˇ
Proposici´n 2.2 Si λi y λj son autovalores de A, y λi = λj , entonces los autovectores
o
asociados, digamos | ai y | aj , son ortogonales.
Demostraci´n
o
ˇ
ai | A | aj = ai | λ j | aj = λ j ai | aj
(2.11)
ˇ
ˇ
( aj | A | ai )† ≡ ( aj | A | ai )∗ = ( aj | λi | ai )∗ = (λi aj | ai )∗ = λ∗ ( aj | ai )∗ = λi ( ai | aj ) .
i
Pero
ˇ
ˇ
ˇ
( aj | A | ai )† = ai | A† | aj = ai | A | aj .
De las dos ecuaciones anteriores se deduce que
ˇ
ai | A | aj = λ i ai | aj .
(2.12)
Restando (2.12) de (2.11) se obtiene
0 = (λi − λj ) ai | aj .
Como λi = λj , se tiene que
ai | aj = 0 .
(2.13)
Autovectores que corresponden a autovalores distintos siempre son ortogonales.
q.e.d.
ˇ
Proposici´n 2.3 Los autovectores de A forman una base completa de H.
o
ˇ
Demostraci´n Sea H1 el espacio engendrado por todos los autovectores de A y supongao
mos que tal espacio no coincide con H. Sea H2 el complemento, es decir, H = H1 ⊕ H2 .
Mostraremos que con esta hip´tesis se llega a una contradicci´n.
o
o
Partimos construyendo una base ortonormal en H1 , es decir, en el espacio engendrado por
ˇ
los autovectores de A. Si los autovectores corresponden a autovalores distintos, los autovectores ya son ortonormales. Si algunos autovalores coinciden, por ejemplo, λ1 = λ2 = . . . = λs ,
entonces decimos que el subespacio con base {| a1 , | a2 , . . . , | as } es un subespacio de
degeneraci´n del autovalor λ1 . Mediante el m´todo de Schmidt, siempre es posible encontrar
o
e
una base ortonormal de vectores en el subespacio de degeneraci´n. As´ pues, todos los {| ai }
o
ı
los podemos considerar ortonormalizados.
Usando nuevamente el proceso de Schmidt, completamos ahora la base de H con vectores {| bj } que sean ortogonales a los {| ai }. Tales vectores pertenecen al espacio H2 .
ˇ
Mostraremos a continuaci´n que el operador A deja al espacio H2 invariante, es decir,
o
∀ | b ∈ H2 ,
ˇ
A| b ∈ H2 .
59. ´
´
CAP´
ITULO 2. INTRODUCCION MATEMATICA.
50
En efecto, sea | aj un vector de la base del espacio H1 , entonces
ˇ
ˇ
aj | A | b = aj |A | b
= λ ∗ aj | b = 0 ,
j
ˇ
o sea, A| b no tiene componente en el espacio H1 . As´ pues, tanto H1 como H2 son espacios
ı
ˇ
ˇ
invariantes ante A. Esto permite operar con A por separado en ambos espacios. Pero en
ˇ
ese caso, resolviendo la ecuaci´n secular del operador A en el espacio H2 podemos encontrar
o
autovalores y, al menos, un autovector. ¡ Contradicci´n ! con el hecho que todos los autoo
vectores est´n en H1 . Luego la hip´tesis inicial, de que H2 = ∅, es falsa. Conclu´
a
o
ımos que
H1 = H, y por consiguiente la base {| aj } es completa, es decir,
n
| aj
ˇ
aj | = 1 .
j=1
q.e.d.
Resumen:
ˇ
La base formada por los de autovectores de un operador autoherm´
ıtico A es completa y
siempre se puede elegir de manera que sea ortonormal.
Los conceptos anteriores, aunque analizados para espacios de dimensi´n finita, pueden
o
extenderse a espacios de dimensi´n infinita numerable o no–numerable.
o
2.16
Conmutadores.
ˇ ˇ
ˇ ˇ
Definici´n 2.2 El conmutador [A, B] de dos operadores A, B viene definido por
o
ˇ ˇ
ˇˇ
ˇˇ
A, B ≡ AB − BA .
ˇ ˇ
ˇ ˇ
ˇ
Dos operadores A, B se dice que conmutan si A, B = 0.
ˇ ˇ
ˇ ˇ
ˇ
Teorema 2.1 Sean A, B dos operadores autoherm´
ıticos, entonces A, B = 0 ⇐⇒ existe
una base en H en que ambos operadores son diagonales (es decir, existe una base de H cuyos
ˇ
ˇ
vectores son simult´neamente autovectores de A y B).
a
Demostraci´n
o
ˇ
ˇ
i) Supongamos que {| mj } son simult´neamente autovectores de A y B, es decir,
a
ˇ
A| mi = ai | mi ,
ˇ
B| mi = bi | mi .
