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# X2 t01 07 locus & complex nos 1 (2013)

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### X2 t01 07 locus & complex nos 1 (2013)

1. 1. Locus and Complex Numbers
2. 2. Locus and Complex Numbers Circles y R R R R zz  R 2 x
3. 3. Locus and Complex Numbers Circles y R R R R zz  R 2 or z R x
4. 4. Locus and Complex Numbers Circles y R y R  R R x x R zz  R 2 or z R  z    z     R 2
5. 5. Locus and Complex Numbers Circles y R y R  R R x x R zz  R 2 or  z    z     R 2 z R z   R or
6. 6. e.g. (i) Express these circles in terms of z a) x 2  y 2  16
7. 7. e.g. (i) Express these circles in terms of z a) x 2  y 2  16 z 4
8. 8. e.g. (i) Express these circles in terms of z a) x 2  y 2  16 z 4  zz  16
9. 9. e.g. (i) Express these circles in terms of z a) x 2  y 2  16 z 4  zz  16 b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0
10. 10. e.g. (i) Express these circles in terms of z a) x 2  y 2  16 z 4  zz  16 b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0 x 2  6 x  y 2  4 y  12  x  32   y  22  25
11. 11. e.g. (i) Express these circles in terms of z a) x 2  y 2  16 z 4  zz  16 b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0 x 2  6 x  y 2  4 y  12  x  32   y  22  25 z  3  2i  5
12. 12. e.g. (i) Express these circles in terms of z a) x 2  y 2  16 z 4  zz  16 b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0 x 2  6 x  y 2  4 y  12  x  32   y  22  25 z  3  2i  5  z  3  2i  z  3  2i   25
13. 13. e.g. (i) Express these circles in terms of z a) x 2  y 2  16 z 4  zz  16 b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0 x 2  6 x  y 2  4 y  12  x  32   y  22  25 z  3  2i  5  z  3  2i  z  3  2i   25 (ii) Find the centre and radius of; a) z  5  i  2
14. 14. e.g. (i) Express these circles in terms of z a) x 2  y 2  16 z 4  zz  16 b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0 x 2  6 x  y 2  4 y  12  x  32   y  22  25 z  3  2i  5  z  3  2i  z  3  2i   25 (ii) Find the centre and radius of; a) z  5  i  2 centre : 5,1 radius : 2 units
15. 15. e.g. (i) Express these circles in terms of z a) x 2  y 2  16 z 4  zz  16 b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0 x 2  6 x  y 2  4 y  12  x  32   y  22  25 z  3  2i  5  z  3  2i  z  3  2i   25 (ii) Find the centre and radius of; a) z  5  i  2 centre : 5,1 radius : 2 units b)  z  4  i  z  4  i   49
16. 16. e.g. (i) Express these circles in terms of z a) x 2  y 2  16 z 4  zz  16 b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0 x 2  6 x  y 2  4 y  12  x  32   y  22  25 z  3  2i  5  z  3  2i  z  3  2i   25 (ii) Find the centre and radius of; a) z  5  i  2 centre : 5,1 radius : 2 units b)  z  4  i  z  4  i   49 centre :  4 ,  1 radius : 7 units
17. 17. c) 3 z  z  2  i
18. 18. c) 3 z  z  2  i 3z  z  2i 9 x 2  9 y 2   x  2    y  1 2 2
19. 19. c) 3 z  z  2  i 3z  z  2i 9 x 2  9 y 2   x  2    y  1 2 2 9x2  9 y2  x2  4x  4  y2  2 y 1 8x2  4x  8 y 2  2 y  5
20. 20. c) 3 z  z  2  i 3z  z  2i 9 x 2  9 y 2   x  2    y  1 2 2 9x2  9 y2  x2  4x  4  y2  2 y 1 8x2  4x  8 y 2  2 y  5 1 1 5 x2  x  y2  y  2 4 8
21. 21. c) 3 z  z  2  i 3z  z  2i 9 x 2  9 y 2   x  2    y  1 2 2 9x2  9 y2  x2  4x  4  y2  2 y 1 8x2  4x  8 y 2  2 y  5 1 1 5 x2  x  y2  y  2 4 8 2 2 1  1  45 x    y   4  8  64 
22. 22. c) 3 z  z  2  i 3z  z  2i 9 x 2  9 y 2   x  2    y  1 2 2 9x2  9 y2  x2  4x  4  y2  2 y 1 8x2  4x  8 y 2  2 y  5 1 1 5 x2  x  y2  y  2 4 8 2 2 1  1  45 x    y   4  8  64   1 , 1  centre :    4 8 3 5 radius : units 8
23. 23. d) zz  2 z  z   0 c) 3 z  z  2  i 3z  z  2i 9 x 2  9 y 2   x  2    y  1 2 2 9x2  9 y2  x2  4x  4  y2  2 y 1 8x2  4x  8 y 2  2 y  5 1 1 5 x2  x  y2  y  2 4 8 2 2 1  1  45 x    y   4  8  64   1 , 1  centre :    4 8 3 5 radius : units 8
24. 24. c) 3 z  z  2  i d) zz  2 z  z   0 3z  z  2i x2  y2  4x  0 9 x  9 y   x  2    y  1 2 2 2 2 9x2  9 y2  x2  4x  4  y2  2 y 1 8x2  4x  8 y 2  2 y  5 1 1 5 x2  x  y2  y  2 4 8 2 2 1  1  45 x    y   4  8  64   1 , 1  centre :    4 8 3 5 radius : units 8  x  22  y 2  4
25. 25. c) 3 z  z  2  i d) zz  2 z  z   0 3z  z  2i x2  y2  4x  0 9 x  9 y   x  2    y  1 2 2 2 2 9x2  9 y2  x2  4x  4  y2  2 y 1 8x2  4x  8 y 2  2 y  5 1 1 5 x2  x  y2  y  2 4 8 2 2 1  1  45 x    y   4  8  64   1 , 1  centre :    4 8 3 5 radius : units 8  x  22  y 2  4 centre :  2 ,0  radius : 2 units
26. 26. Lines
27. 27. Lines y c x Im z   c
28. 28. Lines y c y x Im z   c k x Re z   k
29. 29. Lines y c y x x k Im z   c Re z   k y x
30. 30. Lines y c y x x k Im z   c Re z   k y 1 2 x
31. 31. Lines y c y x x k Im z   c Re z   k y 1 2 x z  1  z  2
32. 32. e.g . z  1  i  z  2  i
33. 33. e.g . z  1  i  z  2  i  x  12   y  12   x  22   y  12
34. 34. e.g . z  1  i  z  2  i  x  12   y  12   x  22   y  12 x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1
35. 35. e.g . z  1  i  z  2  i  x  12   y  12   x  22   y  12 x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1 6x  4 y  3  0
36. 36. e.g . z  1  i  z  2  i  x  12   y  12   x  22   y  12 x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1 6x  4 y  3  0 OR  bisector of 1,1 and  2,1
37. 37. e.g . z  1  i  z  2  i  x  12   y  12   x  22   y  12 x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1 6x  4 y  3  0 OR  bisector of 1,1 and  2,1 1  2 ,1  1 M   2   2   1 ,0    2  
38. 38. e.g . z  1  i  z  2  i  x  12   y  12   x  22   y  12 x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1 6x  4 y  3  0 OR  bisector of 1,1 and  2,1 1  2 ,1  1 11 M   m 2 2   1 2 2   1 ,0     3  2 
39. 39. e.g . z  1  i  z  2  i  x  12   y  12   x  22   y  12 x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1 6x  4 y  3  0 OR  bisector of 1,1 and  2,1 1  2 ,1  1 11 M   m 2 2   1 2 2   1 ,0     3  2   required slope is  3 2
40. 40. e.g . z  1  i  z  2  i  x  12   y  12   x  22   y  12 x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1 6x  4 y  3  0 OR  bisector of 1,1 and  2,1 1  2 ,1  1 11 M   m 2 2   1 2 2   1 ,0     3  2  3 1 y0   x  2 2  required slope is  3 2
41. 41. e.g . z  1  i  z  2  i  x  12   y  12   x  22   y  12 x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1 6x  4 y  3  0 OR  bisector of 1,1 and  2,1 1  2 ,1  1 11 M   m 2 2   1 2 2   1 ,0     3  2  3 1 y0   x  2 2 3 2 y  3 x  2 6x  4 y  3  0  required slope is  3 2
42. 42. ii  Sketch z  2i  z  4i
43. 43. ii  Sketch z  2i  z  4i y 4 1 x -2
44. 44. ii  Sketch z  2i  z  4i y 4 1 x -2
45. 45. ii  Sketch z  2i  z  4i y 4 1 x -2 Rays y  x
46. 46. ii  Sketch z  2i  z  4i y 4 1 x -2 Rays y  x arg z  
47. 47. ii  Sketch z  2i  z  4i y 4 1 x -2 Rays y y   x arg z    x
48. 48. ii  Sketch z  2i  z  4i y 4 1 x -2 Rays y y   x arg z    x arg z     
49. 49. e.g. z  1 and 0  arg z   4
50. 50. e.g. z  1 and 0  arg z  z 1  4 y 1 -1 1 -1 x
51. 51. e.g. z  1 and 0  arg z  z 1 y 1  4 arg z   4  4 -1 1 -1 x arg z  0
52. 52. e.g. z  1 and 0  arg z  z 1 y 1  4 arg z   4  4 -1 1 -1 x arg z  0
53. 53. e.g. z  1 and 0  arg z  z 1 y 1  4 arg z   4  4 -1 1 x arg z  0 -1 Patel: Exercise 4M; 1ac, 2bd, 3, 4, 5bd, 6 Patel: Exercise 4N; 1a to j, 2ace, 3ace etc, 4ace Cambridge: Exercise 1F; 1 to 5 ace etc, 6, 7 ac, 8