Differentiating Trig
Differentiating Triglim sin x  0x 0
Differentiating Triglim sin x  0x 0lim cos x  1x 0
Differentiating Triglim sin x  0x 0lim cos x  1x 0lim tan x  0x 0
Differentiating Triglim sin x  0           Area Sector OACx 0lim cos x  1x 0lim tan x  0x 0                C        ...
Differentiating Triglim sin x  0       Area AOC  Area Sector OACx 0lim cos x  1x 0lim tan x  0x 0                C...
Differentiating Triglim sin x  0x 0                        Area AOC  Area Sector OAC  Area AOBlim cos x  1x 0lim t...
Differentiating Triglim sin x  0x 0                        Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB                      ...
Differentiating Triglim sin x  0x 0                      Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB                        ...
Differentiating Triglim sin x  0x 0                      Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB                        ...
Differentiating Triglim sin x  0x 0                      Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB                        ...
Differentiating Triglim sin x  0x 0                      Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB                        ...
Differentiating Triglim sin x  0x 0                      Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB                        ...
5xe.g. i  lim         x 0 sin 5 x
5xe.g. i  lim         1         x 0 sin 5 x
5xe.g. i  lim         1   ii  lim                                         x         x 0 sin 5 x            x 0 sin ...
5xe.g. i  lim         1   ii  lim                                         x                                          ...
5xe.g. i  lim         1   ii  lim                                         x                                          ...
5x e.g. i  lim        1   ii  lim                                         x                                          ...
5x e.g. i  lim        1            ii  lim                                                  x                        ...
5x e.g. i  lim        1              ii  lim                                                    x                    ...
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5x e.g. i  lim        1                ii  lim                                                      x                ...
5x e.g. i  lim        1                ii  lim                                                      x                ...
 2 h                            sin  lim cos x             sinh                    sin x h 2   x 0      h  ...
 2 h                            sin  lim cos x             sinh                    sin x h 2    x 0     h  ...
 2 h                              sin  lim cos x              sinh                      sin x h 2    x 0     ...
 2 h                              sin  lim cos x              sinh                      sin x h 2    x 0     ...
 2 h             sinh           sin                                      2 lim cos x          sin x h    x 0 ...
 2 h                              sin  lim cos x              sinh                  2                     sin x...
 2 h                                sin    lim cos x                sinh                  2                      ...
 2 h                                sin    lim cos x                sinh                  2                      ...
 2 h                                 sin     lim cos x                 sinh                  2                    ...
 2 h                                 sin     lim cos x                 sinh                  2                    ...
 2 h                                 sin     lim cos x                 sinh                  2                    ...
 2 h                                 sin     lim cos x                 sinh                  2                    ...
y  tan x
y  tan x     sin xy     cos x
y  tan x     sin x y     cos xdy cos x cos x   sin x  sin x    dx                 cos 2 x     cos 2 x  sin 2...
y  tan x     sin x y     cos xdy cos x cos x   sin x  sin x    dx                 cos 2 x     cos 2 x  sin 2...
y  tan x     sin x y     cos xdy cos x cos x   sin x  sin x    dx                 cos 2 x     cos 2 x  sin 2...
y  tan x     sin x y     cos xdy cos x cos x   sin x  sin x    dx                 cos 2 x     cos 2 x  sin 2...
y  tan x                                 e.g. i  y  sin x 3     sin x y     cos xdy cos x cos x   sin x  sin...
y  tan x                                 e.g. i  y  sin x 3                                                   dy     s...
y  tan x                                 e.g. i  y  sin x 3                                                   dy     s...
y  tan x                                 e.g. i  y  sin x 3                                                   dy     s...
y  tan x                                  e.g. i  y  sin x 3                                                    dy    ...
y  tan x                                  e.g. i  y  sin x 3                                                    dy    ...
y  tan x                                  e.g. i  y  sin x 3                                                    dy    ...
y  tan x                                 e.g. i  y  sin x 3                                                   dy     s...
y  tan x                                  e.g. i  y  sin x 3                                                    dy    ...
y  tan x                                  e.g. i  y  sin x 3                                                    dy    ...
y  tan x                                  e.g. i  y  sin x 3                                                    dy    ...
Exercise 14F; 2, 4, 5Exercise 14G; 2ace etc, 3ace etc, 5ace etc, 6, 7ab(i), 8, 12, 13c, 16a*              Exercise 14H; 2 ...
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12 x1 t03 03 differentiating trig (2012)

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12 x1 t03 03 differentiating trig (2012)

  1. 1. Differentiating Trig
  2. 2. Differentiating Triglim sin x  0x 0
  3. 3. Differentiating Triglim sin x  0x 0lim cos x  1x 0
  4. 4. Differentiating Triglim sin x  0x 0lim cos x  1x 0lim tan x  0x 0
  5. 5. Differentiating Triglim sin x  0 Area Sector OACx 0lim cos x  1x 0lim tan x  0x 0 C x O A 1
  6. 6. Differentiating Triglim sin x  0 Area AOC  Area Sector OACx 0lim cos x  1x 0lim tan x  0x 0 C x A O 1
  7. 7. Differentiating Triglim sin x  0x 0 Area AOC  Area Sector OAC  Area AOBlim cos x  1x 0lim tan x  0 Bx 0 C tan x x A O 1
  8. 8. Differentiating Triglim sin x  0x 0 Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB 1 1 2 1lim cos x  1x 0 11 sin x  1 x  1 tan x 2 2 2lim tan x  0 Bx 0 C tan x x A O 1
  9. 9. Differentiating Triglim sin x  0x 0 Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB 1 1 2 1lim cos x  1x 0 11 sin x  1 x  1 tan x 2 2 2lim tan x  0 B sin x  x  tan xx 0 C tan x x A O 1
  10. 10. Differentiating Triglim sin x  0x 0 Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB 1 1 2 1lim cos x  1x 0 11 sin x  1 x  1 tan x 2 2 2lim tan x  0 B sin x  x  tan xx 0 sin x x tan x   sin x sin x sin x C tan x x A O 1
  11. 11. Differentiating Triglim sin x  0x 0 Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB 1 1 2 1lim cos x  1x 0 11 sin x  1 x  1 tan x 2 2 2lim tan x  0 B sin x  x  tan xx 0 sin x x tan x   sin x sin x sin x C tan x x 1 1  sin x cos x x A O 1
  12. 12. Differentiating Triglim sin x  0x 0 Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB 1 1 2 1lim cos x  1x 0 11 sin x  1 x  1 tan x 2 2 2lim tan x  0 B sin x  x  tan xx 0 sin x x tan x   sin x sin x sin x C tan x x 1 1  sin x cos x x A as x  0 O 1 x 1 1 sin x
  13. 13. Differentiating Triglim sin x  0x 0 Area AOC  Area Sector OAC  Area AOB 1 1 2 1lim cos x  1x 0 11 sin x  1 x  1 tan x 2 2 2lim tan x  0 B sin x  x  tan xx 0 sin x x tan x   sin x sin x sin x C tan x x 1 1  sin x cos x x A as x  0 O 1 x 1 1 sin x x lim 1 x 0 sin x
  14. 14. 5xe.g. i  lim x 0 sin 5 x
  15. 15. 5xe.g. i  lim 1 x 0 sin 5 x
  16. 16. 5xe.g. i  lim 1 ii  lim x x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x
  17. 17. 5xe.g. i  lim 1 ii  lim x  lim  1 3x x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
  18. 18. 5xe.g. i  lim 1 ii  lim x  lim  1 3x x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x 1  3
  19. 19. 5x e.g. i  lim 1 ii  lim x  lim  1 3x x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 xy  sin x 1  3
  20. 20. 5x e.g. i  lim 1 ii  lim x  lim  1 3x x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 xy  sin x 1  dy sin  x  h   sin x 3  lim dx x 0 h
  21. 21. 5x e.g. i  lim 1 ii  lim x  lim  1 3x x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 xy  sin x 1  dy sin  x  h   sin x 3  lim dx x 0 h sin x cosh  cos x sinh  sin x  lim x 0 h
  22. 22. 5x e.g. i  lim 1 ii  lim x  lim  1 3x x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 xy  sin x 1  dy sin  x  h   sin x 3  lim dx x 0 h sin x cosh  cos x sinh  sin x  lim x 0 h cosh  1   lim cos x sinh     sin x  x 0  h   h 
  23. 23. 5x e.g. i  lim 1 ii  lim x  lim  1 3x x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 xy  sin x 1  dy sin  x  h   sin x 3  lim dx x 0 h sin x cosh  cos x sinh  sin x  lim x 0 h cosh  1   lim cos x sinh     sin x  x 0  h   h   h   2 cos 2  2   sinh   2  lim cos x  sin x  x 0  h    h    
  24. 24. 5x e.g. i  lim 1 ii  lim x  lim  1 3x x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 xy  sin x 1  dy sin  x  h   sin x 3  lim dx x 0 h sin x cosh  cos x sinh  sin x  lim x 0 h cosh  1   lim cos x sinh     sin x  x 0  h   h   h   2 cos 2  2   sinh   2  cos 2  2 cos 2   1  lim cos x  sin x x 0  h    h    
  25. 25. 5x e.g. i  lim 1 ii  lim x  lim  1 3x x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 xy  sin x 1  dy sin  x  h   sin x 3  lim dx x 0 h sin x cosh  cos x sinh  sin x  lim x 0 h cosh  1   lim cos x sinh     sin x  x 0  h   h   h   2 cos 2  2   sinh   2  cos 2  2 cos 2   1  lim cos x  sin x x 0  h    h      2 h  sinh    2 sin   lim cos x  sin x 2 x 0  h   h     
  26. 26.  2 h  sin  lim cos x sinh     sin x h 2  x 0  h       2 
  27. 27.  2 h  sin  lim cos x sinh     sin x h 2  x 0  h       2   h   sinh    sin h lim cos x  sin x h 2  sin  x 0  h    2   2 
  28. 28.  2 h  sin  lim cos x sinh     sin x h 2  x 0  h       2   h   sinh    sin h lim cos x  sin x h 2  sin  x 0  h    2   2  cos x 1  sin x 0 
  29. 29.  2 h  sin  lim cos x sinh     sin x h 2  x 0  h       2   h   sinh    sin h lim cos x  sin x h 2  sin  x 0  h    2   2  cos x 1  sin x 0  cos x
  30. 30.  2 h  sinh   sin  2 lim cos x   sin x h  x 0  h       2   h   sinh   sin h 2 lim cos x   sin x h  sin  x 0  h    2   2  y  sin f  x  cos x 1  sin x 0  cos x
  31. 31.  2 h  sin  lim cos x sinh  2    sin x h  x 0  h       2   h   h sin  sinh   2 lim cos x  sin x h  sin  x 0  h    2   2  y  sin f  x  cos x 1  sin x 0  dy  f  x  cos f  x  dx cos x
  32. 32.  2 h  sin   lim cos x sinh  2    sin x h  x 0  h       2   h   h sin  sinh   2  lim cos x  sin x h  sin  x 0  h    2   2  y  sin f  x   cos x 1  sin x 0  dy  f  x  cos f  x  dx  cos xy  cos x
  33. 33.  2 h  sin   lim cos x sinh  2    sin x h  x 0  h       2   h   h sin  sinh   2  lim cos x  sin x h  sin  x 0  h    2   2  y  sin f  x   cos x 1  sin x 0  dy  f  x  cos f  x  dx  cos xy  cos x y  sin   x    2 
  34. 34.  2 h  sin   lim cos x sinh  2    sin x h  x 0  h       2   h   h sin  sinh   2  lim cos x  sin x h  sin  x 0  h    2   2  y  sin f  x   cos x 1  sin x 0  dy  f  x  cos f  x  dx  cos xy  cos x  y  sin   x    2     cos  x dy  dx 2 
  35. 35.  2 h  sin   lim cos x sinh  2    sin x h  x 0  h       2   h   h sin  sinh   2  lim cos x  sin x h  sin  x 0  h    2   2  y  sin f  x   cos x 1  sin x 0  dy  f  x  cos f  x  dx  cos xy  cos x  y  sin   x    2     cos  x dy  dx 2    sin x
  36. 36.  2 h  sin   lim cos x sinh  2    sin x h  x 0  h       2   h   h sin  sinh   2  lim cos x  sin x h  sin  x 0  h    2   2  y  sin f  x   cos x 1  sin x 0  dy  f  x  cos f  x  dx  cos xy  cos x  y  sin   x    2  y  cos f  x     cos  x dy  dx 2    sin x
  37. 37.  2 h  sin   lim cos x sinh  2    sin x h  x 0  h       2   h   h sin  sinh   2  lim cos x  sin x h  sin  x 0  h    2   2  y  sin f  x   cos x 1  sin x 0  dy  f  x  cos f  x  dx  cos xy  cos x  y  sin   x    2  y  cos f  x     cos  x  dy   f  x  sin f  x dy  dx 2  dx   sin x
  38. 38. y  tan x
  39. 39. y  tan x sin xy cos x
  40. 40. y  tan x sin x y cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  dx cos 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x
  41. 41. y  tan x sin x y cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  dx cos 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x 1  cos 2 x  sec 2 x
  42. 42. y  tan x sin x y cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  dx cos 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x 1  cos 2 x  sec 2 x y  tan f  x 
  43. 43. y  tan x sin x y cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  dx cos 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x 1  cos 2 x  sec 2 x y  tan f  x  dy  f  x  sec 2 f  x  dx
  44. 44. y  tan x e.g. i  y  sin x 3 sin x y cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  dx cos 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x 1  cos 2 x  sec 2 x y  tan f  x  dy  f  x  sec 2 f  x  dx
  45. 45. y  tan x e.g. i  y  sin x 3 dy sin x  3 x 2 cos x 3 y dx cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  dx cos 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x 1  cos 2 x  sec 2 x y  tan f  x  dy  f  x  sec 2 f  x  dx
  46. 46. y  tan x e.g. i  y  sin x 3 dy sin x  3 x 2 cos x 3 y dx cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  1  ii  y  tandx cos 2 x x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x 1  cos 2 x  sec 2 x y  tan f  x  dy  f  x  sec 2 f  x  dx
  47. 47. y  tan x e.g. i  y  sin x 3 dy sin x  3 x 2 cos x 3 y dx cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  1  ii  y  tandx cos 2 x x dy 1 1 cos 2 x  sin 2 x   2 sec 2  dx x x cos 2 x 1  cos 2 x  sec 2 x y  tan f  x  dy  f  x  sec 2 f  x  dx
  48. 48. y  tan x e.g. i  y  sin x 3 dy sin x  3 x 2 cos x 3 y dx cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  1  ii  y  tandx cos 2 x x dy 1 1 cos x  sin x 2 2   2 sec 2  2 dx x x cos x  1 iii  y  log cos x cos 2 x  sec 2 x y  tan f  x  dy  f  x  sec 2 f  x  dx
  49. 49. y  tan x e.g. i  y  sin x 3 dy sin x  3 x 2 cos x 3 y dx cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  1  ii  y  tandx cos 2 x x dy 1 1 cos x  sin x 2 2   2 sec 2  2 dx x x cos x  1 iii  y  log cos x cos 2 x dy  sin x   sec x 2 dx cos x y  tan f  x  dy  f  x  sec 2 f  x  dx
  50. 50. y  tan x e.g. i  y  sin x 3 dy sin x  3 x 2 cos x 3 y dx cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  1  ii  y  tandx cos 2 x x dy 1 1 cos x  sin x 2 2   2 sec 2  2 dx x x cos x  1 iii  y  log cos x cos 2 x dy  sin x   sec x 2 dx cos x   tan x y  tan f  x  dy  f  x  sec 2 f  x  dx
  51. 51. y  tan x e.g. i  y  sin x 3 dy sin x  3 x 2 cos x 3 y dx cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  1  ii  y  tandx cos 2 x x dy 1 1 cos x  sin x 2 2   2 sec 2  2 dx x x cos x  1 iii  y  log cos x iv  y  tan 5 x cos 2 x dy  sin x   sec x 2 dx cos x   tan x y  tan f  x  dy  f  x  sec 2 f  x  dx
  52. 52. y  tan x e.g. i  y  sin x 3 dy sin x  3 x 2 cos x 3 y dx cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  1  ii  y  tandx cos 2 x x dy 1 1 cos x  sin x 2 2   2 sec 2  2 dx x x cos x  1 iii  y  log cos x iv  y  tan 5 x cos 2 x dy  sin x dy   5 tan 4 x sec 2 x  sec 2 x dx cos x dx   tan x y  tan f  x  dy  f  x  sec 2 f  x  dx
  53. 53. y  tan x e.g. i  y  sin x 3 dy sin x  3 x 2 cos x 3 y dx cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  1  ii  y  tandx cos 2 x x dy 1 1 cos x  sin x 2 2   2 sec 2  2 dx x x cos x  1 iii  y  log cos x iv  y  tan 5 x cos 2 x dy  sin x dy   5 tan 4 x sec 2 x  sec 2 x dx cos x dx   tan x y  tan f  x  v  y  cos e x dy  f  x  sec 2 f  x  dx
  54. 54. y  tan x e.g. i  y  sin x 3 dy sin x  3 x 2 cos x 3 y dx cos xdy cos x cos x   sin x  sin x  1  ii  y  tandx cos 2 x x dy 1 1 cos x  sin x 2 2   2 sec 2  2 dx x x cos x  1 iii  y  log cos x iv  y  tan 5 x cos 2 x dy  sin x dy   5 tan 4 x sec 2 x  sec 2 x dx cos x dx   tan x y  tan f  x  v  y  cos e x dy  f  x  sec 2 f  x  dy dx  e x sin e x dx
  55. 55. Exercise 14F; 2, 4, 5Exercise 14G; 2ace etc, 3ace etc, 5ace etc, 6, 7ab(i), 8, 12, 13c, 16a* Exercise 14H; 2 ac, 4bd, 6, 8, 14, 17, 20

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