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Matrices

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Introduccion a diferentes temas de Matrices

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Matrices

  1. 1. Universidad Mariano Gálvez de Guatemala Facultad de Ingeniería en Sistemas Algebra Lineal Raúl Rendón Padilla Tema: Proyecto Final Integrantes: Carnet: Dallana Dennis Palacios Gómez 0904-14-5786 Norberto Antonio Alba Castillo 0904-14-12139 Juan Eduardo Lorenzo 0904-12-4564 Fecha: 08/11/2014
  2. 2. Introducción: El presente trabajo contiene un breve resumen de varios temas como lo son las matrices y sus principales funciones matemáticas como sumas, resta y multiplicaciones, así como inversa de una matriz, determinantes de una matriz, métodos aplicados como lo es el método de Gauus, Krammer, L places, así también como se puede resolver problemas de la vida real atravez de un sistema de ecuaciones lineales, vectores en R2, R3, ecuaciones lineales, paramétricas, cinéticas, vectoriales, ecuaciones de planos, paralelepípedos, muchos otros temas de gran importancia. Sabemos que será de mucha utilidad para los futuros profesionales en formación.
  3. 3. Para las operaciones básicas como suma o diferencia, es importante q las dos tengan las mismas dimensiones(Filas y Columnas), un ejemplo seria: Si sumamos una matriz A de 2 filas y de 2 columnas, con una matriz B esta debe tener las mismas dimensiones caso contrario no tienen solución. Tiene solución no tiene solución 5 3 4 2 + 5 3 4 2 1 3 2 4 + 1 2 3 = 10 6 8 4 = No tiene solución La segunda no tiene solución porque se tienen que sumar los numero de las mismas posiciones. En la resta es lo mismo.
  4. 4. 5 3 4 2 − 4 1 1 2 1 3 2 4 − 1 2 3 = 1 2 3 0 = No tiene solución Es igual porque se restan los números de las mismas posiciones. 5 3 4 2 + 5 3 4 2 1 3 2 4 + 1 2 3 = 10 6 8 4 = No tiene solución Como se muestra anteriormente en el segundo ejemplo no se ubica cual es el numero a sumar.
  5. 5. Para poder multiplicar dos matrices se tiene que mirar que las columnas de la primera matriz sean igual a las filas de la segunda después se multiplican de la forma siguiente: 2 3 4 4 2 3 ∗ 2 3 3 4 4 2 1. 2 3 4 ∗ 2 3 4 = 4 9 12 2. 2 3 4 ∗ 3 4 2 = 6 12 8 Se multiplica el primer numero de la columna con el primer numero de la fila y se sigue con los demás, y después se hace con la segunda . 2 3 4 4 2 3 ∗ 2 3 3 4 4 2
  6. 6. El Método de Gauss: El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal. 1. Cualquier fila del Sistema puede ser intercambiada una con otra sin cambiar el valor de las variables. 2. Cualquier fila podrá ser multiplicado por un número diferente de 0, esto tampoco alteraría el valor de la variable 3. Se pueden sumar filas o restar filas entre si. 4. Si se van a reducir a ceros elementos de la columna uno, la fila pivote será la fila uno, si se van a reducir a ceros elementos de la columna dos, la fila pivote será la fila dos, así sucesivamente
  7. 7. Para convertir una matriz en inversa todas las columnas se convierten en filas, y las filas en columnas. 2 42 30 50 = 2 30 42 50 Inversa de una matriz La inversa consiste en encontrar una matriz tal que al multiplicarse con la matriz original tiene que dar por resultado la matriz identidad. Se utilizará el método de reducción de reglones (Gauss) para la resolución de matrices inversas. Ejemplo:
  8. 8. 2 3 1 0 -1 4 0 1 F2 = 2F2 + F1 2 3 1 0 F1 = 11F1 - 3F2 0 11 1 2 22 0 8 -6 F1 = F1 / 22 0 11 1 2 F2 = F2 / 11 1 0 4/11 -3/11 0 1 1/11 2/11 4/11 -3/11 A་ = 1/11 2/11
  9. 9. Determinante de una matriz En Matemáticas se define el determinante como una forma matrilineal alternada de un cuerpo. Las determinantes se sacan de una matriz y sirven para el calculo de inversas y resolución de sistemas lineales. La determinante se encuentra de la siguiente forma: Determinante de 2 * 2 2 3 = (2)(5) – (4)(3) = 10 – 12= -2 La determinante es -2 4 5 La de tres es casi igual pero, en esta se copian las dos primeras filas, cuando se multiplica para arriba se hace ley de signos.
  10. 10. _ _ _ _ _ -2 4 3 -2 4 3 1 0 4 1 0 4 3 1 2 3 1 2 -2 4 3 -2 4 3 1 0 4 1 0 4 3 1 2 3 1 2 Lo que salga se suma= l A l = 0 + 48 + 3 + 0 + 8 – 8
  11. 11. Desarrollo de Laplace (Mat. n*n) Para utilizar el método de Laplace se debe identificar la fila o la columna que más ceros tenga y esas se trabaja elemento por elemento. Inversa por el Método de Cofactores Para calcular la inversa por este método se realiza atreves de la forma siguiente: Matriz A Inversa de A = A⁻¹ = 1 ⁻¹ adj (A) l A l Adjunta de A
  12. 12. A = - - - l A l = 1 -2 --4 1 -2 4 7 2 4 7 -2 -3 -4 -2 -3 + + + l A l = (-56 + 6 – 32 – 28 + 8 + 48) l A l = - 54 Primero se buscar la determinate de la matriz
  13. 13. B = A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33 7 2 Después se busca la adjunta de la matriz -2 -4 A11 = -A21 = A31 = -3 -4 -3 -4 4 2 1 -4 -A12 = A22 = -A32 = -2 -4 -2 -4 A13 = -A23 = A33 = -2 -4 7 2 1 -4 4 2 4 7 -2 -3 1 -2 -2 -3 1 -2 4 7 A11 = -22 -A21 = -4 = 4 A31 = 24 -A12 = -12 = 12 A22 = -12 -A32 = 18 = -18 A13 = 2 -A23 = -7 = 7 A33 = 15
  14. 14. B = Adj (A) = B ་ B ་ = 1 = -54 A⁻¹ = -22 12 2 4 -12 7 24 -18 15 -22 4 24 12 -12 -18 2 7 15 -22 4 24 12 -12 -18 2 7 15 11/27 -2/27 -4/9 -2/9 2/9 1/3 -1/27 -7/54 -15/54
  15. 15. Método de Krammer Se utiliza para resolver sistemas lineales a través de determinantes. Se calcula el determinante principal a través de una matriz que contiene los elementos numéricos de los coeficientes o variables, esta determinante principal será el denominador para cada uno de los elementos del Sistema. Si la determinante del Sistema es cero, esto quiere decir que el Sistema es Trivial, ósea que tiene infinitas soluciones.
  16. 16. Como su nombre lo indica es una forma de poder resolver problemas de la vida real tomando como base las ecuaciones. Ejemplo Si se tiene un presupuesto de Q 63.00 para elaborar un pastel, la mezcla de todos los ingredientes tiene que sumar 14 libras, el azúcar y la harina cuestan lo mismo, azúcar Q 10.00 la harina Q 3.00 y el Q 3.00. determine las cantidades que cuesta cada cosa si el monto total del azúcar deber ser igual al de la harina. Primero debemos identificar cada producto y representarlo con una variable. Azúcar Harina Royal X Y Z
  17. 17. Es una magnitud física definida por un punto del espacio donde se mide dicha magnitud, además de un módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo).
  18. 18. Los vectores en R2 son aquellos que están ubicados en un plano cartesiano de ejes X e Y. Un vector es aquel que tiene un inicio (X0; Y0) y un fin (X1; Y1), lo cual, que determina su sentido en el plano. Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden. Módulo del vector Es la longitud del segmento AB, se representa por . Dirección del vector Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. Sentido del vector El que va del origen A al extremo B.
  19. 19. Vector Unitario: Consiste en convertir un vector dado a una sola unidad o al numero 1 el vector unitario es representado con una letra U. Ejemplo Dado el vector = 7j -4i 1. Se saca la raíz cuadrada de cada termino en invertimos la posición de los valores..  ( 7j -4i )  ( 16 + 49 ) Vu = 65 2. Despues de resolver el procedimiento procedemos a dividir cada termino dentro del ventor resultante. 7 4 65 = 1 65 65 65
  20. 20. Vectores en R3. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X eY. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.
  21. 21. Ejemplo de vector en R3 Para encontrar la distancia se hace de la siguiente forma: sea P (x1, x2, x3) Q (y1, y2, y3) Se resta Q – P y lo elevamos al cuadrado PQ  (x1 - y1) + (x2 – y2) + (x3-y3) Ejemplo: Sea P ( -1,0,3) Q (-2, 4, 0) PQ  (-2-(-1)) + (4-0)+ (0-3) PQ  (1)+ (-4) + (3) Respuesta: 18.84 PQ  1+16+9 PQ  26 PQ 5.1
  22. 22. Paralelepípedo Se pueden dar tres definiciones equivalentes de un paralelepípedo: 1. Es un poliedro de seis caras (hexaedro), cada una de las cuales es un paralelogramo. 2. Es un hexaedro con tres pares de caras paralelas. 3. Es un prisma cuya base es un paralelogramo.
  23. 23. Volumen de un paralelepípedo En el caso más sencillo en que todas las caras sean perpendiculares entre sí, el volumen se calcula multiplicando los vectores. Por lo tanto, si los tres vectores concurren a un vértice su volumen se calcula a través de la fórmula: V = a * b * c
  24. 24. Ecuación Paramétrica Permite representar una o varias curvas en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o una constante, llamada PARAMETRO, en lugar de una variable independiente de cuyos valores se desprenden las variables dependientes, un ejemplo es cundo se usa el tiempo para determinar la posición y velocidad de un móvil. Para encontrar la Paramétrica se utiliza la siguiente formula: X = x1 + (x2 – x1)t Y = y1 + (y2 – y1)t Z = z1 + (z2 – z1)t EJEMPLO: A = (2,-5,6) & B = (3,2,-1) X1 = 2 + (3 - 2)t 2 + t Y1 = -5 + (2 – (-5))t R -5 + 7t Z1 = 6 + (-1 -6)t 6 -7t
  25. 25. Ecuación Simétrica La ecuación simétrica usa la siguiente formula: x – x1 = y – y1 = z – z1 x2 – x1 y2 – y1 z2 – z1 Ejemplo: A = (2,-4,3) & B = (5,1,-2) X – 2 = Y – (-4) = Z – 3 (5 - 2) (1-(-4)) (-2 - 3) Se operan las de abajo: X – 2 = Y – (-4) = Z – 3 3 5 -5 Una vez con estos datos se convierte en una ecuación paramétrica y se le asigna un valor a t por ejemplo 3. X1 = 2 + 3t 2 + 3(3) Y1 = -4 + 5t R -4 + 5(3) La respuesta es R// X = 11, Y = 11, Z = -12 Z1 = 3 - 5t 3 - 5(3)
  26. 26. Los pasos para hallar un punto simétrico P´ de otro P respecto a una recta r son los siguientes:
  27. 27. Observa en la imagen que la recta r es perpendicular al plano π. El punto M es el punto medio o punto proyección. Las coordenadas del punto simétrico las hallamos despejando de la expresión del punto medio.

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