Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Makalah setengah putaran

49,862 views

Published on

Rangkuman materi setengah putaran

Published in: Education
  • Be the first to comment

Makalah setengah putaran

  1. 1. 1 RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN BAB VII SETENGAH PUTARAN disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd Oleh Niamatus Saadah 1201125122 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA 2015
  2. 2. 2 BAB VII SETENGAH PUTARAN Setengah Putaran mengelilingi sebuah titik adalah suatu involusi. Suatu setengah putaran mencerminkan setiap titik bidang pada sebuah titik tertentu sehingga disebut juga pencerminan pada suatu titik. Definisi Sebuah setengah putaran pada suatu titik ๐ด adalah suatu padanan ๐‘†๐ด yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut : 1. Apabila ๐‘ƒ โ‰  ๐ด maka ๐‘†1(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒ sehingga ๐ด titik tengah ruas garis ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…. 2. ๐‘†๐ด = ๐ด Setengah putaran adalah suatu transformasi Bukti: Akan dibuktikan ๐‘†๐ด Bijektif. Untuk membuktikan ๐‘†๐ด Bijektif maka harus dibuktikan terlebih dahulu ๐‘†๐ด Surjektif dan Injektif. (1) Akan dibuktikan ๐‘†๐ด Surjektif Untuk menunjukkan ๐‘†๐ด Surjektif, akan ditunjukkan โˆƒ๐‘ƒโ€ฒ โˆˆ ๐‘‰ โˆ‹ ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒ Ambil sebarang ๐‘ƒโ€ฒ โˆˆ ๐‘‰ ๐‘ƒโ€ฒ โˆˆ ๐‘‰ โˆ‹ ๐‘ƒโ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) ๐‘—๐‘–๐‘˜๐‘Ž ๐‘ƒ = ๐ด, ๐‘š๐‘Ž๐‘˜๐‘Ž ๐‘†๐ด(๐ด) = ๐ดโ€ฒ = ๐ด Jadi, โˆ€ ๐‘ƒโ€ฒ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ ๐‘ƒโ€ฒ = ๐‘ƒ = ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) Jika ๐‘ƒ โ‰  ๐ด maka A menjadi sumbu ruas garis โ€ฒ , berarti ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒ Jadi, ๐‘†๐ด Surjektif (2) Akan dibuktikan ๐‘†๐ด Injektif Missal ๐ต1 โ‰  ๐ต2 Kasus I ๐ต1 = ๐ต2 = ๐ด Untuk ๐ต1 = ๐ด maka ๐‘†๐ด(๐ต1) = ๐ต1 = ๐ต1โ€ฒโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ..1*)
  3. 3. 3 Untuk ๐ต2 = ๐ด maka ๐‘†๐ด(๐ต2) = ๐ต2 = ๐ต2โ€ฒโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ2*) Dari 1*) dan 2*) maka diperoleh ๐‘†๐ด(๐ต1) โ‰  ๐‘†๐ด(๐ต2) Kasus II ๐ต1 โ‰  ๐ต2 โ‰  ๐ด Ambil sebarang ๐ต1, ๐ต2 โˆˆ ๐‘‰ ๐‘‘๐‘’๐‘›๐‘”๐‘Ž๐‘› ๐ต1 โ‰  ๐ต2 ๐ต1 โ‰  ๐ด, ๐ต2 โ‰  ๐ด, ๐ต2, ๐ต2, ๐ด ๐‘ก๐‘–๐‘‘๐‘Ž๐‘˜ ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘–๐‘  Sehingga ๐‘†๐ด(๐ต1) = ๐ต1 โ€ฒ dan ๐‘†๐ด(๐ต2) = ๐ต2โ€ฒ Andaikan ๐‘†๐ด(๐ต1) = ๐‘† ๐ด(๐ต2) Karena ๐‘†๐ด(๐ต1) = ๐‘† ๐ด(๐ต2) Maka ๐ต1 โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐ต1) = ๐‘†๐ด(๐ต2) = ๐ต2โ€ฒ Sehingga diperoleh ๐ต1 โ€ฒ = ๐ต2โ€ฒ dan แ’1 = ๐ต2 Menurut teorama, โ€œMelalui dua titik hanya dapat dibuat satu garisโ€ Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa ๐ต1 โ‰  ๐ต2 Pengandaian ๐ต1 โ‰  ๐ต2 ๐‘š๐‘Ž๐‘˜๐‘Ž ๐‘†๐ด(๐ต1) = ๐‘† ๐ด(๐ต2) harus dibatalkan. Jadi, ๐‘†๐ด(๐ต1) โ‰  ๐‘†๐ด(๐ต2) Jadi ๐‘†๐ด Injektif Dari (1) dan (2) maka diperoleh ๐‘†๐ด Surjektif dan ๐‘†๐ด Injektif Karena ๐‘†๐ด Surjektif dan ๐‘†๐ด Injektif, maka ๐‘†๐ด Bijektif Karena ๐‘†๐ด Bijektif, maka ๐‘†๐ดadalah suatu transformasi. Jadi, terbukti bahwa suatu setengah putaran adalah transformasi. Teorema 7.1 Andaikan ๐‘จ sebuah titik, ๐’ˆ dan ๐’‰ dua garis tegak lurus yang berpotongan di ๐‘จ. Maka ๐‘บ ๐‘จ = ๐‘ด ๐’ˆ ๐‘ด ๐’‰. Bukti : Diketahui ๐ด sebuah titik, ๐‘” dan โ„Ž dua garis tegak lurus yang berpotongan di ๐ด. a) Kasus I : ๐‘ƒ โ‰  ๐ด Karena ๐‘” โŠฅ โ„Ž maka dapat dibentuk sebuah sistem sumbu orthogonal dengan ๐‘” sebagai sumbu X dan โ„Ž sebagai sumbu Y. ๐ด sebagai titik asal. Ambil titik ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘‰ Perhatikan Gambar 7.2
  4. 4. 4 Ditunjukkan bahwa untuk setiap ๐‘ƒ berlaku ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž(๐‘ƒ) Andaikan ๐‘ƒ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) โ‰  ๐ด dan ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ(๐‘ฅ1, ๐‘ฆ1) Karena ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ maka ๐ด titik tengah ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒ sehingga (0,0) = ( ๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ 2 , ๐‘ฆ1 + ๐‘ฆ 2 ) Diperoleh ๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ = 0 โŸบ ๐‘ฅ1 = โˆ’๐‘ฅ dan ใ€ฑ1 + ๐‘ฆ = 0 โŸบ ๐‘ฆ1 = โˆ’๐‘ฆ Artinya ใ€ฑ ๐ด(๐‘ƒ) = (โˆ’๐‘ฅ, โˆ’๐‘ฆ) โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ(1) Komposisi pencerminan ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž(๐‘ƒ) = ๐‘€๐‘”[๐‘€โ„Ž(๐‘ƒ)] = ๐‘€๐‘”(โˆ’๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (โˆ’๐‘ฅ, โˆ’๐‘ฆ) Artinya ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž(๐‘ƒ) = (โˆ’๐‘ฅ, โˆ’๐‘ฆ) โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh _ ๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž(๐‘ƒ). Jadi, ๐‘†๐ด = ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž b) Kasus II : ๐‘ƒ = ๐ด Menurut Definisi, ๐‘†๐ด(๐ด) = ๐ด โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ(1*) ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž(๐ด) = ๐‘€๐‘”(๐ด) = ๐ด โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ.(2*) Dari persamaan (1*) dan (2*) diperoleh ๐‘†๐ด(๐ด) = ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž(๐ด). Jadi, ๐‘†๐ด = ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž. Teorema 7.2 Jika ๐’ˆ dan ๐’‰ dua garis yang tegak lurus maka ๐‘ด ๐’ˆ ๐‘ด ๐’‰ = ๐‘ด ๐’‰ ๐‘ด ๐’ˆ Bukti ๐ด ๐‘ƒโ€ฒ โ€ฒ(โˆ’๐‘ฅ, โˆ’๐‘ฆ) ๐‘ƒโ€ฒ (โˆ’๐‘ฅ, ๐‘ฆ) P(x,y) โ„Ž ๐‘” ๐‘‹
  5. 5. 5 a) Kasus I : ๐‘ƒ โ‰  ๐ด Karena ๐‘ƒ โ‰  ๐ด, maka ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž(๐‘ƒ) = ๐‘†๐ด(๐‘ƒ). ๐‘€โ„Ž ๐‘€๐‘”(๐‘ƒ) = ๐‘€โ„Ž (๐‘€๐‘”(๐‘ƒ)) = แ’โ„Ž((๐‘ฅ, โˆ’๐‘ฆ)) = (โˆ’๐ท, โˆ’๐‘ฆ) = ใ€ฐ ๐ด(๐‘ƒ). diperoleh ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž(๐‘ƒ) = ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘€โ„Ž ๐‘€๐‘”(๐‘ƒ) Jadi, ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž = ๐‘€โ„Ž ๐‘€๐‘” b) Kasus II : ๐‘ƒ = ๐ด Karena ๐‘ƒ = ๐ด, maka ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž(๐ด) = ๐‘€๐‘”(๐ด) = ๐ด ๐‘€โ„Ž ๐‘€๐‘”(๐ด) = ๐‘€โ„Ž(๐ด) = ๐ด Sehingga diperoleh ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž(๐ด) = ๐‘€โ„Ž ๐‘€๐‘”(๐ด). Jadi, ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž = ๐‘€โ„Ž ๐‘€๐‘”. Teorema 7.3 Jika ๐‘บ ๐‘จ setengah putaran, maka ๐‘บโˆ’๐Ÿ ๐‘จ = ๐‘บ ๐‘จ. Bukti Andaikan ๐‘” dan โ„Ž dua garis yang tegak lurus maka ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž = ๐‘†๐ด dengan ๐ด titik potong antara ๐‘” dan โ„Ž. (๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž)โˆ’1 = ๐‘€โˆ’1 โ„Ž ๐‘€โˆ’1 ๐‘” = ๐‘†โˆ’1 ๐ด. Karena ๐‘€โˆ’1 โ„Ž = ๐‘€โ„Ž dan ๐‘€โˆ’1 ๐‘” = ๐‘€๐‘” maka ๐‘€โ„Ž ๐‘€๐‘” = ๐‘†โˆ’1 ๐ด. Karena ๐‘” โŠฅ โ„Ž, maka menurut teorema 7.2, ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž = ๐‘€โ„Ž ๐‘€๐‘”. Sedangkan menurut teorema 7.1, ๐‘†๐ด = ใฆ ๐‘” ๐‘€โ„Ž. Sehingga diperoleh ๐‘†โˆ’1 ๐ด = ๐‘€โ„Ž ๐‘€๐‘” = ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž = ๐‘†๐ด. Jadi, ๐‘†โˆ’1 ๐ด = ๐‘†๐ด. Teorema 7.4 Jika ๐‘จ = (๐’‚, ๐’ƒ) dan ๐‘ท = (๐’™, ๐’š) maka ๐‘บ ๐‘จ(๐‘ท) = (๐Ÿ๐’‚ โˆ’ ๐’™, ๐Ÿ๐’ƒ โˆ’ ๐’š). Bukti a) Kasus I : ๐‘ƒ โ‰  ๐ด Misalkan ๐‘ƒ" = (๐‘ฅ1, ๐‘ฆ1) dan ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒ" maka ๐ด titik tengah ๐‘ƒ๐‘ƒ" sehingga diperoleh (๐‘Ž, ๐‘) = (( ๐‘ฅ1+๐‘ฅ 2 ) , ( ๐‘ฆ1+๐‘ฆ 2 ))
  6. 6. 6 Maka ๐‘ฅ1+๐‘ฅ 2 = ๐‘Ž dan ๐‘ฆ1+๐‘ฆ 2 = ๐‘ sehingga diperoleh ๐‘ฅ1+๐‘ฅ 2 = ๐‘Ž โŸบ ๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ = 2๐‘Ž โŸบ ๐‘ฅ1 = 2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ..(1*) ๐‘ฆ1+๐‘ฆ 2 = ๐‘ โŸบ ๐‘ฆ1 + ๐‘ฆ = 2๐‘ โŸบ ๐‘ฆ1 = 2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ(2*) Dari persamaan (1*) dan (2*) maka (๐‘ฅ1, ๐‘ฆ1) = ( 2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ), (2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) Karena ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒ", maka ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (๐‘ฅ1, ๐‘ฆ1) = ( 2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ), (2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) Jadi, ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ, 2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ). b) Kasus II : ๐‘ƒ = ๐ด Karena ๐‘ƒ = ๐ด, maka (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (๐‘Ž, ๐‘) artinya ๐‘Ž = ๐‘ฅ dan ๐‘ = ๐‘ฆ. โž ๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘†๐ด(๐ด) = ๐ด = (๐‘Ž, ๐‘) (๐‘Ž, ๐‘) = ((2๐‘Ž โˆ’ ๐‘Ž), (2๐‘ โˆ’ ๐‘)) = ((2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ), (2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) Jadi, ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ, 2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ). 7.2 Lanjutan Setengah Putaran Kita ingat kembali tentang refleksi atau pencerminan. Definisi refleksi atau pencerminan ialah 1. ๏€จ ๏€ฉ gAAAMg ๏ƒŽ๏€ฝ , 2. ๏€จ ๏€ฉ 'PPMg ๏€ฝ , yang bersifat g adalah sumbu ruas garis 'PP Jelas bahwa gA๏ƒŽ๏€ข yang dicerminkan terhadap garis g maka A berimpit dengan petanya. Titik yang demikian dinamakan titik tetap (invariant) refleksi. Definisi A dinamakan titik tetap (invariant) transformasi T apabila berlaku T(A) = A Dari definisi tersebut, kita dapat memperoleh fakta bahwa sebuah refleksi garis g memiliki tak hingga banyaknya titik tetap yaitu semua titik pada sumbu refleksi g itu sendiri. Sedangkan pada sebuah setengah putaran di P (Sp), maka satu-satunya titik varian adalah P, sebab Sp(P) = P dan Sp(X) = Xโ€™ dengan PX ๏ƒ dan P titik tengah ruas garis 'XX .
  7. 7. 7 Definisi Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis dinamakan kolineasi Karena setiap isometric adalah suatu kolineasi maka refleksi dan setengah putaran adalah suatu kolineasi. Diantara kolineasi tersebut ada yang disebut dilatasi Definisi Suatu kolineasi dinamakan suatu dilatasi ๏„ jika untuk setiap garis g berlaku sifat โˆ†(๐‘”)//๐‘”. Teorema 7.5 Andaikan SA suatu setengah putaran, dan g sebuah garis. Apabila ๐‘จ โˆ‰ ๐’ˆ, ๐’Ž๐’‚๐’Œ๐’‚ ๐‘†๐ด(๐‘”)//๐‘” Diketahui : SA sebuah garis g, gA๏ƒ Buktikan bahwa ๐‘†๐ด(๐‘”)//๐‘” Bukti : Misal ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘”, ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐‘„ โˆˆ ๐‘” karena P โˆˆ g maka A titik tengah PPโ€ฒ dengan Pโ€ฒ = SA(P) karena Q โˆˆ g maka A titik tengah QQโ€ฒ dengan Qโ€ฒ = SA(Q) Perhatikan โˆ†APQโ€ฒ dan โˆ†AQPโ€ฒ Untuk membuktikan bahwa gโ€ฒ โˆ•โˆ• g maka harus ditunjukkan โˆ†APQโ€ฒ dan โˆ†AQPโ€ฒ adalah kongruen. m(< ๐‘ƒ๐ดQโ€ฒ) = m(< ๐‘„๐ดPโ€ฒ ) (sudut bertolak belakang) PA = APโ€ฒ ( karena A titik tengah PPโ€ฒ ) PQ ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒ ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) A ๐‘†๐ด(๐‘„) = ๐‘„โ€ฒ ๐‘”
  8. 8. 8 QA = AQ ( karena A titik tengah QQโ€ฒ ) Menurut definisi kekongruenan (S Sd S) sehingga โˆ†APQโ€ฒ โ‰… โˆ†AQPโ€ฒ Karena โˆ†APQโ€ฒ โ‰… โˆ†AQPโ€ฒ maka PQโ€ฒ = QPโ€ฒ Karena PQโ€ฒ = QPโ€ฒ maka gโ€ฒ โˆ•โˆ• g Jadi, ๐‘†๐ด(๐‘”)//๐‘” Contoh Diketahui dua garis g dan h tidak sejajar. A sebuah titik yang tidak terletak pada g atau h. Tentukan semua titik X pada g dan semua titik Y pada h sehingga A titik tengah ruas garis XY . Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar hAgA ๏ƒ๏ƒ , Ditanya : tentukan semua XYgahtitik ten, AhYgX ๏€ง๏ƒŽ๏ƒŽ Jawab : Ambil gP๏ƒŽ Jika ๏€จ ๏€ฉPSP A๏€ฝ' maka ๏€จ ๏€ฉgSg A๏€ฝ' melalui Pโ€™ dan PA=APโ€™, gโ€™//g Jika gโ€™ memotong h di Y Tarik YA memotong g di X Maka X dan Y pasangan titik yang dicari Ilustrasi : Dari contoh di atas, buktikan bahwa X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan, dan jika tidak menggunakan ๏€จ ๏€ฉgSg A๏€ฝ' tapi ๏€จ ๏€ฉhSh A๏€ฝ'' apakah akan memperoleh pasangan lain lalu jelaskan hal tersebut A gโ€™ g P Pโ€™ Y X h
  9. 9. 9 Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar hAgA ๏ƒ๏ƒ , , Ditanya : Adb X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan. Bukti : Ambil ๐‘” ๐‘ก๐‘–๐‘‘๐‘Ž๐‘˜ ๐‘ ๐‘’๐‘—๐‘Ž๐‘—๐‘Ž๐‘Ÿ โ„Ž, ๐‘” ๐‘ก๐‘–๐‘‘๐‘Ž๐‘˜ ๐‘ก๐‘’๐‘”๐‘Ž๐‘˜ ๐‘™๐‘ข๐‘Ÿ๐‘ข๐‘  โ„Ž, ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐ด โˆ‰ โ„Ž Karena ๐ด โˆ‰ โ„Ž, ๐‘š๐‘Ž๐‘˜๐‘Ž ๐‘†๐ด(โ„Ž) = โ„Žโ€ฒ โˆ•โˆ• โ„Ž โ„Žโ€ฒ akan memotong ๐‘” di titik ๐‘‹, sehingga ๐‘‹ โˆˆ โ„Žโ€ฒ karena ๐‘†๐ด(โ„Ž) = โ„Žโ€ฒ โˆ•โˆ• โ„Ž, maka ๐‘†๐ด(๐‘‹) = ๐‘Œ โˆˆ โ„Ž Karena titik potong dari dua garis atau lebih akan hanya ada satu titik potong, Maka ๐‘‹ dan ๐‘Œ satu-satunya pasangan . sehingga ๐‘‹ โˆˆ โ„Žโ€ฒ , ๐‘‹ โˆˆ ๐‘”, ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‹๐‘Œ, ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐‘Œ โˆˆ โ„Ž, ๐‘Œ โˆˆ ๐‘”โ€ฒ , ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‹๐‘Œ jadi, ๐‘‹ dan ๐‘Œ satu-satunya pasangan. Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar hAgA ๏ƒ๏ƒ , , ๏€จ ๏€ฉhSh A๏€ฝ'' Ditanya : Apakah ada pasangan lain yang memenuhi persyaratan selain X dan Y. Bukti : Teorema 7.6 Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda, tidak memiliki titik tetap Bukti : Misal BAVBA ๏‚น๏ƒŽ ,, โ„Ž โ„Žโ€ฒ ๐‘”โ€ฒ ๐‘” ๐ด ๐‘Œ ๐‘‹
  10. 10. 10 Akan dibuktikan BASS tidak memiliki titik tetap Misal g = AB h AB di A, k AB di B Akan ditunjukkan BASS = khMM Karena hgA MMS ๏€ฝ , kgB MMS ๏€ฝ Maka BASS = ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉkghg MMMM ๏€จ ๏€ฉ๏› ๏ ๏› ๏ ๏› ๏ ๏€จ ๏€ฉ๏› ๏ ๏€จ ๏€ฉ kh kh kggh kggh kghg kghg MM MIM MMMM MMMM MMMM MMMM ๏€ฝ ๏€ฝ ๏€ฝ ๏€ฝ ๏€ฝ ๏€ฝ Akan ditunjukkan BASS tidak memiliki titik tetap Misal X titik varian BASS Jadi BASS (X) = X sehingga ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉ XXMM kh ๏€ฝ Jadi ๏€จ ๏€ฉ๏› ๏๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏› ๏๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ2...)( 1...)( XMXMMM XMXMMM hkhh hkhh ๏€ฝ ๏€ฝ Dari (1) dan (2) diperoleh ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉXMXMXIMXM khkh ๏€ฝ๏ƒ›๏€ฝ Misal ๏€จ ๏€ฉ 1XXMk ๏€ฝ (i) Kasus 1 ( 1XX ๏‚น ) Misal khXX ๏‚น๏‚ฎ๏‚น 1 Karena h dan k adalah sumbu ruas garis XX1 dan ruas garis hanya memiliki satu sumbu maka h=k Hal ini tidak mungkin sebab BA ๏‚น (ii) Kasus 2 ( 1XX ๏€ฝ ) Misal 1XX ๏€ฝ Maka Mh(X)=X dan Mk(X)=X Jadi XhXkX dinberpotongakh,, ๏€ง๏ƒŽ๏ƒŽ
  11. 11. 11 Hal ini tidak mungkin sebab h//k Jadi, tidak mungkin ada sebuah titik X sehingga ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ XXSSXMXM BAkh ๏€ฝ๏€ฝ atau . Jadi, BASS tidak memiliki titik tetap. Ilustrasi teorema 7.6 Teorema 7.7 Jika BA ๏‚น adalah dua titik maka hanya ada satu setengah putaran yang memetakan A pada B Bukti : Dipunyai BA ๏‚น Akan dibuktikan ๏€จ ๏€ฉ BAST ๏€ฝ dengan T titik tengah ruas garis AB Misal ada dua setengah putaran SD dan SE sehingga ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ BABASD ๏€ฝ๏€ฝ ESdan Jadi ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉAASD ES๏€ฝ Maka ๏€จ ๏€ฉ๏› ๏ ๏€จ ๏€ฉ๏› ๏ASASS DDD E 11 S๏€ญ๏€ญ ๏€ฝ Karena S-1 D=SD maka ๏€จ ๏€ฉ๏› ๏ASA D ES๏€ฝ Jadi jika ED ๏‚น , maka berarti bahwa A adalah titik tetap dari EDSS Hal ini tidak mungkin ada lebih dari satu setengah putaran yang memetakan A pada B. Satu-satunya setengah putaran adalah ST(A) = B dengan T titik tengah ruas garis AB Teorema 7.8 Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik Dipunyai titik VP๏ƒŽ g h k A B
  12. 12. 12 Akan dibuktikan (1) g sebuah garis ๏€จ ๏€ฉ ggSP //๏‚ฎ (2) ISS PP ๏€ฝ dengan I transformasi identitas Bukti : (1) Jelas SP(g) = gโ€™ suatu garis. Misal gBgA ๏ƒŽ๏ƒŽ , Maka ',' gBgA ๏ƒŽ๏ƒŽ dan PA = PAโ€™, PB = PBโ€™ Karena PA = PAโ€™, PB = PBโ€™, dan ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ''PBAmAPBm ๏ƒ๏€ฝ๏ƒ sehingga BPAPAB '๏„๏€๏„ (s sd s) Jelas ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉBAPmPABm ๏ƒ๏€ฝ๏ƒ '' Jadi g//SP(g) dan SP sebuah dilatasi (2) Karena ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ AASASS ppp ๏€ฝ๏€ฝ ' , maka ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉgIgSSgA PP ๏€ฝ๏€ง๏ƒŽ๏€ข Jadi, ISS PP ๏€ฝ . Hal ini berarti SP bersifat involuntorik Dari pernyataan (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa SP sebuah dilatasi bersifat involuntorik. Atau dengan kata lain suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik. Ilustrasi : Teorema 7.9 Apabila T suatu transformasi. H himpunan titik-titik dan A sebuah titik, maka ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ HATHTA ๏ƒŽ๏‚ซ๏ƒŽ ๏€ญ1 Bukti : B A Bโ€™ Aโ€™ P SP(g)=gโ€™ g
  13. 13. 13 Dipunyai T transformasi, H himpunan titik-titik, A sebuah titik Akan dibuktikan ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ HATHTA ๏ƒŽ๏‚ซ๏ƒŽ ๏€ญ1 ๏€จ ๏€ฉ๏ƒž Ambil ๏€จ ๏€ฉHTA๏ƒŽ Jadi ๏€จ ๏€ฉXTAHX ๏€ฝ๏€ง๏ƒŽ๏€ค maka ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏› ๏ ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ XXIXTTXTTAT ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ๏€ญ 111 Jadi, ๏€จ ๏€ฉ HAT ๏ƒŽ๏€ญ1 ๏€จ ๏€ฉ๏ƒœ Ambil ๏€จ ๏€ฉ HAT ๏ƒŽ๏€ญ1 Hal ini berarti ๏€จ ๏€ฉ๏› ๏ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉHTAatau1 ๏ƒŽ๏ƒŽ๏€ญ HTATT Contoh : Dipunyai : ๏€จ ๏€ฉ๏ป ๏ฝ164, 22 ๏€ฝ๏€ซ๏€ฝ yxyxE Misal A = (4,-3) dan C = (3,1) g adalah sumbu X Ditanya : Selidiki apakah ๏€จ ๏€ฉESMA cg๏ƒŽ Jawab : Jelas ๏€จ ๏€ฉ gcgccg MSMSSM ๏€ฝ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ๏€ญ 111 Ambil P = (x,y) Jelas ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉyxPMyxP g ๏€ญ๏€ฝ๏‚ฎ๏€ฝ ,, Jelas ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉyxyxPSc ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ 2,61.2,3.2 Jadi ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉyxyxSPMSPSM cgccg ๏€ซ๏€ญ๏€ฝ๏€ญ๏€ฝ๏€ฝ ๏€ญ 2,6, 1 Sehingga ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ1,232,463,4 11 ๏€ญ๏€ฝ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ cgcg SMASM Karena ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ EASM cg ๏ƒ๏€ญ๏€ฝ ๏€ญ 1,2 1 maka berarti bahwa ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉESMA cg๏ƒ Jadi, ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉESMA cg๏ƒ Dengan cara serupa, kita dpat menentukan persamaan peta suatu himpunan apabila persamaan himpunan tela diketahui.
  14. 14. 14 Menurut teorema 7.9, ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ HATHTA ๏ƒŽ๏‚ซ๏ƒŽ ๏€ญ1 . Jika transformasi T adalah ๏€จ ๏€ฉESM cg dengan ๏€จ ๏€ฉ๏ป ๏ฝ164, 22 ๏€ฝ๏€ซ๏€ฝ yxyxE , maka ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ EPSMESMP cgcg ๏ƒŽ๏‚ซ๏ƒŽ ๏€ญ1 . Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan sebelumnya, jika ๏€จ ๏€ฉyxP ,๏€ฝ maka ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉyxPSM cg ๏€ซ๏€ญ๏€ฝ ๏€ญ 2,6 1 Jadi, ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏ป ๏ฝ164,2,6 221 ๏€ฝ๏€ซ๏ƒŽ๏€ซ๏€ญ๏‚ซ๏ƒŽ ๏€ญ yxyxyxEPSM cg Jadi haruslah ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ 16246 22 ๏€ฝ๏€ซ๏€ซ๏€ญ yx Hal ini berarti bahwa ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏ป ๏ฝ03616124, 22 ๏€ฝ๏€ซ๏€ซ๏€ญ๏€ซ๏ƒŽ๏‚ซ๏ƒŽ yxyxyxPESMP cg Sehingga diperoleh fakta bahwa 03616124 22 ๏€ฝ๏€ซ๏€ซ๏€ญ๏€ซ yxyx adalah persamaan peta E oleh transformasi cg SM . Latihan Soal halaman 68 1. Diket : titik A, B, P tak segaris dan berbeda. Lukis : a. ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) b. ๐‘… โˆ‹ ๐‘† ๐ต(๐‘…) = ๐‘ƒ c. ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(๐‘ƒ) d. ๐‘† ๐ต ๐‘†๐ด(๐ท) e. ๐‘†๐ด 2 (๐‘ƒ) Lukisan : a. ๐‘†แ’(๐‘ƒ) b. ๐‘… โˆ‹ ๐‘† ๐ต(๐‘…) = ๐‘ƒ ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) B P A
  15. 15. 15 c. ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(๐‘ƒ) d. ๐‘† ๐ต ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) e. ๐‘†๐ด 2 (๐‘ƒ) 2. Diket : garis ๐‘” dan titik ๐ด, ๐ด โˆ‰ ๐‘” Ditanya : a) Lukisan garis ๐‘”1 = ๐‘†๐ด(๐‘”) dan mengapa ๐‘” sebuah garis? b) Buktikan bahwa ๐‘”โ€ฒ //๐‘”. Jawab : == ๐‘†๐ด 2 (๐‘ƒ) ๐‘† ๐ต ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) B P A R B P A R ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(๐‘ƒ) B P A ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) B P A ๐‘†๐ด(๐‘ƒ)
  16. 16. 16 a. ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) Karena ๐‘” sebuah garis, maka ๐‘†๐ด(๐‘”) juga merupakan sebuah garis (isometri). b. ๐‘”โ€ฒ โˆ•โˆ• ๐‘” Bukti : ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘”, ๐‘„ โˆˆ ๐‘” karena ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘” maka A titik tengah ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒ dengan ๐‘ƒโ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) karena ๐‘„ โˆˆ ๐‘” maka A titik tengah ๐‘„๐‘„โ€ฒ dengan ๐‘„โ€ฒ = ๐‘† ๐ด(๐‘„) Perhatikan โˆ†๐ด๐‘ƒ๐‘„โ€ฒ ๐‘‘๐‘Ž๐‘› โˆ†๐ด๐‘„๐‘ƒโ€ฒ Untuk membuktikan bahwa ๐‘”โ€ฒ โˆ•โˆ• ๐‘” maka harus ditunjukkan โˆ†๐ด๐‘ƒ๐‘„โ€ฒ ๐‘‘๐‘Ž๐‘› โˆ†๐ด๐‘„๐‘ƒโ€ฒ adalah kongruen. ๐‘š(< ๐‘ƒ๐ด๐‘„โ€ฒ) = ๐‘š(< ๐‘„๐ด๐‘ƒโ€ฒ ) (sudut bertolak belakang) ๐‘ƒ๐ด = ๐ด๐‘ƒโ€ฒ ( karena A titik tengah ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒ ) ๐‘„โ€ฒ ๐ด = ๐ด๐‘„ ( karena A titik tengah ๐‘„๐‘„โ€ฒ ) Menurut definisi kekongruenan (S Sd S) sehingga โˆ†๐ด๐‘ƒ๐‘„โ€ฒ โ‰… โˆ†๐ด๐‘„๐‘ƒโ€ฒ Karena โˆ†๐ด๐‘ƒ๐‘„โ€ฒ โ‰… โˆ†๐ด๐‘„๐‘ƒโ€ฒ maka ๐‘ƒ๐‘„โ€ฒ = ๐‘„๐‘ƒโ€ฒ Karena ๐‘ƒ๐‘„โ€ฒ = ๐‘„๐‘ƒโ€ฒ maka ๐‘”โ€ฒ โˆ•โˆ• ๐‘” 3. Diket : โˆ†๐ด๐ต๐ถ dan jajargenjang ๐‘Š๐‘‹๐‘Œ๐‘, K terletak diluar daerah โˆ†๐ด๐ต๐ถ dan diluar jajargenjang ๐‘Š๐‘‹๐‘Œ๐‘. Ditanya : a) Lukisan ๐‘† ๐พ(โˆ†๐ด๐ต๐ถ) b) Titik J โˆ‹ ๐‘†๐ฝ(๐‘Š๐‘‹๐‘Œ๐‘) = ๐‘Š๐‘‹๐‘Œ๐‘ Jawab : a) Lukisan ๐‘† ๐พ(โˆ†๐ด๐ต๐ถ) PQ ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒ ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) A ๐‘†๐ด(๐‘„) = ๐‘„โ€ฒ ๐‘”
  17. 17. 17 b) ๐‘† (๐‘Š๐‘‹๐‘Œ๐‘) = ๐‘Š๐‘‹๐‘Œ๐‘ 4. Diket : titik-titik A, B, C tak segaris Lukis : a) Garis ๐‘” dan โ„Ž sehingga ๐‘€๐‘”(๐ต) = ๐ต dan ๐‘†๐ด = ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž b) Garis ๐‘˜ dan ๐‘š sehingga ๐‘€โˆ’1 ๐‘˜(๐ถ) = ๐ถ dan ๐‘†๐ด = ๐‘€ ๐‘˜ ๐‘€ ๐‘š Lukisan : a) ๐‘€๐‘”(๐ต) = ๐ต dan ๐‘†๐ด = ใฆ ๐‘” ๐‘€โ„Ž b) ๐‘€โˆ’1 ๐‘˜(๐ถ) = ๐ถ dan ๐‘†@ = ๐‘€ ๐‘˜ ๐‘€ ๐‘š 5. Diket : A = (2,3) Ditanya: a. SA( C ) apabila C = (2,3) b. SA( D ) apabila D = (-2,7) c. SA( E ) apabila E= (4,-1) d. SA( P ) apabila P = (x,y) Jawab: W X YZ Cโ€™ Aโ€™ Bโ€™ K B CA ๐‘” ๐ด โ„Ž ๐ต
  18. 18. 18 a. C = (2,3) SA( C ) = (2.2 - 2, 2.3 - 3) = (2,3) b. D = (-2,7) SA( D ) = (2.2-(-2), 2.3-7) = (6,-1) c. E= (4,-1) SA( E ) = (2.2-4, 2.3-(-1)) = (0,7) d. P = (x,y) SA( P ) = (2.2-x, 2.3-y) = (4-x, 6-y) 6. Diket : B = (1, -3) Tentukan : a. SB(D) apabila D (-3, 4) b. E apabila SB(E) = (-2, 5) c. SB(P) apabila P = (x, y) Jawab : a. D (-3, 4) SB(D) = (2.1-(-3), 2.(-3)-4) = (5, -10) b. SB(E) = (-2, 5) Misal E = (x, y) Maka, 2.1 - x = -2 2.(-3) - y = 5 โ‡”2 โ€“ x = -2 โ‡” -6 - y = 5 โ‡” x = 4 โ‡” y = -11 jadi, E = (4, -11) c. P= (x, y) SB(P) = (2.1- x, 2.(-3) - y) = (2 - x, - 6 - y) 7. Diket : D = (0, -3) dan B = (2, 6) a. SB(B) = (2.2 - 2, 2.6 - 6)
  19. 19. 19 = (2, 6) SDSB(B) = SD(2,6) = (2.0 - 2, 2.(-3) โ€“ 6) = (-2, -12) b. K = (1, -4) SB(K) = (2.2-1, 2.6 - (-4) = (3, 16) SDSB(K) = SD(3,16) = (2.0 - 3, 2.(-3) - 16) = (-3, -22) c. SD(K) = (2.0 - 1, 2.(-3) - (-4)) = (-1, -2) SBSD(K) =SB(-1, -2) = (2.2 - (-1), 2.6 - (-2)) = (5, 14) d. Menurut teorema 7.3 jika SA setengah putaran, maka S-1 A = SA maka, SD -1 (K) = SD(K) = (-1,-2) Dan, SB -1 (K) = SB(K) Sehingga, (SDSB)-1 (K) = SB -1 SD -1 (K) = SB -1 (-1, -2) = SB(-1, -2) = (2.2 - (-1), 2.6 - (-2)) = (5, 14) e. P = (x, y) SB(P) = (2.2 โ€“ x, 2.6 โ€“ y) = (4 โ€“ x, 12 โ€“ y) SDSB(P) = SD(4 โ€“ x, 12 โ€“ y) = (2.0 โ€“ (4 โ€“ x), 2.(-3) โ€“ (12 โ€“ y)) = ( - 4 + x, - 6 โ€“ 12 + y) =(x - 4, y - 18) 8. Diket : C = (โˆ’4,3)
  20. 20. 20 ๐‘” = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐‘ฆ = โˆ’๐‘ฅ} Tentukan : a. ๐‘€๐‘” ๐‘†๐‘(2, โˆ’1) b. ๐‘€๐‘” ๐‘† ๐ถ(๐‘ƒ) jika ๐‘ƒ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) c. (๐‘€ ๐‘” ๐‘† ๐ถ)โˆ’1(๐‘ƒ), apakah ๐‘€๐‘” ๐‘†๐‘ = ๐‘†๐‘ = แ’ ๐‘ ๐‘€๐‘”? Jawab : a. ๐‘€๐‘” ๐‘†๐‘(2, โˆ’1) = ๐‘€๐‘”(2. (โˆ’4) โˆ’ 2,2.3โ€” 1) = ๐‘€๐‘”(โˆ’10,7) = (โˆ’7,10) b. ๐‘ƒ(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) ๐‘€๐‘” ๐‘† ๐ถ(๐‘ƒ) = ๐‘€๐‘”(2. (โˆ’4) โˆ’ ๐‘ฅ, 2.3 โˆ’ ๐‘ฆ) = ๐‘€๐‘”(โˆ’8 โˆ’ ๐‘ฅ, 6 โˆ’ ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ โˆ’ 6, ๐‘ฅ + 8) c. (๐‘€ ๐‘” ๐‘† ๐ถ)โˆ’1(๐‘ƒ) = (๐‘† ๐ถ โˆ’1 ๐‘€๐‘” โˆ’1 )(๐‘ƒ) Berdasarkan teorema 7.3 dan 6.3 diperoleh ๐‘†๐ด โˆ’1 = ๐‘†๐ด dan ๐‘€๐‘” โˆ’1 = ๐‘€๐‘”, sehingga diperoleh (๐‘€ ๐‘” ๐‘† ๐ถ)โˆ’1(๐‘ƒ) = (๐‘† ๐ถ โˆ’1 ๐‘€๐‘” โˆ’1 )(๐‘ƒ) = (๐‘† ๐ถ ๐‘€๐‘”)(๐‘ƒ) = ๐‘† ๐ถ ๐‘€ ๐บ(้จด, ๐‘Œ) = ๐‘† ๐ถ(โˆ’๐‘ฆ, โˆ’๐‘ฅ) = (2. (โˆ’4)โ€” ๐‘ฆ), 2.3โ€” ๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆ’ 8, 6 + ๐‘ฅ) 9. a. SA(K) = SA(J) Misal K = (x, y), A = (a, b), J = (u, v) SA(K) = (2a โˆ’ x, 2b โˆ’ y) SA(K) = (2a โˆ’ u, 2b โˆ’ v) Karena SA(K) = SA(J) sehingga 2a โˆ’ x = 2a โˆ’ u โ‡” โˆ’x = โˆ’u
  21. 21. 21 โ‡” x = u dan 2b โˆ’ y = 2b โˆ’ v โ‡” โˆ’y = โˆ’v โ‡” y = v Sehingga K(x, y) = J(u, v) Jadi K = J b. SA(D) = SB(D) Misal ๐ด = (๐‘Ž, ๐‘) ๐ต = (๐‘, ๐‘‘) ๐ท = (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) Karena SA(D) = SB(D) maka (2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ, 2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) = (2๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ, 2๐‘‘ โˆ’ ๐‘ฆ) diperoleh 2๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ = 2๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ โ‡” 2๐‘Ž = 2๐‘ โ‡” ๐‘Ž = ๐‘ dan 2๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ = 2๐‘‘ โˆ’ ๐‘ฆ โŸบ 2๐‘ = 2๐‘‘ โŸบ ๐‘ = ๐‘‘ Karena ๐‘Ž = ๐‘ dan ๐‘ = ๐‘‘ Maka (๐‘Ž, ๐‘) = (๐‘, ๆ•ก) sehingga ๐ด = ๐ต Jadi dapat ditarik suatu akibat yaitu ๐ด = ๐ต c. SA(E) = E โŸน Misal A(a, b), E(x, y) SA(E) = (2a โˆ’ x, 2b โˆ’ y) Karena SA(E) = E maka (2a โˆ’ x, 2b โˆ’ y) = (x, y) diperoleh 2a โˆ’ x = x โŸบ 2a = 2x โŸบ a = x dan 2b โˆ’ y = y
  22. 22. 22 โŸบ 2b = 2y โŸบ b = y Sehingga A(a, b) = E(x, y) Jadi A = E 10. a) Dipunyai : ABBA SSSSBA ๏€ฝ๏‚น๏€ข , Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar Jawab : Ambil ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ),(,,,, yxPVdcBVbaA ๏ƒŽ๏ƒŽ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ1...22,22 22,22 2,2 ydbxca ydbxca ydxcSA ๏€ซ๏€ญ๏€ซ๏€ญ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ2...22,22 22,22 22,22 2,2 ydbxca ybdxac ybdxac ybxaSB ๏€ซ๏€ซ๏€ญ๏€ซ๏€ซ๏€ญ๏€ฝ ๏€ซ๏€ญ๏€ซ๏€ญ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ Dari (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ABBA SSSS ydbxcaydbxca ๏‚น ๏€ซ๏€ซ๏€ญ๏€ซ๏€ซ๏€ญ๏‚น๏€ซ๏€ญ๏€ซ๏€ญ 22,2222,22 Jadi, ABBA SSSSBA ๏€ฝ๏‚น๏€ข , merupakan pernyataan yang salah b) Dipunyai : setiap setengah putaran adalah suatu isometric langsung Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar Jawab : Menurut definisi suatu transformasi isometric langsung apabila transformasi itu mengawetkan orientasi. Ambil tiga titik tak segaris ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉfeCdcBbaA ,,,,, dan tiga titik tersebut membentuk segitiga ABC Akan ditunjukan ABC orientasinya sama dengan Aโ€™Bโ€™Cโ€™ dengan Aโ€™=T(A),Bโ€™=T(B), Cโ€™=T(C) Misal P(x,y) titik pusat setengah putaran ๏€จ ๏€ฉPSS BA ๏€จ ๏€ฉPSS AB
  23. 23. 23 c) Dipunyai : ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉhSSgSShg BABA ๏ž๏ƒž๏ž Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar Jawab : d) Dipunyai : ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ABBABSBASA AB 2, 1111 ๏€ฝ๏ƒž๏€ฝ๏€ฝ Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar Jawab : Ambil ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ2211 ,,, yxByxA ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ2 21 2 21 yyxxAB ๏€ญ๏€ซ๏€ญ๏€ฝ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ2121221 1212111 2,2, 2,2, yyxxyxSBSB yyxxyxSASA AA BB ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ AB3 3 99 3333 2222 2222 2 12 2 12 2 12 2 12 2 12 2 12 2 2112 2 2112 2 2112 2 211211 ๏€ฝ ๏€ญ๏€ซ๏€ญ๏€ฝ ๏€ญ๏€ซ๏€ญ๏€ฝ ๏€ญ๏€ซ๏€ญ๏€ฝ ๏€ซ๏€ญ๏€ญ๏€ซ๏€ซ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ซ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ yyxx yyxx yyxx yyyyxxxx yyyyxxxxBA Jadi, ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ABBABSBASA AB 3, 1111 ๏€ฝ๏ƒž๏€ฝ๏€ฝ Jadi, ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ABBABSBASA AB 2, 1111 ๏€ฝ๏ƒž๏€ฝ๏€ฝ merupakan pernyataan salah e) Dipunyai : ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ PPSggSPAgPgA AA ๏€ฝ๏€ฝ๏ƒž๏‚น๏ƒŽ๏ƒŽ ,,, Ditanya : selidiki apakah pernyataan tersebut benar Jawab : Jelas gAP ๏ƒŽ Ambil A(a,b), P(x,y) Akan ditunjukan bahwa ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ PPSggS AA ๏€ฝ๏€ฝ , ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉyxPPS gPybxaPS A A ,Jadi, '2,2 ๏‚น ๏ƒŽ๏€ฝ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ Karena gA๏ƒŽ , maka ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ggSgPPSgAAS AAA ๏€ฝ๏€ง๏ƒŽ๏€ฝ๏ƒŽ๏€ฝ ',
  24. 24. 24 Jadi, ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ PPSggSPAgPgA AA ๏€ฝ๏€ฝ๏ƒž๏‚น๏ƒŽ๏ƒŽ ,,, merupakan pernyataan salah. 11. Diket: A = (โˆ’1,0) Ditanya: Tentukan persamaan garis-garis ๐‘” dan โ„Ž sehingga ๐ต(3,4) โˆˆ ๐‘” dan ๐‘†๐ด = ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž Jawab: ๐‘†๐ด = ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž โ‡’ ๐‘” โŠฅ โ„Ž โ‡’ ๐‘š ๐‘”. ๐‘šโ„Ž = โˆ’1 โŸบ ๐‘š ๐‘” = 1 ๐‘šโ„Ž misal ๐‘” โŸน ๐‘ฆ = ๐‘š ๐‘” ๐‘ฅ + ๐ถ โ„Ž โŸน ๐‘ฆ = ๐‘šโ„Ž ๐‘ฅ + ๐ถ titik potong g dan h ada di A(โˆ’1,0) A titik potong g dan h B(3,4) โˆˆ g Sehingga A dan B โˆˆ g Persamaaan garis g melalui A(โˆ’1,0) dan B(3,4) g: y โˆ’ y1 y2 โˆ’ y1 = x โˆ’ x1 x2 โˆ’ x1 โ‡” y โˆ’ 4 0 โˆ’ 4 = x โˆ’ 3 โˆ’1 โˆ’ 3 โ‡” y โˆ’ 4 โˆ’4 = x โˆ’ 3 โˆ’4 โŸบ y โˆ’ 4 = x โˆ’ 3 โŸบ y = x + 1 โŸน mg = 1 Karena mg. mh = โˆ’1 dan mg = 1 maka mh = โˆ’1 h melalui (โˆ’1,0) dan bergradien -1 y โˆ’ y1 = m(x โˆ’ x1) y โˆ’ 0 = โˆ’1(x + 1) y = โˆ’x โˆ’ 1 Jadi g: y = x + 1 h: y = โˆ’x โˆ’ 1 13. Diketahui : titik VBA ๏ƒŽ, , garis g
  25. 25. 25 Titik R,S,T berbeda dan tak segaris sehingga ganda (R,S,T) memiliki orientasi positif Ditanya : Apakah dapat dikatakan tentang peta ganda tersebut oleh transformasi : a. SA b. SA SB c. MgSA d. SAMgSB e. S-1 A f. (MgSB)-1 Selesaian : 14. Diketahui:tiga titik A, B, C Buktikan:(๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต)โˆ’1 = ๐‘† ๐ต ๐‘†๐ด Bukti: Adb (๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต)โˆ’1 = ๐‘† ๐ต ๐‘†๐ด (๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต)โˆ’1 = ๐‘† ๐ต โˆ’1 ๐‘†๐ด โˆ’1 Menurut teorema 7.3 โ€œ๐‘—๐‘–๐‘˜๐‘Ž ๐‘†๐ด ๐‘ ๐‘’๐‘ก๐‘’๐‘›๐‘”๐‘Žโ„Ž ๐‘๐‘ข๐‘ก๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘›, ๐‘š๐‘Ž๐‘˜๐‘Ž ๐‘†๐ด โˆ’1 = ๐‘†๐ดโ€ Jadi SB โˆ’1 = SB dan SA โˆ’1 = SA Karena ๐‘† ๐ต โˆ’1 = ๐‘†ใ€ฑ ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐‘†๐ด โˆ’1 = ๐‘†๐ด Maka (๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต)โˆ’1 = ๐‘† ๐ต โˆ’1 ๐‘†๐ด โˆ’1 = ๐‘† ๐ต ๐‘†๐ด Jadi, terbukti bahwa (SASB)โˆ’1 = SBSA 15. Diketahui : MgSA, MgSAMh, SAMh,SB, T-1 SA dengan T suatu transformasi sebarang Ditanya : tentukan dan sederhanakan balikannya Selesaian : a) ๏€จ ๏€ฉ hhgghgAgAAg MIMMMMMSMSSM ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ 11111 b) ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ISSSSSSSMMMSM AAAAAAAhghAg ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ 111111 c) ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ AhBAhBhABBhABhA SMSSMSMSSSMSSMS 11111111 ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ
  26. 26. 26 gBghhBAhB MSMMMSSMS ๏€ฝ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ 11 Jadi, ๏€จ ๏€ฉ gBBhA MSSMS ๏€ฝ ๏€ญ1 ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ TSTSST AAA ๏€ฝ๏€ฝ ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ 11111 16. a. Apabila A=(0,0), B=(-4,1), tentukanlah K sehinga ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(๐พ) = (6,2) b. Apabila ๐‘€๐‘” ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘…, nyatakan kootdinat P dengan koordinat- koordinat R Penyelesaian: a. Diket : A=(0,0), B=(-4,1) Ditanya : tentukanlah K sehinga ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(๐พ) = (6,2) Jawab : Misal ๐พ = (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(๐พ) = (6,2) โ‡” ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (6,2) โ‡” ๐‘†๐ด(2. (โˆ’4) โˆ’ ๐‘ฅ, 2.1 โˆ’ ๐‘ฆ) = (6,2) โ‡” ๐‘†๐ด(โˆ’8 โˆ’ ๐‘ฅ, 2 โˆ’ ๐‘ฆ) = (6,2) โ‡” (2.0 โˆ’ (โˆ’8 โˆ’ ๐‘ฅ), 2.0 โˆ’ (2 โˆ’ ๐‘ฆ) = (6,2) โ‡” (8 + ๐‘ฅ, ๐‘ฆ โˆ’ 2) = (6,2) โ‡’ 8 + ๐‘ฅ = 6 โ‡” ๐‘ฅ = โˆ’2 ๐‘ฆ โˆ’ 2 = 2 โ‡” ๐‘ฆ = 4 Jadi, ๐พ(โˆ’2,4) b. Diket : ๐‘€๐‘” ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘… Ditanya : nyatakan kootdinat P dengan koordinat-koordinat R Jawab : 17. Diket: Titik ๐ด(โˆ’1,4) Garis ๐‘” = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐‘ฆ = 2๐‘ฅ โˆ’ 1} Garis โ„Ž = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐‘ฆ = โˆ’4๐‘ฅ} Ditanya: a. Persamaan ๐‘†๐ด(๐‘”) = ๐‘”โ€ฒ ?
  27. 27. 27 b. Persamaan ๐‘†๐ด(โ„Ž) = โ„Žโ€ฒ ? c. Persamaan ๐‘†๐ด(๐‘ ๐‘ข๐‘š๐‘๐‘ข ๐‘ฅ)? d. Apakah titik (โˆ’5,6) terletak pada ๐‘†๐ด(๐‘”) ? jelaskan ! Jawab: a. Ambil titik ๐บ(1,1) โˆˆ ๐‘” ๆ›ฏ ๐ด(๐‘”) = ๆ˜น โ€ฒ , ๐บ โˆˆ ๐‘”, ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐‘†๐ด(๐บ) = ๐บโ€ฒ Maka ๐บโ€ฒ โˆˆ ๐‘”โ€ฒ ๐‘†๐ด(๐บ) = (2. (โˆ’1) โˆ’ 1, 2.4 โˆ’ 1) = (โˆ’3, 7) = ๐บโ€ฒ โˆˆ ๐‘”โ€ฒ Menurut teorema 7.5 maka ๐‘”โ€ฒ โˆ•/๐‘” sehingga ๐‘š๐‘”โ€ฒ = ๐‘š๐‘” = 2 jadi, persamaan ๐‘”โ€ฒ melalui ๐บโ€ฒ(โˆ’3, 7) dengan ๐‘š=2 ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1 = ๐‘š(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1) ๐‘ฆ โˆ’ 7 = 2(๐‘ฅโ€” 3) ้จด โˆ’ 7 = 2๐‘ฅ + 6 ๐‘ฆ = 2ใ€ฐ + 13 Jadi, ๐‘”โ€ฒ = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)| ๐‘ฆ = 2๐‘ฅ + 13} b. Kasus I Ambil titik ๐ป = ๐ด ๐ป(โˆ’1,4) โˆˆ โ„Ž SA(h) = hโ€ฒ , H โˆˆ h, dan SA(H) = Hโ€ฒ Maka Hโ€ฒ โˆˆ hโ€ฒ SA(H) = (2. (โˆ’1) โˆ’ (โˆ’1), 2.4 โˆ’ 4) = (โˆ’1, 4) = Hโ€ฒ โˆˆ hโ€ฒ Menurut teorema 7.5 maka hโ€ฒ โˆ•/h sehingga mhโ€ฒ = mh = โˆ’4 jadi, persamaan hโ€ฒ melalui Gโ€ฒ(โˆ’1, 4) dengan m = โˆ’4 y โˆ’ y1 = m(x โˆ’ x1) y โˆ’ 4 = โˆ’4(x โˆ’ (โˆ’1)) y โˆ’ 4 = โˆ’4x โˆ’ 4 y = โˆ’4x Jadi, hโ€ฒ = {(x, y)|y = โˆ’4}
  28. 28. 28 Kasus II Ambil titik ๐ป โ‰  ๐ด ๐ป(1, โˆ’4) โˆˆ โ„Ž SA(h) = hโ€ฒ , H โˆˆ h, dan SA(H) = Hโ€ฒ Maka Hโ€ฒ โˆˆ hโ€ฒ SA(H) = (2. (โˆ’1) โˆ’ 1, 2.4 โˆ’ (โˆ’4)) = (โˆ’3, 12) = Hโ€ฒ โˆˆ hโ€ฒ Menurut teorema 7.5 maka hโ€ฒ โˆ•/h sehingga mhโ€ฒ = mh = โˆ’4 jadi, persamaan hโ€ฒ melalui Gโ€ฒ(โˆ’3, 12) dengan m = โˆ’4 y โˆ’ y1 = m(x โˆ’ x1) y โˆ’ 12 = โˆ’4(x โˆ’ (โˆ’3)) y โˆ’ 12 = โˆ’4x โˆ’ 12 y = โˆ’4x Jadi, hโ€ฒ = {(x, y)|y = โˆ’4} c. Sumbu ๐‘ฅ โ‡’ ๐‘ฆ = 0 โ‡’ ๐‘”๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘–๐‘  ๐‘” Ambil titik ๐บ(1,0) โˆˆ ๐‘” dan SA(๐‘”) = ๐‘”โ€ฒ Maka SA(๐บ) = ๐บโ€ฒ = (2. (โˆ’1) โˆ’ 1, 2.4 โˆ’ 0) = (โˆ’3,8) Sehingga ๐บโ€ฒ โˆˆ gโ€ฒ Karena ๐‘”//๐‘”โ€ฒ โ‡’ ๐‘š๐‘” = ๐‘š๐‘”โ€ฒ = 0 Persamaan himpunan melalui (โˆ’3,8) dengan ๐‘š = 0 ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1 = ๐‘š(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1) โ‡”๐‘ฆ โˆ’ 8 = 0(๐‘ฅ + 3) โ‡” ๐‘ฆ = 8 Jadi, persamaan himpunan ๐‘†๐ด(๐‘ ๐‘ข๐‘š๐‘๐‘ข ๐‘ฅ) adalah ๐‘ฆ = 8 d. ๐‘†๐ด(๐‘”) = ๐‘”โ€ฒ = {(๐‘ฅ, แ’)|@ = 2๐‘ฅ + 13} ๐‘—๐‘–๐‘˜๐‘Ž ๐‘ฅ = โˆ’5 ๐‘š๐‘Ž๐‘˜๐‘Ž ๐‘ฆ = 2. (โˆ’5) + 13 = 3 โ‰  6 Jadi (โˆ’5,6) tidak terletak pada ๐‘†๐ด(๐‘”) 18. Diket: C = {(x, y)|x2 + (y โˆ’ 3)2 = 4 ๐‘” = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐‘ฆ = ๐‘ฅ} ๐ด(3,2)
  29. 29. 29 Ditanya: Apakah ๐ท(2,5) โˆˆ ๐‘€๐‘” ๐‘†๐ด(๐ถ)? Jawab: ๐ถ = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐‘ฅ2 + (๐‘ฆ โˆ’ 3)2 = 4 dengan pusat ๐‘€(0,3) dan berjari-jari 2 ๐ด(3,2) ๐‘†๐ด(๐‘€) = ๐‘€โ€ฒ = (2.3 โˆ’ 0,2.2 โˆ’ 3) = (6,1) ๐‘†๐ด(๐ถ) = ๐ถโ€ฒ ๐ถโ€ฒ adalah lingkaran dengan pusat Mโ€ฒ (6,1), jari-jari 2 Sehingga ๐ถโ€ฒ = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|(๐‘ฅ โˆ’ 6)2 + (๐‘ฆ โˆ’ 1)2 = 4} ๐‘€๐‘”(๐ถโ€ฒ) = ๐ถโ€ฒโ€ฒ โŸบ ๐‘€๐‘”(6,1) = (1,6) Jadi Mโ€ฒโ€ฒ(1,6) adalah pusat lingkaran Cโ€ฒโ€ฒ ๐ถโ€ฒโ€ฒ = (๐‘ฅ โˆ’ 1)2 + (๐‘ฆ โˆ’ 6)2 = 4 Jadi, MgSA(C) = Cโ€ฒโ€ฒ = (x โˆ’ 1)2 + (y โˆ’ 6)2 = 4 Jika x = 2, dan y = 5 Maka (2 โˆ’ 1)2 + (5 โˆ’ 6)2 = (1)2 + (โˆ’1)2 = 1 + 1 = 2 โ‰  4 Jadi, D(2,5) โˆ‰ MgSA(C) 20. Diket : ๐‘” = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐‘ฆ = 5๐‘ฅ + 7} ๐‘ƒ = (โˆ’3,2) Ditanya : ๐‘† ๐‘ƒ(๐‘”) = ๐‘”โ€ฒ ? Jawab: Ambil sebarang titik ๐ด(๐‘ฅ, ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘” ๐‘ฅ = โˆ’1 โ‡’ ๐‘ฆ = โˆ’5 + 7 = 2 Misal ๐ด(โˆ’1,2), ๐ด โˆˆ ๐‘” ๐‘† ๐‘ƒ(๐ด) = (2. (โˆ’3)โ€” 1,2.2 โˆ’ 2) = (โˆ’6 + 1,4 โˆ’ 2) = (โˆ’5,2) = ๐ดโ€ฒ โŸน ๐ดโ€ฒ โˆˆ ๐‘”โ€ฒ ๐‘”//๐‘”โ€ฒ โŸน ๐‘š ๐‘” = ๐‘š ๐‘”โ€ฒ = 5 ไฟŽ โˆ’ ๐‘ฆ1 = ๐‘š(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1) โ‡” ๐‘ฆ โˆ’ 2 = 5(๐‘ฅ + 5) โ‡” ๐‘ฆ โˆ’ 2 = 5๐‘ฅ โˆ’ 25 โ‡” ๐‘ฆ = 5๐‘ฅ + 27
  30. 30. 30 Jadi, ๐‘† ๐‘ƒ(๐‘”) = ๐‘”โ€ฒ = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)|๐‘ฆ = 5๐‘ฅ + 27) Tugas halaman 74 1. Diketahui : titik A dan B, garis ๐‘” โˆ‹ ๐ด โˆ‰ ๐‘”, ๐ต โˆ‰ ๐‘” Lukis : a. ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(๐‘”) b. Garis ๐‘˜ โˆ‹ ์ญ” ๐ด ๐‘† ๐ต(๐‘˜) = ๐‘” c. Garis โ„Ž โˆ‹ ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(โ„Ž) = โ„Ž Lukisan : a. ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(้€œ) b. Garis ๐‘˜ โˆ‹ ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(๐‘˜) = ๐‘” ๐‘” = ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(๐‘˜) ๐‘† ๐ต(๐‘˜) ๐ด ๐‘˜ ๐‘”โ€ฒ = ๐‘† ๐ดใ‰น ๐ต (๐‘”) ๐‘” ๐‘† ๐ต(๐‘”) ๐ต ๐ด ๆฃจ
  31. 31. 31 c. Garis โ„Ž โˆ‹ ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(โ„Ž) = โ„Ž 2. Diketahui : garis g dan h berpotongan. Titik A dan B tidak terletak pada garis g dan h. Lukis : a. ๐‘€๐‘” ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(โ„Ž) b. ๆ˜ฐ โˆ‹ ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต ๐‘€โ„Ž(โ„Ž) = ๐‘” Lukisan : a. ๐‘€๐‘” ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(โ„Ž) b. ๐‘˜ โˆ‹ ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต ๐‘€โ„Ž(โ„Ž) = ๐‘” 3. Diketahui : ๐‘” = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)โ”‚2๐‘ฅ โˆ’ 5๐‘ฆ = 4} dan ๐ด = (1,4) Ditanya : a. apakah ๐ถ(โˆ’1,6) โˆˆ ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) b. persamaan ๐‘”โ€ฒ Jawab : a. ๐‘” โˆถ 2๐‘ฅ โˆ’ 5๐‘ฆ = 4 Karena ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) dan ๐ด = (1,4) โˆ‰ ๐‘” maka menurut teorema 7.5, ๐‘”//๐‘”โ€ฒ. ๐‘” โ„Ž ๐ต ๐ด
  32. 32. 32 Untuk mengetahui apakah ๐ถ(โˆ’1,6) โˆˆ ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) maka harus dicari ๐‘†๐ด(๐ถ) = (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) lalu diselidiki apakah (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘” Menurut teorema 7.4 maka ๐‘†๐ด(๐ถ) = (2.1โ€” 1,2.4 โˆ’ 6) โ‡” (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (2 โˆ’ 1,8 โˆ’ 6) โ‡” (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (1,2) Maka diperoleh ๐‘ฅ = 1, ๐‘ฆ = 2 Substitusikan nilai ๐‘ฅ dan ๐‘ฆ ke persamaan ๐‘” Diperoleh 2.1 โˆ’ 5.2 = 2 โˆ’ 10 = โˆ’8 Karena (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) tidak memenuhi persamaan ๐‘” maka (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = ๐‘†๐ด(๐ถ) โˆ‰ ๐‘” maka ๐ถ โˆ‰ ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) b. Untuk menentukan persamaan ๐‘”โ€ฒ maka dihitung gradien ๐‘”โ€ฒ dan diambil salah satu titik ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘”, misalnya ๐‘ƒ = (7,2) Maka ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (2.1 โˆ’ 7,2.4 โˆ’ 2) โ‡” ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (2 โˆ’ 7,8 โˆ’ 2) โ‡” ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (โˆ’5,6) Karena ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘” dan ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) maka ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘”โ€ฒ. ๐‘” โˆถ 2๐‘ฅ โˆ’ 5๐‘ฆ = 4 maka gradient ๐‘” adalah 2 5 ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) sehingga ๐‘”//๐‘”โ€ฒ maka gradien ๐‘” = gradien ๐‘”โ€ฒ = 2 5 ๐‘ฆ โˆ’ 7 = 2 5 (๐‘ฅ โˆ’ 2) โ‡” ๐‘ฆ = 7 + 2 5 ๐‘ฅ โˆ’ 2 5 . 2 โ‡” ๐‘ฆ = 7 + 2 5 ๐‘ฅ โˆ’ 4 5 โ‡” ๐‘ฆ = 2 5 ๐‘ฅ + 31 5 โ‡” 5๐‘ฆ = 2๐‘ฅ + 31 โ‡” โˆ’2๐‘ฅ + 5๐‘ฆ = 31 Jadi, persamaan garis ๐‘”โ€ฒ adalah โˆ’2๐‘ฅ + 5๐‘ฆ = 31. 4. Diketahui :๐‘” = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)โ”‚3๐‘ฅ + 2๐‘ฆ = 4} dan ๐ด = (โˆ’2,1)
  33. 33. 33 Ditanya : a. ๐‘˜ โˆ‹ ๐ท = (3, ๐‘˜) โˆˆ ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) b. Persamaan ๐‘”โ€ฒ c. Persamaan โ„Ž โˆ‹ ๐‘†๐ด(โ„Ž) = ๐‘” Jawab : a. Untuk menentukan ๐‘˜ maka diambil titik ๐‘ƒ = (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘” sehingga 2. โˆ’2 โˆ’ ๐‘ฅ = 3 โ‡” โˆ’4 โˆ’ ๐‘ฅ = 3 โ‡” ๐‘ฅ = โˆ’7 Substitusikan ๐‘ฅ = โˆ’70 pada persamaan ๐‘” maka 3๐‘ฅ + 2๐‘ฆ = 4 โ‡” 3. โˆ’7 + 2๐‘ฆ = 4 โ‡” โˆ’21 + 2๐‘ฆ = 4 โ‡” 2๐‘ฆ = 25 โ‡” ๐‘ฆ = 25 2 Maka ๐‘ƒ = (๐‘ฅ, ๐‘ฆ) = (โˆ’7, 25 2 ) Karena ๐‘ƒ = (โˆ’7, 25 2 ) dan ๐ด = (โˆ’2,1) maka menurut teorema 7.4 maka ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (2. โˆ’2โ€” 7), 2.1 โˆ’ 25 2 โ‡” (3, ๐‘˜) = (โˆ’4 + 7,2 โˆ’ 25 2 ) โ‡” (3, ๐‘˜) = (3, โˆ’ 21 5 ) Sehingga diperoleh ๐‘˜ = โˆ’ 21 5 b. Untuk menentukan persamaan ๐‘”โ€ฒ maka harus ditentukan gradien ๐‘”โ€ฒ Karena ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) maka menurut teorema 7.5 ๐‘”//๐‘”โ€ฒ sehingga gradien ๐‘” = gradien ๐‘”โ€ฒ ๐‘” โˆถ 3๐‘ฅ + 2๐‘ฆ = 4 maka gradien ๐‘” adalah โˆ’ 3 2 sehingga gradien ใ€ฑ โ€ฒ = โˆ’ 3 2 Berdasarkan jawaban soal a, maka ๐ท = (3, โˆ’ 21 5 ) โˆˆ ๐‘”โ€ฒ Sehingga persamaan แ’โ€ฒ adalah ๐‘ฆ โˆ’ 3 = โˆ’ 3 2 (๐‘ฅโ€” 21 5 )
  34. 34. 34 โ‡” ๐‘ฆ = โˆ’ 3 2 (๐‘ฅ + 21 5 ) + 3 โ‡” ๐‘ฆ = โˆ’ 3 2 ๐‘ฅ โˆ’ 3 2 . 21 5 โ‡” ๐‘ฆ = โˆ’ 3 2 ๐‘ฅ โˆ’ 63 10 โ‡” 10๐‘ฆ = โˆ’15ใ„Ž โˆ’ 63 โ‡” 15๐‘ฅ + 10๐‘ฆ = 63 Jadi, persamaan ๐‘”โ€ฒ adalah 15๐‘ฅ + 10๐‘ฆ = 63. c. ๐‘†_(โ„Ž) = ๐‘” maka ๐‘†โˆ’1 ๐ด(๐‘”) = โ„Ž Menurut teorema 7.3 แ’โˆ’1 ๐ด = ๐‘†๐ด sehingga ๐‘†โˆ’1 ๐ด(๐‘”) = ๐‘†๐ด(๐‘”) = โ„Ž Dari jawaban soal b, ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) artinya ๐‘”โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘”) = โ„Ž sehingga diperoleh ๐‘”โ€ฒ = โ„Ž maka persamaan โ„Ž = persamaan ๐‘”โ€ฒ yaitu 15๐‘ฅ + 10๐‘ฆ = 63 Jadi, persamaan โ„Ž adalah 15๐‘ฅ + 10๐‘ฆ = 63. 5. Diketahui : kurva ๐‘˜ = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)โ”‚@ = ๐‘ฅ2 } dan titik ๐ด = (3,1) Ditanya : a. Apakah ๐ต = (3, โˆ’7) โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘˜) b. Persamaan kurva ๐‘˜โ€ฒ Jawab : a. Untuk menyelidiki apakah ๐ต = (3, โˆ’7) โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘˜) maka harus dihitung ๐‘†๐ด(๐ต) Misalkan ๐‘†๐ด(๐ต) = (๐‘ฅโ€ฒ , ๐‘ฆโ€ฒ ) sehingga menurut teorema 7.4 diperoleh ๐‘†๐ด(๐ต) = (2.3 โˆ’ 3,2.1โ€” 7) โ‡” (๐‘ฅโ€ฒ , ๐‘ฆโ€ฒ) = (6 โˆ’ 3,2 + 7) โ‡” (๐‘ฅโ€ฒ , ๐‘ฆโ€ฒ) = (3,9) Maka ๐‘ฅโ€ฒ = 3, ๐‘ฆโ€ฒ = 9 Substitusikan (๐‘ฅโ€ฒ , ๐‘ฆโ€ฒ) = (3,9) ke persamaan ๐‘˜ diperoleh 9 = 32 memenuhi persamaan ๐‘˜ maka (๐‘ฅโ€ฒ , ๐‘ฆโ€ฒ ) โˆˆ ๐‘˜ Karena ๐‘†๐ด(๐ต) = (๐‘ฅโ€ฒ , ๐‘ฆโ€ฒ ) โˆˆ ๐‘˜ dan ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘˜) maka ๐ต โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ Jadi, ๐ต = (3, โˆ’7) โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘˜)
  35. 35. 35 b. Untuk menentukan persamaan ๐‘˜โ€ฒ maka harus ditentukan koordinat titik puncak kurva ๐‘˜โ€ฒ Karena ๐‘˜ = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)โ”‚๐‘ฆ = ๐‘ฅ2 } maka titik puncak ๐‘˜ adalah (0,0) dan titik fokus kurva ๐‘˜ adalah (0, 1 4 ) Misalkan titik puncak ๐‘˜ adalah titik ๐‘€ maka ๐‘€ = (0,0) sehingga menurut teorema 7.4, ๐‘†๐ด(๐‘€) = (2.3 โˆ’ 0,2.1 โˆ’ 0) = (6,2) Karena ๐‘€ โˆˆ ๐‘˜ dan ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘˜) maka ๐‘†๐ด(๐‘€) โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ dan karena ๐‘€ adalah titik puncak ๅฐ  maka ๐‘†๐ด(๐‘€) = (6,2) titik puncak ๐‘˜โ€ฒ. Misalkan titik fokus ๐‘˜ adalah ๐‘ƒ maka ๐‘ƒ = (0, 1 4 ) sehingga menurut teorema 7.4, ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (2.3 โˆ’ 0,2.1 โˆ’ 1 4 ) = (6, 7 4 ) Karena ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘˜ dan ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘˜) maka ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ dan karena ๐‘ƒ adalah titik fokus ๐‘˜ maka _ ๐ด(๐‘ƒ) = (6, 7 4 ) titik fokus ๐‘˜โ€ฒ Sehingga diperoleh titik puncak ๐‘˜โ€ฒ adalah (6,2) dan titik puncak ๐‘˜โ€ฒ adalah (6, 7 4 ) maka kurva ๐‘˜โ€ฒ menghadap ke bawah sehingga persamaan kurva ๐‘˜โ€ฒ adalah (๐‘ฅ โˆ’ 6)2 = โˆ’4. โˆ’ 1 4 (๐‘ฆ โˆ’ 2) โ‡” ๐‘ฅ2 โˆ’ 12๐‘ฅ + 36 = ๐‘ฆ โˆ’ 2 โ‡” ๐‘ฆ = ๐‘ฅ2 โˆ’ 12ใ€Š + 38 Jadi, persamaan kurva ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘†๐ด(๐‘˜) adalah ๐‘ฆ = ๐‘ฅ2 โˆ’ 12๐‘ฅ + 38. 6. Diketahui : ๏€จ ๏€ฉ๏ป ๏ฝ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏ป ๏ฝ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉkSMkxCyyxgAyyxk Agx ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ๏€ฝ ',6,,0,,0,2,, 1 Ditanya : a) nilai x sehingga 'kC ๏ƒŽ ; b) persamaan 'k Selesaian : a) Ambil P(m,n) ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉnmnmMnmMnmSMPSM ggAgAg ,4,4,22, ๏€ญ๏€ฝ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ๏€ฝ Hal ini berarti bahwa
  36. 36. 36 ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏ƒท ๏ƒธ ๏ƒถ ๏ƒง ๏ƒจ ๏ƒฆ ๏€ญ๏€ฝ๏ƒท ๏ƒธ ๏ƒถ ๏ƒง ๏ƒจ ๏ƒฆ ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ๏ƒท ๏ƒธ ๏ƒถ ๏ƒง ๏ƒจ ๏ƒฆ ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ๏ƒท ๏ƒธ ๏ƒถ ๏ƒง ๏ƒจ ๏ƒฆ ๏€ฝ x x x xM x xM x xSMkSM ggAgAg 1 ,4 1 ,4 1 ,22 1 , Maka 6 1 6 1 ๏€ฝ๏ƒ›๏€ฝ๏€ฝ x x yc , 6 23 6 1 4 ๏€ฝ๏€ญ๏€ฝcx Jadi, nilai x sehingga 'kC ๏ƒŽ adalah 6 23 b) Misal 'kD๏ƒŽ Untuk nilai x = 1, maka ๏€จ ๏€ฉ '1,3 1 1 ,14 kD ๏ƒŽ๏€ฝ๏ƒท ๏ƒธ ๏ƒถ ๏ƒง ๏ƒจ ๏ƒฆ ๏€ญ๏€ฝ Maka untuk mencari persaman 'k dapat diperoleh dari dua titik yaitu ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ1,3dan6,6 23 DC 176 2366 5 236 5 6 6 2318 6 236 5 6 6 23 3 6 23 61 6 12 1 12 1 ๏€ญ๏€ฝ๏ƒ› ๏€ญ๏€ฝ๏€ญ๏ƒ› ๏€ญ ๏€ญ ๏€ฝ ๏€ญ ๏€ญ ๏ƒ› ๏€ญ ๏€ญ ๏€ฝ ๏€ญ ๏€ญ ๏ƒ› ๏€ญ ๏€ญ ๏€ฝ ๏€ญ ๏€ญ ๏ƒ› ๏€ญ ๏€ญ ๏€ฝ ๏€ญ ๏€ญ xy xy xy x y x y xx xx yy yy 7. Diketahui : Q titik tengah PR Ditanya : Buktikan bahwa QRPQ SSSS ๏€ฝ Bukti : Ambil A(x,y), P(a,b), R(c,d), Q(e,f) Karena Q titik tengah PR , maka ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉdbfcae ๏€ญ๏€ฝ๏€ญ๏€ฝ 2 1 2 1 , ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉybdbxacaybxaSyxSSASS QPQPQ ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ๏€ฝ 22,222,2, 2 1 2 1 ๏€จ ๏€ฉydbxca ๏€ซ๏€ญ๏€ญ๏€ซ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ ,
  37. 37. 37 a. ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉydbdxcacydbxcaSyxSSASS RQRQR ๏€ซ๏€ซ๏€ญ๏€ซ๏€ซ๏€ญ๏€ฝ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ญ๏€ฝ๏€ฝ 2,22,2, 2 1 2 1 ๏€จ ๏€ฉydbxca ๏€ซ๏€ซ๏€ญ๏€ซ๏€ซ๏€ญ๏€ฝ 3,3 Nilai ๐‘ฅ โˆ‹ ๐ถ = (๐‘ฅ, 6) โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘€๐‘” ๐‘†๐ด(๐‘˜) b. Persamaan ๐‘˜โ€ฒ Jawab : a. Untuk menyelidiki apakah ๐‘ฅ โˆ‹ ๐ถ = (๐‘ฅ, 6) โˆˆ ๐‘˜โ€ฒ = ๐‘€๐‘” ๐‘†๐ด(๐‘˜) maka harus diambil b. Untuk mencari persamaan ๐‘˜โ€ฒ maka 8. Diketahui : ๐ถ = (2, โˆ’1), ๐‘” = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)โ”‚๐‘ฆ = ๐‘ฅ}, โ„Ž = {(๐‘ฅ, ๐‘ฆ)โ”‚๐‘ฆ = 3๐‘ฅ โˆ’ 2} Ditanya : persamaan garis ๐‘˜ = ๐‘† ๐ถ ๐‘€๐‘”(โ„Ž) Jawab : Ambil titik ๐ด (2,4) โˆˆ โ„Ž Maka ๐‘€๐‘”(๐ด) = ๐‘€๐‘”(2,4) = (4,2) = ๐ดโ€ฒ Karena ๐‘€๐‘”(โ„Ž) = โ„Žโ€ฒ , ้จด โˆˆ โ„Ž, ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐‘€๐‘”(๐ด) = ๐ดโ€ฒ Maka ๐ดโ€ฒ โˆˆ โ„Žโ€ฒ Mencari titik potong garis ๐‘” dan garis โ„Ž โ„Ž: ๐‘ฆ1 = 3๐‘ฅ โˆ’ 2 ๐‘”: ๐‘ฆ2 = ๐‘ฅ Titik potong garis _ dan garis โ„Ž adalah ๐‘ฆ1 = ๐‘ฆ2 3๐‘ฅ โˆ’ 2 = ๐‘ฅ 2๐‘ฅ = 2 ๐‘ฅ = 1 Maka, ๐‘ฆ = 1 Jadi, titik potong garis ๐‘” dan garis โ„Ž adalah di (1,1) Karena ๐‘€๐‘”(โ„Ž) = โ„Žโ€ฒ Maka (1,1) โˆˆ โ„Žโ€ฒ Sehingga garis โ„Žโ€ฒ melalui titik (4,2) dan titik (1,1) ๐‘ฆ2 โˆ’ ๐‘ฆ1 ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1 = ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ1 ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1 1 โˆ’ 2 ๐‘ฆ โˆ’ 2 = 1 โˆ’ 4 ๐‘ฅ โˆ’ 4
  38. 38. 38 โˆ’1 ๐‘ฆ โˆ’ 2 = โˆ’3 ๐‘ฅ โˆ’ 4 โˆ’3๐‘ฆ + 6 = โˆ’๐‘ฅ + 4 โˆ’3๐‘ฆ + ๐‘ฅ = โˆ’2 ๐‘ฅ โˆ’ 3๐‘ฆ + 2 = 0 Jadi persamaan โ„Žโ€ฒ : ๐‘ฅ โˆ’ 3๐‘ฆ + 2 = 0 Ambil titik ๐ต = (7,3) โˆˆ โ„Žโ€ฒ Maka ๐‘† ๐ถ(๐ต) = ๐‘† ๐ถ(7,3) = (2.2 โˆ’ 7,2. (โˆ’1) โˆ’ 3) = (โˆ’3, โˆ’5) = ๐ตโ€ฒ Karena ๐‘˜ = ๐‘† ๐ถ ๐‘€๐‘”โ„Ž Atau ๐‘˜ = ๐‘† ๐ถ(โ„Žโ€ฒ), ๐ต โˆˆ โ„Žโ€ฒ dan ๐‘† ๐ถ(๐ต) = ๐ตโ€ฒ Maka ๐ตโ€ฒ โˆˆ ๐‘˜ Sehingga ๐‘˜ melalui ๐ตโ€ฒ = (โˆ’3, โˆ’5) dan ๐‘˜//โ„Žโ€ฒ dengan ๐‘š = 1 3 โˆ’ ๐‘ฆ1 = ๐‘š(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1) ๐‘ฆ + 5 = 1 3 (๐‘ฅ + 3) ๐‘ฆ + 5 = 1 3 ๐‘ฅ + 1 แ’ = 1 3 ๐‘ฅ โˆ’ 4 3๐‘ฆ = ๐‘ฅ โˆ’ 12 Jadi persamaan garis ๐‘˜ = ๐‘† ๐ถ ๐‘€๐‘”(โ„Ž) adalah 3๐‘ฆ = ๐‘ฅ โˆ’ 12. 9.a)Diketahui : garis g dan h Ditanya : buktikan jika g//h maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap Bukti : Misal AA ๏€ฝ'' Jelas ๏€จ ๏€ฉ ๏€จ ๏€ฉ ''' AAMAMM ghg ๏€ฝ๏€ฝ Karena g//h maka AA ๏‚น'' sehingga ๏€จ ๏€ฉ 'AAMM hg ๏‚น Hal ini sebuah kontradiksi
  39. 39. 39 Maka pengandaian harus dibatalkan. Karena menurut definisi A dinamakan titik tetap transformasi T apabila berlaku T(A)=A dan sebuah setengah putar SA hanya memiliki satu titik tetap yaitu A, sedangkan jika g//h diperoleh fakta bahwa ๏€จ ๏€ฉ 'AAMM hg ๏‚น dan ๏€จ ๏€ฉ Ahg SAMM ๏‚น maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap. Jadi, jika g//h maka transformasi MgMh tidak memiliki titik tetap. 9.b)Diketahui : garis g, titik gA๏ƒ Ditanya : buktikan SAMg tidak memiliki titik tetap Bukti : 10. Diketahui : โˆ†๐ด๐ต๐ถ, garis ๐‘” dan sebuah titik ๐พ โˆ‰ ๐‘”, ๐พ diluar daerah โˆ†๐ด๐ต๐ถ. Tentukan semua pasangan titik ๐‘‹ dan ๐‘Œ dengan ๐‘‹ โˆˆ ๐‘”, ๐‘Œ โˆˆ โˆ†๐ด๐ต๐ถ sehingga ๐พ titik tengah ๐‘‹๐‘Œฬ…ฬ…ฬ…ฬ…? Jawab: 11. Diketahui : lingkaran ๐ฟ1 dan ๐ฟ2. Salah satu titik potongnya adalah ๐ด. ๐ถ โˆˆ ๐ฟ1 dan ๐ท โˆˆ ๐ฟ2 Ditanya : Lukisan ruas garis ๐ถ๐ทฬ…ฬ…ฬ…ฬ… sehingga A titik tengah ruas garis ๐ถ๐ทฬ…ฬ…ฬ…ฬ…? Jelaskan lukisan tersebut? Jawab : A titik tengah ๐ถ๐ทฬ…ฬ…ฬ…ฬ… , berarti ๐ด๐ถ = ๐ด๐ท Jadi, ๐ฟ1 = ๐ฟ2 atau lingkaran pertama sama dengan lingkaran kedua. ๐‘”๐ต ๐พ ๐ถ ๐ด ๐‘Œ ๐‘‹ ๐ถ ๐ท ๐ท ๐ฟ2 ๐ฟ1
  40. 40. 40 12. Diketahui: titik ๐ด dan garis ๐‘”, ๐ด โˆˆ ๐‘” Ditanya : a. Buktikan bahwa transformasi ๐‘†๐ด ๐ท๐‘” adalah sebuah refleksi pada suatu garis dan garis mana yang menjadi sumbu refleksi ini? b. Jika ๐‘” tegak lurus โ„Ž di titik ๐ด dan ๐‘” tegak lurus ๐‘˜ di titik B, buktikan bahwa ๐‘†๐ด ๐‘€ ๐‘˜ = ๐‘€โ„Ž ๐‘† ๐ต? Jawab : a. Ambil sebarang titik ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘‰ Diperoleh ร“ ๐ด ๐‘€๐‘”(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒ Tarik garis โ„Ž โŠฅ ๐‘” yang melalui A Tarik garis ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ yang memotong garis โ„Ž dititik B, sehingga ๐ถ๐ด = ๐‘ƒ๐ต ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐‘ƒ๐ถ = ๐ต๐ด Lihat โˆ†๐ถ๐ด๐‘ƒโ€ฒ ๐‘‘๐‘Ž๐‘› โˆ†๐ถ๐ด๐‘ƒ ๐ถ๐ด = ๐ถ๐ด (berhimpit) ๐ถ๐‘ƒ = ๐ถ๐‘ƒโ€ฒ (Refleksi) < ๐‘ƒ๐ถ๐ด =< ใŒฑโ€ฒ๐ถ๐ด (Siku-Siku) Berdasarkan teorema kekongruenan (S, Sd, S) Sehingga dapat disimpulkan โˆ†๐ถ๐ด๐‘ƒโ€ฒ โ‰… โˆ†๐ถ๐ด๐‘ƒ Salah satu akibatnya ๐ด๐‘ƒโ€ฒ = ๐ด๐‘ƒ Lihat โˆ†๐ด๐‘ƒ๐ต ๐‘‘๐‘Ž๐‘› โˆ†๐ด๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ๐ต ๐ดใ€ฐ = ๐ด๐ต (berhimpit) ๐ด๐‘โ€ฒ = ๐ด๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ (setengah putaran) ๐‘ ๐‘’โ„Ž๐‘–๐‘›๐‘”๐‘”๐‘Ž ๐ด๐‘ƒ = ใ€ฐ ๐‘ƒโ€ฒ = ๐ด๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ ๐‘ƒ๐ต2 = ๐ด๐‘ƒ2 โˆ’ ๐ด๐ต2 = ๐ด๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ2 โˆ’ ๐ด๐ต2 = ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ๐ต2 Karena ๐ด๐‘ƒ = ๐ด๐‘ƒโ€ฒ = ๐ด๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ , maka ๐‘ƒ๐ต = ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ ๐ต Berdasarkan teorema kekongruenan (S, S, S) Maka dapat disimpulkan โˆ†๐ด๐‘ƒ๐ต โ‰… โˆ†๐ด๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ๐ต ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ ๐ต ๐‘ƒ๐ด ๐‘ƒโ€ฒ ๐‘ƒ ๐ถ โ„Ž ๐‘”
  41. 41. 41 Akibatnya ๐‘ƒ๐ต = ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ ๐ต Karena O merupakan titik tengah ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ, maka ๐‘†๐ด ๐‘€๐‘”(๐‘ƒ) = ๐‘ƒโ€ฒโ€ฒ merupakan refleksi dari P dengan sumbu refleksi adalah garis yang melalui titik ๐ต โŠฅ ๐‘”. Jadi, ๐‘†๐ด ๐‘€๐‘” merupakan sebuah refleksi pada suatu garis, dan garis itu adalah garis yang melalui A tegak lurus dengan ๐‘”. b. Ambil garis ๐‘” tegak lurus โ„Ž di titik ๐ด dan ๐‘” tegak lurus ๐‘˜ di titik ๐ต. Adb ๐‘†๐ด ๐‘€ ๐‘˜ = ๐‘€โ„Ž ๐‘† ๐ต Menurut teorema 7.1 : โ€œandaikan A sebuah titik, dan ๐‘” ๐‘‘๐‘Ž๐‘› โ„Ž dua garis tegak lurus yang berpotongan di A, maka ๐‘†๐ด = ็ญฝ ๐‘” ๐‘€โ„Žโ€ Maka ๐‘†๐ด = ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž dan ๐‘† ๐ต = ๐‘€๐‘” ๐‘€ ๐‘˜ Sehingga ๐‘†๐ด ๐‘€ ๐‘˜ = (๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž)๐‘€ ๐‘˜ Karena ๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž = ๐‘€โ„Ž ๐‘€๐‘”, maka diperoleh: (๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž)๐‘€ ๐‘˜ = (๐‘€โ„Ž ๐‘€๐‘”)๐‘€ ๐‘˜ = ๐‘€โ„Ž ๐‘€๐‘” ๐‘€ ๐‘˜ Sehingga ๐‘†๐ด ๐‘€แ’ = (๐‘€๐‘” ๐‘€โ„Ž)๐‘€ ๐‘˜ = (๐‘€โ„Ž ๐‘€๐‘”)๐‘€ ๐‘˜ = ๐‘€โ„Ž ๐‘€๐‘” ๐‘€ ๐‘˜ = ๐‘€โ„Ž(๐‘€ ๐‘” ๐‘€ ๐‘˜) = ๐‘€โ„Ž ๐‘† ๐ต Jadi terbukti bahwa ๐‘†๐ด ๐‘€ ๐‘˜ = ๐‘€โ„Ž ๐‘† ๐ต 13. Diketahui : ๐ด, ๐ต, ๐ถ tak segaris Ditanya: a. Pilih sebuah titik ๐‘ƒ dan lukislah titik ๐‘ƒโ€ฒ = ๐‘†๐ด ๐ต ๐‘† ๐ถ(๐‘ƒ) ! b. Jika ๐‘€ titik tengah ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… , lukislah ๐‘€โ€ฒ = ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต ๐‘† ๐ถ(๐‘€) ! c. Perhatikan hubungan antara ๐‘€ dan ๐‘€โ€ฒ . Apakah dugaan kita mengenai jenis transformasi ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต ๐‘† ๐ถ ? Jawab: ๐‘” ๐ด h ๐ต ๐‘˜
  42. 42. 42 a. b. c. Karena ๐‘€ = ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต ๐‘† ๐ถ = ๐‘€โˆ’1 maka transformasi ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต ๐‘† ๐ถ merupakan transformasi identitas. 14. Diketahui : โˆ†๐ด๐ต๐ถ, โˆ ๐ต = 90ยฐ 15. Diketahui : ๐ด = (0,0), ๐ต = (3, โˆ’1) Ditanya : a) ๐ถโ€ฒ = ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(๐ถ) jika ๐ถ = (โˆ’2,4) b) ๐‘ƒโ€ฒ = ๐‘† ๐ต ๐‘  ๐ด(๐ถ) jika ๐‘ƒ = (๐‘ฅ, แ’) c) Apa yang dapat kami katakan tentang ๐ถ๐ถโ€ฒ , ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒ, ๐ด๐ต Jawab : a) Menurut teorema 7.4 maka ๐‘†๐ด ๐‘† ๐ต(๐ถ) = ๐‘†๐ด(๐‘† ๐‘ฉ(๐ถ)) โ‡” ๐‘†๐ด ๐‘  ๐ต(๐ถ) = ๐‘†๐ด(2.3โ€” 2), 2. (โˆ’1) โˆ’ 4 โ‡” ๐‘†๐ด ๐‘  ๐ต(๐ถ) = ๐‘†๐ด(6 + 2, โˆ’2 โˆ’ 4) โ‡” ๐‘†๐ด ๐‘  ๐ต(๐ถ) = ๐‘†๐ด(8, โˆ’6) โ‡” ๐‘†๐ด ๐‘  ๐ต(๐ถ) = (2.0 โˆ’ 8,2.0โ€” 6) โ‡” ๐‘†๐ด ๐‘  ๐ต(๐ถ) = (0 โˆ’ 8,0 + 6) โ‡” ๐‘†๐ด ๐‘  ๐ต(๐ถ) = (โˆ’8,6) Jadi, ๐ถโ€ฒ = ๐‘†ใ€ฑ ๐‘† ๐ต(๐ถ) = (โˆ’8,6) b) Menurut teorema 7.4 maka ๐‘† ๐ต ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘† ๐ต (ใ€ฑ ๐‘จ(๐‘ƒ)) โ‡” ๐‘† ๐ต ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘† ๐ต(2.0 โˆ’ ๐‘ฅ, 2.0 โˆ’ ๐‘ฆ) โ‡” ๐‘† ๐ต ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘† ๐ต(0 โˆ’ ๐‘ฅ, 0 โˆ’ ๐‘ฆ) โ‡” ๐‘† ๐ต ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = ๐‘† ๐ต(โˆ’๐‘ฅ, โˆ’๐‘ฆ) โ‡” ๐‘† ๐ต ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (2.3 โˆ’ (โˆ’๐‘ฅ), 2. (โˆ’1)โ€”(โˆ’๐‘ฆ)) A B C P 'P ''P ''P M 'M ''M
  43. 43. 43 โ‡” ๐‘† ๐ต ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (6 + ๐‘ฅ, โˆ’2 + ๐‘ฆ) โ‡” ๐‘† ๐ต ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (๐‘ฅ + 6, ๐‘ฆ โˆ’ 2) Jadi, ๐‘ƒโ€ฒ = ๐‘† ๐ต ๐‘†๐ด(๐‘ƒ) = (๐‘ฅ + 6, ๐‘ฆ โˆ’ 2) c) Karena ๐ถ = (โˆ’2,4) dan ๐ถโ€ฒ = (โˆ’8,6) Maka persamaan ๐ถ๐ถโ€ฒ : ๐‘ฅ โˆ’ ใ€ฑ1 ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ1 = ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1 ๐‘ฆ2 โˆ’ ๐‘ฆ1 โ‡” ๐‘ฅ + 2 โˆ’8 + 2 = ๐‘ฆ โˆ’ 4 6 โˆ’ 4 โ‡” ๐‘ฅ + 2 โˆ’6 = ๐‘ฆ โˆ’ 4 2 โ‡” โˆ’6๐‘ฆ = 2๐‘ฅ + 4 โˆ’ 24 โ‡” ๐‘ฆ = โˆ’ 1 3 ๐‘ฅ + 10 3 Karena ๐‘ƒ = (๐‘ฅ, ใ€ฑ) dan ๐‘ƒโ€ฒ = (๐‘ฅ + 6, ๐‘ฆ โˆ’ 2) Untuk tidak membuat rancu, dimisalkan titik ๐‘ƒ = (๐‘Ž, ๐‘) dan ๐‘ƒโ€ฒ = (๐‘Ž + 6, ๐‘ โˆ’ 2) Maka persamaan ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒ : ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ1 = ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1 ๐‘ฆ2 โˆ’ ๐‘ฆ1 โ‡” ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ž ๐‘Ž + 6 โˆ’ ๐‘Ž = ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ ๐‘ โˆ’ 2 โˆ’ ๐‘ โ‡” ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ž 6 = ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ โˆ’2 โ‡” 6๐‘ฆ = โˆ’2๐‘ฅ + 2๐‘Ž + 6๐‘ โ‡” ๐‘ฆ = โˆ’ 1 3 ๐‘ฅ + 1 3 ๐‘Ž + ๐‘ Karena ๐ด = (0,0) ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐ต = (3, โˆ’1) Maka persamaan ๐ด๐ต: ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ1 = ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฆ1 ๐‘ฆ2 โˆ’ โ€ซ๏ฐฐโ€ฌ1 โ‡” ๐‘ฅ โˆ’ 0 3 โˆ’ 0 = ๐‘ฆ โˆ’ 0 โˆ’1 โˆ’ 0 โ‡” ๐‘ฅ 3 = ๐‘ฆ โˆ’1 โ‡” 3๐‘ฆ = โˆ’๐‘ฅ โ‡” ๐‘ฆ = โˆ’ 1 3 ๐‘ฅ Dari persamaanโ€“persamaan di atas, dapat dikatakan bahwa persamaan ๐ถ๐ถโ€ฒ , ๐‘ƒ๐‘ƒโ€ฒ , dan ๐ด๐ต mempunyai gradien yang sama, yaitu โˆ’ 1 3 16. Buktikan : 17. Diketahui : โˆ†๐ด๐ต๐ถ dan sebuah titik ๐‘ƒ โˆˆ โ€ซ๏ต”โ€ฌ ๐ถฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… Lukis : di dalam โˆ†๐ด๐ต๐ถ, sebuah โˆ†๐‘ƒ๐‘„0 yang kelilingnya paling pendek

ร—