Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

BAB 1 Transformasi

50,642 views

Published on

Digunakan untuk pembelajaran Geometri Transformasi

Published in: Education

BAB 1 Transformasi

  1. 1. 0 MAKALAH TRANSFORMASI Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi Dosen Pengampu : Ishaq Nuriadin M.Pd Disusun oleh : Niamatus Saadah 1201125122 FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA 2015
  2. 2. 1 TRANSFORMASI A. PENGANTAR Suatu fungsi pada V adalah suatu padanan yang mengaitkan setiap anggota V dengan satu anggota V. Jika f adalah fungsi dari V ke V yang mengaitkan setiap x โˆˆ V dengan yโˆˆ V maka ditulis y = f(x) , x dinamakan prap eta dari y oleh f, dan y dinamakan peta dari x oleh f. Daerah asal fungsi tersebut adalah V dan daerah nilainya juga V. Fungsi yang demikian dinamakan fungsi pada f. B. TRANSFORMASI Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan daerah asalnya V dan daerah nilainya V juga. Fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi yang bersifat : 1. Surjektif, artinya : Jika T suatu transformasi, maka tiap titik Bโˆˆ V ada prapeta A โˆˆ V sehingga B = T(A). B dinamakan peta dari A dan A dinamakan prapeta dari B. 2. Injektif, artinya : Jika ๐ด1 โ‰  ๐ด2 dan T(๐ด1) = ๐ต1, T(๐ด2) = ๐ต2 maka ๐ต1 โ‰  ๐ต2, atau jika T(๐‘ƒ1) = ๐‘„1 dan T(๐‘ƒ2) = ๐‘„2 sedangkan ๐‘„1 = ๐‘„2 maka ๐‘ƒ1 = ๐‘ƒ2. Pada contoh di bawah ini, anggaplah V adalah bidang Euclides, artinya pada himpunan titik-titik V diberlakukan sistem axioma Euclides. Contoh 1 : Andaikan A โˆˆ ๐‘‰. Ada perpetaan (padanan) T dengan daerah asal V dan daerah nilai juga V. Jadi T : V V yang didefinisikan sebagai berikut : 1) T(A) = A 2) Apabila P A, maka T(P) = Q dengan Q titik tengah garis ๐ด๐‘ƒฬ…ฬ…ฬ…ฬ…. Selidiki apakah padanan T tersebut suatu transformasi ?
  3. 3. 2 Penyelesaian : A S = T(R) R Q=T(P) P Jelas bahwa A memiliki peta, yaitu A sendiri. Ambil sebarang titik Rโ‰  ๐ด pada V. Oleh karena V bidang Euclides, maka ada satu garis yang melalui A dan R, jadi ada satu ruas garis ๐ด๐‘…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… sehingga ada tepat satu titik S dengan S antara A dan R, sehingga AS = SR. Ini berarti untuk setiap X โˆˆ V terdapat satu Y โˆˆ V dengan Y = T(X) yang memenuhi persyaratan (2). Jadi daerah asal T adalah V. 1) Akan dibuktikan T surjektif. Untuk menyelidiki ini cukuplah dipertanyakan apakah setiap titik di V memiliki prapeta. Jadi apabila Yโˆˆ ๐‘‰ apakah ada X โˆˆ ๐‘‰ yang bersifat T(X) = Y ? Menurut ketentuan pertama, jika Y = A prapetanya adalah A sendiri, sebab T(A) = A. Y = T(X) A X Apabila Y A, maka oleh karena V suatu bidang Euclides, ada X tunggal dengan X โˆˆ ๐ด๐‘Œโƒก sehingga AY = YX. Jadi Y adalah titik tengah ๐ด๐‘‹ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… yang merupakan satu-satunya titik tengah. Jadi Y = T(X). Ini berarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta. Jadi T adalah suatu padanan yang surjektif. 2) Akan dibuktikan T injektif. Untuk menyelidiki ini ambillah dua titik ๐‘ƒ โ‰  ๐ด, ๐‘„ โ‰  ๐ด๐‘‘๐‘Ž๐‘›๐‘ƒ โ‰  ๐‘„. P,Q,A tidak segaris (kolinear). Kita akan menyelidiki kedudukan T(P) dan T(Q).
  4. 4. 3 A T(P) T(Q) P Q Andaikan T(P) = T(Q) Oleh karena T(P) โˆˆ ๐ด๐‘ƒโƒก ๐‘‘๐‘Ž๐‘›๐‘‡(๐‘„) โˆˆ ๐ด๐‘„โƒก maka dalam hal ini ๐ด๐‘ƒโƒก ๐‘‘๐‘Ž๐‘›๐ด๐‘„โƒก memilki dua titik sekutu yaitu A dan T(P) = T(Q). ini berarti bahwa garis ๐ด๐‘ƒโƒก ๐‘‘๐‘Ž๐‘›๐ด๐‘„โƒก berimpit, sehingga mengakibatkan bahwa ๐‘„ โˆˆ ๐ด๐‘ƒโƒก . Ini berlawanan dengan pemisalan bahwa A, P, Q tidak segaris. Jadi pengandaian bahwa T(P) = T(Q) tidak benar sehingga haruslah T(P) T(Q). Jadi, T injektif. Dari uraian di atas tampak bahwa padanan T itu injektif dan surjektif, sehingga T adalah padanan yang bijektif. Dengan demikian terbukti T suatu transformasi dari V ke V. Ditulis T : V V. Contoh 2 : Pilihlah pada bidang Euclides V suatu sistem koordinat ortogonal. T adalah padanan yang mengkaitkan setiap titik P dengan Pโ€™ yang letaknya satu satuan dari P dengan arah sumbu X yang positif. Selidiki apakah T suatu transformasi ? Penyelesaian : Y P Pโ€™ O X Jika P = (x,y) maka T(P) = Pโ€™ dan Pโ€™=(x+1,Y). Jelas daerah asal T adalah seluruh bidang V. Adb T surjektif dan T injektif. Misalkan A = (x,y).
  5. 5. 4 Andaikan B= (xโ€™, Yโ€™). (i) Jika B prapeta titik A(x,y) maka haruslah berlaku T(B) = (xโ€™ +1, yโ€™). Jadi xโ€™+1 = x, yโ€™=y. xโ€™ = x - 1 atau yโ€™=y Jelas T (x-1,y)=((x-1)+1,y)=(x,y). Oleh karena xโ€™, yโ€™ selalu ada, untuk semua nilai x,y maka B selalu ada sehingga T(B)=A. Karena A sebarang maka setiap titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif. (ii) Andaikan P(x1,y1) dan Q (x2,y2) dengan Pโ‰ Q. Dipunyai T(P)= (x1+1,y1) dan T(Q)= (x2+1,y2). Jika T(P)= T(Q), maka (x1+1,y1)= (x2+1,y2). Jadi x1+1=x2+1, dan y1= y2. Ini berarti x1=x2 dan y1= y2. Jadi P=Q. Terjadi kontradiksi, sehingga pengandaian salah. Jadi haruslah T(P)โ‰ T(Q). Jadi T injektif. Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T adalah padanan yang bijektif. Jadi T merupakan suatu transformasi dari V ke V.
  6. 6. 5 PEMBAHASAN SOAL LATIHAN 1. Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang euclides V. A sebuah titik yang terletakdi tengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g yang didefinisikan sebagai berikut: Apabila gP ๏ƒŽ maka hPAPTP ๏ƒ‡๏€ฝ๏€ฝ )(' a) Apakah daerah nilai T ? b) Apabila EDgEgD ๏‚น๏ƒŽ๏ƒŽ ,, , buktikan bahwa DEED ๏€ฝ'' ; )('),(' ETEDTD ๏€ฝ๏€ฝ c) Apakah T injektif Penyelesaian : a) Daerah nilai T adalah h b) EDgEgD ๏‚น๏ƒŽ๏ƒŽ ,, )('),(' ETEDTD ๏€ฝ๏€ฝ Lihat โˆ† ADE dan segitiga โˆ† ADโ€™Eโ€™ ๐‘š(โˆ ๐ท๐ด๐ธ) = ๐‘š(โˆ ๐ทโ€ฒ๐ด๐ธโ€ฒ) (Bertolak belakang) ๐ท๐ด = ๐ด๐ทโ€ฒ (Karena A tengah-tengah ๐‘” dan โ„Ž) ๐ธ๐ด = ๐ด๐ธโ€ฒ (Karena A tengah-tengah ๐‘” dan โ„Ž) Diperoleh โˆ†๐ด๐ท๐ธ โ‰… โˆ†๐ด๐ทโ€ฒ๐ธโ€ฒ menurut definisi sisi sudut sisi. Akibatnya ๐ทโ€ฒ ๐ธ = ๐ท๐ธ. Pโ€™=T(P) A P g h Dโ€™ A E g h D Eโ€™
  7. 7. 6 c) Akan dibuktikan T injektif Ambil dua titik ๐‘‹ dan ๐‘Œ pada g, YX ๏‚น Akan dibuktikan )()( YTXT ๏‚น Andaikan ๐‘‡(๐‘‹) = ๐‘‡(๐‘Œ) Oleh karena hXAXT ๏ƒ‡๏€ฝ)( dan hYAYT ๏ƒ‡๏€ฝ)( Dalam hal ini XA dan YA memiliki dua titik sekutu yaitu A dan ๐‘‡(๐‘‹) = ๐‘‡(๐‘Œ). Berarti garis XA dan YA berimpit, sehingga berakibat ๐‘‹ = ๐‘Œ. Ini suatu kontradiksi. Jadi pengandaian salah, maka haruslah )()( YTXT ๏‚น Jadi T injektif. 2. Diketahui sebuah titik K dan ruas garis AB , ABK ๏ƒ dan sebuah garis g sehingga g // AB dan jarak K dan AB , adalah dua kali lebih panjang dari pada jarak antara K dan g. Ada padanan T dengan daerah asal AB dan daerah nilai g sehingga apabila ABP๏ƒŽ maka gKPPPT ๏ƒ‡๏€ฝ๏€ฝ ')( . a) Apakah bentuk himpunan peta-peta Pโ€™ kalau P bergerak pada AB b) Buktikan bahwa T injektif. c) Apabila E dan F dua titik pada AB , apakah dapat dikatakan tentang jarak Eโ€™Fโ€™ jika Eโ€™ = T(E) dan Fโ€™=T(F)? xโ€™=T(x) A y g h x yโ€™=T(y)
  8. 8. 7 Penyelesaian : Pโ€™ g K A P B a) ABK ๏ƒ , g // AB , T: gAB ๏‚ฎ ABP๏ƒŽ maka gKPPPT ๏ƒ‡๏€ฝ๏€ฝ ')( gKPP ๏ƒ‡๏€ฝ' sehingga gP ๏ƒŽ' Jadi bentuk himpunan peta-peta Pโ€™ adalah ruas garis pada g. b) Akan dibuktikan T injektif Ambil dua titik ๐‘‹ dan ๐‘Œ pada AB , YX ๏‚น Akan dibuktikan )()( YTXT ๏‚น Andaikan ๐‘‡(๐‘‹) = ๐‘‡(๐‘Œ) Oleh karena gKXXT ๏ƒ‡๏€ฝ)( dan gKYYT ๏ƒ‡๏€ฝ)( Dalam hal ini XA dan YA memiliki dua titik sekutu yaitu A dan ๐‘‡(๐‘‹) = ๐‘‡(๐‘Œ). Ini berarti bahwa garis XA dan YA berimpit, sehingga berakibat ๐‘‹ = ๐‘Œ. Hal ini suatu kontradiksi. Jadi pengandaian salah,maka haruslah )()( YTXT ๏‚น Jadi T injektif c) g A B E F Fโ€™=T(F) Eโ€™=T(E) K
  9. 9. 8 Dipunyai ๐ธ, ๐น โˆˆ ๐ด๐ตโƒก , maka ๐ธโ€ฒ , ๐นโ€ฒ โˆˆ ๐‘” sehingga ๐ธ๐น โˆ•โˆ• ๐ธโ€ฒ๐นโ€ฒ Lihatโˆ†๐พ๐ธโ€ฒ๐นโ€ฒ dan โˆ†๐พ๐ธ๐น ๐นโ€ฒ๐พ ๐น๐พ = ๐ธโ€ฒ๐พ ๐ธ๐พ = 1 2 ๐‘š(โˆ ๐ธ๐พ๐น) = ๐‘š(โˆ ๐ธโ€ฒ๐พ๐น) (sudut โˆ’ sudut bertolak belakang) Diperolehโˆ†๐พ๐ธโ€ฒ๐นโ€ฒ~โˆ†๐พ๐ธ๐น (S Sd). Akibatnya : ๐ธโ€ฒ๐นโ€ฒ ๐ธ๐น = ๐ธโ€ฒ๐พ ๐ธ๐พ = ๐นโ€ฒ๐พ ๐น๐พ = 1 2 โ‡” ๐ธโ€ฒ ๐นโ€ฒ = 1 2 ๐ธ๐น. Jadi jarak Eโ€™Fโ€™ adalah 1 2 kali jarak EF. 3. Diketahui tiga titik A, R, S yang berlainan dan tidak segaris. Ada padanan T yang didefinisikan sebagai berikut: T(A) = A, T(P) = Pโ€™ sehingga P titik tengah 'AP a) Lukislah Rโ€™ = T(R) b) Lukislah Z sehingga T(Z) = S c) Apakah T suatu transformasi? Penyelesaian : (a) dan (b) c) Bukti : (i) Akan dibuktikan T surjektif. T surjektif jika โˆ€ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ terdapat prapeta ๐‘‹ sehingga ๐‘Œ = ๐‘‡(๐‘‹). Jika ๐‘Œ = ๐ด maka prapetanya adalah ๐ด sendiri sebab ๐‘‡(๐ด) = ๐ด. Apabila ๐‘Œ โ‰  ๐ด maka terdapat ๐‘‹ tunggal dengan ๐‘‹ โˆˆ ๐ด๐‘Œโƒก sehingga ๐ด๐‘‹ = ๐ด๐‘Œ. Diperoleh๐‘‹ adalah titik tengah ๐ด๐‘Œฬ…ฬ…ฬ…ฬ…. Artinya ๐‘Œ = ๐‘‡(๐‘‹). Z S = T(Z) P Pโ€™ =T(P) R Rโ€™ =T(R) A
  10. 10. 9 Makaโˆ€๐‘Œ โˆˆ ๐‘‰ terdapat prapeta ๐‘‹ sehingga ๐‘Œ = ๐‘‡(๐‘‹). Jadi T Surjektif. (ii) Akan diselidiki T injektif Ambil titik ๐‘ƒ โ‰  ๐ด, ๐‘„ โ‰  ๐ด dan ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„, ๐‘ƒ, ๐‘„, ๐ด tidak segaris. Andaikan ๐‘‡(๐‘ƒ) = ๐‘‡(๐‘„). Oleh karena ๐‘‡(๐‘ƒ) โˆˆ ๐ด๐‘ƒโƒก dan ๐‘‡(๐‘„) โˆˆ ๐ด๐‘„โƒก maka dalam hal ini ๐ด๐‘ƒโƒก dan ๐ด๐‘„โƒก memiliki dua titik sekutu yaitu ๐ด dan ๐‘‡(๐‘ƒ) = ๐‘‡(๐‘„). Ini berarti bahwa garis ๐ด๐‘ƒโƒก dan ๐ด๐‘„โƒก berimpit, sehingga mengakibatkan ๐‘„ โˆˆ ๐ด๐‘ƒโƒก . Dengan kata lain ๐‘ƒ, ๐‘„, ๐ด segaris. Ini suatu kontradiksi dengan pernyataan ๐‘ƒ, ๐‘„, ๐ด tidak segaris. Pengandaian salah, sehingga ๐‘‡(๐‘ƒ) โ‰  ๐‘‡(๐‘„). Jadi T injektif. Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T surjektif dan T injektif. Jadi T merupakan suatu transformasi. 4. Diketahui P = (0,0), C1 ๏ป ๏ฝ1|),( 22 ๏€ฝ๏€ซ๏€ฝ yxyx C2 ๏ป ๏ฝ25|),( 22 ๏€ฝ๏€ซ๏€ฝ yxyx T : C1 ๏‚ฎ C2 adalah suatu padanan yang definisikan sebagai berikut : Apabila 1CX ๏ƒŽ maka 2')( CPXXXT ๏ƒ‡๏€ฝ๏€ฝ a) Apabila A = (0,1) tentukan T(A) b) Tentukan prapeta dari B(4,3) c) Apabila Z sebarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ZZโ€™, dengan Zโ€™ = T(Z). d) Apabila E dan F dua titik pada daerah asal T , apakah dapat dikatakan tentang jarak Eโ€™Fโ€™? Penyelesaian : Y P A B(4,3) Eโ€™ Fโ€™ X F E
  11. 11. 10 a) A = (0,1) maka T(A) = (0,5) b) Perhatikan gambar di atas. Lihat โˆ† APC dan โˆ†๐‘ƒ๐‘„๐ต. ๐‘ƒ๐ถ ๐‘ƒ๐‘„ = ๐‘ƒ๐ด ๐‘ƒ๐ต = ๐ด๐ถ ๐ต๐‘„ ๐‘ƒ๐ถ ๐‘ƒ๐‘„ = ๐‘ƒ๐ด ๐‘ƒ๐ต โ‡” ๐‘ƒ๐ถ 4 = 1 5 โ‡” ๐‘ƒ๐ถ = 4 5 ๐ด๐ถ ๐ต๐‘„ = ๐‘ƒ๐ด ๐‘ƒ๐ต โ‡” ๐ด๐ถ 3 = 1 5 โ‡” ๐ด๐ถ = 3 5 Jadi prapeta B adalah A = ( 4 5 , 3 5 ). c) Dipunyai ๐‘ โˆˆ daerah asal ๐‘‡. Maka ๐‘ โˆˆ ๐ถ1. Berarti ๐‘ = (๐‘ฅ1, ๐‘ฆ1) dimana ๐‘ฅ1 2 + ๐‘ฆ1 2 = 1. Jelas ๐‘๐‘ƒ = โˆš(๐‘ฅ1 โˆ’ 0)2 + (๐‘ฆ1 โˆ’ 0)2 = โˆš๐‘ฅ1 2 + ๐‘ฆ1 2 = โˆš1 = 1. Selanjutnya ๐‘โ€ฒ = ๐‘‡(๐‘). Maka ๐‘โ€ฒ โˆˆ ๐ถ2. Berarti ๐‘โ€ฒ = (๐‘ฅ2, ๐‘ฆ2) dimana ๐‘ฅ2 2 + ๐‘ฆ2 2 = 25. Jelas ๐‘โ€ฒ๐‘ƒ = โˆš(๐‘ฅ2 โˆ’ 0)2 + (๐‘ฆ2 โˆ’ 0)2 = โˆš๐‘ฅ2 2 + ๐‘ฆ2 2 = โˆš25 = 5. Jelas ๐‘ƒ, ๐‘, ๐‘โ€ฒ segaris. ๐‘โ€ฒ ๐‘ƒ = ๐‘โ€ฒ ๐‘ + ๐‘๐‘ƒ โŸบ 5 = ๐‘โ€ฒ ๐‘ + 1 โŸบ ๐‘โ€ฒ ๐‘ = 5 โˆ’ 1 โŸบ 5 = ๐‘โ€ฒ ๐‘ + 1 P A = prapeta B C Q B
  12. 12. 11 โŸบ ๐‘๐‘โ€ฒ = ๐‘โ€ฒ ๐‘ = 4 Jadi jarak ๐‘๐‘โ€ฒ = 4. d) Dipunyai ๐ธ, ๐น โˆˆ ๐ถ1, ๐ธ โ‰  ๐น Maka panjang busur ๐ธ๐น = ๐‘š(โˆ ๐ธ๐‘ƒ๐น) 2๐œ‹ . ๐‘˜๐‘’๐‘™๐‘–๐‘™๐‘–๐‘›๐‘”๐ถ1 = ๐‘š(โˆ ๐ธ๐‘ƒ๐น) 2๐œ‹ . 2๐œ‹. 1 = ๐‘š(โˆ ๐ธ๐‘ƒ๐น) Selanjutnya ๐ธโ€ฒ = ๐‘‡(๐ธ) dan ๐นโ€ฒ = ๐‘‡(๐น). Maka panjang busur ๐ธโ€ฒ๐นโ€ฒ = ๐‘š(โˆ ๐ธโ€ฒ๐‘ƒ๐นโ€ฒ) 2๐œ‹ . ๐‘˜๐‘’๐‘™๐‘–๐‘™๐‘–๐‘›๐‘”๐ถ2 = ๐‘š(โˆ ๐ธโ€ฒ๐‘ƒ๐นโ€ฒ) 2๐œ‹ . 2๐œ‹. 5 = 5. ๐‘š(โˆ ๐ธโ€ฒ๐‘ƒ๐นโ€ฒ). Karena ๐‘ƒ, ๐ธ, ๐ธโ€ฒ segaris dan ๐‘ƒ, ๐น, ๐นโ€ฒ segarismaka ๐‘š(โˆ ๐ธโ€ฒ๐‘ƒ๐นโ€ฒ) = ๐‘š(โˆ ๐ธ๐‘ƒ๐น). Sehingga, ๐ธโ€ฒ ๐นโ€ฒ = 5. ๐‘š(โˆ ๐ธโ€ฒ ๐‘ƒ๐นโ€ฒ) = 5. ๐‘š(โˆ ๐ธ๐‘ƒ๐น) = 5. ๐ธ๐น Jadi ๐ธโ€ฒ ๐นโ€ฒ = 5๐ธ๐น 5. Diketahui f : V ๏‚ฎ V. Jika P(x,y) maka f(P) =(|x|,|y|) a) Tentukan f(A) jika A = (-3,6) b) Tentukan semua prapeta dari titik B(4,2) c) Apakah bentuk daerah nilai f? d) Apakah f suatu transformasi? Jawab : a) A = (-3,6) maka f(A) = (|-3|,|6|) = (3,6) b) Prapeta dari B(4,2) adalah (4,2),(4,-2),(-4,2),(-4,-2). c) Daerah nilai f adalah himpunan semua titik-titik di Kuadran I. d) Pilih๐ด1 = (4,2) โˆˆ ๐‘‰, ๐ด2 = (4, โˆ’2) โˆˆ ๐‘‰
  13. 13. 12 Jelas ๐ด1 โ‰  ๐ด2. Maka๐‘“(๐ด1) = (4,2) dan ๐‘“(๐ด2) = (4,2). Diperoleh ๐‘“(๐ด1) = ๐‘“(๐ด2). Jadi terdapat ๐ด1 โ‰  ๐ด2 dan ๐‘“(๐ด1) = ๐‘“(๐ด2). Artinya f tidak injektif. Karena f tidak injektif maka f bukan transformasi. 6. Diketahui fungsi g : sumbu X ๏‚ฎ V yang didefinisikan sebagai berikut : Apabila P(x,0) maka g(P) = (x,x2 ). a) Tentukan peta A(3,0) oleh g. b) Apakah R(-14, 196) ๏ƒŽ daerah nilai g? c) Apakah g surjektif? d) Gambarlah daerah nilai g. Jawab : a) Peta A(3,0) oleh g. A(3,0) maka g(A) = (3,(3)2 ) =(3,9). b) Diketahui R(-14,196). 196 = (-14)2 + y โ‡” 196 = 196 + y โ‡” y = 0 Jelas VR๏ƒŽ , dan ๐‘… mempunyai prapeta yaitu ๐‘ƒ(โˆ’14,0) pada sumbu ๐‘‹. Jadi ๐‘… โˆˆ daerah nilai ๐‘”. c) Ambil titik ๐ดโ€ฒ โˆˆ ๐‘‰, maka ๐ดโ€ฒ(๐‘Ž, ๐‘) dengan ๐‘ = ๐‘Ž2 . Jelas terdapat ๐ด(๐‘Ž, 0) sehingga๐‘”(๐ด) = ๐ดโ€ฒ. Jadi, g surjektif. d) (0,0) P(x,0) g(P)=(x,x2 )
  14. 14. 13 7. T : V ๏‚ฎ V, didefinisikan sebagai berikut : Apabila P(x,y) maka i) T(P) = (x + 1, y), untuk x > 0 ii) T(P) = (x - 1, y), untuk x < 0 a) Apakah T injektif? b) Apakah T suatu transformasi? Jawab : a) Ambil P(x1,y1) dan Q(x2,y2) sehingga QP ๏‚น Akan dibuktikan )()( QTPT ๏‚น Karena QP ๏‚น maka 21 xx ๏‚น atau 21 yy ๏‚น (i) Untuk x > 0 T(P) = (x1+1, y1) T(Q) = (x2+1, y2) Jelas 11 2121 ๏€ซ๏‚น๏€ซ๏ƒž๏‚น xxxx atau 21 yy ๏‚น Jadi )()( QTPT ๏‚น (ii) Untuk x < 0 T(P) = (x1-1, y1) T(Q) = (x2-1, y2) Jelas 11 2121 ๏€ญ๏‚น๏€ญ๏ƒž๏‚น xxxx atau 21 yy ๏‚น Jadi )()( QTPT ๏‚น Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T injektif. b) Ambil P(x1,y1) dan Q(x2,y2) dengan Pโ‰ Q. Akan dibuktikan T(P)โ‰ T(Q). Karena P โ‰  Q maka x1 โ‰  x2 atu y1 โ‰  y2. (i) Kasus xโ‰ฅ0 T(P) = (x1 + 1,y1) T(Q) = (x2 + 1,y2) Karena x1โ‰ x2 maka x1+1 โ‰  x2+1 dan y1โ‰ y2. Jadi T(P) โ‰ T(Q).
  15. 15. 14 (ii) Kasus x<0 T(P) = (x1 - 1,y1) T(Q) = (x2 - 1,y2) Karena x1โ‰ x2 maka x1 - 1 โ‰ x2 -1 dan y1โ‰ y2. Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa T tidak surjektif. Karena T tidak surjektif maka T bukan suatu transformasi. 8. Diketahui sebuah garis S dan titik-titik A, B, C seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini A B C S T : V ๏‚ฎ V didefinisikan sebagai berikut : i. Jika P ๏ƒŽ S maka T(P) = P ii. Jika P ๏ƒ S maka T(P) = Pโ€™, sedemikian hingga garis S adalah sumbu ruas 'PP a) Lukislah Aโ€™ = T(A), Bโ€™ = T(B) b) Lukislah prapeta titik C c) Apakah T suatu transformasi ? d) Buktikan bahwa Aโ€™Bโ€™ = AB Penyelesaian : a) dan b) A B Aโ€™ C Bโ€™ Cโ€™
  16. 16. 15 c) Akan ditunjukkan T surjektif dan T injektif. Jelas setiap P pada V, ada prapeta Pโ€™, sehingga T(P) = Pโ€™. Jika P โˆˆ S, maka Pโ€™ = P dan jika P โˆ‰S maka Pโ€™ adalah cermin dari P terhadap sumbu S. Jadi T surjektif. Untuk P โˆˆ S, Q โˆˆ S dan Pโ‰ Q, jelas Pโ€™ โ‰ Qโ€™. Untuk P โˆ‰ S, ambil dua titik, A ,B โˆ‰S, A โ‰  B. Kita akan menyelidiki kedudukan Aโ€™ dan Bโ€™. Andaikan Aโ€™ = Bโ€™. Karena S adalah sumbu ruas garis AAโ€™ maka S tegak lurus AAโ€™ dan karena S adalah sumbu dari ruas garis BBโ€™ maka S tegak lurus BBโ€™. Maka karena Aโ€™ = Bโ€™ dan kedua garis tegak lurus S, AAโ€™ dan BBโ€™ berimpit. Akibatnya A =B. Ini suatu kontradiksi, harusnya Aโ€™โ‰  Bโ€™. Jadi T injektif. Dengan demikian karena T injektif dan T surjektif, maka T suatu transformasi. d) Akan dibuktikan Aโ€™Bโ€™=AB. A B Aโ€™ S Bโ€™ Misal ๐ท titik potong garis ๐‘† dengan ruas garis ๐ดโ€ฒ๐ดฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… dan ๐ธ titik potong garis ๐‘  dengan ruas garis ๐ตโ€ฒ๐ตฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…. Lihatโˆ†๐ดโ€ฒ๐ท๐ธ dan โˆ†๐ด๐ท๐ธ. ๐ดโ€ฒ ๐ท = ๐ด๐ท (menurut definisi ๐‘  adalah sumbu ๐ดโ€ฒ๐ดฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… sehingga ๐ท tengah-tengah ๐ดโ€ฒ๐ดฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…) ๐‘š(โˆ ๐ดโ€ฒ ๐ท๐ธ) = ๐‘š(โˆ ๐ด๐ท๐ธ) = 900 (karena ๐‘  sumbu ๐ดโ€ฒ๐ดฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… maka ๐‘  โŠฅ ๐ดโ€ฒ๐ดฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…) ๐ท๐ธ = ๐ท๐ธ (berimpit) D E
  17. 17. 16 Maka menurut teorema sisi-sudut-sisi โˆ†๐ดโ€ฒ๐ท๐ธ โ‰… โˆ†๐ด๐ท๐ธ. Akibatnya ๐ดโ€ฒ ๐ธ = ๐ด๐ธ dan ๐‘š(โˆ ๐ดโ€ฒ ๐ธ๐ท) = ๐‘š(โˆ ๐ด๐ธ๐ท). Lihatโˆ†๐ดโ€ฒ๐ตโ€ฒ๐ธ dan โˆ†๐ด๐ต๐ธ. ๐ดโ€ฒ ๐ธ = ๐ด๐ธ (diketahui) โ€ฆ(i) ๐ตโ€ฒ ๐ธ = ๐ต๐ธ (menurut definisi ๐‘  adalah sumbu ๐ตโ€ฒ๐ตฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… sehingga ๐ธ tengah-tengah ๐ตโ€ฒ๐ตฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…) โ€ฆ(ii) ๐‘š(โˆ ๐ตโ€ฒ ๐ธ๐ท) = ๐‘š(โˆ ๐ต๐ธ๐ท) = 900 (karena ๐‘  sumbu ๐ตโ€ฒ๐ตฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… maka ๐‘  โŠฅ ๐ตโ€ฒ๐ตฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…) ๐‘š(โˆ ๐ตโ€ฒ ๐ธ๐ด) = ๐‘š(โˆ ๐ตโ€ฒ๐ธ๐ท) โˆ’ ๐‘š(โˆ ๐ดโ€ฒ๐ธ๐ท) ๐‘š(โˆ ๐ต๐ธ๐ด) = ๐‘š(โˆ ๐ต๐ธ๐ท) โˆ’ ๐‘š(โˆ ๐ด๐ธ๐ท) = ๐‘š(โˆ ๐ตโ€ฒ๐ธ๐ท) โˆ’ ๐‘š(โˆ ๐ดโ€ฒ๐ธ๐ท) Berakibat ๐‘š(โˆ ๐ตโ€ฒ ๐ธ๐ด) = ๐‘š(โˆ ๐ต๐ธ๐ด) โ€ฆ(iii) Dari (i),(ii) dan (iii) maka menurut teorema sudut-sisi-sudut โˆ†๐ดโ€ฒ๐ตโ€ฒ๐ธ โ‰… โˆ†๐ด๐ต๐ธ Akibatnya ๐ดโ€ฒ ๐ตโ€ฒ = ๐ด๐ต

ร—