1. 素数⼤大富豪に関する⾃自由研究まとめ
2015.1.19 第359回勉強会
にせい

2. 今⽇日のおはなし
! 素数⼤大富豪とは
! 基本ルール（カードの出し⽅方など）
! よく使う倍数判定法
! 「素数⼤大富豪で出すことのできる素数」に関する考察
! 具体的に考えてみる
! プログラムを使って数えてみる
! 「最⼤大の素数」を探してみる
! まとめと展望

3. 素数⼤大富豪とは
! 2⼈人以上で遊ぶトランプゲーム
! ゲームの流流れは⼀一般の⼤大富豪と同じ
! 最初に⼿手札を配る（残ったカードは⼭山札として使⽤用）
! ⼿手札から、前の⼈人が出した数字より⼤大きい数字を出していく
! 無条件で出せるのは素数のみ
! 素数として出した数字が素数でない場合はペナルティがある
! ⼿手札のカードを組み合わせて数字を作ることができる

4. カードの出し⽅方
! 2枚以上のカードを組み合わせて出す場合は、カードの数字を
10進法で左から読んで得られる数字として扱う
! 例例
! 場に出ている枚数と同じ枚数を使い、より⼤大きい数字を出す
! ジョーカーは0〜～13(K)の好きな数字として出すことができる
（41） （109）

5. グロタンディーク素数切切り
! 通称: グロタンカット
! ⼀一般の⼤大富豪で⾔言う「8切切り」
! 有名な数学者の逸話に則り、57は素数として出すことができる
（合成数として出すことはできない）
! 57が出た時は、強制的に場を流流し、
それを出したプレイヤーの⼿手番から
ゲームを再開する
特別なルール（１）

6. 合成数の出し⽅方
! 合成数（素数でない数）は、⼿手札にその数の素因数を表現する
カードを全て持っている場合に限り、それらのカードを捨てる
ことにより出すことができる
! 例例：
× × ＝
素因数の3枚は捨てる
（直接流流す）
場に出すカードは2枚
特別なルール（２）

7. 反則とペナルティ
! カードを出せないことは反則にはならない
（パスをするか、⼭山札から1枚引くことができる）
! 反則
! 素数として出したが素数でなかった
! 合成数出しにおける素因数分解の計算間違い
! ペナルティ
! 出したカードを全て⼿手札に戻し、その枚数だけ更更に⼭山札からカー
ドを引いて⼿手札に加えて次のプレイヤーに⼿手番を移す

8. よく使う倍数判定法
! 2の倍数 → （⼀一の位が）偶数
! 5の倍数 → ⼀一の位が5または0
! 3の倍数 → 各桁の和が3の倍数
! 3桁の数Aについて
A = 100a + 10b + c （例例：A=729ならa=7,b=2,c=9）
= (99+1)a + (9+1)b + c
= 99a + 9b + a + b + c
= 3(33a+3b) + a + b + c
∴ a + b + cが3の倍数ならAは3の倍数

9. ところで…
「素数⼤大富豪で出すことのできる素数」って
⼀一体どのくらいあるのだろう？

10. （参考）⼤大富豪で出すことのできる⼿手
! 1枚ずつ： (1〜～K) + ジョーカー = 14通り
! 同じ数字2枚〜～4枚： 13 × 3 + 1 = 40通り
! 連続する数字3枚： (3,4,5) 〜～ (K, A, 2) = 11通り
! 連続する数字4枚〜～13枚： 10+9+‥+2+1 = 55通り
! 計120通り
! マークの違いまで考慮に⼊入れると 464通りくらい
（※ローカルルールよって多少変動あり）

11. 1枚のとき
（7個／7通り）

12. 2枚のとき
（38個／39通り）

13. 3枚のとき （338個／350通り）

14. 素数⼤大富豪で出すことのできる素数
! 10〜～Kの存在により、使う枚数が同じでも表現できる桁数は最
⼤大で2倍になる
! ジョーカー（2枚）を「0」として使うことができることによ
り、表現できる数の幅がさらに広がっている
! とはいえ、カードの枚数に制限はあるのだから、出せる素数
は限られるのでは？（推測）
! 桁ごとに、何個の数字を出すことができるのか調べてみる

15. 1桁〜～4桁のとき
! 同じ数字が5つ以上（0は3つ以上）重複することはないため、
全ての数を表現することが可能
! 9,999までの素数の個数… 1,229個
! 素数⼤大富豪で出すことができる4桁までの数は 1,229個

16. 5桁〜～6桁のとき
! 1〜～9の数字は、ジョーカーを使えば6つまで使⽤用可
0を3つ以上使う素数はトランプでは表現不不可（10の形を除く）
! 5桁：40,009、70,001、70,003、70,009、90,001、90,007
! 6桁：100,003など、計203個
! 5〜～6桁の素数は全部で 77,269個
! 素数⼤大富豪で出すことができる6桁までの数は
1,229 + 77,269 – 209 = 78,289 個

17. 7桁のとき
! 「トランプで表現不不可の素数の個数を求める」プログラムを
作成（Rubyを使⽤用）
! 同じ数字をトランプの枚数以上に重複して使⽤用する素数
… 4,083個
! 7桁の素数は 586,081個
! 素数⼤大富豪で出すことができる7桁までの数は
78,289 + 586,081 – 4,083 = 660,287個

18. 8桁のとき
! 7桁と同様のプログラムを作成
! 同じ数字をトランプの枚数以上に重複して使⽤用する素数
… 66,932個
! 8桁の素数は 5,096,876個
! 素数⼤大富豪で出すことができる8桁までの素数は
660,287 + 5,096,876 – 66,932 = 5,690,231個

19. 9桁のとき
! 8桁と同様のプログラムを少しアレンジして使⽤用
! 同じ数字をトランプの枚数以上に重複して使⽤用する素数
… 591,433個
! 9桁の素数は 45,086,079個
! 素数⼤大富豪で出すことができる8桁までの素数は
5,690,231 + 45,086,079 – 591,433 = 50,184,877個

20. ここまでの成果まとめ
桁数 全ての素数 トランプで表現可能な素数 （累累計）
1 4 4 4
2 21 21 25
3 143 143 168
4 1,061 1,061 1,229
5 8,363 8,357 9,586
6 68,906 68,703 78,289
7 586,081 581,998 660,287
8 5,096,876 5,029,944 5,690,231
9 45,086,079 44,494,646 50,184,877

21. 限界を感じる
! 桁が増えるとプログラムがなかなか終わらなくなっていく…
（9桁で約2時間半）
! 今後も桁が増えればさらに⻑⾧長くなっていくこと間違いなし
! 桁が増えても「作れる数」は
思ったより減らない
! 計算⽅方法について再考する必要あり

22. ゴールを確認する
! 最⼤大の数は (9+4×2)×4 + 2×2 -1 = 71桁？
! 対戦相⼿手が最⼩小の数1(A)を持っていると仮定すると最⼤大の数は
99,998,888,777,766,665,555,444,433,332,222,131,313,131,313,
121,212,121,111,111,111,101,010,101
! 試しに因数分解してみた

23. ゴールを確認する
! 最⼤大の数は (9+4×2)×4 + 2×2 -1 = 71桁？
! 対戦相⼿手が最⼩小の数1(A)を持っていると仮定すると最⼤大の数は
99,998,888,777,766,665,555,444,433,332,222,131,313,131,313,
121,212,121,111,111,111,101,010,101
! 試しに因数分解してみた → 7で割れる
7 × 11 × 13 × 37 ×
2,699,972,696,972,396,942,393,942,093,912,091,457,546,003,000,275,727,545,727,545,727,273

24. まとめと展望
! 素数⼤大富豪というトランプゲームが熱い
! ⼀一般の⼤大富豪と同じなのは、ゲームの流流れくらい
! 素数⼤大富豪で出すことができる9桁までの素数は50,184,877個
! 10〜～71桁の素数についても、今後できればいいな
! その先には合成数が待っている…

25. おわり。

26. 補⾜足資料料

27. 表現不不能な素数の個数を求める（8桁）
! a = 10,000,001とする
! aが3,5,7,11で割り切切れる場合はその時点で除外
! aを1桁ごとに分け、10進数表⽰示で使われる数字の個数をそれぞ
れカウントする（変数 zero, two〜～nine）
! 1は11を使えば7つ以上表現可能なので省省略略
! aを2桁ごとに分け、10,12が含まれる場合は0,2のカウントを減らす
! zeroが3以上、または [zero + two〜～nineのどれか] が7以上にな
るものについて素数判定を⾏行行い、該当する個数をカウントする
! a = a + 2 として繰り返す（a = 99,999,999となるまで）

28. 表現不不能な素数の個数を求める（9桁）
! 基本のプログラムは8桁までと同様
! 「1■1■1■1■1」の形をとる素数のみ別途カウントする
（■= 4〜～9、それぞれ違う数字でも同じ数字でもOK）
! 141414141 ≦ a ≦ 19191919191 の範囲でカウント