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なんだか気になる1089
2016.9.24 Sat. / 第2回日曜数学会 in 札幌 / 二世
1
今日のテーマ
2
1089
きっかけは知人の発見
1089 かける 9 は
9801 になる
3
こういうこと
4
1089×9=9801
これは珍しいことなのか?
5
探してみる…
4桁の場合
6
1089×9=9801
2178×4=8712
この2つしかない!
9000分の2!
7
1089×9=9801
2178×4=8712
他の桁ではどのくらいあるのか?
4桁の場合
8
もっと探してみる…
9
4桁
1089 ×9= 9801
2178 ×4= 8712
5桁
10989 ×9= 98901
21978 ×4= 87912
6桁
109989 ×9= 989901
219978 ×4= 879912
7桁
1099989 ×9= ...
9桁まで探してみると
10
1089 ×9= 9801
10989 ×9= 98901
109989 ×9= 989901
1099989 ×9= 9899901
10891089 ×9= 98019801
10999989 ×9= 98999...
9桁まで探してみると
11
1089 ×9= 9801
10989 ×9= 98901
109989 ×9= 989901
1099989 ×9= 9899901
10891089 ×9= 98019801
10999989 ×9= 98999...
9桁まで探してみると
12
1089 ×9= 9801
10989 ×9= 98901
109989 ×9= 989901
1099989 ×9= 9899901
10891089 ×9= 98019801
10999989 ×9= 98999...
9桁まで探してみると
13
1089 ×9= 9801
10989 ×9= 98901
109989 ×9= 989901
1099989 ×9= 9899901
10891089 ×9= 98019801
10999989 ×9= 98999...
9桁まで探してみると
14
1089 ×9= 9801
10989 ×9= 98901
109989 ×9= 989901
1099989 ×9= 9899901
10891089 ×9= 98019801
10999989 ×9= 98999...
9桁まで探してみると
15
1089 ×9= 9801
10989 ×9= 98901
109989 ×9= 989901
1099989 ×9= 9899901
10891089 ×9= 98019801
10999989 ×9= 98999...
n進法
16
• 数字の表記法
• n進法では、nになったら繰り上がる
• 今回の発表の中では
n進法を [n] と表記します(二世ルール)
[10][4] [16]
1
2
3
4
5
6
:
9
10
11
12
:
100
:
395
1...
n進法
17
• 桁(位) : nmの塊を示す
• ある桁の数字: その桁が示す塊 をいくつ含むかを表す
1
[10] 102
1
一の位:1=100の塊
十の位:10=101の塊
百の位:100=102の塊
[4] 113
一の位:1=40の...
1089を16進法で表すと
18
1089×9=9801[10]
[16] 441×9=2649
1089が特別なのは、10進法の時だけ!
19
n進法ではどうなるか
探してみる…
21進法まで、各6桁まで
20
[3] 1012 ×2
10212 ×2
102212 ×2
1023 ×3
10323 ×3
103323 ×3
[4] 13 ×2
143 ×2
1034 ×4
1313 ×2
1443 ×2
10434 ×...
[8] [9]25 ×2
275 ×2
1015 ×5
1067 ×7
2156 ×3
2525 ×2
2775 ×2
10767 ×7
11165 ×5
21756 ×3
25025 ×2
27775 ×2
102515 ×5
107767 ...
14 ×3
19 ×5
28 ×3
37 ×2
118 ×7
154 ×3
1A9 ×5
2A8 ×3
3A7 ×2
109A ×A
1298 ×7
1414 ×3
1554 ×3
1694 ×3
1919 ×5
1AA9 ×5
2828 ×3...
18 ×5
1B ×6
198 ×5
1CB ×6
10BC ×C
1818 ×5
1998 ×5
1B1B ×6
1CCB ×6
10CBC ×C
18018 ×5
19998 ×5
1B01B ×6
1CCCB ×6
10CCBC ×C
1...
1D ×7
3B ×3
1ED ×7
3EB ×3
102B ×B
10DE ×E
1D1D ×7
1EED ×7
32BC ×4
3B3B ×3
3EEB ×3
549A ×2
10EDE ×E
112DB ×B
1D01D ×7
1EEED...
17 ×5
1F ×8
2E ×5
5B ×2
13C ×A
187 ×5
1GF ×8
259 ×4
2GE ×5
5GB ×2
10FG ×G
14FC ×A
15CE ×B
1717 ×5
1887 ×5
19F7 ×5
1F1F ×8
...
15 ×4
1B ×7
1H ×9
27 ×3
2A ×4
3F ×4
4E ×3
165 ×4
1CB ×7
1IH ×9
23D ×6
297 ×3
2CA ×4
3IF ×4
4IE ×3
10HI ×I
1515 ×4
1665 ×4
...
2H ×6
6D ×2
2JH ×6
6JD ×2
10IJ ×J
21HI ×9
2H2H ×6
2JJH ×6
43FG ×4
54EF ×3
6D6D ×2
6JJD ×2
10JIJ ×J
171CH ×D
21JHI ×9
2H02H...
28
法則を
見つけたい!!
かける数で整理する
29
[3] 1012 ×2
10212 ×2
102212 ×2
1023 ×3
10323 ×3
103323 ×3
[4] 1034 ×4
10434 ×4
104434 ×4
13 ×2
143 ×2
1313 ×2...
[8] [9]
1078 ×8
10878 ×8
108878 ×8
3256 ×2
32856 ×2
328856 ×2
17 ×4
187 ×4
1717 ×4
1887 ×4
17017 ×4
18887 ×4
170017 ×4
171...
109A ×A
10A9A ×A
10AA9A ×A
19 ×5
1A9 ×5
1919 ×5
1AA9 ×5
19019 ×5
1AAA9 ×5
190019 ×5
191919 ×5
1A91A9 ×5
1AAAA9 ×5
14 ×3
28...
10BC ×C
10CBC ×C
10CCBC ×C
1B ×6
1CB ×6
1B1B ×6
1CCB ×6
1B01B ×6
1CCCB ×6
1B001B ×6
1B1B1B ×6
1CB1CB ×6
1CCCCB ×6
[13] 18 ...
10DE ×E
10EDE ×E
10EEDE ×E
32BC ×4
32EBC ×4
32EEBC ×4
549A ×2
54E9A ×2
54EE9A ×2
[15] 10EF ×F
10FEF ×F
10FFEF ×F
21DE ×7
2...
10FG ×G
10GFG ×G
10GGFG ×G
1F ×8
1GF ×8
1F1F ×8
1GGF ×8
1F01F ×8
1GGGF ×8
1F001F ×8
1F1F1F ×8
1GF1GF ×8
1GGGGF ×8
259 ×4
2...
10HI ×I
10IHI ×I
10IIHI ×I
1H ×9
1IH ×9
1H1H ×9
1IIH ×9
1H01H ×9
1IIIH ×9
1H001H ×9
1H1H1H ×9
1IH1IH ×9
1IIIIH ×9
15 ×4
2A...
10IJ ×J
10JIJ ×J
10JJIJ ×J
21HI ×9
21JHI ×9
21JJHI ×9
43FG ×4
43JFG ×4
43JJFG ×4
54EF ×3
54JEF ×3
54JJEF ×3
171CH ×D
172IC...
1種類のパターンに注目
37
[3]1012 ×2
10212 ×2
102212 ×2
1023 ×3
10323 ×3
103323 ×3
[4]
[5]
[6]
[7]
1034 ×4
10434 ×4
104434 ×4
1045 ×5...
法則が見えますか?
38
[3]1012 ×2
10212 ×2
102212 ×2
1023 ×3
10323 ×3
103323 ×3
[4]
[5]
[6]
[7]
1034 ×4
10434 ×4
104434 ×4
1045 ×5
1...
法則が見えますか?
39
[3]1012 ×2
10212 ×2
102212 ×2
1023 ×3
10323 ×3
103323 ×3
[4]
[5]
[6]
[7]
1034 ×4
10434 ×4
104434 ×4
1045 ×5
1...
nであらわすと
40
[3]1012 ×2
10212 ×2
102212 ×2
1023 ×3
10323 ×3
103323 ×3
[4]
[5]
[6]
[7]
1034 ×4
10434 ×4
104434 ×4
1045 ×5
105...
計算して確かめる
41
① 4桁のとき
= n-1 n-2 0 1
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×(n-1)
= n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1
1 0 n-2 n-1 ×(n-1)
② (m+4)桁のとき
1089...
42
n0=1の塊
n1の塊
n3の塊
{n3+(n-2)n+(n-1)} ×(n-1)
=(n3+n2-2n+n-1) ×(n-1)
=(n3+n2-n-1) ×(n-1)
1 0 n-2 n-1
∴ 1 0 n-2 n-1 ×(n-1) =...
43
(m+4)桁のとき
n0=1の塊n1の塊nm+3の塊
{nm+3+(n-1)nm+1+…+(n-1)n2+(n-2)n+(n-1)} ×(n-1)
={nm+3+(nm+2-nm+1)+(nm+1-nm)+…+(n3-n2)+(n2-2n...
44
=nm+4-nm+2-n2+1
=nm+4-nm+3+nm+3-nm+2-nm+2+nm+2-nm+1+nm+1+…-n3+n3-n2+1
=nm+4-nm+3+nm+3-2nm+2 +nm+2-nm+1+nm+1+…-n3+n3-n2+...
まとめ:定理1
45
n進法のとき
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×(n-1)
= n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1
謎がひとつ解けた!
m個
m個
進捗の確認(10進数まで)
46
[3] 1012 ×2
10212 ×2
102212 ×2
1023 ×3
10323 ×3
103323 ×3
[4] 1034 ×4
10434 ×4
104434 ×4
13 ×2
143 ×2
131...
[8] [9]
1078 ×8
10878 ×8
108878 ×8
3256 ×2
32856 ×2
328856 ×2
17 ×4
187 ×4
1717 ×4
1887 ×4
17017 ×4
18887 ×4
170017 ×4
171...
次は青に注目
48
[3] 1012 ×2
10212 ×2
102212 ×2
1023 ×3
10323 ×3
103323 ×3
[4] 1034 ×4
10434 ×4
104434 ×4
[5] 1045 ×5
10545 ×5
10...
次は青に注目
49
1045 ×5
10545 ×5
105545 ×5
[6] [8] [9] 1089 ×9
10989 ×9
109989 ×9
[10]1067 ×7
10767 ×7
107767 ×7
1078 ×8
10878 ×...
次は青に注目
50
[6] [8] [10]
[6] [8] [10]
[6] [8] [10]
1045
× 2
2134
1067
× 2
2156
[9] 1078 ×8
10878 ×8
108878 ×8
[9] 3256 ×2
32...
nであらわすと
51
[6] [8] [10][9] 3256 ×2
32856 ×2
328856 ×2
・21で始まる
・一番下の位が n-2
・下から二番目の位は n-3
(n進法のとき)
・かける数は (n-2)/2
・真ん中に入る数字...
こうなりそう①
52
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2
= 2 1 n-1 … n-1 n-3 n-2
m個
n進法のとき
m個
[10] 1089
× 2
2178
こうなりそう②
53
<定理1> n進法のとき
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×(n-1)
= n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1m個
m個
<定理2?> n進法のとき
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 ×...
こうなりそう①の確認
54
[n]
(m+4)桁のとき (ただし、mは0以上の整数)
{nm+3+(n-1)nm+1+…+(n-1)n2+(n-2)n+(n-1)}×2
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2
m個
=(nm+3+nm...
こうなりそう②の確認
55
[n]
(m+4)桁のとき (ただし、mは0以上の整数)
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 ×
m個
n-2
2
m個
n-2 n-3 n-1 … n-1 1 2
(nm+3+nm+2-n-1)×2 ...
まとめ:定理2?
56
n進法のとき
= 2 1 n-1 … n-1 n-3 n-2 ×
= n-2 n-3 n-1 … n-1 1 2
2178 ×4
21978 ×4
219978 ×4
[10]
= 1 0 n-1 … n-1 n-2 n...
まとめ?
57
<定理1> n進法のとき
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×(n-1)
= n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1m個
m個
<定理2?> n進法のとき
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 ×
m個...
まとめ?
58
<定理1> n進法のとき
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×(n-1)
= n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1
<定理2?> n進法のとき
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 ×
= n-2 n...
まとめ?
59
<定理1> n進法のとき
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×1 ×
= n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1
<定理2?> n進法のとき
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 ×
= n-2 n-3...
統一定理k
60
<定理1> 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×1 ×
= n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1
<定理2?> 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 ×
= n-2 n-3 n-1 … n-1 1 ...
こうなりそう①
61
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×k
= k k-1 n-1 … n-1 n-k-1 n-k
m個
n進法のとき
m個
こうなりそう②
62
<定理1> n進法のとき
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×(n-1)
= n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1m個
m個
<定理k?> n進法のとき
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×k ×...
こうなりそう①の確認
63
[n]
(m+4)桁のとき (ただし、mは0以上の整数)
{nm+3+(n-1)nm+1+…+(n-1)n2+(n-2)n+(n-1)}×k
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×k
=(nm+3+nm+2-...
こうなりそう②の確認
64
[n]
(m+4)桁のとき (ただし、mは0以上の整数)
1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×k ×
m個
n-k
k
m個
n-k n-k-1 n-1 … n-1 k-1 k
(nm+3+nm+2-n-1...
まとめ:定理k
65
n進法のとき
k k-1 n-1 … n-1 n-k-1 n-k ×
= n-k n-k-1 n-1 … n-1 k-1 k
m個
m個
n-k
k
→ kはnの約数で、1≦k< を満たす整数
n
2
※2以上の整数である...
まとめ:定理k
66
n進法のとき
k k-1 n-1 … n-1 n-k-1 n-k ×
= n-k n-k-1 n-1 … n-1 k-1 k
完成!!
m個
m個
n-k
k
ただし、kはnの約数で、1≦k< を満たす整数
n
2
67
そういえば
これ
68
1045 ×5
10545 ×5
105545 ×5
[6] [8] 1089 ×9
10989 ×9
109989 ×9
[10]1067 ×7
10767 ×7
107767 ×7
[6] [8] 2156 ×3
21756 ×...
忘れてた
69
1045 ×5
10545 ×5
105545 ×5
[6] [8] [9] 1089 ×9
10989 ×9
109989 ×9
[10]1067 ×7
10767 ×7
107767 ×7
1078 ×8
10878 ×8
...
定理kの確認
70
[3] 1012 ×2
10212 ×2
102212 ×2
1023 ×3
10323 ×3
103323 ×3
[4]
1034 ×4
10434 ×4
104434 ×4
[5]
1045 ×5
10545 ×5
10...
[11] 109A ×A
10A9A ×A
10AA9A ×A
[12] 10AB ×B
10BAB ×B
10BBAB ×B
219A ×5
21B9A ×5
21BB9A ×5
3289 ×3
32B89 ×3
32BB89 ×3
4378...
72
(もうすぐ終わります)
進捗の確認
73
[3] 1012 ×2
10212 ×2
102212 ×2
1023 ×3
10323 ×3
103323 ×3
[4] 1034 ×4
10434 ×4
104434 ×4
13 ×2
143 ×2
1313 ×2
144...
[8] [9]
1078 ×8
10878 ×8
108878 ×8
3256 ×2
32856 ×2
328856 ×2
17 ×4
187 ×4
1717 ×4
1887 ×4
17017 ×4
18887 ×4
170017 ×4
171...
109A ×A
10A9A ×A
10AA9A ×A
19 ×5
1A9 ×5
1919 ×5
1AA9 ×5
19019 ×5
1AAA9 ×5
190019 ×5
191919 ×5
1A91A9 ×5
1AAAA9 ×5
14 ×3
28...
10BC ×C
10CBC ×C
10CCBC ×C
1B ×6
1CB ×6
1B1B ×6
1CCB ×6
1B01B ×6
1CCCB ×6
1B001B ×6
1B1B1B ×6
1CB1CB ×6
1CCCCB ×6
[13] 18 ...
10DE ×E
10EDE ×E
10EEDE ×E
32BC ×4
32EBC ×4
32EEBC ×4
549A ×2
54E9A ×2
54EE9A ×2
[15] 10EF ×F
10FEF ×F
10FFEF ×F
21DE ×7
2...
10FG ×G
10GFG ×G
10GGFG ×G
1F ×8
1GF ×8
1F1F ×8
1GGF ×8
1F01F ×8
1GGGF ×8
1F001F ×8
1F1F1F ×8
1GF1GF ×8
1GGGGF ×8
259 ×4
2...
10HI ×I
10IHI ×I
10IIHI ×I
1H ×9
1IH ×9
1H1H ×9
1IIH ×9
1H01H ×9
1IIIH ×9
1H001H ×9
1H1H1H ×9
1IH1IH ×9
1IIIIH ×9
15 ×4
2A...
10IJ ×J
10JIJ ×J
10JJIJ ×J
21HI ×9
21JHI ×9
21JJHI ×9
43FG ×4
43JFG ×4
43JJFG ×4
54EF ×3
54JEF ×3
54JJEF ×3
171CH ×D
172IC...
未解決問題
81
[5] 13 ×2
143 ×2
1313 ×2
1443 ×2
13013 ×2
14443 ×2
130013 ×2
131313 ×2
143143 ×2
144443 ×2
1300013 ×2
1314313 ×2
...
15 ×3
165 ×3
1515 ×3
1665 ×3
15015 ×3
16665 ×3
150015 ×3
151515 ×3
165165 ×3
166665 ×3
25 ×2
275 ×2
2525 ×2
2775 ×2
25025 ...
まとめ:1089の楽しみ方
83
・数字の性質を見つける
・似たような法則を持った数字を具体的に探す
・似たような形をしたものを集める
・文字を使って一般化してみる
・自分なりの定理が見つかる
・楽しい
84
<おまけ>
結果一覧
特別に7桁まで!
[3] 1012 ×2
10212 ×2
102212 ×2
1021212 ×2
1023 ×3
10323 ×3
103323 ×3
1033323 ×3
[4]
13 ×2
143 ×2
1034 ×4
1313 ×2
1443 ×2
1...
[8] [9]25 ×2
275 ×2
1015 ×5
1067 ×7
2156 ×3
2525 ×2
2775 ×2
10767 ×7
11165 ×5
21756 ×3
25025 ×2
27775 ×2
102515 ×5
107767 ...
14 ×3
19 ×5
28 ×3
37 ×2
118 ×7
154 ×3
1A9 ×5
2A8 ×3
3A7 ×2
109A ×A
1298 ×7
1414 ×3
1554 ×3
1694 ×3
1919 ×5
1AA9 ×5
2828 ×3...
10AB ×B
219A ×5
3289 ×3
4378 ×2
10BAB ×B
21B9A ×5
32B89 ×3
43B78 ×2
10BBAB ×B
21BB9A ×5
32BB89 ×3
43BB78 ×2
10BBBAB ×B
21B...
1D ×7
3B ×3
1ED ×7
3EB ×3
102B ×B
10DE ×E
1D1D ×7
1EED ×7
32BC ×4
3B3B ×3
3EEB ×3
549A ×2
10EDE ×E
112DB ×B
1D01D ×7
1EEED...
17 ×5
1F ×8
2E ×5
5B ×2
13C ×A
187 ×5
1GF ×8
259 ×4
2GE ×5
5GB ×2
10FG ×G
14FC ×A
15CE ×B
1717 ×5
1887 ×5
19F7 ×5
1F1F ×8
...
10GH ×H
21FG ×8
32EF ×5
65BC ×2
10HGH ×H
21HFG ×8
32HEF ×5
65HBC ×2
10HHGH ×H
1H35CD ×7
21HHFG ×8
32HHEF ×5
65HHBC ×2
10HH...
15 ×4
1B ×7
1H ×9
27 ×3
2A ×4
3F ×4
4E ×3
165 ×4
1CB ×7
1IH ×9
23D ×6
297 ×3
2CA ×4
3IF ×4
4IE ×3
10HI ×I
1515 ×4
1665 ×4
...
2H ×6
6D ×2
2JH ×6
6JD ×2
10IJ ×J
21HI ×9
2H2H ×6
2JJH ×6
43FG ×4
54EF ×3
6D6D ×2
6JJD ×2
10JIJ ×J
171CH ×D
21JHI ×9
2H02H...
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なんだか気になる1089

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「1089×9=9801」のように、かけ算をした結果が元の数字の逆順になるような数字の組み合わせはどれだけあるのか?その数字達に法則性はあるのか?といった疑問を、結果の数字達を並べて観察し、自分の手で確認していく自由研究の成果発表(経過報告)です。
2016/9/24、第2回日曜数学会in札幌で発表したものです。
最後におまけとして結果一覧を掲載していますが、正しさは保証しません(-ω-;) また、未解決分の結果への着色の根拠は「なんとなく」ですので、同じ色が同じパターンとは限りません。

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なんだか気になる1089

  1. 1. なんだか気になる1089 2016.9.24 Sat. / 第2回日曜数学会 in 札幌 / 二世 1
  2. 2. 今日のテーマ 2 1089
  3. 3. きっかけは知人の発見 1089 かける 9 は 9801 になる 3
  4. 4. こういうこと 4 1089×9=9801 これは珍しいことなのか?
  5. 5. 5 探してみる…
  6. 6. 4桁の場合 6 1089×9=9801 2178×4=8712 この2つしかない! 9000分の2!
  7. 7. 7 1089×9=9801 2178×4=8712 他の桁ではどのくらいあるのか? 4桁の場合
  8. 8. 8 もっと探してみる…
  9. 9. 9 4桁 1089 ×9= 9801 2178 ×4= 8712 5桁 10989 ×9= 98901 21978 ×4= 87912 6桁 109989 ×9= 989901 219978 ×4= 879912 7桁 1099989 ×9= 9899901 2199978 ×4= 8799912 8桁 10891089 ×9= 98019801 10999989 ×9= 98999901 21782178 ×4= 87128712 21999978 ×4= 87999912 9桁 108901089 ×9= 980109801 109999989 ×9= 989999901 217802178 ×4= 871208712 219999978 ×4= 879999912 9桁まで探してみると
  10. 10. 9桁まで探してみると 10 1089 ×9= 9801 10989 ×9= 98901 109989 ×9= 989901 1099989 ×9= 9899901 10891089 ×9= 98019801 10999989 ×9= 98999901 108901089 ×9= 980109801 109999989 ×9= 989999901 2178 ×4= 8712 21978 ×4= 87912 219978 ×4= 879912 2199978 ×4= 8799912 21782178 ×4= 87128712 21999978 ×4= 87999912 217802178 ×4= 871208712 219999978 ×4= 879999912
  11. 11. 9桁まで探してみると 11 1089 ×9= 9801 10989 ×9= 98901 109989 ×9= 989901 1099989 ×9= 9899901 10891089 ×9= 98019801 10999989 ×9= 98999901 108901089 ×9= 980109801 109999989 ×9= 989999901 2178 ×4= 8712 21978 ×4= 87912 219978 ×4= 879912 2199978 ×4= 8799912 21782178 ×4= 87128712 21999978 ×4= 87999912 217802178 ×4= 871208712 219999978 ×4= 879999912 かける数は2種類
  12. 12. 9桁まで探してみると 12 1089 ×9= 9801 10989 ×9= 98901 109989 ×9= 989901 1099989 ×9= 9899901 10891089 ×9= 98019801 10999989 ×9= 98999901 108901089 ×9= 980109801 109999989 ×9= 989999901 2178 ×4= 8712 21978 ×4= 87912 219978 ×4= 879912 2199978 ×4= 8799912 21782178 ×4= 87128712 21999978 ×4= 87999912 217802178 ×4= 871208712 219999978 ×4= 879999912 この4つは1089(2178)の組み合わせ
  13. 13. 9桁まで探してみると 13 1089 ×9= 9801 10989 ×9= 98901 109989 ×9= 989901 1099989 ×9= 9899901 10891089 ×9= 98019801 10999989 ×9= 98999901 108901089 ×9= 980109801 109999989 ×9= 989999901 2178 ×4= 8712 21978 ×4= 87912 219978 ×4= 879912 2199978 ×4= 8799912 21782178 ×4= 87128712 21999978 ×4= 87999912 217802178 ×4= 871208712 219999978 ×4= 879999912
  14. 14. 9桁まで探してみると 14 1089 ×9= 9801 10989 ×9= 98901 109989 ×9= 989901 1099989 ×9= 9899901 10891089 ×9= 98019801 10999989 ×9= 98999901 108901089 ×9= 980109801 109999989 ×9= 989999901 2178 ×4= 8712 21978 ×4= 87912 219978 ×4= 879912 2199978 ×4= 8799912 21782178 ×4= 87128712 21999978 ×4= 87999912 217802178 ×4= 871208712 219999978 ×4= 879999912
  15. 15. 9桁まで探してみると 15 1089 ×9= 9801 10989 ×9= 98901 109989 ×9= 989901 1099989 ×9= 9899901 10891089 ×9= 98019801 10999989 ×9= 98999901 108901089 ×9= 980109801 109999989 ×9= 989999901 2178 ×4= 8712 21978 ×4= 87912 219978 ×4= 879912 2199978 ×4= 8799912 21782178 ×4= 87128712 21999978 ×4= 87999912 217802178 ×4= 871208712 219999978 ×4= 879999912 もっと調べてみたい…!
  16. 16. n進法 16 • 数字の表記法 • n進法では、nになったら繰り上がる • 今回の発表の中では n進法を [n] と表記します(二世ルール) [10][4] [16] 1 2 3 4 5 6 : 9 10 11 12 : 100 : 395 1 2 3 10 11 12 : 21 22 23 30 : 1210 : 12023 1 2 3 4 5 6 : 9 A B C : 64 : 18B
  17. 17. n進法 17 • 桁(位) : nmの塊を示す • ある桁の数字: その桁が示す塊 をいくつ含むかを表す 1 [10] 102 1 一の位:1=100の塊 十の位:10=101の塊 百の位:100=102の塊 [4] 113 一の位:1=40の塊 十の位:4=41の塊 百の位:16=42の塊 1 16 1 1 4 100 [10] 42*1 + 41*1 + 40*3 =23
  18. 18. 1089を16進法で表すと 18 1089×9=9801[10] [16] 441×9=2649 1089が特別なのは、10進法の時だけ!
  19. 19. 19 n進法ではどうなるか 探してみる…
  20. 20. 21進法まで、各6桁まで 20 [3] 1012 ×2 10212 ×2 102212 ×2 1023 ×3 10323 ×3 103323 ×3 [4] 13 ×2 143 ×2 1034 ×4 1313 ×2 1443 ×2 10434 ×4 13013 ×2 14443 ×2 104434 ×4 130013 ×2 131313 ×2 143143 ×2 144443 ×2 [5] 1045 ×5 2134 ×2 10545 ×5 21534 ×2 105545 ×5 215534 ×2 [6]
  21. 21. [8] [9]25 ×2 275 ×2 1015 ×5 1067 ×7 2156 ×3 2525 ×2 2775 ×2 10767 ×7 11165 ×5 21756 ×3 25025 ×2 27775 ×2 102515 ×5 107767 ×7 112665 ×5 217756 ×3 250025 ×2 252525 ×2 275275 ×2 277775 ×2 17 ×4 187 ×4 1078 ×8 1717 ×4 1887 ×4 3256 ×2 10878 ×8 17017 ×4 18887 ×4 32856 ×2 108878 ×8 170017 ×4 171717 ×4 187187 ×4 188887 ×4 328856 ×2 1089 ×9 2178 ×4 10989 ×9 21978 ×4 109989 ×9 219978 ×4 [10][7] 15 ×3 165 ×3 1056 ×6 1515 ×3 1665 ×3 10656 ×6 15015 ×3 16665 ×3 106656 ×6 150015 ×3 151515 ×3 165165 ×3 166665 ×3
  22. 22. 14 ×3 19 ×5 28 ×3 37 ×2 118 ×7 154 ×3 1A9 ×5 2A8 ×3 3A7 ×2 109A ×A 1298 ×7 1414 ×3 1554 ×3 1694 ×3 1919 ×5 1AA9 ×5 2828 ×3 2968 ×3 2AA8 ×3 3737 ×2 3AA7 ×2 10A9A ×A 11918 ×7 12A98 ×7 14014 ×3 15554 ×3 16A94 ×3 19019 ×5 1AAA9 ×5 28028 ×3 29568 ×3 2AAA8 ×3 37037 ×2 3AAA7 ×2 10AA9A ×A 118118 ×7 12AA98 ×7 140014 ×3 141414 ×3 142814 ×3 [11] 154154 ×3 155554 ×3 156954 ×3 168294 ×3 169694 ×3 16AA94 ×3 190019 ×5 191919 ×5 1A91A9 ×5 1AAAA9 ×5 280028 ×3 281428 ×3 282828 ×3 294168 ×3 295568 ×3 296968 ×3 2A82A8 ×3 2A96A8 ×3 2AAAA8 ×3 370037 ×2 373737 ×2 3A73A7 ×2 3AAAA7 ×2 10AB ×B 219A ×5 3289 ×3 4378 ×2 10BAB ×B 21B9A ×5 32B89 ×3 43B78 ×2 10BBAB ×B 21BB9A ×5 32BB89 ×3 43BB78 ×2 [12]
  23. 23. 18 ×5 1B ×6 198 ×5 1CB ×6 10BC ×C 1818 ×5 1998 ×5 1B1B ×6 1CCB ×6 10CBC ×C 18018 ×5 19998 ×5 1B01B ×6 1CCCB ×6 10CCBC ×C 180018 ×5 181818 ×5 198198 ×5 199998 ×5 1B001B ×6 [13] 1B1B1B ×6 1CB1CB ×6 1CCCCB ×6 2B ×4 49 ×2 2DB ×4 4D9 ×2 10CD ×D 21BC ×6 2B2B ×4 2DDB ×4 4949 ×2 4DD9 ×2 10DCD ×D 1419B ×9 1A735 ×3 21DBC ×6 2B02B ×4 2DDDB ×4 49049 ×2 4DDD9 ×2 [14] 10DDCD ×D 142C9B ×9 1A8C35 ×3 21DDBC ×6 2B002B ×4 2B2B2B ×4 2DB2DB ×4 2DDDDB ×4 490049 ×2 494949 ×2 4D94D9 ×2 4DDDD9 ×2
  24. 24. 1D ×7 3B ×3 1ED ×7 3EB ×3 102B ×B 10DE ×E 1D1D ×7 1EED ×7 32BC ×4 3B3B ×3 3EEB ×3 549A ×2 10EDE ×E 112DB ×B 1D01D ×7 1EEED ×7 32EBC ×4 3B03B ×3 3EEEB ×3 54E9A ×2 [15] 10EF ×F 21DE ×7 43BC ×3 10FEF ×F 21FDE ×7 43FBC ×3 10FFEF ×F 21FFDE ×7 43FFBC ×3 103B2B ×B 10EEDE ×E 113DDB ×B 1D001D ×7 1D1D1D ×7 1ED1ED ×7 1EEEED ×7 32EEBC ×4 3B003B ×3 3B3B3B ×3 3EB3EB ×3 3EEEEB ×3 54EE9A ×2 [16]
  25. 25. 17 ×5 1F ×8 2E ×5 5B ×2 13C ×A 187 ×5 1GF ×8 259 ×4 2GE ×5 5GB ×2 10FG ×G 14FC ×A 15CE ×B 1717 ×5 1887 ×5 19F7 ×5 1F1F ×8 1GGF ×8 27E9 ×4 2E2E ×5 2F9E ×5 2GGE ×5 5B5B ×2 5GGB ×2 10GFG ×G 13D3C ×A 14GFC ×A 17017 ×5 18887 ×5 19GF7 ×5 1F01F ×8 1GGGF ×8 25B59 ×4 27GE9 ×4 2E02E ×5 2F89E ×5 2GGGE ×5 5B05B ×2 [17] 5GGGB ×2 10GGFG ×G 13C13C ×A 14GGFC ×A 170017 ×5 171717 ×5 172E17 ×5 187187 ×5 188887 ×5 189F87 ×5 19E2F7 ×5 19F9F7 ×5 19GGF7 ×5 1F001F ×8 1F1F1F ×8 1GF1GF ×8 1GGGGF ×8 259259 ×4 27GGE9 ×4 2E002E ×5 2E172E ×5 2E2E2E ×5 2G719E ×5 2F889E ×5 2F9F9E ×5 2GE2GE ×5 2GF9GE ×5 2GGGGE ×5 5B005B ×2 5B5B5B ×2 5GB5GB ×2 5GGGGB ×2 10GH ×H 21FG ×8 32EF ×5 65BC ×2 10HGH ×H 21HFG ×8 32HEF ×5 65HBC ×2 10HHGH ×H 1H35CD ×7 21HHFG ×8 32HHEF ×5 65HHBC ×2 [18]
  26. 26. 15 ×4 1B ×7 1H ×9 27 ×3 2A ×4 3F ×4 4E ×3 165 ×4 1CB ×7 1IH ×9 23D ×6 297 ×3 2CA ×4 3IF ×4 4IE ×3 10HI ×I 1515 ×4 1665 ×4 17B5 ×4 18G5 ×4 1B1B ×7 1CCB ×7 1H1H ×9 1IIH ×9 25GD ×6 2727 ×3 2997 ×3 2A2A ×4 2B7A ×4 2BG7 ×3 2CCA ×4 2DHA ×4 3F3F ×4 3G8F ×4 3HDF ×4 3IIF ×4 4E4E ×3 4GBE ×3 4IIE ×3 [19] 10IHI ×I 15015 ×4 16665 ×4 17CB5 ×4 18IG5 ×4 1B01B ×7 1CCCB ×7 1H01H ×9 1IIIH ×9 23F3D ×6 25IGD ×6 27027 ×3 29997 ×3 2A02A ×4 2B67A ×4 2BIG7 ×3 2CCCA ×4 2DIHA ×4 3F03F ×4 3G68F ×4 3HCDF ×4 3IIIF ×4 4E04E ×3 4G9BE ×3 4IIIE ×3 10IIHI ×I 12B8HF ×E 150015 ×4 151515 ×4 152A15 ×4 153F15 ×4 165165 ×4 166665 ×4 167B65 ×4 168G65 ×4 17A2B5 ×4 17B7B5 ×4 17CCB5 ×4 17DHB5 ×4 18F3G5 ×4 18G8G5 ×4 18HDG5 ×4 18IIG5 ×4 1B001B ×7 1B1B1B ×7 1CB1CB ×7 1CCCCB ×7 1H001H ×9 1H1H1H ×9 1IH1IH ×9 1IIIIH ×9 23D23D ×6 25IIGD ×6 270027 ×3 272727 ×3 274E27 ×3 297297 ×3 299997 ×3 29BG97 ×3 2A002A ×4 2A152A ×4 2A2A2A ×4 2A3F2A ×4 3G7B8F ×4 3G8G8F ×4 3HA2DF ×4 3HB7DF ×4 3HCCDF ×4 3HDHDF ×4 3IF3IF ×4 3IG8IF ×4 3IHDIF ×4 3IIIIF ×4 4E004E ×3 4E274E ×3 4E4E4E ×3 4G72BE ×3 4G99BE ×3 4GBGBE ×3 4IE4IE ×3 4IGBIE ×3 4IIIIE ×3 2B517A ×4 2B667A ×4 2B7B7A ×4 2B8G7A ×4 2BE4G7 ×3 2BGBG7 ×3 2BIIG7 ×3 2CA2CA ×4 2CB7CA ×4 2CCCCA ×4 2CDHCA ×4 2DF3HA ×4 2DG8HA ×4 2DHDHA ×4 2DIIHA ×4 3F003F ×4 3F153F ×4 3F2A3F ×4 3F3F3F ×4 3G518F ×4 3G668F ×4
  27. 27. 2H ×6 6D ×2 2JH ×6 6JD ×2 10IJ ×J 21HI ×9 2H2H ×6 2JJH ×6 43FG ×4 54EF ×3 6D6D ×2 6JJD ×2 10JIJ ×J 171CH ×D 21JHI ×9 2H02H ×6 2JJJH ×6 43JFG ×4 54JEF ×3 6D06D ×2 [20] 6JJJD ×2 10JJIJ ×J 172ICH ×D 21JJHI ×9 2H002H ×6 2H2H2H ×6 2JH2JH ×6 2JJJJH ×6 43JJFG ×4 54JJEF ×3 6D006D ×2 6D6D6D ×2 6JD6JD ×2 6JJJJD ×2 1J ×A 2D ×5 1KJ ×A 2FD ×5 101D ×D 10JK ×K 1J1J ×A 1KKJ ×A 2D2D ×5 2FFD ×5 32HI ×6 76DE ×2 10KJK ×K 111ED ×D 1J01J ×A 1KKKJ ×A 2D02D ×5 2FFFD ×5 32KHI ×6 76KDE ×2 [21] 102D1D ×D 10KKJK ×K 112EED ×D 1J001J ×A 1J1J1J ×A 1KJ1KJ ×A 1KKKKJ ×A 2D002D ×5 2D2D2D ×5 2FD2FD ×5 2FFFFD ×5 32KKHI ×6 76KKDE ×2
  28. 28. 28 法則を 見つけたい!!
  29. 29. かける数で整理する 29 [3] 1012 ×2 10212 ×2 102212 ×2 1023 ×3 10323 ×3 103323 ×3 [4] 1034 ×4 10434 ×4 104434 ×4 13 ×2 143 ×2 1313 ×2 1443 ×2 13013 ×2 14443 ×2 130013 ×2 131313 ×2 143143 ×2 144443 ×2 [5] 1045 ×5 10545 ×5 105545 ×5 2134 ×2 21534 ×2 215534 ×2 [6]
  30. 30. [8] [9] 1078 ×8 10878 ×8 108878 ×8 3256 ×2 32856 ×2 328856 ×2 17 ×4 187 ×4 1717 ×4 1887 ×4 17017 ×4 18887 ×4 170017 ×4 171717 ×4 187187 ×4 188887 ×4 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 2178 ×4 21978 ×4 219978 ×4 [10][7] 1056 ×6 10656 ×6 106656 ×6 15 ×3 165 ×3 1515 ×3 1665 ×3 15015 ×3 16665 ×3 150015 ×3 151515 ×3 165165 ×3 166665 ×3 1067 ×7 10767 ×7 107767 ×7 2156 ×3 21756 ×3 217756 ×3 25 ×2 275 ×2 2525 ×2 2775 ×2 25025 ×2 27775 ×2 250025 ×2 252525 ×2 275275 ×2 277775 ×2 1015 ×5 11165 ×5 102515 ×5 112665 ×5
  31. 31. 109A ×A 10A9A ×A 10AA9A ×A 19 ×5 1A9 ×5 1919 ×5 1AA9 ×5 19019 ×5 1AAA9 ×5 190019 ×5 191919 ×5 1A91A9 ×5 1AAAA9 ×5 14 ×3 28 ×3 154 ×3 2A8 ×3 1414 ×3 1554 ×3 1694 ×3 2828 ×3 2968 ×3 2AA8 ×3 14014 ×3 15554 ×3 16A94 ×3 28028 ×3 29568 ×3 2AAA8 ×3 140014 ×3 141414 ×3 142814 ×3 [11] 154154 ×3 155554 ×3 156954 ×3 168294 ×3 169694 ×3 16AA94 ×3 280028 ×3 281428 ×3 282828 ×3 294168 ×3 295568 ×3 296968 ×3 2A82A8 ×3 2A96A8 ×3 2AAAA8 ×3 37 ×2 3A7 ×2 3737 ×2 3AA7 ×2 37037 ×2 3AAA7 ×2 370037 ×2 373737 ×2 3A73A7 ×2 3AAAA7 ×2 118 ×7 1298 ×7 11918 ×7 12A98 ×7 118118 ×7 12AA98 ×7 10AB ×B 10BAB ×B 10BBAB ×B 219A ×5 21B9A ×5 21BB9A ×5 3289 ×3 32B89 ×3 32BB89 ×3 4378 ×2 43B78 ×2 43BB78 ×2 [12]
  32. 32. 10BC ×C 10CBC ×C 10CCBC ×C 1B ×6 1CB ×6 1B1B ×6 1CCB ×6 1B01B ×6 1CCCB ×6 1B001B ×6 1B1B1B ×6 1CB1CB ×6 1CCCCB ×6 [13] 18 ×5 198 ×5 1818 ×5 1998 ×5 18018 ×5 19998 ×5 180018 ×5 181818 ×5 198198 ×5 199998 ×5 10CD ×D 10DCD ×D 10DDCD ×D 21BC ×6 21DBC ×6 21DDBC ×6 2B ×4 2DB ×4 2B2B ×4 2DDB ×4 2B02B ×4 2DDDB ×4 2B002B ×4 2B2B2B ×4 2DB2DB ×4 2DDDDB ×4 [14] 49 ×2 4D9 ×2 4949 ×2 4DD9 ×2 49049 ×2 4DDD9 ×2 490049 ×2 494949 ×2 4D94D9 ×2 4DDDD9 ×2 1419B ×9 142C9B ×9 1A735 ×3 1A8C35 ×3
  33. 33. 10DE ×E 10EDE ×E 10EEDE ×E 32BC ×4 32EBC ×4 32EEBC ×4 549A ×2 54E9A ×2 54EE9A ×2 [15] 10EF ×F 10FEF ×F 10FFEF ×F 21DE ×7 21FDE ×7 21FFDE ×7 43BC ×3 43FBC ×3 43FFBC ×3 3B ×3 3EB ×3 3B3B ×3 3EEB ×3 3B03B ×3 3EEEB ×3 3B003B ×3 3B3B3B ×3 3EB3EB ×3 3EEEEB ×3 102B ×B 112DB ×B 103B2B ×B 113DDB ×B [16]1D ×7 1ED ×7 1D1D ×7 1EED ×7 1D01D ×7 1EEED ×7 1D001D ×7 1D1D1D ×7 1ED1ED ×7 1EEEED ×7
  34. 34. 10FG ×G 10GFG ×G 10GGFG ×G 1F ×8 1GF ×8 1F1F ×8 1GGF ×8 1F01F ×8 1GGGF ×8 1F001F ×8 1F1F1F ×8 1GF1GF ×8 1GGGGF ×8 259 ×4 27E9 ×4 25B59 ×4 27GE9 ×4 259259 ×4 27GGE9 ×4 17 ×5 2E ×5 187 ×5 2GE ×5 1717 ×5 1887 ×5 19F7 ×5 2E2E ×5 2F9E ×5 2GGE ×5 17017 ×5 18887 ×5 19GF7 ×5 2E02E ×5 2F89E ×5 2GGGE ×5 [17] 170017 ×5 171717 ×5 172E17 ×5 187187 ×5 188887 ×5 189F87 ×5 19E2F7 ×5 19F9F7 ×5 19GGF7 ×5 2E002E ×5 2E172E ×5 2E2E2E ×5 2G719E ×5 2F889E ×5 2F9F9E ×5 2GE2GE ×5 2GF9GE ×5 2GGGGE ×5 5B ×2 5GB ×2 5B5B ×2 5GGB ×2 5B05B ×2 5GGGB ×2 5B005B ×2 5B5B5B ×2 5GB5GB ×2 5GGGGB ×2 13C ×A 14FC ×A 13D3C ×A 14GFC ×A 13C13C ×A 14GGFC ×A 15CE ×B 10GH ×H 10HGH ×H 10HHGH ×H 21FG ×8 21HFG ×8 21HHFG ×8 32EF ×5 32HEF ×5 32HHEF ×5 65BC ×2 65HBC ×2 65HHBC ×2 1H35CD ×7 [18]
  35. 35. 10HI ×I 10IHI ×I 10IIHI ×I 1H ×9 1IH ×9 1H1H ×9 1IIH ×9 1H01H ×9 1IIIH ×9 1H001H ×9 1H1H1H ×9 1IH1IH ×9 1IIIIH ×9 15 ×4 2A ×4 3F ×4 165 ×4 2CA ×4 3IF ×4 1515 ×4 1665 ×4 17B5 ×4 18G5 ×4 2A2A ×4 2B7A ×4 2CCA ×4 2DHA ×4 3F3F ×4 3G8F ×4 3HDF ×4 3IIF ×4 15015 ×4 16665 ×4 17CB5 ×4 18IG5 ×4 2A02A ×4 [19] 2B67A ×4 2CCCA ×4 2DIHA ×4 3F03F ×4 3G68F ×4 3HCDF ×4 3IIIF ×4 150015 ×4 151515 ×4 152A15 ×4 153F15 ×4 165165 ×4 166665 ×4 167B65 ×4 168G65 ×4 17A2B5 ×4 17B7B5 ×4 17CCB5 ×4 17DHB5 ×4 18F3G5 ×4 18G8G5 ×4 18HDG5 ×4 18IIG5 ×4 2A002A ×4 2A152A ×4 2A2A2A ×4 2A3F2A ×4 2B517A ×4 2B667A ×4 2B7B7A ×4 2B8G7A ×4 2CA2CA ×4 2CB7CA ×4 2CCCCA ×4 2CDHCA ×4 2DF3HA ×4 2DG8HA ×4 2DHDHA ×4 2DIIHA ×4 3F003F ×4 3F153F ×4 3F2A3F ×4 3F3F3F ×4 3G518F ×4 3G668F ×4 3G7B8F ×4 27 ×3 4E ×3 297 ×3 4IE ×3 2727 ×3 2997 ×3 2BG7 ×3 4E4E ×3 4GBE ×3 4IIE ×3 27027 ×3 29997 ×3 2BIG7 ×3 4E04E ×3 4G9BE ×3 4IIIE ×3 270027 ×3 272727 ×3 274E27 ×3 297297 ×3 299997 ×3 29BG97 ×3 2BE4G7 ×3 2BGBG7 ×3 2BIIG7 ×3 4E004E ×3 4E274E ×3 4E4E4E ×3 4G72BE ×3 4G99BE ×3 4GBGBE ×3 4IE4IE ×3 4IGBIE ×3 4IIIIE ×3 23D ×6 25GD ×6 23F3D ×6 25IGD ×6 23D23D ×6 25IIGD ×6 12B8HF ×E 3G8G8F ×4 3HA2DF ×4 3HB7DF ×4 3HCCDF ×4 3HDHDF ×4 3IF3IF ×4 3IG8IF ×4 3IHDIF ×4 3IIIIF ×4 1B ×7 1CB ×7 1B1B ×7 1CCB ×7 1B01B ×7 1CCCB ×7 1B001B ×7 1B1B1B ×7 1CB1CB ×7 1CCCCB ×7
  36. 36. 10IJ ×J 10JIJ ×J 10JJIJ ×J 21HI ×9 21JHI ×9 21JJHI ×9 43FG ×4 43JFG ×4 43JJFG ×4 54EF ×3 54JEF ×3 54JJEF ×3 171CH ×D 172ICH ×D [20] 2H ×6 2JH ×6 2H2H ×6 2JJH ×6 2H02H ×6 2JJJH ×6 2H002H ×6 2H2H2H ×6 2JH2JH ×6 2JJJJH ×6 6D ×2 6JD ×2 6D6D ×2 6JJD ×2 6JJJD ×2 6D06D ×2 6D006D ×2 6D6D6D ×2 6JD6JD ×2 6JJJJD ×2 10JK ×K 10KJK ×K 10KKJK ×K 32HI ×6 32KHI ×6 32KKHI ×6 76DE ×2 76KDE ×2 76KKDE ×2 101D ×D 111ED ×D 102D1D ×D 112EED ×D [21] 1J ×A 1KJ ×A 1J1J ×A 1KKJ ×A 1J01J ×A 1KKKJ ×A 1J001J ×A 1J1J1J ×A 1KJ1KJ ×A 1KKKKJ ×A 2D ×5 2FD ×5 2D2D ×5 2FFD ×5 2D02D ×5 2FFFD ×5 2D002D ×5 2D2D2D ×5 2FD2FD ×5 2FFFFD ×5
  37. 37. 1種類のパターンに注目 37 [3]1012 ×2 10212 ×2 102212 ×2 1023 ×3 10323 ×3 103323 ×3 [4] [5] [6] [7] 1034 ×4 10434 ×4 104434 ×4 1045 ×5 10545 ×5 105545 ×5 1056 ×6 10656 ×6 106656 ×6 [8] [9] 1067 ×7 10767 ×7 107767 ×7 1078 ×8 10878 ×8 108878 ×8 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 [10] 109A ×A 10A9A ×A 10AA9A ×A [11] 10AB ×B 10BAB ×B 10BBAB ×B [12] 10BC ×C 10CBC ×C 10CCBC ×C [13] 10CD ×D 10DCD ×D 10DDCD ×D [14] 10DE ×E 10EDE ×E 10EEDE ×E [15] 10EF ×F 10FEF ×F 10FFEF ×F [16] 10FG ×G 10GFG ×G 10GGFG ×G [17] 10GH ×H 10HGH ×H 10HHGH ×H [18] 10HI ×I 10IHI ×I 10IIHI ×I [19] 10IJ ×J 10JIJ ×J 10JJIJ ×J [20] 10JK ×K 10KJK ×K 10KKJK ×K [21]
  38. 38. 法則が見えますか? 38 [3]1012 ×2 10212 ×2 102212 ×2 1023 ×3 10323 ×3 103323 ×3 [4] [5] [6] [7] 1034 ×4 10434 ×4 104434 ×4 1045 ×5 10545 ×5 105545 ×5 1056 ×6 10656 ×6 106656 ×6 [8] [9] 1067 ×7 10767 ×7 107767 ×7 1078 ×8 10878 ×8 108878 ×8 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 [10] 109A ×A 10A9A ×A 10AA9A ×A [11] 10AB ×B 10BAB ×B 10BBAB ×B [12] 10BC ×C 10CBC ×C 10CCBC ×C [13] 10CD ×D 10DCD ×D 10DDCD ×D [14] 10DE ×E 10EDE ×E 10EEDE ×E [15] 10EF ×F 10FEF ×F 10FFEF ×F [16] 10FG ×G 10GFG ×G 10GGFG ×G [17] 10GH ×H 10HGH ×H 10HHGH ×H [18] 10HI ×I 10IHI ×I 10IIHI ×I [19] 10IJ ×J 10JIJ ×J 10JJIJ ×J [20] 10JK ×K 10KJK ×K 10KKJK ×K [21]
  39. 39. 法則が見えますか? 39 [3]1012 ×2 10212 ×2 102212 ×2 1023 ×3 10323 ×3 103323 ×3 [4] [5] [6] [7] 1034 ×4 10434 ×4 104434 ×4 1045 ×5 10545 ×5 105545 ×5 1056 ×6 10656 ×6 106656 ×6 [8] [9] 1067 ×7 10767 ×7 107767 ×7 1078 ×8 10878 ×8 108878 ×8 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 [10] ・10で始まる ・一番下の位が n-1 ・下から二番目の位は n-2 ・かける数は n-1 ・真ん中に入る数字も n-1 n進法のとき
  40. 40. nであらわすと 40 [3]1012 ×2 10212 ×2 102212 ×2 1023 ×3 10323 ×3 103323 ×3 [4] [5] [6] [7] 1034 ×4 10434 ×4 104434 ×4 1045 ×5 10545 ×5 105545 ×5 1056 ×6 10656 ×6 106656 ×6 [8] [9] 1067 ×7 10767 ×7 107767 ×7 1078 ×8 10878 ×8 108878 ×8 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 [10] [n] 1 0 n-2 n-1 × (n-1) 1 0 n-1 n-2 n-1 × (n-1) 1 0 n-1 n-1 n-2 n-1 × (n-1)
  41. 41. 計算して確かめる 41 ① 4桁のとき = n-1 n-2 0 1 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×(n-1) = n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1 1 0 n-2 n-1 ×(n-1) ② (m+4)桁のとき 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 [10]
  42. 42. 42 n0=1の塊 n1の塊 n3の塊 {n3+(n-2)n+(n-1)} ×(n-1) =(n3+n2-2n+n-1) ×(n-1) =(n3+n2-n-1) ×(n-1) 1 0 n-2 n-1 ∴ 1 0 n-2 n-1 ×(n-1) = n-1 n-2 0 1 n-1 n-2 0 1 1n3+(n-2)n1+(n-1) =n4-2n2+1 =n4-n3+n3-2n2 +1 =n3(n-1)+n2(n-2)+1 =(n-1)n3+(n-2)n2+1 ① 4桁のとき 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 [10]
  43. 43. 43 (m+4)桁のとき n0=1の塊n1の塊nm+3の塊 {nm+3+(n-1)nm+1+…+(n-1)n2+(n-2)n+(n-1)} ×(n-1) ={nm+3+(nm+2-nm+1)+(nm+1-nm)+…+(n3-n2)+(n2-2n)+(n-1)} ×(n-1) =(nm+3+nm+2-n-1) ×(n-1) 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 nm+3+(n-1)nm+1+…+(n-1)n2+(n-2)n1+(n-1) ② (m+4)桁のとき nm+1の塊 n2の塊 m個 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 [10]
  44. 44. 44 =nm+4-nm+2-n2+1 =nm+4-nm+3+nm+3-nm+2-nm+2+nm+2-nm+1+nm+1+…-n3+n3-n2+1 =nm+4-nm+3+nm+3-2nm+2 +nm+2-nm+1+nm+1+…-n3+n3-n2+1 =(n-1)nm+3+(n-2)nm+2 +(n-1)nm+1 + … +(n-1)n2+1 ② (m+4)桁のとき (nm+3+nm+2-n-1) ×(n-1) n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1 ∴ 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×(n-1) = n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 [10]
  45. 45. まとめ:定理1 45 n進法のとき 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×(n-1) = n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1 謎がひとつ解けた! m個 m個
  46. 46. 進捗の確認(10進数まで) 46 [3] 1012 ×2 10212 ×2 102212 ×2 1023 ×3 10323 ×3 103323 ×3 [4] 1034 ×4 10434 ×4 104434 ×4 13 ×2 143 ×2 1313 ×2 1443 ×2 13013 ×2 14443 ×2 130013 ×2 131313 ×2 143143 ×2 144443 ×2 [5] 1045 ×5 10545 ×5 105545 ×5 2134 ×2 21534 ×2 215534 ×2 [6]
  47. 47. [8] [9] 1078 ×8 10878 ×8 108878 ×8 3256 ×2 32856 ×2 328856 ×2 17 ×4 187 ×4 1717 ×4 1887 ×4 17017 ×4 18887 ×4 170017 ×4 171717 ×4 187187 ×4 188887 ×4 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 2178 ×4 21978 ×4 219978 ×4 [10][7] 1056 ×6 10656 ×6 106656 ×6 15 ×3 165 ×3 1515 ×3 1665 ×3 15015 ×3 16665 ×3 150015 ×3 151515 ×3 165165 ×3 166665 ×3 1067 ×7 10767 ×7 107767 ×7 2156 ×3 21756 ×3 217756 ×3 25 ×2 275 ×2 2525 ×2 2775 ×2 25025 ×2 27775 ×2 250025 ×2 252525 ×2 275275 ×2 277775 ×2 1015 ×5 11165 ×5 102515 ×5 112665 ×5
  48. 48. 次は青に注目 48 [3] 1012 ×2 10212 ×2 102212 ×2 1023 ×3 10323 ×3 103323 ×3 [4] 1034 ×4 10434 ×4 104434 ×4 [5] 1045 ×5 10545 ×5 105545 ×5 [6] [7] [8] [9] 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 [10]1056 ×6 10656 ×6 106656 ×6 1067 ×7 10767 ×7 107767 ×7 1078 ×8 10878 ×8 108878 ×8 [6] [8] [9]2156 ×3 21756 ×3 217756 ×3 3256 ×2 32856 ×2 328856 ×2 2178 ×4 21978 ×4 219978 ×4 [10]2134 ×2 21534 ×2 215534 ×2
  49. 49. 次は青に注目 49 1045 ×5 10545 ×5 105545 ×5 [6] [8] [9] 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 [10]1067 ×7 10767 ×7 107767 ×7 1078 ×8 10878 ×8 108878 ×8 [6] [8] [9]2156 ×3 21756 ×3 217756 ×3 3256 ×2 32856 ×2 328856 ×2 2178 ×4 21978 ×4 219978 ×4 [10]2134 ×2 21534 ×2 215534 ×2 [6] [8] [9] [10] 1045 × 2 2134 1067 × 2 2156 1078 × 3 3256 1089 × 2 2178
  50. 50. 次は青に注目 50 [6] [8] [10] [6] [8] [10] [6] [8] [10] 1045 × 2 2134 1067 × 2 2156 [9] 1078 ×8 10878 ×8 108878 ×8 [9] 3256 ×2 32856 ×2 328856 ×2 [9] 1078 × 3 3256 1089 × 2 2178 1045 ×5 10545 ×5 105545 ×5 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 1067 ×7 10767 ×7 107767 ×7 2156 ×3 21756 ×3 217756 ×3 2178 ×4 21978 ×4 219978 ×4 2134 ×2 21534 ×2 215534 ×2
  51. 51. nであらわすと 51 [6] [8] [10][9] 3256 ×2 32856 ×2 328856 ×2 ・21で始まる ・一番下の位が n-2 ・下から二番目の位は n-3 (n進法のとき) ・かける数は (n-2)/2 ・真ん中に入る数字は n-1 [n] 2 1 n-3 n-2 × (n-2)/2 2 1 n-1 n-3 n-2 × (n-2)/2 2 1 n-1 n-1 n-3 n-2 × (n-2)/2 2156 ×3 21756 ×3 217756 ×3 2178 ×4 21978 ×4 219978 ×4 2134 ×2 21534 ×2 215534 ×2
  52. 52. こうなりそう① 52 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 = 2 1 n-1 … n-1 n-3 n-2 m個 n進法のとき m個 [10] 1089 × 2 2178
  53. 53. こうなりそう② 53 <定理1> n進法のとき 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×(n-1) = n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1m個 m個 <定理2?> n進法のとき 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 × m個 n-2 2 = n-2 n-3 n-1 … n-1 1 2 m個 2178 ×4 21978 ×4 219978 ×4 [10]
  54. 54. こうなりそう①の確認 54 [n] (m+4)桁のとき (ただし、mは0以上の整数) {nm+3+(n-1)nm+1+…+(n-1)n2+(n-2)n+(n-1)}×2 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 m個 =(nm+3+nm+2-2n+n-1)×2 =2nm+3+2nm+2-2n-2 =2nm+3+nm+2+nm+2+nm+1-nm+1+…+n2-n2+n-n-2n-2 =2nm+3+nm+2+(n-1)nm+1+…+(n-1)n2+n2-3n+n-2 =2nm+3+nm+2+(n-1)nm+1+…+(n-1)n2+(n-3)n+(n-2) m個 2 1 n-1 … n-1 n-3 n-2 予想的中! [10] 1089 × 2 2178
  55. 55. こうなりそう②の確認 55 [n] (m+4)桁のとき (ただし、mは0以上の整数) 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 × m個 n-2 2 m個 n-2 n-3 n-1 … n-1 1 2 (nm+3+nm+2-n-1)×2 × (n-2) 2 =(nm+3+nm+2-n-1)×(n-2) = nm+4-nm+3-2nm+2-n2+n+2 = nm+4-2nm+3+nm+3-3nm+2+nm+2-nm+1+nm+1+…-n3+n3-n2+n+2 =(n-2)nm+3+(n-3)nm+2+(n-1)nm+1+…+(n-1)n2+n+2 2178 ×4 21978 ×4 219978 ×4 [10] なった!
  56. 56. まとめ:定理2? 56 n進法のとき = 2 1 n-1 … n-1 n-3 n-2 × = n-2 n-3 n-1 … n-1 1 2 2178 ×4 21978 ×4 219978 ×4 [10] = 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 × n-2 2 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×(n-2) n-2 2
  57. 57. まとめ? 57 <定理1> n進法のとき 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×(n-1) = n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1m個 m個 <定理2?> n進法のとき 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 × m個 n-2 2 = n-2 n-3 n-1 … n-1 1 2 m個 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 [10] 2178 ×4 21978 ×4 219978 ×4 [10]
  58. 58. まとめ? 58 <定理1> n進法のとき 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×(n-1) = n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1 <定理2?> n進法のとき 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 × = n-2 n-3 n-1 … n-1 1 2 n-2 2
  59. 59. まとめ? 59 <定理1> n進法のとき 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×1 × = n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1 <定理2?> n進法のとき 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 × = n-2 n-3 n-1 … n-1 1 2 n-1 1 n-2 2
  60. 60. 統一定理k 60 <定理1> 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×1 × = n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1 <定理2?> 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×2 × = n-2 n-3 n-1 … n-1 1 2 n-1 1 n-2 2 <定理k?> 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×k × = n-k n-k-1 n-1 … n-1 k-1 k n-k k ・ ・ ・
  61. 61. こうなりそう① 61 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×k = k k-1 n-1 … n-1 n-k-1 n-k m個 n進法のとき m個
  62. 62. こうなりそう② 62 <定理1> n進法のとき 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×(n-1) = n-1 n-2 n-1 … n-1 0 1m個 m個 <定理k?> n進法のとき 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×k × m個 n-k k = n-k n-k-1 n-1 … n-1 k-1 k m個
  63. 63. こうなりそう①の確認 63 [n] (m+4)桁のとき (ただし、mは0以上の整数) {nm+3+(n-1)nm+1+…+(n-1)n2+(n-2)n+(n-1)}×k 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×k =(nm+3+nm+2-2n+n-1)×k =knm+3+knm+2-kn-k =knm+3+(k-1)nm+2+nm+2+nm+1-nm+1+…+n2-n2+n-n-kn-k m個 k k-1 n-1 … n-1 n-k-1 n-k =knm+3+(k-1)nm+2+(n-1)nm+1+…+(n-1)n2+n2+(-k-1)n+n-k =knm+3+nm+2+(n-1)nm+1+…+(n-1)n2+(n-k-1)n+(n-k) 予想的中!! m個
  64. 64. こうなりそう②の確認 64 [n] (m+4)桁のとき (ただし、mは0以上の整数) 1 0 n-1 … n-1 n-2 n-1 ×k × m個 n-k k m個 n-k n-k-1 n-1 … n-1 k-1 k (nm+3+nm+2-n-1)×k × n-k k =(nm+3+nm+2-n-1)×(n-k) = nm+4+(1-k)nm+3-knm+2-n2+(k-1)n+k =(n-k)nm+3+(n-k-1)nm+2+(n-1)nm+1+…+(n-1)n2+(k-1)n+k なった!!! = nm+4-knm+3+nm+3+(-k-1)nm+2+nm+2-nm+1+nm+1+…-n3+n3-n2+(k-1)n+k
  65. 65. まとめ:定理k 65 n進法のとき k k-1 n-1 … n-1 n-k-1 n-k × = n-k n-k-1 n-1 … n-1 k-1 k m個 m個 n-k k → kはnの約数で、1≦k< を満たす整数 n 2 ※2以上の整数であるための条件
  66. 66. まとめ:定理k 66 n進法のとき k k-1 n-1 … n-1 n-k-1 n-k × = n-k n-k-1 n-1 … n-1 k-1 k 完成!! m個 m個 n-k k ただし、kはnの約数で、1≦k< を満たす整数 n 2
  67. 67. 67 そういえば
  68. 68. これ 68 1045 ×5 10545 ×5 105545 ×5 [6] [8] 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 [10]1067 ×7 10767 ×7 107767 ×7 [6] [8] 2156 ×3 21756 ×3 217756 ×3 2178 ×4 21978 ×4 219978 ×4 [10]2134 ×2 21534 ×2 215534 ×2 [6] [8] [10] 1045 × 2 2134 1067 × 2 2156 [9] 1078 ×8 10878 ×8 108878 ×8 [9] 3256 ×2 32856 ×2 328856 ×2 [9] 1078 × 3 3256 1089 × 2 2178
  69. 69. 忘れてた 69 1045 ×5 10545 ×5 105545 ×5 [6] [8] [9] 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 [10]1067 ×7 10767 ×7 107767 ×7 1078 ×8 10878 ×8 108878 ×8 [6] [8] [9]2156 ×3 21756 ×3 217756 ×3 3256 ×2 32856 ×2 328856 ×2 2178 ×4 21978 ×4 219978 ×4 [10]2134 ×2 21534 ×2 215534 ×2 [6] [8] [9] [10] 1045 × 2 2134 1067 × 2 2156 1078 × 3 3256 1089 × 2 2178 かける数は n-3 3 かけられる数は 10〜型 ×3 つまりk=3のパターン!
  70. 70. 定理kの確認 70 [3] 1012 ×2 10212 ×2 102212 ×2 1023 ×3 10323 ×3 103323 ×3 [4] 1034 ×4 10434 ×4 104434 ×4 [5] 1045 ×5 10545 ×5 105545 ×5 2134 ×2 21534 ×2 215534 ×2 [6] [7] [8] 1056 ×6 10656 ×6 106656 ×6 1067 ×7 10767 ×7 107767 ×7 2156 ×3 21756 ×3 217756 ×3 [9] 1078 ×8 10878 ×8 108878 ×8 3256 ×2 32856 ×2 328856 ×2 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 2178 ×4 21978 ×4 219978 ×4 [10]
  71. 71. [11] 109A ×A 10A9A ×A 10AA9A ×A [12] 10AB ×B 10BAB ×B 10BBAB ×B 219A ×5 21B9A ×5 21BB9A ×5 3289 ×3 32B89 ×3 32BB89 ×3 4378 ×2 43B78 ×2 43BB78 ×2 10BC ×C 10CBC ×C 10CCBC ×C [13] 10CD ×D 10DCD ×D 10DDCD ×D 21BC ×6 21DBC ×6 21DDBC ×6 [14] 10DE ×E 10EDE ×E 10EEDE ×E 32BC ×4 32EBC ×4 32EEBC ×4 549A ×2 54E9A ×2 54EE9A ×2 [15] 10EF ×F 10FEF ×F 10FFEF ×F 21DE ×7 21FDE ×7 21FFDE ×7 43BC ×3 43FBC ×3 43FFBC ×3 [16] 10FG ×G 10GFG ×G 10GGFG ×G [17] 10GH ×H 10HGH ×H 10HHGH ×H 21FG ×8 21HFG ×8 21HHFG ×8 32EF ×5 32HEF ×5 32HHEF ×5 65BC ×2 65HBC ×2 65HHBC ×2 [18] 10HI ×I 10IHI ×I 10IIHI ×I [19] ほらね!! 10IJ ×J 10JIJ ×J 10JJIJ ×J 21HI ×9 21JHI ×9 21JJHI ×9 43FG ×4 43JFG ×4 43JJFG ×4 54EF ×3 54JEF ×3 54JJEF ×3 [20] 10JK ×K 10KJK ×K 10KKJK ×K 32HI ×6 32KHI ×6 32KKHI ×6 76DE ×2 76KDE ×2 76KKDE ×2 [21]
  72. 72. 72 (もうすぐ終わります)
  73. 73. 進捗の確認 73 [3] 1012 ×2 10212 ×2 102212 ×2 1023 ×3 10323 ×3 103323 ×3 [4] 1034 ×4 10434 ×4 104434 ×4 13 ×2 143 ×2 1313 ×2 1443 ×2 13013 ×2 14443 ×2 130013 ×2 131313 ×2 143143 ×2 144443 ×2 [5] 1045 ×5 10545 ×5 105545 ×5 2134 ×2 21534 ×2 215534 ×2 [6]
  74. 74. [8] [9] 1078 ×8 10878 ×8 108878 ×8 3256 ×2 32856 ×2 328856 ×2 17 ×4 187 ×4 1717 ×4 1887 ×4 17017 ×4 18887 ×4 170017 ×4 171717 ×4 187187 ×4 188887 ×4 1089 ×9 10989 ×9 109989 ×9 2178 ×4 21978 ×4 219978 ×4 [10][7] 1056 ×6 10656 ×6 106656 ×6 15 ×3 165 ×3 1515 ×3 1665 ×3 15015 ×3 16665 ×3 150015 ×3 151515 ×3 165165 ×3 166665 ×3 1067 ×7 10767 ×7 107767 ×7 2156 ×3 21756 ×3 217756 ×3 25 ×2 275 ×2 2525 ×2 2775 ×2 25025 ×2 27775 ×2 250025 ×2 252525 ×2 275275 ×2 277775 ×2 1015 ×5 11165 ×5 102515 ×5 112665 ×5 74
  75. 75. 109A ×A 10A9A ×A 10AA9A ×A 19 ×5 1A9 ×5 1919 ×5 1AA9 ×5 19019 ×5 1AAA9 ×5 190019 ×5 191919 ×5 1A91A9 ×5 1AAAA9 ×5 14 ×3 28 ×3 154 ×3 2A8 ×3 1414 ×3 1554 ×3 1694 ×3 2828 ×3 2968 ×3 2AA8 ×3 14014 ×3 15554 ×3 16A94 ×3 28028 ×3 29568 ×3 2AAA8 ×3 140014 ×3 141414 ×3 142814 ×3 [11] 154154 ×3 155554 ×3 156954 ×3 168294 ×3 169694 ×3 16AA94 ×3 280028 ×3 281428 ×3 282828 ×3 294168 ×3 295568 ×3 296968 ×3 2A82A8 ×3 2A96A8 ×3 2AAAA8 ×3 37 ×2 3A7 ×2 3737 ×2 3AA7 ×2 37037 ×2 3AAA7 ×2 370037 ×2 373737 ×2 3A73A7 ×2 3AAAA7 ×2 118 ×7 1298 ×7 11918 ×7 12A98 ×7 118118 ×7 12AA98 ×7 10AB ×B 10BAB ×B 10BBAB ×B 219A ×5 21B9A ×5 21BB9A ×5 3289 ×3 32B89 ×3 32BB89 ×3 4378 ×2 43B78 ×2 43BB78 ×2 [12]
  76. 76. 10BC ×C 10CBC ×C 10CCBC ×C 1B ×6 1CB ×6 1B1B ×6 1CCB ×6 1B01B ×6 1CCCB ×6 1B001B ×6 1B1B1B ×6 1CB1CB ×6 1CCCCB ×6 [13] 18 ×5 198 ×5 1818 ×5 1998 ×5 18018 ×5 19998 ×5 180018 ×5 181818 ×5 198198 ×5 199998 ×5 10CD ×D 10DCD ×D 10DDCD ×D 21BC ×6 21DBC ×6 21DDBC ×6 2B ×4 2DB ×4 2B2B ×4 2DDB ×4 2B02B ×4 2DDDB ×4 2B002B ×4 2B2B2B ×4 2DB2DB ×4 2DDDDB ×4 [14] 49 ×2 4D9 ×2 4949 ×2 4DD9 ×2 49049 ×2 4DDD9 ×2 490049 ×2 494949 ×2 4D94D9 ×2 4DDDD9 ×2 1419B ×9 142C9B ×9 1A735 ×3 1A8C35 ×3
  77. 77. 10DE ×E 10EDE ×E 10EEDE ×E 32BC ×4 32EBC ×4 32EEBC ×4 549A ×2 54E9A ×2 54EE9A ×2 [15] 10EF ×F 10FEF ×F 10FFEF ×F 21DE ×7 21FDE ×7 21FFDE ×7 43BC ×3 43FBC ×3 43FFBC ×3 3B ×3 3EB ×3 3B3B ×3 3EEB ×3 3B03B ×3 3EEEB ×3 3B003B ×3 3B3B3B ×3 3EB3EB ×3 3EEEEB ×3 102B ×B 112DB ×B 103B2B ×B 113DDB ×B [16]1D ×7 1ED ×7 1D1D ×7 1EED ×7 1D01D ×7 1EEED ×7 1D001D ×7 1D1D1D ×7 1ED1ED ×7 1EEEED ×7
  78. 78. 10FG ×G 10GFG ×G 10GGFG ×G 1F ×8 1GF ×8 1F1F ×8 1GGF ×8 1F01F ×8 1GGGF ×8 1F001F ×8 1F1F1F ×8 1GF1GF ×8 1GGGGF ×8 259 ×4 27E9 ×4 25B59 ×4 27GE9 ×4 259259 ×4 27GGE9 ×4 17 ×5 2E ×5 187 ×5 2GE ×5 1717 ×5 1887 ×5 19F7 ×5 2E2E ×5 2F9E ×5 2GGE ×5 17017 ×5 18887 ×5 19GF7 ×5 2E02E ×5 2F89E ×5 2GGGE ×5 [17] 170017 ×5 171717 ×5 172E17 ×5 187187 ×5 188887 ×5 189F87 ×5 19E2F7 ×5 19F9F7 ×5 19GGF7 ×5 2E002E ×5 2E172E ×5 2E2E2E ×5 2G719E ×5 2F889E ×5 2F9F9E ×5 2GE2GE ×5 2GF9GE ×5 2GGGGE ×5 5B ×2 5GB ×2 5B5B ×2 5GGB ×2 5B05B ×2 5GGGB ×2 5B005B ×2 5B5B5B ×2 5GB5GB ×2 5GGGGB ×2 13C ×A 14FC ×A 13D3C ×A 14GFC ×A 13C13C ×A 14GGFC ×A 15CE ×B 10GH ×H 10HGH ×H 10HHGH ×H 21FG ×8 21HFG ×8 21HHFG ×8 32EF ×5 32HEF ×5 32HHEF ×5 65BC ×2 65HBC ×2 65HHBC ×2 1H35CD ×7 [18]
  79. 79. 10HI ×I 10IHI ×I 10IIHI ×I 1H ×9 1IH ×9 1H1H ×9 1IIH ×9 1H01H ×9 1IIIH ×9 1H001H ×9 1H1H1H ×9 1IH1IH ×9 1IIIIH ×9 15 ×4 2A ×4 3F ×4 165 ×4 2CA ×4 3IF ×4 1515 ×4 1665 ×4 17B5 ×4 18G5 ×4 2A2A ×4 2B7A ×4 2CCA ×4 2DHA ×4 3F3F ×4 3G8F ×4 3HDF ×4 3IIF ×4 15015 ×4 16665 ×4 17CB5 ×4 18IG5 ×4 2A02A ×4 [19] 2B67A ×4 2CCCA ×4 2DIHA ×4 3F03F ×4 3G68F ×4 3HCDF ×4 3IIIF ×4 150015 ×4 151515 ×4 152A15 ×4 153F15 ×4 165165 ×4 166665 ×4 167B65 ×4 168G65 ×4 17A2B5 ×4 17B7B5 ×4 17CCB5 ×4 17DHB5 ×4 18F3G5 ×4 18G8G5 ×4 18HDG5 ×4 18IIG5 ×4 2A002A ×4 2A152A ×4 2A2A2A ×4 2A3F2A ×4 2B517A ×4 2B667A ×4 2B7B7A ×4 2B8G7A ×4 2CA2CA ×4 2CB7CA ×4 2CCCCA ×4 2CDHCA ×4 2DF3HA ×4 2DG8HA ×4 2DHDHA ×4 2DIIHA ×4 3F003F ×4 3F153F ×4 3F2A3F ×4 3F3F3F ×4 3G518F ×4 3G668F ×4 3G7B8F ×4 27 ×3 4E ×3 297 ×3 4IE ×3 2727 ×3 2997 ×3 2BG7 ×3 4E4E ×3 4GBE ×3 4IIE ×3 27027 ×3 29997 ×3 2BIG7 ×3 4E04E ×3 4G9BE ×3 4IIIE ×3 270027 ×3 272727 ×3 274E27 ×3 297297 ×3 299997 ×3 29BG97 ×3 2BE4G7 ×3 2BGBG7 ×3 2BIIG7 ×3 4E004E ×3 4E274E ×3 4E4E4E ×3 4G72BE ×3 4G99BE ×3 4GBGBE ×3 4IE4IE ×3 4IGBIE ×3 4IIIIE ×3 23D ×6 25GD ×6 23F3D ×6 25IGD ×6 23D23D ×6 25IIGD ×6 12B8HF ×E 3G8G8F ×4 3HA2DF ×4 3HB7DF ×4 3HCCDF ×4 3HDHDF ×4 3IF3IF ×4 3IG8IF ×4 3IHDIF ×4 3IIIIF ×4 1B ×7 1CB ×7 1B1B ×7 1CCB ×7 1B01B ×7 1CCCB ×7 1B001B ×7 1B1B1B ×7 1CB1CB ×7 1CCCCB ×7
  80. 80. 10IJ ×J 10JIJ ×J 10JJIJ ×J 21HI ×9 21JHI ×9 21JJHI ×9 43FG ×4 43JFG ×4 43JJFG ×4 54EF ×3 54JEF ×3 54JJEF ×3 171CH ×D 172ICH ×D [20] 2H ×6 2JH ×6 2H2H ×6 2JJH ×6 2H02H ×6 2JJJH ×6 2H002H ×6 2H2H2H ×6 2JH2JH ×6 2JJJJH ×6 6D ×2 6JD ×2 6D6D ×2 6JJD ×2 6JJJD ×2 6D06D ×2 6D006D ×2 6D6D6D ×2 6JD6JD ×2 6JJJJD ×2 10JK ×K 10KJK ×K 10KKJK ×K 32HI ×6 32KHI ×6 32KKHI ×6 76DE ×2 76KDE ×2 76KKDE ×2 101D ×D 111ED ×D 102D1D ×D 112EED ×D [21] 1J ×A 1KJ ×A 1J1J ×A 1KKJ ×A 1J01J ×A 1KKKJ ×A 1J001J ×A 1J1J1J ×A 1KJ1KJ ×A 1KKKKJ ×A 2D ×5 2FD ×5 2D2D ×5 2FFD ×5 2D02D ×5 2FFFD ×5 2D002D ×5 2D2D2D ×5 2FD2FD ×5 2FFFFD ×5
  81. 81. 未解決問題 81 [5] 13 ×2 143 ×2 1313 ×2 1443 ×2 13013 ×2 14443 ×2 130013 ×2 131313 ×2 143143 ×2 144443 ×2 1300013 ×2 1314313 ×2 1430143 ×2 1444443 ×2 [7] [8] [9]15 ×3 165 ×3 1515 ×3 1665 ×3 15015 ×3 16665 ×3 150015 ×3 151515 ×3 165165 ×3 166665 ×3 17 ×4 187 ×4 1717 ×4 1887 ×4 17017 ×4 18887 ×4 170017 ×4 171717 ×4 187187 ×4 188887 ×4 25 ×2 275 ×2 2525 ×2 2775 ×2 25025 ×2 27775 ×2 250025 ×2 252525 ×2 275275 ×2 277775 ×2 1015 ×5 11165 ×5 102515 ×5 112665 ×5
  82. 82. 15 ×3 165 ×3 1515 ×3 1665 ×3 15015 ×3 16665 ×3 150015 ×3 151515 ×3 165165 ×3 166665 ×3 25 ×2 275 ×2 2525 ×2 2775 ×2 25025 ×2 27775 ×2 250025 ×2 252525 ×2 275275 ×2 277775 ×2 1015 ×5 11165 ×5 102515 ×5 112665 ×5 未解決問題 82 [5] 13 ×2 143 ×2 1313 ×2 1443 ×2 13013 ×2 14443 ×2 130013 ×2 131313 ×2 143143 ×2 144443 ×2 1300013 ×2 1314313 ×2 1430143 ×2 1444443 ×2 [7] [8] [9] 17 ×4 187 ×4 1717 ×4 1887 ×4 17017 ×4 18887 ×4 170017 ×4 171717 ×4 187187 ×4 188887 ×4 つづきは自分で やってみてください
  83. 83. まとめ:1089の楽しみ方 83 ・数字の性質を見つける ・似たような法則を持った数字を具体的に探す ・似たような形をしたものを集める ・文字を使って一般化してみる ・自分なりの定理が見つかる ・楽しい
  84. 84. 84 <おまけ> 結果一覧 特別に7桁まで!
  85. 85. [3] 1012 ×2 10212 ×2 102212 ×2 1021212 ×2 1023 ×3 10323 ×3 103323 ×3 1033323 ×3 [4] 13 ×2 143 ×2 1034 ×4 1313 ×2 1443 ×2 10434 ×4 13013 ×2 14443 ×2 104434 ×4 130013 ×2 131313 ×2 143143 ×2 144443 ×2 1044434 ×4 1300013 ×2 1314313 ×2 1430143 ×2 1444443 ×2 [5] 1045 ×5 2134 ×2 10545 ×5 21534 ×2 105545 ×5 215534 ×2 1055545 ×5 2155534 ×2 [6] [7] 15 ×3 165 ×3 1056 ×6 1515 ×3 1665 ×3 10656 ×6 15015 ×3 16665 ×3 106656 ×6 150015 ×3 151515 ×3 165165 ×3 166665 ×3 1066656 ×6 1500015 ×3 1516515 ×3 1650165 ×3 1666665 ×3
  86. 86. [8] [9]25 ×2 275 ×2 1015 ×5 1067 ×7 2156 ×3 2525 ×2 2775 ×2 10767 ×7 11165 ×5 21756 ×3 25025 ×2 27775 ×2 102515 ×5 107767 ×7 112665 ×5 217756 ×3 250025 ×2 252525 ×2 275275 ×2 277775 ×2 17 ×4 187 ×4 1078 ×8 1717 ×4 1887 ×4 3256 ×2 10878 ×8 17017 ×4 18887 ×4 32856 ×2 108878 ×8 170017 ×4 171717 ×4 187187 ×4 188887 ×4 328856 ×2 1088878 ×8 1700017 ×4 1718717 ×4 1870187 ×4 1089 ×9 2178 ×4 10989 ×9 21978 ×4 109989 ×9 219978 ×4 1099989 ×9 2199978 ×4 [10] 1016015 ×5 1077767 ×7 1127665 ×5 2177756 ×3 2500025 ×2 2527525 ×2 2750275 ×2 2777775 ×2 1888887 ×4 3288856 ×2
  87. 87. 14 ×3 19 ×5 28 ×3 37 ×2 118 ×7 154 ×3 1A9 ×5 2A8 ×3 3A7 ×2 109A ×A 1298 ×7 1414 ×3 1554 ×3 1694 ×3 1919 ×5 1AA9 ×5 2828 ×3 2968 ×3 2AA8 ×3 3737 ×2 3AA7 ×2 10A9A ×A 11918 ×7 12A98 ×7 14014 ×3 15554 ×3 16A94 ×3 19019 ×5 1AAA9 ×5 28028 ×3 29568 ×3 2AAA8 ×3 37037 ×2 3AAA7 ×2 10AA9A ×A 118118 ×7 12AA98 ×7 140014 ×3 141414 ×3 142814 ×3 [11] 154154 ×3 155554 ×3 156954 ×3 168294 ×3 169694 ×3 16AA94 ×3 190019 ×5 191919 ×5 1A91A9 ×5 1AAAA9 ×5 280028 ×3 281428 ×3 282828 ×3 294168 ×3 295568 ×3 296968 ×3 2A82A8 ×3 2A96A8 ×3 2AAAA8 ×3 370037 ×2 373737 ×2 3A73A7 ×2 3AAAA7 ×2 10AAA9A ×A 1180118 ×7 1191918 ×7 1299298 ×7 12AAA98 ×7 1400014 ×3 1415414 ×3 142A814 ×3 1540154 ×3 1555554 ×3 156A954 ×3 1680294 ×3 1695694 ×3 16AAA94 ×3 1900019 ×5 191A919 ×5 1A901A9 ×5 1AAAAA9 ×5 2800028 ×3 2815428 ×3 282A828 ×3 2940168 ×3 2955568 ×3 296A968 ×3 2A802A8 ×3 2A956A8 ×3 2AAAAA8 ×3 3700037 ×2 373A737 ×2 3A703A7 ×2 3AAAAA7 ×2
  88. 88. 10AB ×B 219A ×5 3289 ×3 4378 ×2 10BAB ×B 21B9A ×5 32B89 ×3 43B78 ×2 10BBAB ×B 21BB9A ×5 32BB89 ×3 43BB78 ×2 10BBBAB ×B 21BBB9A ×5 32BBB89 ×3 43BBB78 ×2 [12] 18 ×5 1B ×6 198 ×5 1CB ×6 10BC ×C 1818 ×5 1998 ×5 1B1B ×6 1CCB ×6 10CBC ×C 18018 ×5 19998 ×5 1B01B ×6 1CCCB ×6 10CCBC ×C 180018 ×5 181818 ×5 198198 ×5 199998 ×5 1B001B ×6 [13] 1B1B1B ×6 1CB1CB ×6 1CCCCB ×6 10BBBAB ×B 1800018 ×5 1819818 ×5 1980198 ×5 1999998 ×5 1B0001B ×6 1B1CB1B ×6 1CB01CB ×6 1CCCCCB ×6 2DB ×4 4D9 ×2 10CD ×D 21BC ×6 2B2B ×4 2DDB ×4 4949 ×2 4DD9 ×2 10DCD ×D 1419B ×9 1A735 ×3 21DBC ×6 2B02B ×4 2DDDB ×4 49049 ×2 4DDD9 ×2 10DDCD ×D 142C9B ×9 1A8C35 ×3 21DDBC ×6 [14] 2B002B ×4 2B2B2B ×4 2DB2DB ×4 2DDDDB ×4 490049 ×2 494949 ×2 4D94D9 ×2 4DDDD9 ×2 10DDDCD ×D 142DC9B ×9 1A8DC35 ×3 21DDDBC ×6 2B0002B ×4 2B2DB2B ×4 2DB02DB ×4 2DDDDDB ×4 4900049 ×2 494D949 ×2 4D904D9 ×2 4DDDDD9 ×2 2B ×4 49 ×2
  89. 89. 1D ×7 3B ×3 1ED ×7 3EB ×3 102B ×B 10DE ×E 1D1D ×7 1EED ×7 32BC ×4 3B3B ×3 3EEB ×3 549A ×2 10EDE ×E 112DB ×B 1D01D ×7 1EEED ×7 32EBC ×4 3B03B ×3 3EEEB ×3 54E9A ×2 [15] 10EF ×F 21DE ×7 43BC ×3 10FEF ×F 21FDE ×7 43FBC ×3 10FFEF ×F 21FFDE ×7 43FFBC ×3 10FFFEF ×F 21FFFDE ×7 43FFFBC ×3 103B2B ×B 10EEDE ×E 113DDB ×B 1D001D ×7 1D1D1D ×7 1ED1ED ×7 1EEEED ×7 32EEBC ×4 3B003B ×3 3B3B3B ×3 3EB3EB ×3 3EEEEB ×3 54EE9A ×2 102C02B ×B 10EEEDE ×E 113EDDB ×B 1D0001D ×7 1D1ED1D ×7 1ED01ED ×7 1EEEEED ×7 [16]32EEEBC ×4 3B0003B ×3 3B3EB3B ×3 3EB03EB ×3 3EEEEEB ×3 54EEE9A ×2
  90. 90. 17 ×5 1F ×8 2E ×5 5B ×2 13C ×A 187 ×5 1GF ×8 259 ×4 2GE ×5 5GB ×2 10FG ×G 14FC ×A 15CE ×B 1717 ×5 1887 ×5 19F7 ×5 1F1F ×8 1GGF ×8 27E9 ×4 2E2E ×5 2F9E ×5 2GGE ×5 5B5B ×2 5GGB ×2 10GFG ×G 13D3C ×A 14GFC ×A 17017 ×5 18887 ×5 19GF7 ×5 1F01F ×8 1GGGF ×8 25B59 ×4 27GE9 ×4 2E02E ×5 2F89E ×5 2GGGE ×5 5B05B ×2 [17] 5GGGB ×2 10GGFG ×G 13C13C ×A 14GGFC ×A 170017 ×5 171717 ×5 172E17 ×5 187187 ×5 188887 ×5 189F87 ×5 19E2F7 ×5 19F9F7 ×5 19GGF7 ×5 1F001F ×8 1F1F1F ×8 1GF1GF ×8 1GGGGF ×8 259259 ×4 27GGE9 ×4 2E002E ×5 2E172E ×5 2E2E2E ×5 2G719E ×5 2F889E ×5 2F9F9E ×5 2GE2GE ×5 2GF9GE ×5 2GGGGE ×5 5B005B ×2 5B5B5B ×2 5GB5GB ×2 5GGGGB ×2 10GGGFG ×G 13C013C ×A 13D3D3C ×A 14FD4FC ×A 14GGGFC ×A 15CF5CE ×B 1700017 ×5 1718717 ×5 172GE17 ×5 1870187 ×5 1888887 ×5 189GF87 ×5 19E02F7 ×5 19F89F7 ×5 19GGGF7 ×5 1F0001F ×8 1F1GF1F ×8 1GF01GF ×8 1GGGGGF ×8 2590259 ×4 25B5B59 ×4 27EB7E9 ×4 27GGGE9 ×4 2E0002E ×5 2E1872E ×5 2E2GE2E ×5 2F7019E ×5 2F8889E ×5 2F9GF9E ×5 2GE02GE ×5 2GF89GE ×5 2GGGGGE ×5 5B0005B ×2 5B5GB5B ×2 5GB05GB ×2 5GGGGGB ×2
  91. 91. 10GH ×H 21FG ×8 32EF ×5 65BC ×2 10HGH ×H 21HFG ×8 32HEF ×5 65HBC ×2 10HHGH ×H 1H35CD ×7 21HHFG ×8 32HHEF ×5 65HHBC ×2 10HHHGH ×H (6桁まで) [18]
  92. 92. 15 ×4 1B ×7 1H ×9 27 ×3 2A ×4 3F ×4 4E ×3 165 ×4 1CB ×7 1IH ×9 23D ×6 297 ×3 2CA ×4 3IF ×4 4IE ×3 10HI ×I 1515 ×4 1665 ×4 17B5 ×4 18G5 ×4 1B1B ×7 1CCB ×7 1H1H ×9 1IIH ×9 25GD ×6 2727 ×3 2997 ×3 2A2A ×4 2B7A ×4 2BG7 ×3 2CCA ×4 2DHA ×4 3F3F ×4 3G8F ×4 3HDF ×4 3IIF ×4 4E4E ×3 4GBE ×3 4IIE ×3 [19] 10IHI ×I 15015 ×4 16665 ×4 17CB5 ×4 18IG5 ×4 1B01B ×7 1CCCB ×7 1H01H ×9 1IIIH ×9 23F3D ×6 25IGD ×6 27027 ×3 29997 ×3 2A02A ×4 2B67A ×4 2BIG7 ×3 2CCCA ×4 2DIHA ×4 3F03F ×4 3G68F ×4 3HCDF ×4 3IIIF ×4 4E04E ×3 4G9BE ×3 4IIIE ×3 10IIHI ×I 12B8HF ×E 150015 ×4 151515 ×4 152A15 ×4 153F15 ×4 165165 ×4 166665 ×4 167B65 ×4 168G65 ×4 17A2B5 ×4 17B7B5 ×4 17CCB5 ×4 17DHB5 ×4 18F3G5 ×4 18G8G5 ×4 18HDG5 ×4 18IIG5 ×4 1B001B ×7 1B1B1B ×7 1CB1CB ×7 1CCCCB ×7 1H001H ×9 1H1H1H ×9 1IH1IH ×9 1IIIIH ×9 23D23D ×6 25IIGD ×6 270027 ×3 272727 ×3 274E27 ×3 297297 ×3 299997 ×3 29BG97 ×3 2A002A ×4 2A152A ×4 2A2A2A ×4 2A3F2A ×4 3G7B8F ×4 3G8G8F ×4 3HA2DF ×4 3HB7DF ×4 3HCCDF ×4 3HDHDF ×4 3IF3IF ×4 3IG8IF ×4 3IHDIF ×4 3IIIIF ×4 4E004E ×3 4E274E ×3 4E4E4E ×3 4G72BE ×3 4G99BE ×3 4GBGBE ×3 4IE4IE ×3 4IGBIE ×3 4IIIIE ×3 (6桁まで) 2B517A ×4 2B667A ×4 2B7B7A ×4 2B8G7A ×4 2BE4G7 ×3 2BGBG7 ×3 2BIIG7 ×3 2CA2CA ×4 2CB7CA ×4 2CCCCA ×4 2CDHCA ×4 2DF3HA ×4 2DG8HA ×4 2DHDHA ×4 2DIIHA ×4 3F003F ×4 3F153F ×4 3F2A3F ×4 3F3F3F ×4 3G518F ×4 3G668F ×4
  93. 93. 2H ×6 6D ×2 2JH ×6 6JD ×2 10IJ ×J 21HI ×9 2H2H ×6 2JJH ×6 43FG ×4 54EF ×3 6D6D ×2 6JJD ×2 10JIJ ×J 171CH ×D 21JHI ×9 2H02H ×6 2JJJH ×6 43JFG ×4 54JEF ×3 6D06D ×2 [20] 6JJJD ×2 10JJIJ ×J 172ICH ×D 21JJHI ×9 2H002H ×6 2H2H2H ×6 2JH2JH ×6 2JJJJH ×6 43JJFG ×4 54JJEF ×3 6D006D ×2 6D6D6D ×2 6JD6JD ×2 6JJJJD ×2 (6桁まで) 1J ×A 2D ×5 1KJ ×A 2FD ×5 101D ×D 10JK ×K 1J1J ×A 1KKJ ×A 2D2D ×5 2FFD ×5 32HI ×6 76DE ×2 10KJK ×K 111ED ×D 1J01J ×A 1KKKJ ×A 2D02D ×5 2FFFD ×5 32KHI ×6 76KDE ×2 [21] 102D1D ×D 10KKJK ×K 112EED ×D 1J001J ×A 1J1J1J ×A 1KJ1KJ ×A 1KKKKJ ×A 2D002D ×5 2D2D2D ×5 2FD2FD ×5 2FFFFD ×5 32KKHI ×6 76KKDE ×2 (6桁まで)

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