Bayes

11,031 views

Published on

0 Comments
6 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
11,031
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
263
Actions
Shares
0
Downloads
228
Comments
0
Likes
6
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Bayes

  1. 1. Si A 1, A 2 ,... , An son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 ... A n =E). Y B es otro suceso. Resulta que: Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades apriori. Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades aposteriori. Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes. Ejemplos El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puestodirectivo y el 50% de l os economistas también, mientras que los noingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puestodirectivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivoelegido al azar sea ingeniero? La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica quedispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí seha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de quesuene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es l aprobabilidad de que no haya habido ningún incidente?
  2. 2. Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma. Teorema de BayesEl teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer lasprobabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque lasprobabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indicacomo modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.Ejemplo: Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97.Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamosque al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l,lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas.¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética?La respuesta que nos dá el teorema de bayes es que esa información adicional hace quela probabilidad sea ahora 0,595.Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar, laprobabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595.Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, estainformación modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso laprobabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.Probabilidad total. Teorema de Bayes
  3. 3. Ejemplos
  4. 4. Teorema de BayesEl Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teoremade la probabilidad total:Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad deque llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra unaccidente).Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente)deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentarexplicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que esteteorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:a) Que llueva: probabilidad del 50%.b) Que nieve: probabilidad del 30%
  5. 5. c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es lasiguiente:a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemosque tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estasprobabilidades:Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente sedenominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el10%).Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidadesdel suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan"probabilidades a posteriori".Vamos a aplicar la fórmula:a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad aposteriori) es del 71,4%.b) Probabilidad de que estuviera nevando:La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.c) Probabilidad de que hubiera niebla:La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%EnunciadoSean sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurrealguno de ellos, y sea un suceso cualquiera del que se conocen las
  6. 6. probabilidades condicionales Entonces las probabilidades vienen dadas por la expresión:DemostraciónPor definición de probabilidad condicionadadespejando , se tiene:La probabilidad , por el teorema de la probabilidad total, es igual aSustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.EjemploTenemos tres urnas: con tres bolas rojas y cinco negras, con dos bolas rojas yuna negra y con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar yextraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sidoextraída de la urna ?Llamamos al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es .Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
  7. 7. Ejercicio 8-1:Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total delas piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estasmáquinas son del 3%, 4% y 5%. a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?Solución:Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no esdefectuosa". La información del problema puedeexpresarse en el diagrama de árbol adjunto. a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total, P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) = = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038 b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes, c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:
  8. 8. Ejercicio 8-2:Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y Ccon 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si labola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?Solución:Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bolanegra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verselas distintas probabilidades de ocurrencia de lossucesos R o N para cada una de las tres urnas.La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando elteorema de Bayes, tenemos:

×