Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

2,578 views

Published on

Published in: Art & Photos
  • I can advise you this service - ⇒ www.HelpWriting.net ⇐ Bought essay here. No problem.
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

  1. 1. σελ. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ σημασία της μουσικής για την καθημερινή ζωή των αρχαίων Ελλήνων είναι αναμφισβήτητη. Οι πληροφορίες που αντλούμε από τους μουσικογράφους αλλά και από μια πληθώρα άλλων πηγών της αρχαίας ελληνικής γραμματείας (κείμενα φιλοσοφικά, ιστορικά, ποιητικά και άλλα) είναι υπεραρκετές για να πειστούμε ότι δεν υπήρχε καμία εκδήλωση της ζωής των αρχαίων Ελλήνων που να μην συνοδευόταν από μουσική. Όλες οι θρησκευτικές τελετές – θυσίες, σπονδές, πομπές – είχαν τα τραγούδια τους. Στις μεγάλες γιορτές γίνονταν παραστάσεις δράματος, όπου συμμετείχαν πολλοί μουσικοί. Ακόμη και στους αθλητικούς αγώνες συχνά υπήρχαν παράλληλοι μουσικοί διαγωνισμοί. Αλλά και οι στιγμές της ιδιωτικής ζωής των πολιτών δεν ήταν χωρίς μουσική. Υπήρχαν ειδικά τραγούδια για τα πολύ σημαντικά γεγονότα της ζωής, όπως είναι ο γάμος ή ο θάνατος, αλλά και για καθημερινές ασχολίες, όπως οι αγροτικές εργασίες, ή για εξαιρετικές περιπτώσεις, όπως τα συμπόσια. Η μουσική ήταν πανταχού παρούσα. Αν και μέσα από μια πληθώρα θεωρητικών κειμένων μπορούμε να αντλήσουμε πολλές πληροφορίες για το είδος και τη δομή της αρχαίας ελληνικής μουσικής, μας λείπει το πιο ουσιαστικό, η ίδια η μουσική, αφού έχει χαθεί ο ήχος, στοιχείο απολύτως απαραίτητο για την ύπαρξή της. Ωστόσο, κρίνεται σκόπιμο να διευκρινίσουμε σε τι είδους μουσική αναφερόμαστε, μια και η αντίληψη που είχαν οι αρχαίοι Έλληνες για τη μουσική δεν ταυτίζεται με αυτή που έχουμε εμείς σήμερα. Όταν μιλάμε για μουσική στη δυτικοευρωπαϊκή παράδοση, σκεφτόμαστε κατά πρώτο λόγο την οργανική μουσική που συνοδεύει κάποιο τραγούδι. Τέτοιου είδους μουσική, τουλάχιστον μέχρι και την εποχή του Πλάτωνα, ήταν αδιανόητη. Γι’ αυτούς, ο όρος «μουσική» είχε πολύ ευρύτερο περιεχόμενο και αναφερόταν σε ένα είδος τέχνης που ήταν συνδυασμός λόγου, μελωδίας και κίνησης. Η αλληλεπίδραση της μουσικής και της ποίησης ήταν τόσο μεγάλη και τόσο ζωντανή για τους Έλληνες, ώστε η εσωτερική συνένωση της τέχνης του ήχου και της ποίησης αποτελεί την ουσιαστική έννοια της μουσικής. «Μουσική», επομένως, ήταν μια πρωταρχική και αδιάλυτη ενότητα μουσικής και λόγου στο στίχο, φαινόμενο που σήμερα δεν υπάρχει πια. Από την άλλη μεριά, όταν σήμερα μιλάμε για μουσική, έχουμε κατά νου τρία δομικά στοιχεία: τη μελωδία, το ρυθμό και την αρμονία. Ωστόσο, στην αρχαία ελληνική μουσική συμπεριλαμβάνονταν ο ρυθμός και η μελωδία, αλλά όχι η αρμονία με τη νεότερη σημασία του όρου. Στην παρούσα εργασία, θα προσπαθήσουμε να δώσουμε μια εικόνα για την αντίληψη που είχαν οι ίδιοι οι αρχαίοι Έλληνες για τη μουσική, όχι όμως ανατρέχοντας στις πληροφορίες των θεωρητικών της μουσικής, για την κατανόηση 5 των οποίων θα απαιτούνταν εξειδικευμένες γνώσεις. Αυτό θα γίνει μέσα από το Η
  2. 2. σελ. 2 πρίσμα των διαμορφωτών της κοινής γνώμης της εποχής, των φιλοσόφων, με σαφή εστίαση στους Πυθαγορείους, οι οποίοι ήταν οι πρώτοι που έθεσαν τις βάσεις για μια ουσιαστική συζήτηση για τη μουσική. Οι ρίζες των ελληνικών επιστημών της ακουστικής και των αρμονικών φτάνουν στον 5ο π.Χ. αιώνα, ίσως ως και τον 6ο. Οι Πυθαγόρειοι δεν μελετούσαν τη μουσική για την ίδια τη μουσική. Οι έρευνές τους πάνω στις αρμονικές προέκυψαν από την πεποίθηση ότι το σύμπαν βρίσκεται σε τάξη, ότι η τελειότητα της ανθρώπινης ψυχής εξαρτάται από αυτή την αντίληψη και την προσαρμογή του ανθρώπου στην τάξη αυτή και, τέλος, ότι το κλειδί για την κατανόηση της φύσης του σύμπαντος είναι ο αριθμός. Όσον αφορά τη μουσική, αυτή υπεισέρχεται στην παραπάνω θεώρηση με την ανακάλυψη ότι οι σχέσεις μεταξύ των νοτών μιας μελωδίας μπορούν να εκφρασθούν μέσα από μια πολύ απλή μαθηματική φόρμουλα. Τα μήκη δύο τμημάτων μιας χορδής τα οποία δίνουν νότες που διαφέρουν κατά μια οκτάβα είναι σε λόγο 2:1, ενώ ο λόγος 4:3 παράγει μια Τετάρτη και ο 3:2 μια πέμπτη. Αυτές οι βασικές αρμονικές σχέσεις είναι ταυτόχρονα βασικές μαθηματικές σχέσεις και ενισχύουν τη θέση ότι όλα τα αρμονικά διαστήματα είναι τέτοια, λόγω των μαθηματικών τους ιδιοτήτων. Επομένως, η τάξη που υπάρχει στη μουσική είναι μαθηματική τάξη και οι αρχές που τη διέπουν είναι κι αυτές μαθηματικές. Ακόμη, από τη στιγμή που αυτές οι αρχές οικοδομούν ένα όμορφο και ικανοποιητικό σύστημα οργάνωσης, ίσως είναι αυτές οι μαθηματικές σχέσεις – ή κάποια επέκτασή τους - που κρύβεται πίσω από την αξιοθαύμαστη τάξη του κόσμου και της ανθρώπινης ψυχής. Για τους περισσότερους «Πυθαγόρειους» συγγραφείς, η μελέτη των νοτών είναι μέρος μιας πολύ μεγαλύτερης μελέτης και σχεδιάστηκε για να δείξει πώς οι ίδιες αρχές διέπουν τις αρμονικές σχέσεις μεταξύ των στοιχείων όλων των σημαντικών δομών στον κόσμο. Το σύμπαν και τα μέρη αυτού είναι όλα μέρη ενός σχεδίου που διέπεται από μαθηματική τάξη. Αυτή η ιδέα προσεγγίστηκε με πολλούς και διαφορετικούς τρόπους, αλλά οι διάφορες μελέτες του Φιλόλαου, του Αρχύτα, του Πλάτωνα, του Θέωνα, του Νικόμαχου προέρχονται όλες από την ίδια πεποίθηση: στα μαθηματικά και ιδιαιτέρως στις μαθηματικές αρμονικές βρίσκεται το κλειδί για τη λογική οργάνωση του σύμπαντος. Πέρα από τις έννοιες του αριθμού, της αρμονίας και της «μουσικής των σφαιρών», όπως αυτές προκύπτουν μέσα από τα αρχαία ελληνικά κείμενα, ο αναγνώστης θα έχει την ευκαιρία να αντλήσει πληροφορίες για τη σύνδεση της μουσικής με την ασυμμετρία, όπως αυτή μελετήθηκε και παρουσιάστηκε από τον καθηγητή Σ. Νεγρεπόντη. Πιο συγκεκριμένα, ο Σ. Νεγρεπόντης επιχειρηματολογεί για το γεγονός ότι η απόδειξη της αρρητότητας του √2 είναι ειδικής φύσεως και διαφορετική από αυτή που εμείς γνωρίζουμε. Στη συνέχεια, στηρίζει την άποψη ότι 6 η πρώιμη αριθμητική θεωρία των λόγων σχετίζεται άμεσα με τα ακουστκά πειράματα, ενώ παρακάτω εξηγεί πώς η προσπάθεια εύρεσης ενός κοινού
  3. 3. σελ. 3 μουσικού μέτρου οδήγησε, μέσω της άπειρης ανθυφαιρετικής διαδικασίας, στο συμπέρασμα ότι το διάστημα μιας οκτάβας κι αυτό του «διαπέντε» είναι ασύμμετρα, σύμφωνα με τον ορισμό 2, στο βιβλίο Χ των «Στοιχείων» του Ευκλείδη. Τέλος, συσχετίζει τα δύο μουσικά μέτρα (τόνος, δίεση) και την αρμονική ανθυφαίρεση με τα δύο γεωμετρικά μέτρα (διαγώνιος, πλευρά) και τη γεωμετρική ανθυφαίρεση, μεταφέροντας έτσι τη μέθοδο της ανθυφαίρεσης από την αρμονία στη γεωμετρία. Επίσης, στην παρούσα εργασία θα έχει κανείς τη ευκαιρία να πληροφορηθεί για τις σωζόμενες διηγήσεις, οι οποίες μαρτυρούν το γεγονός ότι η αρχική ιδέα για τη μαθηματική τεκμηρίωση της μουσικής προήλθε από τον ίδιο τον Πυθαγόρα. Ένα επιπλέον στοιχείο που παρατίθεται, είναι η κατασκευή της πυθαγόρειας μουσικής κλίμακας και το πέρασμα από την επτάχορδη στην οκτάχορδη λύρα, όπως επίσης και ο χωρισμός της οκτάβας σε τόνους και διέσεις από τον Φιλόλαο. Μια ακόμη εκδοχή κατασκευής της μουσικής κλίμακας, αυτή τη φορά με τη βοήθεια των μέσων, παρέχεται από τον Ε. Σταμάτη και καταγράφεται στις σελίδες αυτής της εργασίας. ΠΥΘΑΓΟΡΙΟΙ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΚΤΥΕΣ Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον αριθμό 10 τέλειο και επειδή αυτός προκύπτει από το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών 1+2+3+4=10, του έδωσαν το όνομα «τετρακτύς». Κατά τον Θέωνα το Σμυρναίο υπάρχουν έντεκα τετρακτύες που η κάθε μια εκφράζει ένα τομέα της φιλοσοφικής σκέψης στην αρχαιότητα. Ενδεικτικά, η 4η
  4. 4. σελ. 4 τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα απλά στοιχεία φωτιά, αέρα, νερό και γη, η 6η αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα: με 1 εκφράζεται το σημείο, με 2 το μήκος, με 3 η επιφάνεια και με 4 το στερεό, η 8η δίνει τα συστατικά του ζώου: τα 1,2,3 αντιστοιχούν με το λογιστικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, δηλαδή εκφράζουν την ψυχή, ενώ το 4 το σώμα. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Ο Ευκλείδης έχει μια γεωμετρική πρόταση για τα μουσικά διαστήματα. Θεωρεί ότι αντιστοιχούν σε ευθείες γραμμές, με μία όμως διαφορά: ενώ οι ευθείες γραμμές που παράγονται ως αριθμοί, ορίζονται με δύο γράμματα ένα στην αρχή και ένα στο τέλος τους, τα μουσικά διαστήματα δηλώνονται με ένα γράμμα. Αρχιμήδης (~285 - 212 π.Χ.) Ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων. Τα ευρήματά του αποτέλεσαν τη βάση για τον Ολοκληρωτικό Λογισμό, ενώ υπολόγισε προσεγγιστικά και τον άρρητο αριθμό π. ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΚΟΠΕΡΝΙΚΟΣ (1473-1543) Το 1507 μελέτησε την ιδέα του Αρίσταρχου του Σάμιου σύμφωνα με την οποία ο Ήλιος αντί της Γης αποτελεί το«ακίνητο κέντρο» του πλανητικού συστήματος. Στη συνέχεια επεξεργάστηκε το ηλιοκεντρικό πλανητικό σύστημα, στο οποίο περιέγραψε τον ετήσιο κύκλο της Γης περί τον Ήλιο, πάλι σε κυκλικές τροχιές και εξήγησε την ημερήσια περιστροφή των απλανών αστέρων του ουρανού ως ιδιοπεριστροφή της Γης περί τον άξονά της. Johannes Kepler (1571 - 1630) Σύμφωνα με τον Κέπλερ το τετράγωνο του χρόνου που απαιτείται για να συμπληρώσει ένας Πλανήτης μία πλήρη περιφορά γύρω από τον Ήλιο (η περίοδος του πλανήτη) είναι ανάλογο του κύβου του μεγάλου ημιάξονα της ελλειπτικής του τροχιάς, και η σταθερά της αναλογίας είναι η ίδια για όλους τους πλανήτες. Helmholtz
  5. 5. σελ. 5 Ο von Helmholtz ανεγνώρισε αμέσως την αξία αυτών που υποστήριζε ο Fourier. Ο Helmholtz κατασκεύασε μικρές σφαιρικές μπάλες από γυαλί με δύο οπές. Κάθε μια από τις γυάλινες αυτές σφαίρες μπορούσε να απομονώσει μία μόνο αρμονική συνιστώσα ενός μουσικού τόνου που εισήρχετο από τη μία οπή και με τον τρόπο αυτό εξήρχετο από την άλλη οπή η συγκεκριμένη αρμονική συνιστώσα. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η καμπύλη που παράγεται από τη νότα Ρε ενός φλάουτου. Η μουσική είναι, ίσως, το πρώτο ποιοτικό φαινόμενο το οποίο μαθηματικοποιεί ο άνθρωπος. Η μουσική θα έπρεπε να εκφραστεί με μετρήσιμα μεγέθη και αυτό γίνεται σταδιακά και συναρτάται μόνιμα με το είδος και το επίπεδο της Μαθηματικής γνώσης κάθε εποχής. Τα μαθηματικά και η μουσική είναι δυο επιστήμες που έχουν πολύ μεγάλη σχέση μεταξύ τους. Από την αρχαιότητα ακόμη οι δύο τέχνες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και η αλληλεπίδραση αυτή φτάνει ως τις μέρες μας... Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο. Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται που από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου δηλαδή με βραχίονα, χέρι. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα, όπως ο Αρχύτας (εργάσθηκε στις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο και ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος), ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (σ’ αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του "κόμματος του Διδύμου", που είναι η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9) δηλαδή 81/80). Όμως, πώς ακριβώς πειραματίστηκαν οι Πυθαγόρειοι στο μονόχορδο,. για την ανάδειξη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής; Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο
  6. 6. σελ. 6 μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο. Αν μειώσουμε λοιπόν το μήκος μιας χορδής ακριβώς στο μισό, τότε ο ήχος που παράγεται είναι ακριβώς μία οκτάβα υψηλότερος (μία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι, ντο) - μας δίνει, δηλαδή, ένα ντο πιο πάνω. Αν μειώσουμε το μήκος της χορδής κατά 1/3, τότε τα 2/3 της χορδής που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της πέμπτης (δηλαδή από το ντο στο λα). Κι αν μειώσουμε το μήκος κατά 1/4, τότε τα 3/4 που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της τετάρτης (από το ντο στο σολ). Ήταν ξεκάθαρο, λοιπόν, σ’ αυτό το επίπεδο της παρατήρησης ότι τα μαθηματικά "κυβερνούν" τη μουσική. Το γεγονός ότι από τους ήχους αυτών των διαφορών δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής. Για τους Πυθαγορείους, αυτή η άμεση και ακριβής σχέση μαθηματικών, μουσικής και ευχάριστου ψυχικού συναισθήματος αποτελούσε τη μέγιστη απόδειξη ότι η αλήθεια, στο ύψιστο επίπεδό της, εκφράζεται με μαθηματικές σχέσεις. Πίστευαν, μάλιστα, ότι η ψυχή, μέσα από τα μαθηματικά και τη μουσική, μπορούσε να εξυψωθεί ώσπου να ενωθεί με το σύμπαν και ότι ορισμένα μαθηματικά σύμβολα έχουν αποκρυφιστική σημασία. Στις αρχές της αρμονίας των Πυθαγορείων βασίστηκε η ευρωπαϊκή μουσική μέχρι, τουλάχιστον, τη στιγμή που ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ, μέσω της σύνθεσής του "Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο" πρότεινε την υποδιαίρεση της οκτάβας σε δώδεκα ημιτόνια - κάτι, παρεμπιπτόντως, που είχε προτείνει δύο χιλιάδες χρόνια πριν από τον Μπαχ ο Αριστόξενος, όμως δεν εισακούστηκε. Συμπερασματικά, παρά τον ηθικοθρησκευτικό χαρακτήρα της διδασκαλίας του, ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του διαμόρφωσαν φιλοσοφικές αρχές που επηρέασαν την πλατωνική και αριστοτελική διανόηση, κυρίως όμως συνέβαλαν στην ανάπτυξη των μαθηματικών, της μουσικής και της δυτικής φιλοσοφίας. Καθιέρωσαν την αντίληψη ότι η πραγματικότητα - συμπεριλαμβανομένης της μουσικής και της αστρονομίας- είναι στο βαθύτερο επίπεδό της μαθηματικής φύσης . Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον αριθμό 10 τέλειο. Επειδή αυτός προκύπτει από το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών 1+2+3+4=10, του έδωσαν το όνομα «τετρακτύς». Κατά τον Θέωνα το Σμυρναίο υπάρχουν έντεκα τετρακτύες που η κάθε μια εκφράζει ένα τομέα της φιλοσοφικής σκέψης στην αρχαιότητα. Ενδεικτικά αναφέρω ότι η 4η τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα απλά στοιχεία φωτιά, αέρα, νερό και γη, η 6η αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα: με 1 εκφράζεται το σημείο, με 2 το μήκος, με 3 η επιφάνεια και με 4 το στερεό, η 8η δίνει τα συστατικά του ζώου: τα 1,2,3 αντιστοιχούν με το λογιστικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, δηλαδή εκφράζουν την ψυχή, ενώ το 4 το σώμα.
  7. 7. σελ. 7 Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα κατασκευάζεται με βάση τις αναλογίες του κύβου, ο οποίος εκφράζεται με τον αριθμό 4 της 5ης τετρακτύος (1 = τετράεδρο, 2 = οκτάεδρο, 3 = εικοσάεδρο, 4 = κύβος) και συμβολίζει τη γη και το συνδυασμό των στοιχείων της. Ο κύβος έχει 6 έδρες, 8 κορυφές και 12 ακμές. Οι αριθμοί 12 και 6 δίνουν την αναλογία 2/1, οι 8 και 6 την αναλογία 4/3 ενώ οι 12 και 8 την αναλογία 3/2. Επίσης ο αριθμός 8 είναι το αρμονικό μέσο των 6 και 12, ενώ το αριθμητικό μέσο των αριθμών αυτών είναι ο 9. Ο αρμονικός και αριθμητικός μέσος δίνουν την αναλογία 9/8. Έτσι προκύπτουν οι μαθηματικές αναλογίες βάση των οποίων κατασκευάζεται η μουσική κλίμακα κατά τους Πυθαγόρειους. Οι αναλογίες αυτές αποδείχθηκαν και στην πράξη από τα πειράματα που έκανε ο Πυθαγόρας πάνω στο μονόχορδο το οποίο διαίρεσε σε 12 ίσα τμήματα (όσες και οι ακμές του κύβου). Με τη χορδή «ανοιχτή» δηλαδή σε θέση να μπορεί να ταλαντώνεται όλο το μήκος της (λόγος 1, συχνότητα 1), έκρουσε και άκουσε ένα μουσικό τόνο. Στη συνέχεια περιόρισε το μέρος της χορδής που ταλαντώνεται στο μισό της μήκος, και βρήκε ότι ο ήχος που ακούστηκε είναι η διαπασών, αυτό που σήμερα ονομάζουμε οκτάβα. Το ύψος λοιπόν του ήχου επηρεάζεται από το μήκος της χορδής και μάλιστα όταν η αναλογία του μήκους είναι 1/2 (συχνότητα 2/1) έχουμε το διάστημα της οκτάβας. Έτσι ορίστηκαν τα άκρα της μουσικής κλίμακας, η υπάτη και η νήτη. Στη συνέχεια μετακινώντας τον καβαλάρη σε διάφορα σημεία, βρήκε ότι αν ταλαντωνόταν τα 3/4 της χορδής (συχνότητα 4/3) προέκυπτε ο τέταρτος φθόγγος από τους οκτώ μιας μουσικής κλίμακας, η μέση, ενώ αν ταλαντωνόταν τα 2/3 της χορδής (συχνότητα 3/2) προέκυπτε ο πέμπτος φθόγγος, η παραμέση. Οι υπόλοιποι φθόγγοι της κλίμακας κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας το λόγο 9/8 ως εξής: - Ο δεύτερος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πρώτου (υπάτη) αν τον πολλαπλασιάσουμε με 9/8: 1 x 9/8 = 9/8 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 8/9 της χορδής. - Ο τρίτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του δεύτερου (9/8) αν και πάλι πολλαπλασιαστεί με 9/8: 9/8 x 9/8 = 81/64 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 64/81 της χορδής. - Ο έκτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πέμπτου (παραμέση) που πολλαπλασιάζεται με 9/8: 1:2/3 x 9/8 = 27/16 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 16/27 της χορδής. - Τέλος, ο έβδομος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του έκτου και πάλι πολλαπλασιαζόμενου με 9/8: 1:16/27 x 9/8 = 243/128 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 128/243 της χορδής. Πέρα από το μονόχορδο, ο Πυθαγόρας πειραματίστηκε και με άλλα υλικά και τις ιδιότητές τους που συνθέτουν τα μουσικά διαστήματα, όπως η τάση χορδών ίσου μήκους και πάχους, το μήκος ηχητικού σωλήνα κ.τ.λ. Ο χωρισμός και καθορισμός των μουσικών διαστημάτων που πέτυχε, ήταν ένα τεράστιας σημασίας επίτευγμα τόσο για τη μουσική και τη θεωρία της όσο και για τα
  8. 8. σελ. 8 μαθηματικά και τη δύναμή τους να ερμηνεύουν τον κόσμο με αριθμούς όπως εξάλλου δίδασκε και ο Πυθαγόρας. Πέρα από τη μεγάλη σημασία για τη θεωρία της μουσικής, ο υπολογισμός του έδωσε την ευκαιρία να κατασκευαστούν μουσικά όργανα με μεγαλύτερη ακρίβεια από πριν. Με το πέρασμα του χρόνου, η Πυθαγόρεια μουσική κλίμακα τροποποιήθηκε είτε για πρακτικούς είτε για καθαρά φιλοσοφικούς λόγους, όμως ο Πυθαγόρας είχε δείξει έναν δρόμο που και οι σύγχρονες μουσικές κλίμακες ακολουθούν. Ακόμα και σήμερα υπολογίζουμε μαθηματικά τα μουσικά διαστήματα τα οποία βέβαια έχουν διαφοροποιηθεί σημαντικά από τότε. Ο Αριστόξενος, νεότερος του Πυθαγόρα (περί το 375 π.Χ.) υπήρξε φιλόσοφος και σημαντικότατος θεωρητικός της μουσικής και του δόθηκε μάλιστα η ονομασία «ο Μουσικός». Η μέθοδός του ήταν κυρίως εμπειρική. Το σύστημα διδασκαλίας του βασίζεται σε αντίθεση με τον Πυθαγόρα, στην ικανότητα του αυτιού να αντιλαμβάνεται την αρμονική σχέση των μουσικών τόνων. Δεν ερευνά τις αριθμητικές σχέσεις μέσα στην οκτάβα, όμως καθορίζει τον ολόκληρο και τον μισό τόνο και κατασκευάζει μια κλίμακα με βάση το ένα δωδέκατο του τόνου. Ο Ευκλείδης από την άλλη, έχει μια γεωμετρική πρόταση για τα μουσικά διαστήματα. Θεωρεί ότι αντιστοιχούν σε ευθείες γραμμές, με μία όμως διαφορά: ενώ οι ευθείες γραμμές που παράγονται ως αριθμοί, ορίζονται με δύο γράμματα
  9. 9. σελ. 9 ένα στην αρχή και ένα στο τέλος τους, τα μουσικά διαστήματα δηλώνονται με ένα γράμμα. Στη σημερινή πραγματικότητα, τόσο η μουσική θεωρία, όσο και η μουσική πράξη, ερμηνεύονται με φυσικούς νόμους, που με τη σειρά τους διατυπώνονται με μαθηματικές σχέσεις. Στην ακουστική (στον ιδιαίτερο κλάδο της φυσικής που έχει ως αντικείμενο τον ήχο και τις ιδιότητές του) ένα μουσικό διάστημα εκφράζεται σαν ο λόγος δύο συχνοτήτων. Σε ορισμένες περιπτώσεις ο λόγος είναι απλής μορφής όπως για παράδειγμα οι γνωστοί μας λόγοι της καθαρής πέμπτης (3/2), της καθαρής τετάρτης (4/3), της οκτάβας (2/1) κ.λπ. Σε άλλες περιπτώσεις, ελλείψει μεγίστου κοινού διαιρέτη, οι όροι του λόγου είναι μεγάλοι αριθμοί όπως στο διάσχισμα (2048/2025). Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι είναι δύσκολη, αν όχι αδύνατη, η σύγκριση δύο μουσικών διαστημάτων. Η απλούστευση στην παράσταση των μουσικών διαστημάτων επήλθε με τη βοήθεια της λογαριθμικής σχέσης μέγεθος μουσικού διαστήματος = k * log(f2/f1)/log2 στην παραπάνω σχέση, όπου f1, f2 οι συχνότητες των φθόγγων του μουσικού διαστήματος και f2>f1. Το k είναι μια σταθερά η τιμή της οποίας καθορίζει και ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Συγκερασμοί για τα μουσικά διαστήματα. Ανάλογα με τις τιμές της σταθεράς k (οι οποίες αφορούν διαίρεση της οκτάβας σε τόσα τμήματα όσο η αντίστοιχη τιμή), έχουμε κι ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Οι πιο γνωστές και χαρακτηριστικές τιμές της σταθεράς k, αναφέρονται στη συνέχεια. ΤΙΜΗ ΣΤΑΘΕΡΑΣ k ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΜΟΝΑΔΑΣ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ 12 .................Συγκερασμένο Ευρωπαϊκό ημιτόνιο 53 .................κόμμα του Μερκάτορα 68 .................Αραβική μονάδα, βυζαντινό ηχομόριο 72 .................Βυζαντινό ηχομόριο 301 ...............Savart 665 ...............Delfi unit 1200 ..............cent Ρυθμός - Αριθμός Η πρώτη συνάντηση της Μουσικής με τα Μαθηματικά συντελείται μέσω της αίσθησης που έχουμε για τον χρόνο. Ο άνθρωπος διαθέτει την ικανότητα να εντοπίζει, να απομονώνει χρονικές στιγμές. Το διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο στιγμών συγκροτεί την έννοια της διάρκειας. Η κατάτμηση που υφίσταται ο
  10. 10. σελ. 10 χρόνος από τη ροή των γεγονότων δημιουργεί ένα πυκνό σύνολο από στιγμές. Κατά τον Bachelard η διάρκεια είναι ένας αριθμός, μονάδα του οποίου είναι η στιγμή(G.Bachelard 1997). Ο Ανθρωπολόγος G. Murdock(1986) αναφέρει πως υπάρχουν 72 στοιχεία που είναι κοινά σε όλους τους πολιτισμούς, μεταξύ δε αυτών είναι τα σύμβολα της αρίθμησης και η μουσική. Θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε ότι ο άνθρωπος κατασκευάζει μουσική από τους προϊστορικούς ήδη χρόνους. Οι Garland και Kahn(1995) αναφέρουν πως θεωρείται πλέον γεγονός το ότι οι πρώτες μουσικές επιδόσεις του ανθρώπου προηγούνται της ομιλίας. Το αρχαιότερο εύρημα που έχει σχέση με τις μουσικές συνήθειες των ανθρώπων έχει ηλικία 35.000 χρόνων και είναι οστά από μαμούθ τα οποία, κατά τους αρχαιολόγους, χρησιμοποιήθηκαν για την παραγωγή ήχων προφανώς ρυθμικών. Ο ρυθμός, λοιπόν, είναι το πρώτο είδος μουσικής που χρησιμοποίησε ο άνθρωπος. Στο σχήμα φαίνεται ένα μέρος ενός μουσικού κομματιού. Η χρονική αξία τoυ πρώτου και δεύτερου συμβόλου είναι 1/4 και 1/2 αντίστοιχα, ενώ κάθε ένα από τα σύμβολα (νότες) που είναι ενωμένα έχουν εξ ορισμού αξία 1/8. Το κλάσμα 4/4 στην αρχή καθορίζει πως κάθε μέτρο, κάθε διάστημα δηλαδή το οποίο περιέχει μία μουσική φράση, πρέπει να περιέχει σύμβολα (νότες) συνολικής αξίας 4/4. Πράγματι 1/4+1/2+1/8+1/8=4/4. Τώρα πλέον ο αριθμός καθορίζει το ρυθμό και επιτρέπει να εκτελείται ένα μουσικό κομμάτι συγχρονισμένα από τους μουσικούς. Η Αρμονία Η μουσική είναι, ίσως, το πρώτο ποιοτικό φαινόμενο το οποίο Μαθηματικοποιεί ο άνθρωπος. Η μουσική θα έπρεπε να εκφραστεί με μετρήσιμα μεγέθη και αυτό γίνεται σταδιακά και συναρτάται μόνιμα με το είδος και το επίπεδο της Μαθηματικής γνώσης κάθε εποχής.  Η Πυθαγόρεια άποψη. Η πρώτη συστηματική αλλά συγχρόνως και καθοριστική προσπάθεια υπαγωγής του φαινομένου της μουσικής σε Μαθηματικές σχέσεις γίνεται από τον Πυθαγόρα. Δύο βασικά ερωτήματα απασχολούν τους Πυθαγόρειους: α) Πότε δύο ήχοι (νότες) συνηχούν αρμονικά, β) Ποια είναι η βαθύτερη αιτία αυτής της αρμονικής συνήχησης. Ήδη είχε τεθεί ρητά το πρόβλημα της αρμονίας.
  11. 11. σελ. 11 Στο πρώτο ερώτημα η απάντηση φαίνεται να προέρχεται μέσα από την παρατήρηση και το πείραμα, τις δύο βασικές δηλαδή επιστημονικές δραστηριότητες, οι οποίες οδηγούν στη διατύπωση του πρώτου νόμου στον οποίο υπακούει η αρμονία. "Όταν δύο χορδές έχουν μήκη ανάλογα με δύο από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, τότε συνηχούν αρμονικά". Έτσι κατασκευάζεται η περίφημη Πυθαγόρεια κλίμακα η οποία χρησιμοποιήθηκε για πολλούς αιώνες σαν φυσική κλίμακα μουσικής σύνθεσης. Η εξήγηση αυτού του φαινομένου στηρίζεται, κατά τους Πυθαγόρειους, στις μεταφυσικές ιδιότητες που έχουν οι αριθμοί 1, 2, 3, 4 (τετρακτύς) και εδώ θα πρέπει να υπογραμμιστεί το γεγονός ότι το βασικό υπολογιστικό εργαλείο της εποχής είναι οι ακέραιοι και τα κλάσματά τους (ρητοί), έτσι οι ερμηνείες των φαινομένων που μελετούσαν θα έπρεπε να δομηθούν μέσα στα πλαίσια της Αριθμοθεωρίας των ρητών. Η αρμονία επιβάλλεται, κατά κάποιον τρόπο, από τους λόγους που προέρχονται από την τετρακτό δηλαδή από τα 2/3, 3/4, 2/4, 1/2 κλπ.12 Το αξιοσημείωτο είναι ότι και οι Κινέζοι φιλόσοφοι της εποχής του Κομφούκιου θεωρούσαν τους μικρούς αριθμούς 1, 2, 3, 4 σαν την ουσία της τελειότητας(J.Jeans 1968). Ο Euler, το 1738 επιχειρεί μία νέα εξήγηση για την προέλευση της αρμονίας. Έχουμε, λέει ο Euler, έμφυτη την τάση να αισθανόμαστε ικανοποίηση όταν ανακαλύπτουμε κάποια κανονικότητα ή νόμο. Η απλούστερη, άρα και η ευκολότερα αντιληπτή, κανονικότητα είναι αυτή η οποία στηρίζεται στους λόγους των απλών αριθμών 1, 2, 3, 4(J.Jeans 1968).. Ο Euler ουσιαστικά συμφωνεί με την Πυθαγόρεια άποψη και την στηρίζει σε μία περισσότερο ρεαλιστική βάση.
  12. 12. σελ. 12  Η πορεία προς τις σύγχρονες αντιλήψεις. Η Πυθαγόρεια προσέγγιση των αρμονικών συνηχήσεων μέσω της μελέτης των αριθμητικών σχέσεων δύο ήχων συνεχίστηκε ως τον Μεσαίωνα. Η Μουσική αντιμετωπίστηκε σαν ένας κλάδος της εφαρμοσμένης αριθμητικής και η musica ήταν μία από τις τέσσερις ακαδημαϊκές σπουδές του quadrivium, των τεσσάρων δηλαδή κλάδων των Μαθηματικών (αριθμητική, γεωμετρία, αστρονομία και μουσική) (Eli Maor 1998). Η αποδέσμευση της μελέτης των Μουσικών φαινομένων από την Πυθαγόρεια παράδοση γίνεται αργά, σταδιακά και πραγματοποιείται μέσα σε ένα συνεχώς μεταβαλλόμενο, ιστορικό, κοινωνικό και πολιτισμικό πλαίσιο το οποίο, έστω και επιγραμματικά, θα πρέπει να περιγράψουμε. Η ανάπτυξη της ναυσιπλοΐας τον 16ου αιώνα, μετά την ανακάλυψη του Νέου Κόσμου, δημιουργεί νέες απαιτήσεις για μεγαλύτερη ακρίβεια στις μετρήσεις και ιδιαίτερα στην κατασκευή αξιόπιστων ωρολογίων. Το ενδιαφέρον των Φυσικών και των Μαθηματικών στρέφεται προς τη μελέτη της κίνησης του εκκρεμούς και ο Christian Huygens ανακαλύπτει το βασικό νόμο του εκκρεμούς, ότι δηλαδή η περίοδος του εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από την κινούσα δύναμη (Eli Maor 1998).. Ο δρόμος
  13. 13. σελ. 13 για νέες τεχνολογικές εφαρμογές ανοίγει και επηρεάζει τον τρόπο κατασκευής μουσικών οργάνων και αυτό έχει σαν αποτέλεσμα τη στροφή των επιστημόνων προς τη μελέτη παλμικών κινήσεων. Η στροφή αυτή είναι καταλυτική για την έρευνα των Μουσικών φαινομένων η οποία προσανατολίζεται πλέον προς τη μελέτη του τρόπου παραγωγής των ήχων ενώ, όπως είδαμε, οι Πυθαγόρειοι ασχολήθηκαν με τις αριθμητικές σχέσεις των ήχων. Βρισκόμαστε στα μέσα περίπου του 17ου αιώνα. Η μελέτη των παλμικών κινήσεων οδηγεί στην συγκρότηση της μαθηματικής έννοιας των περιοδικών φαινομένων και η Τριγωνομετρία στρέφεται πλέον από την παραδοσιακά υπολογιστική της στάση σε μια περισσότερο αναλυτική θεώρηση. Η στροφή αυτή διαρκεί περίπου έναν αιώνα, από το 1640 όταν ο W. Oughtred επιχειρεί μια συστηματική χρήση των συμβόλων sin, cos κλπ., μέχρι το 1759 όταν ο G. Kustner σε έναν οποιονδήποτε αριθμό x αντιστοιχεί την έκφραση sinx, cosx κ.λπ. και θεωρεί πλέον τις συναρτήσεις f(x)= sinx, x , g(x)=cosx, x , κ.ο.κ. Η μελέτη του τρόπου παραγωγής των ήχων είναι πλέον εφικτή και σηματοδοτεί τον μετασχηματισμό των απόψεων για τη μουσική και τη φύση της αρμονίας. Η μελέτη επικεντρώνεται στο φαινόμενο, το οποίο είχε μελετήσει και ο Πυθαγόρας, στην προσπάθειά του να κατανοήσει την ουσία της αρμονίας, το φαινόμενο της παλλόμενης χορδής. Χρειάστηκε να περάσουν αιώνες για να προστεθούν τα μουσικά διαστήματα της 3ης και 6ης και η "ήπια" (συγκερασμένη) κλίμακα του Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ να "ξεκλειδώσει" με την σύνθεση Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο τους νέους ατραπούς που ακολούθησαν οι επόμενοι μεγάλοι "Κλασσικοί". Από την Α-Β-Γ-Δ- Ε- Ζ-Η των αρχαίων Ελλήνων και την ΠΑ-ΒΟΥ-ΓΑ-ΔΗ-ΚΕ-ΖΩ-ΝΗ των Βυζαντινών, στην ΝΤΟ-ΡΕ-ΜΙ-ΦΑ-ΣΟΛ-ΛΑ-ΣΙ-ΝΤΟ των Δυτικών.
  14. 14. σελ. 14 Έλληνες μαθηματικοί που ασχολήθηκαν με τη μουσική Ο Ιάννης Ξενάκης ήταν ένας από τους σημαντικότερους Έλληνες συνθέτες και αρχιτέκτονες του 20ού αιώνα, διεθνώς γνωστός ως «Iannis Xenakis». Οι πρωτοποριακές συνθετικές μέθοδοι που ανέπτυξε συσχέτιζαν τη μουσική και την αρχιτεκτονική με τα μαθηματικά και τη φυσική, μέσω της χρήσης μοντέλων από τη θεωρία των συνόλων, τη θεωρία των πιθανοτήτων, τη θερμοδυναμική, τη Χρυσή Τομή, την ακολουθία Φιμπονάτσι κ.ά. Παράλληλα, οι φιλοσοφικές του ιδέες για τη μουσική έθεσαν καίρια το αίτημα για ενότητα φιλοσοφίας, επιστήμης και τέχνης, συμβάλλοντας στο γενικότερο προβληματισμό για την κρίση της σύγχρονης ευρωπαϊκής μουσικής των δεκαετιών του 1950 και 1960.
  15. 15. σελ. 15 Ο Θωμάς Μπακαλάκος είναι μαθηματικός και μουσικοσυνθέτης, με πολιτιστική και κοινωνικοπολιτική δραστηριότητα, που αποτέλεσαν πηγές εμπειριών, γνώσεων και έμπνευσης για το συνθετικό έργο του. Σε μικρό χρονικό διάστημα από την έναρξη των σπουδών του ταυτόχρονα, στη Μαθηματική σχολή του Πανεπιστημίου Αθηνών και στο ωδείο, ξεκίνησε το συνθετικό του έργο. Μετά την αποφοίτησή του από το πανεπιστήμιο, συνέχισε να διευρύνει τις μουσικές του γνώσεις. Τον απασχόλησε το ζήτημα της θεμελίωσης της μουσικής ως επιστήμης με την αυστηρότητα που αυτό συνεπάγεται και προσπάθησε να δώσει τις δικές του απαντήσεις στο ερώτημα, ποιος είναι ο λόγος που οι αρχαίοι Έλληνες δεν μας άφησαν καταγραμμένη την πλούσια μουσική τους φιλολογία, ενώ έγινε ακριβώς το αντίθετο με την αρχαία Ελληνική γραμματεία, που αρά τις μεγάλες απώλειες από εκείνα που είχαν καταγραφεί, διασώθηκαν και έφτασαν μέχρι τις μέρες μας θησαυροί γνώσεων μέσα από συγγράμματα, τα οποία αποτελούν ατράνταχτες αποδείξεις πνευματικής και πολιτιστικής ανωτερότητας. Στο πλαίσιο αυτό ήταν και η επιστημονική του ανακοίνωση στο συνέδριο που διοργάνωσε το Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης (Τομέας Μαθηματικών και Πληροφορικής) του Πανεπιστημίου Αθηνών, σε συνεργασία με το Κέντρο Έρευνας Επιστήμης και Εκπαίδευσης (Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ). Στην εισήγησή του με θέμα «Η μουσική ως μέσο επικοινωνίας και η σχέση της με τα μαθηματικά», παρουσίασε μια νέα μέθοδο μουσικής σημειογραφίας με μαθηματικό τρόπο, που την ονομάζει Αριθμητική Μουσική Παράσταση (Α.Μ.Π.). Η καταγραφή μιας μουσικής σύνθεσης μέσω της Α.Μ.Π, επιτυγχάνεται μόνο με τη χρήση των αριθμών και των τεσσάρων πράξεων της αριθμητικής.
  16. 16. σελ. 16 Ο Βαγγέλης Γερμανός γεννήθηκε στις 14.11.1949 και μεγάλωσε στον Πειραιά. Έκανε σπουδές κιθάρας και θεωρητικά, ενώ από πολύ νωρίς συμμετείχε σε διάφορα μαθητικά και συνοικιακά γκρουπάκια.Το 1981 έκανε την πρώτη του δισκογραφική εμφάνιση ένας καθηγητής μαθηματικών που από χρόνια έπαιζε τρυφερές, αμερικάνικου τύπου, μπαλάντες. Πέτυχε στη Μαθηματική Σχολή του Πανεπιστημίου της Θεσσαλονίκης, αλλά πολύ σύντομα μετεγγράφηκε στην Αθήνα ,όπου έκανε και τις πρώτες ζωντανές εμφανίσεις του στο Αθηναϊκό κοινό, στο συγκρότημα του Διονύση Σαββόπουλου στο Ροντέο και στο Κύτταρο. Ενώ είχε ήδη αρχίσει να γράφει τα πρώτα δικά του τραγούδια. Ο ΘΑΝΟΣ ΜΙΚΡΟΥΤΣΙΚΟΑΣ Γεννήθηκε το 1947 στην Πάτρα, σπούδασε πιάνο στην Φιλαρμονική Εταιρία Πατρών και στο Ελληνικό Ωδείο. Επίσης, σπούδασε μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Άρχισε να συνθέτει στα τέλη της δεκαετίας του '60, αλλά επίσημα εμφανίστηκε το 1975, με το δίσκο Πολιτικά τραγούδια. Συνέχισε την πορεία του ως στρατευμένος δημιουργός μελοποιώντας Ρίτσο, Μαγιακόφσκι, Μάνο Ελευθερίου, Μπρεχτ και άλλους. Οι δίσκοι του "Καντάτα για τη Μακρόνησο", "Φουέντε Οβεχούνα", "Τροπάρια για Φονιάδες", "Μουσική πράξη στον Μπρεχτ", είναι χαρακτηριστικοί του κλίματος της μεταπολίτευσης της περιόδου 1975-78. Ειδικά η "Καντάτα για τη Μακρόνησο", έργο πρωτοποριακό για την εποχή του, όπου ο συνθέτης πειραματίζεται πάνω στην ατονική μουσική, γνώρισε διακρίσεις σε διεθνή φεστιβάλ και σημαδεύτηκε από την καταπληκτική ερμηνεία της Μαρίας Δημητριάδη. Στη συνέχεια, με τον δίσκο Σταυρός Του Νότου, σε ποίηση Νίκου Καββαδία, ανοίχτηκε σε ευρύτερη τραγουδιστική θεματική, υπηρετώντας παράλληλα το θέατρο, καθώς και την ηλεκτρονική και ατονική μουσική. Με την ίδια αγάπη πάντα για τον έμμετρο λόγο συνεχίζει να μελοποιεί Ρίτσο, Αλκαίο, Τριπολίτη, Βιγιόν, Καβάφη και άλλους. Ακόμα, έχει παρουσιάσει την όπερα Ελένη και έχει μελοποιήσει παραμύθια για μικρούς (και έξυπνους μεγάλους!) Συνεργάστηκε με κορυφαίες ερμηνεύτριες όπως η Μαρία Δημητριάδη, η Χάρις Αλεξίου και η Ιταλίδα Milva, αλλά και μεγάλους ερμηνευτές όπως ο Μανώλης Μητσιάς, Δημήτρης Μητροπάνος, Βασίλης Παπακωνσταντίνου, Χρήστος Θηβαίος,
  17. 17. σελ. 17 Γιάννης Κούτρας και πολλούς ακόμα για να ονοματιστούν ξεχωριστά. Έχει λάβει αξιοπρεπή αναγνώριση του έργου του στην δυτική Ευρώπη. Στη διάρκεια της καριέρας του κατόρθωσε να ελευθερώσει τη μορφή του ελληνικού τραγουδιού, προσθέτοντας στοιχεία από την νεοτεριστική και κλασσικιστική δυτικο-ευρωπαϊκή παράδοση, ενώ πειραματίστηκε με την μίξη τονικών και ατονικών στοιχείων και τη μορφική παραλλαγή. Διετέλεσε καλλιτεχνικός διευθυντής της Εταιρίας Νέας Μουσικής και του Μουσικού Αναλογίου, ενώ επίσης εμπνεύστηκε και διηύθυνε το Διεθνές Φεστιβάλ Πάτρας. Το 1993 ορίστηκε από την κυβέρνηση του ΠΑΣΟΚ αναπληρωτής υπουργός πολιτισμού και ένα χρόνο αργότερα (με το θάνατο της Υπουργού Μελίνας Μερκούρη) ανέλαβε επικεφαλής του υπουργείου, αξίωμα που διατήρησε μέχρι το 1996. Ο Ανδρέας Μικρούτσικος είναι ένας Έλληνας συνθέτης, στιχουργός, τραγουδιστής και παρουσιαστής της τηλεόρασης. Είναι ο αδελφός του Θάνου Μικρούτσικου και θεωρείται βασιλιάς των realities στην Ελλάδα. Κλασική Μουσική Σίγουρα θα έχετε ακούσει από κάπου πως ακούγοντας κλασική μουσική μπορεί να βελτιωθούν οι μαθηματικές σας ικανότητες. Ανά καιρούς πάντα θα εμφανίζεται κάποιο άρθρο που θα συνδέει την κλασική μουσική και τα μαθηματικά ή ακόμα πιο συγκεκριμένα, κλασικές συνθέσεις που υποβοηθούν σε αυτή την επιστήμη, με πρωτομάστορα τον Bach και άλλους συνθέτες ή μεμονωμένα έργα συνθετών.
  18. 18. σελ. 18 Αρκετοί μάλιστα έχουν καταχωρήσει στο μυαλό τους την κλασική μουσική ως ένα είδος μαγικού φίλτρου που βελτιώνει την μαθηματική αντίληψη. Πριν όμως καταλήξουμε σε κάποια απόφαση θα πρέπει να αναρωτηθούμε για τα βασικά στοιχεία αυτής της περίεργης σύνδεσης — και η πρώτη ερώτηση πρέπει να ‘ναι: ποιο τμήμα του εγκεφάλου ελέγχει την σχέση μεταξύ μαθηματικών και μουσικής; Επίσης μια άλλη ερώτηση θα ήταν «πώς διεγείρει η μουσική το μυαλό με τέτοιο τρόπο ώστε να ενισχύονται οι μαθηματικές ικανότητες;». Μουσική και μαθηματικά Μουσική και μαθηματικά Μέσω μελετών, έχουν ανακαλυφθεί πολλά στοιχεία που υποστηρίζουν τα θετικά αποτελέσματα της μουσικής στην ενίσχυση των μαθηματικών δεξιοτήτων. Οι περισσότερες έρευνες δείχνουν ότι τα παιδιά που εκπαιδεύονται στη μουσική σε νεαρή ηλικία τείνουν να βελτιώνουν τις μαθηματικές τους δεξιότητες στο μέλλον. Το περίεργο με αυτές τις μελέτες είναι πως δεν αφορούν την μουσική ως σύνολο για την ενίσχυση των δεξιοτήτων παρά μόνο ορισμένες πτυχές της μουσικής που επηρεάζουν την ικανότητα του ανθρώπου για μαθηματική σκέψη. Μια ιδιαίτερη μελέτη που δημοσιεύθηκε στο περιοδικό Nature έδειξε ότι στις ομάδες πρώτης Δημοτικού που παρουσιάστηκε κάποιο σεμινάριο μουσικής και κρουστών που είχε σχέση με παιχνίδια και άλλες δραστηριότητες, παρατηρήθηκε πως μετά από έξι μήνες τα παιδιά που συμμετείχαν παρουσίασαν βελτίωση στα μαθηματικά, ενώ τα παιδιά που δεν συμμετείχαν δεν παρουσίασαν καμιά βελτίωση. Το αποτέλεσμα της μελέτης αυτής θέτει ένα άλλο σημαντικό ζήτημα. Πώς αυτό το είδος μουσικής που έδινε έμφαση σε δεξιότητες διαδοχικής ερμηνείας, ρυθμού και ελέγχου τονικού ύψους να μπορέσει να τονίσει την ικανότητα των παιδιών στην επίλυση μαθηματικών πράξεων; Αποδείχθηκε ότι υπάρχουν δυο μορφές λογικής σκέψης. Η μια λέγεται Spatial Temporal (ST) και η άλλη Language Analytical (LA). Η LA λογική συμμετέχει στην επίλυση των εξισώσεων και την απόκτηση ποσοτικών αποτελεσμάτων. Η ST λογική χρησιμοποιείται σε δραστηριότητες όπως το σκάκι και, γενικώς, σε καταστάσεις που απαιτείται να σκεφτόμαστε μελλοντικές κινήσεις. Η επίδραση της μουσικής στα μαθηματικά ονομάζεται μερικές φορές και το «Φαινόμενο Μότσαρτ». Το εξώφυλλο του βιβλίου “Φαινόμενο Μότσαρτ”
  19. 19. σελ. 19 “Το φαινόμενο Μότσαρτ (Mozart Effect) είναι ονομασία που δόθηκε για να εξηγήσει την στατιστικά σημαντική αύξηση όσον αφορά την βαθμολογία σε τεστ μελέτης Spatial Temporal που παρατηρείται αμέσως μετά την ακρόαση μια σονάτας για πιάνο γραμμένη από τον Μότσαρτ. Το συγκεκριμένο φαινόμενο παρατηρήθηκε για πρώτη φορά από τον Alfred A. Tomatis, ο οποίος χρησιμοποιούσε τη μουσική του Mozart στις έρευνές του αποσκοπώντας στο να θεραπεύσει μια σειρά διαταραχών. Αυτός που έκανε τον όρο αυτό γνωστό στο ευρύ κοινό όμως ήταν ο Don Campbell στο βιβλίο του “The Mozart Effect: Tapping the Power of Music to Heal the Body, Strengthen the Mind, and Unlock the Creative Spirit” (Το Φαινόμενο Μότσαρτ) εμπνευσμένος από την έρευνα των Rauscher, Shaw & Ky που δημοσιεύτηκε το 1993 στο περιοδικό Nature. Μερικά πολύ βασικά χαρακτηριστικά που χρησιμοποιούνται για την χοροχρονική συλλογιστική (spatial temporal reasoning) είναι τα παρακάτω: Ο μετασχηματισμός και ο συσχετισμός που αφορά εικόνες στον χώρο και στον χρόνο. Συμμετρίες των μοτίβων του εγγενή φλοιού του εγκεφάλου, που η πυροδότησή του χρησιμοποιείται για την σύγκριση εικόνων. Φυσικές χρονικές ακολουθίες των μοτίβων του εγγενής φλοιού“ - Steele, K., M. (2000). Arousal And Mood Factors In The Mozart Effect. Perceptual and Motor Skills, 91, 188- 190 Οι ίδιοι άνθρωποι που διεξήγαγαν το πείραμα του φαινομένου του Μότσαρτ πρότειναν πως η χοροχρονική συλλογιστική είναι ζωτικής σημασίας για τα μαθηματικά. Ο τομέας των μαθηματικών που απαιτεί λογική ST είναι κατά κύριο λόγο η γεωμετρία — αλλά υπάρχουν και ορισμένες πτυχές άλλων τομέων που απαιτούν τον μετασχηματισμό εικόνων στον χώρο και τον χρόνο. Σε ανώτερα μαθηματικά, η ικανότητα αποτύπωσης μαθηματικών αποδείξεων συνδέεται επίσης με την ST λογική, διότι η γραπτή απόδειξη είναι μια διαδικασία που απαιτεί διαίσθηση φυσικών ακολουθιών και την ικανότητα να σκεφτόμαστε πολλά βήματα μπροστά. Όσον αφορά το ερώτημα «ποιο μέρος του εγκεφάλου ελέγχει την σχέση μεταξύ μαθηματικών και μουσικής», υπάρχουν πολλές πηγές που μας δίνουν την απάντηση που θέλουμε. Ο Δρ. Gottfried Schlaug διαπίστωσε ότι ορισμένες περιοχές του εγκεφάλου, όπως το μεσολόβιο και ο δεξιός κινητικός φλοιός, ήταν μεγαλύτερος σε μουσικούς που ξεκίνησαν την μουσική τους κατάρτιση πριν από την ηλικία των 7 ετών.
  20. 20. σελ. 20 Όσο για το τι θα συμβεί σε εκείνη την περιοχή του εγκεφάλου όταν κάποιος ακούει μουσική, μπορούμε να στραφούμε προς το πείραμα που έκαναν οι Xiaodeng Leng και Gordon Shaw. Οι Gordon και Leng ανέπτυξαν ένα μοντέλο υψηλής λειτουργίας του εγκεφάλου η οποία βασίζεται στο μοντέλο trion. Το πείραμα αυτό μας έδειξε ότι το τμήμα του εγκεφαλικού φλοιού μπορεί να διεγερθεί από τη μουσική και χρησιμοποιείται σε ανώτερες εγκεφαλικές λειτουργίες όπως η χωροχρονική σκέψη στα μαθηματικά. Εν κατακλείδι, οι έρευνες που αφορούν την σχέση μεταξύ μαθηματικών και μουσικής φαίνεται να δείχνουν ότι η μουσική ενισχύει τις δεξιότητες στα μαθηματικά. Η μουσική στοχεύει σε μια συγκεκριμένη περιοχή του εγκεφάλου για την τόνωση της χρήσης της χωροχρονικής λογικής, η οποία είναι χρήσιμη για την μαθηματική σκέψη. Ωστόσο, όσον αφορά το ζήτημα του κατά πόσον ή όχι η μουσική είναι το… “μαγικό συστατικό” που θα ανυψώσει την ικανότητα του καθενός να κάνει με ευκολία μαθηματικές πράξεις, η απάντηση δυστυχώς είναι αρνητική. Επειδή πολλοί μαθηματικοί είναι λάτρεις της μουσικής, δεν σημαίνει ότι όλοι οι μουσικοί είναι λάτρεις των μαθηματικών. το π=3,14 σε μουσική « www.olympia.gr.mp4 ΑνάλυσηFourier Για να κατανοήσουμε τη σημασία της ανάλυσης Fourier για τη σύγχρονη άποψη περί αρμονίας, θα επισημάνουμε μερικές απλές ιδιότητες των περιοδικών συναρτήσεων. Αυτές ακριβώς οι βασικές ιδιότητες των περιοδικών συναρτήσεων ερμηνεύουν το γεγονός ότι αν συνηχούν δύο νότες και η μία έχει διπλάσια συχνότητα από την άλλη, τότε έχουμε την αίσθηση ότι ακούμε την ίδια νότα. Είναι απλό να
  21. 21. σελ. 21 διαπιστώσει κανείς την ισχύ αυτού που αναφέραμε αρκεί να πατήσει συγχρόνως την νότα Ντο, για παράδειγμα της 3ης οκτάβας ενός πιάνου και τη νότα Ντο της 4ης ή της 5ης ή της 2ης οκτάβας. Εδώ το ανθρώπινο αυτί συμπεριφέρεται σαν ένας μηχανισμός σύνθεσης (πρόσθεσης) των δύο περιοδικών φαινομένων. Η προσφορά του Fourier στη μελέτη των περιοδικών φαινομένων στηρίζεται ουσιαστικά σε μια γενικευμένη αντιστροφή της ιδιότητας (1), η οποία αντιστροφή δεν έχει ιδιαίτερα επισημανθεί. Είδαμε ότι το άθροισμα περιοδικών συναρτήσεων είναι μία περιοδική συνάρτηση. Το ερώτημα τώρα που τίθεται είναι: Αν έχουμε μια περιοδική συνάρτηση είναι δυνατόν να την αναλύσουμε σε άθροισμα άλλων απλούστερων περιοδικών; Ο Fourier απαντά καταφατικά και αποδεικνύει ότι κάθε περιοδική συνάρτηση f είναι δυνατόν να αναλυθεί σε ένα άπειρο άθροισμα της μορφής Ας υποθέσουμε τώρα ότι, μέσω ενός μουσικού οργάνου ή της ανθρώπινης φωνής παράγουμε μια νότα. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε δημιουργήσει στον αέρα μια παλμική κίνηση, ένα περιοδικό φαινόμενο και επομένως το φαινόμενο αυτό (η νότα) περιγράφεται από μια εξίσωση της μορφής (1), από ένα άπειρο άθροισμα προσθετέων· δηλαδή καθένας εκ των οποίων περιέχει ημίτονα και συνημίτονα της μορφής cosω.t, sinω.t, cos2ω.t, sin2ω.t και γενικά cos(nωt) και sin(nωt). Αυτό σημαίνει ότι ένα μουσικό όργανο, όταν "παίζει" μία νότα, παράγει ήχους διαφόρων συχνοτήτων και για n=1 έχουμε τη βασική συχνότητα της νότας ενώ οι συχνότητες που προκύπτουν για n= 2, 3... είναι οι αρμονικές συνιστώσες της εν λόγω νότας. Η επιστημονική κοινότητα στις αρχές του 19ου αιώνα δέχεται με σκεπτικισμό τις απόψεις του Fourier και ιδιαίτερα τις επιπτώσεις αυτών των απόψεων πάνω στο φαινόμενο της μουσικής. Ο von Helmholtz ανεγνώρισε αμέσως την αξία αυτών που υποστήριζε ο Fourier. Ο Helmholtz κατασκεύασε μικρές σφαιρικές μπάλες από γυαλί με δύο οπές. Κάθε μια από τις γυάλινες αυτές σφαίρες μπορούσε να απομονώσει μία μόνο αρμονική συνιστώσα ενός μουσικού τόνου ο οποίος εισήρχετο από τη μία οπή και με τον τρόπο αυτό από την άλλη οπή εξήρχετο η συγκεκριμένη αρμονική συνιστώσα Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η καμπύλη που παράγεται από τη νότα Ρε ενός φλάουτου καθώς και οι αρμονικές της συνιστώσες sinx, 1/2sin2x, 1/3sin3x. Η νότα Ρε όπως παράγεται από ένα φλάουτο. Οι αρμονικές συνιστώσες της νότας Ρε από το ίδιο φλάουτο
  22. 22. σελ. 22 Παρατηρούμε ότι οι αρμονικές είναι μόνο 3 γι' αυτό ο ήχος του φλάουτου είναι τόσο απλός. Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής – σκέψης. Οι ερευνητές πιστεύουν πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα: Ο Αρχύτας (εξετάζοντας τις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος) . Ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (σ΄ αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του "κόμματος του Διδύμου", δηλαδή η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9), 81/80). Πειραματισμός των Πυθαγορείων στο μονόχορδο για την ανάδειξη της σχέσης μαθηματικών και μουσικής Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή και
  23. 23. σελ. 23 όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο. Αν μειώσουμε λοιπόν το μήκος μιας χορδής ακριβώς στο μισό, τότε ο ήχος που παράγεται αν ξεκινήσουμε από το ντο είναι ακριβώς μία οκτάβα υψηλότερος, δηλαδή, ένα ντο πιο πάνω. (Μία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι, ντο) - μας δίνει, Αν μειώσουμε το μήκος της χορδής κατά 1/3, τότε τα 2/3 της χορδής που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της πέμπτης (δηλαδή από το ντο στο λα). Αν μειώσουμε το μήκος κατά 1/4, τότε τα 3/4 που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της τετάρτης (από το ντο στο σολ). Ήταν ξεκάθαρο, λοιπόν, ότι τα μαθηματικά "κυβερνούν" τη μουσική. Το γεγονός ότι συνδυάζοντας αυτούς τους ήχους δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής. Η επιμέλεια της εργασίας έγινε από τις μαθήτριες :  Καρυπίδου Κωνσταντίνα  Σανοζίδου Ευαγγελία  Τζάνου Δέσποινα
  24. 24. σελ. 24

×