Derivada autor nicolás trías

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Derivada autor nicolás trías

  1. 1. DERIVADA PUNTUAL Y FUNCIONAL Prof. Nicolás Trías C.E.T.P
  2. 2. Introducción Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:  Dominio  Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y  Continuidad  Asíntotas y ramas parabólicas Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:  Intervalos de crecimiento / decrecimiento  Máximos y mínimos relativos Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS
  3. 3. La importancia del signo de las tangentes  La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:
  4. 4. La importancia del signo de las tangentes • En los puntos de máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0) • En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa.
  5. 5.  Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a  La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a” f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene pendiente -3/2. f ´(-2)= 0 f ´(2)=1,2 f ´(4)=0 f ´(6)=-1,3
  6. 6. INTERPRETACIÓN GEOMETICA DE LA DERIVADA Sea f(x) una función y “ t ” la recta secante a f(x) en los puntos P = ( x , f(x) ) y Q = (x + h , f(x + h)), respectivamente.
  7. 7. Pendiente de la recta tangente a un gráfico La razón representa a la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q. A medida que h tiende a cero, el punto Q se aproxima cada vez más a P, por lo tanto la recta secante está más próximo a ser recta tangente.
  8. 8. Pendiente de la recta tangente a un gráfico  Entonces cuando h 0 la pendiente de la recta secante se transforma en pendiente de la recta tangente en el punto P.  Luego la pendiente de la recta tangente viene dada por: mt =
  9. 9. DEFINICIÓN
  10. 10. NOTACIONES  Otras notaciones comunes para la derivada de la función f(x) son:
  11. 11. EJERCICIOS Encuentre: 1. La derivada de f(x) = x3 + 2x 2. La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P = (1, 3) 3. La ecuación de la recta tangente a la curva en P
  12. 12. REGLAS DE DERIVACIÓN
  13. 13. Reglas de derivación  Derivada de la suma de funciones: (f + g)´ (x) = f´(x) + g´(x)  Derivada de la diferencia de funciones (f - g)´ (x) = f´(x) - g´(x)  Derivada del producto de funciones (f.g)´(x) = f´(x).g(x) + f(x).g´(x)
  14. 14. Reglas de derivación  Derivada del cociente de funciones f(x) ´ f ´(x).g(x) – f(x).g´(x) = g(x) ( g(x) ) 2
  15. 15. EJERCICIO  Derive la siguiente función:
  16. 16. REGLA DE LA CADENA Se refiere a la derivada de funciones compuestas. Dada la función fog = f(g(x)) , la regla establece que: (f o g )´= (f(g(x)))´ = f´(g(x)).g´(x).x´
  17. 17. EJEMPLO Sea y = 4u3 ; u = 5x2 + 4, entonces la función compuesta viene dada por y = f(g(x)), La derivada de y con respecto a u viene dada por: = 12 u2 La derivada de u con respecto a x viene dada por: = 10 x
  18. 18. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Sea y = f(x) una función, si su derivada existe, se denota por f ´(x). Si f ´(x) es una función entonces si la derivada existe, se denota por f ´´ (x), la cual se llama segunda derivada o derivada segunda de la función f(x) En general la n-ésima derivada de una función viene dada por f n(x).
  19. 19. EJEMPLO Encuentre la tercera derivada de
  20. 20. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN  En que intervalos la función crece y/o decrece.
  21. 21. FUNCIÓN CRECIENTE  Una función f definida en algún intervalo se dice que es creciente en dicho intervalo si solo si: f(x1) < f(x2) siempre que x1< x2
  22. 22. FUNCIÓN DECRECIENTE Una función f definida en algún intervalo se dice que es decreciente en dicho intervalo si solo si: f(x1) > f(x2) siempre que x1< x2
  23. 23. TEOREMA Sea f una función continua en [a,b] y derivable en un intervalo (a,b) se tiene que:
  24. 24. MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
  25. 25. VALOR MAXIMO RELATIVO  Se dice que f tiene un máximo relativo en un punto c si pertenece al intervalo (a, b) tal que
  26. 26. VALOR MINIMO RELATIVO  Se dice que f tiene un mínimo relativo en un punto c, si c pertenece al intervalo (a, b) tal que:
  27. 27. PUNTOS CRITICOS Si la función f está definida en un punto c, se dirá que c es un número critico de la función f si f ´(c) = 0 o si f ´ no está definida en c.
  28. 28. OBSERVACIÓN Si una función tiene un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo en c, se dice entonces que la función tiene un extremo relativo en c
  29. 29. TEOREMA Los extremos relativos solo ocurren en los puntos críticos.
  30. 30. FIN

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