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− 20 + 4 y = −2.x    y = -1/2.x + 5d)                  ⇒   2. y − 2 = 3.x       y = 3/2.x + 1La solución es (2,4)Sis...
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Sistema de ecuaciones

  1. 1. Tema: Sistema de dos ecuaciones lineales: resolución gráficaCurso: 3º año 50
  2. 2. Objetivos:  Representar gráficamente los sistemas de dos ecuaciones lineales  Identificar gráficamente la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales  Clasificar los sistemas de ecuaciones linealesContenidos previos:  Concepto de sistema de ecuaciones lineales  Concepto de función lineal  Representación grafica de funciones linealesContenidos conceptuales:  Representación gráfica de un sistema de ecuaciones  Sistema compatible determinado  Sistema compatible indeterminado  Sistema incompatibleContenidos procedimentales:  Identificación de sistema de ecuaciones lineales  Interpretación y representación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales  Determinación gráfica de la solución de los sistemas de ecuaciones lineales  Identificación de Sistemas Compatible Determinado  Identificación de Sistemas Compatible Indeterminado  Identificación de Sistemas IncompatiblesContenidos actitudinales:  Sentido crítico sobre los resultados obtenidos  Participación activa en clasesGestión de la claseLa docente comenzará la clase representando la siguiente situaciónproblemática: 51
  3. 3. Un crucero tiene un total de 50 habitaciones, las cuales incluyenhabitaciones simples y habitaciones dobles. Si hay 10 habitaciones doblesmás que habitaciones simples ¿Cuántas habitaciones de cada clase tiene elcrucero?Luego la docente comentará: si representamos con “x” a la cantidad dehabitaciones simples y con “y” a la cantidad de habitaciones dobles ¿Cómoresolverían la situación planteada?Se espera que los alumnos planteen el siguiente sistema de dos ecuacioneslineales: x + y = 50 x + 10 = yLuego se recordará el método de igualación visto anteriormente y se esperaque los alumnos resuelvan el sistema del siguiente modo:  y = − x + 50 (1) • Despejando “y” obtenemos:   y = x + 10 (2) • Igualando ambas expresiones, encontramos el valor de x : − x + 50 = x + 10 50 − 10 = 2.x 40 = 2.x 20 = x • Reemplazado el valor de x en (1) o (2) obtenemos el valor de y: y = 20 + 10 y = 30Finalmente la respuesta al problema planteado es que en el crucero hay 20habitaciones simples y 30 habitaciones dobles.A continuación la docente preguntará a la clase ¿Qué forma tienen lasecuaciones obtenidas en el sistema? Se espera que los alumnos con ayuda dela docente respondan que son de la forma y=a.x+b, es decir la docenteexplicará que dichas ecuaciones responden a la forma de la función lineal.Luego se interrogará ¿Si hacemos la representación gráfica de las ecuacionesdel sistema que obtenemos? Se espera que los alumnos respondan queobtenemos dos rectas. 52
  4. 4. Luego se hará pasar a la pizarra a dos alumnos a graficar dichas rectas. Seespera que realicen lo siguiente:Luego de realizar la gráfica, se preguntará*¿Qué observan en el gráfico? Posiblemente la primera respuesta de losalumnos sea que las rectas se “cortan”.*¿Cuáles son las coordenada del punto donde se intersectan las rectas? Seespera que respondan que es el punto (20,30)*¿A que conclusión pueden llegar? Se espera que la clase interprete que elpunto intersección de las rectas coincide con la solución anteriormente halladadel sistema de dos ecuaciones lineales.A continuación la docente explicará que resolver un sistema de dos ecuacioneslineales mediante el método gráfico consiste en realizar la representación deambas ecuaciones y la solución del sistema es la intersección de ambasrectas.,Luego se dará las siguientes actividades:ACTIVIDAD 1: Resolver gráficamente los siguientes sistemas de ecuacionese indicar el punto solución. 2 x + 2 y = 8a)  − x + 2 y = 2 18 x + 6 y = 36 b)  3  y − x = −3  2Se espera que los alumnos resuelvan las actividades de la siguiente manera: 53
  5. 5. a) 7 y 6 5 4 3 2 1-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x -1 -2 -3 -4 -5b) 4 y 3 2 1-1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3Para continuar la clase la docente presentará las siguientes situacionesproblemáticas:SITUACION PROBLEMÁTICA 1: 54
  6. 6. El precio de un alfajor de chocolate mas el precio de una maicenita es de$4. El doble del precio del alfajor mas el doble del precio de la maicenitaes de $12.¿Cuál es el precio de ambos productos?Se espera que los alumnos planteen el siguiente sistema y lo resuelvanmediante el método gráfico:x + y = 4 y = −x + 4 → 2 x + 2 y = 12 y = −x + 6 6 y 5 4 3 2 1-1 1 2 3 4 5 6 x -1La docente junto a la clase interpretarán dicho gráfico. Se espera que losalumnos lleguen a la conclusión que como las rectas no se intersectan, nopodemos hallar su punto solución por lo tanto el sistema NO TIENESOLUCIONLuego se pedirá que realicen la resolución analítica del sistema de ecuaciones.Se espera que realicen lo siguiente:y = −x + 2y = −x + 6Igualando resulta:− x+2 = 6− x Absurdo. 2=6Posteriormente se interrogará ¿Es verdadera la igualdad obtenida? Como losalumnos responderán que no, la docente explicará que como no existe ningún 55
  7. 7. valor de x ni de y que haga verdadera esa igualdad, resulta que el sistema NOTIENE SOLUCIONSITUACION PROBLEMÁTICA 2:El precio de un alfajor de chocolate mas el precio de una maicenita es de$5. El triple del precio del alfajor mas el triple del precio de la maicenitaes de $15.¿Cuál es el precio de ambos productos?Se espera que los alumnos planteen el siguiente sistema y lo resuelvanmediante el método gráfico:x + y = 5 y = −x + 5 → 3 x + 3 y = 15 y = −x + 5 y 5 4 3 2 1 -1 1 2 3 4 5 x -1La docente explicará que las rectas comparten todos sus puntos, es decir setrata de rectas coincidentes. Luego preguntará ¿Cuál será la solución delsistema? Se espera que los alumnos lleguen a la conclusión de que el sistemade ecuaciones tiene INFINITAS SOLUCIONES.Luego se pedirá que realicen la resolución analítica del sistema de ecuaciones.Se espera que realicen lo siguiente:y = −x + 5 − x + 5 = −x + 5 Igualando resulta:y = −x + 5 5=5 56
  8. 8. Se explicará que la igualdad dada es válida, para todo valor de x e y. Por lotanto el sistema tiene INFINITAS SOLUCIONES.A continuación la docente formalizará lo expuesto dando las siguientesdefiniciones:Definición: Llamamos SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO aaquellos sistemas que tienen una única solución.Definición: Llamamos SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO aaquellos sistemas que tienen infinitas soluciones. Su resolución gráfica nosda un par de rectas coincidentes.Definición: Llamamos SISTEMA INCOMPATIBLE a aquellos sistemasque no tienen solución. Su resolución grafica no da un par de rectasparalelas no coincidentes.Finalmente la docente entregara el siguiente práctico para fijar los contenidosvistos:Actividad: Resolver gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones.Clasifíquelos 3.x + y = 2  y − 5 = −3.xa)  b)   y − x = −2 3 x + 1 = − y  y + 1 = 2.x − 20 + 4 y = −2.xc)  d)  3 y − 6 x = −3 2. y − 2 = 3.x  y + 3 = 2 / 5.x 3 y − 7.x = −9e)  f)  5 y − 5 = 2.x  y + 3 = 7 / 3. xSe espera que los alumnos resuelvan el práctico de la siguiente manera: 3.x + y = 2  y = -3.x + 2a)  ⇒   y − 3 x = −1  y = 3x - 1 57
  9. 9. La solución es (1/2,1/2) Sistema Compatible Determinado  y − 5 = −3.x  y = -3x + 5 b)  ⇒  3 x + 1 = − y  y = -3x - 1 Elsistema no tiene solución Sistema Incompatible  y + 1 = 2.x  y = 2.x - 1c)  ⇒  3 y − 6 x = −3  y = -1 + 2.x El sistema tiene infinitas soluciones Sistema Compatible Indeterminado 58
  10. 10. − 20 + 4 y = −2.x  y = -1/2.x + 5d)  ⇒  2. y − 2 = 3.x  y = 3/2.x + 1La solución es (2,4)Sistema Compatible Determinado y 6 5 4 3 2 1 -2 -1 1 2 3 x -1 -2  y + 3 = 2 / 5.x  y = 2/5.x - 3e)  ⇒  5 y − 5 = 2.x  y = 2/5.x + 1El sistema no tiene solución Sistema Incompatible 59
  11. 11. 3 y 2 1-3 -2 -1 1 2 3 x -1 -2 -3 -4 3 y − 7.x = −9  y = 7/3.x - 3f)  ⇒   y + 3 = 7 / 3. x  y = 7/3.x - 3El sistema tiene infinitas solucionesSistema Compatible Indeterminado y 2 1 -1 1 2 3 x -1 -2 -3 60

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