Es una guía práctica sobre los temas básicos de geometría analítica espero les sea de mucha utilidad.

1. Trabajo Especial
GEOMETRIA ANALITICA
PRESENTA:
José Manuel González Padilla
José Enrique Romero Flores
Omar Alejandro Rodríguez Cervantes
Athony Gamaliel Combo Ruiz
María Concepción Jiménez Ruiz
Dilean Nohemí Cortes Lili
PROFESORA:
MTRA. TREJO GOMEZ ELIZABETH
PUERTO VALLARTA, JALISCO MEXICO 07 DE MAYO DEL 2010
pág. 1

2. Temas
1. Conceptos Básicos punto, plano, función y línea recta
2. Cónica
a. Circunferencia
b. Elipse
c. Parábola
d. Hipérbola
3. Transformación de coordenadas
a. Polares a rectangulares
b. Rectangulares a polares
4. Ecuaciones paramétricas
a. Línea recta
b. Circunferencia
c. Elipse
d. Parábola
e. Hipérbola
pág. 2

3. Conceptos básicos punto, plano, función y
línea recta
Segmento rectilíneo dirigido. La porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama
segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremo del segmento.
En el segmento se puede decir que el punto de origen es A y su punto final es B, lo cual expresa que el
segmento va de A a B, aunque también puede expresar que va de B a A y en este caso el punto de origen seria
B y el punto final A.
Desde un el punto de vista de la Geometría elemental, las longitudes de los segmentos dirigidos, AB y BA, son
la mismas. En Geometría Analítica, sin embargo, se hace una distinción entre los signos de estas longitudes. Así,
especificamos, arbitrariamente, que un segmento dirigido en un sentido sería considerado de longitud positiva,
mientras que otro, dirigido en sentido opuesto seria considerado como un segmento de longitud negativa. De
acuerdo con esto si especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el
segmento dirigido BA tiene una longitud negativa, y escribimos.
pág. 3

4. Distancia entre dos puntos.
Para calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano se utiliza la formula siguiente:
Ejemplo:
Encuentra la distancia que hay entre el punto A y B.
Coordenadas
A (2,4)
B (7,4)
Expresión algebraica
Distancia del segmento
Formula
Sustitución
En este paso reemplazamos los valores de la formula por los datos de las coordenadas y lo resolvemos.
Respuesta: la distancia que hay del punto A al B es 5, ósea que el segmento tiene un valor de 5.
pág. 4

5. Gráfica.
4.5
Y
4
3.5
3
2.5
2
1.5 Segmento AB
1
0.5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
X
Pendiente y punto medio.
Para calcular la pendiente de un segmento ó línea utilizaremos la formula siguiente:
Para calcular el punto medio de un segmento ó línea utilizaremos las formulas siguientes:
Ejemplo.
Calcular la pendiente, el punto medio y la distancia que existen en cada una de las pendientes que se forman
con los puntos .
Coordenadas
A (-2,-3)
B (6,1)
C (-2,5)
pág. 5

6. Primero debemos graficar y observamos que se forman tres segmentos:
AB
BC
CA
Segmento
AB
Distancia
Sustitución
Resultado
pág. 6

7. Segmento
AB
Pendiente
Sustitución
Resultado
pág. 7

8. Segmento
AB
Punto medio
Sustitución
Resultado
pág. 8

9. Segmento
BC
Distancia
Sustitución
Resultado
pág. 9

10. Segmento
BC
Pendiente
Sustitución
Resultado
pág. 10

11. Segmento
BC
Punto medio
Sustitución
Resultado
pág. 11

12. Segmento
CA
Distancia
Sustitución
Resultado
pág. 12

13. Segmento
CA
Pendiente
Sustitución
Resultado
Nota: el segmento CA es una línea vertical por eso su pendiente es 0
pág. 13

14. Segmento
CA
Punto medio
Sustitución
Resultado
Gráfica.
pág. 14

15. Razón.
Para calcular razón se utiliza la formula siguiente.
Condición.
Ejemplo
Calcula la razón del segmento AB.
A (-3, -4)
B (6, 11)
Razón
Sustitución
pág. 15

16. Resultado
Gráfica.
pág. 16

17. Otros ejemplos
1.
Encuentra el valor de la pendiente y b de la ecuación siguiente
Primero tenemos que hacer la ecuación de la forma , que es la ecuación ordinaria de la línea.
Resolución
=36-9x
Resultado
2.
Cuando los datos son nada más las coordenadas de un punto y la pendiente, utilizamos la siguiente formula
.
A (1, 3); m=2
Sustitución
Resultado
pág. 17

18. Gráfica.
3.
Cuando los datos son nada más dos puntos utilizaremos la siguiente formula .
Ejemplo
A (-1, 3)
B (5, -4)
pág. 18

19. Sustitución
3
( 3)(6)
18
11
Resultado
Gráfica.
pág. 19

20. Línea perpendicular, paralela e inclinada.
Calcular el ángulo de dos líneas inclinadas.
1.
2.
3.
Cuando dos líneas son inclinadas.
pág. 20

21. Cuando dos líneas son inclinadas.
Ejemplo.
A (3, -2)
B (-5, 8)
C (4, 5)
Segmento
AC
Calculamos primero las pendientes de cada segmento.
Sustitución
Resultado
pág. 21

22. Segmento
BA
Resultado
Segmento
CB
Sustitución
Resultado
Una vez que ya conocemos las pendientes de cada segmento podemos utilizar la formula tres ya que son líneas
inclinadas.
pág. 22

23. Segmento
AC
BA
Sustitución
Resultado
Valor del ángulo que se encuentra entre el segmento AC y BA es
pág. 23

24. Segmento
BA
CB
Sustitución
pág. 24

25. Resultado
Valor del ángulo que se encuentra entre el segmento BA y CB es
Para encontrar el valor del último ángulo que se encuentra en el cruce del segmento AC y CB, no es necesario
hacer de nuevo todo ese procedimiento solo realizamos lo siguiente.
Cuando dos líneas son perpendiculares.
Ejemplo
Para calcular en el punto A (1, 4)
Sustitución
pág. 25

26. Solución
Ecuación para
Línea 2
Sustitución
Solución
Ecuación para
pág. 26

27. Gráfica.
Recta perpendicular y paralela.
Determina una recta perpendicular y paralela si conoces un punto y la ecuación de otra recta.
Ejemplo
(1, 4)
Sustitución
Solución
pág. 27

28. Solución
Solución
Ecuación para
Nota: .
.
pág. 28

29. En este caso buscamos que
Sustitución
Solución
Ecuación para
Nota: .
Gráfica.
pág. 29

30. Intersección de dos líneas inclinadas.
Resolución
Paso 1.
)
Paso 2.
Solución
pág. 30

31. Paso 3.
Solución
Nota: la intersección de
Gráfica.
pág. 31

32. Ejercicio 1.
Encontrar las coordenadas de los vértices de un triángulo con sus puntos medios.
Coordenadas
P (-2, 1)
Q (5, 2)
R (2, -3)
Nota: para encontrar los valores de “X” usamos la formula de punto medio
Resolución
Para punto P
Para punto Q
Para punto R
pág. 32

33. Nota: Ahora utilizamos la siguiente formula encontrar los valores de “Y”
pág. 33

34. Resolución
Para el punto P
Para el punto Q
Para el punto R
pág. 34

35. Nota: Coordenadas de los vértices del triangulo son:
A (-5, -4)
B (1, 6)
C (9, -2)
pág. 35

36. Hoja de formulas del segmento ó línea.
Distancia entre dos puntos
Pendiente
Punto medio
Razón
Líneas paralelas
Líneas perpendiculares
Dos líneas inclinadas
Ecuación ordinaria de la recta
Cuando nos dan solo dos puntos como datos
Cuando nos dan solo un punto y la pendiente como datos
pág. 36

37. Circunferencia
Definición. Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera se
conserva siempre un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia
constante de un punto fijo de ese plano. Le punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia
constante se llama radio.
Ecuación General +F=0
Ecuación Ordinaria
r: radio
c: centro (h, k)
c
Si
Si
Si =0 “es un punto”
pág. 37

38. Ejemplo.
Sustitución
Resultados
Gráfica.
pág. 38

39. Ejemplo.
Encontrar el punto medio AB, es c (h, k)
Sustitución
Para
Para
Las coordenadas del centro de la circunferencia son.
pág. 39

40. Gráfica.
Para calcular el radio de la circunferencia.
Resolución
Utilizamos las coordenadas del punto A.
pág. 40

41. Sustitución
Para encontrar la ecuación general de la circunferencia.
Sustitución
Ecuación de la circunferencia
Ejemplo.
Encuentra la ecuación ordinaria y general de la siguiente circunferencia.
pág. 41

42. Identificamos los valores para y
Sustituimos los valores de y en la siguiente formula
Sustitución
Ecuación ordinaria
Ecuación General
Gráfica.
pág. 42

43. Línea tangente a la circunferencia
Ejemplo.
Encuentra la ecuación para y , determina el punto tangencial, el valor de y la ecuación de la
circunferencia.
Datos.
Línea tangente
1. Encontrar el valor de .
Para encontrar el valor de debemos de encontrar primero el valor de
Tomamos la ecuación de la línea tangente ( ).
Y la expresamos en su forma.
Sustitución
Resultado
pág. 43

44. Ahora que conocemos el valor de podemos calcular el valor de .
Utilizamos la formula siguiente
¿Por qué usamos esa formula?
Por que la línea tangente es perpendicular a .
Sustitución
Resultado
Ahora que ya encontramos el valor de la pendiente de , podemos saber cual es su ecuación.
Datos.
pág. 44

45. 2. Ecuación
Para eso utilizamos esta formula.
Sustituimos y por los valores de las coordenadas del centro y por el valor de .
Sustitución
Resultado
3. Determinar el punto tangencial
Resolución
Multiplicamos la ecuación de por 5 y la ecuación de por 12, en este caso para eliminar las “y”.
Sumamos las dos ecuaciones y eliminamos las “y”.
pág. 45

46. Resultado
Ahora solo sustituimos el valor de “x” en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar
el valor de “y”.
Sustitución
Multiplicamos cruzado (50)(1), (13)(-2) y por ultimo los divisores (13)(1).
Resultado
pág. 46

47. Punto tangencial
4. Determinar .
Los valores para “k” y “h” son las coordenadas del punto C y los valores de “x” y “y” son los valores de
las coordenadas del punto tangencial, utilizamos la siguiente formula.
Sustitución
Nos enfocamos en esta parte de la ecuación
Primero los signos – nos da +2.
Segundo multiplicando de forma cruzada.
Nos queda la siguiente expresión y la pasamos al mismo lado de donde lo tomamos y continuamos.
pág. 47

48. Resultado
5. Ecuación de la circunferencia.
Sustituimos los valores del punto “C” y en la siguiente ecuación.
Sustitución
Resultado
Gráfica.
pág. 48

49. Cuando solo conocemos tres puntos sobre la circunferencia.
Ejemplo.
Paso No.1
Utilizamos la formula general de la circunferencia y sustituimos , por los valores de cada uno de los
puntos y obtenemos tres ecuaciones.
+F=0
Ecuación P
Sustituimos
+F=0
9+3E+F=0
Ecuación Q
+F=0
9+3D+F=0
Ecuación Q
+F=0
F=0
pág. 49

50. Paso No.2
Tomamos las tres ecuaciones y acomodamos sus términos.
3E+F+9=0
3D+ F+9=0
F=0
Como podemos observar ya tenemos el valor para “F” que es igual a cero, ahora solo sustituimos el valor de
“F” en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de “D” ó “E”.
Valor de E
Sustitución
Valor de D
Paso No.3
Sustituimos los valores que obtuvimos en a ecuación general de la circunferencia y nos queda este resultado.
pág. 50

51. Nota: En este ejemplo para encontrar los valores de “D”, “E”, y “F” fue sencillo quizás en otros ejercicios
tendrás que utilizar el método de gauss o determinantes para poder resolver este sistema de ecuación con tres
incógnitas.
Gráfica.
pág. 51

52. Elipse
Definición. Elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de las distancias a dos puntos fijos es
constante. Los puntos fijos se llaman
focos.
Ecuación ordinaria.
O bien.
Si los focos fueran los puntos de
coordenadas , el eje ,
con la que la ecuación resulta de la forma.
Ecuación General.
Condición. Siempre que A y B sean del mismo signo.
Lado recto.
Lado recto se denomina a la cuerda perpendicular al eje mayor por uno de los focos.
Para calcular el valor de “c”
La excentricidad.
pág. 52

53. Directriz.
Como la elipse tiene dos focos también tendrá dos directrices.
Si estuviera sobre la eje de las y
Los puntos en los cuales la elipse corta al eje mayor se llaman vértices. Si el centro de la elipse es el punto
y el eje mayor tiene dirección del eje “x” la ecuación de la elipse es de la forma.
Si el eje mayor fuera paralelo o bien al eje “y”.
En cualquiera de los caso la forma general de la ecuación de la elipse es.
Condición. Siempre que A y B sean del mismo signo.
pág. 53

54. Ejemplo.
Encuentra la ecuación ordinaria para la siguiente elipse, los valores de a, b, c, e, lado recto y directriz.
Debemos convertir esa ecuación a esta otra expresión.
Resolución
Para convertir el 576 a 1 lo dividimos entre su mismo valor, después dividimos 576/ 9 y el resultado lo
sustituimos en de igual forma 576/16 y el resultado lo sustituimos por .
Nos queda la siguiente expresión que es la ecuación ordinaria de la elipse.
Entonces:
Para saber cuanto vale “a” y “b”, solo le sacamos la raíz cuadrada a cada uno de los términos.
pág. 54

55. Para “a”
Para “b”
Para “c”.
Sustitución
Excentricidad.
Sustitución
Lado recto.
Sustitución
pág. 55

56. Directrices.
Sustitución
La primera directriz toma un valor positivo.
Lo mismo pero ahora con un valor negativo.
pág. 56

57. Gráfica.
Coordenadas.
P (5.29, 4.5)
Q ( 5.29, 4.5)
R (5.29, 4.5)
Q ( 5.29, 4.5)
Vértices (a, 0)
Focos (c, 0)
pág. 57

58. Cuando la elipse esta a fuera del origen, los focos y los vertices se calculan igual solo por un pequeño
cambio.
Para los focos.
F (h k)
Para los vértices
V (h k)
Este símbolo significa que la variable va tomar dos valores uno positivo ( ) y despues uno negativo( .
Ejemplo.
Datos
h= 8
c= 4
k=10
F (h k)
Sustitución
Cuando toma valor positivo.
(8 10)
(12 10)
Cuando toma valor negativo.
(8 10)
(4 10)
pág. 58

59. Parábola
Definiciones. La ecuación de la parábola la deduciremos
a partir de su definición como el lugar geométrico de un
punto que se mueve de acuerdo con una ley especificada.
Definición. Una parábola es un lugar geométrico de
un punto que se mueve en un plano de tal manera que
su distancia de una recta fija, situada en el plano, es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano
y que no pertenece a la recta.
El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la
parábola.
La definici6n excluye el caso en que el foco está sobre
la directriz.
Parábola con vértice en el origen .
Tabla de formulas.
Vértice Foco Directriz Ecuación Abre
I. Derecha
II. Izquierda
III. Arriba
IV. Abajo
LR es igual al lado recto.
pág. 59

60. II.
III. IV.
pág. 60

61. Ejemplo:
Al observar la ecuación el signo negativo nos dice que abre hacia la izquierda sobre la eje de las “x”, ya que la
ecuación que la satisface es.
Sabemos que el LR es 4 veces el valor de “a”
Sustitución
Foco.
F (−4,0)
Sustitución
Directriz.
Sustitución
pág. 61

62. Parábola con vértice en el origen .
Tabla de formulas.
Vértice Foco Directriz Ecuación Abre
I. Derecha
II. Izquierda
III. Arriba
IV. Abajo
Ejemplo.
; directriz determina ecuación de la parábola.
Datos.
Primero ubicamos el foco y la directriz en la grafica, si ponemos atención la directriz nos dice hacia
donde se abre la parábola, en este caso la directriz , quiere decir que nuestra parábola abre
hacia arriba.
Resolución
pág. 62

63. Sustitución
Ecuación Ordinaria
Ecuación General
Foco.
Sustitución
Gráfica.
pág. 63

64. Transformación de coordenadas
Rectangular – Polar
Polar – Rectangular
Nota. El radio siempre es positivo
Ejemplo de Rectangular – Polar.
Q esta coordenas rectangulares ¿coordenas polar del punto Q?
Resolución
pág. 64

65. Debemos de observar hacia donde se abre nuestro ángulo para así saber si le vamos a sumar o
restar grados.
Coordenadas Polares
Ejemplo de Polar – Rectangular.
Encuentra las coordenadas rectangulares para el punto “R”.
Resolución
pág. 65

66. Coordenadas rectangulares
pág. 66

67. Ecuaciones Paramétricas
Línea recta.
Para resolver los ejemplos necesitamos hacer una tabla en Excel y colocar las siguientes formulas en
la columna y fila correspondiente, para poder obtener una línea recta con las coordenadas de los dos
puntos.
b3=b2-b1
c3=c2-c1
Para “t” intervalo.
A7=(A6+(1/20))
Para los valores de “x”.
B6=($B$1+$B$3*A6)
Para los valores de “y”.
C6=($C$1+$C$3*A6)
En todos los ejemplos en la tablas solo se muestran tres valores iníciales y tres valores finales de la
misma. Todas las tablas inician desde A6 hasta A26.
pág. 67

68. Ejemplo No.1
¿Cuál es la línea recta que forman los puntos A y B?
P 8 16
Q 4 8
(Q-P) -4 -8
t x y
0 8 16
0,05 7,8 15,6
0,1 7,6 15,2
0,9 4,4 8,8
0,95 4,2 8,4
1 4 8
Gráfica.
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
pág. 68

69. Ejemplo No.2
¿Cuál es la línea recta que forman los puntos C y D?
P 12 6
Q 3 9
(Q-P) -9 3
t x y
0 12 6
0,05 11,55 6,15
0,1 11,1 6,3
0,9 3,9 8,7
0,95 3,45 8,85
1 3 9
Gráfica.
18
Y
16
14
12
10
8
Series1
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10
X
pág. 69

70. Ejemplo No.3
¿Cuál es la línea recta que forman los puntos E y F?
P 10 2
Q 15 12
(Q-P) 5 10
t x y
0 10 2
0,05 10,25 2,5
0,1 10,5 3
0,9 14,5 11
0,95 14,75 11,5
1 15 12
Gráfica.
14
Y
12
10
8
6
Series1
4
2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16
X
pág. 70

71. Circunferencia.
Formulas.
Para intervalo “t”
A7=(A6+(1/20)*2*PI())
Para los valores de “x”
B6=($B$1+$B$2*COS(A6))
Para los valores de “y”
C6=($C$1+$B$2*SENO(A6))
Ejemplo No.1
Gráfica la circunferencia con su centro en las coordenadas y con un radio de 8.
c 0 0
r 8
t X Y
0 8 0
0,3 7,6 2,472135955
0,6 6,5 4,702282018
0,9 4,7 6,472135955
5,7 6,5 -4,702282018
6,0 7,6 -2,472135955
6,3 8,0 -1,96024E-15
pág. 71

72. 4.5
4
3.5
3
2.5
Y
2
Series1
1.5
1
0.5
0
0 2 4 6 8 10
X
Ejemplo No.2
Gráfica la circunferencia con su centro en las coordenadas y con un radio de 4.
c 8 2
r 4
t X Y
0 12 2
0,3 11,8 3,236067977
0,6 11,2 4,351141009
5,7 11,2 -0,351141009
6,0 11,8 0,763932023
6,3 12,0 2
pág. 72

73. Gráfica.
4.5
4
3.5
3
2.5
Y
2
1.5 Series1
1
0.5
0
0 2 4 6 8 10
X
Ejemplo No.3
Gráfica la circunferencia con su centro en las coordenadas y con un radio de 2.
c 6 2
r 2
t X Y
0 8 2
0,3 7,9 2,618033989
0,6 7,6 3,175570505
5,7 7,6 0,824429495
6,0 7,9 1,381966011
6,3 8,0 2
pág. 73

74. Gráfica.
4.5
4
3.5
3
2.5
Y
2
1.5 Series1
1
0.5
0
0 2 4 6 8 10
X
Elipse.
Formulas.
Para intervalo “t”
A7=(A6+(1/20)*2*PI())
Para valores de “x”
B6=($B$1+$B$2*COS(A6)
Para valores de “y”
C6=($B$1+$B$3*SENO(A6))
pág. 74

75. Ejemplo No.1
Gráfica la elipse con , y
0 10
a 8
b 2
t X Y
0 18 10
0,3 17,6084521 10,618034
0,6 16,472136 11,1755705
5,7 16,472136 8,8244295
6,0 17,6084521 9,38196601
6,3 18 10
Gráfica.
14
12
10
8
Y
6
Series1
4
2
0
0 5 10 15 20
X
pág. 75

76. Ejemplo No.2
Gráfica la elipse con , y .
2 5
a 36
b 2
t X Y
0 41 5
0,3 39,2380346 5,61803399
0,6 34,1246118 6,1755705
5,7 34,1246118 3,8244295
6,0 39,2380346 4,38196601
6,3 41 5
Gráfica.
70
60
50
40
30
20
Y
Series1
10
0
0 5 10 15 20 25 30
-10
-20
-30
X
pág. 76

77. Ejemplo No.3
Gráfica la elipse con , y .
16 20
a 6
b 42
t X Y
0 26 20
0,3 25,7063391 32,9787138
0,6 24,854102 44,6869806
5,7 24,854102 -4,6869806
6,0 25,7063391 7,02128624
6,3 26 20
Gráfica.
70
60
50
40
30
20
Y
Series1
10
0
0 5 10 15 20 25 30
-10
-20
-30
X
pág. 77

78. Parábola
Para “t” intervalo,
A7=(A6+($C$3-$B$3)/20)
Para los valores de “x”
B6=((A6-$C$1)^2)/(4*$B$2)+$B$1
Para los valores de “y”
C6=(A6)
Ejemplo No.1
Gráfica la parábola con , y
v 0 0
p 1
t 2 15
t X Y
-5 6,3 -5,0
-4,35 4,7 -4,35
-3,70 3,4 -3,70
6,70 11,2 6,70
7,35 13,5 7,35
8,00 16,0 8,00
pág. 78

79. Gráfica.
8.0
6.0
4.0
2.0
Y
0.0 Series1
-10.0 -5.0 0.0 5.0
-2.0
-4.0
-6.0
X
Ejemplo No.2
Gráfica la parábola con , y
v 5 2
p 1
t 2 20
t X Y
-5 17,3 -5,0
-4,10 14,3 -4,10
-3,20 11,8 -3,20
11,20 26,2 11,20
12,10 30,5 12,10
13,00 35,3 13,00
pág. 79

80. Gráfica.
8.0
6.0
4.0
2.0
Y
Series1
0.0
-10.0 -5.0 0.0 5.0
-2.0
-4.0
-6.0
X
Ejemplo No.3
Gráfica la parábola con , y .
v -9 2
p 1
t 2 14
t X Y
-5 3,3 -5,0
-4,40 1,2 -4,40
-3,80 -0,6 -3,80
5,80 -5,4 5,80
6,40 -4,2 6,40
7,00 -2,8 7,00
pág. 80

81. Gráfica.
8.0
6.0
4.0
2.0
Y
Series1
0.0
-10.0 -5.0 0.0 5.0
-2.0
-4.0
-6.0
X
Hipérbola
Formula.
Para “t” intervalo,
A7= (A6+(1/20)*2*PI())
Para los valores de “x”
B6= $B$1+$B$2/COS(A6)
Para los valores de “y”
C6=$C$1+$B$3*TAN(A6)
Para graficar la hipérbola se toma los valores siguientes.
Serie 1
x= hiperbola!
$B$7:$B$15
pág. 81

82. y= hiperbola!
$C$7:$C$15
Serie 2
x=Hiperbola! $B$17:
$B$25
y= Hiperbola! $C$17:
$c$25
Ejemplo No.1
Gráfica la hipérbola con ,
0 9 8
a 16
b 8
t x y
-1,571 2,61193E+17 -1,30596E+17
-1,257 60,77708764 -16,6214683
-0,942 36,22082587 -3,011055364
4,084 -18,22082587 19,01105536
4,398 -42,77708764 32,6214683
4,712 -8,70643E+16 4,35321E+16
pág. 82

83. Gráfica.
4
3
2
1
0 Series1
Y
-4 -2 0 2 4 Series 2
-1
-2
-3
-4
X
Ejemplo No.2
Gráfica la hipérbola con ,
0 5 0
a -32
b 8
t x y
-1,571 -5,22386E+17 -1,30596E+17
-1,257 -98,55417528 -24,6214683
-0,942 -49,44165173 -11,01105536
4,084 59,44165173 11,01105536
4,398 108,5541753 24,6214683
4,712 1,74129E+17 4,35321E+16
pág. 83

84. Gráfica.
4
3
2
1
0 Series1
Y
-4 -2 0 2 4 Series 2
-1
-2
-3
-4
X
Ejemplo No.3
Gráfica la hipérbola con ,
0 0 0
a 1
b 1
t x y
-1,571 1,63246E+16 -1,63246E+16
-1,257 3,236067977 -3,077683537
-0,942 1,701301617 -1,37638192
4,084 -1,701301617 1,37638192
4,398 -3,236067977 3,077683537
4,712 -5,44152E+15 5,44152E+15
pág. 84

85. Gráfica.
4
3
2
1
0 Series1
Y
-4 -2 0 2 4 Series 2
-1
-2
-3
-4
X
Bibliografía.
Geometría Analítica (Charles H. Lehmann - Limusa, 1989).
Software usado para las graficas “graphmatica”
Pagina web. http://www.graphmatica.com/
pág. 85