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順序数入門 Ver.ω

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日曜数学会Adventar用資料。FGHでよく使う順序数について。

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順序数入門 Ver.ω

  1. 1. 順序数入門 伊藤那由多
  2. 2. 以下、0は自然数に 含まれるものとする。
  3. 3. 順序数とは何か • 順序数は、ある種類の集合である。 • 全ての自然数は、それぞれの自然数に対す る集合を適切に定めることにより、順序数とし て扱うことが出来る。
  4. 4. 0を作ろう • 0は、最も小さい順序数である。 • 0は、空集合として定義される。 0 = {}
  5. 5. 自然数を作る • 1以上の自然数は、「それより小さいすべての 自然数の集合」として帰納的に定義される。 • すなわち、以下のようになる。 1 = 0 = {{}} 2 = 0,1 = {}, {} 3 = 0,1,2 = {}, {}, {} ⋯ ⋯
  6. 6. 順序数の大小関係 • 順序数である集合𝛼, 𝛽について、𝛼が𝛽より大 きいことを𝛼 > 𝛽で表し、その定義は「集合𝛼 が集合𝛽を含む」とする。 • 数式で書くと次のようになる。 𝛼 > 𝛽 ⇔ 𝛼 ⊃ 𝛽
  7. 7. 極限順序数 • 「すべての自然数の集合」を、ωと呼ぶことに する • ωはどんな自然数よりも大きい最小の順序数 • ω-1は定義されない • 順序数αに対し、α-1が定義されるときαは「後 続順序数」であるといい、定義されない時αは 「極限順序数」であるという – ωは極限順序数である
  8. 8. 基本列 • 全ての(加算な)極限順序数には、「基本列」とよ ばれる順序数の列が定義されている。 – 基本列の極限を取ると、必ずもとの極限順序数にな る。 • 基本列を定めることにより極限順序数が定義さ れている場合もある • ωの基本列は0,1,2,3,…(自然数の列)
  9. 9. より直観的な説明(1) • ある順序数の数列(基本列)に対し、1,2,3,…と なっている部分をωで置き換えるとより大きい 順序数が得られる – ω+1,ω+2,ω+3,… →ω+ω – ω^1,ω^2,ω^3,… →ω^ω – ω^(ω+1)+ω^2, ω^(ω+1)+ω^2*2, ω^(ω+1)+ω^2*3,… → ω^(ω+1)+ω^3
  10. 10. より直観的な説明(2) • 基本列は、「右端のωのみをnで置き換える」 ことで得られる • 右端がωではない極限順序数は、右端をωに してからnで置き換える – ω^ω[n]=ω^n – ω*4[n]=(ω*3+ω)[n]=ω*3+n – ω^(ω^ω+ω^2+1)[n]= ω^(ω^ω+ω^2)*ω[n]= ω^(ω^ω+ω^2)*n
  11. 11. ωの先へ • ω+1={0,1,2,3,….,ω} • 一般に、順序数αに対して「αの要素にα自身 を足したもの」をα+1と定義する – αが自然数の場合もこの定義は有効 • ω+2={0,1,2,3,….,ω,ω+1} • ω+3={0,1,2,3,….,ω,ω+1,ω+2} • ω+4={0,1,2,3,….,ω,ω+1,ω+2,ω+3} • …
  12. 12. 極限を取る • ω+ω={0,1,2,3,…,ω,ω+1,ω+2,…} • 以下、集合ではなく基本列で表記することに する • (ω+ω)[n]=ω+n – ω+ωの基本列のn番目はω+nという意味 – ω+ωはω+nで表されるどの順序数よりも大きい
  13. 13. 具体例(1) • ω+ω=ω*2 • ω*2+1, ω*2+2, ω*2+3,…→ω*3 – ω*3[n]=ω*2+n • ω*3+1, ω*3+2, ω*3+3,…→ω*4 – ω*4[n]=ω*3+n • ω*k[n]=ω*(k-1)+n
  14. 14. 具体例(2) • ω*1, ω*2, ω*3, ω*4,… →ω*ω=ω^2 • ω^2*1, ω^2*2, ω^2*3, ω^2*4,… →ω^2*ω=ω^3 • ω^3,ω^4,ω^5,… →ω^ω • ω^ω, ω^ω*2, ω^ω*3, ω^ω*4,… →ω^(ω+1) • ω^(ω+1), ω^(ω+2), ω^(ω+3),… →ω^(ω*2)
  15. 15. ωの累乗 • ω^(ω*2), ω^(ω*3), ω^(ω*4),… →ω^ω^2 • ω^ω^ω • ω^ω^ω^2 • ω^ω^ω^ω • ω^ω^ω^ω^ω • …
  16. 16. ωの彼方へ 𝜖0 = 𝜔 𝜔 𝜔 𝜔⋯
  17. 17. これ以降の順序数について 書き続けるときりがないので ここで終わりにします
  18. 18. これ以降にも 順序数は 無限に続く・・・ 𝜖 𝜖0 𝜁0 𝜑(𝜔, 0) 𝜗(Ω 𝜔 ) 𝜗(𝜖Ω+1) 𝜔1 𝐶𝐾
  19. 19. スライドショーの最後です。クリックすると終了します。

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