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07 Integrales indefinidas

Definición de Integrales indefinidas.

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07 Integrales indefinidas

  1. 1. INTEGRAL INDEFINIDA<br />INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE<br />MATEMATICA II<br />ANIVAL TORRE<br />1<br />
  2. 2. Integral Indefinida<br />ANIVAL TORRE<br />2<br /> Dada una función f, la anti derivada de la función f es otra función F, tal que f΄(x)= f(x)<br /> Ejemplo de éste proceso, se tiene la tabla que muestra la función f(x) y su anti derivada F΄(x)<br />  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
  3. 3. ANIVAL TORRE<br />3<br /> Obsérvese que si una función tiene una anti derivada, entonces tiene muchas anti derivadas, por lo contrario una función sólo puede tener una derivada así tenemos F(x)= x³ es una anti derivada de f(x)= 3x². <br /> También son las funciones G(x)= x³ + 17, H(x)= x³ - 20<br /> En general F(x)= x³ + C es una anti derivada de f(x)= 3x² para cualquier valor de la constante C, por lo tanto: F(x) + C<br /> Si F es una anti derivada de f en un intervalo I entonces la anti derivada más general de f tiene la forma: F(x) + C<br />Integral Indefinida<br />
  4. 4. ANIVAL TORRE<br />4<br /> Dada las funciones F: I  R y G: I  R, <br /> Tales que G’(x) = F(x) para todo x I, se da el nombre de anti derivada, primitiva o integral indefinida de F(x) a la función G(x), denotada por:<br />Ant[ F(x) ] =  F(x) dx = G(x). <br />Es decir:  F(x) dx = G(x) G’(x) = F(x)<br />Integral Indefinida<br />
  5. 5. ANIVAL TORRE<br />5<br /> Proposición.<br />  La siguiente proposición permite evaluar las integrales indefinidas.<br /> Dada las funciones f: i  r y g: i  r, tales que g’ (x) = f(x) ,  x  i,<br /> Entonces <br /> f(x) dx = g(x) + c <br /> donde c es la constante de integración.<br />Integral Indefinida<br />
  6. 6. ANIVAL TORRE<br />6<br />Evaluar la integral indefinida de las funciones:<br /> 01) f(x) = 2x <br /> solución:<br /> f(x) dx = g(x) + c [g(x) + c]’ = f(x), <br /> 2xdx = x2 + c; pues (x2+c)’= 2x<br /> la gráfica de esta integral se representa por una familia de parábolas; existiendo una parábola para cada valor de la constante c.<br />
  7. 7. Evaluar la integral indefinida de las funciones:<br />ANIVAL TORRE<br />7<br />02)f(x) = cos x<br />solución<br /> cos x dx = sen x + c ; pues, (sen x +c)’ = cos x<br />03) f(x) = 6x<br />solución<br /> 6xdx = 3x2+ c pues, (3x2+ c) ’ = 6x<br />04) f(x)= 5x2<br />solución<br /> 5x2 dx = 5/3x3+ c pues, (5/3x3+ c) ’ = 5x2<br />
  8. 8. ANIVAL TORRE<br />8<br />Evaluar la integral indefinida de las funciones:<br />05)f(x) = 10x<br />solución<br /> 10xdx = 5x2+ c pues, (5x2+ c) ’ = 10x<br />06) f(x) = 4x3<br />solución<br />4x3 dx = x4+ c pues, (x4+ c) ’ = 4x 3<br />07) f(x) = 5x4<br />solución<br />5x4 dx = x5+ c pues, (x5+ c) ’ = 5x 4<br />
  9. 9. ANIVAL TORRE<br />9<br />Evaluar la integral indefinida de las funciones:<br />08) f(x) = 2x 3<br />09) f(x) = 7x 6<br />10) f(x) = 8x 7<br />11) f(x) = ½ x 3<br />12) f(x) = 9x 8<br />13) f(x) = sen x<br />14) f(x) =tg x<br />15) f(x) = ctg x<br />16) f(x) = sec x<br />17) f(x) = csc x<br />
  10. 10. ANIVAL TORRE<br />10<br />
  11. 11. ANIVAL TORRE<br />11<br />29)  audx =audx 30)  (u+v)dx = udx + vdx <br />
  12. 12. PROBLEMAS DE APLICACION<br />ANIVAL TORRE<br />12<br />Determine las siguientes integrales<br />x5 dx = x5+1 /6+ c<br /> 3x2 dx = 3 x2 dx =3x2+1 /3+ c =x3 +c<br />dx/ x2 =  x-2 dx = x-2+1 / -1 + c = -1 / x + c<br /> (x2 +x)dx = x2 dx +  xdx =(x 3/3 +c1) + x 2/2 +c2) <br /> =x 3/3 + x 2/2 +c donde: c= c1 + c2<br />5)x1/2 dx = x 1/2+1/ 3/2 + c= 2x 3/2 /3 + c<br />6) dx / x1/2 =  x-1/2 dx= x-1/2 +1 / ½ + c =x1/2 / ½ + c <br />
  13. 13. ANIVAL TORRE<br />13<br />7)  (3x2 +2x)dx <br />8)  (2x2 -5x + 3)dx <br />9)  (x+2) 2 dx <br />10)  (2x-2) 2 dx <br />11)  (3x+1) 3 dx <br />12) (1-x)√x dx<br />13) (2+x)√x dx<br />14) (1-x 2)√x dx<br />15)  (x2 +5x - 3)/x dx <br />16)  (x3 +5x 2 - 4)/x 2 dx<br />17)  (x2 +x)(2x+1)dx <br />18)  (x3 +2x)(3x 2 +2)dx <br />19)  (4x2 -3x)(8x-3)dx<br />20)  2e2xdx<br />21)  4xe2x²dx<br />22)  12xe3x²dx<br />23)  12x²e4x³dx<br />24)  2* 52xdx<br />25)  2* 46xdx<br />26)  3x* 73x²dx<br />27)  (6x+5)* 73x² +5xdx<br />28)  3x² / x3 dx<br />29)  (6x + 9) / (3x2 + 9x)dx<br />30)  2x3 / x4 dx<br />PROBLEMAS DE APLICACION<br />
  14. 14. Integración por cambio de variable<br />ANIVAL TORRE<br />14<br /> Para integrar usando la tabla, es necesario observar que la diferencial esté completa. Si no lo esta, es indispensable completarla. Para ello , debe multiplicarse y dividirse por una constante, en ningún caso se completan con variables. En esta sección damos ejemplos sobre el caso.<br />
  15. 15. APLICACIONES<br />ANIVAL TORRE<br />15<br /> 1) I= (x3+3)5 x2 dx<br />sea: u = x3+3<br /> du = 3x2 dx<br />Como en la integral dada tenemos solo x2dx , entonces completamos con 3:<br />I=1/3  (x3+3)5 3x2 dx = 1/3 u5 du = u6 / 6 + c<br />I=<br />
  16. 16. ANIVAL TORRE<br />16<br />2. I=  (2x3+4)1/2x2dx<br />SOLUCION:<br />u=2x3+4 ; du= 6x2dx<br />I=1/6 (2x3+4)1/2 6x2dx<br />I=1/6  u1/2du =1/6 (u3/2) / 3/2 + c<br />I=2/18 u3/2 +c = 1/9(2x3+4 ) 3/2 + c<br />
  17. 17. ANIVAL TORRE<br />17<br />3)  (2x+1)2 dx<br />4)  (3x-1)2 dx<br />5)  (4x2 + 2x)3(8x+2)dx<br />6)  (5x3 +2x2)4dx<br />
  18. 18. EXPONENCIAL eudu = eu +c<br />ANIVAL TORRE<br />18<br />sea: u = 3x2 – 2 du = 6x dx<br />= 1/6  (6x) dx = 1/6  eu du<br /> <br />1/6 eu + c = 1/6 + c<br /> <br /> <br />
  19. 19. DETERMINE LAS INTEGRALES <br />ANIVAL TORRE<br />19<br />1) 3e3xdx<br />2) 2e2x+1dx<br />ex²*2xdx<br />e5x²*10xdx<br />18e6xdx<br />e2xdx<br />2e4xdx<br />8) (1/3e5x+1)dx<br />9) ex²*5xdx<br />10) (4e3x +3e4x)dx<br />
  20. 20. ANIVAL TORRE<br />20<br />aplicaciones<br />52x2dx<br />34x-14dx<br />2x6x²dx<br />9(3x²+x)6x+1)dx<br />72xdx<br />12(x-1)²(x-1)dx<br />11(x+1)³ (x+1)²dx<br />(32x+24x)dx<br />
  21. 21. LOGARITMICADu/u =ln I u I +c<br />ANIVAL TORRE<br />21<br />APLICACIONES<br />sea: u = 25-16x2 du = -32x dx<br /> =- = -<br />
  22. 22. ANIVAL TORRE<br />22<br />2)2 /(2x+1) dx<br />3) (6x+2) /(3x²+2x) dx<br />4) 2(x+1) /(x+1) ²dx<br />5) 3x² /(2x³+1) dx<br />6) (4x+4) /(x²+2x) dx<br />7) (2x+1) /(2x²+2x) dx<br />8) 3(x+1) /(x+1) ²dx<br />
  23. 23. PREGUNTAS DE REPASO<br />ANIVAL TORRE<br />23<br />
  24. 24. PREGUNTAS DE REPASO N°10<br />ANIVAL TORRE<br />24<br />
  25. 25. ANIVAL TORRE<br />25<br />11.  (2x4+3)1/2x3dx<br />12.<br />13.  (x4- 3)3 2x3 dx<br />14.<br />15.  ( 3x+3) / (3x2+6x )1/2<br />
  26. 26. Fórmulas de Derivación Trigonométricas<br />ANIVAL TORRE<br />26<br />
  27. 27. Fórmulas de Integración Inmediata.<br />ANIVAL TORRE<br />27<br />1.  sen u du = - cos u + c<br />2.  cos u du = sen u +c<br />3.  tg u du = ln sec u + c<br />4.  ctg u du = ln sen u + c<br />5.  sec u du = ln sec u + tg u + <br />6.  csc u du = ln csc u – ctg u+ c<br />7.  sec 2 u du = tg u + c<br />8.  csc 2 u du = - ctg u + c<br />9.  sec u tg u du = sec u + c<br />
  28. 28. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS<br />ANIVAL TORRE<br />28<br />1. sen²x + cos²x= 1 2. 1+ tg²x=sec²x<br />3. 1+ ctg²x=csc²x 4. sen²x=(1- cos2x)/2<br />5. cos²=(1+cos2x)/2 6. senx. cosx= (sen2x)/2<br />7. senx.cscx=1 8. cosx.secx=1<br />9. tgx.ctgx=1 10. sen2x =2senx.cosx<br />11. cos2x= cos²x - sen²x 12. (1-cosx)=2sen²(x/2) <br />13. (1+cosx) = 2 cos²(x/2)<br />
  29. 29. APLICACIONES:Sen u du = - cos u + c<br />ANIVAL TORRE<br />29<br />Integrar las siguientes funciones<br />1)<br />2)<br />
  30. 30. ANIVAL TORRE<br />30<br />3) sen 2x dx<br />Solución:<br />completando diferenciales<br />sen 2x dx = -(1/2)  -sen 2x.2 dx <br /> -1/2 cos 2x + c<br />
  31. 31. ANIVAL TORRE<br />31<br />(sen x )2dx<br />Identidad trigonométrica:<br />( sen x )2 = sen2x =1/2 (1-cos 2x)<br />( cos x )2 = cos2x =1/2 (1+cos 2x)<br /> ½ (1 – cos2x)dx<br />  ½dx - 1/2  cos2xdx<br /> 1/2 x +c1 - ½*1/2 cos2x 2dx<br /> 1/2 x + c1 - ¼ sen 2x + c2<br />=1/2 x - ¼ sen 2x + c donde c= c1 + c2<br />
  32. 32. IDENTIDAD TRIGONOMETRICA:<br />ANIVAL TORRE<br />32<br /><ul><li>5) I= Sen2 2x dx
  33. 33. sen2x = (1-cos 2x) sen22x =1/2 (1-cos 4x)
  34. 34. I=sen2 2x dx = 1/2 (1-cos 4x)dx</li></ul> I= ½dx - 1/2  cos4xdx<br /> I=1/2 x +c1 - ½*1/4 cos4x 4dx<br /> I= 1/2 x + c1 - 1/8 sen 4x + c2<br />I=1/2 x - 1/8sen 4x + c donde c= c1 + c2<br />
  35. 35. cos u du =senu +c<br />ANIVAL TORRE<br />33<br />1) cos 4x dx<br />Completando diferenciales<br />1/4cos 4x 4dx= ¼ sen4x + c<br />2) cos 1/5 x dx<br />Completando diferenciales:<br />5cos 1/5 x 1/5dx = 5 sen 1/5 x + c<br />
  36. 36. ANIVAL TORRE<br />34<br />
  37. 37. ANIVAL TORRE<br />35<br />5) cos2 x dx<br /> Remplazando la función por su identidad trigonométrica<br />  ½ (1 +cos2x)dx<br /> =  ½dx + 1/2  cos2xdx<br /> = 1/2 x +c1 +1/2*1/2 cos2x 2dx<br /> = 1/2 x + c1 +1/4sen 2x + c2<br />=1/2 x + 1/4sen 2x + c donde c= c1 + c2<br />
  38. 38. ANIVAL TORRE<br />36<br />6) cos2 3 x dx<br /> cos2 x = ½ (1 +cos2x) ; cos2 3 x= ½(1+cos6x)<br /> Remplazando la función por su identidad trigonométrica:<br /> =  ½ (1 +cos6x)dx <br /> =  ½dx +  cos6xdx<br /> = ½. x +c1 +1/2*1/6 cos6x 6dx<br /> = ½. x + c1 +1/12sen 6x + c2<br />= ½. x + 1/12.sen 6x + c ; donde c= c1 + c2<br />
  39. 39. tg udu = (tg u secu)/sec udu =ln sec u + c<br />ANIVAL TORRE<br />37<br />1) tang xdx = - (-senx/ cosx )dx<br /> = -ln cosx + c <br /> = ln sec x +c<br />2) tang 2xdx = -1/2 (-sen2x/ cos2x )*2dx<br /> = -1/2 ln cosx + c <br /> = 1/2ln sec x +c<br />
  40. 40. ANIVAL TORRE<br />38<br />3) (1- Cog 6x)dx <br />Remplazando por su identidad trigonométrica<br />(1-cog6x)dx = tang 6x dx<br />Completando diferenciales:<br />= 1/6 tang 6x 6dx<br />= 1/6 lnSec 6x +c<br />
  41. 41. ANIVAL TORRE<br />39<br />
  42. 42. ANIVAL TORRE<br />40<br />1) ctgxdx =(csc x ctg x)/cscxdx =- ln cosec x + c <br />2) cotg 2xdx =1/2 (cosec 2x cotg2x)2/cosc2xdx <br />=- ½ ln cosec x + c<br />
  43. 43. sec udu <br />ANIVAL TORRE<br />41<br />= sec u( secu + tang u) / (secu + tang u) *du <br />=  (sec2 u + sec u tang u)/ (secu + tang u)* du<br />= ln secu + tang u  + c<br />
  44. 44. INTEGRA LA SIGUIENTES FUNCIONES<br />ANIVAL TORRE<br />42<br />1) sec xdx<br />2) sec 2xdx<br />3) sec 3/2 xdx<br />
  45. 45. csc udu <br />ANIVAL TORRE<br />43<br />=csc u( csc u -ctg u) / (csc u - ctg u) *du <br />=  (csc2 u -csc u ctg u)/ (csc u -ctg u)*du<br />= ln csc u - ctg u  + c<br />
  46. 46. Integran las siguientes funciones<br />ANIVAL TORRE<br />44<br /><ul><li>1) cscxdx
  47. 47. 2) csc2xdx
  48. 48. 3)  (1 / senx) dx
  49. 49. 4)  (1 / sen2x) dx
  50. 50. 5) (csc3x + sec 3x) dx
  51. 51. 6)  sec2x tg2x dx
  52. 52. 7)  sec2 7x dx
  53. 53. 8) csc23x dx
  54. 54. 9)  sec2 1/3 x dx
  55. 55. 10) sen5xdx
  56. 56. 11) sen27x dx
  57. 57. 12) sen√xdx
  58. 58. 13) cos9xdx
  59. 59. 14) cos25x dx
  60. 60. 15) cos √xdx
  61. 61. 16) sec9x tg9x dx
  62. 62. 17)  csc3x ctg3x dx
  63. 63. 18)  ctg 1/3 x dx
  64. 64. 19)  ctg 7 x dx
  65. 65. 20)  tg √x dx</li></li></ul><li>ANIVAL TORRE<br />45<br />
  66. 66. ANIVAL TORRE<br />46<br />
  67. 67. ANIVAL TORRE<br />47<br />
  68. 68. ANIVAL TORRE<br />48<br />
  69. 69. ANIVAL TORRE<br />49<br />
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