POR: ERWIN PÉREZ SANDRA RIAÑO NATALIA CAMARGO GEOMETRÍA ANALÍTICA: LAS SECCIONES CÓNICAS MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MÓDULO DE E...
<ul><li>Estándares: </li></ul><ul><li>Identifico características de localización de objetos geométricos en sistemas de rep...
INTRODUCCIÓN <ul><li>La palabra cónica viene de la figura geométrica CONO. El cono es una superficie que resulta al grafic...
HISTORIA <ul><li>El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a uno de los  tres problemas clásico...
Sección Cónica Una sección cónica es la curva que resulta de la intersección de un plano y un cono (de dos hojas). Variand...
¿CUÁL ES EL MOTIVO PRINCIPAL DE QUE LAS SECCIONES CÓNICAS OCUPEN UN LUGAR TAN IMPORTANTE ENTRE TODAS LAS POSIBLES CURVAS? ...
Circunferencia <ul><li>Una circunferencia es una sección cónica que resulta de la intersección de un cono con un plano hor...
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en un plano equidistantes de un punto fijo. El punto fijo se llama c...
1. Cual será la ecuación canónica de la circunferencia cuyo centro es (0, 0) y radio 2; además, cual será su longitud. Sol...
Autoevaluación de la Circunferencia <ul><li>¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (0,0) y radio 1? </li></ul...
Autoevaluación de la Circunferencia <ul><li>4. Halla el centro y el radio de la circunferencia x 2 +2x+y 2 -2y=0 </li></ul...
Una  parábola  resulta de la intersección de un cono con un plano inclinado, de la forma: Parábola Los parámetros de la pa...
Parábola
 
Autoevaluación de la Parábola <ul><li>Lee con atención el ejercicio y elije una de las respuestas o añade la palabra que f...
Autoevaluación de la Parábola <ul><li>5. La directriz de la parábola es la recta que  </li></ul><ul><ul><li>  pasa por el ...
Autoevaluación de la Parábola 9. Responda las preguntas 10 y 11 de acuerdo con la siguiente información 10. 11.
La elipse es el lugar geométrico de puntos del plano, cuya suma de distancias a dos puntos fijos (los focos F y F') es con...
Ejemplo A partir de la ecuación dada a continuación, identificar los parámetros de la elipse y hacer un bosquejo de la grá...
El bosquejo de la grafica correspondiente es:
Autoevaluación de la Elipse <ul><li>Lee con atención el ejercicio y elije una de las respuestas o añade la palabra que fal...
Autoevaluación de la Elipse <ul><li>5.  El lugar geométrico de puntos del plano cuya razón de las distancias al punto (3,0...
Autoevaluación de la Elipse <ul><li>8. Los semiejes de la elipse x 2 /4+y 2 /25=1 son </li></ul><ul><ul><li>   4 y 25 </li...
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (los focos) ...
 
 
 
Autoevaluación de la Hipérbola <ul><li>Lee con atención el ejercicio y elije una de las respuestas o añade la palabra que ...
Autoevaluación de la Hipérbola <ul><li>5. Las asíntotas de la hipérbola 16 x 2  - y 2 =1, son ... </li></ul><ul><ul><li>  ...
Trabajo colaborativo del tema de “Secciones Cónicas” <ul><li>El grupo colaborativo debe hacer entrega de la actividad, don...
BIBLIOGRAFIA <ul><li>Matemáticas Preuniversitarias. Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda </li></ul><ul><li>docen...
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Secciones cónicas

  1. 1. POR: ERWIN PÉREZ SANDRA RIAÑO NATALIA CAMARGO GEOMETRÍA ANALÍTICA: LAS SECCIONES CÓNICAS MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MÓDULO DE ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS EN AMBIENTES VIRTUALES DE APRENDIZAJE
  2. 2. <ul><li>Estándares: </li></ul><ul><li>Identifico características de localización de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y otras (polares, cilíndricos y esféricos) y en particular de las curvas y figuras cónicas. </li></ul><ul><li>Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas por medio de transformaciones algebraicas de esas figuras. </li></ul><ul><li>Reconozco y describo curvas y/o lugares geométricos. </li></ul>
  3. 3. INTRODUCCIÓN <ul><li>La palabra cónica viene de la figura geométrica CONO. El cono es una superficie que resulta al graficar los puntos (x, y, z) R 3 que satisfacen la ecuación </li></ul><ul><li>x 2 + y 2 − z 2 = 0 </li></ul>
  4. 4. HISTORIA <ul><li>El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a uno de los tres problemas clásicos de la geometría griega, la duplicación del cubo o problema de Delos. </li></ul><ul><li>&quot;...la peste se llevo una cuarta parte de la población ateniense y la profunda impresión que produjo esta catástrofe fue probablemente el origen del segundo problema...&quot; </li></ul><ul><li>&quot;...Se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos, para preguntar cómo podría conjurarse la peste, a lo que el oráculo contesto que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo. Al parecer los atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero esto no sirvió para detener la peste, obviamente habían aumentado ocho veces su volumen en lugar de dos ...&quot; </li></ul><ul><li>Fue Hipocrátes de Chios quien demostró que se podría conseguir la duplicación del cubo siempre que se pudiera encontrar curvas que cumplieran a/x=x/y=y/2a; y Menecmo halló dichas curvas como secciones de conos circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos (amblitoma). Pero es Apolonio de Pérgamo quien hace un tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los anteriores, y quien da una formulación definitiva. </li></ul><ul><li>Todo este estudio de estas formulaciones se encuentran en &quot;Las Cónicas&quot;, que son ocho libros dedicados al estudio de las cónicas. </li></ul>
  5. 5. Sección Cónica Una sección cónica es la curva que resulta de la intersección de un plano y un cono (de dos hojas). Variando la posición del plano se obtienen cuatro cónicas básicas (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola)
  6. 6. ¿CUÁL ES EL MOTIVO PRINCIPAL DE QUE LAS SECCIONES CÓNICAS OCUPEN UN LUGAR TAN IMPORTANTE ENTRE TODAS LAS POSIBLES CURVAS? <ul><li>Las órbitas de los planetas y las trayectorias de los cuerpos pesados son curvas de este tipo. Pero esto no es todo. </li></ul><ul><li>La importancia fundamental de las cónicas reside en el aparato sensitivo del hombre mismo. Su capacidad de percepción depende principalmente del ojo. El hombre es, ante todo, una criatura que mira, y los rayos luminosos que penetran en el ojo o que de él parten en dirección contraria para construir la visión forman un cono (según las leyes de refracción y convergencia de una lente biconvexa). </li></ul><ul><li>Toda imagen de la realidad óptica, toda perspectiva, toda proyección, se presenta bajo forma de una sección cónica. Por tanto, no es exagerado calificar a nuestro mundo como &quot;mundo de las secciones cónicas&quot;. </li></ul>
  7. 7. Circunferencia <ul><li>Una circunferencia es una sección cónica que resulta de la intersección de un cono con un plano horizontal z = a, donde a es una constante. </li></ul>
  8. 8. Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en un plano equidistantes de un punto fijo. El punto fijo se llama centro y la distancia constante a este punto se llama radio. Circunferencia Una circunferencia con radio r y centro (h, k) tiene la ecuación: (x − h) 2 + (y − k) 2 = r 2 La ecuación general es:
  9. 9. 1. Cual será la ecuación canónica de la circunferencia cuyo centro es (0, 0) y radio 2; además, cual será su longitud. Solución: Aplicando la fórmula de la ecuación canónica: R 2 = x 2 + y 2 Reemplazando los valores, para este caso, radio. (2) 2 = x 2 + y 2 entonces 4 = x 2 + y 2 Para hallar la longitud: L = 2 π R = 2(2) π = 4 π 2. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen de coordenadas y para por el punto (3, 4) Solución: Como el punto satisface la ecuación canónica, al reemplazar el dicha ecuación el punto obtenemos el radio. R 2 = x 2 + y 2 entonces R 2 =(3) 2 +(4) 2= 9 +16 =25 Así la ecuación quedará: 25 = x 2 + y 2 Ejemplos
  10. 10. Autoevaluación de la Circunferencia <ul><li>¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (0,0) y radio 1? </li></ul><ul><li>____________________________________________________________ </li></ul><ul><li>2. Si A x 2 +Bxy+Cx 2 +Dx=0. ¿Qué condiciones han de verificar los coeficientes A, B, C, y D para que represente una circunferencia? </li></ul><ul><ul><li>   A=B=C </li></ul></ul><ul><ul><li>   A=B y C=0 </li></ul></ul><ul><ul><li>   A=0, B=C </li></ul></ul><ul><ul><li>   A=C y B=0 </li></ul></ul><ul><li>3. ¿Cómo es el punto P(1,2), con respecto a la circunferencia x 2 +2x+y 2 -2y=0? </li></ul><ul><ul><li>   No se puede saber, faltan datos. </li></ul></ul><ul><ul><li>   Interior </li></ul></ul><ul><ul><li>   Está sobre la circunferencia </li></ul></ul><ul><ul><li>   Exterior </li></ul></ul>
  11. 11. Autoevaluación de la Circunferencia <ul><li>4. Halla el centro y el radio de la circunferencia x 2 +2x+y 2 -2y=0 </li></ul><ul><ul><li>   C=(1,-1) y R=√2 </li></ul></ul><ul><ul><li>   C=(-1,1) y R= √2 </li></ul></ul><ul><ul><li>   C=(0,0) y R=2 </li></ul></ul><ul><ul><li>   C=(1,1) y R = 2 </li></ul></ul><ul><li>5. La ecuación de la circunferencia con centro en (0,0) y tangente a la recta y = x+1 </li></ul><ul><ul><li>   x 2 +y 2 =1/2 </li></ul></ul><ul><ul><li>   x 2 -y 2 =1/2 </li></ul></ul><ul><ul><li>   x 2 +y 2 =1/4 </li></ul></ul><ul><ul><li>   x 2 +2x+y 2 +2y=1/2 </li></ul></ul><ul><li>6. Si dos circunferencias son tangentes, su eje radical es: </li></ul><ul><li>____________________________________________________________ </li></ul>
  12. 12. Una parábola resulta de la intersección de un cono con un plano inclinado, de la forma: Parábola Los parámetros de la parábola son: Vértice V(h,k): Donde la curva se divide en dos partes iguales. Foco: F: El punto fijo a una distancia p del vértice. Eje de Simetría: Una recta que para por el vértice y es perpendicular a la directriz. Directriz D: Recta ubicada a la misma distancia que el foco pero en sentido contrario
  13. 13. Parábola
  14. 15. Autoevaluación de la Parábola <ul><li>Lee con atención el ejercicio y elije una de las respuestas o añade la palabra que falta </li></ul><ul><li>El latus rectum de la parábola y 2 = 8x es </li></ul><ul><ul><li>   8 B. -8 C.  4 D. -4 </li></ul></ul><ul><li>Las coordenadas del foco de la parábola y 2 - 4 y = x - 4, son ... </li></ul><ul><ul><li>   (2,0) B.  (0,0) C.  (0,3) D.  (3,0) </li></ul></ul><ul><li>Se le llama latus rectum... </li></ul><ul><ul><li>   el segmento comprendido entre el foco y el vértice </li></ul></ul><ul><ul><li>   al foco de una parábola </li></ul></ul><ul><ul><li>   al segmento perpendicular a la directriz pasando por el foco </li></ul></ul><ul><ul><li>   la cuerda que pasando por el foco es paralela a la directriz </li></ul></ul><ul><li>La parábola es el lugar geométrico de puntos </li></ul><ul><ul><li>  que equidistan de un punto fijo y una recta fija </li></ul></ul><ul><ul><li>  que equidistan de dos circunferencias fijas </li></ul></ul><ul><ul><li>  que equidistan de dos rectas fijas </li></ul></ul><ul><ul><li>  que equidistan de dos puntos fijos </li></ul></ul>
  15. 16. Autoevaluación de la Parábola <ul><li>5. La directriz de la parábola es la recta que </li></ul><ul><ul><li>  pasa por el foco y el vértice </li></ul></ul><ul><ul><li>  es perpendicular al eje pasando por el foco </li></ul></ul><ul><ul><li>  es perpendicular al eje y el vértice es el punto medio del foco y de la intersección de la directriz con el eje </li></ul></ul><ul><ul><li>  es perpendicular al eje pasando por el vértice </li></ul></ul><ul><li>6. La ecuación reducida de una parábola de eje OX y parámetro 4 es... </li></ul><ul><ul><li>   y = 4 x 2 B.  y 2 = 8 x C.  y = 8 x 2 D.  y 2 = 4 x </li></ul></ul><ul><li>7. Las coordenadas del vértice de la parábola y 2 - 4 y = x - 4, son ... </li></ul><ul><ul><li>   (2,0) B.  (4,4) C.  (0,2) D.  (4,2) </li></ul></ul><ul><li>8. El eje de la parábola es </li></ul><ul><li>A. la recta que pasa por el vértice y el foco </li></ul><ul><li>la recta que une un punto cualquiera de la parábola con el foco </li></ul><ul><li>la recta perpendicular a la directriz pasando por el foco </li></ul><ul><li>la recta que divide en dos partes iguales a la parábola </li></ul>
  16. 17. Autoevaluación de la Parábola 9. Responda las preguntas 10 y 11 de acuerdo con la siguiente información 10. 11.
  17. 18. La elipse es el lugar geométrico de puntos del plano, cuya suma de distancias a dos puntos fijos (los focos F y F') es constante (2a) Elipse Los parámetros de la elipse son: Centro: C(h, k) Vértices mayores: V y V’ Vértices menores: u y u’ Focos: f y f’ Eje mayor: 2a ( Distancia V V ‘ ) Eje menor: 2b (Distancia u u ‘ ) Por definición: 2a > 2b
  18. 19. Ejemplo A partir de la ecuación dada a continuación, identificar los parámetros de la elipse y hacer un bosquejo de la gráfica. Solución: De la ecuación dada, obtener la canónica. Haciendo las operaciones pertinentes: Como ya tenemos la ecuación canónica, comenzamos a identificar los parámetros. Así: Eje mayor: 2 a  2(6 √ 2)  12 √ 2 Eje Menor: 2 b  2(2 √ 5)  4 √ 5 Vértices mayores: V  (6 √ 2,0) y V '  (  6 √ 2,0) Vértices menores: u  (0,2 √ 5) y u '  (0,  2 √ 5) Foco: Focos:  √  22,0  y  √  22,0 
  19. 20. El bosquejo de la grafica correspondiente es:
  20. 21. Autoevaluación de la Elipse <ul><li>Lee con atención el ejercicio y elije una de las respuestas o añade la palabra que falta </li></ul><ul><li>Los focos de la elipse 4 x 2 + y 2 + 8x - 2y +1=0 son... </li></ul><ul><ul><li>(0,raíz(3)) y (0,-raíz(3)) </li></ul></ul><ul><ul><li>(3,0) y (0,-3) </li></ul></ul><ul><ul><li>(0,3) y (0,-3) </li></ul></ul><ul><ul><li>  (raíz(3),0) y (-raíz(3),0) </li></ul></ul><ul><li>La excentricidad de una elipse es 3/5 y el semieje mayor 4. ¿Cuánto vale el semieje menor y la distancia focal? </li></ul><ul><ul><li>   16/5 y 12/5 B.  16/5 y 24/5 C.  8/5 y 12/5 D.  8/5 y 24/5 </li></ul></ul><ul><li>3. La elipse es el lugar geométrico de puntos que equidistan de .... </li></ul><ul><ul><li>  A. dos rectas </li></ul></ul><ul><ul><li>   B. una circunferencia y una recta </li></ul></ul><ul><ul><li>   C. una circunferencia y un punto exterior </li></ul></ul><ul><ul><li>   D. una circunferencia y un punto interior </li></ul></ul><ul><li>4.La elipse es el lugar geométrico de puntos que equidistan de .... </li></ul><ul><ul><li>  Dos rectas </li></ul></ul><ul><ul><li>   Una circunferencia y una recta </li></ul></ul><ul><ul><li>   Una circunferencia y un punto exterior </li></ul></ul><ul><ul><li>   Una circunferencia y un punto interior </li></ul></ul>
  21. 22. Autoevaluación de la Elipse <ul><li>5. El lugar geométrico de puntos del plano cuya razón de las distancias al punto (3,0) a la recta y=x es 0.5, es una </li></ul><ul><ul><li>elipse </li></ul></ul><ul><ul><li>hipérbola </li></ul></ul><ul><ul><li>parábola </li></ul></ul><ul><ul><li>circunferencia </li></ul></ul><ul><li>6. Dada la elipse de ecuación x 2 /25+y 2 /9=1 y el punto P(4,3), los radios vectores de P son ... </li></ul><ul><ul><li>   4/5 y 36/5 </li></ul></ul><ul><ul><li>   16/25 y 9/9 </li></ul></ul><ul><ul><li>   4/25 y 3/9 </li></ul></ul><ul><ul><li>   25 y 9 </li></ul></ul><ul><li>7. La elipse es el lugar geométrico de puntos... </li></ul><ul><ul><li>cuyo producto de longitudes a dos puntos fijos es constante </li></ul></ul><ul><ul><li>cuyo cociente de longitudes a dos puntos fijos es constante </li></ul></ul><ul><ul><li>cuya suma de longitudes a dos puntos fijos es constante </li></ul></ul><ul><ul><li>cuya diferencia de longitudes a dos puntos fijos es constante </li></ul></ul>
  22. 23. Autoevaluación de la Elipse <ul><li>8. Los semiejes de la elipse x 2 /4+y 2 /25=1 son </li></ul><ul><ul><li>   4 y 25 </li></ul></ul><ul><ul><li>   2 y -5 </li></ul></ul><ul><ul><li>  -2 y 5 </li></ul></ul><ul><ul><li>   2 y 5 </li></ul></ul><ul><li>9. Los vértices de la elipse 4 x 2 + y 2 + 8x - 2y +1=0 son... </li></ul><ul><ul><li>   (4,0), (1,0), (0,8) y (0,-2) </li></ul></ul><ul><ul><li>   (2,0), (-2,0), (0,8) y (0,-2) </li></ul></ul><ul><ul><li>   (0,2), (0,-2), (1,0) y (-1,0) </li></ul></ul><ul><ul><li>   (2,0), (-2,0), (0,1) y (0,-1) </li></ul></ul><ul><li>10. Los vértices de la elipse son... </li></ul><ul><ul><li>   Los puntos de intersección de la elipse con sus ejes </li></ul></ul><ul><ul><li>   Las rectas perpendiculares pasando por el centro </li></ul></ul><ul><ul><li>   Los puntos que equidistan de los focos </li></ul></ul><ul><ul><li>   Los puntos cuya suma de distancia a los focos es constante </li></ul></ul>
  23. 24. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. Hipérbola Los parámetros de la Hipérbola son: Centro: C(h, k). Equidistante a los vértices Vértices V y V’ Donde las curvas se divide en dos partes iguales. Focos: F y F’ : Los puntos fijos. Eje Transverso: Una recta que para por los vértices y por los focos. Eje Conjugado: En una recta perpendicular al eje transverso y para por el centro. Asíntotas: Dos rectas que paran por el centro delimitan las curvas de la hipérbola.
  24. 28. Autoevaluación de la Hipérbola <ul><li>Lee con atención el ejercicio y elije una de las respuestas o añade la palabra que falta </li></ul><ul><li>La ecuación x y = 0, representa... </li></ul><ul><ul><li>   una parábola </li></ul></ul><ul><ul><li>   un par de rectas </li></ul></ul><ul><ul><li>   una hipérbola </li></ul></ul><ul><ul><li>   una elipse </li></ul></ul><ul><li>La ecuación reducida de la hipérbola de eje transverso 10 y eje no transverso 8 es... </li></ul><ul><ul><li>   x 2 /64 - y 2 /100=1 </li></ul></ul><ul><ul><li>   x 2 /25 - y 2 /16=1 </li></ul></ul><ul><ul><li>   x 2 /100 - y 2 /64=1 </li></ul></ul><ul><ul><li>   x 2 /16 - y 2 /25=1 </li></ul></ul><ul><li>Las coordenadas de los focos de la hipérbola x 2 /16 - y 2 /9=1, son .... </li></ul><ul><ul><li>   (5,0) y (-5,0) </li></ul></ul><ul><ul><li>   (0,5) y (-5,0) </li></ul></ul><ul><ul><li>   (0,3) y (0,-3) </li></ul></ul><ul><ul><li>   (4,0) y (-4,0) </li></ul></ul><ul><li>La hipérbola es el lugar geométrico de puntos cuya/o... </li></ul><ul><ul><li>   diferencia de longitudes a dos puntos fijos es constante </li></ul></ul><ul><ul><li>   producto de longitudes a dos puntos fijos es constante </li></ul></ul><ul><ul><li>   suma de longitudes a dos puntos fijos es constante </li></ul></ul><ul><ul><li>   cociente de longitudes a dos puntos fijos es constante </li></ul></ul>
  25. 29. Autoevaluación de la Hipérbola <ul><li>5. Las asíntotas de la hipérbola 16 x 2 - y 2 =1, son ... </li></ul><ul><ul><li>  y = x/4 e y = - x/4 </li></ul></ul><ul><ul><li>  y = 4x e y = - 4x </li></ul></ul><ul><ul><li>y = x e y = -x </li></ul></ul><ul><ul><li>y = 16x e y = - 16 x </li></ul></ul><ul><li>6. Una hipérbola se dice equilátera si son iguales sus... </li></ul><ul><ul><li>asíntotas </li></ul></ul><ul><ul><li>focos </li></ul></ul><ul><ul><li>semiejes </li></ul></ul><ul><ul><li>vértices </li></ul></ul><ul><li>7. La ecuación x y = 1, representa </li></ul><ul><ul><ul><li>   (0,5) y (-5,0) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>   (4,0) y (-4,0) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>   (0,4) y (0,-4) </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>   (5,0) y (-5,0) </li></ul></ul></ul><ul><li>8. Las coordenadas de los vértices de la hipérbola x2/16 - y2/9=1, son .... </li></ul><ul><ul><li>   Una elipse </li></ul></ul><ul><ul><li>   Una circunferencia </li></ul></ul><ul><ul><li>   Una parábola </li></ul></ul><ul><ul><li>   Una hipérbola </li></ul></ul>
  26. 30. Trabajo colaborativo del tema de “Secciones Cónicas” <ul><li>El grupo colaborativo debe hacer entrega de la actividad, donde relacione el procedimiento y la respuesta obtenida. </li></ul><ul><li>Ejercicios planteados (relacione procedimiento y respuesta obtenida </li></ul><ul><li>1. De la siguiente elipse 25x 2 +4 y 2 =100. Determine: </li></ul><ul><li>Centro </li></ul><ul><li>Focos </li></ul><ul><li>Vértice </li></ul><ul><li>Eje menor y eje mayor </li></ul><ul><li>Grafica </li></ul><ul><li>2. Analice la siguiente hipérbola 9x 2 -16 y 2 - 18 x – 64y-199 =0. Determine: </li></ul><ul><li>Centro </li></ul><ul><li>Focos </li></ul><ul><li>Vértices </li></ul><ul><li>Asíntotas </li></ul><ul><li>Grafica </li></ul><ul><li>3. Analice la siguiente ecuación x 2 +y 2 -8 x-7y =0. Determine: </li></ul><ul><li>Centro </li></ul><ul><li>Radio </li></ul><ul><li>Grafica </li></ul><ul><li>4. Determine de la parábola 2x 2 – 12x-24y-30=0 lo siguiente: </li></ul><ul><li>Vértice </li></ul><ul><li>Foco </li></ul><ul><li>Directriz </li></ul><ul><li>Eje de Simetría </li></ul><ul><li>Grafica </li></ul>
  27. 31. BIBLIOGRAFIA <ul><li>Matemáticas Preuniversitarias. Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda </li></ul><ul><li>docencia.izt.uam.mx/cbicc/presentaciones/lourdes%20y%20norma/Ecuaciones%20de%20la%20recta. ppt </li></ul><ul><li>Shirley Bromberg, Raquel Valdés </li></ul><ul><li>docencia.izt.uam.mx/cbicc/presentaciones/FunTrigo. ppt </li></ul><ul><li>Abraham García Roca </li></ul><ul><li>www.sectormatematica.cl/ ppt / CIRCUNFERENCIA _AB. ppt </li></ul><ul><li>iesillue.educa.aragon.es/tic/ ppt /Rectas%20y%20 circunferencias . ppt </li></ul>

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