Sistemas de ecuaciones lineales

FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES
Marcelo Romo Proaño, M.Sc.
Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador

Capítulo IV
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

4.1 DEFINICIONES:
a. Espacios de Tres Dimensiones:
Cuando los objetos, o sus idealizaciones, se colocan en un sistema de coordenadas que
tenga 3 ejes perpendiculares entre sí, se está definiendo un Espacio de 3 Dimensiones.
Se toma como base un aula de clases convencional rectangular, vista desde su interior
por los estudiantes. Hacia el frente se tiene una pared que claramente nos define un
plano al que se asignaran las coordenadas “x” y “y” (“x” es horizontal y “y” es vertical).
El eje de las “x” estará ubicado en la base de esa pared, y el eje de las “y” será la línea
vertical izquierda de la pared.

Es importante mencionar que la representación de esos 2 ejes coincide con la forma
tradicional de representar los 2 primeros ejes cartesianos.
Sin embargo, para representar totalmente esa aula, también existe un eje que nos
permite identificar la dimensión y posición en profundidad de los objetos, el mismo que
se lo ubicará sobre la pared izquierda, en su base.

212


Los objetos (pizarrón, puerta, pupitres) dentro de este espacio tridimensional podrían ser
representados de la siguiente manera:

b. Funciones Lineales:
El punto de partida para la definición de las funciones lineales es la ecuación de la línea
recta y sus propiedades.
Las siguientes expresiones constituyen ecuaciones de líneas rectas específicas, bastante
comunes:
2x + 3y − 5 = 0
x − 5 y = −12
2 x + 3y = 0
x−7 = 0
y = −3
x =0

213


Todas las ecuaciones presentadas previamente pueden ser representadas por una única
ecuación general (Ecuación General de la Recta).
Ax + By + C = 0 Ecuación General de la Recta
Esta ecuación también es un ejemplo de función lineal, en una de sus formas
específicas.
Ax + By + C = 0 Función Lineal para un Espacio de 2 Dimensiones (2 variables)
Si se compara la Ecuación General con las expresiones de las rectas presentadas
previamente se puede concluir que:
Ø En la ecuación de la recta existen 2 variables: “x” y “y”.
Ø Existen 3 constantes:
§ A: coeficiente de la variable “x”
§ B: coeficiente de la variable “y”
§ C: término independiente de las variables (término independiente)
Ø Algunas de las constantes (A, B, C) pueden ser nulas, pero al menos uno de los
coeficientes de las variables debe ser no nulo.
Ø Se requieren 2 condiciones para poder definir una ecuación, pues al dividir toda
la expresión para una de las constantes solamente permanecen 2 indeterminadas.
Si se extienden las características menc ionadas previamente a una expresión que tenga 3
variables (x, y, z), se tendría una ecuación como la siguiente:
Ax + By + Cz + D = 0 Función Lineal para un Espacio de 3 Dimensiones (3
variables)
La ecuación previa se utiliza para describir planos dentro de un espacio tridimensional.
Se puede extrapolar la expresión anterior hacia una función lineal que involucre a “n”
variables, por lo que pertenecerá a un espacio n-dimensional.
A1 .x 1 + A 2 .x 2 + ... + A n .x n + B = 0 Función Lineal para un Espacio de n
Dimensiones

Problema Resuelto 1:
Representar gráficamente la siguiente función lineal:
x + y+ z = 6
Solución:
Se prepara una tabla especial en la que se pueden proporcionar diversos valores a la
variable “ (inicialmente comprendidos entre “
z” -7” y “7”), de modo que la función
inicial se transforme en otra que contiene solamente “x” y “y”.
x+ y+ z= 6
z f(x, y)
-7 x + y − 7 = 6 o x + y = 13
-6 x + y − 6 = 6 o x + y = 12
-5 x + y − 5 = 6 o x + y = 11
-4 x + y − 4 = 6 o x + y = 10

214


-3 x+ y−3= 6 o x+y =9
-2 x+ y−2 = 6 o x+ y =8
-1 x + y −1 = 6 o x+y =7
0 x+ y+0 = 6 o x+y =6
1 x + y +1 = 6 o x+y =5
2 x+ y+ 2= 6 o x+y =4
3 x+ y+3= 6 o x+ y = 3
4 x+ y+ 4= 6 o x+y =2
5 x+ y+5 =6 o x+ y =1
6 x+ y+6 = 6 o x+y =0
7 x+ y+0 = 7 o x + y = −1
Las funciones de “x” y “y” obtenidas son rectas paralelas, pues tienen la misma
pendiente.
Solamente por facilidad de dibujo se toman aquellos datos en que “
x”, “ y “z” son
y”
todos positivos.
z f(x, y)
0 x+y =6
1 x+y =5
2 x+y =4
3 x+ y = 3
4 x+y =2
5 x+ y =1
6 x+y =0
Sobre un diagrama de coordenadas tridimensionales, se dibujan planos con las
coordenadas “z” de la tabla (z = 1, z = 2, z = 3, z = 4, z = 5, z = 6), pues el plano “x-y”
se identifica como “z = 0”.

215


Sobre los ejes que describen los nuevos planos se dibujan las dimensiones base a escala
(la misma escala para todos los ejes), para fijar referencias para los gráficos de la
funciones.

Se procede a dibujar la primera func ión, cuando “z = 0” (sobre el plano “x-y”, con sus
puntos en el primer cuadrante.

Sobre el gráfico anterior se dibuja la recta cuando “ = 1”, también en el primer
z
cuadrante.

216


Se dibujan las restantes rectas, solamente en el primer cuadrante.

Se traza n líneas rectas auxiliares adicionales (líneas entrecortadas), que unan los puntos
de cruce de las rectas con sus respectivos ejes de coordenadas en 2 dimensiones, para
facilitar la visualización tridimensional de las rectas dibujadas previamente.

217


Para identificar más claramente a la representación gráfica de la ecuación original, se
coloca sombreado sobre la geometría (el área interior a un triángulo plano en el espacio)
que se ha obtenido, lo que representará a todas las rectas intermedias que se generarían
con valores de “z” positivos y no enteros.

A pesar de que solamente se ha dibujado un sector del plano obtenido, es fácil extender
mentalmente esta geometría hacia la zona en que los valores de “ “y”, o “z” son
x”,
negativos, y esa nueva representación ampliada sería el gráfico total de la función lineal,
con 3 variables, presentada previamente.
NOTA: Una manera de interpretar el resultado anterior es que todos los puntos del
plano señalado en el gráfico, y sus extensiones hacia valores negativos de las variables,
cumplen con las condiciones fijadas por la ecuación lineal propuesta (la suma de las
coordenadas “x”, “y” y “z” tiene un valor de “6”).

4.2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:
Cuando en un problema se deben cumplir simultáneamente las condicio nes fijadas por
varias ecuaciones lineales, se ha establecido un Sistema de Ecuaciones Lineales.

Ejemplo 1:
Dado el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:
x + y+ z = 2
x + 2y + 3 z = 5
x−y+ z = 4
Se puede concluir que el sistema de ecuaciones es lineal, pues en todas las ecuaciones el
exponente de las variables es “1”; además cada ecuación representa una condición
independiente.
Los valores de “x”, “y” y “z”, que son solución al sistema, deben cumplir
simultáneamente con las 3 condiciones expuestas.

218


Ejemplo 2:
Dado el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

x 2 + y 2 = 13
x+y = 5
El sistema de ecuaciones no es lineal por que al menos una de las incógnitas, en al
menos una de las ecuaciones tiene una potencia diferente de “1”.

4.3 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES:
Existen diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones. Los principales se
estudiarán a continuación.

4.3.1 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Consiste en reducir progresivamente el orden del sis tema de ecuaciones, despejando una
de las incógnitas de una de las ecuaciones, y reemplazar esta expresión en las
ecuaciones restantes. Al realizar repetitivamente este proceso se reduce uno a uno el
orden del sistema hasta llegar a una ecuación con una incógnita. En este punto se
calcula el valor de la única incógnita, y mediante reemplazos regresivos se calculan los
valores de las otras incógnitas.

Resolver el siguiente sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas:
2 x + 3y = 13 Ec . 1
x − y = −1 Ec . 2
Solución:
Debido a que la segunda ecuación es más sencilla, se despeja “x”.
x = y −1 Ec . 2'
La nueva expresión se ha definido como Ecuación 2’ debido a que obliga a cumplir las
mismas condiciones que la Ecuación 2, pero su presentación es diferente.
Se reemplaza la Ecuación 2’ en la Ecuación 1.
2 x + 3y = 13

6x87
2( y − 1) + 3 y = 13
Se simplifica la expresión.
( 2 y − 2) + 3y = 13
2 y − 2 + 3 y = 13
5y = 15

219


y = 3 Valor de la incógnita “y”
El valor obtenido para la incógnita “y” se debe reemplazar en cualquiera de las
ecuaciones con 2 incógnitas (Ecuación 1 o Ecuación 2).
Se reemplaza “y” en la Ecuación 2.
x − y = −1
y
}
x − (3) = −1
Se simplifica la expresión previa:
x = 2 Valor de la incógnita “x”
Resumiendo los 2 resultados previos, la solución del sistema de ecuaciones es:
x=2
Solución del sistema de ecuaciones
y=3
Con el objeto de interpretar gráficamente la solución de un sistema de ecuaciones
simultáneas, se representan gráficamente las 2 ecuaciones del sistema, para lo que se
identifican las intersecciones de las ecuaciones con los ejes “x” y “y”:

En el mismo gráfico se identifica el punto cuyas coordenadas son solución del sistema
de ecuaciones.

220


NOTA: La solución del sistema de ecuaciones, en el gráfico, es igual a las coordenadas
de la intersección de la representación gráfica de las funciones lineales.
No es extraño este resultado pues cada una de las líneas rectas representan gráficamente
al conjunto de coordenadas que satisfacen cada función lineal independientemente, y el
punto de intersección de las 2 rectas es el único que cumple simultáneamente con las
condiciones impuestas por las 2 funciones lineales, lo que es exactamente equivalente a
la definición de sistema de ecuaciones simultáneas.


x + y+ z = 6 Ec . 1
x − y + 2z = 5 Ec . 2
x + 2y + 3 z = 14 Ec . 3
Solución:
Se despeja “x” de la primera ecuación.
x = −y − z + 6 Ec . 1'
La nueva expresión se ha definido como Ecuación 1’ debido a que sus condiciones son
equivalentes a las de la Ecuación 1.
El sistema de ecuaciones previo puede ser reemplazado por el siguiente, que es
equivalente:

x = −y − z + 6 Ec . 1'
x − y + 2z = 5 Ec . 2
x + 2y + 3 z = 14 Ec . 3
Se reemplaza “x” de la Ecuación 1’ en la Ecuación 2.
x − y + 2z = 5

64748 x
(− y − z + 6 ) − y + 2z = 5
− y − z + 6 − y + 2z = 5
− 2y + z = − 1 Ec . 4
La Ecuación 4 combina las condiciones impuestas por la Ecuación 1 (o Ecuación 1’)
con las condiciones de la Ecuación 2, por lo que se la identifica como una nueva
condición.
Se reemplaza “x” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3.
x + 2y + 3z = 14

221


64748 x
(− y − z + 6) + 2y + 3z = 14
Se simplifica la expresión anterior:
− y − z + 6 + 2 y + 3z = 14
y + 2z = 8 Ec . 5
Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se puede armar un sistema de 2 ecuaciones con 2
incógnitas, equivalente al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
− 2y + z = − 1 Ec . 4
y + 2z = 8 Ec . 5
Se utiliza nuevamente el método de sustitución para transformar el sistema de 2
ecuaciones con 2 incógnitas, en 1 ecuación con 1 incógnita, pues esta última situación
es equivalente a calcular el valor de 1 de las incógnitas.
Se despeja “z” de la Ecuación 4 (se podía haber despejado “ y el procedimiento
y”
hubiera sido similar, al igual que los resultados finales).
z = 2y − 1 Ec . 4'
y + 2z = 8
y + 2(2 y − 1) = 8
y + 4y − 2 = 8
5y = 10
y + 2z = 8
y
}
( 2) + 2z = 8
Se simplifica la expresión:
2z = 6
z = 3 Valor de la incógnita “z”
Los valores de “y” y de “z” se deben reemplazar en cualquiera de las ecuaciones con 3
incógnitas (Ecuación 1, Ecuación 2, Ecuación 3).
Se reemplazan los valores de “y” y “z” en la Ecuación 1.

222


x+ y+ z= 6
y z
} }
x + ( 2) + (3) = 6
La solución total del sistema de ecuaciones es:
x =1
y = 2 Solución del sistema de ecuaciones
z=3
Si se representara gráficamente a las 3 ecuaciones se obtendrían 3 planos en el espacio
tridimensional. Por analogía a la representación gráfica de la solución de un sistema de
2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, la intersección de los 3 planos es un único punto
cuyas coordenadas constituyen la solución del sistema de ecuaciones.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
2 x − 5 y + z = −10Ec . 1
x + 2y + 3 z = 26 Ec . 2
− 3x − 4y + 2z = 5 Ec . 3
Solución:
Se despeja “z” de la primera ecuación.
z = −2x + 5y − 10 Ec . 1'
Se reemplaza “z” de la Ecuación 1’ en la Ecuación 2.
x + 2y + 3z = 26
x + 2y + 3( −2 x + 5 y − 10) = 26
x + 2y − 6 x + 15 y − 30 = 26
− 5x + 17 y = 56 Ec . 4
Se reemplaza “z” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3.
− 3x − 4y + 2z = 5
− 3x − 4 y + 2( −2x + 5y − 10) = 5
− 3x − 4 y − 4x + 10y − 20 = 5

223


− 7x + 6y = 25 Ec . 5
Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se arma un sistema de 2 ecuaciones con 2
− 5x + 17 y = 56 Ec . 4
− 7x + 6y = 25 Ec . 5
Se despeja “x” de la Ecuación 4.
17 y − 56
x=
5
17 56
x= y− Ec . 4'
5 5
− 7x + 6 y = 25

 17 56 
− 7 y −  + 6 y = 25
 5 5 
119 392
− y+ + 6 y = 25
5 5
89 267
− y=−
5 5
− 89 y = −267
267
y=
89
− 5x + 17 y = 56
− 5x + 17 (3) = 56
− 5x + 51 = 56
− 5x = 5
5
x=−
5
x = −1 Valor de la incógnita “x”
Se reemplazan “y” y “x” en la Ecuación 1.
2( −1) − 5( 3) + z = −10

224


− 2 − 15 + z = −10
x = −1
y=3 Solución del sistema de ecuaciones
z=7
Si se representaran gráficamente a las 3 ecuaciones, se obtendrían 3 planos en el espacio
tridimensional. Por analogía a la representación gráfica de la solución de un sistema de
2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, la intersección de los 3 planos es un único punto
cuyas coordenadas constituyen la solución del sistema de ecuaciones.

4.3.2 MÉTODO DE SUMA Y RESTA:
Consiste en escoger una ecuación como base y una de las incógnitas para ser eliminada
para reducir el orden del sistema de ecuaciones en una unidad. La ecuación base se
empareja con cada una de las ecuaciones restantes del sistema, y multiplicando cada una
de las 2 ecuaciones por constantes apropiadas, mediante una suma o una resta, miembro
a miembro de las 2 ecuaciones se conforma una nueva ecuación en la que se ha
eliminado la incógnita escogida. Al realizar repetitivamente este proceso se reduce uno
a uno el orden del sistema hasta llegar a una ecuación con una incógnita. Luego se
calcula el valor de la única incógnita, y mediante reemplazos regresivos se calculan los
valores de las otras incógnitas.

2 x + 3y = 9 Ec . 1
x+y = 4 Ec . 2
Solución:
Se multiplica la segunda ecuación por “-2” para que el coeficiente que multiplica a la
variable “x” sea igual al de la primera ecuación cambiado de signo.
− 2x − 2y = − 8 Ec . 2'
La nueva expresión se ha definido como Ecuación 2’ debido a que sus condiciones son
equivalentes a la Ecuación 2.
Se empareja la Ecuación 1 con la Ecuación 2’.
2 x + 3y = 9 Ec . 1
− 2x − 2y = − 8 Ec . 2'
Se suman miembro a miembro las 2 ecuaciones:

225


( 2x + 3y ) + ( −2x − 2 y) = (9) + ( −8)
( 2x − 2 x) + (3y − 2 y) = 1
y =1
2x + 3y = 9
y
}
2 x + 3(1) = 9
2x + 3 = 9
2x = 6
6
x=
2
x=3
y=1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2 x − y + 3z = 17 Ec . 1
3x + y − z = 1 Ec . 2
x + 3y + 2 z = 7 Ec . 3
Solución:
Se toman como base para disminuir el orden del sistema de ecuaciones a la Ecuación 1
y a la variable “y”.
En primer lugar se empareja la Ecuación 1 con la Ecuación 2.
2 x − y + 3z = 17 Ec . 1
3x + y − z = 1 Ec . 2
Si se suma, miembro a miembro, la Ecuación 1 con la Ecuación 2, se logra eliminar la
variable “y” de la ecuación resultado.

226


(2 x − y + 3z ) + (3x + y − z ) = (17 ) + (1)
Se simplifica la ecuación previa.
2 x − y + 3z + 3x + y − z = 18
5x + 2 z = 18 Ec . 4
En segundo lugar se empareja la Ecuación 1 con la Ecuación 3.
2 x − y + 3z = 17 Ec . 1
x + 3y + 2 z = 7 Ec . 3
Si se suma, miembro a miembro, tres veces la Ecuación 1 con la Ecuación 3, se logra
eliminar la variable “y” de la ecuación resultado.
3(2 x − y + 3z ) + (x + 3y + 2 z ) = 3(17 ) + (7 )
Se simplifica la expresión.
6 x − 3y + 9z + x + 3y + 2z = 51 + 7
7 x + 11z = 58 Ec . 5
Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se puede conformar un sistema de ecuaciones
lineales equivalente al original pero que tiene únicamente 2 incógnitas.
5x + 2 z = 18 Ec . 4
7 x + 11z = 58 Ec . 5
Se utilizará nuevamente el método de suma y resta para transformar el sistema de 2
ecuaciones con 2 incógnitas, en 1 ecuación con 1 incógnita, lo que es equivalente a
encontrar el valor de 1 de las incógnitas.
Se resta “11” veces la Ecuación 4 menos 2 veces la Ecuación 5, para eliminar la
variable “z” en la ecuación resultado.
11(5x + 2z ) − 2(7 x + 11z ) = 11(18) − 2(58)
(55x + 22z ) − (14 x + 22z ) = 198 − 116
55x + 22z − 14 x − 22z = 82
41x = 82
82
x=
41
El valor obtenido para la incógnita “x” se debe reemplazar en cualquiera de las
Se reemplaza “x” en la Ecuación 4.
5x + 2z = 18

227


5(2) + 2z = 18
10 + 2z = 18
2z = 8
8
z=
2
Los valores de “x” y de “z” se deben reemplazar en cualquiera de las ecuaciones con 3
incógnitas (Ecuación 1, Ecuación 2, Ecuación 3).
Se reemplazan los valores de “x” y “z” en la Ecuación 1.
2 x − y + 3z = 17
2( 2) − y + 3(4) = 17
4 − y + 12 = 17
− y =1
y = −1 Valor de la incógnita “y”
x=2
y = −1 Solución del sistema de ecuaciones
z=4

4.3.3 OTROS MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES:
Existen otros métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como el Método de
los Determinantes, el Método de Operaciones Matriciales o un sinnúmero de Métodos
Numéricos orientados a la computación. Sin embargo, por tratarse de elementos de
apoyo al manejo matemático de problemas para la administración, en el presente texto
no se los tratará a detalle, aunque en capítulos posteriores se hará referencia al uso de
algunas herramientas computacionales.
A continuación, a modo de ejemplo, se presentará la mecánica de resolución de sistemas
de 2 con 2 incógnitas, y 3 ecuaciones con 3 incógnitas respectivamente, mediante el
método de los determinantes.

Resolver el siguiente sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, mediante el
método de los determinantes:
2 x − 3 y = −5 Ec . 1
x + 2y = 8 Ec . 2

228


Solución:
Cada incógnita se obtiene al realizar la división entre 2 determinantes. En el
denominador de cada expresión se coloca la matriz de coeficientes organizados
ordenadamente (una tabla con lo s valores numéricos especificados) y se obtiene su
determinante, y en el numerador se coloca la misma matriz en la que se ha reemplazado
la columna de coeficientes de la incógnita que se calcula por la columna de términos
independientes.
La matriz de coeficientes es:
 2 − 3

1 
 2

El vector de términos independientes es:
 − 5
 
 8
 
De acuerdo a este método, las incógnitas se calculan de la siguiente manera:
−5 −3
8 2
x=
2 −3
1 2

2 −5
1 8
y=
2 −3
1 2
Existen 3 determinantes que deben calcularse, 2 numeradores y 1 denominador:
−5 −3
D1 =
8 2

2 −5
D2 =
1 8

2 −3
Dd =
1 2
El determinante de una matriz cuadrada de 2 filas por 2 columnas se obtiene
restando el producto de los elementos de la diagonal principa l menos la diagonal
secundaria.
a b
= (a )( d) − (b )(c )
c d
Primer Determinante Numerador:

229


−5 − 3
D1 =
8 2

−5 −3
D1 = = ( −5)( 2) − ( −3)( 8)
8 2

− 5 −3
D1 = = −10 + 24
8 2

−5 − 3
D1 = = 14 Primer determinante numerador
8 2
Segundo Determinante Numerador:
2 −5
D2 =
1 8

2 −5
D2 = = ( 2)(8) − ( −5)(1)
1 8

2 −5
D2 = = 16 + 5
1 8

2 −5
D2 = = 21 Segundo determinante numerador
1 8
Determinante Denominador:
2 −3
Dd =
1 2

2 −3
Dd = = ( 2)( 2) − ( −3)(1)
1 2

2 −3
Dd = = 4+3
1 2

2 −3
Dd = = 7 Determinante deno minador
1 2
Una vez calculados los determinantes se procede a calcular las incógnitas:
D1 14
x= =
Dd 7
D2 21
y= =
Dd 7

230


x=2
y=3

Resolver el siguiente sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas, mediante el
método de los determinantes:
2 x − y + 3z = 17 Ec . 1
3x + y − z = 1 Ec . 2
x + 3y + 2 z = 7 Ec . 3
Solución:
La matriz de coeficientes es:
 2 −1 3
 
3 1 − 1
 1 3 2
 
El vector de términos independientes es:
 − 5
 
 8
 
Las incógnitas se calculan con las siguientes expresiones:
17 − 1 3
1 1 −1
7 3 2
x=
2 −1 3
3 1 −1
1 3 2

2 17 3
3 1 −1
1 7 2
y=
2 −1 3
3 1 −1
1 3 2

231


2 − 1 17
3 1 1
1 3 7
z=
2 −1 3
3 1 −1
1 3 2
Existen cuatro determinantes que deben calcularse, 3 numeradores y 1 denominador:
17 − 1 3
D1 = 1 1 −1
7 3 2

2 17 3
D2 = 3 1 −1
1 7 2

2 − 1 17
D3 = 3 1 1
1 3 7

2 −1 3
Dd = 3 1 −1
1 3 2
El determina nte de una matriz cuadrada de 3 filas por 3 columnas se obtiene
repitiendo las 2 primeras filas de la matriz y ejecutando los productos diagonales
de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, con su propio signo, y los
productos de derecha a izquierda y de arriba hacia abajo con signo cambiado, y
sumando esos productos.
a b c
d e f
g h i → { (a)(e)(i) + (d)(h)(c) + (g)(b)(f) } – { (c)(e)(g) + (f)(h)(a) +
a b c
d e f
(i)(b)(d) }
Primer Determinante Numerador:
17 − 1 3
D1 = 1 1 −1
7 3 2

232


17 − 1 3
1 1 −1
7 3 2 = [(17)(1)( 2) + (1)( 3)( 3) + (7)( −1)( −1)] −
17 − 1 3
1 1 −1
[(3)(1)( 7) + ( −1)(3)(17) + (2 )( −1)(1) ]
17 − 1 3
D1 = − 1 1 − 1 = [34 + 9 + 7] − [21 − 51 − 2]
2 3 2

17 − 1 3
D1 = − 1 1 − 1 = 50 + 32
2 3 2

17 −1 3
D1 = − 1 1 − 1 = 82 Primer determinante numerador
2 3 2
Segundo Determinante Numerador:
2 17 3
D2 = 3 1 −1
1 7 2
2 17 3
3 1 −1
1 7 2 = [( 2)(1)( 2) + (3)( 7)( 3) + (1)(17)( −1)] − [(3)(1)(1) + (−1)( 7)( 2) + ( 2)(17 )(3)]
2 17 3
3 1 −1
2 17 3
D2 = 3 1 − 1 = [4 + 63 − 17] − [3 − 14 + 102]
1 7 2

2 17 3
D2 = 3 1 − 1 = 50 − 91
1 7 2

2 17 3
D2 = 3 1 − 1 = −41 Segundo determinante numerador
1 7 2

233


Tercer Determinante Numerador:
2 − 1 17
D3 = 3 1 1
1 3 7
2 − 1 17
3 1 1
1 3 7 = [(2)(1)( 7) + (3)(3)(17) + (1)( −1)(1) ] − [(17)(1)(1) + (1)( 3)( 2) + (7 )( −1)( 3) ]
2 − 1 17
3 1 1
2 − 1 17
D3 = 3 1 1 = [14 + 153 − 1] − [ + 6 − 21]
17
1 3 7

2 − 1 17
D3 = 3 1 1 = 166 − 2
1 3 7

2 − 1 17
D3 = 3 1 1 = 164 Tercer determinante numerador
1 3 7
Determinante Denominador:
2 −1 3
Dd = 3 1 −1
1 3 2
2 −1 3
3 1 −1
1 3 2 = [( 2)(1)( 2) + ( 3)( 3)( 3) + (1)( −1)( −1) ] − [( 3)(1)(1) + (−1)(3)( 2) + ( 2)( −1)(3)]
2 −1 3
3 1 −1
2 −1 3
Dd = 3 1 − 1 = [4 + 27 + 1] − [3 − 6 − 6]
1 3 2

2 −1 3
Dd = 3 1 − 1 = [32] − [− 9]
1 3 2

234


2 −1 3
Dd = 3 1 − 1 = 41 Determinante denominador
1 3 2
Una vez calculados los determinantes se procede a calcular las incógnitas:
D1 82
x= =
Dd 41
D2 − 41
y= =
Dd 41
D3 164
z= =
Dd 41
x=2
z=4

4.4 SISTEMAS DE ECUACIONES INCONSISTENTES:
En algunas ocasiones, las condiciones impuestas por una o varias de las ecuaciones de
un sistema se contraponen con las condiciones fijadas por otra ecuación, lo que
determina que no exista solución al sistema de ecuaciones (no existen valores de las
variables que cumplan todas las condiciones a la vez). Ese tipo de sistemas de
ecuaciones se identifica como Sistemas de Ecuaciones Inconsistentes.

x + 2y = 7 Ec . 1
x + 2 y = −3 Ec . 2
Solución:
Si se observan las 2 ecuaciones, se encuentra que en el miembro izquierdo se tiene
exactamente la misma expresión en ambas ecuaciones, pero el miembro derecho es
diferente. Se puede concluir que los valores de “ y de “ que cumplen la primera
x” y”
condición jamás podrán cumplir con la segunda ecuación pues 2 cosas iguales a una
tercera deberían ser iguales entre sí, y se llegaría a concluir el absurdo de que “ es
7”
igual a “-3”.

235


El sistema de ecuaciones es inconsistente y no existe solución.
Si se dibujaran las 2 líneas que representan a las ecuaciones lineales, se obtendrían 2
rectas paralelas que nunca se cruzan.

NOTA: No siempre es posible detectar directamente las inconsistencias de un sistema
de ecuaciones (como en el ejemplo previo), pero durante el proceso de resolución se
llega a expresiones inconsistentes que denotan que el sistema original tiene esa
característica.

x + 2y + z = 4 Ec . 1
2 x − y + 3z = 2 Ec . 2
3 x + y + 4z = 1 Ec . 3
Solución:
x = − 2y − z + 4 Ec . 1'
2 x − y + 3z = 2
2( − 2 y − z + 4) − y + 3z = 2
− 4 y − 2 z + 8 − y + 3z = 2
− 5y + z = − 6 Ec . 4
3x + y + 4z = 1

236


3( −2 y − z + 4) + y + 4 z = 1
− 6 y − 3z + 12 + y + 4 z = 1
− 5y + z = −11 Ec . 5
− 5y + z = − 6 Ec . 4
− 5y + z = −11 Ec . 5
Claramente se observa que el nuevo sistema de ecuaciones, que es equivalente al primer
sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, es inconsistente pues “6” no es igual a “-11”
(dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí).
El Sistema de Ecuaciones es Inconsistente por lo que no existe solución.

4.5 SISTEMAS DE ECUACIONES REDUNDANTES:
En algunas ocasiones, las condiciones impuestas por una o varias de las ecuaciones de
un sistema se repiten con relación a las condiciones fijadas por otra ecuación, lo que
determina que exista redundancia de condiciones. Ese tipo de ecuaciones se identifica
como Ecuaciones Redundantes.

x+y= 3 Ec . 1
2 x + 2y = 6 Ec . 2
Solución:
Si se observan las 2 ecuaciones, se encuentra que la segunda es exactamente el doble de
la primera ecuación, y que todos los valores de “ y de “ que cumplen la primera
x” y”
condición también cumplen con las condiciones de la segunda ecuación.
En definitiva, la segunda ecuación es equivalente a la primera por lo que la primera
expresión (una recta con infinitos puntos) es la solución del sistema de ecuaciones
x + y = 3 Solución
NOTA: A diferencia de los sistemas de ecuaciones inconsistentes, en que no existen
soluciones válidas, en los sistemas de ecuaciones redundantes pueden obtenerse
infinitas soluciones que se describen mediante funciones.


237


2x + y − z = 1 Ec . 1
− x + 2y + 3z = 12 Ec . 2
3 x − y − 4z = −11 Ec . 3
Solución:
Se despeja “y” de la primera ecuación.
y = − 2x + z + 1 Ec . 1'
Se reemplaza “y” de la Ecuación 1’ en la Ecuación 2.
− x + 2y + 3z = 12
− x + 2(−2 x + z + 1) + 3z = 12
Se simplifica la expresión previa::
− x − 4 x + 2z + 2 + 3z = 12
− 5x + 5z = 10
− x+ z = 2 Ec . 4
Se reemplaza “y” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3.
3x − y − 4 z = −11
3x − ( −2x + z + 1) − 4z = −11
3x + 2x − z − 1 − 4z = −11
5x − 5z = −10
x − z = −2 Ec . 5
− x+ z = 2 Ec . 4
x − z = −2 Ec . 5
La Ecuación 5 es igual a la Ecuación 4 multiplicada por “-1”, por lo que las
condiciones de las 2 ecuaciones son redundantes, o en otras palabras ambas ecuaciones
fijan una única condición.
x − z = −2 Solución
Todos los puntos que pertenecen a la recta de la ecuación anterior tienen por
coordenadas pares de soluciones que satisfacen al sistema de ecuaciones original.
En el numeral siguiente se estudiará una solución parametrizada más detallada, que es
apropiada para el presente problema.

238


4.6 SISTEMAS CON MENOS ECUACIONES QUE INCÓGNITAS:
Cuando se dispone de menos ecuaciones que incógnitas en un sistema de ecuaciones, en
caso de que el sistema no sea inconsistente, existirán infinitas soluciones. La forma
general de esas infinitas soluciones se obtiene escogiendo las incógnitas en exceso
como parámetros, y encontrando expresiones para las restantes incógnitas en función de
esos parámetros.

x + y− z =1 Ec . 1
x + 2y + 3 z = 3 Ec . 2

Solución:
En el presente caso se utiliza el método de sustitución.
x = − y + z + 1 Ec .1 ´
x + 2y + 3z = 3
( − y + z + 1) + 2 y + 3z = 3
Se simplifica la expresión previa::
− y + z + 1 + 2y + 3z = 3
y + 4z = 2
y + 4z = 2 Ec . 3
En vista de que no se puede continuar con el proceso de simplificación, el sistema de 2
ecuaciones con 3 incógnitas es reemplazado por su equivalente que es la Ecuación 3
con 2 incógnitas.
y + 4z = 2 Ec . 3
Se escoge la variable “y” como parámetro:
y = y Valor parametrizado de la incógnita “y”
La interpretación de la expresión previa es que “y” puede tomar cualquier valor real.
Si se asume como conocido el valor de “y”, de la Ecuación 3 se puede despejar “z”:
y + 4z = 2
4z = −y + 2
− y+2
z=
4

239


y 2
z=− +
4 4
y 1
z=− + Valor parametrizado de la incógnita “z”
4 2
Si se escoge un valor específico de “y”, el valor de “z” puede calcularse con la
expresión previa.
Una vez que se conoce los valores parametrizados de “y” y de “z” (los 2 en función de
“y”), se pueden reemplazar estas expresiones en la Ecuación 1, para calcular “x”.
x + y − z =1

 y 1
x + (y ) −  − +  = 1
 4 2
y 1
x+ y+ − =1
4 2
5y 3
x+ =
4 2
Se despeja “x”:
5y 3
x=− + Valor parametrizado de la incógnita “x”
4 2
La solución total es:
5y 3
x=− +
4 2
y=y Solución parametrizada del sistema de ecuaciones
y 1
z=− +
4 2

4.7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS:
Las ecuaciones lineales cuyos término s independiente son nulos se conocen como
ecuaciones lineales homogéneas. Cuando todas las ecuaciones de un sistema son
homogéneas se tiene un Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneas.

Ejemplo 3:
Las siguientes ecuaciones conforman un Sistema de Ecuaciones Lineales
Homogéneas.
x + 2 y + 3z = 0 Ec . 1
x − y + 2z = 0 Ec . 2
2 x − 3y + z = 0 Ec . 3

240


De la simple observación de los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, surge una
solución obvia, la misma que consiste en que todas las incógnitas tengan valor nulo.
x=0
z=0

Ejemplo 4:
El siguiente sistema de ecuaciones es un Sistema de Ecuaciones Lineales
Homogéneas.
3 x + 2y + z = 0 Ec . 1
2x − y − z = 0 Ec . 2
2 x + y + 3 z = 0 Ec . 3
Una de las soluciones al sistema de ecuaciones es:
x=0
z=0
Sin embargo, bajo ciertas condiciones (cuando se manejan ecuaciones redundantes), es
posible que el Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneas tenga más de una
solución.

Para identificar si la solución a un sistema de ecuaciones lineales homogéneas es única,
con valores nulos de todas las incógnitas, o si existen infinitas solucio nes por
redundancia de condiciones, se debe resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de
los métodos tradicionales.

4x − 3y + z = 0 Ec . 1
− 3x + y + 2z = 0 Ec . 2
− 2x + y + 5 z = 0 Ec . 3
Solución:
Se aplica el método de suma y resta.
Se multiplica la Ecuación 2 por 3 para que el coeficiente que multiplica a la variable
“y” sea igual al de la Ecuación 1 cambiado de signo.
− 9x + 3y + 6z = 0 Ec . 2'

241


Se empareja la Ecuación 1 con la Ecuación 2’.
4x − 3 y + z = 0 Ec . 1
− 9x + 3y + 6z = 0 Ec . 2'
Se suman miembro a miembro las 2 ecuaciones:
− 5x + 7z = 0 Ec . 4
Se empareja la Ecuación 2 con la Ecuación 3.
− 3x + y + 2z = 0 Ec . 2
− 2x + y + 5 z = 0 Ec . 3
Se resta miembro a miembro la Ecuación 2 menos la Ecuación 3
− x − 3z = 0 Ec . 5
Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se conforma un sistema de ecuacio nes lineales
equivalente al original pero que tiene únicamente 2 incógnitas.
− 5x + 7z = 0 Ec . 4
− x − 3z = 0 Ec . 5
Se resta la Ecuación 4 menos 5 veces la Ecuación 5, para eliminar la variable “x” en la
ecuación resultado.
(− 5x + 7z ) − 5(− x − 3z ) = (0) − 5(0 )
− 5x + 7z + 5x + 15z = 0
22 z = 0
Se reemplaza “z” en la Ecuación 4.
− 5x + 7z = 0
− 5x + 7( 0) = 0
− 5x = 0
Se reemplazan “x” y “z” en la Ecuación 1.
4 x − 3y + z = 0
4( 0) − 3y + ( 0) = 0
− 3y = 0
La solución total del sistema de ecuaciones es única:

242


x=0
y = 0 Solución única del sistema de ecuaciones
z=0

4x − 3y + z = 0 Ec . 1
− 3x + y + 2z = 0 Ec . 2
x − 2y + 3z = 0 Ec . 3
Solución:
Se aplica el método de sustitución.
Se despeja “z” de la Ecuación 1.
z = − 4x + 3y Ec . 1'
El sistema de ecuaciones previo puede ser reemplazado por el siguiente, que es
equivalente:
z = − 4x + 3y Ec . 1'
− 3x + y + 2z = 0 Ec . 2
x − 2y + 3z = 0 Ec . 3
− 3x + y + 2z = 0
− 3x + y + 2(− 4x + 3y ) = 0
− 3x + y − 8x + 6y = 0
− 11x + 7y = 0 Ec . 4
Se reemplaza “z” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3.
x − 2 y + 3z = 0
x − 2y + 3(− 4x + 3y ) = 0
x − 2 y − 12x + 9 y = 0
− 11x + 7 y = 0
− 11x + 7y = 0 Ec . 5

243


Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se arma un sistema de 2 ecuaciones con 2
− 11x + 7y = 0 Ec . 4
− 11x + 7y = 0 Ec . 5
Debido a que las 2 ecuaciones son iguales, se tiene ecuaciones redundantes, y en
realidad existe una única condición que cumplir.
− 11x + 7y = 0 Ec . 6
Todos los puntos pertenecientes a la recta descrita mediante la Ecuación 6 satisfacen las
condiciones impuestas por el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
En vista de que existe una sola ecuación con dos incógnitas, existe la falta de una
condición para resolver el sistema de ecuaciones original, por lo que, para encontrar las
infinitas soluciones al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, es necesario
escoger una de las incógnitas de la Ecuación 6 como parámetro (como si su valor se
conociera pero es genérico). Por ejemplo se toma a “x” como parámetro (“x” podrá
tomar infinitos valores, pero las restantes incógnitas se ajustarán al valor escogido para
“x”).
x = x Valor parametrizado de la incógnita “x”
Una vez conocido el valor de “x”, se despeja “y” de la Ecuación 6.
7 y = 11x
11
y= x Valor parametrizado de la incógnita “y”
7
Se reemplazan “x” y “y” en la Ecuación 1.
4 x − 3y + z = 0

 11 
4( x ) − 3 x  + z = 0
7 

4( x ) −
33
x+z = 0
7
28 33
x − x+ z= 0
7 7
5
− x+z=0
7
Se despeja “z”:
5
z= x Valor parametrizado de la incógnita “z”
7

244


x=x
11
y= x Solución parametrizada del sistema de ecuaciones
7
5
z= x
7
Si se da un valor arbitrario a “x” y se calcula en base a las expresiones de la solución un
valor consistente de “y” y de “z”, se obtiene una de las infinitas soluciones al sistema de
ecuaciones simultáneas.
NOTA: Cuando por efecto del proceso de resolución de los sistemas de ecuaciones se
llega a una sola ecuación con 2 o más incógnitas, se escogen las incógnitas en exceso
como parámetros (como valores conocidos pero genéricos), y se resuelve el sistema
para las restantes incógnitas en función de los parámetros escogidos previamente. Esto
es válido no solamente para ecuaciones homogéneas sino para cua lquier tipo de
ecuaciones lineales.

4.8 SISTEMAS CON MÁS ECUACIONES QUE INCÓGNITAS:
La presencia de más ecuaciones que incógnitas dentro de un sistema de ecuaciones
significa que existe un exceso de condiciones que cumplir. A veces esa situación se
traduce en redundancia de condiciones, y a veces es el resultado de condiciones
inconsistentes.
Ocasionalmente la simple observación del sistema de ecuaciones nos permite detectar el
origen del exceso de condiciones, pero generalmente se requerirá realizar el proceso
tradicional para resolver el sistema, y en alguna etapa de ese proceso será evidente el
origen de la redundancia.

x+y= 3 Ec . 1
x − 2y = 0 Ec . 2
2 x + 2y = 6 Ec . 3
Solución:
Por simple inspección se detecta que la Ecuación 3 es exactamente el doble de la
Ecuación 1, por lo que reflejan la misma condición (si un par de valores “ y “ x” y”
cumplen con la primera ecuación, automáticamente cumplirán también con la tercera
ecuación). Rápidamente se puede eliminar la redundancia quitando cualquiera de las 2
ecuaciones (en este caso, para conservar las expresiones más sencillas se eliminará la
tercera ecuación) y se obtendrá un sistema de ecuaciones equivalente al original.
x+y= 3 Ec . 1
x − 2 y = 0 Ec . 2

245


Se resta miembro a miembro las dos ecuaciones (Ecuación 1 menos Ecuación 2), para
eliminar la incógnita “x”:
( x + y) − ( x − 2y ) = (3) − (0)
( x − x ) + ( y + 2 y) = 3
3y = 3
x+ y = 3
x + (1) = 3
x=2
y=1


2 x + 3y = 7 Ec . 1
x − 2y = 2 Ec . 2
3 x − 6y = −3 Ec . 3
Solución:
Por simple inspección se detecta que el miembro izquierdo de la Ecuación 3 es
exactamente el triple del miembro izquierdo de la Ecuación 2; sin embargo, el miembro
derecho de la tercera ecuación no es el triple del miembro derecho de la ecuación 2, por
lo que cualquier par de valores “x” y “y” que cumpla con la ecuación “2” no cumplirá
con las condiciones de la ecuación “3”, estableciéndose una inconsistencia.

x + y + z = −4 Ec . 1
2 x − y + 3z = 2 Ec . 2
− x + 3y + z = −6 Ec . 3
3 x − 2 y − z = −1 Ec. 4

246


Solución:
x = −y − z − 4 Ec . 1'
2 x − y + 3z = 2
2( − y − z − 4) − y + 3z = 2
− 2 y − 2 z − 8 − y + 3z = 2
− 3y + z = 10
− 3y + z = 10 Ec . 5
− x + 3y + z = − 6
− ( − y − z − 4) + 3y + z = − 6
y + z + 4 + 3y + z = − 6
4 y + 2z = −10
2 y + z = −5
2 y + z = −5 Ec . 6
3x − 2y − z = − 1
3( − y − z − 4) − 2 y − z = −1
− 3y − 3z − 12 − 2y − z = −1
− 5y − 4z = 11 Ec . 7
Con la Ecuación 4, la Ecuación 5 y la Ecuación 6 se puede armar un sistema de 3
ecuaciones con 2 incógnitas (nuevamente una ecuación más que el número de
incógnitas existentes), equivalente al sistema original de 4 ecuaciones con 3 incógnitas.
− 3y + z = 10 Ec . 5
2 y + z = −5 Ec . 6
− 5y − 4z = 11 Ec . 7
z = 3y + 10 Ec . 5'

247


2 y + z = −5
2 y + (3y + 10) = −5
2 y + 3y + 10 = −5
5 y = −15
Para verificar si el sistema de ecuaciones es simplemente redundante con solución
definida o inconsistente, se reemplaza “z” de la Ecuación 5’ en la Ecuación 7.
− 5y − 4z = 11
− 5 y − 4(3y + 10) = 11
− 5y − 12 y − 40 = 11
− 17 y = 51
y = −3 Valor de la incógnita “y” que verifica la redundancia
Debido a que en ambos casos se obtuvo un mismo valor para “y”, el sistema de
ecuaciones tiene solución válida (en caso de que los valores obtenidos en los 2
reemplazos fueran diferentes, el sistema de ecuaciones sería considerado como
inconsistente).
El valor obtenido para la incógnita “y” se debe reemplazar en cualquie ra de las
ecuaciones con 2 incógnitas (Ecuación 5, Ecuación 6 o Ecuación 7).
− 3y + z = 10
− 3( −3) + z = 10
Los valores de “y” y de “z” se deben reemplaza r en cualquiera de las ecuaciones con 3
incógnitas (Ecuación 1, Ecuación 2, Ecuación 3 o Ecuación 4).
Se reemplaza “y” y “z” en la Ecuación 1.
x + y + z = −4
x + ( −3) + (1) = −4
x = −2 Valor de la incógnita “x”

248


x = −2
z=1

Resolver el siguiente sistema de 4 ecuaciones lineales con 3 incógnitas, muy similar al
problema anterior, con un cambio en el término independiente de la Ecuación 4:
x + y + z = −4 Ec . 1
2 x − y + 3z = 2 Ec . 2
− x + 3y + z = −6 Ec . 3
3 x − 2 y − z = 16 Ec. 4
Solución:
x = −y − z − 4 Ec . 1'
2 x − y + 3z = 2
2( − y − z − 4) − y + 3z = 2
− 2 y − 2 z − 8 − y + 3z = 2
− 3y + z = 10
− 3y + z = 10 Ec . 5
− x + 3y + z = − 6
− ( − y − z − 4) + 3y + z = − 6
y + z + 4 + 3y + z = − 6
4 y + 2z = −10
2 y + z = −5
2 y + z = −5 Ec . 6
3x − 2 y − z = 16
3( − y − z − 4) − 2 y − z = 16

249


− 3y − 3z − 12 − 2 y − z = 16
− 5y − 4z = 28 Ec . 7
Con la Ecuación 4, la Ecuación 5 y la Ecuación 6 se puede armar un sistema de 3
ecuaciones con 2 incógnitas, equivalente al sistema original de 4 ecuaciones con 3
incógnitas.

− 3y + z = 10 Ec . 5
2 y + z = −5 Ec . 6
− 5y − 4z = 28 Ec . 7
z = 3y + 10 Ec . 5'
2 y + z = −5
2 y + (3y + 10) = −5
2 y + 3y + 10 = −5
5 y = −15
Para verificar si el sistema de ecuaciones es simplemente redundante con solución
definida o inconsistente, se reemplaza “z” de la Ecuación 5’ en la Ecuación 7.
− 5y − 4z = 28
− 5y − 4(3y + 10) = 28
− 5 y − 12 y − 40 = 28
− 17 y = 68
y = −4 Valor inconsistente de la incógnita “y”
Debido a que al reemplazar la Ecuación 5’ en la Ecuación 6 y en la Ecuación 7 (las 2
ecuaciones restantes pues la Ecuación 5’ presenta condiciones equivalentes a la
Ecuación 5), se obtuvieron valores diferentes para “ el sistema de ecuaciones es
y”,
inconsistente pues “-3” no es igual a “-4”.

250


4.9 PROBLEMAS PROPUESTOS:

Problema Propuesto 1:

x + y+ z = 2
x + 2y + 3 z = 5
x−y+ z = 4
Solución: x = 1, y = -1, z = 3

2 x + 14y − 4z = −2
− 4x − 3y + z = 8
3 x − 5y + 6z = 7
Solución: x = -2, y = 1, z = 3

2 x − y + 3z = 1
x + 2y + z = 6
− x + y + z = −2
Solución: x = 3, y = 2, z = -1

x + y+ z = 2
x + 2y + 3 z = 5
3 x + 5y + 7 z = 12
Solución: el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones por presentar condiciones
redundantes. Si se parametriza z, la solución genérica será z = z, y = -2z + 3, x = z – 1,
que se cumple para cualquier valor de z (la solución será diferente si se parametriza otra
variable).

x + y+ z = 2
x + 2y + 3 z = 5
x + 3y + 5z = 3

251


Solución: el sistema de ecuaciones es inconsistente por presentar condiciones
incompatibles. Si se elimina la variable x, tal incompatibilidad se expresa como y + 2z
= 3, y + 2z = 0.5 (la expresión de incompatibilidad será diferente si se escoge otra
variable de eliminación).

2x − z = 2
− x + 2y + z = 0
3 x − 2 y − 4z = 10
Solución: x = -1, y = 1.5, z = -4

x+y= 5
y+z=3
x+z= 4
Solución: x = 3, y = 2, z = 1

x+y+ z = 0
x + 2 y + 3z = − 4
− 2x + y − 2 z = − 6
Solución: x = 3, y = -2, z = -1

x − y + z = −3
2x + y + 3z = 4
x − 2 y − 2z = − 1
3 x + 2y − 3 z = 23
Solución: x = 3, y = 4, z = -2

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Sistemas de ecuaciones lineales

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