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MATRICES MATEMÁTICA  II
Zapatos  Carteras  Correas Mano de obra:  5   3   2 Material   6   2  1 Introducción  En una fábrica se producen zapatos, ...
MATRICES Definición.- Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas y encerrados entre co...
REPRESENTACIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ DE ORDEN  m x n Donde: a ij   : es el elemento o entrada general ubicado en la fila “...
Matriz fila o Vector fila Es una matriz que tiene sólo una fila Ejemplo:  B = [ 3  -2  5  6  1 ] 1 x 4 Matriz columna o Ve...
Construcción de una Matriz   Construir una matriz de 2x3 con la siguiente información: a 21  = -6 a 12  = 4 a 11  = 0 a 23...
Construcción de una Matriz   Construir la siguiente matriz: A = [ a ij  ] 2x3   tal que: a 11  =  a 12  =  a 13  =  a 21  ...
IGUALDAD DE MATRICES Definición.-  Las matrices A=[a ij ] y B=[b ij ] son iguales si y sólo si tienen el mismo orden, adem...
MATRICES ESPECIALES Matriz Nula o Matriz Cero.-  Es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero. Se denota por...
MATRICES ESPECIALES Matriz Diagonal.-  Una matriz cuadrada A es llamada  matriz diagonal  si todos los elementos que se en...
Matriz Triangular superior.-  Una matriz cuadrada A es llamada  matriz triangular superior  si todos los elementos que se ...
OPERACIONES  CON  MATRICES Considere que un comerciante de vehículos vende dos modelos: Deluxe y Super. Cada uno está disp...
SUMA DE MATRICES Definición.-  Si  A=[a ij ] y B=[b ij ] son matrices de orden  m x n,  entonces la  suma  A+B  es la matr...
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 1.  A + B = B + A  (propiedad conmutativa) 2.  A + (B + C) = (A + B) + C  (propiedad as...
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Definición.-  Si  A  es una matriz de orden  m x n  y  k  es un número real (también llamado...
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR <ul><li>1.  k(A + B) = kA + kB </li></ul><ul><li>2.  (k 1  + k 2 )A = k 1 ...
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Matrices

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Matrices

  1. 1. MATRICES MATEMÁTICA II
  2. 2. Zapatos Carteras Correas Mano de obra: 5 3 2 Material 6 2 1 Introducción En una fábrica se producen zapatos, carteras y correas, siendo los costos de mano de obra y material los que se indican en la siguiente tabla: COSTOS DE FABRICACIÓN (en $)
  3. 3. MATRICES Definición.- Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas y encerrados entre corchetes o paréntesis. Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas Ejemplo: Es una matriz de 3 filas y 2 columnas ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de una matriz se representa como: m x n, donde “m” es el número de filas y “n” el número de columnas. Para el ejemplo anterior A es una matriz de 3 x 2
  4. 4. REPRESENTACIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n Donde: a ij : es el elemento o entrada general ubicado en la fila “i” , columna j REPRESENTACIÓN ABREVIADA DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n A = [ a ij ] m x n Donde: a ij : es el elemento o entrada general i = 1, 2, 3, ….., m j = 1, 2, 3, ….., n
  5. 5. Matriz fila o Vector fila Es una matriz que tiene sólo una fila Ejemplo: B = [ 3 -2 5 6 1 ] 1 x 4 Matriz columna o Vector columna Es una matriz que tiene sólo una columna Ejemplo:
  6. 6. Construcción de una Matriz Construir una matriz de 2x3 con la siguiente información: a 21 = -6 a 12 = 4 a 11 = 0 a 23 = 1 a 13 = -2 a 22 = 5 Fila 1 Fila 2 Col. 1 Col. 2 Col. 3 -6 4 0 1 -2 5 Solución:
  7. 7. Construcción de una Matriz Construir la siguiente matriz: A = [ a ij ] 2x3 tal que: a 11 = a 12 = a 13 = a 21 = a 22 = a 23 = Solución: Col. 1 Col. 2 Col. 3 Fila 1 Fila 2 1 3/2 2 3/2 2 5/2 <ul><li>3/2 2 </li></ul><ul><li>3/2 2 5/2 </li></ul>
  8. 8. IGUALDAD DE MATRICES Definición.- Las matrices A=[a ij ] y B=[b ij ] son iguales si y sólo si tienen el mismo orden, además a ij = b ij para cada i y cada j (esto es, entradas correspondientes iguales) TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ Definición.- La transpuesta de una matriz de orden m x n se denota A T , es la matriz de orden n x m cuya i-ésima columna es la i-ésima fila de A PROPIEDAD: (A T ) T = A Ejemplo: Ejemplo:
  9. 9. MATRICES ESPECIALES Matriz Nula o Matriz Cero.- Es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero. Se denota por O. Ejemplo: Matriz Cuadrada.- Es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas, Es una matriz nula de orden 3x4 Ejemplo: Es una matriz cuadrada de orden 3 Diagonal principal
  10. 10. MATRICES ESPECIALES Matriz Diagonal.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz diagonal si todos los elementos que se encuentran fuera de la diagonal principal son cero, es decir: a ij = 0 para todo i ≠ j Ejemplos: Matriz diagonal de orden 3 Matriz diagonal de orden 4
  11. 11. Matriz Triangular superior.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz triangular superior si todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son cero, es decir: a ij = 0 para todo i > j Ejemplo: Matriz Triangular inferior.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz triangular inferior si todos los elementos que se encuentran arriba de la diagonal principal son cero, es decir: a ij = 0 para todo i < j Ejemplo:
  12. 12. OPERACIONES CON MATRICES Considere que un comerciante de vehículos vende dos modelos: Deluxe y Super. Cada uno está disponible en dos colores, rojo y azul. Suponga que las ventas de enero y febrero están representadas por las matrices de ventas: Deluxe Super Rojo Azul Deluxe Super Rojo Azul Si queremos las ventas totales para cada modelo y color durante los dos meses, ¿Qué operación debemos hacer y cómo? Resultado: Deluxe Super Rojo Azul
  13. 13. SUMA DE MATRICES Definición.- Si A=[a ij ] y B=[b ij ] son matrices de orden m x n, entonces la suma A+B es la matriz de orden m x n que se obtiene sumando los correspondientes elementos de A y B, es decir: A+B =[a ij + b ij ] mxn Ejemplos: No está definida ya que las matrices son de diferente orden
  14. 14. PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 1. A + B = B + A (propiedad conmutativa) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 3. A + O = O + A = A (propiedad del neutro aditivo) Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces:
  15. 15. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Definición.- Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (también llamado escalar), entonces k A es una matriz de orden m x n que se obtiene multiplicando cada elemento de A por k , es decir: k A =[ k a ij ] mxn Ejemplo:
  16. 16. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR <ul><li>1. k(A + B) = kA + kB </li></ul><ul><li>2. (k 1 + k 2 )A = k 1 A + k 2 A </li></ul><ul><li>k 1 (k 2 A) = (k 1 k 2 )A </li></ul><ul><li>4. 0A = O </li></ul><ul><li>5. k O = O </li></ul>PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA <ul><li>(A + B) T = A T + B T </li></ul><ul><li>2. ( k A) T = k A T </li></ul>

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