Interpolacion de Polinomio

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Interpolacion de Polinomio

  1. 1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO FACULTAD DE INGENIERIA BARQTO, EDO - LARA ANALISIS NUMERICO MYLING PINTO C.I.: 16,795,630 SAIA B
  2. 2. Polinomios interpolantes a través de las formas de Newton-Gregory, Gauss, Hermite y Lagrange
  3. 3. Polinomios interpolantesLa interpolación polinómica es una técnica deinterpolación de un conjunto de datos o de una funciónpor un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntosobtenidos por muestreo o a partir de un experimento sepretende encontrar un polinomio que pase por todos lospuntos.Dada una función de la cual se conocen sus valores enun número finito de abscisas , se llamainterpolación polinómica al proceso de hallar unpolinomio de grado menor o igual a m, cumpliendoA este polinomio se le llama Polinomio interpolador degrado m de la función f.
  4. 4. Tabla De Diferencias
  5. 5. x f(x) D f(x) D 2f(x) D 3f(x) D 4f(x)0,0 0,000 0,2030,2 0,203 0,017 0,220 0,0240,4 0,423 0,041 0,020 0,261 0,0440,6 0,684 0,085 0,052 0,346 0,0960,8 1,030 0,181 0,211 0,527 0,3071,0 1,557 0,488 1,0151,2 2,572
  6. 6. Polinomios Interpolantes, Newton-Gregory, GaussPolinomio de Newton-Gregory y diferenciasSe dice que los datos estén uniformemente espaciados sixi+1 − xi = Δx es constante para i =1, 2, 3, . ... Para el casoparticular de datos uniformemente espaciados, es posibleencontrar una forma mas sencilla del polinomio deNewton. Esta forma mas sencilla se basa en diferenciasque se definen de la siguiente manera:Diferencia de orden 0: Δ0fi = fiDiferencia de orden 1: Δ1fi = fi+1 − fiDiferencia de orden 2: Δ2fi = Δ(Δfi) = Δ(fi+1 − fi) = Δfi+1 − Δfi = fi+2 −2fi+1 + fiDiferencia de orden 3: Δ3fi = Δ(Δ2fi) = Δ2fi+1 − Δ2fi = fi+3 − 3fi+2 + 3fi+1− fi
  7. 7. Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como unpolinomio, se le puede aproximar al polinomio que se leparece. Una forma sencilla de escribir un polinomio quepasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es lafórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (enavance y retroceso).La fórmula usa la notación, que es el número decombinaciones de s cosas tomadas de n a la vez, lo quelleva a razones factoriales. Donde s viene dada por: x esel valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a serel punto de partida para seleccionar los valores , queserán seleccionados de la tabla de diferencias, formandouna fila diagonal hacia abajo en el caso de la fórmula deavance; en caso de la fórmula de retroceso los valoresforman una fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y haviene a ser la longitud o distancia entre los valores de xi
  8. 8. Método de las diferencias divididas de Newton Sea una variable discreta de elementos y sea otra variable discreta de elementos los cuales corresponden, por parejas, a la imagen u ordenada y abcisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales que: Este método es muy algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado. El polinomio de grado resultante tendrá la forma definiendo como y definiendo como
  9. 9. Los coeficientes son las llamadas diferencias divididas.Una vez se hayan realizado todos los cálculos, nótese que hay (muchas) más diferenciasdivididas que coeficientes . El cálculo de todos los términos intermedios debe realizarsesimplemente porque son necesarios para poder formar todos los términos finales. Sinembargo, los términos usados en la construcción del polinomio interpolador son todosaquellos que involucren a .Estos coeficientes se calculan mediante los datos que se conocen de la función . queda definido, como:Se muestra ahora una tabla mnemotécnica con las diferencias divididas de una ciertafunción dada para construir un polinomio interpolador de grado 2:
  10. 10. Polinomio Interpolante de LagrangeSea la función a interpolar, sean las abscisas conocidas de ysean los valores que toma la función en esas abscisas, el polinomiointerpolador de grado de Lagrange es un polinomio de la formadonde son los llamados polinomios de Lagrange, que se calculan de este modo:Nótese que en estas condiciones, los coeficientes están bien definidos y son siempredistintos de cero.Se muestra en el ejemplo siguiente el cálculo de un polinomio interpolador de Lagrangeusando interpolación por Lagrange y diferencias divididas de Newton:
  11. 11. Ejemplo: Se quiere hallar el valor de la función para usandoun polinomio interpolador de Lagrange de grado 2.Para ello se usan los siguientes datos: Se usa primero el método directo para calcular el polinomio interpolador de Lagrange. Con las condiciones dadas, los polinomios de Lagrange son:
  12. 12. Se calcula ahora el polinomio interpolador de grado 2: Ahora evaluamos este polinomio en para obtener un valor aproximado de :Si se usase una calculadora para efectuar el cálculoobtenemos , por lo que el error cometido es elsiguiente:
  13. 13. Se trata de un error del orden del 0.66 %.Se procede a realizar ahora la interpolación mediante el método de las Diferencias Divididasde Newton: Se diseña una tabla de Diferencias Divididas esquemática y se realiza los pertinentes cálculos para obtener los siguientes coeficientes: Ahora se debe tomar de estos coeficientes los que se necesitasen para escribir el polinomio interpolador. Hay que recordar, según lo apuntado anteriormente, que sólo se usan aquéllos coeficientes que involucren a . De esta forma se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange de grado 2:
  14. 14. Y, como se puede apreciar, se llega al mismo polinomio pero con relativamente menostrabajo.
  15. 15. Interpolación polinómica de HermiteLa interpolación de Hermite es un método de interpolación. Consiste en buscarun polinomio por pedazos que sea cúbico en cadasubintervalo y que cumpla en lospuntos , donde es la función que se quiere interpolar.La función queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculorequiere de la solución de sistemas lineales de ecuaciones de tamaño cada uno.La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad delos lo cual no es el caso en muchas aplicaciones.
  16. 16. Diferencias Divididas y la Formula General de Newton

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