MATRIKS
DAN OPERASI MATRIKS
Disusun Oleh :
1. Muhamad Mustopa (12520010)
Dosen : Ir. Yusuf Yani
UNIVERSITAS TAMAN SISWA
PA...
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena kami telah menyelesaikan
mak...
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ………………………………………………………………............ i
Daftar isi ……………………………………………………………………….......... ii
BAB I...
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Banyak dalam permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menggunakan
pene...
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Notasi dan Terminologi Matriks
a. Pengertian matriks
Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilanga...
Untuk menghilangkan tanda kurung pada matriks 1 × 1 merupakan hal umum dilakukan.
Jadi, kita boleh menuliskan 4 bukan [4]....
Jika x=5, maka A=B, tetapi untuk semua nilai x lainnya matriks A dan B tidak sama,karena
tidak semua entri-entrinya yang b...
Contoh 4 Untuk matriks-matriks
Kita dapatkan
Adalah umum menyatakan (-1)B dengan –B.
Jika A1, A2, …, An adalah matriks-mat...
Definisi. Jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks r x n, maka hasil
kali AB adalah matriks m x n ya...
Definisi perkalian matriks mensyaratkan bahwa jumlah kolom faktor pertama A sama dengan
jumlah baris faktor kedua B untuk ...
2.3 Matriks-matriks Terpartisi
Sebuah matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil dengan
...
Contoh :
Jika A dan B adalah matriks-matriks dalam contoh 5, maka matriks kolom kedua dari AB
dapat diperoleh dari (3) den...
2.4 Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear
Matriks-matriks baris dan kolom memberikan suatu cara berfikir alternatif ...
Dan kombinasi liniernya
2.6 Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear
Perkalian matriks mempuyai suatu penerapan yang pentin...
bAx
Matriks A dalam persamaan ini disebut matriks koefisien dari sistem persamaan tersebut.
Matriks yang diperbesar untuk ...
(AT
)ij ij
Sifat-sifat transpose :
1. (A’)’ = A
2. (A+B)’ = A’ + B’
3. k(A’) = kA’
4. (AB)’ = B’A’
5. Jika Aadalah matriks...
3.1 Kesimpulan
Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang
membentuk suatu susunan persegi...
A=
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
=
2221
1211
AA
AA
A=
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
=
3
2
1
r
r
r
...
Transpose :
(AT
)ij ij
Sifat-sifat transpose :
1. (A’)’ = A
2. (A+B)’ = A’ + B’
3. k(A’) = kA’
4. (AB)’ = B’A’
5. Jika A a...
DAFTAR PUSTAKA
1. Anton, Howard. 2000. Aljabar Linier. _ :Karisma Publishing Group
2. Johanes,dkk. 2006. Kompetensi Matema...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Tugas kalkulus ii

1,060 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,060
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
48
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Tugas kalkulus ii

  1. 1. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS Disusun Oleh : 1. Muhamad Mustopa (12520010) Dosen : Ir. Yusuf Yani UNIVERSITAS TAMAN SISWA PALEMBANG
  2. 2. KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Wr. Wb. Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena kami telah menyelesaikan makalah Aljabar Linear dengan materi Matriks dan Operasi Matriks pada semester genap tahun kedua dengan empat satuan kredit semester. Tak ada gading yang tak retak. Begitu pula dengan makalah ini. Mungkin banyak kekeliruan dalam makalah ini baik dari segi penulisan maupun dalam penyusunan makalah ini. Kesempurnaan hanyalah milik Tuhan Yang Maha Esa. Oleh karena itu, dengan rendah hati kami mohon maaf apabila kurang sesuai dengan apa yang diharapkan oleh pembaca. Kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan dari para pembaca agar makalah ini dapat lebih baik dan menjadi sempurna. Demikian makalah yang dapat kami buat. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para pembaca. Atas perhatian para pembaca, kami ucapkan terima kasih. Wassalamu’alaikum Wr. Wb. Palembang, 01 Juli 2013 Penyusun
  3. 3. DAFTAR ISI Kata Pengantar ………………………………………………………………............ i Daftar isi ……………………………………………………………………….......... ii BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang ……………………………………………….......... 1 BAB II PEMBAHASAN 2.1. Notasi dan Terminologi Matriks……….............................................. 2 2.2. Operasi-Operasi Matriks……………….............................................. 3 2.3. Matriks-Matriks Terpartisi………………………………………….. 8 2.4 Perkalian Matriks dengan Kolom dan dengan Baris…....................... 8 2.5. Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear……………………... 10 2.6. Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear…………………………... 11 2.7 Transpose Suatu Matriks ………………………………………….... 12 2.8 Trace Suatu Matriks Bujur Sangkar ................................................... 13 BAB III PENUTUP 3.1. Kesimpulan …………………………………………………............... 14 DAFTAR PUSTAKA
  4. 4. BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Banyak dalam permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menggunakan penerapan matriks. Seperti halnya masalah transportasi dalam bidang industri yang meletakkan hasil produksi industri tersebut di tempat yang terpisah. Namun, bagaimanakah cara mendistribusikan hasil produksi dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang dengan biaya tranportasi yang dikeluarkan seminimal mungkin. Nah, permasalahan ini dapat diselesaikan dengan matriks. Susunan bilangan real berbentuk segi empat muncul dalam banyak konteks, selain sebagai matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan linear. Pada subbab ini kita akan meninjau susunan-susunan seperti itu dengan susunan bilangan itu sendiri sebagai objeknya dan mengembangkan beberapa sifat-sifat susunan bilangan tersebut . Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi atau persegi panjang. Bilangan – bilangan tersebut disebut entri dalam matriks. Pembahasan pada makalah ini dimulai pada Notasi dan Terminologi Matriks, Operasi- Operasai Matriks, Matriks-Matriks Terpartisi, Perkalian Matriks dengan Kolom dan dengan Baris, Hasil Kali Matriks sebagai Kombinasi Linear, Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear, Transpose Suatu Matriks, dan Trace Suatu Matriks Bujur Sangkar.
  5. 5. BAB II PEMBAHASAN 2.1 Notasi dan Terminologi Matriks a. Pengertian matriks Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi atau persegi panjang. Bilangan – bilangan tersebut disebut entri dalam matriks. Contoh: Ukuran matriks, diberikan oleh jumlah baris (garis horizontal) dan kolom (garis vertical) yang dikandungnya. Contoh: 203 142 ini adalah matriks yang berukuran 2 × 3 Sebuah matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom (atau vector kolom), dan sebuah matriks dengan hanya satu baris disebut matriks baris (atau vector baris). 312 3 2 1 vektor vektor kolom baris 123 421 302 baris kolom
  6. 6. Untuk menghilangkan tanda kurung pada matriks 1 × 1 merupakan hal umum dilakukan. Jadi, kita boleh menuliskan 4 bukan [4]. Kita akan menggukan huruf besar untuk menyatakan matriks dan huruf kecil untuk mewakili bilangan. Contoh: A = atau B = fed cba Entri pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A akan dinyatakan sebagai aij. Jadi, sebuah matriks umum 3 × 4 dapat di tulis sebagai: 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa A Dan sebuah matriks umum mxn sebagai 2.2 Operasi-Operasi Matriks Sejauh ini, kita telah menggunakan matriks untuk mempersingkat pekerjaan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Akan tetapi, untuk penerapan lainnya kita ingin mengembangkan suatu “aritmetika matriks” dimana matriks-matriks dapat ditambahkan, dikurangkan, dan dikalikan dengan cara yang berguna. Definisi Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan entri-entri yang berpadanan sama. Dalam notasi matriks, jika A= [aij] dan B= [bij] mempunyai ukuran yang sama, maka A = B jika dan hanya jika (Aij)=(Bij), atau secara ekuivalen, aij=bij untuk semua i dan j. Contoh 2 Tinjau matriks-matriks 123 421 302
  7. 7. Jika x=5, maka A=B, tetapi untuk semua nilai x lainnya matriks A dan B tidak sama,karena tidak semua entri-entrinya yang berpadanan sama. Tidak ada nilai x yang membuat A=C karena A dan C mempunyai ukuran yang berbeda. Definisi Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlahA+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri B dengan entri-entri A yang berpadanan, dan selisihA-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri A dengan entri-entri B yang berpadanan. Matriks-matriks berukuran berbeda tidak dapat ditambahkan atau dikurangkan. Dalam notasi matriks, jika A= [aij] dan B= [bij] mempunyai ukuran yang sama, maka (A+B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij dan (A-B)ij = (A)ij - (B)ij = aij - bij Contoh 3 Tinjau matriks-matriks Maka Ekspresi A + C, B + C, B - C tidak terdefinisi. Definisi Jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar, maka hasil kalicA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri A dengan c. Dalam notasi Matriks, jika A = [aij], maka (cA)ij = c(A)ij = caij
  8. 8. Contoh 4 Untuk matriks-matriks Kita dapatkan Adalah umum menyatakan (-1)B dengan –B. Jika A1, A2, …, An adalah matriks-matriks berukuran sama dan c1, c2, …, cn adalah skalar, maka sebuah ekspresi berbentuk c1A1 + c2A2 + … + cnAn disebut kombinasi linear dari A1, A2, …, An dengan koefisien-koefisien c1, c2, …, cn. Misalnya, jika A, B, dan C adalah matriks-matriks dalam contoh 4, maka 2A – B + C = 2A + (-1)B + C = = adalah kombinasi linear dari A, B,dan C dengan koefisien skalar 2,-1, dan . Sejauh ini kita telah mendefinisikan perkalian matriks dengan skalar,tetapi bukan perkalian dua matriks. Karena matriks-matriks ditambahkan dengan menambahkan entri-entrinya yang berpadanan dan dikurangkan dengan mengurangkan entri-entrinya yang berpadanan, maka akan tampak masuk akal jika kitamendefinisikan perkalian matriks dengan mengalikan entri- entrinya yang berpadanan. Akan tetapi, ternyata definisi yang demikian tidak akan sangat berguna untuk kebanyakan masalah. Pengalaman telah membawa para matematikawan kepada definisi perkalian matriks berikut ini yang kurang alami, tetapi lebih berguna.
  9. 9. Definisi. Jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya didiefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j pada matriks B. kalikan entri-entri yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. Contoh 5 Tinjau matriks-matriks Karena A adalah matriks 2x3 dan B adalah matriks 3x4, maka hasil kali AB adalah sebuah matriks 2x4. Misalnya, untuk menentukan entri pada baris 2 dan kolom 3 dari AB, kita memilih baris 2 dari A dan kolom 3 dari B. Selanjutnya, sebagaimana yang diilustrasikan dibawah ini, kita mengalikan entri-entri yang berpadanan secara bersama-sama dan menjumlahkan hasil kali-hasil kali ini. 26 (2.4) + (6.3) + (0.5) = 26 Entri pada baris 1 dan kolom 4 dari AB dihitung sebagai berikut. (1.3) + (2.1) + (4.2) = 13 Perhitungan untuk hasil kali-hasil kali lainnya adalah: 27 AB =
  10. 10. Definisi perkalian matriks mensyaratkan bahwa jumlah kolom faktor pertama A sama dengan jumlah baris faktor kedua B untuk membentuk hasil kali AB. Jika syarat ini tidak terpenuhi, hasil kalinya tidak terdefinisi. Suatu cara yang mudah untuk menentukan apakah hasil kali dua matriks terdefinisi atau tidak adalah dengan menuliskan ukuran faktor pertama, dan disebelah kanannya tuliskan ukuran faktor kedua. Jika sebagaimana dalam gambar2, bilangan-bilangan yang di dalam sama, maka hasil kalinya terdefinisi. Selanjutnya, bilangan- bilangan di luar memberikan ukuran hasil kali. A B = AB m x r r x n m x n Contoh 6 Anggap bahwa A,B, dan C adalah matriks-matriks dengan ukuran-ukuran berikut ini: A B C 3 x 4 4 x 7 7 x 3 Maka AB terdefinisi dan merupaka suatu matriks 3x7; CA terdefinisi dan merupaka suatu matriks 7x4; dan BC terdefinisi dan merupakan suatu matriks 4x3. Hasil kali AC, CB, dan BA tak terdefinisi. Jika A =[aij] adalah suatu matriks umum mxr dan B = [bij] adalah suatu matriks umum rxn, maka sebagaimana yang diilustrasikan oleh bagian yang terarsir pada Gambar 3, entri (AB)ij pada baris i dan kolom j dari AB diberikan oleh: (AB)ij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + airbrj Didalam Diluar rnrjrr nj nj bbbb bbbb bbbb     21 222221 111211 mrmm irii r r aaa aaa aaa aaa AB       21 21 22221 11211
  11. 11. 2.3 Matriks-matriks Terpartisi Sebuah matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil dengan menyelipkan garis horizontal dan vertical di antara baris dan kolom yang ditentukan. Misalnya, di bawah ini terdapat tiga partisi yang mungkin dari sebuah matriks umum A, 3 x 4, -pertama adalah sebuah partisi A menjadi empat submatriks A11, A12, A21 dan A22; kedua adalah sebuah partisi A menjadi matriks-matriks baris r1, r2, dan r3; ketiga adalah partisi A menjadi matriks –matriks kolom c1, c2, c3, dan c4; A= 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa = 2221 1211 AA AA A= 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa = 3 2 1 r r r A= 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa = 4321 cccc 2.4 Perkalian matriks dengan kolom dan dengan baris Kadang-kadang kita mungkin ingin mendapatkan baris atau kolom tertentu dari suatu hasil kali matriks AB tanpa menghitung keseluruhan hasil kalinya. Hasil-hasil berikut ini, yang buktinya ditinggalkan sebagai latihan, berguna untuk maksud tersebut: Matriks kolom ke-j dari AB = A[matriks kolom ke-j dari B] …...(3) Matriks baris ke-i dari AB = [matriks baris ke-i dari A]B ……(4)
  12. 12. Contoh : Jika A dan B adalah matriks-matriks dalam contoh 5, maka matriks kolom kedua dari AB dapat diperoleh dari (3) dengan perhitungan = Dan dari (4) matriks barispertama dari AB dapat diperoleh dengan perhitungan 421 2572 1310 3414 = 13302712 Jika a1, a2, …, ammenyatakan matriks-matriks baris dari A dan b1, b2, …, bn menyatakan matriks-matriks kolom dari B, maka dari rumus (3), dan (4) kita dapat memperoleh (AB dihitung kolom per kolom) AB = m a a a  2 1 B = Ba Ba Ba m  2 1 (AB dihitung baris per baris) Kolom kedua B B Kolom kedua AB Baris pertama A Baris pertama AB nn AbAbAbbbbAAB  2121
  13. 13. 2.4 Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear Matriks-matriks baris dan kolom memberikan suatu cara berfikir alternatif mengenai perkalian matriks. Misalnya : dan Maka, mn n n mmnmnmm nn nn a a a a a a x a a a x xaxaxa xaxaxa xaxaxa Ax  2 1 2 22 12 2 1 21 11 1 2211 2222121 1212111 ... .... .... .... Dari hasil kali Ax dari sebuah matriks A dengan sebuah matriks kolom x adalah sebuah kombinasi linier dari matriks-matriks kolom dari A koefisien-koefisien yang berasal dari matriks x. dan menunjukkan hasil kali yA dari sebuah matriks y ukuran 1 × m dengan sebuah matriks A berukuran m × n merupakan sebuah kombinasi linier dari matriks-matriks baris A dengan koefisien scalar yang berasal dari y. Contoh: Dapat ditulis sebagai kombinasi linier Dan hasil kali matriks   
  14. 14. Dan kombinasi liniernya 2.6 Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear Perkalian matriks mempuyai suatu penerapan yang penting pada persamaan linear. Tinjau sembarang sistem persamaan linear dalam n peubah. mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa .... .... .... 2211 22222121 11212111 Selanjutnya, persamaan dari sitem linear ini dapat digantikan dengan persamaan matriks tunggal, seperti yang dapat kita lihat di bawah ini. mnmnmm nn nn b b b xaxaxa xaxaxa xaxaxa 2 1 2211 2222121 1212111 .... .... .... Matriks m x 1 pada ruas kiri persamaan ini dapat ditulis sebagai suatu hasil kali untuk menghasilkan : mnmnmm n n b b b x x x aaa aaa aaa      2 1 2 1 21 22221 11211 Jika kita misalkan matriks-matriks di atas masing-masing dengan A, x, dan b, maka yang didapat adalah matriks tunggal seperti berikut.    
  15. 15. bAx Matriks A dalam persamaan ini disebut matriks koefisien dari sistem persamaan tersebut. Matriks yang diperbesar untuk sistem ini diperoleh dengan menggandengkan b ke A sebagai kolom terakhir, jadi matriks yang diperbesar adalah bA mmnmm n n baaa baaa baaa     21 222221 111211 2.7 Transpose Suatu Matriks Jika A adalah sembarang matriks m × n, maka transpose A dinyatakan dengan AT , didefinisikan sebagai matriks n × m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A; yaitu, kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A, dan seterusnya. Contoh: A B C D ↕ ↕ ↕ ↕ AT BT CT DT Jika dari kolom AT menjadi baris dari A, tetapi baris dari AT juga menjadi kolom A. Jadi, entri dalam baris i dan kolom j dari AT adalah entri dalam baris j dan kolom i dari A: yaitu:
  16. 16. (AT )ij ij Sifat-sifat transpose : 1. (A’)’ = A 2. (A+B)’ = A’ + B’ 3. k(A’) = kA’ 4. (AB)’ = B’A’ 5. Jika Aadalah matriks simetris, maka A’ = A 2.8 Trace Suatu Matriks Bujur Sangkar Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka traceA, dinyatakan dengan tr(A), didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utama A. Trace Atidak terdefinisi jika A bukan matriks bujur sangkar. Contoh: tr(A) tr(B) BAB III PENUTUP
  17. 17. 3.1 Kesimpulan Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi atau persegi panjang. Bilangan – bilangan tersebut disebut entri dalam matriks. - Matriks kolom adalah sebuah matriks dengan hanya satu kolom. - Matriks baris adalah matriks yang hanya memiliki satu baris. - Matriks persegi atau matriks bujur sangkar adalah matriks yang berbentuk persegi. 62 32 C Penjumlahan dan Pengurangan : (A+B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij dan (A-B)ij = (A)ij - (B)ij = aij - bij Perkalian matriks : (cA)ij = c(A)ij = caij= c1A1 + c2A2 + … + cnAn Perkalian matriks dengan scalar : 2A – B + C = 2A + (-1)B + C Matriks-matriks terpartisi : 4 1 A matriks kolom 512B matriks baris matriks arbujursangk
  18. 18. A= 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa = 2221 1211 AA AA A= 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa = 3 2 1 r r r A= 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa = 4321 cccc Perkalian matriks baris dan kolom : (AB dihitung kolom per kolom) AB = m a a a  2 1 B = Ba Ba Ba m  2 1 (AB dihitung baris per baris) Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear : mn n n mmnmnmm nn nn a a a a a a x a a a x xaxaxa xaxaxa xaxaxa Ax  2 1 2 22 12 2 1 21 11 1 2211 2222121 1212111 ... .... .... .... Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear : nn AbAbAbbbbAAB  2121   
  19. 19. Transpose : (AT )ij ij Sifat-sifat transpose : 1. (A’)’ = A 2. (A+B)’ = A’ + B’ 3. k(A’) = kA’ 4. (AB)’ = B’A’ 5. Jika A adalah matriks simetris, maka A’ = A Trace Matriks Bujur Sangkar : 332211 )( aaaAtr Trace A tidak terdefinisi jika A bukan matriks bujur sangkar. mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa .... .... .... 2211 22222121 11212111 mmnmm n n baaa baaa baaa     21 222221 111211 bA
  20. 20. DAFTAR PUSTAKA 1. Anton, Howard. 2000. Aljabar Linier. _ :Karisma Publishing Group 2. Johanes,dkk. 2006. Kompetensi Matematika 3A Program IPA. Jakarta : Yudhistira. 3. http://www.slideshare.net/AmriSandy/pertemuan12-10080718 4. palembang,sumatera selatan, Indonesia MAHASISWA at INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI RADEN FATAH Education zelmibaidilah.blogspot.com

×