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Tópicos Avançados em Computabilidade - Teorema da Recursão e Decibilidade de Teorias Lógicas

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Slides apresentados pra turma de Ciência da Computação da Universidade Federal de Goiás no curso de Teoria da Computação.

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Tópicos Avançados em Computabilidade - Teorema da Recursão e Decibilidade de Teorias Lógicas

  1. 1. Conte´do u O teorema da recurs˜oa Decidibilidade de teorias l´gicas o Referˆncias eT´picos Avan¸ados em Computabilidade o c Andr´ Augusto M. Silva e Murilo A. Vasconcelos Paulo Cezar P. Costa Universidade Federal de Goi´s a 29 de Junho de 2011 Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  2. 2. Conte´do u O teorema da recurs˜oa Decidibilidade de teorias l´gicas o Referˆncias e1 Conte´do u2 O teorema da recurs˜o a Auto-Referˆncia e Teorema da Recurs˜oa Aplica¸˜es do Teorema co3 Decidibilidade de teorias l´gicas o Uma teoria decid´ ıvel Uma teoria indecid´ ıvel Teorema da Incompletude4 Referˆncias e Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  3. 3. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eResultado matem´tico com papel importante em trabalhos aavan¸ados na teoria da computabilidade. c Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  4. 4. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eResultado matem´tico com papel importante em trabalhos aavan¸ados na teoria da computabilidade. cConex˜es com: o Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  5. 5. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eResultado matem´tico com papel importante em trabalhos aavan¸ados na teoria da computabilidade. cConex˜es com: o L´gica matem´tica; o a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  6. 6. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eResultado matem´tico com papel importante em trabalhos aavan¸ados na teoria da computabilidade. cConex˜es com: o L´gica matem´tica; o a Teoria de sistemas auto-reprodutivos; Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  7. 7. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eResultado matem´tico com papel importante em trabalhos aavan¸ados na teoria da computabilidade. cConex˜es com: o L´gica matem´tica; o a Teoria de sistemas auto-reprodutivos; V´ de computador. ırus Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  8. 8. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eResultado matem´tico com papel importante em trabalhos aavan¸ados na teoria da computabilidade. cConex˜es com: o L´gica matem´tica; o a Teoria de sistemas auto-reprodutivos; V´ de computador. ırusAs m´quinas podem se reproduzir? a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  9. 9. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eAUTO ´ uma m´quina de Turing que ignora a entrada e imprime e auma c´pia de sua pr´pria descri¸˜o. o o ca Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  10. 10. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eAUTO ´ uma m´quina de Turing que ignora a entrada e imprime e auma c´pia de sua pr´pria descri¸˜o. o o caLemma (6.1 - Sipser)Existe uma fun¸˜o comput´vel q : Σ∗ −→ Σ∗ , onde se w ´ uma ca a ecadeia qualquer, q(w ) ´ a descri¸˜o de uma m´quina de Turing Pw e ca aque imprime w e p´ra. a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  11. 11. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eDemonstra¸˜o. caA seguinte m´quina de Turing Q computa q(w ). aQ = ”Sobre a cadeia de entrada w : 1. Construa a seguinte m´quina de Turing Pw . a Pw = ”Sobre qualquer entrada: 1. Apague a entrada. 2. Escreva w na fita. 3. Pare.” 2. Dˆ como sa´ e ıda Pw .” Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  12. 12. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eAUTO ser´ dividida em duas partes, A e B. a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  13. 13. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eAUTO ser´ dividida em duas partes, A e B. a A escreve a descri¸˜o de B ca B escreve a descri¸˜o de A ca Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  14. 14. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eAUTO ser´ dividida em duas partes, A e B. a A escreve a descri¸˜o de B ca B escreve a descri¸˜o de A caA=P B ;B = ”Sobre a entrada M , M uma por¸˜o de uma MT: ca 1. Compute q( M ). 2. Combine o resultado com M para montar uma MTcompleta. 3. Imprima a descri¸˜o dessa MT e pare.” ca Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  15. 15. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eFigura: 6.2 - Sipser - Diagrama esquem´tico de AUTO, uma m´quina a aque imprime sua pr´pria descri¸˜o. o ca Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  16. 16. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eTeorema da Recurs˜o aSeja T uma m´quina de Turing que computa uma fun¸˜o a cat:Σ ∗ × Σ∗ −→ Σ∗ . Existe uma m´quina de Turing R que acomputa uma fun¸˜o r : Σ∗ −→ Σ∗ , onde para todo w ca r (w ) = t( R , w ). Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  17. 17. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eTeorema da Recurs˜o aSeja T uma m´quina de Turing que computa uma fun¸˜o a cat:Σ ∗ × Σ∗ −→ Σ∗ . Existe uma m´quina de Turing R que acomputa uma fun¸˜o r : Σ∗ −→ Σ∗ , onde para todo w ca r (w ) = t( R , w ).Em outras palavrasM´quinas de Turing podem obter sua pr´pria descri¸˜o e ent˜o a o ca aprosseguir para computar com ela. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  18. 18. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eDescri¸˜o de AUTO usando o Teorema da Recurs˜o ca aAUTO = ”Sobre qualquer entrada: 1. Obtenha, atrav´s do teorema da recurs˜o, e aa pr´pria descri¸˜o AUTO . o ca 2. Imprima AUTO .” Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  19. 19. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eV´ de computador. ırusAlguns teoremas cujas provas usam o teorema da recurs˜o. a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  20. 20. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eAMT ´ indecid´ e ıvel Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  21. 21. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eAMT ´ indecid´ e ıvel Demonstra¸˜o. ca Assumimos que a m´quina de Turing H decide AMT , para os a prop´sitos de se obter uma contradi¸˜o. Constru´ o ca ımos a seguinte m´quina B. a B = ”Sobre a entrada w : 1. Obtenha, atrav´s do teorema da recurs˜o, sua pr´pria e a o descri¸˜o B . ca 2. Rode H sobre a entrada B, w . 3. Fa¸a o oposto do que H diz. Ou seja, aceite se H rejeita c e rejeite se H aceita.” Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  22. 22. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eMINMT n˜o ´ Turing-Reconhec´ a e ıvel Definition Se M ´ uma m´quina de Turing, ent˜o dizemos que o e a a comprimento da descri¸˜o M de M ´ o n´mero de s´ ca e u ımbolos na cadeia descrevendo M. Digamos que M ´ m´ e ınima se n˜o existe a m´quina de Turing equivalente a M que tenha uma descri¸˜o mais a ca curta. Assim, MINMT = { M |M ´ uma MT m´ e ınima }. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  23. 23. Conte´do u Auto-Referˆncia e O teorema da recurs˜oa Teorema da Recurs˜o a Decidibilidade de teorias l´gicas o Aplica¸˜es do Teorema co Referˆncias eMINMT n˜o ´ Turing-Reconhec´ a e ıvel Demonstra¸˜o. ca A id´ia da prova ´ assumir que alguma MT E enumera MINMT e e para chegar a uma contradi¸˜o. Constru´ ca ımos a seguinte MT C . C = ”Sobre a entrada w : 1. Obtenha, atrav´s do teorema da recurs˜o, sua pr´pria e a o descri¸˜o C . ca 2. Rode o enumerador E at´ que uma m´quina D apare¸a e a c com uma descri¸˜o mais longa do que aquela de C . ca 3. Simule D sobre a entrada w .” Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  24. 24. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eL´gica Matem´tica o a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  25. 25. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eL´gica Matem´tica o a O que ´ um teorema? e Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  26. 26. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eL´gica Matem´tica o a O que ´ um teorema? e O que ´ uma prova? e Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  27. 27. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eL´gica Matem´tica o a O que ´ um teorema? e O que ´ uma prova? e O que ´ verdade? e Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  28. 28. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eL´gica Matem´tica o a O que ´ um teorema? e O que ´ uma prova? e O que ´ verdade? e Um algoritmo pode decidir quais enunciados s˜o verdadeiros? a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  29. 29. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eL´gica Matem´tica o a O que ´ um teorema? e O que ´ uma prova? e O que ´ verdade? e Um algoritmo pode decidir quais enunciados s˜o verdadeiros? a Todos os enunciados verdadeiros s˜o demonstr´veis? a a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  30. 30. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eEnunciados usando {∧, ∨, , (, ), ∀, x, ∃, R1 , ..., Rk }, como: ∀q ∃p ∀x, y [p > q ∧ (x, y > 1 → xy = p)], ∀a, b, c, n [(a, b, c > 0 ∧ n > 2) → an + b n = c n ], e ∀q ∃p ∀x, y [p > q ∧ (x, y > 1 → (xy = p ∧ p + 2))]. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  31. 31. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eDefinition (Modelo) M ´ uma tupla (U, P1, ..., Pk), onde: e U ´ o universo e P1 ... Pk s˜o rela¸˜es a co M ´ dito um modelo de φ, se φ ´ verdadeira no modelo M. e e Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  32. 32. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eExample (1) Seja φ = ∀x∀y [R1 (x, y ) ∨ R1 (y , x)] Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  33. 33. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eExample (1) Seja φ = ∀x∀y [R1 (x, y ) ∨ R1 (y , x)] M1 = (N , ≤) Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  34. 34. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eExample (1) Seja φ = ∀x∀y [R1 (x, y ) ∨ R1 (y , x)] M1 = (N , ≤) φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x] Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  35. 35. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eExample (1) Seja φ = ∀x∀y [R1 (x, y ) ∨ R1 (y , x)] M1 = (N , ≤) φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x] Verdadeiro Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  36. 36. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eExample (1) Seja φ = ∀x∀y [R1 (x, y ) ∨ R1 (y , x)] M1 = (N , ≤) φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x] Verdadeiro M2 = (N , <) Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  37. 37. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eExample (1) Seja φ = ∀x∀y [R1 (x, y ) ∨ R1 (y , x)] M1 = (N , ≤) φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x] Verdadeiro M2 = (N , <) φ = ∀x∀y [x < y ∨ y < x] Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  38. 38. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eExample (1) Seja φ = ∀x∀y [R1 (x, y ) ∨ R1 (y , x)] M1 = (N , ≤) φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x] Verdadeiro M2 = (N , <) φ = ∀x∀y [x < y ∨ y < x] Falso Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  39. 39. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eExample (2) Seja ψ = ∀x∃y [R1 (x, x, y )] Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  40. 40. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eExample (2) Seja ψ = ∀x∃y [R1 (x, x, y )] Seja R1 (a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  41. 41. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eExample (2) Seja ψ = ∀x∃y [R1 (x, x, y )] Seja R1 (a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c M4 = (N , R1 ) Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  42. 42. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eExample (2) Seja ψ = ∀x∃y [R1 (x, x, y )] Seja R1 (a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c M4 = (N , R1 ) Falso Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  43. 43. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eExample (2) Seja ψ = ∀x∃y [R1 (x, x, y )] Seja R1 (a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c M4 = (N , R1 ) Falso M3 = (R, R1 ) Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  44. 44. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eExample (2) Seja ψ = ∀x∃y [R1 (x, x, y )] Seja R1 (a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c M4 = (N , R1 ) Falso M3 = (R, R1 ) Verdadeiro Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  45. 45. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTeoria de M Denotada por Th(M) Cole¸˜o das senten¸as verdadeiras na linguagem daquele ca c modelo Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  46. 46. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTeoria dos n´meros ´ um dos ramos mais antigos e dif´ u e ıceis damatem´tica. a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  47. 47. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTeoria dos n´meros ´ um dos ramos mais antigos e dif´ u e ıceis damatem´tica. aAlonzo Church, baseado no trabalho de Kurt G¨del, mostrou oque nenhum algoritmo pode decidir em geral se enunciadosem teoria dos n´mero s˜o verdadeiros ou falsos. u a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  48. 48. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTeoria dos n´meros ´ um dos ramos mais antigos e dif´ u e ıceis damatem´tica. aAlonzo Church, baseado no trabalho de Kurt G¨del, mostrou oque nenhum algoritmo pode decidir em geral se enunciadosem teoria dos n´mero s˜o verdadeiros ou falsos. u aOu, mais formalmente, Church mostrou que Th(N , +, ×), ´ eindecid´ ıvel. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  49. 49. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTeoria dos n´meros ´ um dos ramos mais antigos e dif´ u e ıceis damatem´tica. aAlonzo Church, baseado no trabalho de Kurt G¨del, mostrou oque nenhum algoritmo pode decidir em geral se enunciadosem teoria dos n´mero s˜o verdadeiros ou falsos. u aOu, mais formalmente, Church mostrou que Th(N , +, ×), ´ eindecid´ ıvel. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  50. 50. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias e Teoria dos n´meros ´ um dos ramos mais antigos e dif´ u e ıceis da matem´tica. a Alonzo Church, baseado no trabalho de Kurt G¨del, mostrou o que nenhum algoritmo pode decidir em geral se enunciados em teoria dos n´mero s˜o verdadeiros ou falsos. u a Ou, mais formalmente, Church mostrou que Th(N , +, ×), ´ e indecid´ ıvel.Mas antes, vamos examinar uma que ´ decid´ e ıvel. Maisprecisamente, Th(N , +). Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  51. 51. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +) ´ decid´ e ıvel. Id´ia da Prova e Essa prova ´ uma aplica¸˜o interessante e n˜o-trivial da teoria e ca a dos autˆmatos finitos. o Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  52. 52. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +) ´ decid´ e ıvel. Id´ia da Prova e Essa prova ´ uma aplica¸˜o interessante e n˜o-trivial da teoria e ca a dos autˆmatos finitos. o ´ feito uso de uma generaliza¸˜o da solu¸˜o para o problema E ca ca 1.32 (p´gina 93 do Sipser) onde foi pedido para mostrar que a eles s˜o capazes de fazer adi¸˜o se a entrada for apresentada a ca numa forma especial. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  53. 53. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +) ´ decid´ e ıvel. Id´ia da Prova e Essa prova ´ uma aplica¸˜o interessante e n˜o-trivial da teoria e ca a dos autˆmatos finitos. o ´ feito uso de uma generaliza¸˜o da solu¸˜o para o problema E ca ca 1.32 (p´gina 93 do Sipser) onde foi pedido para mostrar que a eles s˜o capazes de fazer adi¸˜o se a entrada for apresentada a ca numa forma especial. Damos um algoritmo que pode determinar se sua entrada, uma senten¸a Φ na linguagem de (N , +), ´ verdadeira c e naquele modelo. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  54. 54. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +) ´ decid´ e ıvel. Id´ia da Prova e Φ = Q1 x1 Q2 x2 ... Ql xl [ ψ ] Φi = Qi+1 xi+1 Qi+2 xi+2 ... Ql xl [ ψ ] Φ0 = Φ, e Φl = ψ. Para cada i de 0 a l, o algoritmo constr´i um autˆmato finito o o Ai que reconhece a cole¸˜o de cadeias representando i-uplas ca de n´meros que tornam Φi verdadeira. u Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  55. 55. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +) ´ decid´ e ıvel. Id´ia da Prova e Al constru´ diretamente usando uma generaliza¸˜o da ıdo ca solu¸˜o do Problema 1.32. ca Para cada i de l para 1, usa Ai para construir Ai−1 . Quando tem A0 , testa se A0 aceita a cadeia vazia. Se aceita, Φ ´ verdadeira e o algoritmo aceita. e Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  56. 56. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +) ´ decid´ e ıvel. Demonstra¸˜o. ca Come¸amos definindo para i > 0: c Tamb´m definimos Σ0 = {[]}, onde [] ´ um s´ e e ımbolo. Φi (a1 , ..., ai ) ´ a senten¸a obtida ap´s substituir as vari´veis e c o a x1 , ..., xi pelas constantes a1 , ..., ai ∈ N em Φi . Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  57. 57. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +) ´ decid´ e ıvel. Demonstra¸˜o. ca Sobre a entrada Φ, onde Φ ´ uma senten¸a. e c Escreva Φ e defina Φi para cada i de 0 a l, como na id´ia da e prova. Para cada i, construa uma autˆmato finito Ai a partir de Φi o que aceita cadeias sobre Σ∗ correspondentes a i-uplas i a1 , ..., ai sempre que Φ(a1 , ..., ai ) ´ verdadeira, como se segue. e Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  58. 58. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +) ´ decid´ e ıvel. Demonstra¸˜o. ca Para construir Al , observamos que Φl = ψ ´ uma combina¸˜o e ca booleana de f´rmulas atˆmicas, que na linguagem de o o Th(N , +) s˜o uma unica adi¸˜o. a ´ ca Autˆmatos finitos pode ser constru´ o ıdos para computar essas rela¸˜es espec´ co ıficas e combinados para gerar o autˆmato Al . o Para construir Ai a partir de Ai+1 , se Φi = ∃xi+1 Φi+1 , constru´ ımos Ai para operar com Ai+1 , exceto que ele n˜o a deterministicamente adivinha o valor de ai+1 . Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  59. 59. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +) ´ decid´ e ıvel. Demonstra¸˜o. ca Se Φi = ∀xi+1 Φi+1 , ela ´ equivalente a ∃xi+1 Φi+1 . e Constru´ ımos ent˜o o autˆmato finito que reconhece Ai+1 , a o aplicar a constru¸˜o anterior para o quantificador existencial, ca e aplicar novamente a complementa¸˜o para obter Ai . ca O autˆmato finito A0 aceita qualquer entrada se e somente se o Φ0 ´ verdadeiro. Portanto o passo final do algoritmo testa se e A0 aceita . Se aceita, Φ ´ verdadeiro e o algoritmo aceita, e caso contr´rio, rejeita. a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  60. 60. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +, ×) ´ indecid´ e ıvel. Teorema 6.13 Th(N , +, ×) ´ indecid´ e ıvel. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  61. 61. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +, ×) ´ indecid´ e ıvel. Nenhum algoritmo existe para decidir a veracidade ou falsidade de enunciados matem´ticos. a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  62. 62. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +, ×) ´ indecid´ e ıvel. Nenhum algoritmo existe para decidir a veracidade ou falsidade de enunciados matem´ticos. a Mesmo quando restrito ` linguagem de (N , +, ×). a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  63. 63. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +, ×) ´ indecid´ e ıvel. Nenhum algoritmo existe para decidir a veracidade ou falsidade de enunciados matem´ticos. a Mesmo quando restrito ` linguagem de (N , +, ×). a Teorema de grande importˆncia filos´fica. a o Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  64. 64. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +, ×) ´ indecid´ e ıvel. Nenhum algoritmo existe para decidir a veracidade ou falsidade de enunciados matem´ticos. a Mesmo quando restrito ` linguagem de (N , +, ×). a Teorema de grande importˆncia filos´fica. a o Mostramos que Th(N , +, ×) ´ indecid´ reduzindo AMT e ıvel para ele. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  65. 65. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +, ×) ´ indecid´ e ıvel. Nenhum algoritmo existe para decidir a veracidade ou falsidade de enunciados matem´ticos. a Mesmo quando restrito ` linguagem de (N , +, ×). a Teorema de grande importˆncia filos´fica. a o Mostramos que Th(N , +, ×) ´ indecid´ reduzindo AMT e ıvel para ele. A existˆncia da redu¸˜o depende do seguinte lema. e ca Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  66. 66. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +, ×) ´ indecid´ e ıvel. Lemma (6.14 - Sipser) Seja M uma m´quina de Turing e w uma cadeia. Podemos a construir a partir de M e w uma f´rmula ΦM,w na linguagem de o Th(N , +, ×) que cont´m uma unica vari´vel livre x, atrav´s da e ´ a e qual a senten¸a ∃x ΦM,w ´ verdadeira se e somente se M aceita w . c e Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  67. 67. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +, ×) ´ indecid´ e ıvel. Id´ia da Prova e A f´rmula ΦM,w ”diz”que x ´ uma hist´ria de computa¸˜o de o e o ca aceita¸˜o de M sobre w . ca Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  68. 68. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +, ×) ´ indecid´ e ıvel. Id´ia da Prova e A f´rmula ΦM,w ”diz”que x ´ uma hist´ria de computa¸˜o de o e o ca aceita¸˜o de M sobre w . ca A real constru¸˜o de ΦM,w ´ muito complicada para ser ca e apresentada. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  69. 69. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTh(N , +, ×) ´ indecid´ e ıvel. Id´ia da Prova e A f´rmula ΦM,w ”diz”que x ´ uma hist´ria de computa¸˜o de o e o ca aceita¸˜o de M sobre w . ca A real constru¸˜o de ΦM,w ´ muito complicada para ser ca e apresentada. Resumidamente, s´ ımbolos individuais na hist´ria de o computa¸˜o s˜o extra´ ca a ıdos usando as opera¸˜es + e × e ´ co e verificado se x ´ um hist´rico de aceita¸˜o de w por M. e o ca Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  70. 70. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eKurt G¨del o Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  71. 71. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eKurt G¨del oEm qualquer sistema razo´vel de formaliza¸˜o da no¸˜o de a ca cademonstrabilidade em teoria dos n´meros, alguns enunciados uverdadeiros s˜o indemonstr´veis. a a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  72. 72. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eKurt G¨del oEm qualquer sistema razo´vel de formaliza¸˜o da no¸˜o de a ca cademonstrabilidade em teoria dos n´meros, alguns enunciados uverdadeiros s˜o indemonstr´veis. a aA prova formal π de um enunciado Φ ´ uma sequˆncia de e eenunciados, S1 , S2 , ..., Sl , onde Sl = Φ. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  73. 73. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eKurt G¨del oEm qualquer sistema razo´vel de formaliza¸˜o da no¸˜o de a ca cademonstrabilidade em teoria dos n´meros, alguns enunciados uverdadeiros s˜o indemonstr´veis. a aA prova formal π de um enunciado Φ ´ uma sequˆncia de e eenunciados, S1 , S2 , ..., Sl , onde Sl = Φ.Cada Si segue dos enunciados precedentes e certos axiomasb´sicos sobre n´meros. a u Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  74. 74. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eKurt G¨del oEm qualquer sistema razo´vel de formaliza¸˜o da no¸˜o de a ca cademonstrabilidade em teoria dos n´meros, alguns enunciados uverdadeiros s˜o indemonstr´veis. a aA prova formal π de um enunciado Φ ´ uma sequˆncia de e eenunciados, S1 , S2 , ..., Sl , onde Sl = Φ.Cada Si segue dos enunciados precedentes e certos axiomasb´sicos sobre n´meros. a uAntes de seguir, para que os teoremas seguintes se verifiquem,assumimos que a corretude de uma prova de um enunciadopode ser verificado por uma m´quina e que o sistema de aprovas ´ seguro. e Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  75. 75. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTeorema 6.15A cole¸˜o de enunciados demonstr´veis em Th(N , +, ×) ´ ca a eTuring-reconhec´ ıvel. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  76. 76. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eDemonstra¸˜o. caO seguinte algoritmo P aceita sua entrada Φ se Φ ´ demonstr´vel: e a Teste cada cadeia como candidato a uma prova π de Φ, usando o verificador de provas que supomos existir. Se ele encontra que quaisquer desses candidatos ´ uma prova, e ele aceita. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  77. 77. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTeorema 6.16Algum enunciado verdadeiro em Th(N , +, ×) n˜o ´ demonstr´vel. a e a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  78. 78. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eDemonstra¸˜o. ca Prova por contradi¸˜o. ca Assumimos que todos os enunciados verdadeiros s˜o a demontr´veis. a Descrevemos um algoritmo D que decide se enunciados s˜o a verdadeiros, contradizendo o Teorema 6.13. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  79. 79. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eTeorema 6.17A senten¸a ψindemonstravel , conforme descrita na prova deste cteorema, ´ indemonstr´vel. e a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  80. 80. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eId´ia da Prova eConstruir uma senten¸a que diz: ”Esta senten¸a n˜o ´ c c a edemonstr´vel”, usando o teorema da recurs˜o para obter a a aauto-referˆncia. e Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  81. 81. Conte´do u Uma teoria decid´ ıvel O teorema da recurs˜oa Uma teoria indecid´ ıvel Decidibilidade de teorias l´gicas o Teorema da Incompletude Referˆncias eDemonstra¸˜o. caSeja S uma MT que opera da seguinte forma.S = ”Sobre qualquer entrada: 1. Obtenha a pr´pria descri¸˜o S atrav´s do teorema o ca eda recurs˜o. a 2. Construa a senten¸a ψ = ∃c [ΦS,0 ], usando o Lema 6.14. c 3. Rode o algoritmo P a partir da prova do Teorema 6.15sobre a entrada ψ. 4. Se o est´gio 3 aceita, aceite. Se ele p´ra e rejeita, rejeite.” a a Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c
  82. 82. Conte´do u O teorema da recurs˜oa Decidibilidade de teorias l´gicas o Referˆncias eReferˆncias e Michael Sipser. Introduction to the Theory of Computation. Course Technology, 2006. Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade o c

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