Caracterização tempo-frequência de sistemas eletroacústicos com análise wavelet

Audio Engineering Society

Convention Paper
Presented at the 123rd Convention
2007 October 5–8 New York, NY

Caracterização Tempo-Frequência da Resposta de
Sistemas Eletroacústicos através da Análise Wavelet
DANIELE PONTEGGIA1, MARIO DI COLA2
1
2

Audiomatica, Firenze, 50136, Italy
(dp@audiomatica.com)
Audio Labs Systems, Milano, 20068, Italy (mdicola@lisasystems.com)

Um sistema eletroacústico pode ser caracterizado pela medição de sua resposta ao impulso (IR).
Normalmente a IR coletada é então processada por meio da transformada de Fourier para que se
obtenha a resposta em frequência complexa. A IR e a resposta em frequência complexa
constituem duas perspectivas equivalentes do mesmo fenômeno. Uma representação alternativa
no domínio conjunto tempo-frequência da resposta do sistema pode ser obtida através da
transformada wavelet e de uma visualização de seu gráfico em mapa de cores. O presente
trabalho ilustra a implementação da transformada wavelet em um software de medição comercial
e apresenta alguns resultados práticos em diferentes tipos de sistemas eletroacústicos.

1. Introdução
A presente obra é fruto de uma pesquisa anterior a
respeito de filtros crossover de fase linear [1] onde os
autores pretenderam demonstrar de modo simples a
distorção temporal provocada por diferentes tipologias
de crossover. Durante essa pesquisa percebeu-se que
as ferramentas disponíveis para investigar o
comportamento temporal de sistemas de alto-falantes
não são de fácil manejo e, se não utilizadas
adequadamente, também podem levar a conclusões
equivocadas.
A relação entre fase e tempo de sistemas
eletroacústicos é bem documentada na literatura
técnica. Não obstante, provavelmente devido à
dificuldade em se apreender essa relação, a resposta
em fase ainda é frequentemente considerada como
secundária em relação à resposta em módulo. A

experiência direta do autor, confirmada por estudos
recentes [2], é que a distorção temporal da resposta
de um sistema de alto-falantes está diretamente
relacionada à qualidade sonora.
O emprego da teoria wavelet neste campo não é
novidade: trabalhos anteriores a respeito da aplicação
dessa teoria na análise da resposta de sistemas
eletroacústicos devem ser creditados a Keele [3],
Gunness [4] e Loutridis [5]. O último em particular
apresenta um tratamento muito detalhado do assunto
e uma boa bibliografia, ainda que nesse artigo seja
pobre a parte de visualização gráfica dos resultados
das análises. Os gráficos do tipo waterfall, na opinião
do autor, não são de fácil compreensão.
Representações na forma de mapas de cores são
preferíveis. Nesse sentido, o trabalho realizado por
David Gunness certamente foi uma fonte de
inspiração. Isso não apenas devido à apresentação

Ponteggia, Di Cola – Caracterização Tempo-Frequência da Resposta de Sistemas Eletroacústicos através da Análise Wavelet

dos resultados da análise em formatos gráficos
adequados, mas também por sua abordagem no
cálculo da distribuição tempo-frequência através da
suavização complexa e, ultimamente, pelas aplicações
da nova ferramenta à análise e melhoria da resposta
de sistemas eletroacústicos.

Cumulative Spectral Decay (CSD) e o Short Time
Fourier Transform (STFT) [8].
A IR e a resposta em frequência complexa são dois
modos de ver o mesmo fenômeno, ligados por meio
da transformada de Fourier (FT). Devido à natureza da
FT, que é baseada em um núcleo de sinal de energia
infinita, é difícil obter informações do domínio de
tempo a partir da resposta em frequência complexa e
é igualmente difícil obter informações do domínio de
frequência a partir da IR.

A teoria wavelet é um assunto bastante recente, e foi
desenvolvida inicialmente para aplicações de âmbito
geológico, mas seu emprego difundiu-se rapidamente
para campos diversos. Atualmente há uma enorme
quantidade de artigos e livros científicos sobre o
assunto: uma busca web pelo termo wavelet retorna
milhares de resultados. Tal quantidade de recursos
pode confundir o iniciante, resultando uma grande
dificuldade
de
aprendizado.
Consideramos
particularmente útil o artigo de Rioul e Vetterli [6] como
uma introdução acessível e concisa sobre o assunto.

Neste trabalho utilizaremos a transformada de Fourier
em sua forma radial:

2. Caracterização do Sistema Eletroacústico
Um sistema eletroacústico, ao menos em sua parte
linear, pode ser descrito por meio de sua resposta ao
impulso (IR). A IR é normalmente coletada através de
instrumentos
de
medição
computadorizados,
posicionando-se o microfone a certa distância do
sistema sendo testado (DUT) (Figura 1).

2.1. Resposta ao Impulso
A resposta ao impulso h(t) de um sistema
eletroacústico descreve o comportamento linear do
sistema. Por meio da convolução integral é possível
predizer a saída y(t) do sistema dado qualquer
estímulo x(t). Analisando-se a IR, o comportamento
temporal
do
sistema
pode
ser
facilmente
compreendido. A propósito, não se consegue extrair
informações detalhadas no domínio de frequência
lendo-se a IR. Ao analisar uma resposta ao impulso,
um técnico experiente consegue apenas algumas
indicações rudimentares no domínio de frequência.
Como exemplo, a IR de um sistema profissional de
duas vias é ilustrada na Figura 2. Pode-se observar
claramente que os agudos e os graves não estão bem
alinhados, porém, ao mesmo tempo, apenas a partir
do gráfico IR talvez não seja tão fácil afirmar qual é
sua discrepância em milissegundos ou quais bandas
de frequência estão envolvidas.

Fig 1: Típico sistema de medição computadorizado.
Como a IR é armazenada em um computador, é
possível pós-processar facilmente a informação
utilizando-se os algoritmos Fast Fourier Transform
(FFT), alternando entre a IR e a resposta em
frequência complexa. Também é possível realizar pósprocessamentos mais complexos, como o cálculo do
envelope do sinal analítico (Energy Time Curve ETC)
[7], a análise do conjunto tempo-frequência, como o

A fim de obtermos mais informação no domínio de
tempo, há alguns pós-processamentos da IR que
podem ser empregados; ilustraremos o Step
Response e o Energy Time Curve (ETC).

-2-


A resposta STEP é, como implícito no nome, a
resposta do sistema a uma função de grau; é uma
medida qualitativa da coerência temporal do sistema
eletroacústico, mas fornece pouca informação no
domínio de frequência. A resposta Step do sistema de
duas vias está reproduzida na Figura 3.
O ETC é definido como o envelope do sinal analítico.
O sinal analítico é uma grandeza complexa, com uma
parte real igual a IR e outra parte imaginária calculada
por meio da transformada de Hilbert da IR. O ETC não
representa diretamente a energia presente no sistema;
pode ser interpretado como a medida do módulo da
resposta ao impulso, visto que o envelope remove as
ondulações negativas da IR. Do nosso ponto de vista,
podemos afirmar que não há informações relevantes a
respeito da frequência no diagrama ETC. A Figura 4
ilustra um diagrama ETC do sistema de duas vias já
mencionado.

Fig. 2: Resposta ao impulso de um sistema
eletroacústico de duas vias.

Nenhuma dessas representações no domínio de
tempo nos fornece informações claras no domínio de
frequência.

2.2. Resposta em Frequência Complexa
A resposta em frequência complexa H(ω) de um
sistema é obtida através da transformada de Fourier
da resposta ao impulso h(t). A resposta em frequência
é outra descrição completa do comportamento linear
do sistema eletroacústico. Por meio do produto da
transformação do sinal de entrada X(ω) e da resposta
em frequência complexa H(ω) pode-se predizer a
saída Y(ω) do sistema.

Fig. 3: Resposta Step de um sistema eletroacústico de
duas vias.

Neste caso é possível obter alguma informação sobre
o comportamento temporal do sistema analisando-se
sua resposta em frequência complexa. É uma prática
comum verificar o alinhamento temporal do sistema
eletroacústico analisando o comportamento de sua
resposta em fase.
Na verdade, se definirmos o sistema perfeito como um
sistema com módulo plano e fase linear na banda de
nosso interesse, então poderemos notar como o
sistema não cria distorção de amplitude nem gera
distorção de fase (com exceção de um eventual atraso
total que permanece constante com a frequência). A
resposta ao impulso de um sistema desse tipo se
apresenta como uma função similar a um seno
cardinal girado no tempo pelo atraso total do sistema.
Uma relação direta entre a fase e o tempo só pode
existir no caso em que a resposta do sistema seja do
tipo passa-tudo. Apenas nesse caso o negativo da

Fig. 4: Gráfico ETC de um sistema eletroacústico de
duas vias.

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derivada da resposta em fase (atraso de grupo)
representa exatamente o atraso de tempo do sistema.
Se um sistema não é passa-tudo, não é possível
definir um único instante de chegada em função da
frequência. Mesmo em sistemas simples, por exemplo
um filtro passa-altas, a energia (em função da
frequência) não chega em um único instante de tempo
[9] [10].

Neste caso, a resposta medida é composta pela
resposta do sistema eletroacústico HDUT(ω) e por um
término de propagação HPROPAGATION(ω):

Caso a distância entre o sistema medido e o microfone
de medição seja menor que alguns metros, podemos
desprezar a absorção de certas frequências pelo ar e
considerar o término HPROPAGATION(ω) como um mero
delay. Mesmo com tais suposições, permanece difícil
recuperar a resposta do sistema eletroacústico, visto
que está imersa no componente de propagação
(Figura 6).
Há diversos modos de remover a parte de propagação
e recuperar a resposta do sistema: entretanto, é
necessário criar um modelo para a medição e
estabelecer algumas premissas a priori.
Uma das soluções possíveis é modelar o sistema
como uma fonte puntiforme posta em uma posição
conhecida (Figura 5) e medir a distância d entre a
posição de referência (RP) do emissor e o microfone.

Fig. 5: Modelo de fonte puntiforme em posição
conhecida.

Uma vez conhecida a distância d, é possível calcular o
tempo de atraso devido à propagação Tdelay:

De modo geral, é possível notar que tipicamente
ocorre uma distorção temporal da energia na saída do
sistema. Se alimentarmos um sistema com um sinal,
podemos medir, na sua saída, uma versão modificada
do sinal: os componentes de frequência podem exibir
níveis diferentes e provavelmente haverá alguma
distorção de fase, que resulta na distorção temporal do
sinal.

então o delay Tdelay pode ser matematicamente
removido de Hmeas(ω) por meio da relação:

Uma solução alternativa, utilizada por alguns sistemas
de medição (em particular aqueles que medem a
função de transferência em modalidade live), consiste
em estabelecer o valor do atraso no momento em que
a resposta ao impulso apresente seu valor máximo. A
Figura 7 mostra a resposta em frequência complexa
após a remoção do atraso utilizando como valor o
tempo no qual a IR atinge seu pico.

Uma das maiores dificuldades que encontramos ao
tentarmos analisar a fase em uma resposta em
frequência complexa reside nas condições de medição
e nas suposições mais ou menos implícitas que
fazemos durante a medição. Quando se mede um
sistema eletroacústico, se mede a resposta combinada
do sistema e do ambiente em que é realizada a
medição. Numa abordagem mais ampla do problema,
precisamos introduzir no modelo de medição toda a
cadeia de áudio, desde o emissor até o receptor. É
possível considerar um modelo simplificado que inclua
apenas o sistema eletroacústico e a propagação direta
do som, supondo que os demais componentes sejam
lineares, que o ambiente de medição seja anecóico
(ou semi-anecóico utilizando-se o windowing IR) e que
o ar seja calmo e quieto.

Uma terceira solução é baseada no atraso de grupo
da fase excesso. Utilizando a transformada de Hilbert
é possível separar a resposta em fase medida
Hmeas(ω) em duas contribuições distintas: a parte fase
mínima Hminimum(ω) e a parte fase em excesso:

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O atraso de grupo calculado da parte de fase em
excesso fornece uma leitura do atraso de tempo em
função da frequência. Se for possível encontrar uma
parte do espectro onde o atraso de grupo da fase em
excesso seja constante, isso significa que o Hmeas(ω)
medido é a fase mínina naquela banda. Utilizando
esse valor é possível separar o atraso Hdelay(ω) da
resposta do sistema.
Felizmente, o conhecimento exato da fase da resposta
em frequência complexa não é estritamente
necessário. As respostas medidas são utilizadas em
softwares de simulação e design bastante robustos
quanto ao valor exato do atraso do sistema. Na
verdade, estes normalmente conseguem lidar com
valores relativos que podem ser vinculados a um
ponto de referência comum.

Fig. 7: Fase da resposta em frequência do sistema de
duas vias, atraso removido.

Supondo que tenhamos removido o atraso devido ao
contexto de medição, resta ainda uma certa
ambiguidade na leitura do diagrama de fase. A
resposta em fase comumente é representada num
diagrama de frequências logarítmico porque em geral
compartilha a mesma escala de frequências utilizada
para a resposta em módulo. E mesmo que isso possa
ser útil em alguns casos porque os desvios de algum
comportamento específico podem ser facilmente
identificados (i.e. quando o diagrama em fase está
plano), ao mesmo tempo, a interpretação genérica da
linearidade pode ser problemática. Como exemplo, na
Figura 9 temos o diagrama de um atraso puro em
ambas as escalas.
Parece claro que tanto a IR quanto a resposta em
frequência complexa são inadequadas à análise do
domínio conjunto tempo-frequência característico da
resposta do sistema; devem ser pensadas como fotos
tiradas do mesmo fenômeno a partir de dois ângulos
completamente distintos.

Fig. 8: Resposta em frequência complexa do sistema
de duas vias, atraso removido.

Fig. 6: Fase da resposta em frequência do sistema de
duas vias, atraso não removido.

Fig. 9: Fase linear (atraso puro) representada em
escalas linear e logarítmica.

-5-


2.4. Short Time Fourier Transform (STFT)
A idéia por detrás da STFT consiste em seguir a
evolução temporal da IR por meio de seccionamentos
da própria IR e da aplicação da transformada de
Fourier às suas partes:

O problema que surge com a STFT é que sua
resolução tempo-frequência é fixa ao longo de todo o
plano tempo-frequência; a mesma janela temporal é
aplicada a todas as frequências. Assim sendo, a
escolha de uma janela FFT curta, com uma alta
resolução de tempo, implica uma baixa resolução de
frequência; por outro lado, a escolha de uma janela
FFT longa melhora a resolução de frequência, mas
acarreta a perda da resolução de tempo. A STFT
poderia ser uma ferramenta válida apenas para a
análise de bandas estreitas ou de eventos de curta
duração; porém é de pouca utilidade quando
empregada para sinais de banda larga e de longa
duração como a resposta de sistemas eletroacústicos.

Fig. 10: CSD waterfall do sistema de duas vias.

Para superar as limitações da STFT é possível
pensarmos no emprego de diferentes janelas
temporais para diferentes bandas de frequência,
criando de fato uma STFT multiresolução. Isso pode
ser feito calculando-se um conjunto de STFTs com
diferentes dimensões de FFT e depois recombinandose os resultados num mesmo gráfico. Recentemente
foi apresentado um resultado interessante na
aplicação dessa técnica para o reconhecimento do
sinal musical [11], porém não foi realizada nenhuma
aplicação
à
caracterização
de
sistemas
eletroacústicos.

Fig. 11: STFT waterfall do sistema de duas vias.

2.3. Cumulative Spectral Decay

Podemos também citar outro instrumento de análise
conjunta tempo-frequência como a distribuição de
Wigner-Ville. Essa distribuição já foi empregada na
análise de sistemas eletroacústicos [12], mas devido
aos artefatos que exibe a sua interpretação resulta
muito difícil.

O Cumulative Spectral Decay (CSD) é uma descrição
no domínio conjunto tempo-frequência, e permite
visualizarmos o declínio da energia de um sistema. O
CSD é calculado por meio da transformada de Fourier
de seções progressivamente menores da IR. Os
fenômenos de maior duração permanecem inclusos
nas seções posteriores. Então, observando a evolução
do módulo da resposta em frequência, é possível
detectar os componentes mais duradouros da IR.

3. Transformada Wavelet Contínua
A transformada wavelet contínua (CWT) de um sinal
h(t) é definida como o produto escalar:

Um exemplo da representação CSD num diagrama
waterfall para o nosso sistema de duas vias está na
Figura 10.

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entre a resposta ao impulso h(t) e uma versão em
escala e traduzida de uma função ψ(t) denominada
wavelet mãe:

tempo-frequência. A mudança dos parâmetros a e b
não tem efeito sobre a forma do kernel da
transformação, mas a resolução de tempo e de
frequência dependem do fator de escala a. Na análise
de frequências altas (pelo baixo valor de a) temos uma
boa resolução no tempo, mas uma resolução pobre
em frequência; por outro lado, para frequências baixas
(pelo alto valor de a) temos uma boa resolução em
frequência mas uma resolução pobre em tempo.
Portanto, a análise wavelet pode ser compreendida
como uma análise de Q ou banda constante e, por tal
razão, se adapta muito bem à análise de sinais nãoestacionários de banda larga, como a resposta ao
impulso de sistemas eletroacústicos.

onde o fator 1/√|a| está introduzido para assegurar a
normalização de energia para qualquer escala a.
Assim, a CWT pode ser escrita como se segue:

Fig. 12: Comparação entre as resoluções da wavelet e
da STFT: região de influência de um impulso de Dirac
(acima) e três senóides (abaixo).

Fig. 13: Wavelet mãe (parte real) com BW de 1/3 de oitava.

A fim de reconstruir perfeitamente o sinal com uma
CWT inversa através do coeficiente Wh(a,b), a wavelet
mãe deve satisfazer a condição de admissibilidade:

onde Ψ(ω) é a transformada de Fourier de ψ(t).
Como consequência da condição de admissibilidade, a
função ψ(t) deve ser uma resposta ao impulso de
banda limitada, e o nome wavelet deriva do próprio
fato de que esse tipo de sinal tem o aspecto de uma
pequena onda (ondaleta) [13]. Há diversas
interpretações físicas possíveis da transformada
wavelet, que em boa parte consiste de um
mapeamento unidimensional do tempo de resposta ao
impulso h(t) em um espaço bidimensional com um
fator de escala a e uma tradução no tempo b [14].

Fig. 14: Wavelet mãe (parte real) com BW de 1/6 de oitava.

3.1. Escalograma
O espectrograma é uma forma de representação da
energia de um sinal no domínio tempo-frequência e é
definido como o modulo quadrado da STFT.

Visto que a função wavelet mãe ψ(t) vem escalada e
não modulada como no caso do kernel da STFT, a
análise wavelet é chamada tempo-escala em vez de

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Similarmente, é possível definir o escalograma como o
módulo quadrado da CWT. A energia do sinal pode
ser representada em função do fator de escala a e da
tradução no tempo b:

É possível demonstrar que a função que minimiza o
produto é o impulso Gaussiano. De fato, a energia
desse sinal é razoavelmente concentrada tanto no
domínio de tempo quanto no domínio de frequência,
mas ao mesmo tempo não é limitada em nenhum dos
dois domínios. Assim sendo, um impulso Gaussiano
modulado é um ótimo candidato para a wavelet mãe.

O valor |Wh(a,b)|2 pode ser representado em forma de
gráfico de mapa de cores, com tempo no eixo x e
frequência no eixo y, usando uma gradação de cores
para indicar em cada ponto do domínio o valor de
módulo quadrado associado. Na verdade, essas são
versões modificadas do fator de escala a e tradução b.
Uma vez definida a wavelet mãe, é possível definir
uma frequência central para a wavelet e assim
expressar a escala a em termos de uma frequência
equivalente. O parâmetro b pode ser diretamente
interpretado como tempo.

3.2. Resolução Tempo-Frequência
A idéia por detrás da CWT é usar um conjunto de
funções de base que permita uma resolução tempofrequência ótima. É possível definir o centro temporal
tψ e espectral ωψ da função de base da transformada
wavelet como:

Fig. 15: Tempo de cálculo – 32k MLS.

Também é possível definir a largura do intervalo
temporal ∆tψ e espectral ∆ωψ:

Fig. 16: Tempo de Cálculo – 128 escalas.
O produto tempo-frequência é limitado pelo princípio
de indeterminação tempo-frequência:

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3.3. Wavelet Mãe

4.1. Algoritmo de Cálculo

Em acordo com Loutridis, escolhemos usar como
wavelet mãe uma wavelet Morlet complexa
modificada:

Podemos utilizar uma abordagem alternativa baseada
na transformada de Fourier convencional. Através da
FT e de sua propriedade de tradução em tempo e
frequência é possível calcular a transformada de
Fourier da função do kernel da transformada wavelet:

Devemos notar que essa função é composta de um
termo complexo de oscilação ejωot e de um fator de
decaimento e–t2/B como requisito da condição de
admissibilidade. Também devemos notar que, em
nosso caso, a condição de admissibilidade pode ser
relaxada, visto que estamos interessados na análise
das propriedades do sinal e não em sua reconstrução.
Da equação (10) e utilizando a relação de Parseval
obtemos:

A transformada de Fourier da wavelet mãe é:

A resolução de tempo e frequência da wavelet
escolhida pode ser calculada das definições
anteriores:

essa é a forma de uma transformada de Fourier
inversa do produto do conteúdo espectral do sinal
H(ω) e o complexo conjugado da função wavelet mãe
escalada Ψ(ω), exceto por um termo 1/√2π.
Dado o fator de escala a, é possível calcular o
coeficiente da transformada wavelet contínua
utilizando a implementação numérica convencional da
transformada de Fourier, da Fast Fourier Transform
(FFT) direta e da Fast Fourier Transform inversa
(IFFT):

É possível indicar o parâmetro B como função da
largura de banda da análise BW ou do fator Q:

Repetindo esse procedimento numérico por um certo
número de valores de fator de escala a se obtém uma
matriz bidimensional do coeficiente Wh(a,b) que depois
pode ser elaborada parar criar um gráfico de mapa de
cores. Visto que a resolução da representação gráfica
é ligada à alta resolução da mídia de visualização
(tipicamente uma tela de computador), não é
necessário calcular a matriz para mais que algumas
centenas de valores de a.

4. Cálculo do Coeficiente da Wavelet
O cálculo do coeficiente da transformada wavelet
diretamente da equação (12) é muito dispendioso do
ponto de vista computacional.
No início desta pesquisa foi realizada uma série de
tentativas de cálculo direto do coeficiente no Matlab,
mas o tempo de cálculo e a resolução do resultado
não se mostraram satisfatórios.

A análise wavelet foi implementada no sistema de
medição CLIO e, a fim de permitir uma efetiva
usabilidade do instrumento de análise, foi realizada

-9-


uma série de testes de tempo de cálculo (Figuras 15 e
16).
Observamos experimentalmente que o melhor
resultado em termos de velocidade de cálculo e
precisão de resultado é obtido por um número de
escala entre 27 e 28, sendo que nesse caso o tempo
de cálculo sempre permanece abaixo de 60 segundos,
mesmo em uma máquina modesta. Ainda que, em
teoria, um pós-processamento possa ser prolongar-se
por uma quantidade de tempo praticamente ilimitada,
é opinião do autor que uma resposta razoavelmente
rápida é importante para a aplicação prática do
instrumento de análise wavelet.
Fig. 17: Análise wavelet de um sistema perfeito.
5. Representação Gráfica
Para representar o escalograma, como mencionado,
optamos pelo emprego do mapa de cores. Segundo a
experiência do autor, essa representação permite uma
visualização clara do andamento do fluxo de energia
no sistema. Enquanto que em diagramas de módulo
vs. tempo e módulo vs. frequência apenas um domínio
pode ser representado claramente, o mapa de cores
do escalograma nos permite visualizar o domínio
conjunto tempo-frequência. Qualquer tentativa no
sentido de interpretar os resultados em termos de um
só domínio está destinada ao fracasso.
Uma vez a matriz do coeficiente da wavelet Wh(a,b)
seja calculada para um certo número de valores do
fator de escala a, i.e. para um certo número de
frequências, podemos então visualizar o escalograma.
O mapa de cores é feito utilizando-se um algoritmo de
interpolação bilinear a partir do ponto disponível no
plano tempo-frequência.

Fig. 18: Análise wavelet de um sistema de duas vias,
BW 1/3 de oitava.

5.1. Normalização
Também aplicamos a normalização de escala ao
escalograma para proporcionar um melhor resultado
gráfico e, assim, torná-lo mais inteligível. Essa
normalização tem o mesmo resultado que ignorar a
normalização de energia apresentada na equação
(11).

BW 1/3 de oitava, com normalização de nível.

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A Figura 17 exibe um escalograma da análise wavelet
de um impulso de Dirac. Essa é a resposta de um
sistema perfeito; portanto, essa é a resposta-alvo da
análise wavelet de todo sistema eletroacústico linear.
A Figura 18 ilustra a análise wavelet do sistema
eletroacústico profissional de duas vias mencionado
anteriormente.

curva de tempo de chegada de pico de energia.

Se a análise wavelet for utilizada para o estudo do
decaimento de energia ou do alinhamento temporal de
um sistema, o escalograma pode ser posteriormente
normalizado em nível. Neste caso, cada linha do
escalograma, onde o coeficiente é calculado pela
equação (33), é normalizada ao seu valor máximo. Daí
resulta a diferença energética entre os diferentes
fatores de escala não considerados, resultando em
uma visualização mais clara do decaimento de energia
no sistema. Esse tipo de visualização é muito similar
àquela de um conjunto de curvas ETC calculado em
sua versão de banda estreita de resposta ao impulso.
Como exemplo, mostramos na Figura 19 a análise
wavelet do mesmo sistema de duas vias normalizada
em nível.
Também é interessante mostrar o gráfico da curva de
tempo de chegada do pico de energia, i.e. a curva que
conecta os pontos de máxima energia em cada linha
do escalograma. A Figura 20 mostra o gráfico de
tempo de chegada do pico de energia na forma de
uma curva traço-pontilhada sobre o escalograma.
Nessa figura o escalograma foi intencionalmente
enfraquecido para enfatizar a presença da curva.

BW 1/6 de oitava.

5.2. Balancear Resolução no Tempo e na
Frequência
O produto da largura temporal e espectral é uma
quantidade fixa; o parâmetro BW da análise wavelet
permite balancear a resolução no domínio de tempo
com a resolução em frequência. Percebemos
experimentalmente que os valores ótimos para o
parâmetro BW oscilam entre um terço e um doze avos
de oitava.
Nas Figuras 21 e 22 vemos a análise wavelet do
sistema de duas vias com parâmetro BW 1/6 de
oitava. Nota-se a menor resolução no tempo e a maior
resolução em frequência em relação à análise anterior
de 1/3 de oitava.

BW 1/6 de oitava, com normalização de nível.

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6. Aplicação
Nesta seção gostaríamos de apresentar algumas
medições de sistemas reais nos quais a aplicação da
ferramenta de análise wavelet (WAT) revelou-se um
instrumento muito útil e prático. O desenvolvimento da
própria WAT originou-se da consciência de que uma
ferramenta de análise do conjunto tempo-frequência
era muito desejável a fim de se obter uma
compreensão
mais
completa
de
algumas
características
de
tempo-frequência-módulo
relacionadas a transdutores específicos ou a sistemas
eletroacústicos completos. As informações que podem
ser coletadas analisando-se uma resposta ao impulso
com a WAT geralmente estão relacionadas a alguns
assuntos específicos: a resposta no tempo de um
transdutor (por vezes acoplado a um dispositivo como
guia de onda), o decaimento da energia de um
sistema eletroacústico e o alinhamento temporal de
um transdutor em um sistema de múltiplas vias.

que a energia emitida pelo transdutor de alta
frequência precede aquela do woofer em uma certa
quantidade de tempo. Esse atraso nas frequências
baixas é consequência direta do atraso de grupo em
banda passante associado ao filtro passa-baixas se
comparado com aquele do filtro passa-altas. A
abordagem APN não compensa essa distorção
temporal de modo algum. A abordagem LPC, por outro
lado, emprega o filtro FIR de fase linear que possui um
atraso de grupo fixo e constante para cada banda;
uma vez compensado o atraso de tempo geométrico,
nenhuma distorção temporal é introduzida na resposta
do sistema. A Figura 27 mostra a resposta do sistema
com crossover LPC com ambos os transdutores
conectados com a polaridade correta (curva vermelha)
e com um dos transdutores com a polaridade invertida
(curva azul). É interessante ver o resultado da análise
wavelet do sistema conectado de maneira imprópria; a
Figura 28 revela de modo claro o evidente fenômeno
de cancelamento de fase.

6.1 Difusor Profissional 8” de Duas Vias

6.2. Elemento Array Vertical de Três Vias

Examinemos um sistema eletroacústico profissional
equipado com um woofer de 8” e um driver de
compressão de 1” acoplado a um guia de onda de
cobertura constante. Esse sistema simples representa
um exemplo bastante comum de aplicação da WAT.
Poderíamos ter interesse, neste caso, em analisar
como duas estratégias de crossover distintas podem
afetar o alinhamento temporal entre os drivers e qual
dos dois poderia ter um melhor desempenho em
termos de coerência temporal.

A fim de ilustrar mais algumas aplicações do módulo
CLIO WAT no estudo do alinhamento temporal entre
vários transdutores em sistemas de múltiplas vias,
citamos novamente a publicação mencionada acima.
O sistema array vertical de três vias que agora
analisamos é muito similar ao sistema que foi ilustrado
em tal publicação, porém em maiores proporções. Um
olhar rápido no gráfico de resposta em frequência
(Figura 29) mostra que o sistema processado com seu
crossover
original
e
com
outro
crossover
implementado com o filtro FIR de fase linear apresenta
resposta praticamente idêntica, sendo que as
pequenas diferenças são de influência nula. As curvas
da resposta em fase, pelo contrário, são notavelmente
diferentes uma da outra (Figura 30). A resposta em
fase do crossover original é representada pela curva
vermelha enquanto que a curva azul representa a
resposta do sistema com o conjunto de fase linear. A
análise wavelet da resposta ao impulso obtida com o
crossover original (Figura 31) mostra que a
abordagem de crossover escolhida, apesar de seu
efeito positivo na redução da rotação de fase total em
respeito a um crossover APN hipotético do tipo passatudo de três vias, exibe claros sinais de distorção
temporal. O midrange claramente precede as saídas
de alta e baixa frequências. A análise wavelet aplicada
ao mesmo sistema processado com crossover de fase
linear (Figura 32) mostra sem sombra de dúvida a
melhoria de coerência e a redução de distorção
temporais, emitindo quase toda a energia em sincronia
dentro de praticamente todas as bandas.

Isso pode ser obtido facilmente, e esse é exatamente
o caso, sendo o módulo de resposta em frequência
para ambos os alinhamentos praticamente idêntico
(Figura 23). Comparando a curva da resposta em fase
(Figura 24) é possível vermos claramente que a
rotação de fase imposta ao sistema processado com
crossover de fase linear (LPC) (curva azul) é
decididamente menor que aquela imposta ao mesmo
sistema quando processado com uma rede de
crossover passa-tudo (APN). Numa publicação
anterior demonstramos, com mais detalhes, as
performances temporais obtidas de um sistema
eletroacústico
sendo
processado
por
várias
estratégias de crossover diferentes. Neste caso,
observando os resultados da WAT para as duas
abordagens, vemos a clara evidência de melhora na
resposta temporal do sistema que resulta do LPC se
comparado com a abordagem APN (Figura 26). O
resultado da análise WAT obtido com a abordagem
APN mostrado na Figura 25 demonstra, neste caso,

- 12 -


6.3. Driver de Compressão Acoplado a uma
Corneta de Diretividade Constante
Uma das características mais comuns das cornetas de
diretividade constante (CD) é o slot de difração
utilizado na garganta da corneta. Visto que cornetas
HF de formato grande e amplo ângulo de cobertura
utilizam drivers que possuem uma saída na faixa de
1.5” ou 2” de diâmetro, a corneta não pode ser de
forma completamente cônica. A razão disso é que,
dado o diâmetro do transdutor utilizado, a diretividade
em altas frequências será determinada pela
diretividade inerente ao próprio driver nessas
frequências. Para manter um amplo ângulo de
cobertura até o extremo superior da banda de áudio é
prática comum acoplar o driver a uma porção
exponencial da corneta que termina em um brusco
restringimento que por sua vez provoca uma difração
na porção cônica subsequente da corneta. Esta última
é comumente seguida por uma seção cônica adicional
com abertura mais acentuada. A energia sonora que
chega ao slot de difração não é irradiada
completamente na seção cônica. Uma parte da
energia é refletida para a garganta do driver devido à
brusca mudança na forma da superfície no ponto de
difração. Isso gera reflexões. A análise wavelet
aplicada à resposta ao impulso desse tipo de corneta
pode mostrar quanta energia é refletida ao interior da
corneta e quais bandas de frequência são
essencialmente afetadas pelo fenômeno naquela
corneta em específico. A resposta em frequência na
Figura 33 mostra claramente o efeito dessas reflexões
e na Figura 34 vemos o aspecto do resultado da
análise WAT. Mesmo que o guia de onda medido
mostre de modo evidente o efeito da reflexão no slot
de difração, este permanece bastante representativo
da qualidade média que se pode encontrar nas
cornetas de difração e ampla cobertura angular
utilizadas nos sistemas profissionais. Nos guias de
onda de cobertura muito ampla que se vêm utilizando
atualmente na maioria dos sistemas de array vertical o
efeito do slot de difração é ainda pior.

Fig. 23: Módulo da resposta em frequência do sistema
profissional 8” de duas vias.

Fig. 24: Fase da resposta em frequência do sistema
profissional 8” de duas vias.

Fig. 25: Análise wavelet do sistema profissional 8” de
duas vias, caso APN.

- 13 -


duas vias, caso LPC.

Fig. 29: Módulo da resposta em frequência do
elemento vertical array.

Fig. 27: Módulo da resposta em frequência do sistema
profissional 8” de duas vias, caso LPC com polaridade
invertida.

Fig. 30: Fase da resposta em frequência do elemento
vertical array.

duas vias, caso LPC com polaridade invertida.

Fig. 31: Análise wavelet do elemento vertical array,
crossover original.

- 14 -


Fig. 32: Análise wavelet do elemento vertical array,
crossover de fase linear.

Fig. 35: Resposta ao impulso, Quad ESL-63.

Fig. 33: Módulo da resposta em frequência do driver
de compressão com corneta CD.

Fig. 36: Fase da resposta em frequência, Quad ESL63.

Fig. 34: Análise wavelet do driver de compressão com
corneta CD.

Fig. 37: Análise wavelet, Quad ESL-63.

- 15 -


6.4. Alto-Falante Hi-Fi Eletrostático

9. Referências Bibliográficas

Foi medida a IR de um alto-falante eletrostático Hi-Fi,
Quad ESL-63 (Figura 35). A resposta do sistema é
bem alinhada devido ao princípio de funcionamento do
próprio sistema. Isso é confirmado pela resposta em
fase praticamente plana (Figura 36) e pela análise
wavelet (Figura 37). A partir dos 100 Hz o sistema se
mostra praticamente isento de distorções temporais,
com um decaimento uniforme, exceto por uma
ressonância de alguns milissegundos em torno de 450
Hz.

[1] M. Di Cola, M. T. Hadelich, D. Ponteggia, D.
Saronni, “Linear Phase Crossover Filters
Advantages in Concert Sound Reinforcement
Systems: a practical approach”, Presented at the
AES 121st Convention, San Francisco, CA, USA,
2006 October 5-8

7. Conclusão

[3] D. B. Keele, “Time-Frequency Display of
Electroacoustic Data Using Cycle-Octave Wavelet
Transforms”, Presented at the AES 99th
Convention, New York, NY, USA, 1995 October 69

A análise wavelet é um instrumento poderoso para a
caracterização
da
resposta
de
sistemas
eletroacústicos. A razão disso consiste na
caracterização conjunta tempo-frequência que é capaz
de realizar. Um mapa de cores simples e de fácil
leitura contém toda a informação do comportamento
do conjunto tempo-frequência do sistema.
Este instrumento pode fazer parte do cotidiano do
projetista
de
sistemas
eletroacústicos
e/ou
transdutores. A análise wavelet certamente não
substituirá o gráfico da resposta em fase no
alinhamento temporal do sistema ou o Cumulative
Spectral Decay quando o decaimento da resposta
precisa ser analisado. É, todavia, um instrumento
precioso que pode ser utilizado em conjunto com
técnicas consagradas, ajudando na interpretação das
características altamente difíceis de compreender e
manejar como a resposta em tempo e em fase de
sistemas eletroacústicos.
Como desenvolvimento futuro, pretendemos pesquisar
algoritmos de cálculo mais eficientes como sugerido
em [15] e a integração da análise wavelet em uma
ferramenta com diferentes distribuições tempofrequência.

8. Agradecimentos
Gostaríamos de agradecer à Audiomatica pelo apoio
neste trabalho e por haver aberto seu sistema de
medição CLIO a este novo campo. Agradecemos
também a Fabio Blasizzo pelas numerosas sugestões
proveitosas.

[2] H. Møller, P. Minnaar, S. K. Olesen, F.
Christensen, J. Plogsties, “On the Audibility of AllPass Phase in Electroacoustical Transfer
Functions”, J. Audio Eng. Soc., vol. 55, No. 3, pp.
115-134 (2007, March).

[4] D. W. Gunness, W. R. Hoy, “A Spectrogram
Display for Loudspeaker Transient Response”,
Presented at the AES 119th Convention, New
York, NY, USA, 2006 October 7-10
[5] S. J. Loutridis, “Decomposition of Impulse
Responses Using Complex Wavelets”, J. Audio
Eng. Soc., vol. 53, No. 9, pp. 796-811 (2005,
Sept.).
[6] O. Rioul, M. Vetterli, “Wavelets and signal
processing”, IEEE Signal Processing Magazine,
vol. 8, no. 4, Oct. 1991, pp. 14-38
[7] A. Duncan, “The Analytic Impulse”, J. Audio Eng.
Soc., vol. 36, pp. 315-327 (1988, May).
[8] CLIO Software - User’s Manual, Audiomatica,
http://www.audiomatica.com
[9] R. C. Heyser, “Loudspeaker Phase Characteristics
an Time Delay Distortion, Parts I and II”, J. Audio
Eng. Soc., vol. 17, No. 1, pp. 30-41 (1969, Jan.);
vol. 17, No. 2, pp. 130-137 (1969 Apr.).
[10] J. D’Appolito, Testing Loudspeakers, Audio
Amateur Press, 1998
[11] A. Lukin, J. Todd, “Adaptive Time-Frequency
Resolution for Analysis and Processing of Audio”,
Presented at the AES 120th Convention, Paris,
France, 2006 May 20-23

- 16 -


[12] C. P. Janse, A. J. M. Kaizer, “Time-Frequency
Distributions of Loudspeakers: The Application of
the Wigner Distribution”, J. Audio Eng. Soc., vol.
31, No. 4, pp. 198-223 (1983, Apr.).
[13] A. Mertins, Signal Analysis: Wavelets, TimeFrequency Transforms and Applications, Wiley,
1999
[14] R. L. Allen, D. Mills, Signal Analysis: Time,
Frequency, Scale, and Structure, Wiley-IEEE
Press, 2004
[15] O. Rioul, P. Duhamel, “Fast Algorithms for
Discrete and Continuous Wavelet Transforms”,
IEEE Transactions on Information Theory, vol. 38,
no. 2, Mar. 1992, pp. 569-586.

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Caracterização tempo-frequência de sistemas eletroacústicos com análise wavelet

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