SlideShare a Scribd company logo

Modul Kongruen Mulyati

1 of 14
Download to read offline
________________________________________________________________Halaman                            1



                                        KONGRUENSI
                                        KONGRUENSI
       Di sekitar kita banyak kita jumpai
berbagai macam bentuk bangunan yang
memanfaatkan        bentuk-bentuk      geometri
yang      kongruen,      misalnya     bangunan
gedung,      seperti gambar di samping.
Gambar      tersebut    merupakan      Museum
Pythagoras yang beridiri tahun 1925.

                                                           www.airbornecombatenginer.typepad


                                                                      Gambar 1.

                                         Selain untuk konstruksi teknik bangun geometri juga
                                         banyak dimanfaatkan dalam bidang seni, misalnya
                                         untuk membuat pola produk seni tertentu misalnya pola
                                         karpet atau ubin (www.mathartfun.com)
             Gambar 2.

A. BANGUN-BANGUN YANG KONGRUEN
            Kongruensi     bentuk-bentuk    geometri   dapat   dijelaskan   melalui   tiga     bentuk
   transformasi yaitu refleksi, translasi dan rotasi. Dua buah bangun dikatakan kongruen jika
   dan hanya jika tersusun dari refleksi, translasi atau rotasi dari bangun-bangun tersebut
   dengan bayangannya.
   1. Refleksi
              Perhatikan gambar 1 di samping. Jika
        bangun ABCDE dicerminkan terhadap garis k,
        maka masing-masing titik           pada bangun
        ABCDE akan berkorespondensi (bersesuaian)
        dengan        bangun A’B’C’D’E’. Korespondensi
        satu-satu      tersebut     membentuk     sebuah
        pemetaan yang menggunakan simbol ” →”.
               Pada gambar tersebut menunjukkan:

        A → A’ dan       AB → A' B'

        B → B’ dan       BC → B' C'                                   Gambar 3.
        C → C’ dan       CD → C' D'

        D → D’ dan       DE → D' E'

        E → E’ dan       AE → A' E'


MATEMATIKA                                 SMP KELAS IX                               MULYATI
________________________________________________________________Halaman                     2




            Berdasarkan gambar di atas maka:
     a. Jarak titik asal (misal A) terhadap cermin (garis k) sama dengan jarak bayangan
          (A’) terhadap cermin itu,

     b. Garis yang menghubungkan titik asal dan bayangannya ( AA' ) tegak lurus terhadap
          cermin,
            Pada pencerminan tersebut        segilima ABCDE    dipetakan ke A’B’C’D’E’ ditulis
     ABCDE → A’B’C’D’E’.           Dan sebaliknya A’B’C’D’E’ merupakan peta atau bayangan
     ABCDE ditulis         A’B’C’D’E’ → ABCDE. Hubungan keduanya ditulis ABCDE ↔
     A’B’C’D’E’. Dengan demikian bangun ABCDE            dan    A’B’C’D’E’ sama bentuk dan
     ukurannya.
            Sebuah refleksi pada garis m adalah korespondensi satu-satu antara bayangan
     titik P dengan P’, berikut:
     a. Jika P pada m, maka P = P’

     b. Jika P tidak pada m, maka m adalah garis yang membagi dua antara PP' .


  2. Translasi
            Perhatikan gambar 4 berikut! Pada gambar
     tersebut menunjukkan bidang ABCD digeser ke
     bidang A’B’C’D’. Setiap       titik pada bidang ABCD
     dipindahkan ke bidang A’B’C’D’ dengan jarak dan
     arah yang sama, sehingga pergeseran bangun
     datar tersebut dapat diwakili ruas garis AA’, BB’,
     CC’ dan DD’.
            Perpindahan semua titik pada bidang ABCD                   Gambar 4.
     ke    titik    pada    bidang    A’B’C’D’,   sehingga
     perpindahan tersebut memiliki jarak dan arah yang
     sama disebut pergeseran atau translasi.
            Pada gambar 4 di atas:

      AB → A' B' dan AB = A' B'

      BC → B' C' dan BC = B' C'

      CD → C' D' dan CD = C' D'

      AD → A' D' dan AD = A' D'
     Bangun ABCD → Bangun A’B’C’D’, dan bangun A’B’C’D’→ bangun ABCD, sehingga
     bangun ABCD dan bangun A’B’C’D’ sama bentuk dan ukurannya.


MATEMATIKA                              SMP KELAS IX                            MULYATI
________________________________________________________________Halaman                   3



            Dengan demikian translasi adalah suatu perpindahan semua titik pada bidang
     yang bersangkutan dengan jarak dan arah yang sama
  3. Rotasi
            Suatu bangun dikatakan memiliki simetri putar tingkat n jika bangun tersebut
     diputar sejauh 3600 pada pusatnya, bangun tersebut dapat menempati n cara, n > 1
            Suatu rotasi (perputaran) pada bidang datar ditentukan oleh:
     a. Pusat rotasi
     b. Besar sudut (jarak rotasi)
          Sudut rotasi dibentuk oleh        garis yang
          menghubungkan pusat rotasi        dengan titik
          asal dan garis yang menghubungkan pusat
          rotasi dengan titik hasil (bayangan)
     c. Arah rotasi (searah atau berlawanan arah
          perputaran jarum jam
          Rotasi   yang arahnya berlawanan dengan
          arah jarum jam         disebut arah positif.
          Sedangkan yang searah dengan             arah
                                                                      Gambar 5.
          perputaran jarum jam disebut negatif.
            Pada gambar      berikut menunjukkan     segitiga ABC dirotasikan   dengan sudut
     rotasi ∠ AOA’ = ∠ BOB’ = ∠ COC’ searah jarum jam (negatif)
     Pada rotasi tersebut menunjukkan:
     A → A’
     B → B’          dan ∆ ABC → ∆ A’B’C
     C → C’
     Sehingga ∆ ABC dan ∆ A’B’C’ sama bentuk dan ukurannya.


       Berdasarkan ketiga bentuk transformasi di atas menunjukkan bahwa transformasi
  (refleksi translasi dan rotasi) menghasilkan bangun yang      sama bentuk dan ukurannya
  sama dengan benda aslinya. Kedua bangun (asli) dan bayangan (hasil transformasi)
  tersebut dinamakan saling kongruen. Jika terdapat dua bangun datar yang kongruen, maka
  salah satunya dapat dihasilkan dari bangun lainnya melalaui proses transformasi. Dengan
  demikian dua buah bangun dikatakan kongruen jika mempunyai bentuk dan ukuran yang
  sama.
       Karakteristik dari dua bangun yang kongruen adalah:
  1. Dua ruas garis yang kongruen mempunyai ukuran panjang yang sama
  2. Sudut yang kongruen mempunyai besar yang sama


MATEMATIKA                             SMP KELAS IX                             MULYATI
________________________________________________________________Halaman                            4



  3. Pasangan sisi yang bersesuaian dari bangun yang kongruen adalah kongruen
  4. Pasangan sudut bersesuaian dari dua bangun adalah kongruen
        Dua bangun yang saling kongruen dilambangkan dengan tanda “≅”.
        Pada ketiga hasil transformasi di atas
  Gambar 3: Bangun ABCDE kongruen dengan A’B’C’D’E’, ditulis ABCDE ≅ A’B’C’D’E’,
  Gambar 4: Bangun ABCD kongruen dengan bangun A’B’C’D’ ditulis ABCD ≅ A’B’C’D’
  Gambar 5: Segitiga ABC kongruen dengan segitiga A’B’C’ ditulis ∆ ABC ≅ ∆ A’B’C’


B. SEGITIGA-SEGITIGA KONGRUEN
        Pada     penjelasan      sebelumnya         sudah
  diketahui, bahwa dua bangun dikatakan kongruen
  jika mempunyai bentuk dan ukuran yang sama.
  Segitiga    adalah    bangun      datar   yang    paling
  sederhana, karena memiliki 3 buah sisi. Segitiga
  kongruen     adalah    segitiga    yang    mempunyai
  ukuran dan bentuk yang sama. Dalam kehidupan
  sehari-hari banyak bangunan-bangunan gedung                     Sumber:http://blog.lib.umn.edu
  yang memanfaatkan pola segitiga kongruen.
                                                                           Gambar 6.

        Seperti dijelaskan di muka bahwa kongruensi ini dapat ditunjukkan              dan model
  transformasi geometri (refleksi, translasi dan rotasi). Pada gambar berikut menunjukkan
  pasangan-pasangan segitiga kongruen yang dijelaskan menggunakan transformasi.




     ∆ OPQ ≅ ∆ LMN                            ∆ ABC ≅ ∆ DEF                 ∆ GHI ≅ ∆ JKI
                                                Gambar 7.


  Perhatikan gambar 8 di samping!
  Segitiga    ABC ≅ ∆ DEF. Jika         dua segitiga tersebut
  dipotong dan diimpitkan satu sama lainnya, maka akan
  diperoleh    pasangan    sudut-sudut       yang    bersesuian
  kongruen dan pasangan sisi-sisi bersesuaian yang
  kongruen.                                                                  Gambar 8.


MATEMATIKA                                  SMP KELAS IX                             MULYATI
________________________________________________________________Halaman                             5



  a. ∠A ↔ ∠E, dan ∠A ≅ ∠E
      ∠B ↔ ∠D, dan ∠B ≅ ∠D
      ∠C ↔ ∠F, dan ∠C ≅ ∠F
      Sudut-sudut yang bersesuaian kongruen
  b. AB ↔ DE dan AB ≅ DE
      BC ↔ DF dan BC ≅ DF
      AC ↔ EF dan AC ≅ EF
      Sisi-sisi yang bersesuaian kongruen
      Jadi ∆ ABC kongruen dengan ∆ DEF atau ∆ ABC ≅ ∆ DEF
       Penjelasan tentang segitiga-segitiga kongruen, selain menggunakan                  transformasi
  dapat pula dijelaskan dengan postulat sss (sisi, sisi, sisi), s sd s (sisi, sudut, sisi), sd s sd
  (sudut, sisi sudut), s, s, sd (sisi, sisi, sudut) dan s, sd, sd (sisi, sudut, sudut).
       Sebuah segitiga sembarang dapat dilukis apabila diketahui:
  1. Ketiga sisinya sekaligus (s, s, s)
  2. Dua sisi dan sebuah sudut apitnya (s,sd,s)
  3. Sebuah sisi dan kedua sudut apitnya (sd,s,sd)
  4. Dua sisi dan sebuah sudut (s,s,sd)
  5. Sebuah sisi, sebuah sudut pada sisi itu dan sebuah sudut dihadapan sisi yang diketahui
      (s,sd,sd)
          Sebelum mempelajari postulat kongruensi, berikut ini akan dijelaskan satu per satu
  cara melukis masing-masing segitiga tersebut.


  1. Ketiga Sisinya Diketahui (s, s, s)
      Dua buah segitiga kongruen, jika sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga tersebut
      kongruen.
      Untuk membuktikan dua buah segitiga kongruen menggunakan postulat (s,s,s) maka
      lakukan kegiatan berikut:
      Kegiatan 1.
      a. Misalkan diketahui segitiga ABC
      b. Lukislah segitiga DEF, di mana panjang DE = AB, panjang EF = BC dan panjang DF
          = AC. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:
          1). Buatlah ruas garis sembarang kemudian lukislah sebuah titik D pada garis itu
              Dengan busur derajat lukislah garis berarah DE yang sama panjang dengan AB,
          2). Dengan pusat E lukislah busur lingkaran dengan panjang jari-jari sama dengan
              BC



MATEMATIKA                                SMP KELAS IX                                    MULYATI
________________________________________________________________Halaman                   6



         3). Dengan pusat D lukislah busur lingkaran dengan jari-jari AC, hingga berpotongan
             di F
         4). Tariklah ruas garis EF
         5). Tariklah ruas garis DF
     c. Potonglah segitiga DEF kemudian impitkan pada segitiga ABC
     d. Amatilah, apakah segitiga tersebut kongruen?
             Jika kegiatan yang kamu lakukan benar, maka kamu akan mendapatkan
     pasangan segitiga berikut:




                                        Gambar 9.

              Berdasarkan gambar yang kamu lukis, akan diperoleh pasangan sisi-sisi
     segitiga yang kongruen berikut:

      AB ≅ DE , BC ≅ EF , AC ≅ DF , sehingga ∆ ABC ≅ ∆ DEF


     Contoh 1:
     Perhatikan gambar di samping!
     a. Tunjukkan ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.
     b. Sebutkan pasangan sudut yang kongruen.
     Jawab
      a. Berdasarkan gambar tersebut, diperoleh:

         AB ↔ DE dan AB ≅ DE (sisi)
                                                                      Gambar 10.
         BC ↔ EF dan BC ≅ EF (sisi)

         AC ↔ DF dan AC ≅ DF (sisi)
        Jadi ∆ ABC kongruen dengan ∆ DEF atau ∆ ABC ≅ ∆ DEF
     b. Pasangan sudut yang kongruen adalah:
         ∠A ↔ ∠ D, dan ∠A ≅ ∠D
         ∠B ↔ ∠ E, dan ∠B ≅ ∠E
         ∠C ↔ ∠F,     dan ∠C ≅ ∠F




MATEMATIKA                             SMP KELAS IX                           MULYATI

Recommended

garis- garis sejajar
 garis- garis sejajar garis- garis sejajar
garis- garis sejajarLam RoNna
 
PPT MENGGAMBAR GARIS PADA SEGITIGA (TUGAS ICT META SILVIA GUNAWAN) PPS UNSRI ...
PPT MENGGAMBAR GARIS PADA SEGITIGA (TUGAS ICT META SILVIA GUNAWAN) PPS UNSRI ...PPT MENGGAMBAR GARIS PADA SEGITIGA (TUGAS ICT META SILVIA GUNAWAN) PPS UNSRI ...
PPT MENGGAMBAR GARIS PADA SEGITIGA (TUGAS ICT META SILVIA GUNAWAN) PPS UNSRI ...META GUNAWAN
 
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.pptAljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.pptrahmawarni
 
Contoh soal matematika kelas VIII semester 1
Contoh soal matematika kelas VIII semester 1Contoh soal matematika kelas VIII semester 1
Contoh soal matematika kelas VIII semester 1Halimirna Inha
 
PPT Relasi & Fungsi Matematika Kelas VIII
PPT Relasi & Fungsi Matematika Kelas VIIIPPT Relasi & Fungsi Matematika Kelas VIII
PPT Relasi & Fungsi Matematika Kelas VIIIYoshiie Srinita
 
latihan soal matematika kesebangunan dan kekongruenan kelas 9 smp
latihan soal matematika kesebangunan dan kekongruenan kelas 9 smplatihan soal matematika kesebangunan dan kekongruenan kelas 9 smp
latihan soal matematika kesebangunan dan kekongruenan kelas 9 smpDian Nurdiana
 
Vektor Matematika Peminatan
Vektor Matematika PeminatanVektor Matematika Peminatan
Vektor Matematika PeminatanMaisyah Wanda
 
PPT Kesebangunan dan Kekongruenan Kelas IX Semester 1
PPT Kesebangunan dan Kekongruenan Kelas IX Semester 1PPT Kesebangunan dan Kekongruenan Kelas IX Semester 1
PPT Kesebangunan dan Kekongruenan Kelas IX Semester 1astrioktawahyuni
 

More Related Content

What's hot

Modul Khusus Materi Statistika Kelas 8 SMP
Modul Khusus Materi Statistika Kelas 8 SMPModul Khusus Materi Statistika Kelas 8 SMP
Modul Khusus Materi Statistika Kelas 8 SMPIwan Sumantri
 
Diktat geometri melukis sudut
Diktat geometri melukis sudutDiktat geometri melukis sudut
Diktat geometri melukis sudutaireswitha
 
DPPM1 Bilangan Bulat -SMP kelas VII- (Metode Scientific)
DPPM1 Bilangan Bulat -SMP kelas VII- (Metode Scientific)DPPM1 Bilangan Bulat -SMP kelas VII- (Metode Scientific)
DPPM1 Bilangan Bulat -SMP kelas VII- (Metode Scientific)Yusrina Fitriani Ns
 
Kekongruenan
KekongruenanKekongruenan
Kekongruenanpooeetry
 
Soal Kompetensi Matematika
Soal Kompetensi MatematikaSoal Kompetensi Matematika
Soal Kompetensi MatematikaJajang Nur'alim
 
PPT SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
PPT SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABELPPT SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
PPT SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABELnungkir
 
geometri analitik
geometri analitikgeometri analitik
geometri analitikputriyani13
 
Geometri datar dra. kusni- m.si
Geometri datar   dra. kusni- m.siGeometri datar   dra. kusni- m.si
Geometri datar dra. kusni- m.siKiki Ni
 
geogebra 101 - Rotasi
geogebra 101 - Rotasigeogebra 101 - Rotasi
geogebra 101 - Rotasiadji raditya
 
LAS/LKS Statistik Kelas X Kurikulum 2013 (Matematika)
LAS/LKS Statistik Kelas X Kurikulum 2013 (Matematika)LAS/LKS Statistik Kelas X Kurikulum 2013 (Matematika)
LAS/LKS Statistik Kelas X Kurikulum 2013 (Matematika)Yoshiie Srinita
 
PPT MATERI LINGKARAN SMP KELAS 8
PPT MATERI LINGKARAN SMP KELAS 8PPT MATERI LINGKARAN SMP KELAS 8
PPT MATERI LINGKARAN SMP KELAS 8silviarahayu6
 
Aksioma insidensial dalam geometri euclide
Aksioma insidensial dalam geometri euclideAksioma insidensial dalam geometri euclide
Aksioma insidensial dalam geometri euclideagusloveridha
 
Pembuktian hub. sudut-sudut pada garis sejajar
Pembuktian hub. sudut-sudut pada garis sejajarPembuktian hub. sudut-sudut pada garis sejajar
Pembuktian hub. sudut-sudut pada garis sejajarLam RoNna
 
Alat peraga untuk menemukan volume limas segi empat melalui bangun ruang
Alat peraga untuk menemukan volume limas segi empat melalui bangun ruangAlat peraga untuk menemukan volume limas segi empat melalui bangun ruang
Alat peraga untuk menemukan volume limas segi empat melalui bangun ruangSriwijaya University - Indonesia
 
Modul 4 kongruensi linier
Modul 4   kongruensi linierModul 4   kongruensi linier
Modul 4 kongruensi linierAcika Karunila
 

What's hot (20)

Modul Khusus Materi Statistika Kelas 8 SMP
Modul Khusus Materi Statistika Kelas 8 SMPModul Khusus Materi Statistika Kelas 8 SMP
Modul Khusus Materi Statistika Kelas 8 SMP
 
Diktat geometri melukis sudut
Diktat geometri melukis sudutDiktat geometri melukis sudut
Diktat geometri melukis sudut
 
transformasi smp
transformasi smptransformasi smp
transformasi smp
 
geometri terurut
geometri terurutgeometri terurut
geometri terurut
 
DPPM1 Bilangan Bulat -SMP kelas VII- (Metode Scientific)
DPPM1 Bilangan Bulat -SMP kelas VII- (Metode Scientific)DPPM1 Bilangan Bulat -SMP kelas VII- (Metode Scientific)
DPPM1 Bilangan Bulat -SMP kelas VII- (Metode Scientific)
 
Kekongruenan
KekongruenanKekongruenan
Kekongruenan
 
Soal Kompetensi Matematika
Soal Kompetensi MatematikaSoal Kompetensi Matematika
Soal Kompetensi Matematika
 
PPT SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
PPT SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABELPPT SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
PPT SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
 
geometri analitik
geometri analitikgeometri analitik
geometri analitik
 
Materi 1-geo
Materi 1-geoMateri 1-geo
Materi 1-geo
 
teori graf (planar
teori graf (planarteori graf (planar
teori graf (planar
 
Geometri datar dra. kusni- m.si
Geometri datar   dra. kusni- m.siGeometri datar   dra. kusni- m.si
Geometri datar dra. kusni- m.si
 
geogebra 101 - Rotasi
geogebra 101 - Rotasigeogebra 101 - Rotasi
geogebra 101 - Rotasi
 
LAS/LKS Statistik Kelas X Kurikulum 2013 (Matematika)
LAS/LKS Statistik Kelas X Kurikulum 2013 (Matematika)LAS/LKS Statistik Kelas X Kurikulum 2013 (Matematika)
LAS/LKS Statistik Kelas X Kurikulum 2013 (Matematika)
 
AKM SPLDV - Pertemuan 2
AKM SPLDV - Pertemuan 2AKM SPLDV - Pertemuan 2
AKM SPLDV - Pertemuan 2
 
PPT MATERI LINGKARAN SMP KELAS 8
PPT MATERI LINGKARAN SMP KELAS 8PPT MATERI LINGKARAN SMP KELAS 8
PPT MATERI LINGKARAN SMP KELAS 8
 
Aksioma insidensial dalam geometri euclide
Aksioma insidensial dalam geometri euclideAksioma insidensial dalam geometri euclide
Aksioma insidensial dalam geometri euclide
 
Pembuktian hub. sudut-sudut pada garis sejajar
Pembuktian hub. sudut-sudut pada garis sejajarPembuktian hub. sudut-sudut pada garis sejajar
Pembuktian hub. sudut-sudut pada garis sejajar
 
Alat peraga untuk menemukan volume limas segi empat melalui bangun ruang
Alat peraga untuk menemukan volume limas segi empat melalui bangun ruangAlat peraga untuk menemukan volume limas segi empat melalui bangun ruang
Alat peraga untuk menemukan volume limas segi empat melalui bangun ruang
 
Modul 4 kongruensi linier
Modul 4   kongruensi linierModul 4   kongruensi linier
Modul 4 kongruensi linier
 

Viewers also liked

Lesson study siklus (3)
Lesson study   siklus  (3)Lesson study   siklus  (3)
Lesson study siklus (3)Mulyati Rahman
 
Master tugas tik ppg mulyati
Master tugas tik ppg mulyatiMaster tugas tik ppg mulyati
Master tugas tik ppg mulyatiMulyati Rahman
 
Lesson study siklus (2)
Lesson study   siklus  (2)Lesson study   siklus  (2)
Lesson study siklus (2)Mulyati Rahman
 
Pemetaan un 2013
Pemetaan un 2013Pemetaan un 2013
Pemetaan un 2013Sahar Cha
 
Mulyati-Lomba Media 2010
Mulyati-Lomba Media 2010Mulyati-Lomba Media 2010
Mulyati-Lomba Media 2010Mulyati Rahman
 
P2 tkdikdas 13 mulyati
P2 tkdikdas 13 mulyatiP2 tkdikdas 13 mulyati
P2 tkdikdas 13 mulyatiMulyati Rahman
 
Lesson study siklus (1)
Lesson study   siklus (1)Lesson study   siklus (1)
Lesson study siklus (1)Mulyati Rahman
 
8a. atik instrumen produksi jasa smp 25
8a. atik instrumen produksi jasa smp 258a. atik instrumen produksi jasa smp 25
8a. atik instrumen produksi jasa smp 25Mulyati Rahman
 
8. mulyati ojl produksi jasa
8. mulyati ojl  produksi jasa8. mulyati ojl  produksi jasa
8. mulyati ojl produksi jasaMulyati Rahman
 
Mulyati supervisi awal
Mulyati supervisi awalMulyati supervisi awal
Mulyati supervisi awalMulyati Rahman
 
Prediksi US/UN
Prediksi US/UNPrediksi US/UN
Prediksi US/UNSahar Cha
 
Sinopsis best practice smp n 25 solo
Sinopsis best practice smp n 25 soloSinopsis best practice smp n 25 solo
Sinopsis best practice smp n 25 soloMulyati Rahman
 
Artikel mulyati pgri pusat
Artikel mulyati pgri pusatArtikel mulyati pgri pusat
Artikel mulyati pgri pusatMulyati Rahman
 
Cover Sebangun Kongruen-Mulyati
Cover Sebangun Kongruen-MulyatiCover Sebangun Kongruen-Mulyati
Cover Sebangun Kongruen-MulyatiMulyati Rahman
 
Mulyati ojl 4 (RTK Cakep Bab 4)
Mulyati ojl 4 (RTK Cakep Bab 4)Mulyati ojl 4 (RTK Cakep Bab 4)
Mulyati ojl 4 (RTK Cakep Bab 4)Mulyati Rahman
 
Lks 3 pythagoras geogebra
Lks 3 pythagoras geogebraLks 3 pythagoras geogebra
Lks 3 pythagoras geogebraMulyati Rahman
 
Deskripsi diri mulyati cover
Deskripsi diri mulyati coverDeskripsi diri mulyati cover
Deskripsi diri mulyati coverMulyati Rahman
 
Mulyati ojl 1 (Diklat Cakep Bab 1)
Mulyati ojl 1 (Diklat Cakep Bab 1)Mulyati ojl 1 (Diklat Cakep Bab 1)
Mulyati ojl 1 (Diklat Cakep Bab 1)Mulyati Rahman
 

Viewers also liked (20)

Makalah Refleksi
Makalah RefleksiMakalah Refleksi
Makalah Refleksi
 
Lesson study siklus (3)
Lesson study   siklus  (3)Lesson study   siklus  (3)
Lesson study siklus (3)
 
Master tugas tik ppg mulyati
Master tugas tik ppg mulyatiMaster tugas tik ppg mulyati
Master tugas tik ppg mulyati
 
Lesson study siklus (2)
Lesson study   siklus  (2)Lesson study   siklus  (2)
Lesson study siklus (2)
 
Pemetaan un 2013
Pemetaan un 2013Pemetaan un 2013
Pemetaan un 2013
 
Mulyati supervisi 1
Mulyati supervisi 1Mulyati supervisi 1
Mulyati supervisi 1
 
Mulyati-Lomba Media 2010
Mulyati-Lomba Media 2010Mulyati-Lomba Media 2010
Mulyati-Lomba Media 2010
 
P2 tkdikdas 13 mulyati
P2 tkdikdas 13 mulyatiP2 tkdikdas 13 mulyati
P2 tkdikdas 13 mulyati
 
Lesson study siklus (1)
Lesson study   siklus (1)Lesson study   siklus (1)
Lesson study siklus (1)
 
8a. atik instrumen produksi jasa smp 25
8a. atik instrumen produksi jasa smp 258a. atik instrumen produksi jasa smp 25
8a. atik instrumen produksi jasa smp 25
 
8. mulyati ojl produksi jasa
8. mulyati ojl  produksi jasa8. mulyati ojl  produksi jasa
8. mulyati ojl produksi jasa
 
Mulyati supervisi awal
Mulyati supervisi awalMulyati supervisi awal
Mulyati supervisi awal
 
Prediksi US/UN
Prediksi US/UNPrediksi US/UN
Prediksi US/UN
 
Sinopsis best practice smp n 25 solo
Sinopsis best practice smp n 25 soloSinopsis best practice smp n 25 solo
Sinopsis best practice smp n 25 solo
 
Artikel mulyati pgri pusat
Artikel mulyati pgri pusatArtikel mulyati pgri pusat
Artikel mulyati pgri pusat
 
Cover Sebangun Kongruen-Mulyati
Cover Sebangun Kongruen-MulyatiCover Sebangun Kongruen-Mulyati
Cover Sebangun Kongruen-Mulyati
 
Mulyati ojl 4 (RTK Cakep Bab 4)
Mulyati ojl 4 (RTK Cakep Bab 4)Mulyati ojl 4 (RTK Cakep Bab 4)
Mulyati ojl 4 (RTK Cakep Bab 4)
 
Lks 3 pythagoras geogebra
Lks 3 pythagoras geogebraLks 3 pythagoras geogebra
Lks 3 pythagoras geogebra
 
Deskripsi diri mulyati cover
Deskripsi diri mulyati coverDeskripsi diri mulyati cover
Deskripsi diri mulyati cover
 
Mulyati ojl 1 (Diklat Cakep Bab 1)
Mulyati ojl 1 (Diklat Cakep Bab 1)Mulyati ojl 1 (Diklat Cakep Bab 1)
Mulyati ojl 1 (Diklat Cakep Bab 1)
 

Similar to Modul Kongruen Mulyati

Modul sebangun mulyati
Modul sebangun mulyatiModul sebangun mulyati
Modul sebangun mulyatiMulyati Rahman
 
Kesebangunan dan Garis Istimewa Segitiga
Kesebangunan dan Garis Istimewa SegitigaKesebangunan dan Garis Istimewa Segitiga
Kesebangunan dan Garis Istimewa Segitigaeverthing_you
 
fdokumen.com_kesebangunan-dan-kekongruenan-562a674081255.pptx
fdokumen.com_kesebangunan-dan-kekongruenan-562a674081255.pptxfdokumen.com_kesebangunan-dan-kekongruenan-562a674081255.pptx
fdokumen.com_kesebangunan-dan-kekongruenan-562a674081255.pptxAzmiYasin2
 
Kegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 6A
Kegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 6AKegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 6A
Kegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 6AAmphie Yuurisman
 
Bahan Ajar kesebangunan
Bahan Ajar kesebangunanBahan Ajar kesebangunan
Bahan Ajar kesebangunanIka Deavy
 
geo-euclid-tuk-A1-20.-20-2-dikonversi.pdf
geo-euclid-tuk-A1-20.-20-2-dikonversi.pdfgeo-euclid-tuk-A1-20.-20-2-dikonversi.pdf
geo-euclid-tuk-A1-20.-20-2-dikonversi.pdfMuhammad Iqbal
 
Matematika Belah Ketupat ppt
Matematika Belah Ketupat pptMatematika Belah Ketupat ppt
Matematika Belah Ketupat pptEva Rosita
 
Matematika Kelas 7 BAB 8 Segi Empat dan Segitiga.pptx
Matematika Kelas 7 BAB 8 Segi Empat dan Segitiga.pptxMatematika Kelas 7 BAB 8 Segi Empat dan Segitiga.pptx
Matematika Kelas 7 BAB 8 Segi Empat dan Segitiga.pptxAyoudyaTitan
 
PPT Kesebangunan Mega Silvi Presentasi.pptx
PPT Kesebangunan Mega Silvi Presentasi.pptxPPT Kesebangunan Mega Silvi Presentasi.pptx
PPT Kesebangunan Mega Silvi Presentasi.pptxMegaSilviSaputri
 
Matematika Kelas 9.1 BAB 4 GEOMETRI.pptx
Matematika Kelas 9.1 BAB 4 GEOMETRI.pptxMatematika Kelas 9.1 BAB 4 GEOMETRI.pptx
Matematika Kelas 9.1 BAB 4 GEOMETRI.pptxdianarifyati
 

Similar to Modul Kongruen Mulyati (20)

Modul sebangun mulyati
Modul sebangun mulyatiModul sebangun mulyati
Modul sebangun mulyati
 
Kesebangunan dan Garis Istimewa Segitiga
Kesebangunan dan Garis Istimewa SegitigaKesebangunan dan Garis Istimewa Segitiga
Kesebangunan dan Garis Istimewa Segitiga
 
fdokumen.com_kesebangunan-dan-kekongruenan-562a674081255.pptx
fdokumen.com_kesebangunan-dan-kekongruenan-562a674081255.pptxfdokumen.com_kesebangunan-dan-kekongruenan-562a674081255.pptx
fdokumen.com_kesebangunan-dan-kekongruenan-562a674081255.pptx
 
Media pembelajaran
Media pembelajaranMedia pembelajaran
Media pembelajaran
 
Kegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 6A
Kegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 6AKegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 6A
Kegiatan Belajar Mengajar Matematika Dasar 6A
 
Bahan Ajar kesebangunan
Bahan Ajar kesebangunanBahan Ajar kesebangunan
Bahan Ajar kesebangunan
 
geo-euclid-tuk-A1-20.-20-2-dikonversi.pdf
geo-euclid-tuk-A1-20.-20-2-dikonversi.pdfgeo-euclid-tuk-A1-20.-20-2-dikonversi.pdf
geo-euclid-tuk-A1-20.-20-2-dikonversi.pdf
 
GARIS DAN SUDUT.ppt
GARIS DAN SUDUT.pptGARIS DAN SUDUT.ppt
GARIS DAN SUDUT.ppt
 
MTK M1 KB1b.pptx
MTK M1 KB1b.pptxMTK M1 KB1b.pptx
MTK M1 KB1b.pptx
 
Matematika Belah Ketupat ppt
Matematika Belah Ketupat pptMatematika Belah Ketupat ppt
Matematika Belah Ketupat ppt
 
02 bab 1
02 bab 102 bab 1
02 bab 1
 
Segitiga
SegitigaSegitiga
Segitiga
 
Bab 5 dimensi tiga
Bab 5 dimensi tigaBab 5 dimensi tiga
Bab 5 dimensi tiga
 
Chapter 6 revisi
Chapter 6 revisiChapter 6 revisi
Chapter 6 revisi
 
Garis dan sudut
Garis dan sudutGaris dan sudut
Garis dan sudut
 
Mat7 bab7
Mat7 bab7Mat7 bab7
Mat7 bab7
 
Powerpoint Kesebangunan
Powerpoint Kesebangunan Powerpoint Kesebangunan
Powerpoint Kesebangunan
 
Matematika Kelas 7 BAB 8 Segi Empat dan Segitiga.pptx
Matematika Kelas 7 BAB 8 Segi Empat dan Segitiga.pptxMatematika Kelas 7 BAB 8 Segi Empat dan Segitiga.pptx
Matematika Kelas 7 BAB 8 Segi Empat dan Segitiga.pptx
 
PPT Kesebangunan Mega Silvi Presentasi.pptx
PPT Kesebangunan Mega Silvi Presentasi.pptxPPT Kesebangunan Mega Silvi Presentasi.pptx
PPT Kesebangunan Mega Silvi Presentasi.pptx
 
Matematika Kelas 9.1 BAB 4 GEOMETRI.pptx
Matematika Kelas 9.1 BAB 4 GEOMETRI.pptxMatematika Kelas 9.1 BAB 4 GEOMETRI.pptx
Matematika Kelas 9.1 BAB 4 GEOMETRI.pptx
 

More from Mulyati Rahman

Best practice mulyati cover
Best practice mulyati coverBest practice mulyati cover
Best practice mulyati coverMulyati Rahman
 
Best practice mulyati isi final
Best practice mulyati isi finalBest practice mulyati isi final
Best practice mulyati isi finalMulyati Rahman
 
Deskripsi diri mulyati final
Deskripsi diri mulyati finalDeskripsi diri mulyati final
Deskripsi diri mulyati finalMulyati Rahman
 
Profil KS di Media Massa
Profil KS di Media MassaProfil KS di Media Massa
Profil KS di Media MassaMulyati Rahman
 
3. foto supervisi b inggris vivi novianita
3. foto supervisi b inggris vivi novianita3. foto supervisi b inggris vivi novianita
3. foto supervisi b inggris vivi novianitaMulyati Rahman
 
1. foto supervisi b indo ari kristiati
1. foto supervisi b indo ari kristiati1. foto supervisi b indo ari kristiati
1. foto supervisi b indo ari kristiatiMulyati Rahman
 
2. atik instrumen kajian keuangan
2. atik instrumen kajian keuangan2. atik instrumen kajian keuangan
2. atik instrumen kajian keuanganMulyati Rahman
 
Mulyati ojl 3 (RTK Cakep Bab 3)
Mulyati ojl 3  (RTK Cakep Bab 3)Mulyati ojl 3  (RTK Cakep Bab 3)
Mulyati ojl 3 (RTK Cakep Bab 3)Mulyati Rahman
 
Mulyati ojl 2 (RTK Cakep Bab 2)
Mulyati ojl 2 (RTK Cakep Bab 2)Mulyati ojl 2 (RTK Cakep Bab 2)
Mulyati ojl 2 (RTK Cakep Bab 2)Mulyati Rahman
 
Mulyati Depan RTK Diklat Cakep
Mulyati   Depan RTK Diklat CakepMulyati   Depan RTK Diklat Cakep
Mulyati Depan RTK Diklat CakepMulyati Rahman
 
9. mulyati oj ll monev
9. mulyati oj ll monev9. mulyati oj ll monev
9. mulyati oj ll monevMulyati Rahman
 
5. mulyati ojl supervisii
5. mulyati ojl supervisii5. mulyati ojl supervisii
5. mulyati ojl supervisiiMulyati Rahman
 
4. mulyati ojl kurikulum
4. mulyati ojl kurikulum4. mulyati ojl kurikulum
4. mulyati ojl kurikulumMulyati Rahman
 
3. ojl pengelolaan peserta didik mulyati
3. ojl pengelolaan peserta didik mulyati3. ojl pengelolaan peserta didik mulyati
3. ojl pengelolaan peserta didik mulyatiMulyati Rahman
 
2. mulyati ojl keuangan
2. mulyati ojl keuangan2. mulyati ojl keuangan
2. mulyati ojl keuanganMulyati Rahman
 
1. mulyati rks rkt rkas
1. mulyati rks rkt rkas1. mulyati rks rkt rkas
1. mulyati rks rkt rkasMulyati Rahman
 

More from Mulyati Rahman (18)

Best practice mulyati cover
Best practice mulyati coverBest practice mulyati cover
Best practice mulyati cover
 
Best practice mulyati isi final
Best practice mulyati isi finalBest practice mulyati isi final
Best practice mulyati isi final
 
Deskripsi diri mulyati final
Deskripsi diri mulyati finalDeskripsi diri mulyati final
Deskripsi diri mulyati final
 
Profil KS di Media Massa
Profil KS di Media MassaProfil KS di Media Massa
Profil KS di Media Massa
 
3. foto supervisi b inggris vivi novianita
3. foto supervisi b inggris vivi novianita3. foto supervisi b inggris vivi novianita
3. foto supervisi b inggris vivi novianita
 
1. foto supervisi b indo ari kristiati
1. foto supervisi b indo ari kristiati1. foto supervisi b indo ari kristiati
1. foto supervisi b indo ari kristiati
 
2. atik instrumen kajian keuangan
2. atik instrumen kajian keuangan2. atik instrumen kajian keuangan
2. atik instrumen kajian keuangan
 
Mulyati ojl 3 (RTK Cakep Bab 3)
Mulyati ojl 3  (RTK Cakep Bab 3)Mulyati ojl 3  (RTK Cakep Bab 3)
Mulyati ojl 3 (RTK Cakep Bab 3)
 
Mulyati ojl 2 (RTK Cakep Bab 2)
Mulyati ojl 2 (RTK Cakep Bab 2)Mulyati ojl 2 (RTK Cakep Bab 2)
Mulyati ojl 2 (RTK Cakep Bab 2)
 
Mulyati Depan RTK Diklat Cakep
Mulyati   Depan RTK Diklat CakepMulyati   Depan RTK Diklat Cakep
Mulyati Depan RTK Diklat Cakep
 
9. mulyati oj ll monev
9. mulyati oj ll monev9. mulyati oj ll monev
9. mulyati oj ll monev
 
7. mulyati ojl sarpra
7. mulyati ojl sarpra7. mulyati ojl sarpra
7. mulyati ojl sarpra
 
6. mulyati ojl tas
6. mulyati ojl tas6. mulyati ojl tas
6. mulyati ojl tas
 
5. mulyati ojl supervisii
5. mulyati ojl supervisii5. mulyati ojl supervisii
5. mulyati ojl supervisii
 
4. mulyati ojl kurikulum
4. mulyati ojl kurikulum4. mulyati ojl kurikulum
4. mulyati ojl kurikulum
 
3. ojl pengelolaan peserta didik mulyati
3. ojl pengelolaan peserta didik mulyati3. ojl pengelolaan peserta didik mulyati
3. ojl pengelolaan peserta didik mulyati
 
2. mulyati ojl keuangan
2. mulyati ojl keuangan2. mulyati ojl keuangan
2. mulyati ojl keuangan
 
1. mulyati rks rkt rkas
1. mulyati rks rkt rkas1. mulyati rks rkt rkas
1. mulyati rks rkt rkas
 

Modul Kongruen Mulyati

  • 1. ________________________________________________________________Halaman 1 KONGRUENSI KONGRUENSI Di sekitar kita banyak kita jumpai berbagai macam bentuk bangunan yang memanfaatkan bentuk-bentuk geometri yang kongruen, misalnya bangunan gedung, seperti gambar di samping. Gambar tersebut merupakan Museum Pythagoras yang beridiri tahun 1925. www.airbornecombatenginer.typepad Gambar 1. Selain untuk konstruksi teknik bangun geometri juga banyak dimanfaatkan dalam bidang seni, misalnya untuk membuat pola produk seni tertentu misalnya pola karpet atau ubin (www.mathartfun.com) Gambar 2. A. BANGUN-BANGUN YANG KONGRUEN Kongruensi bentuk-bentuk geometri dapat dijelaskan melalui tiga bentuk transformasi yaitu refleksi, translasi dan rotasi. Dua buah bangun dikatakan kongruen jika dan hanya jika tersusun dari refleksi, translasi atau rotasi dari bangun-bangun tersebut dengan bayangannya. 1. Refleksi Perhatikan gambar 1 di samping. Jika bangun ABCDE dicerminkan terhadap garis k, maka masing-masing titik pada bangun ABCDE akan berkorespondensi (bersesuaian) dengan bangun A’B’C’D’E’. Korespondensi satu-satu tersebut membentuk sebuah pemetaan yang menggunakan simbol ” →”. Pada gambar tersebut menunjukkan: A → A’ dan AB → A' B' B → B’ dan BC → B' C' Gambar 3. C → C’ dan CD → C' D' D → D’ dan DE → D' E' E → E’ dan AE → A' E' MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI
  • 2. ________________________________________________________________Halaman 2 Berdasarkan gambar di atas maka: a. Jarak titik asal (misal A) terhadap cermin (garis k) sama dengan jarak bayangan (A’) terhadap cermin itu, b. Garis yang menghubungkan titik asal dan bayangannya ( AA' ) tegak lurus terhadap cermin, Pada pencerminan tersebut segilima ABCDE dipetakan ke A’B’C’D’E’ ditulis ABCDE → A’B’C’D’E’. Dan sebaliknya A’B’C’D’E’ merupakan peta atau bayangan ABCDE ditulis A’B’C’D’E’ → ABCDE. Hubungan keduanya ditulis ABCDE ↔ A’B’C’D’E’. Dengan demikian bangun ABCDE dan A’B’C’D’E’ sama bentuk dan ukurannya. Sebuah refleksi pada garis m adalah korespondensi satu-satu antara bayangan titik P dengan P’, berikut: a. Jika P pada m, maka P = P’ b. Jika P tidak pada m, maka m adalah garis yang membagi dua antara PP' . 2. Translasi Perhatikan gambar 4 berikut! Pada gambar tersebut menunjukkan bidang ABCD digeser ke bidang A’B’C’D’. Setiap titik pada bidang ABCD dipindahkan ke bidang A’B’C’D’ dengan jarak dan arah yang sama, sehingga pergeseran bangun datar tersebut dapat diwakili ruas garis AA’, BB’, CC’ dan DD’. Perpindahan semua titik pada bidang ABCD Gambar 4. ke titik pada bidang A’B’C’D’, sehingga perpindahan tersebut memiliki jarak dan arah yang sama disebut pergeseran atau translasi. Pada gambar 4 di atas: AB → A' B' dan AB = A' B' BC → B' C' dan BC = B' C' CD → C' D' dan CD = C' D' AD → A' D' dan AD = A' D' Bangun ABCD → Bangun A’B’C’D’, dan bangun A’B’C’D’→ bangun ABCD, sehingga bangun ABCD dan bangun A’B’C’D’ sama bentuk dan ukurannya. MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI
  • 3. ________________________________________________________________Halaman 3 Dengan demikian translasi adalah suatu perpindahan semua titik pada bidang yang bersangkutan dengan jarak dan arah yang sama 3. Rotasi Suatu bangun dikatakan memiliki simetri putar tingkat n jika bangun tersebut diputar sejauh 3600 pada pusatnya, bangun tersebut dapat menempati n cara, n > 1 Suatu rotasi (perputaran) pada bidang datar ditentukan oleh: a. Pusat rotasi b. Besar sudut (jarak rotasi) Sudut rotasi dibentuk oleh garis yang menghubungkan pusat rotasi dengan titik asal dan garis yang menghubungkan pusat rotasi dengan titik hasil (bayangan) c. Arah rotasi (searah atau berlawanan arah perputaran jarum jam Rotasi yang arahnya berlawanan dengan arah jarum jam disebut arah positif. Sedangkan yang searah dengan arah Gambar 5. perputaran jarum jam disebut negatif. Pada gambar berikut menunjukkan segitiga ABC dirotasikan dengan sudut rotasi ∠ AOA’ = ∠ BOB’ = ∠ COC’ searah jarum jam (negatif) Pada rotasi tersebut menunjukkan: A → A’ B → B’ dan ∆ ABC → ∆ A’B’C C → C’ Sehingga ∆ ABC dan ∆ A’B’C’ sama bentuk dan ukurannya. Berdasarkan ketiga bentuk transformasi di atas menunjukkan bahwa transformasi (refleksi translasi dan rotasi) menghasilkan bangun yang sama bentuk dan ukurannya sama dengan benda aslinya. Kedua bangun (asli) dan bayangan (hasil transformasi) tersebut dinamakan saling kongruen. Jika terdapat dua bangun datar yang kongruen, maka salah satunya dapat dihasilkan dari bangun lainnya melalaui proses transformasi. Dengan demikian dua buah bangun dikatakan kongruen jika mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. Karakteristik dari dua bangun yang kongruen adalah: 1. Dua ruas garis yang kongruen mempunyai ukuran panjang yang sama 2. Sudut yang kongruen mempunyai besar yang sama MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI
  • 4. ________________________________________________________________Halaman 4 3. Pasangan sisi yang bersesuaian dari bangun yang kongruen adalah kongruen 4. Pasangan sudut bersesuaian dari dua bangun adalah kongruen Dua bangun yang saling kongruen dilambangkan dengan tanda “≅”. Pada ketiga hasil transformasi di atas Gambar 3: Bangun ABCDE kongruen dengan A’B’C’D’E’, ditulis ABCDE ≅ A’B’C’D’E’, Gambar 4: Bangun ABCD kongruen dengan bangun A’B’C’D’ ditulis ABCD ≅ A’B’C’D’ Gambar 5: Segitiga ABC kongruen dengan segitiga A’B’C’ ditulis ∆ ABC ≅ ∆ A’B’C’ B. SEGITIGA-SEGITIGA KONGRUEN Pada penjelasan sebelumnya sudah diketahui, bahwa dua bangun dikatakan kongruen jika mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. Segitiga adalah bangun datar yang paling sederhana, karena memiliki 3 buah sisi. Segitiga kongruen adalah segitiga yang mempunyai ukuran dan bentuk yang sama. Dalam kehidupan sehari-hari banyak bangunan-bangunan gedung Sumber:http://blog.lib.umn.edu yang memanfaatkan pola segitiga kongruen. Gambar 6. Seperti dijelaskan di muka bahwa kongruensi ini dapat ditunjukkan dan model transformasi geometri (refleksi, translasi dan rotasi). Pada gambar berikut menunjukkan pasangan-pasangan segitiga kongruen yang dijelaskan menggunakan transformasi. ∆ OPQ ≅ ∆ LMN ∆ ABC ≅ ∆ DEF ∆ GHI ≅ ∆ JKI Gambar 7. Perhatikan gambar 8 di samping! Segitiga ABC ≅ ∆ DEF. Jika dua segitiga tersebut dipotong dan diimpitkan satu sama lainnya, maka akan diperoleh pasangan sudut-sudut yang bersesuian kongruen dan pasangan sisi-sisi bersesuaian yang kongruen. Gambar 8. MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI
  • 5. ________________________________________________________________Halaman 5 a. ∠A ↔ ∠E, dan ∠A ≅ ∠E ∠B ↔ ∠D, dan ∠B ≅ ∠D ∠C ↔ ∠F, dan ∠C ≅ ∠F Sudut-sudut yang bersesuaian kongruen b. AB ↔ DE dan AB ≅ DE BC ↔ DF dan BC ≅ DF AC ↔ EF dan AC ≅ EF Sisi-sisi yang bersesuaian kongruen Jadi ∆ ABC kongruen dengan ∆ DEF atau ∆ ABC ≅ ∆ DEF Penjelasan tentang segitiga-segitiga kongruen, selain menggunakan transformasi dapat pula dijelaskan dengan postulat sss (sisi, sisi, sisi), s sd s (sisi, sudut, sisi), sd s sd (sudut, sisi sudut), s, s, sd (sisi, sisi, sudut) dan s, sd, sd (sisi, sudut, sudut). Sebuah segitiga sembarang dapat dilukis apabila diketahui: 1. Ketiga sisinya sekaligus (s, s, s) 2. Dua sisi dan sebuah sudut apitnya (s,sd,s) 3. Sebuah sisi dan kedua sudut apitnya (sd,s,sd) 4. Dua sisi dan sebuah sudut (s,s,sd) 5. Sebuah sisi, sebuah sudut pada sisi itu dan sebuah sudut dihadapan sisi yang diketahui (s,sd,sd) Sebelum mempelajari postulat kongruensi, berikut ini akan dijelaskan satu per satu cara melukis masing-masing segitiga tersebut. 1. Ketiga Sisinya Diketahui (s, s, s) Dua buah segitiga kongruen, jika sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga tersebut kongruen. Untuk membuktikan dua buah segitiga kongruen menggunakan postulat (s,s,s) maka lakukan kegiatan berikut: Kegiatan 1. a. Misalkan diketahui segitiga ABC b. Lukislah segitiga DEF, di mana panjang DE = AB, panjang EF = BC dan panjang DF = AC. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah: 1). Buatlah ruas garis sembarang kemudian lukislah sebuah titik D pada garis itu Dengan busur derajat lukislah garis berarah DE yang sama panjang dengan AB, 2). Dengan pusat E lukislah busur lingkaran dengan panjang jari-jari sama dengan BC MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI
  • 6. ________________________________________________________________Halaman 6 3). Dengan pusat D lukislah busur lingkaran dengan jari-jari AC, hingga berpotongan di F 4). Tariklah ruas garis EF 5). Tariklah ruas garis DF c. Potonglah segitiga DEF kemudian impitkan pada segitiga ABC d. Amatilah, apakah segitiga tersebut kongruen? Jika kegiatan yang kamu lakukan benar, maka kamu akan mendapatkan pasangan segitiga berikut: Gambar 9. Berdasarkan gambar yang kamu lukis, akan diperoleh pasangan sisi-sisi segitiga yang kongruen berikut: AB ≅ DE , BC ≅ EF , AC ≅ DF , sehingga ∆ ABC ≅ ∆ DEF Contoh 1: Perhatikan gambar di samping! a. Tunjukkan ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen. b. Sebutkan pasangan sudut yang kongruen. Jawab a. Berdasarkan gambar tersebut, diperoleh: AB ↔ DE dan AB ≅ DE (sisi) Gambar 10. BC ↔ EF dan BC ≅ EF (sisi) AC ↔ DF dan AC ≅ DF (sisi) Jadi ∆ ABC kongruen dengan ∆ DEF atau ∆ ABC ≅ ∆ DEF b. Pasangan sudut yang kongruen adalah: ∠A ↔ ∠ D, dan ∠A ≅ ∠D ∠B ↔ ∠ E, dan ∠B ≅ ∠E ∠C ↔ ∠F, dan ∠C ≅ ∠F MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI
  • 7. ________________________________________________________________Halaman 7 2. Dua Sisi dan Sudut yang Diapitnya Diketahui (s, sd, s) Dua buah segitiga kongruen jika dua pasang sisi yang bersesuaian kongruen dan sudut yang diapit kedua sisi bersesuaian tersebut kongruen. Untuk membuktikan dua buah segitiga kongruen menggunakan postulat (s,sd,s) maka lakukan kegiatan berikut: Kegiatan 2. a. Misalkan diketahui segitiga sembarang PQR dengan panjang sisi PQ, sisi PR dan sudut QPR = ao b. Lukislah sebuah segitiga KLM, di mana panjang KL = PQ, panjang KM = PR dan sudut LKM = ao Langkah-langkah melukis segitiga sebagai berikut: 1). Dengan busur derajat, lukislah sisi KL = PQ 2). Dengan pusat K, lukislah sebuah ∠ LKM = ∠ QPR = ao. 3). Lukislah busur lingkaran dengan jari-jari PR berpusat di titik K sehingga memotong kaki sudut K di titik M. 4). Menarik garis K ke M c. Tandailah titik sudut-titik sudut bersesuaian dari dua segitiga tersebut. d. Potonglah segitiga KLM kemudian impitkan pada segitiga PQR i. Amatilah, apakah segitiga tersebut kongruen? Jika langkah kalian benar maka maka akan diperoleh pasangan segitiga berikut ini. Gambar 11. Berdasarkan gambar yang kamu lukis akan diperoleh pasangan sisi dan pasangan sudut yang kongruen berikut: PQ ≅ KL (sisi) ∠ P ≅ ∠ K (sudut) PR ≅ KM (sisi) MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI
  • 8. ________________________________________________________________Halaman 8 Jadi ∆ PQR ≅ ∆ KLM Contoh 2: Perhatikan gambar di samping! a. Buktikan bahwa ∆ PQT ≅ ∆ SRT! b. Sebutkan pasangan sudut yang sama besar! Gambar 12. Jawab: a. PT ≅ TR (sisi diketahui) ∠ PTQ ≅ ∠ STR (sudut bertolak belakang) QT ≅ AT (sisi diketahui) Jadi ∆ PQT ≅ ∆ SRT, karena memenuhi sifat (sisi, sudut, sisi). b. Pasangan sudut yang sama besar adalah: ∠P ≅ ∠ R atau ∠ QPT ≅ ∠ SRT, sehingga ∠ P = ∠ R atau ∠ QPT = ∠ SRT ∠ PTQ ≅ ∠ STR, sehingga ∠ PTQ = ∠ STR ∠Q ≅ ∠ S atau ∠ PQT ≅ ∠ RST sehingga ∠ Q = ∠ S atau ∠ PQT = ∠ RST 3. Dua Sudut dan Sebuah Sisi Diantara Sudut Itu (sd, s, sd) Dua buah segitiga kongruen, jika terdapat dua pasang sudut yang kongruen dan sepasang sisi yang memuat sudut-sudut tersebut kongruen. Untuk membuktikan dua buah segitiga kongruen menurut postulat (sd, s, sd) maka lakukan kegiatan berikut: Kegiatan 3. a. Misalkan diketahui segitiga ABC dengan ∠ BAC = x0, panjang sisi AB dan ∠ ABC = y0. b. Lukislah sebuah segitiga KLM di mana ∠ LKM = x0, panjang sisi KL = AB dan ∠ KLM = y0. Langkah-langkah melukis sebagai berikut: 1). Dengan busur derajat lukislah ruas garis KL yang panjangnya sama dengan AB, 2). Dengan pusat K, lukislah ∠ BAC = x0 kemudian perpanjang kaki sudutnya. 3). Dengan pusat L, lukislah ∠ ABC = y0 4). Perpanjang kaki sudutnya sehingga berpotongan di M. c. Potonglah segitiga KLM kemudian impitkan pada segitiga ABC d. Amatilah, apakah segitiga tersebut kongruen? Jika langkah kalian benar maka maka akan diperoleh pasangan segitiga berikut ini. MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI
  • 9. ________________________________________________________________Halaman 9 Gambar 13. Berdasarkan gambar yang kamu lukis akan diperoleh pasangan sisi dan pasangan sudut yang kongruen berikut: ∠ A ≅ ∠ K (sudut) AB ≅ KL (sisi) ∠ B ≅ ∠ L (sudut) Jadi ∆ ABC ≅ ∆ KLM Contoh 3: Perhatikan gambar di samping! Jika ∆ PQR diimpitkan pada ∆ KLM, maka: ∠ P↔ ∠ K maka ∠ A ≅ ∠ K (sudut) PQ ↔ KL maka PQ ≅ KL (sisi) ∠ Q↔ ∠ L maka ∠ Q ≅ ∠ L (sudut) Jadi ∆ PQR ≅ ∆ KLM Gambar 14. 4. Dua Sisi dan Sudut di Hadapan Salah Satu Sisi (sd, s, s atau s, s, sd) Dua buah segitiga kongruen jika mempunyai dua pasang sisi kongruen dan sepasang sudut dihadapan salah satu sisinya kongruen. Untuk membuktikan dua buah segitiga kongruen menurut postulat (s, s, sd) maka lakukan kegiatan berikut: Kegiatan 4. a. Misalkan diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = a cm, panjang sisi BC = b cm dan ∠ BAC = x0, b. Lukislah sebuah segitiga XYZ di mana ∠ YXZ = x0, panjang sisi XY = AB dan panjang sisi YZ = BC. Langkah-langkahnya sebagai berikut: 1). Lukislah ruas garis berarah dengan pusat X MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI
  • 10. ________________________________________________________________Halaman 10 2). Lukislah sudut dengan pusat X yang sama besar dengan ∠ BAC = x0, dan salah satu kaki sudutnya ruas garis bearah dari x tadi, kemudian perpanjang kaki sudut yang laiinya. 3). Lukislah busur lingkaran dengan pusat X dengan jari-jari sama dengan AB sehingga memotong kaki sudut X di titik Y. 4). Dengan pusat Y buatlah bususr lingkaran dengan jari-jari sama dengan BC sehingga memotong ruas garis mendatar dari X di titik Z. c. Potonglah segitiga XYZ kemudian impitkan pada segitiga ABC d. Amatilah, apakah segitiga tersebut kongruen? Jika langkah kalian benar maka maka akan diperoleh pasangan segitiga berikut ini. Gambar 15. Berdasarkan gambar yang kamu lukis akan diperoleh pasangan sisi dan pasangan sudut yang kongruen berikut: ∠ A ≅ ∠ X (sudut) AB ≅ XY (sisi) BC ≅ YZ (sisi) Jadi ∆ ABC ≅ ∆ XYZ Contoh 4: Perhatikan gambar berikut! Tunjukkan bahwa: ∆ ABC ≅ ∆ XYZ AB ↔ XZ maka AB ≅ XZ (sisi) CB ↔ ZY maka CB ≅ ZY (sisi) ∠ B ↔ ∠ Y maka ∠ B ≅ ∠ Y (sudut) Jadi ∆ ABC ≅ ∆ XYZ Gambar 16. MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI
  • 11. ________________________________________________________________Halaman 11 5. Dua Sudut dan Satu Sisi di Hadapan Salah Satu Sudut (s, sd, sd atau sd, sd, s) Dua segitiga kongruen, jika terdapat dua pasang sudut yang kongruen dan sepasang sisi di hadapan salah satu sudut tersebut kongruen. Untuk membuktikan postulat tersebut lakukan kegiatan berikut ini. Kegiatan 5. a. Misalkan diketahui segitiga AB = a cm dengan besar ∠ BAC = p0, ∠ ACB = q0 b. Lukislah sebuah segitiga RST dengan panjang RS = panjang AB, ∠ SRT = ∠ BAC= po, ∠ SRT = ∠ BAC dan ∠ RTS = ∠ ACB = qo . Langkah-langkah melukis adalah: 1). Lukislah ruas garis RS yang panjangnya sama dengan AB = a cm 2). Lukislah sudut berpusat di pusat R yang besarnya = p0 dengan salah satu kaki sudutnya RS, 3). Lukislah sudut di titk S yang besarnya x0 yaitu (1800 – p0 – q0 ) yang salah satu kaki sudutnya SR. 4). Perpanjang kaki sudut R selain RS dan kaki sudut S selain SR sehingga berpotongan di titik T d. Potonglah segitiga RST kemudian impitkan pada segitiga ABC e. Amatilah, apakah dua segitiga tersebut kongruen? Jika langkah kalian benar maka maka akan diperoleh pasangan segitiga berikut ini. Gambar 17. Berdasarkan gambar yang kamu lukis akan diperoleh pasangan sisi dan pasangan sudut yang kongruen berikut: AB ≅ RS (sisi) ∠ A ≅ ∠ R (sudut) ∠ C ≅ ∠ T (sudut) Jadi ∆ ABC ≅ ∆ RST MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI
  • 12. ________________________________________________________________Halaman 12 Contoh 5: Perhatikan gambar berikut! a. Buktikan bahwa ∆ ABC ≅ ∆ ABD! b. Sebutkan pasangan sisi yang sama panjang! Jawab: a. AB ≅ AB (sisi, berimpit) ∠ ABC ≅ ∠ BAD (sudut, diketahui) ∠ ACB ≅ ∠ BDA (sudut, diketahui) Jadi ∆ ABC ≅ ∆ ABD b. Pasangan sisi yang sama panjang: Gambar 18. AB = AB, AC = BD, dan AD = BC C. PENGGUNAAN SEGITIGA-SEGITIGA KONGRUEN Segitiga-segitiga kongruen banyak diguakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya pada model www.pearsonsuccessnet.com sebuah bangunan rumah atau pada kegiatan perkemahan seperti gambar 19 di samping. Pada gambar tersebut dua orang anak mendirikan sebuah tenda, di mana permukaan tenda terbentuk dari dua buah segitiga siku-siku yang kongruen. Dengan mengetahui lebar alas tenda dan tinggi tenda, maka dapat dihitung panjang kemiringan tenda dengan Gambar 19. memanfaatkan sifat-sifat segitiga kongruen. Untuk menghitung panjang garis dan besar sudut segitiga-segitiga kongruen, maka harus menentukan apakah kedua segitiga kongruen atau tidak. Contoh 6: Perhatikan gambar di samping, ∆ KLM ≅ ∆ PQR! Tentukan: a. Panjang PQ, b. ∠ R, c. ∠ K! Jawab: a. PQ ≅ KM = 9 cm b. ∠ R ≅ ∠ L = 350 c. ∠ K ≅ ∠ Q = 1100 MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI
  • 13. ________________________________________________________________Halaman 13 Contoh 7: Perhatikan gambar di samping! a. Tentukan panjang DF, AB dan AC! b. Tentukan besar ∠ EDF dan ∠ DFE! Jawab: a. DF ≅ BC = 10 cm AB ≅ DE = 6 cm AC = 10 2 − 6 2 = 100 − 36 = 64 = 8 cm b. ∠ EDF = 550 dan ∠ DFE = 1800 – (900 + 550) = 350 TUGAS 1 A. Nyatakan benar (B) atau salah (S) dari pernyataan-pernyatan berikut. Perhatikan gambar berikut: 1. Panjang QR = 6 cm 2. Panjang AB = 8 cm 3. Besar ∠ PQR = ∠ ACB 4. Besar ∠ PQR = 600 5. Besar ∠ PRQ = 750 B. Pasangkan pernyataan di bawah ini yang sesuai dengan gambar berikut! 1. Besar ∠ ACB adalah … a. 10 cm 2. Besar ∠ ABC adalah … b. 6 cm 3. Besar ∠ ABC adalah … c. 380 4. Panjang DE adalah … d. 520 5. Panjang BC adalah … e. 900 C. Jawablah pertanyaan berikut dengan benar! 1. Perhatikan gambar berikut! a. Buktikan bahwa ∆ PQR ≅ ∆ KLM! b. Sebutkan pasangan sudut yang sama besar! MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI
  • 14. ________________________________________________________________Halaman 14 2. Diketahui ∆ ABC dan ∆ PQR, ∠ A = ∠ P = 600, ∠ C = 850, ∠ Q = 350 dan AB = PQ = 6 cm. a. Tunjukkan ∆ ABC ≅ ∆ PQR! b. Sebutkan pasangan sisi yang sama panjang! 3. Perhatikan gambar layang-layang di samping! Buktikan ∆ DEC ≅ ∆ BEC! 4. Perhatikan gambar dua segitiga berikut: Diketahui ∆ KLM dan ∆ DEF dengan ∠ LKM = 550, ∠ EFD = 350, Panjang LM = 12 cm, DE = 9 cm dan DF = 15 cm. a. Tunjukkan ∆ KLM ≅ ∆ DEF! b. Tentukan panjang KM c.. Tentukan besar ∠ EDF! 5. Diketahui gambar di samping! Panjang SR = TR = 6 cm, PT = 8 cm , PR = 12 cm a. Sebutkan dua buah segitiga yang kongruen b. Hitunglah panjang QT! c. Hitunglah ∠ SUT! MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI