Este documento apresenta notas de aula sobre integrais de trajetória na mecânica quântica. Resume a proposta de Feynman para uma nova formulação da mecânica quântica de uma partícula usando integrais de caminho, comparando-a com as formulações de Schrödinger e Heisenberg. Também discute brevemente a relação entre mecânica estatística e integrais de caminho, e o uso de integrais de caminho na teoria quântica de campos.
2. `A todos aqueles que se sentem capazes
de lutar para realizar seus sonhos.
2
3. Pref´acio
... o segredo ´e inimigo da ciˆencia e a liberdade
de comunica¸c˜ao e de pesquisa s˜ao vitais para
o seu florescimento.
H. Moys´es Nussenzveig
Curso de F´ısica B´asica; 1-Mecˆanica
Estas Notas de Aula sobre Integrais de Trajet´oria, foram apresentadas,
num curso informal, a v´arios alunos do Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica da
UFF no primeiro semestre de 1995. Este conjunto de aulas surgiu da minha
incapacidade de continuar resistindo as reclama¸c˜oes da Iraziet (Iraziet da
Cunha Charret) de que apesar de eu ter as notas prontas sobre o t´opico, me
negar a apresent´a-las na forma de um mini-curso.
´E claro, que reclama¸c˜ao n˜ao tem estado fundamental, e logo em seguida
surgiram as reclama¸c˜oes, n˜ao s´o da Iraziet, de que as notas que estavam
escritas a l´apis eram dif´ıceis de serem xerocadas, dada a minha letra,ser
pequena e n˜ao ter margem nas folhas escritas. A´ı surgiu o Toninho (Antˆonio
Tavares da Costa Jr.), que com um pouco de press˜ao come¸cou a digitar essas
notas. Ele n˜ao ´e respons´avel por nenhuma incorre¸c˜ao de conte´udo no texto,
mas com a sua paciˆencia, modificou parte do texto manuscrito de forma a
que tiv´essemos no final um texto menos informal. Sem a participa¸c˜ao do
Toninho, essas notas jamais teriam as figuras que fazem parte do seu corpo!!!
O tempo foi passando, o mini-curso terminou, as notas n˜ao ficaram prontas.
O Toninho foi criando imunidade as minhas press˜oes, n˜ao completava as
corre¸c˜oes necess´arias na digita¸c˜ao e no conte´udo das Notas de Aula. Foi
a´ı que o Antonio (Antonio Cesar Aguiar Pinto) e Onofre (Onofre Rojas dos
Santos) fizeram a loucura de suas vidas: trabalhar no Mestrado comigo. Ora,
nada melhor para um futuro campista do que come¸car a estudar Integrais de
Trajet´oria! Os dois ent˜ao fizeram revis˜ao de pelo menos metade das Notas de
3
4. Aula. Como as reclama¸c˜oes sobre a entrega das notas de aula digitadas con-
tinuaram, nada melhor do que colocar quem reclama para trabalhar. Desta
forma, a Iraziet fez a revis˜ao da parte das notas que ainda faltava.
Essas Notas sobre Integrais de Trajet´otria tˆem por objetivo mostrar os
c´alculos simples, mas trabalhosos para definir as integrais de trajet´oria. As
integrais de trajet´oria s˜ao hoje ferramentas b´asicas nas diversas ´areas da
F´ısica. N˜ao procure nesta nota, nada sofisticado, mas o passo a passo que
precisamos fazer para definir e tratar essas integrais. Essas notas foram
escritas, pois apesar de termos hoje in´umeros textos excelentes sobre este
t´opico, ao estud´a-los, eu sempre senti falta de um texto que desse o detalhe
dos c´alculos.
Certamente, as Notas de Aula sobre Integrais de Trajet´oria ainda tˆem
muitas corre¸c˜oes a serem feitas. Se vocˆe que as ler tiver algumas corre¸c˜oes a
sugerir, lhe serei muito grata, j´a que esta ´e a primeira vers˜ao das notas.
No futuro pr´oximo quando novamente eu tiver a oportunidade de rea-
presentar este mini-curso, espero fazer novas modifica¸c˜oes inclusive de conte´u-
do.
Por ´ultimo, gostaria de agradecer a todos que insistiram que eu apresen-
tasse o mini-curso, pois s´o assim essas notas foram resgatadas do seu futuro
de amarelo-arquivo. N˜ao h´a como deixar de agradecer muito a todo o esfor¸co
do Toninho na digita¸c˜ao dessas notas, e a ajuda inestim´avel ao Antonio,
Iraziet e Onofre que fizeram a segunda revis˜ao de todo o texto.
Niter´oi, 26 de mar¸co de 1996.
Maria Teresa Climaco dos Santos Thomaz
Instituto de F´ısica, UFF
4
5. Pref´acio da Segunda Vers˜ao
Gostaria de agradecer ao Jos´e Abdalla pelo convite para apresentar este
mini-curso aos alunos da Coordena¸c˜ao de Forma¸c˜ao Cient´ıfica do Centro
Brasileiro de Pesquisas F´ısicas /CNPq. Desta forma tive a oportunidade de
rever as minhas notas, no que modifiquei 40% do conte´udo original. En-
tretanto, continua o seguinte mist´erio: temos um n´umero finito de palavras
e f´ormulas, mas infinitos erros!!! Por favor, me avise dos erros que vocˆe
encontrar nessas notas.
Niter´oi, 2 de julho de 1997.
Maria Teresa Climaco dos Santos Thomaz
Instituto de F´ısica, UFF
5
6. Contents
1 Proposta de Feynman Para uma Nova Formula¸c˜ao da Mecˆanica
Quˆantica de Uma Part´ıcula 7
1.1 Sistema Quˆantico de Uma Part´ıcula: Representa¸c˜ao de Schr¨odinger
e Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 No¸c˜oes de Derivadas Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Fun¸c˜oes de Green de Uma Part´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Rela¸c˜ao entre a Mecˆanica Estat´ıstica e as Integrais de Cam-
inho 30
2.1 Fun¸c˜ao de Parti¸c˜ao e o Funcional Gerador das Fun¸c˜oes de
Green T´ermicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Rela¸c˜ao entre as Fun¸c˜oes de Green T´ermicas e as Fun¸c˜oes de
Green do Espa¸co Euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Integral de Caminho na Teoria de Campos 37
4 Fun¸c˜oes de Green Conexas e Desconexas 42
4.1 Modelo λφ4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Fun¸c˜oes de V´ertice, ou Gr´aficos 1PI (One Particle Irreducible) 60
6 Apˆendice I: M´etrica 76
7 Apˆendice II: Prolegomena de Mecˆanica
Est´ıstica 77
8 Apˆendice III: Fun¸c˜ao de Green da Teoria Livre 79
6
7. 1 Proposta de Feynman Para uma Nova For-
mula¸c˜ao da Mecˆanica Quˆantica de Uma Part´ıcula
• Referˆencias Originais:
P.A.M. Dirac, Physik Z. Sowjetunion 3, 64 (1933).
R.P. Feynman , Rev. Mod. Phys. 20, 267 (1948); Phys. Rev. 80.
440 (1950)
• Outras Referˆencias:
E.S. Abers, B.W. Lee, Phys. Rep. 9C, 1 (1973).
H.M. Nussenzveig,Integrais de Trajet´oria, Escola de Ver˜ao Jorge
Andr´e Swieca, Part´ıculas e Campos, 1981 (p´ag. 127).
Obs.: Os artigos originais est˜ao contidos no livro Selected Papers on Quantum
Electrodynamics, editado por J. Schwinger.
1.1 Sistema Quˆantico de Uma Part´ıcula: Representa-
¸c˜ao de Schr¨odinger e Heisenberg
A descri¸c˜ao da Mecˆanica Quˆantica (MQ) `a la Schr¨odinger e Heisenberg ´e feita
atrav´es da hamiltoniana do sistema. Entretanto, em 1933, Dirac apresenta
uma formula¸c˜ao da Mecˆanica Quˆantica usando a lagrangeana do sistema.
Dirac afirma que, classicamente, as formula¸c˜oes lagrangeana e hamiltoniana
s˜ao equivalentes, e que, portanto, essa equivalˆencia deve aparecer na M.Q.
Al´em disso, a formula¸c˜ao lagrangeana ´e covariante, uma vez que a a¸c˜ao ´e
um escalar de Lorentz, enquanto a formula¸c˜ao hamiltoniana n˜ao o ´e. A
formula¸c˜ao lagrangeana poderia ser mais facilmente utilizada para se tratar
sistemas quˆanticos relativ´ısticos.
Basicamente, a proposta de Dirac ´e que, no limite em que ¯h → 0 a am-
plitude de probabilidade de uma part´ıcula que se encontra no estado |q0(t0)
no instante t0 ser encontrada no estado |q(t) no instante t ´e dada por
7
8. q(t)|q0(t0) = e
i
¯h
t
t0
Ldt
, (1)
onde L ´e a lagrangeana do sistema, e a trajet´oria escolhida para calcular
a a¸c˜ao ´e a trajet´oria CL´ASSICA que tenha como condi¸c˜ao de contorno as
posi¸c˜oes q(t0) e q(t) como estados inicial e final respectivamente.
Na formula¸c˜ao de Feynman, como iremos ver, para um intervalo de tempo
finito, temos que considerar todos os poss´ıveis caminhos que levam da posi¸c˜ao
q(t0) em t = t0 at´e a posi¸c˜ao q(t), no instante t. A contribui¸c˜ao de cada
caminho para o processo quˆantico ´e dada por
e
i
¯h
t
t0
Ldt
, (2)
onde a a¸c˜ao ´e calculada tomando-se aquela dada trajet´oria.
Na formula¸c˜ao de Schr¨odinger e Heisenberg para a MQ, trabalhamos
com operadores que agem sobre vetores de estado, enquanto que na for-
mula¸c˜ao de Feynman trabalharemos apenas com fun¸c˜oes. As trˆes formula¸c˜oes
(Schr¨odinger, Heisenberg e Feynman) da M.Q. s˜ao equivalentes.
Na MQ de operadores existem duas representa¸c˜oes que s˜ao as mais usa-
das: a representa¸c˜ao de Schr¨odinger e a representa¸c˜ao de Heisenberg. Vamos
fazer uma pequena revis˜ao do que s˜ao essas duas representa¸c˜oes1
.
i) Representa¸c˜ao de Schr¨odinger:
a) Dinˆamica dos operadores: Seja OS um operador na representa¸c˜ao
de Schr¨odinger. Na representa¸c˜ao de Schr¨odinger o operador n˜ao varia
no tempo:
dOS
dt
= 0. (3)
1
Estaremos, de agora em diante, usando as unidades naturais, nas quais
¯h = c = 1.
8
9. b) Dinˆamica do vetor de estado: Seja |ψ(t) S um vetor que descreve
um estado quˆantico na representa¸c˜ao de Schr¨odinger. A dinˆamica dos
vetores de estado nesta representa¸c˜ao ´e dada por:
i
d|ψ(t) S
dt
= H|ψ(t) S, (4)
onde H ´e a hamiltoniana total do sistema. Por hip´otese, faremos a
descri¸c˜ao quˆantica de sistemas fechados, de maneira que H ´e uma cons-
tante do movimento. Usando a equa¸c˜ao de Schr¨odinger (4) e o fato de
que H ´e constante no tempo, podemos escrever formalmente que,
|ψ(t) S = e−iH(t−t0)
|ψ(t0) S. (5)
O ´ındice S est´a presente para lembrar que as quantidades est˜ao sendo
descritas na representa¸c˜ao de Schr¨odinger.
ii) Representa¸c˜ao de Heisenberg:
a) Dinˆamica dos operadores: Seja OH um operador na representa¸c˜ao
de Heisenberg. A dinˆamica dos operadores, que n˜ao dependem explici-
tamente do tempo, nesta representa¸c˜ao ´e dada por:
dOH
dt
= i[H, OH], (6)
onde H ´e a hamiltoniana do sistema. Formalmente, esta equa¸c˜ao tem
como solu¸c˜ao:
OH(t) = eiHt
OH(0)e−iHt
. (7)
b) Dinˆamica do vetor de estado: Seja |ψ H um vetor de estado na
representa¸c˜ao de Heisenberg. Nesta representa¸c˜ao os vetores de estado
n˜ao variam com o tempo:
9
10. d|ψ H
dt
= 0. (8)
Essa afirmativa deve ser entendida no seguinte sentido: se o sistema est´a
no instante t0 no estado |ψ H, no instante t ele estar´a no mesmo vetor
de estado |ψ H. No entanto, o fato do vetor de estado que descreve
o sistema n˜ao evoluir com o tempo n˜ao impede que t apare¸ca como
um ´ındice. Vejamos: seja OH(t) um operador na representa¸c˜ao de
Heisenberg, que no instante inicial t0 tenha como autovetores |o, t0 , ou
seja,
OH(t0)|o, t0 = o|o, t0 . (9)
Supondo que a dinˆamica do operador OH seja unit´aria2
, isto ´e, seja
dada pela eq.(7), aplicamos o operador eiH(t−t0)
no l.d. dos dois termos
da eq.(9) e obtemos que:
eiH(t−t0)
O(t0)e−iH(t−t0)
eiH(t−t0)
|o, t0 = oeiH(t−t0)
|o, t0 . (10)
Comparando a equa¸c˜ao anterior com a eq.(7), escrevemos que
OH(t)|o, t = o|o, t , (11)
sendo que |o, t ´e definido como:
|o, t = eiH(t−t0)
|o, t0 . (12)
Da eq.(11) vemos que |o, t ´e autovetor do operador OH(t) com auto-
valor o. Os autovalores s˜ao independentes do tempo. O que ocorre
2
Transforma¸c˜ao unit´aria: se U ´e um operador unit´ario, ent˜ao UU†
= U†
U = 1l ⇔ U†
=
U−1
, sendo 1l, o operador identidade.
10
11. ´e que os operadores variam de instante para instante, de forma que o
conjunto completo de seus autovetores tamb´em deve variar de instante
a instante. Se num instante t0 |o, t0 ´e autovetor de OH(t0) com au-
tovalor o, no instante t, |o, t0 n˜ao ´e mais um autovetor de OH(t), e
sua decomposi¸c˜ao espectral na base dos autoestados do operador neste
instante ´e
|o, t0 =
o
at|o, t . (13)
As representa¸c˜oes de Schr¨odinger e Heisenberg est˜ao ligadas atrav´es de
uma tranforma¸c˜ao unit´aria,
|ψ(t) S = e−iHt
|ψ, t H, (14)
e
QS = e−iHt
QH(t)eiHt
. (15)
No nosso caso, a matriz de transforma¸c˜ao unit´aria ´e:
U(t, 0) = e−iHt
. (16)
A hamiltoniana total do sistema, H, ´e a mesma nas duas representa¸c˜oes.
O objeto que nos d´a informa¸c˜oes f´ısicas sobre o sistema s˜ao as probabi-
lidades. Entretanto, a MQ nos d´a a evolu¸c˜ao dinˆamica das amplitudes de
probabilidade. Vamos ent˜ao obter as amplitudes de probabilidade nas duas
representa¸c˜oes.Apenas para simplificar a nota¸c˜ao, vamos tratar do problema
quˆantico de uma part´ıcula em uma dimens˜ao espacial e uma dimens˜ao tem-
poral.
11
12. Seja F(q , t ; q, t) a amplitude de probabilidade da part´ıcula, estando na
posi¸c˜ao q no instante t, ser encontrada na posi¸c˜ao q no instante t . Temos
ent˜ao
H q , t |q, t H = F(q , t ; q, t), (17)
que, escrita na representa¸c˜ao de Schr¨odinger, fica3
F(q , t ; q, t) =H q , t |q, t H = q (t )|e−iH(t −t)
|q(t) . (18)
Vamos agora manipular a amplitude de probabilidade F(q , t ; q, t) =
H q , t |q, t H. Usando o fato de que, em cada instante ti, o conjunto de
autovetores |qi, ti H do operador posi¸c˜ao ´e completo,
∞
−∞
dqi|qi, ti HH qi, ti| = 1l, (19)
e, subdividindo o intervalo t − t em sub-intervalos infinitesimais , ou seja,
tn = n + t, n = 0, 1, 2, . . . , N + 1, (20)
onde t0 = t e tN+1 = t = (N + 1) + t, temos
F(q , t ; q, t) =
∞
−∞
dq1 . . .
∞
−∞
dqN H q , t |qN , tN HH qN , tN |qN−1, tN−1 H ×
×H qN−1, tN−1|qN−2, tN−2 H . . .H q1, t1|q, t H. (21)
Entretanto4
,
H qi, ti|qi−1, ti−1 H =S qi(ti)|e−iH
|qi−1(ti−1) S, (22)
3
Note que H q , t |q, t H =S q (t )|q(t) S, pois o produto escalar ´e o mesmo em todas
as representa¸c˜oes obtidas umas das outras atrav´es de uma representa¸c˜ao unit´aria apenas
se os vetores de estado est˜ao definidos no mesmo instante.
4
Por constru¸c˜ao, o vetor de estado: |qi, ti H ´e autoestado do operador ˆqH(ti). A rela¸c˜ao
entre autoestados deste operador nas representa¸c˜oes de Schr¨odinger e Heisenberg ´e definida
pela eq.(14):
12
13. No limite → 0, a exponencial do operador hamiltoniano pode ser aproxi-
mada por:
e−iH
= e−i(H0+V )
= 1 − i H0 − i V + O( 2
) = e−iH0
e−iV (q)
+ O( 2
), (23)
onde H0 = p2
2m
. Assim, mantendo termos de at´e primeira ordem em , temos
que
e−iH
≈ e−iH0
e−iV (q)
. (24)
Levando estes resultados na equa¸c˜ao (22) ficamos com
H qi, ti|qi−1, ti−1 H =S qi(ti)|e−iH0
e−iV (q)
|qi−1(ti−1) S. (25)
Nos casos em que o potencial s´o envolver o operador de posi¸c˜ao, temos
que
H qi, ti|qi−1, ti−1 H =S qi(ti)|e−iH0
|qi−1(ti−1) Se−iV (qi−1)
, (26)
onde, agora, V (qi−1) ´e uma fun¸c˜ao da coordenada qi−1(ti−1).
Como estamos tratando sistema quˆantico n˜ao-relativ´ıstico em que H0 s´o
envolve o operador momentum, vamos mudar de base para calcular o produto
escalar do l.d. da eq.(26). Usando a completeza dos autovetores do operador
momento,
|qi(ti) S = e−iHti
|qi, ti H.
Lembrando que |qi(ti) S ´e o autovetor do operador ˆqS no instante t, ou seja,
ˆqS|qi(ti) S = qi|qi(ti) S.
13
14. 1l =
∞
−∞
dp|p p|, (27)
o produto escalar do l.d. da eq.(26) passa a ser escrito como:
H qi, ti|qi−1, ti−1 H =
∞
−∞
dp
∞
−∞
dp S qi(ti)|p S ×
×S p|e−iH0
|p S S p |qi−1(ti−1) S e−iV (qi−1)
. (28)
Entretanto, sabemos que
S qi(ti)|p S =
eiqip
√
2π
, (29)
S p|e−iH0
|p S = e−i p2
2m δ(p − p ). (30)
Usando estes resultados em (28) obtemos
H qi, ti|qi−1, ti−1 H =
1
2π
∞
−∞
dp
∞
−∞
dp eiqip
e−iqi−1p
e−i p2
2m e−iV (qi−1)
δ(p − p )
=
1
2π
∞
−∞
dp e−i p2
2m e−iV (qi−1)
ei(qi−qi−1)p
, (31)
ou seja5
,
H qi, ti|qi−1, ti−1 H =
1
2π
∞
−∞
dpei
(qi−qi−1)p
e−iH
. (32)
Notemos que para cada produto escalar do l.d. da eq.(18) introduzimos uma
integral sobre a vari´avel momento. Voltando `a express˜ao da amplitude de
probabilidade temos que
5
Note que podemos somar os argumentos das exponenciais, j´a que agora s´o temos
exponenciais de fun¸c˜oes.
14
15. t’
1
2
q(0)
ε
q(t)
t
1
2 q’(t’)
t t tt tt N-1N-2 N1 2 3
t’
1
2
ε
t
1
t t tt tt N-1N-2 N1 2 3
p(t)
2
. . . . . .
Figure 1: A) Trajet´orias da part´ıcula entre os pontos q, t e q , t ; B) Tra-
jet´orias no espa¸co dos momentos, que n˜ao possuem condi¸c˜oes inicial e final.
F(q , t ; q, t) =
∞
−∞
dq1 . . . dqN H q , t |qN , tN HH qN , tN |qN−1, tN−1 H . . . ×
×H q2, t2|q1, t1 HH q1, t1|q, t H
=
1
(2π)N+1
∞
−∞
dq1 . . . dqN
∞
−∞
dp0 . . . dpN e−i
p2
N
2m
−i V (qN )+i
(q −qN )
pN
×
× . . . × e−i
p2
1
2m
−i V (q1)+i
(q2−q1)
p1
e−i
p2
0
2m
−i V (q0)+i
(q1−q0)
p0
, (33)
onde q0 = q. Na eq.(33) integramos no intervalo (−∞, ∞) sobre as N + 1
vari´aveis de momento.
O que estamos fazendo com essas integra¸c˜oes m´ultiplas ´e: dentre as
poss´ıveis trajet´orias no espa¸co dos q s e p s, est˜ao inclu´ıdas todas as tra-
jet´orias “quebradas”. No limite em que N → ∞ ( → 0) as vari´aveis de
posi¸c˜ao deixam de ser indexadas pelo ´ındice discreto i, passando a serem
fun¸c˜ao do parˆametro cont´ınuo t. Na integral de q(t) todas as trajet´orias
partem da posi¸c˜ao q(t) e todas tˆem que alcan¸car a posi¸c˜ao q (t ). A integral
sobre p(t) j´a n˜ao possui restri¸c˜oes(veja figura 1).
15
16. Voltando `a situa¸c˜ao em que o tempo evolui continuamente, → 0, e
reconhecendo que
dq(t)
dt
= lim →0
q(t + ) − q(t)
, (34)
temos que, ap´os tomarmos o limite do cont´ınuo, a amplitude de probabilidade
fica sendo
H q , t |q, t H =
1
(2π)N+1
q (t )
q(t)
Dq(t)
∞
−∞
Dp(t)e−i
t
t
Hdt+i
t
t
˙q(t)p(t)dt
. (35)
Estamos definindo Dq(t) e Dp(t) como sendo:
Dq(t) =
N
i=1
dqi(ti) (36)
e
Dp(t) =
N
i=0
dpi(ti) (37)
Portanto, no caso geral, a amplitude de probabilidade ´e dada por
H q , t |q, t H =
1
(2π)N+1
q (t )
q(t)
Dq(t)
∞
−∞
Dp(t)ei
t
t
( ˙q(t)p(t)−H)dt
. (38)
Apesar de q(t) e p(t) serem autovalores de operadores canonicamente
conjugados, ´e importante ressaltar que q(t) e p(t) s˜ao duas vari´aveis inde-
pendentes, e, por causa disso, ´e falso afirmar que:
p =
∂L
∂ ˙q
, (39)
sendo L a fun¸c˜ao lagrangeana do sistema. De forma que n˜ao podemos
escrever diretamente a transforma¸c˜ao de Legendre
16
17. p ˙q − H = L. (40)
Uma vez que conhecemos a dependˆencia do operador hamiltoniano em
termos do operador momento, sabemos como a fun¸c˜ao H depende da vari´avel
p e realizar a integral funcional em Dp(t) para encontrar a lagrangeana efetiva
que aparece na eq.(38).
Vamos considerar a situa¸c˜ao usual da M.Q. n˜ao-relativ´ıstica em que
H(q, p) =
p2
2m
+ V (q). (41)
Neste caso, a integral de caminho do modelo quˆantico fica
H q , t |q, t H =
1
(2π)N+1
q (t )
q(t)
Dq(t)
∞
−∞
Dp(t)ei
t
t
[ ˙q(t)p(t)− p2
2m
−V (q)]dt
. (42)
Vamos realizar a integral funcional em p(t) na eq.(38),
∞
−∞
N
i=0
dpi(ti)ei
N
i=1
[pi
qi+1−qi
−
p2
i
2m
]
=
N
i=0
∞
−∞
dpiei[pi
qi+1−qi
−
p2
i
2m
]
, (43)
onde (N + 1) + t = t , usando o truque tradicional de completar quadrados.
Para escrevermos cada integral sobre as vari´aveis pi como uma gaussiana,
completamos o seguinte quadrado:
p2
i
2m
− pi
(qi+1 − qi)
= (
pi
√
2m
−
√
m(qi+1 − qi)
√
2
)2
−
m
2
(qi+1 − qi)2
2
. (44)
A integral gaussiana em pi tem como resultado π2m
i
.
Portanto, como
17
18. ∞
−∞
Dp(t)ei
t
t
[ ˙q(t)p(t)− p2
2m
]dt
=
N
i=0
∞
−∞
dpie
−i(
pi√
2m
−
√
m(qi+1−qi)
√
2
)2
e
im
2
(
qi+1−qi
)2
,
(45)
a integral funcional sobre a vari´avel p(t) ´e igual a:
Dp(t)ei
t
t
[p(t) ˙q(t)−
p2(t)
2m
]dt
= (
π2m
i
)
N+1
2
N
i=0
e
im
2
(qi+1−qi)2
2
= (
−iπ2m
)
(N+1)
2 ei
t
t
m ˙q2(t)
2
dt
. (46)
Pelo resultado (46) sentimos as dificuldades no c´alculo de integrais de
caminho, uma vez que, no limite do cont´ınuo, a constante multiplicativa ´e
divergente!!!
Voltando `a amplitude de probabilidade de transi¸c˜ao, eq.(38), temos que
H q , t |q, t H = lim →0(
m
2πi
)
N+1
2
q (t )
q(t)
Dq(t)ei
t
t
(m ˙q2
2
−V (q))dt
. (47)
Como a express˜ao da lagrangeana cl´assica ´e L = m ˙q2
2
− V (q), ent˜ao
H q , t |q, t H = lim →0(
m
2πi
)
N+1
2
q (t )
q(t)
Dq(t)ei
t
t
Ldt
. (48)
Na situa¸c˜ao em que a dependˆencia da hamiltoniana em p seja apenas
quadr´atica, podemos escrever diretamente a igualdade acima. Nesse caso,
a a¸c˜ao de cada trajet´oria d´a o peso estat´ıstico da mesma para o fenˆomeno
quˆantico.
Em geral, os sistemas quˆanticos se encontram em estados |φ H, que n˜ao
s˜ao auto-estados do operador posi¸c˜ao. Al´em disso, desejamos determinar
a amplitude de probabilidade do sistema ser encontrado no estado quˆantico
18
19. |ψ H num instante posterior. Desta forma, desejamos obter o produto escalar:
H ψ, t |φ, t H, para t > t, na forma de uma integral de trajet´oria.
Usando a completeza da base dos autovetores do operador posi¸c˜ao nos
instantes t e t (eq.19), ou seja,
∞
−∞
dq |q , t H H q , t | = 1l e
∞
−∞
dq|q, t H H q, t| = 1l, (49)
o produto escalar H ψ, t |φ, t H passa a ser escrito como:
H ψ, t |φ, t H =
∞
−∞
dq dq H ψ, t |q , t HH q , t |q, t HH q, t|φ, t H
= lim →0(
m
2πi
)
N+1
2
∞
−∞
dq dq ψ∗
(q , t )φ(q, t)
q (t )
q(t)
Dq(t)ei
t
t
Ldt
. (50)
1.2 No¸c˜oes de Derivadas Funcionais
Referˆencias:
• C. Nash, Relativistic Quantum Fields, cap. 1.
• H. M. Nussenzweig,Integrais de Trajet´oria. Escola de Ver˜ao Jorge
Andr´e Swieca, Part´ıculas e Campos, 1981, p´ag. 127.
• Mark S. Swanson, Path Integrals and Quantum Processes.
Para a MQ n˜ao -relativ´ıstica, ´e suficiente o conhecimento das amplitudes
de probabilidade dadas pelas integrais de caminho. No entanto, em Teoria
Quˆantica de Campos, as chamadas fun¸c˜oes de Green s˜ao as quantidades que
conseguimos calcular atrav´es de m´etodos perturbativos e n˜ao-perturbativos.
Para falarmos em fun¸c˜oes de Green, precisamos mencionar a parte de
integrais e derivadas funcionais. Continuaremos a tratar o problema quˆantico
de uma part´ıcula, apenas para exemplificar.
Estamos acostumados a tratar com fun¸c˜oes que s˜ao solu¸c˜oes das equa¸c˜oes
que d˜ao a dinˆamica das vari´aveis usadas para descrever um dado sistema
19
20. f´ısico. Por exemplo, no caso da Mecˆanica Quˆantica n˜ao-relativ´ıstica de uma
part´ıcula unidimensional, a dinˆamica da fun¸c˜ao de onda (F.O.) ´e dada pela
equa¸c˜ao de Schr¨odinger:
−
1
2m
∂2
ψ(x, t)
∂x2
+ V (x)ψ(x, t) = i
∂ψ(x, t)
∂t
. (51)
Note que para cada valor do par de parˆametros (x, t) associamos um n´umero
ψ(x, t) que denominamos de fun¸c˜ao no ponto x no instante t. O mesmo ocorre
quando descrevemos a dinˆamica cl´assica de uma part´ıcula, assim como v´arios
outros fenˆomenos f´ısicos.
No entanto, ao observar as eqs. (47) e (48), vemos que temos novo objeto
matem´atico na exponencial do integrando dessas equa¸c˜oes, ou seja,
S[q, ˙q; t, t ] =
t
t
dt [
m
2
˙q(t)2
− V (q(t))], (52)
que ´e a a¸c˜ao associada a trajet´oria q(t), que tem pontos extremos fixados
pelo problema quˆantico. Para cada trajet´oria (fun¸c˜ao) q(t) associamos um
n´umero. Ao contr´ario do primeiro exemplo desta se¸c˜ao, n˜ao ´e suficiente
conhecer o valor do parˆametro (tempo) num ´unico ponto. ´E necess´ario con-
hecer os valores que a fun¸c˜ao assume num intervalo de valores do parˆametro.
Dizemos que S ´e um funcional da trajet´oria (fun¸c˜ao) q(t).
No caso de fun¸c˜oes f(t), ao variarmos o valor do parˆametro t, em geral,
mudamos o valor da fun¸c˜ao f. No caso de funcionais E[f], ao se mudar a
fun¸c˜ao f(t), em geral modificamos o valor do funcional E. Seja E[f(x)] um
funcional de f(x), um exemplo de funcional ´e
E[f(t)] = f(t), (53)
que ´e um funcional muito particular. No entanto, o resultado final da ex-
press˜ao (53) depende da escolha que fazermos da fun¸c˜ao f(x), da´ı dizer que
esta express˜ao ´e um funcional. De qualquer maneira, a igualdade (53) sempre
pode ser escrita como,
20
21. E[f(t)] =
∞
−∞
dt δ(t − t )f(t ), (54)
sendo δ(t − t ) a fun¸c˜ao delta de Dirac.
Consideremos agora a derivada funcional. A sua defini¸c˜ao operacional n˜ao
´e ´unica, por´em vamos usar a defini¸c˜ao do Nash, que ´e a mesma do Moys´es:
δE[f(x)]
δf(y)
= lim →0
E[f(x) + δ(y − x)] − E[f(x)]
. (55)
Para entendermos a necessidade da presen¸ca da fun¸c˜ao delta de Dirac, δ(y −
x), na defini¸c˜ao da derivada funcional, fa¸camos analogia com a derivada de
fun¸c˜oes. Seja f(x) uma fun¸c˜ao do parˆametro x. A derivada dessa fun¸c˜ao em
rela¸c˜ao a x ´e:
df(x)
dx
= lim
→0
f(x + ) − f(x)
. (56)
Ao variarmos o valor do parˆametro para um valor definido x atrav´es de um
incremento , em geral, o valor da fun¸c˜ao f no ponto x + difere do valor
desta fun¸c˜ao no ponto x. Se a fun¸c˜ao f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em torno na
vizinhan¸ca do ponto x, ent˜ao a sua varia¸c˜ao devido a varia¸c˜ao no valor do
parˆametro tamb´em tende a zero quando → 0. A derivada da fun¸c˜ao f(x)
no ponto x corresponde a calcular o limite da raz˜ao entre duas quantidades
que v˜ao simultaneamente a zero quando → 0. Neste tipo de derivada
variamos apenas o valor de um ´unico valor do parˆametro.
No caso de funcionais desejamos calcular como eles variam quando seu
argumento (fun¸c˜ao) varia para um ´unico valor do argumento (parˆametro).
Ou seja, a deforma¸c˜ao da fun¸c˜ao corresponde a mudar o seu valor num ´unico
ponto do seu argumento. Em geral, os funcionais envolvem integra¸c˜ao so-
bre fun¸c˜oes, como por exemplo ´e o caso da a¸c˜ao cl´assica associada a uma
trajet´oria q(t) (veja eq.(52)). Neste caso o parˆametro ´e o tempo t. Se vari-
amos a trajet´oria q(t) para um ´unico valor de t, esta varia¸c˜ao n˜ao leva a
21
22. nenhuma mudan¸ca no valor da a¸c˜ao S[q(t)], uma vez que ´e uma modifica¸c˜ao
num espa¸co de dimens˜ao nula na vari´avel de integra¸c˜ao:
q (t) =
q(t), t ∈ (−∞, ¯t − ) ∪ (¯t + , ∞)
q(¯t) + ∆q(¯t), t ∈ (¯t − , ¯t + )
(57)
onde estamos considerando o limite em que → 0. A modifica¸c˜ao da fun¸c˜ao
q(t) definida pela rela¸c˜ao (57) implica na seguinte varia¸c˜ao no valor da a¸c˜ao
cl´assica da part´ıcula:
∆S[q(t)] =
¯t+
¯t−
dt
1
2
m ˙q(t)2
− V (q(t))
lim
→0
×
1
2
m∆ ˙q(¯t)2
− (V (q (¯t)) − V (q(¯t)) = 0, (58)
uma vez que multiplica uma quantidade finita. Para variarmos a fun¸c˜ao
q(t) para um ´unico valor do parˆametro t e ela ainda dar uma varia¸c˜ao no
funcional, ou seja, a modifica¸c˜ao do funcional ocorre devido a uma varia¸c˜ao
num espa¸co de dimens˜ao nula na vari´avel de integra¸c˜ao, ent˜ao a varia¸c˜ao
da fun¸c˜ao neste ´unico ponto tem que ser singular. A fun¸c˜ao que tem essa
caracter´ıstica ´e a fun¸c˜ao delta de Dirac, que ´e usada na defini¸c˜ao da derivada
de funcionais (eq.(55)).
Para exemplificar a aplica¸c˜ao de derivadas funcionais, consideremos o fun-
cional E[f(x)] = f(x). Ent˜ao:
δE[f(x)]
δf(y)
= lim →0
f(x) + δ(y − x) − f(x)
= δ(y − x)
⇒
δE[f(x)]
δf(y)
= δ(x − y). (59)
Como um segundo exemplo, consideremos:
22
23. Ex[f] = dx K(x, x )f(x ). (60)
Ent˜ao,
δEx[f]
δf(y)
= lim
→0
dx K(x, x )[f(x ) + δ(y − x )] − dx K(x, x )f(x )
= lim
→0
dx K(x, x )δ(y − x )
= K(x, y). (61)
Assim,
δEx[f]
δf(y)
= K(x, y). (62)
Da mesma forma que vocˆe pode escrever s´eries de potˆencias para fun¸c˜oes
comuns em termos de suas vari´aveis,
F(x) =
∞
n=0
anxn
, (63)
existe a s´erie de Taylor funcional que corresponde a expans˜ao do funcional
em termos da sua fun¸c˜ao argumento. Seja P[f] um funcional de f(x), ent˜ao
P[f] pode ser escrito como:
Px[f] = K0(x) + K1(x; x1)f(x1)dx1 +
+ K2(x; x1, x2)f(x1)f(x2)dx1dx2 + . . . , (64)
Se Kn(x; x1, x2, . . . , xn) ´e uma fun¸c˜ao sim´etrica nas vari´aveis x1, x2, . . .,
xn, ent˜ao temos que
Kn(x; x1, x2, . . . , xn) =
1
n!
δn
P[f]
δf(x1) . . . δf(xn)
|f(x)≡0. (65)
23
24. Outras propriedades interessantes das derivadas , e que possuem an´alogo
nas derivadas usuais de fun¸c˜oes, s˜ao:
i) Sejam F e G funcionais da fun¸c˜ao g(x), ent˜ao,
δ(F[g]G[g])
δg(x)
=
δF[g]
δg(x)
· G[g] + F[g] ·
δG[g]
δg(x)
. (66)
ii) Regra da cadeia para derivadas funcionais:
F[g(f)]
δf(y)
= dx
δF[g]
δg(x)
·
δg(x)
δf(y)
. (67)
ii) Se F[g] ≡ F[g1, · · · , gn], sendo gi, i = 1, 2, · · · , n, fun¸c˜oes do parˆametro x,
ent˜ao,
δF[g1, · · · , gn] = dx
δF[g]
δgj(x)
· δgj(x), (68)
onde estamos usando a conven¸c˜ao de soma impl´ıcita para os´ındices repetidos
j.
1.3 Fun¸c˜oes de Green de Uma Part´ıcula
Estamos considerando uma part´ıcula quˆantica unidimensional n˜ao-relativ´ıstica.
A integral de caminho neste caso ´e6
H q , t |q, t H =
q (t )
q(t)
Dq(t)ei
t
t
Ldt
, (69)
onde L = T − V (q).
Considerando que o nosso sistema est´a sob a a¸c˜ao de uma for¸ca externa
F(t), durante um certo intervalo de tempo t2 ≤ t ≤ t1 (ver figura 2), quere-
mos saber a amplitude de probabilidade do sistema estando no estado |q, t H
6
Dentro da defini¸c˜ao de Dq(t) j´a est´a contida a constante multiplicativa.
24
25. t
1
t
2
t
F(t)
Figure 2: Perfil da for¸ca externa F(t)
no instante t ser encontrado no estado |q , t H no instante t . Nesse caso,
ficamos com7
,
H q , t |q, t F
H =
q (t )
q(t)
Dq(t) ei
t
t
dtL+i
t
t
F(t)q(t)dt
≡ Z[F]. (70)
A amplitude de probabilidade passa a ser um funcional da for¸ca externa
aplicada F(t).
Calculando a derivada funcional de ei
t
t
F(t)q(t)dt
em rela¸c˜ao a F(t1), en-
contramos que,
7
No caso de uma part´ıcula cl´assica, a sua equa¸c˜ao de movimento na presen¸ca de uma
for¸ca extrena F(t) ´e:
m¨q = −
dV (q)
dq
+ F(t).
Esta equa¸c˜ao ´e obtida a partir da lagrangeana:
LF = T − V (q) + qF(t).
25
26. δ[ei
t
t
F(t)q(t)dt
]
δF(t1)
= lim
→0
ei
t
t
[F(t)+ δ(t−t1)]q(t)dt
− ei
t
t
F(t)q(t)dt
= lim
→0
ei
t
t
F(t)q(t)dt
ei q(t1)
− ei
t
t
F(t)q(t)dt
= ei
t
t
F(t)q(t)dt
lim
→0
1 + i q(t1) − 1
= iq(t1)ei
t
t
F(t)q(t)dt
. (71)
Portanto,
δ[ei
t
t
F(t)q(t)dt
]
δF(t1)
= iq(t1)ei
t
t
F(t)q(t)dt
. (72)
Usando o resultado (72), ´e f´acil mostrar que
δn
[ei
t
t
F(t)q(t)dt
]
δF(t1) . . . δF(tn)
= (i)n
q(t1) . . . q(tn)ei
t
t
F(t)q(t)dt
. (73)
Voltamos para a express˜ao de Z[F] e expandimos a parte da exponencial que
depende de F(t):
Z[F] =
q (t )
q(t)
Dq(t)ei
t
t
Ldt
+
t
t
dt1
q (t )
q(t)
Dq(t)iq(t1)ei
t
t
Ldt
F(t1) +
+
1
2!
t
t
dt1dt2
q (t )
q(t)
Dq(t)(i)2
q(t1)q(t2)ei
t
t
Ldt
F(t1)F(t2) + . . . , (74)
onde podemos identificar
q (t )
q(t)
Dq(t)iq(t1)ei
t
t
Ldt
=
δZ[F]
δF(t1)
|F=0 (75)
q (t )
q(t)
Dq(t)(i)2
q(t1)q(t2)ei
t
t
Ldt
=
δ2
Z[F]
δF(t1)δF(t2)
|F=0 (76)
...
26
27. Assim,
Z[F] = Z[F = 0] +
∞
n=1
t
t
dt1 . . . dtn
1
n!
G(n)
(t1, . . . , tn)F(t1) . . . F(tn), (77)
onde
G(n)
(t1, . . . , tn) =
δn
Z[F]
δF(t1) . . . F(tn)
|F=0, (78)
s˜ao as chamadas fun¸c˜oes de Green de n pontos. Se conhecemos as infinitas
fun¸c˜oes de Green de n pontos, temos toda a informa¸c˜ao sobre um determi-
nado sistema quˆantico, pois conhecemos a expans˜ao funcional em s´erie de
Taylor de Z[F].
A ´ultima coisa que nos resta ´e relacionar as fun¸c˜oes de Green de n pontos
com elementos de matriz de operadores: H q , t |ˆqH(t1) . . . ˆqH(tn)|q, t H, onde
ˆqH(ti) ´e o operador posi¸c˜ao na representa¸c˜ao de Heisenberg no instante ti.
Seja t < tk < t , k = 1, 2, · · · , N. Ent˜ao,
H q , t |ˆqH(tk)|q, t H = dq1 . . . dqk . . . dqN H q , t |qN , tN H ×
× H qN , tN |qN−1, tN−1 H . . .H qk+1, tk+1|qk, tk H ×
×H qk, tk|ˆq(tk)|qk−1, tk−1 H . . .H q1, t1|q, t H. (79)
Como qk, tk|ˆq(tk) = q(tk) qk, tk|, o elemento de matriz (79) ´e igual a:
H q , t |ˆqH(tk)|q, t H =
q (t )
q(t)
Dq(t)q(tk)ei
t
t
Ldt
. (80)
Portanto,
H q , t |ˆqH(tk)|q, t H = −i
δZ[F]
δF(tk)
|F=0. (81)
27
28. Vamos escrever o elemento de matriz H q , t |ˆqH(tk)|q, t H na representa¸c˜ao
de Schr¨odinger. Para isso usaremos a rela¸c˜ao entre as representa¸c˜oes de
Heisenberg e Schr¨odinger dada pelas eqs. (14) e (15),
|ψ, t H = eiHt
|ψ(t) S (82)
e
QH(t) = eiHt
QS e−iHt
. (83)
Substituindo essas igualdades no bracket (81), obtemos que,
H q , t |ˆqH(tk)|q, t H = S q (t )|e−iHt
eiHtk
ˆqSe−iHtk
eiHt
|q(t) S
= S q (t )|eiH(tk−t )
ˆqSe−iH(tk−t)
|q(t) S. (84)
Usando a eq. (5), reescrevemos a igualdade acima como:
H q , t |ˆqH(tk)|q, t H =S q (tk)|ˆqS|q(tk) S. (85)
O l.d. da eq. (85) d´a a representa¸c˜ao matricial do operador ˆqS no espa¸co das
posi¸c˜oes, inclusive os elementos fora da diagonal.
Para obtermos o valor m´edio da posi¸c˜ao da part´ıcula que est´a no estado
quˆantico ψ(tk) S, no instante tk, precisamos calcular o elemento de matriz:
S ψ(tk)|ˆqS|ψ(tk) S =
=
∞
−∞
dq (tk)dq(tk) S ψ(tk)|q (tk) SS q (tk)|ˆqS|q(tk) SS q(tk)|ψ(tk) S
=
∞
−∞
dq (tk)dq(tk) ψ(qk, tk)∗
ψ(qk, tk)S q (tk)|ˆqS|q(tk) S
=
∞
−∞
dq (tk)dq(tk) ψ(qk, tk)∗
ψ(qk, tk)
q (t )
q(t)
Dq(t)q(tk) ei
t
t
Ldt
. (86)
28
29. Note que para obtermos a express˜ao (86) n˜ao seria suficiente conhecermos
apenas os elementos diagonais da representa¸c˜ao matricial do operador ˆqS.
Consideremos agora, t < tk < tj < t . Ent˜ao,
H q , t |ˆqH(tj)ˆqH(tk)|q, t H = dq1 . . . dqk . . . dqj . . . dqN ×
× q , t |qN , tN qN , tN |qN−1, tN−1 . . . ×
× . . . qj+1, tj+1|qj, tj qj, tj|ˆq(tj)|qj−1, tj−1 . . . ×
× . . . qk+1, tk+1|qk, tk qk, tk|ˆq(tk)|qk−1, tk−1 . . . ×
× . . . q1, t1|q, t . (87)
Assim,
H q , t |ˆqH(tj)ˆqH(tk)|q, t H =
q (t )
q(t)
Dq(t)q(tj)q(tk)ei
t
t
Ldt
, (88)
para t > tj > tk > t .
Seja T o operador que ordena os operadores no tempo em ordem decres-
cente, da esquerda para a direita, ent˜ao,
H q , t |T[ˆqH(tj)ˆqH(tk)]|q, t H = (−i)2 δ2
Z[F]
δF(tj)δF(tk)
|F=0. (89)
Usando os resultados das eqs. (5) e (14), temos que:
H q , t |ˆqH(tj)ˆqH(tk)|q, t H =S q (tj)|e−iHtj
ˆqSeiH(tj−tk)
ˆqSeiHtk
|q(tk S. (90)
No caso geral, encontramos que
H q , t |T[ˆqH(t1) . . . ˆqH(tn)]|q, t H =
q (t )
q(t)
Dq(t) q(t1) . . . q(tn)ei
t
t
Ldt
= (−i)n δn
Z[F]
δF(t1) . . . δF(tn)
|F=0
= (−i)n
G(n)
(t1, . . . , tn). (91)
29
30. 2 Rela¸c˜ao entre a Mecˆanica Estat´ıstica e as
Integrais de Caminho
2.1 Fun¸c˜ao de Parti¸c˜ao e o Funcional Gerador das Fun¸c˜oes
de Green T´ermicas
Estamos interessados em descrever sistemas em equil´ıbrio termodinˆamico.
Podemos entender um sistema em equil´ıbrio termodinˆamico como sendo
aquele no qual os processos r´apidos, comparados com o tempo de relaxa¸c˜ao
do sistema, j´a ocorreram, e que processos lentos comparados com o tempo
de relaxa¸c˜ao do sistema ainda n˜ao ocorreram. (R.P. Feynman, Statistical
Mechanics - A Set of Lectures, p´ag.1).
Estando o sistema descrito pela hamiltoniana H em equil´ıbrio termodinˆamico
com um reservat´orio, a probabilidade do sistema ser encontrado no estado
quˆantico |n , onde H|n = En|n ´e,
Pn =
e−βEn
A
, (92)
onde β = 1/kT, sendo k a constante de Boltzmann e T a temperatura
absoluta do reservat´orio em que o sistema est´a em equil´ıbrio t´ermico. A
´e a constante de normaliza¸c˜ao.
Define-se a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do sistema como sendo
Z ≡
|n
e−βEn
, (93)
onde |n s˜ao todos os autoestados, incluindo a parte cont´ınua8
, da hamilto-
niana H do sistema quˆantico. A fun¸c˜ao de parti¸c˜ao (93) pode ser reescrita
8
Estamos usando o s´ımbolo de soma na eq.(93) apenas por conveniˆencia de nota¸c˜ao.
Devemos lembrar que a somat´oria ´e substitu´ıda por uma integral na parte cont´ınua do
espectro de energia do sistema quˆantico.
30
31. como9
Z(β, Ω) =
|n
n|e−βH
|n = Tr[e−βH
], (94)
onde H ´e o operador hamiltoniano do sistema. Como o tra¸co (Tr) de qualquer
operador independe da base utilizada para calcul´a-lo, podemos escolher a
base que nos ´e mais conveniente para calcular Z. Ω ´e o volume ocupado pelo
universo no qual o sistema est´a imerso.
Uma vez obtida a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do sistema, todas as outras grandezas
termodinˆamicas s˜ao derivadas. Em particular, a energia livre de Helmholtz
´e dada por,
F(β, Ω) = −
1
β
lnZ(β, Ω). (95)
O limite termodinˆamico ´e obtido tomando-se limΩ → ∞.
2.2 Rela¸c˜ao entre as Fun¸c˜oes de Green T´ermicas e as
Fun¸c˜oes de Green do Espa¸co Euclideano
J´a vimos que a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao de um sistema quˆantico pode ser escrita
como:
Z(β, Ω) = Tr(e−βH
) =
|x
x|e−βH
|x . (96)
Os vetores x| e |x s˜ao definidos no mesmo instante, e, nesse caso, o
produto escalar ´e independente da representa¸c˜ao que escolhemos.
Al´em disso, estamos somando sobre todos os estados |x .
Para calcularmos o produto escalar dos termos da eq. (96), vamos fazer
um truque an´alogo ao que fizemos no caso da Mecˆanica Quˆantica de uma
part´ıcula para calcularmos a amplitude de probabilidade:
9
Apesar de estar sendo escrita na forma de uma somat´oria, |n est´a somando tamb´em
sobre os autoestados da parte cont´ınua do espectro de energia do operador H.
31
32. S xf |e−iH(tf −ti)
|xi S. (97)
Comparando os elementos de matriz de (96) e (97) vemos que β faz o
papel de um tempo imagin´ario, ou seja, β = i(tf − ti). Com isso vemos que,
se nas express˜oes que obtivemos na Mecˆanica Quˆantica de uma part´ıcula,
fazemos a identifica¸c˜ao τ = it e xf = xi ent˜ao, o resultado ´e igual aos termos
que contribuem para a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do sistema. A diferen¸ca entre a
fun¸c˜ao de parti¸c˜ao e a amplitude de probabilidade ´e que os estados inicial
e final s˜ao os mesmos no caso da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao, al´em de somarmos
sobre todos os poss´ıveis estados iniciais.
No caso da Mecˆanica Quˆantica de uma part´ıcula encontramos que:
S xf |e−iH(tf −ti)
|xi S =
xf
xi
Dx(t)e
i
tf
ti
L(x, ˙x;t)dt
, (98)
sendo que para uma part´ıcula n˜ao-relativ´ıstica, temos que
L =
m
2
(
dx
dt
)2
− V (x). (99)
Na Mecˆanica Estat´ıstica, fazendo a substitui¸c˜ao t = −iτ na eq. (98),
obtemos que
Z =
x(0)
x(0)=x(β)
Dx(τ)ei
β
0
L(x,−iτ)d(−iτ)
, (100)
onde τ ´e um parˆametro real definido no intervalo [0, β]. Como t = −iτ,
estamos fazendo a extens˜ao anal´ıtica da eq.(98) para tempos imagin´arios. ´E
usual chamarmos este formalismo de tempo imagin´ario.
A lagrangeana escrita em termos de τ fica
L =
m
2
(
dx
dt
)2
− V (x) = −
m
2
(
dx
dτ
)2
− V (x) ≡ −LE(x, ˙x; τ), (101)
32
33. onde LE(x, ˙x; τ) ´e a lagrangeana do sistema no espa¸co euclideano e ˙x ≡ dx
dτ
.
Portanto, a integral funcional da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao do sistema ´e,
Z(β, Ω) =
x(0)
x(0)=x(β)
Dx(τ)e−
β
0
LE(x,τ)dτ
, (102)
onde LE ´e dada pela eq.(101).
Note que, se L(x, ˙x; t) ´e a lagrangeana do sistema, por exemplo eq.(99),
ou tamb´em chamada de lagrangeana no espa¸co de Minkowski10
, ent˜ao
L(x, ˙x; t = −iτ) = −LE(x, ˙x; τ), (103)
onde τ ´e real. No caso de part´ıcula n˜ao relativ´ıstica cuja lagrangeana ´e dada
pela express˜ao (99), temos que LE(x, ˙x; τ) ´e igual a energia total da part´ıcula.
Da mesma maneira que no caso da MQ de uma part´ıcula, podemos aplicar
uma fonte externa F(τ) ao sistema, de forma que a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao fica
sendo
Z[F(τ)] =
x(0)
x(0)=x(β)
Dx(τ)e−
β
0
(LE(x,τ)−F(τ)x(τ))dτ
. (104)
Expandindo a exponencial funcional e
β
0
F(τ)x(τ)dτ
, obtemos a s´erie de Tay-
lor do funcional Z[F(τ)]. Usando o resultado (73), os coeficientes desta s´erie
podem ser escritos como derivadas funcionais de Z[F] em rela¸c˜ao a F(τ).
Em analogia ao que fizemos na MQ de uma part´ıcula, definimos a fun¸c˜ao de
Green no espa¸co euclideano
x(0)
x(0)=x(β)
Dx(τ) x(τn) . . . x(τ2)x(τ1)e−
β
0
LE(x,τ)dτ
≡
≡ ˆxH(τn) . . . ˆxH(τ2)ˆxH(τ1) , (105)
10
Precisamos notar que ˙x possui significado diferente em L e em LE. Na lagrangeana
no espa¸co de Minkowski, L(x, ˙x; t), temos que: ˙x ≡ dx
dt , enquanto que na lagrangeana no
espa¸co euclideano, LE(x, ˙x; τ), temos que: ˙x ≡ dx
dτ .
33
34. onde β ≥ τn ≥ τn−1 . . . τ2 ≥ τ1. Essas fun¸c˜oes est˜ao associadas aos coefi-
cientes da s´erie de Taylor de Z[F]. Usando a analogia com a eq.(90), o l.e.
da eq.(105) ´e reescrito na forma de elemento de matriz do operador:
ˆxH(τn) . . . ˆxH(τ2)ˆxH(τ1) ≡
x(0)
x(0)|eHτn
ˆxS(0)e−Hτn
· · · ×
×eHτ2
ˆxS(0)e−Hτ2
eHτ1
ˆx(0)e−Hτ1
|x(0 . (106)
Continuando a usar a analogia com a eq.(15), a partir da eq.(106), definimos
a rela¸c˜ao entre operadores de posi¸c˜ao nas representa¸c˜oes de Schr¨odinger e
Heisenberg, a temperatura finita, isto ´e,
ˆxH(τ) = eHτ
ˆxS(0)e−Hτ
. (107)
Ao fazermos a identifica¸c˜ao (107) a partir da eq.(15), estamos usando a ex-
tens˜ao do parˆametro tempo para valores imagin´arios11
: t = −iτ.
Usando o resultado da derivada funcional (eq. (72)), podemos reescrever
as fun¸c˜oes de Green no espa¸co euclideano como
ˆxH(τn) . . . ˆxH(τ2) ˆxH(τ1) =
δn
Z[F]
δF(τn) . . . F(τ1)
|F(τ)=0 ≡ G
(n)
E (τn, . . . , τ1).
(108)
Da mesma forma que na MQ de uma part´ıcula, a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao ´e um
funcional da fonte externa F(τ) aplicada, de maneira que pode ser escrita
como
Z[F(τ)] = Z[0] +
∞
n=1
1
n!
β
0
dτ1 . . . dτnG
(n)
E (τ1, . . . , τn)F(τ1) . . . F(τn). (109)
11
Para ver a discuss˜ao de fun¸c˜oes de Green a temperatura finita, veja a referˆencia: A.A.
Abrikosov, L.P. Gorkov and I.E. Dzyaloshinski, Methods of Quantum Field Theory in
Statistical Physics, Dover Publ., NY(1963).
34
35. Im(t)
Re(t)
Figure 3: Representa¸c˜ao esquem´atica do plano complexo t = Re(t)+iIm(t),
onde o eixo real positivo corresponde `a MQ de 1 part´ıcula, e o eixo imagin´ario
negativo corresponde `a Mecˆanica Estat´ıstica.
Vimos que a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao Z ´e a continua¸c˜ao anal´ıtica da express˜ao
da amplitude de probabilidade da MQ para τ = it, onde τ ∈ [0, β], de forma
que t ∈ [0, −iβ] (veja figura 3).
Desejamos relacionar as continua¸c˜oes anal´ıticas das fun¸c˜oes de Green no
espa¸co de Minkowski realizando a rota¸c˜ao do desenho da figura 3, e as fun¸c˜oes
de Green no espa¸co euclideano, G
(n)
E (τ1, . . . , τn), como definimos na (108).
Quando definimos as fun¸c˜oes de Green no espa¸co de Minkowski, o fizemos
da seguinte forma (veja eq.(90):
H q , t |T[ˆqH(t1) . . . ˆqH(tn)]|q, t H = (−i)n
G(n)
(t1, . . . , tn), (110)
onde os estados final e inicial s˜ao quaisquer. Vamos considerar as fun¸c˜oes
de Green de uma part´ıcula na MQ para q = q . Na defini¸c˜ao da fun¸c˜ao de
Green no espa¸co euclideano (veja eq.(108)), estamos somando sobre todos os
valores que x(0) pode assumir, uma vez que calculamos um tra¸co. No entanto,
35
36. iremos praticar um abuso de linguagem quando utilizamos a nota¸c˜ao GE para
exprimir a extens˜ao anal´ıtica da fun¸c˜ao de Green no espa¸co de Minkowski
j´a que estamos fixando um ´unico valor para os estados inicial e final. No
entanto, em Teoria Quˆantica de Campos estamos interessados em calcular
os elementos de matriz no v´acuo da teoria. Devemos lembrar que o vetor
de estado que representa o v´acuo, |0 , possui a propriedade: H|0 = 0. De
agora em diante, quando for mencionada a fun¸c˜ao de Green, ser´a no sentido
de que os estados inicial e final s˜ao os estados de v´acuo da teoria. O que
vamos fazer de agora em diante n˜ao ´e uma demonstra¸c˜ao, mas simplesmente
uma mostra¸c˜ao, usando argumentos de plausibilidade. O resultado j´a foi
mostrado exatamente.
Na representa¸c˜ao de Heisenberg, o operador posi¸c˜ao em qualquer instante
t ´e (eq.(7)):
ˆqH(t) = eiHt
ˆqH(0)e−iHt
, (111)
de forma que
(−i)n
G(n)
(t1, . . . , tn) =H 0|ˆqH(0)e−iHt1
eiHt2
ˆqH(0)e−iHt2
. . . eiHtn
ˆqH(0)|0 H,
(112)
onde t1 > t2 > . . . > tn. Fazendo a substitui¸c˜ao ti = zτi, onde z ´e uma
constante complexa e τi ´e real, a fun¸c˜ao de Green passa a ser
(−i)n
G(n)
(zτ1, . . . , zτn) =H 0|ˆqH(0)e−izH(τ1−τ2)
ˆqH(0)e−izH(τ2−τ3)
×
. . . × e−ziH(τn−1−τn)
ˆqH(0)|0 H. (113)
Veja que o elemento de matriz (113) est´a numa forma em que podemos
introduzir rela¸c˜oes de completeza, de maneira que a fun¸c˜ao de Green passa
a ser escrita atrav´es de uma integral de caminho (basta seguir os mesmos
passos que na MQ de uma part´ıcula). Portanto,
36
37. (−i)n
G(n)
(zτ1, . . . , zτn) = Dq(τ)eiz
τ
τ
dτL(x, ˙x;zτ)
q(τ1) . . . q(τn). (114)
Lembre-se de que τ serve apenas como ´ındice para as vari´aveis q. Como
pela mudan¸ca de vari´avel apenas τi est´a variando, este serve como o novo
´ındice para as vari´aveis q. No caso em que z = −i temos ent˜ao que
(−i)n
G(n)
(−iτ1, . . . , −iτn) = Dq(τ)e
τ
τ
dτL(x, ˙x;−iτ)
q(τ1) . . . q(τn). (115)
No entanto, j´a vimos pelas eqs.(101) e (103) que L(x, ˙x; −iτ) = −LE(x, ˙x; τ).
Portanto
(−i)n
G(n)
(−iτ1, . . . , −iτn) = Dq(τ)e−
τ
τ
dτLE(x, ˙x;τ)
q(τ1) . . . q(τn)
= G
(n)
E (τ1, . . . , τn). (116)
Logo,
(−i)n
G(n)
(−iτ1, . . . , −iτn) = G
(n)
E (τ1, . . . , τn). (117)
3 Integral de Caminho na Teoria de Campos
Referˆencias:
• E.S. Abers, B.W. Lee, Phys. Rep. 9C, 1(1973), se¸c˜ao 12, p´ag. 71.
• P. Ramond, Field Theory: A Modern Primer, cap. 3, p´ag. 88.
At´e ent˜ao tratamos o sistema quˆantico de uma part´ıcula. Nesse caso, x
representa a posi¸c˜ao da part´ıcula em diferentes instantes, sendo ent˜ao uma
vari´avel dinˆamica. O parˆametro tempo t, nesse caso, serve apenas como um
´ındice para a vari´avel x. No caso de campos cont´ınuos, queremos estudar
37
38. formas definidas no espa¸co e que podem variar com o tempo. Para fixarmos
id´eia, podemos pegar uma folha de papel e solt´a-la, de maneira a ver como
ela muda a sua forma de instante a instante. Em cada instante t, verificamos
se na posi¸c˜ao (x, y, z) existe algum peda¸co do papel, e com isso vamos deter-
minando a forma da folha instante a instante. Vemos ent˜ao que, no caso de
campos cont´ınuos, tanto o espa¸co como o tempo servem como ´ındices para
definir as formas que estamos estudando.
A Teoria de Campos trabalha com configura¸c˜oes extensas, e passamos a
calcular amplitudes de probabilidade do sistema ser encontrado numa certa
configura¸c˜ao. Passamos a falar em configura¸c˜ao, porque estamos estudando
campos, como, por exemplo, o campo eletromagn´etico, o campo gravita-
cional, etc... Agora, os nossos vetores de estado passam a conter a informa¸c˜ao
sobre configura¸c˜oes. A correspondˆencia entre vetores de estado na Mecˆanica
Quˆantica e na Teoria Quˆantica de Campos ´e:
|x, t H −→ |φ(x); t H, (118)
onde φop(x, t)|φ(x), t H = φ(x)|φ(x), t H, sendo φ(x) a fun¸c˜ao que d´a a con-
figura¸c˜ao do campo em todo o espa¸co, φop(x, t) o operador de campo e
|φ(x), t H o auto-estado do operador de campo no instante t na representa¸c˜ao
de Heisenberg. Apesar da rela¸c˜ao ter sido escrita na representa¸c˜ao de Heisen-
berg, ela tamb´em ´e verdadeira em qualquer representa¸c˜ao.
As dinˆamicas dos vetores de estado e operadores nas representa¸c˜oes de
Heisenberg e Schr¨odinger ainda s˜ao dadas pelas mesmas rela¸c˜oes que na MQ
de uma part´ıcula, assim como a rela¸c˜ao entre as diferentes representa¸c˜oes
que podemos utilizar para descrever os sistemas quˆanticos.
Daqui por diante, apenas por quest˜ao de simplicidade, restringir-nos-
emos a campos escalares, que satisfazem `a ´algebra usual e n˜ao possuem
graus de liberdade internos. Vamos estender gradativamente os resultados
que obtivemos na MQ de uma part´ıcula:
38
39. H q , t |q, t H =
q (t )
q(t)
Dq(t)Dp(t)ei
t
t
(p ˙q−H)dt
, (119)
onde H ´e a hamiltoniana total do sistema.
Quando o sistema possui M graus de liberdade q1(t), . . . , qM (t); p1(t), . . . ,
pM (t), a express˜ao acima passa a ser escrita como:
H q1, . . . , qM , t |q1, . . . , qM , t H =
=
{q (t )}
{q(t)}
M
α=1
Dqα(t)Dpα(t)ei
t
t
(
M
α=1
pα ˙qα−H)dt
. (120)
onde {q(t)} d´a os valores dos M graus de liberdade no instante t e {q (t )}
os seus valores no instante t .
Para se obter esta express˜ao basta proceder de maneira an´aloga ao que
fizemos no caso da MQ de uma part´ıcula.
Vamos estender ainda mais a express˜ao acima. Dividimos o espa¸co em
cubinhos de volume ε3
. No limite de ε → 0, definimos o campo na posi¸c˜ao
no centro do cubo de volume infinitesimal como sendo
φα(t) =
1
ε3
d3
x φ(x, t), (121)
onde α ´e o ´ındice associado `a c´elula espacial que cont´em o volume ε3
.
Como estamos trabalhando com campos cont´ınuos, a lagrangeana do sis-
tema passa a ser escrita como
L =
V∞
d3
x L(φ(x, t), ∂µφ(x, t); t), (122)
sendo L a densidade lagrangeana do sistema. Quando discretizamos o espa¸co,
a lagrangeana (122) fica,
L =
N
α=1
ε3
Lα(φα(t), ˙φα(t), φα±s(t); t), (123)
39
40. sendo que ˙φα(t) = ∂φα
∂t
, e N ´e o n´umero de c´elulas espaciais de volume 3
.
Da Mecˆanica Cl´assica, temos que o momento canonicamente conjugado
`a vari´avel φα(t) ´e:
pα =
∂L
∂ ˙φα(t)
= ε3 ∂Lα
∂ ˙φα(t)
≡ ε3
πα(t), (124)
onde πα(t) = ∂Lα
∂ ˙φα(t)
. A hamiltoniana total do sistema ´e
H =
N
α=1
pα(t) ˙φα(t) − L ≡
N
α=1
ε3
Hα, (125)
sendo que
N
α=1
ε3
Hα =
N
α=1
ε3
πα(t) ˙φα(t) −
N
α=1
ε3
Lα(φα(t), ˙φα(t), φα±s(t); t) ⇒
⇒ Hα = πα(t) ˙φα(t) − Lα(φα(t), ˙φα(t), φα±s(t); t).
Na express˜ao anterior, temos a rela¸c˜ao entre densidades: densidade de la-
grangeana, densidade de hamiltoniana e densidade de momento canonica-
mente conjugado.
Voltando para a express˜ao da amplitude de probabilidade temos que
H φ (x), t |φ(x), t H =
φ (x,t )
φ(x,t)
N
α=1
Dφα(t)Dpα(t) ×
×ei
t
t
[
N
α=1
pα(t) ˙φα(t)−
N
α=1
3H]dt
. (126)
Por´em, pα(t) = ε3
πα(t), e, al´em disso, limε→0
N
α=1 ε3
= ∞
−∞ dxdydz. Por-
tanto, a eq. (126) pode ser escrita como
H φ (x), t |φ(x), t H =
φ (x,t )
φ(x,t)
N
α=1
Dφα(t)ε3N
Dπα(t)e
i
t
t
dt
V∞
d3x (πα(t) ˙φα(t)−H)
.
(127)
40
41. Em Teoria Quˆantica de Campos, estamos interessados em calcular a am-
plitude de probabilidade do sistema estando no estado de mais baixa energia
(o v´acuo) em tempos anteriores ao acoplamento com uma fonte externa,
volte a ser encontrado no estado de mais baixa energia do sistema ap´os a
fonte externa ter sido desligada, ou seja,
H 0, t → ∞|0, t → −∞ J
H =
=
φ(x,t )
φ(x,t)
N
α=1
Dφα(t)ε3N
Dπα(t)ei d4x(πα(t) ˙φα(t)−H+J(x,t)φ(x,t))
≡ Z[J], (128)
onde N ´e o n´umero de pontos na rede espacial, |0, t → ±∞ representa o vetor
associado ao estado de mais baixa energia (v´acuo) no instante t → ±∞, res-
pectivamente. Assumimos que esses estados s˜ao representados pelos campos
φ(x, t) e φ(x, t ) nos instantes t → −∞ e t → ∞.
A amplitude de transi¸c˜ao v´acuo-v´acuo ´e uma quantidade mal definida,
pois ela representa a superposi¸c˜ao de fases. Para dar um significado a essas
integrais, temos as seguintes op¸c˜oes:
1. No argumento da exponencial introduzir um termo da forma
i d4
x 2
φ2
(x, t), (129)
onde ´e um parˆametro para o qual ser´a tomado o limite → 0.
2. Realizar uma rota¸c˜ao de Wick,
it = τ → t = −iτ, (130)
onde τ ´e real.
Nestes casos teremos no integrando exponenciais decrescentes.
41
42. Apesar de dizermos que essas duas maneiras de tratar o problema d˜ao um
significado matem´atico `a integral de caminho, ainda existem infinitos embuti-
dos nas amplitudes de probabilidade, os quais ainda devem ser retirados. No
caso dos infinitos associados a pequenas distˆancias temos a renormaliza¸c˜ao.
Apesar de sabermos que temos que introduzir o termo (129) para dar
sentido `a integral de caminho, n˜ao vamos escrevˆe-lo explicitamente, mas
devemos ter em mente que ele continua fazendo parte do argumento da ex-
ponencial.
4 Fun¸c˜oes de Green Conexas e Desconexas
Analogamente ao caso da MQ de uma part´ıcula,
H 0|T[φH(x1, t1) . . . φH(xn, tn)]|0 H =
φ(x,t )
φ(x,t)
N
α=1
Dφα(t)ε3N
Dπα(t) ×
×φ(x1, t1) . . . φ(xn, tn)ei d4x (πα(x) ˙φα(x)−H)
, (131)
sendo T um operador de ordena¸c˜ao temporal, onde os tempos s˜ao ordenados
da direita para a esquerda em ordem crescente: tn < tn−1 < · · · < t2 < t1.
Estamos usando a nota¸c˜ao: x ≡ (t, x).
Usando os resultados conhecidos de derivadas funcionais, temos que12
φ(x,t )
φ(x,t)
N
α=1
Dφα(t) ε3N
Dπα(t)φ(x1, t1) . . . φ(xn, tn)ei d4x(πα(x) ˙φα(x)−H)
=
12
Neste caso, em que estamos num espa¸co tridimensional e temos o tempo tamb´em como
parˆametro, a derivada funcional (55) fica sendo:
δE[J]
δJ(x1, t1)
= lim →0
E[J(x, t) + δ(3)
(x − x1)δ(t − t1)] − E[J(x, t)]
.
42
43. =
φ(x,t )
φ(x,t)
N
α=1
Dφα(t)ε3
Dπα(t)ei d4x (πα(x) ˙φα(x)−H)
×
×
1
(i)n
δn
ei d4xJ(x,t)φ(x,t)
δJ(x1, t1) . . . δJ(xn, tn)
|J=0. (132)
Ao contr´ario do que fizemos anteriormente, chamamos de fun¸c˜ao de Green
de n pontos a
G(n)
(x1, t1; . . . ; xn, tn) =H 0|T[φH(x1, t1), . . . , φH(xn, tn)]|0 H. (133)
Comparando a express˜ao acima com a anterior encontramos que
in
G(n)
(x1, t1; . . . ; xn, tn) =
δZ[J]
δJ(x1, t1) . . . δJ(xn, tn)
|J=0, (134)
que s˜ao as chamadas fun¸c˜oes de Green conexas e desconexas. Num exemplo
espec´ıfico, veremos o porque do nome.
A amplitude de v´acuo-v´acuo ´e um funcional da fonte externa,
Z[J] = Dφ(x)Dπ(x)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H+J(x)φ(x)]
, (135)
onde x ≡ (x, t) e absorvemos a constante ε3N
na defini¸c˜ao das medidas Dφ(x)
e Dπ(x). Realizando a expans˜ao da exponencial13
ei Jφ
, temos que
Z[J] = Dφ(x)Dπ(x)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H]
× [1 + i d4
xJ(x)φ(x) +
+
(i)2
2!
d4
x1d4
x2J(x1)J(x2)φ(x1)φ(x2) + . . .]. (136)
Ent˜ao,
13
Estamos usando a conven¸c˜ao: Jφ = d4
x J(x)φ(x).
43
44. Z[J] = Z[0] + i d4
x1J(x1) Dφ(x)Dπ(x)φ(x1)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H]
+
+
(i)2
2!
d4
x1d4
x2J(x1)J(x2) Dφ(x)Dπ(x)φ(x1)φ(x2)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H]
+ . . .
(137)
Assim,
Z[J] = Z[0] +
∞
n=1
(i)n
n!
d4
x1 . . . d4
xnG(n)
(x1, . . . , xn)J(x1) . . . J(xn), (138)
onde
G(n)
(x1, t1; . . . ; xn, tn) = H 0|T[φH(x1, t1) . . . φH(xn, tn)]|0 H
= Dφ(x)Dπ(x) φ(x1) . . . φ(xn)ei d4x[π(x) ˙φ(x)−H]
, (139)
´e a fun¸c˜ao de Green de n pontos vestida. Note que na eq.(139) aparece a
hamiltoniana completa que descreve o sistema quˆantico.
4.1 Modelo λφ4
Referˆencias:
• P. Ramond, Field Theory: A Modern Primer, 2nd
ed. (Revised Print-
ing), Addison-Wesley (1990).
• C. Nash,Relativistic Quantum Field, Academic Press (1978), cap. 1.
Para exemplificarmos como tratar as fun¸c˜oes de Green de n pontos,
consideramos a densidade de hamiltoniana de part´ıculas escalares reais,
H(φ, ∂iφ, π; x, t) =
π2
(x, t)
2
+
1
2
( φ(x, t))2
+
1
2
m2
φ2
(x, t) + V (φ). (140)
44
45. V (φ) ´e a parte de auto-intera¸c˜ao dos campos reais e ´e uma fun¸c˜ao de φ
limitada inferiormente.
´E importante lembrar que, na integral funcional, estamos integrando so-
bre todas as poss´ıveis configura¸c˜oes de π(x, t), e que n˜ao estamos impondo
a restri¸c˜ao
π(x) =
∂L
∂(∂φ(x)
∂t
)
=
∂φ(x)
∂t
. (141)
Voltando para a integral funcional da fun¸c˜ao de Green de n pontos,
G(n)
(x1, . . . , xn) = Dφ(x)Dπ(x) φ(x1) . . . φ(xn) ×
×ei d4x[−π2
2
+π ˙φ]
e−i d4x[ 1
2
( φ)2+1
2
m2φ2+V (φ)]
. (142)
Lembrando que: π2
2
− π ˙φ = 1
2
[π2
− 2 ˙φ2
π] = 1
2
[(π − ˙φ)2
− ˙φ2
] e que
Dπ(x)e−i d4x[−π ˙φ+π2
2
]
2
= ei d4x
˙φ2
2 Dπ(x)e− i
2
d4x(π− ˙φ)2
. (143)
A integral funcional sobre π(x) no l. d. da equa¸c˜ao acima, ´e apenas uma
constante multiplicativa. Portanto,
G(n)
(x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn)ei d4x[1
2
( ∂φ
∂t
)2−1
2
( φ)2−1
2
m2φ2−V (φ)]
= Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) ei d4x L
, (144)
onde
L =
1
2
∂µ
φ∂µφ −
1
2
m2
φ2
− V (φ), (145)
sendo que14
: ∂µ∂µ
= ∂2
∂t2 − 2
. Absorvemos na defini¸c˜ao de Dφ(x) a constante
que vem da integral funcional funcional sobre π(x).
14
A defini¸c˜ao da m´etrica est´a no Apˆendice I.
45
46. Portanto, para as densidades de lagrangeana usuais, temos que
G(n)
(x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) ei d4x L
. (146)
Para mostrar que G(n)
(x1, . . . , xn) s˜ao as fun¸c˜oes de Green de n pontos
conexas e desconexas, vamos tomar, por simplicidade, o modelo λφ4
, ou seja,
L =
1
2
∂µφ∂µ
φ −
1
2
m2
φ2
−
λ
4!
φ4
. (147)
Para este modelo, a fun¸c˜ao de Green de n pontos vestida fica sendo
G(n)
(x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) ei d4x[ 1
2
∂µφ∂µφ−1
2
m2φ2− λ
4!
φ4]
.
(148)
A integral funcional ´e de quarta ordem nos campos φ, e, assim como n˜ao
sabemos resolver a integral indefinida em zero dimens˜oes,
dxe−(x4+ax2+bx)
, (149)
n˜ao se tem esperan¸cas de obter o resultado anal´ıtico da integral funcional
(148). O que se faz ´e utilizar teoria de perturba¸c˜ao na constante de acopla-
mento do potencial, se esta constante ´e pequena. Neste caso, a fun¸c˜ao de
Green de n pontos fica:
G(n)
(x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) ×
×[1 + (−
iλ
4!
) dy1φ4
(y1) +
1
2!
(
−iλ
4!
)2
dy1dy2 φ4
(y1)φ4
(y2) +
+
1
3!
(−
iλ
4!
)3
dy1dy2dy3 φ4
(y1)φ4
(y2)φ4
(y3) + . . .] ×
×ei d4x[1
2
∂µφ∂µφ−1
2
m2φ2]
. (150)
46
47. Todos estes termos do l.d. da eq.(150) podem ser obtidos a partir da aplica¸c˜ao
de derivadas funcionais ao funcional
Z0[J] = Dφ(x)ei d4x[ 1
2
∂µφ∂µ−1
2
m2φ2+J(x)φ(x)]
. (151)
em rela¸c˜ao a J(x). Calculamos Z0[J] introduzindo o termo de amortecimento,
ou seja,
Z0[J] = Dφ(x)ei d4x[ 1
2
∂µφ∂µφ−1
2
(m2−i 2)φ2+J(x)φ(x)]
. (152)
Para obter as fun¸c˜oes de Green de n pontos a partir de Z0[J], precisamos
explicitar a dependˆencia em J(x) de Z0[J], pois as derivadas funcionais s˜ao
calculadas em rela¸c˜ao a J(x). Apesar Z0[J] ser quadr´atico nos campos φ(x),
o resultado desta integral n˜ao ´e ´obvio, pois nessa representa¸c˜ao, a a¸c˜ao n˜ao ´e
diagonal em φ(x). Para ter isso claro, note que a densidade de lagrangeana,
em uma dimens˜ao espacial, depende de derivadas espaciais dos campos, ou
seja,
∂φ(x)
∂x
= lim
∆x→0
φ(x + ∆x) − φ(x)
∆x
, (153)
de maneira que a a¸c˜ao envolve φ(x+∆x) e φ(x). Uma maneira de diagonalizar
a a¸c˜ao cl´assica
S = d4
x[
1
2
∂µφ∂µ
φ −
1
2
(m2
− i 2
)φ2
+ J(x)φ(x)], (154)
´e reescrever o integrando em termos das transformadas de Fourier do campo
e da corrente. As rela¸c˜oes entre as transformadas de Fourier do campo e da
corrente s˜ao:
˜φ(p) =
1
(2π)2
d4
x eipx
φ(x),
φ(x) =
1
(2π)2
d4
p e−ipx ˜φ(p), (155)
47
48. e,
˜J(p) =
1
(2π)2
d4
x eipx
J(x),
J(x) =
1
(2π)2
d4
p e−ipx ˜J(p). (156)
Estamos usando a nota¸c˜ao: px ≡ pµxµ
.
A a¸c˜ao S escrita em termos das transformadas de Fourier do campo e da
corrente fica,
S = d4
x[
1
2(2π)4
d4
p1d4
p2(−i)2
p1µpµ
2
˜φ(p1)˜φ(p2)e−i(p1+p2)x
−
−
1
2
(m2
− i 2
)
(2π)4
d4
p1d4
p2
˜φ(p1)˜φ(p2)e−i(p1+p2)x
+
+
1
(2π)4
d4
p1d4
p2
˜J(p1)˜φ(p2)e−i(p1+p2)x
]. (157)
Como,
1
(2π)4
d4
x e−i(p1+p2)x
= δ(p1 + p2), (158)
a a¸c˜ao S fica sendo
S = d4
p[
1
2
pµpµ ˜φ(p)˜φ(−p) −
1
2
(m2
− i 2
)˜φ(p)˜φ(−p) + ˜J(p)˜φ(−p)].
(159)
Realizamos uma mudan¸ca de vari´avel em ˜φ(p), de maneira a reescrevermos
a express˜ao acima na forma de quadrados, ou seja,
˜φ (p) = ˜φ(p) +
˜J(p)
(p2 − (m2 − i 2))
. (160)
48
49. Calculando explicitamente, obtemos que
1
2
˜φ (p)[p2
− (m2
− i 2
)]˜φ (−p) −
1
2
˜J(p)
1
p2 − (m2 − i 2)
˜J(−p) =
=
1
2
˜φ(p)[p2
− (m2
− i 2
)]˜φ(−p) +
1
2
˜J(p)˜φ(−p) + ˜J(−p)˜φ(p) . (161)
No entanto, ao fazermos a mudan¸ca nas vari´aveis de integra¸c˜ao: p → −p e
p0
→ −p0
, na integral da a¸c˜ao, obtemos que:
d4
p ˜J(−p)˜φ(p) = d4
p ˜J(p)˜φ(−p), (162)
de forma que usando os resultados (161) e (162), reobtemos a a¸c˜ao S.
Portanto, a a¸c˜ao (157) pode ser reescrita como
S =
1
2
d4
p ˜φ (p)(p2
− (m2
− i 2
))˜φ (−p) −
−
1
2
d4
p ˜J(p)
1
p2 − (m2 − i 2)
˜J(−p), (163)
onde foi utilizada a mudan¸ca de vari´avel (160). No espa¸co das quadri-
coordenadas, esta mudan¸ca de vari´aveis corresponde a:
φ (x) = φ(x) + F(x), (164)
onde F(x) ´e uma fun¸c˜ao independente do campo φ(x), de forma que a medida
da integral funcional ´e invariante sob essa mudan¸ca de vari´avel,
Dφ (x) = Dφ(x). (165)
A dependˆencia da a¸c˜ao na fonte externa J(x) foi separada na eq.(163).
Reescrevendo a a¸c˜ao no espa¸co das quadri-coordenadas:
49
50. S =
1
2
d4
p
1
(2π)4
d4
x1d4
x2eipx1
φ (x1)(p2
− (m2
− i 2
)) e−ipx2
φ (x2) −
−
1
2
d4
p
1
(2π)4
d4
x1d4
x2eipx1
J(x1)
1
p2 − (m2 − i 2)
J(x2)e−ipx2
=
=
1
2
d4
x1d4
x2
1
(2π)4
d4
p φ (x1)[−∂2
2e−ipx2
− (m2
− i 2
)e−ipx2
]φ (x2)eipx1
−
−
1
2
d4
x1d4
x2J(x1)J(x2)
1
(2π)2
d4
p
1
(2π)2
e−ip(−x1+x2)
p2 − (m2 − i 2)
, (166)
onde ∂2
2 = ∂
∂x2µ
∂
∂xµ
2
. Definimos,
∆(x1 − x2) ≡
1
(2π)2
d4
p
1
(2π)2
e−ip(x2−x1)
p2 − (m2 − i 2)
, (167)
que ´e a transformada de Fourier do propagador livre. Como estamos inte-
grando sobre d4
p, temos da defini¸c˜ao acima que ∆(x1 − x2) = ∆(x2 − x1).
Al´em disso,
1
(2π)4
dp(−∂2
2e−ipx2
)eipx1
= −∂2
2[
1
(2π)4
dpeip(x1−x2)
] = −∂2
2δ(x1 − x2),
(168)
e
1
(2π)4
dpe−ip(x1−x2)
= δ(x1 − x2). (169)
Portanto, a a¸c˜ao S fica sendo
S =
1
2
d4
x1d4
x2[ −φ (x1)φ (x2)∂2
2δ(x2 − x1) −
−(m2
− i 2
)φ (x1)φ (x2)δ(x1 − x2)] −
1
2
d4
x1d4
x2J(x1)∆(x1 − x2)J(x2) ⇒
⇒ S =
1
2
d4
x φ (x)(−∂2
− (m2
− i 2
))φ (x) −
50
51. −
1
2
d4
x1d4
x2J(x1)∆(x1 − x2)J(x2). (170)
De forma que, voltando `a express˜ao (152), temos que
Z0[J] = Dφ (x)e
i
2
d4x φ (x)(−∂2−(m2−i 2))φ (x)
e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
= Z0[J = 0]e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
. (171)
Note que Z0[0] ´e uma constante independente da fonte externa J(x) apli-
cada.
A express˜ao da fun¸c˜ao de Green de n pontos ´e dada por (150)
G(n)
(x1, . . . , xn) = Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn) 1 + (−
iλ
4!
) d4
y1φ4
(y1) +
+
1
2!
(
−iλ
4!
)2
d4
y1d4
y2 φ4
(y1)φ4
(y2) +
+
1
3!
(
−iλ
4!
)3
d4
y1d4
y2d4
y3 φ4
(y1)φ4
(y2)φ4
(y3) +
+ . . . × ei d4x[1
2
∂µφ∂µφ−1
2
m2φ2]
, (172)
cujos termos podem ser obtidos atrav´es das derivadas funcionais de (171) em
rela¸c˜ao a J(x) e calculadas para as correntes externas nulas (J(x) = 0).
Para conhecer as derivadas funcionais do funcional:
e− i
2
dx1dx2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
,em rela¸c˜ao a corrente J(x). A partir da defini¸c˜ao
de derivada funcional (55), temos que,
δ
δJ(y)
e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
=
= lim →0
1
e− i
2
d4x1d4x2[J(x1)+ δ(x1−y)]∆(x1−x2)[J(x2)+ δ(x2−y)]
−
−e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
=
= lim →0
1
e− i
2
d4x1d4x2∆(x1−x2)[J(x1)J(x2)+ δ(x1−y)J(x2)+ δ(x2−y)J(x1)+O( 2)]
−
51
52. −e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
=
= lim →0e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
×
×
e− i
2
d4x1J(x1)∆(y−x1)− i
2
d4x2J(x2)∆(y−x2)+O( 2)
− 1
=
= −i d4
x∆(y − x)J(x)e− i
2
d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
,
onde usamos que a fun¸c˜ao ∆(x1 − x2) ´e par. Assim,
δ
δJ(y)
e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
=
= −i dx ∆(y − x)J(x)e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
.
A derivada funcional de segunda ordem deste funcional ´e:
δ2
δJ(y)δJ(z)
e− i
2
d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
=
= −i∆(y − z)e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
+
+(−i)2
d4
x1d4
x2 ∆(y − x1)∆(z − x2)J(x1)J(x2) ×
×e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
. (173)
Para vermos como isso tudo funciona, consideremos o caso da fun¸c˜ao de
Green n = 2. Ent˜ao,
G(2)
(x1, x2) = Dφ(x) φ(x1)φ(x2)[1 −
iλ
4!
d4
y1φ4
(y1) + . . .] ×
×ei d4x [ 1
2
∂µφ∂µφ−1
2
(m2−i )φ2]
.
Note que temos no integrando uma expans˜ao em potˆencias de λ. Para
cada ordem de λ na expans˜ao temos potˆencias do termo dxφ4
(x). Neste
caso, no ponto x temos 4 operadores de campo, e estamos somando sobre
todas as poss´ıveis posi¸c˜oes x. Utilizamos gr´aficos para representar os termos
que aparecem ordem a ordem na expans˜ao da constante de acoplamento.
52
53. Usamos a representa¸c˜ao gr´afica abaixo para um v´ertice no ponto espa¸co-
temporal x, de onde saem quatro pernas para representar que temos quatro
campos escalares com argumento x:
X1
X1
V´ertice da teoria λφ4
.
Al´em disso, vemos da express˜ao (151) para Z0[J] que os termos de G(2)
(x1, x2)
podem ser escritos como derivadas funcionais deste funcional, ou seja,
G(2)
(x1, x2) =
1
i2
δ2
Z0[J]
δJ(x1)δJ(x2)
|J=0 −
iλ
4!
1
i6
d4
x
δ6
Z0[J]
δJ(x1)δJ(x2)δ4J(x)
|J=0 + . . . .
Substituindo Z0[J] pela sua express˜ao (171), a fun¸c˜ao de Green G(2)
(x1, x2)
´e escrita como:
G(2)
(x1, x2)
Z0[0]
=
1
i2
δ2
δJ(x1)δJ(x2)
|J=0 −
iλ
4!
1
i6
d4
x
δ6
δJ(x1)δJ(x2)δ4J(x)
|J=0 +
+ . . . × e− i
2
d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
. (174)
O primeiro termo do l. d. da eq.(174) foi calculado explicitamente na
eq.(173), e vimos que resulta: −i∆(x1 − x2).
XX2X1X1
Representa¸c˜ao gr´afica de −i∆(x1 − x2)
53
54. Este ´e o termo de ordem λ0
, e portanto, n˜ao h´a qualquer v´ertice. O se-
gundo termo do l. d. da eq.(174) ´e obtido calculando-se explicitamente as
derivadas funcionais, ou reconhecendo que os termos obtidos da derivada fun-
cional apresentam todos os poss´ıveis gr´aficos que obtemos ligando os pontos
x1, x2 e x, e que da posi¸c˜ao x saem 4 linhas.
X 1
X X 2
(a)
X 1
X
X 2
(b)
Gr´aficos referentes a (a) (−i)2
d4
x∆(x1 − x)∆(x − x2)∆(x − x) e
(b) ∆(x1 − x2) d4
x∆2
(x − x)
Como nas posi¸c˜oes x1 e x2 temos apenas um campo, de cada um desses
pontos parte apenas uma linha. No caso de λφ4
(x), temos v´arios campos
idˆenticos na mesma posi¸c˜ao x, e, para as derivadas funcionais, as li-
nhas que saem de x s˜ao distintas. Logo, cada gr´afico ´e multiplicado por
uma constante, chamada fator de simetria, que varia de gr´afico para gr´afico.
Quando multiplicamos as express˜oes associadas aos gr´aficos pelos fatores de
simetria, fazemos uma rela¸c˜ao um a um entre os gr´aficos e os termos na
expans˜ao de ordem λ nas fun¸c˜oes de Green de n pontos. Assim,
G(2)
(x1, x2)
Z0[0]
=
XX2
XX11
XX XX2
X1
X1
XX
X1X1 XX2
+ N1
+ N2
(c)(b)(a) (175)
54
55. onde N1 e N2 s˜ao os fatores de simetria. Os gr´aficos (a) e (b) s˜ao chama-
dos de gr´aficos conexos, e o gr´afico (c) ´e denominado de gr´afico desconexo.
Al´em disso, como o gr´afico (c) tem linhas que se fecham sobre si mesmas,
sem estarem ligadas a pontos externos, estes gr´aficos s˜ao bolhas de flutua¸c˜ao
de v´acuo. Os gr´aficos que envolvem bolhas de flutua¸c˜ao de v´acuo n˜ao con-
tribuem para as fun¸c˜oes de Green, pois s˜ao normalizadas de forma a cancelar
a contribui¸c˜ao das bolhas de v´acuo. Para termos uma id´eia de como eles se
cancelam, vamos definir a fun¸c˜ao geratriz dos gr´aficos conexos e desconexos
Z[J]:
Z[J] = Dφ(x) ei d4x [1
2
∂µφ∂µφ−1
2
(m2−i )φ2− λ
4!
φ4]+i d4xJ(x)φ(x)
. (176)
Notemos que
Z[0] = Dφ(x) ei d4x[1
2
∂µφ∂µφ−1
2
(m2−i )φ2− λ
4!
φ4]
=
= Dφ(x) 1 + (−i
λ
4!
) d4
x φ4
(x) +
1
2!
(
−iλ
4!
)2
d4
x1d4
x2 φ4
(x1)φ4
(x2)+
+ . . . × ei d4x[ 1
2
∂µφ∂µφ−1
2
(m2−i )φ2]
,
que representam os gr´aficos sem pernas externas, pois todos os pontos xi
est˜ao sendo integrados. A representa¸c˜ao gr´afica de Z[0] ´e:
Z[0] = Z0[0] ×
+ N3[x ]+ ...1 + 2N+ N1
+ N4
(177)
onde Nj s˜ao os fatores de simetria. Estes gr´aficos s˜ao divergentes.
Quando voltamos para a fun¸c˜ao de Green de n pontos, e tomamos o caso
particular n = 2, n˜ao ´e dif´ıcil ver que
55
56. G(2)
(x1, x2)
Z0[0]
=
2X
1n n2
n2XX
1n
2X
X1
X1
...
( XX
(
1 + + + ...)
)++ ...+1 +
+
(178)
e mostra-se que n1 = N1, n2 = N2, . . . , nj = Nj, . . ., de forma que esses
termos divergentes desaparecem, e tomamos a quantidade
G(2)
(x1, x2)
Z[0]
=
+1X1 XX2 2
XX11
XX
N1
X
2
XX11
XX
N2+ +...
+X
(179)
A express˜ao (179) ´e chamada de propagador vestido.
Consideremos agora a fun¸c˜ao de Green de 4 pontos. Representamos grafi-
camente o que obtemos atrav´es de derivadas funcionais com rela¸c˜ao a J(x).
Ent˜ao,
G(4)
(x1, x2, x3, x4)
Z[0]
=
56
57. +
X1 X2
X4
X3
X1 X2
X4
X3
X1 X2
X4
X3
X1 X2
X4
X3
X
M1
X1 X2
X4
X3
+M2
X1 X2
X4
X3
+ ...3
M
+ ++ +
(180)
onde M1, M2, · · · s˜ao os fatores de simetria de cada gr´afico na expans˜ao.
Note que, na fun¸c˜ao de Green G(4)
Z[0]
, temos gr´aficos conexos e desconexos.
Para eliminar os gr´aficos de auto-energia (flutua¸c˜ao do v´acuo) e n˜ao ter-
mos que escrever sempre a constante Z[0], redefinimos a fun¸c˜ao de Green de
n pontos (134) como sendo:
G(n)
(x1, . . . , xn) ≡
Dφ(x) φ(x1) . . . φ(xn)ei d4x L
Dφ(x) ei d4x L
. (181)
No modelo λφ4
que temos considerado explicitamente, a densidade de
lagrangeana ´e dada pela eq.(147),
L =
1
2
∂µφ∂µ
φ −
1
2
m2
φ2
−
λ
4!
φ4
. (182)
Podemos reescrever a fun¸c˜ao geratriz Z[J] como uma s´erie de Taylor
funcional em termos da corrente externa J(x). Os coeficientes da s´erie de
Taylor funcional s˜ao as fun¸c˜oes de Green, ou seja,
Z[J] = Z[0] 1 +
∞
n=1
in
n!
d4
x1 . . . d4
xnG(n)
(x1, . . . , xn)J(x1) . . . J(xn) ,
(183)
onde as fun¸c˜oes de Green envolvidas incluem gr´aficos conexos e desconexos.
57
58. No entanto, ´e poss´ıvel definir o funcional W[J] tal que ele seja a fun¸c˜ao
geratriz das fun¸c˜oes de Green de n pontos que s´o envolvem gr´aficos conexos.
Seja
Z[J] = eiW[J]
. (184)
Neste caso, usando a s´erie de Taylor para o funcional W[J], temos que
W[J] = W[0] +
∞
n=1
in
n!
d4
x1 . . . d4
xn G(n)
c (x1, . . . , xn)J(x1) . . . J(xn), (185)
onde
in
G(n)
c (x1, . . . , xn) =
δn
W[J]
δJ(x1) . . . δJ(xn)
|J=0. (186)
Pela igualdade (184), temos que
G(n)
c (x1, . . . , xn) =
1
in+1
δn
lnZ[J]
δJ(x1) . . . δJ(xn)
|J=0. (187)
Para vermos que para as novas fun¸c˜oes de Green contribuem apenas os
gr´aficos conexos, consideremos o caso particular de n = 2. Ent˜ao,
i2+1
G(2)
c (x1, x2) =
δ2
lnZ[J]
δJ(x1)δJ(x2)
|J=0 =
δ
δJ(x1)
1
Z[J]
δZ[J]
δJ(x2)
|J=0 =
= −
1
Z[J]2
δZ[J]
δJ(x1)
δZ[J]
δJ(x2)
|J=0 +
1
Z[J]
δ2
Z[J]
δJ(x1)δJ(x2)
|J=0.
Portanto,
G(2)
c (x1, x2) = G(2)
(x1, x2) − G(1)
(x1)G(1)
(x2).
A fun¸c˜ao de Green G(1)
(x) ´e igual ao valor m´edio do campo escalar no
v´acuo. Como estamos considerando o caso em que m > 0 e λ > 0, ent˜ao
58
59. o m´ınimo do potencial V (φ) = λ
4!
φ4
+ m2
2
φ2
´e em φ(x) = 0. De forma que:
G(1)
(x1) = G(1)
(x2) = 0.
Usando m´etodo de recorrˆencia, ´e poss´ıvel mostrar que,
G(n)
c (x1, . . . , xn) = G(n)
(x1, . . . , xn) −
<φ(x1)...φ(xn)>
< φ . . . >c . . . < φ . . . >c,
(188)
onde a soma ´e sobre todas as poss´ıveis parti¸c˜oes de φ(x1) . . . φ(xn) em sub-
conjuntos. Desta forma, s´o restam em G(n)
c os gr´aficos conexos, ou seja
G(2)
c (x1, x2) =
++ N1 N2 + ...
(189)
G(4)
(x1, x2, x3, x4) =
X1 X2
X4
X3
X
+
X1 X2
X4
X3
+ ...
M1
(190)
Um gr´afico poss´ıvel para G(2)
c ´e
X1
X2
Y2Y1 (191)
que ´e um gr´afico conexo; por´em se cortarmos a linha que liga os pontos y1
e y2, ele se quebra em dois outros gr´aficos poss´ıveis. Este tipo de gr´afico ´e
dito redut´ıvel.
O funcional W[J] ´e denominado de geratriz das fun¸c˜oes de Green conexas.
59
60. 5 Fun¸c˜oes de V´ertice, ou Gr´aficos 1PI (One
Particle Irreducible)
Referˆencias:
• Mark S. Swanson, Path Integrals and Quantum Processes, Academic
Press Inc. (1992), section 8.1.
• C. Nash, Relativistic Quantum Fields, Academic Press (1978), cap. 1.
• Daniel J. Amit, Field Theory, the Renormalization Group and Critical
Phenomena, McGraw-Hill (1978).
Come¸camos a estudar as fun¸c˜oes de Green atrav´es de Z[J] que d´a a
amplitude de transi¸c˜ao v´acuo-a-v´acuo na presen¸ca de uma corrente J(x). As
fun¸c˜oes de Green normalizadas (eq.(181)),
in
G(n)
(x1, . . . , xn) =
1
Z[0]
δn
Z[J]
δJ(x1) . . . δJ(xn)
|J=0, (192)
incluem contribui¸c˜ao dos gr´aficos conexos e desconexos. Para nos livrarmos
da parte n˜ao conexa das fun¸c˜oes de Green (192), definimos a transforma¸c˜ao
(184), ou seja,
Z[J] = eiW[J]
⇒ W[J] = −ilnZ[J]. (193)
As fun¸c˜oes de Green associadas ao funcional gerador W[J] s˜ao (eq.(187)):
in+1
G(n)
c (x1, . . . , xn) =
δn
W[J]
δJ(x1) . . . δJ(xn)
|J=0. (194)
Os gr´aficos associados a G(n)
c s˜ao todos conexos. Uma coisa interessante de
se notar ´e que G(1)
(x1) = G(1)
c (x1), isto ´e,
G(1)
(x1) =
1
i
1
Z[0]
δZ[J]
δJ(x1)
|J=0 (195)
e
60
61. G(1)
c (x1) =
1
i
1
Z[J]
δZ[J]
δJ(x1)
|J=0 =
1
i
1
Z[0]
δZ[J]
δJ(x1)
|J=0. (196)
Devemos lembrar que
G(1)
(x1) =
1
i
1
Z[0]
Dφ(x) φ(x1) ei d4x L
φ(x1)
=
1
Z[0]
0|φ(x1)|0 = G(1)
c (x1), (197)
onde 0|φ(x1)|0 ´e a configura¸c˜ao m´edia do campo escalar no estado funda-
mental do sistema para J(x) = 0.
Vejamos a representa¸c˜ao gr´afica das fun¸c˜oes de Green que contribuem
para W[J]. Tomemos, por exemplo, os seguintes gr´aficos, presentes em
G(2)
c (x1, x2):
(a) (b) (c) (198)
A diferen¸ca entre os gr´aficos (a), (b) e (c) est´a em que, se cortarmos a linha
que liga as duas bolhas na figura (b), a figura se quebra em duas:
(199)
o que n˜ao acontece com as figuras (a) e (c). Se retirarmos qualquer uma
das retas dos gr´aficos (a) ou (c), o gr´afico resultante continua ainda sendo
um ´unico gr´afico conexo. Os gr´aficos (a) e (c) s˜ao chamados gr´aficos irre-
dut´ıveis, enquanto que o gr´afico (b) ´e denominado de gr´afico redut´ıvel.
A importˆancia dos gr´aficos irredut´ıveis est´a em que qualquer gr´afico re-
dut´ıvel pode ser obtido ligando propagadores da teoria livre a gr´aficos irre-
dut´ıveis. Por exemplo, temos:
61
62. , (200)
onde a bolha cheia representa a contribui¸c˜ao dos gr´aficos irredut´ıveis de dois
pontos em todas as ordens em teoria de perturba¸c˜ao, ou seja,
...= + + +( )
-1
(201)
Nos gr´aficos irredut´ıveis amputamos os propagadores externos, que no espa¸co
dos momentos tˆem a representa¸c˜ao gr´afica :
1
p2 − (m2 − i )
=
p
=⇒ p2
− (m2
− i ) = (
p
)−1
(202)
Definimos a transformada de Legendre do funcional gerador W[J] e que-
remos mostrar que esta transformada de Legendre ´e o funcional gerador dos
gr´aficos irredut´ıveis. Seja o funcional Γ[¯φ] definido como,
Γ[¯φ] = W[J] − d4
y J(y)¯φ(y), (203)
onde
¯φ(x) =
δW[J]
δJ(x)
= G(1)
c (x), (204)
ou seja, pela eq.(197) temos que ¯φ(x) = 0|φ(x1)|0 J , sendo |0 o vetor de
estado do v´acuo do sistema na presen¸ca de uma fonte externa J(x). A
62
63. transformada de Legendre (203) ´e cont´ınua, pois envolve parˆametros cujos
´ındices variam continuamente (J(x)). O gerador Γ[¯φ] ´e um funcional de ¯φ(x)
e n˜ao depende explicitamente de J(x). Calculemos a varia¸c˜ao funcional de
Γ[¯φ] em termos de ¯φ, ou seja,
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x)
=
δW[J]
δ ¯φ(x)
− d4
y
δJ(y)
δ ¯φ(x)
¯φ(y) − J(x). (205)
Por´em, usando a regra da cadeia para derivadas funcionais (eq.(67)), temos
que
δW[J]
δ ¯φ(x)
= d4
y
δW[J]
δJ(y)
δJ(y)
δ ¯φ(x)
⇒
δW[J]
δ ¯φ(x)
= d4
y ¯φ(y)
δJ(y)
δ ¯φ(x)
. (206)
Substituindo o resultado (206) na express˜ao (205), encontramos que
δΓ[¯φ]
δ ¯φ(x)
= −J(x). (207)
Resumindo, a transformada de Legendre (203), ´e definida como:
Γ[¯φ] = W[J] − d4
y J(y)¯φ(y), (208)
sendo que
¯φ(x) =
δW[J]
δJ(x)
e J(x) = −
δΓ[¯φ]
δ ¯φ(x)
. (209)
O funcional Γ[¯φ] ´e conhecido como a a¸c˜ao efetiva do sistema. Para en-
tendermos o porque do nome, vamos calcular exatamente este funcional na
´unica teoria em que podemos fazˆe-lo exatamente: a teoria livre.
Obtivemos anteriormente (eq. (171)) que:
Z0[J] = Z0[0]e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
. (210)
Da rela¸c˜ao (193) temos que
63
64. Z0[J] = eiW0[J]
. (211)
Calculando o logaritmo da express˜ao (211), obtemos:
W0[J] = −ilnZ0[0] −
1
2
d4
x1d4
x2J(x1)∆(x1 − x2)J(x2).
Entretanto, para se obter Γ[¯φ] apenas em fun¸c˜ao de ¯φ(x) ´e necess´ario encon-
trar J = J(¯φ). No caso da teoria livre, sabemos tamb´em calcular exatamente
¯φ(x) na presen¸ca de uma fonte externa qualquer, ou seja,
¯φ(x) = 0|φ(x)|0 J =
1
iZ0[J]
δZ0[J]
δJ(x)
= −
i
Z0[J]
δ
δJ(x)
e− i
2
d4x1d4x2J(x1)∆(x1−x2)J(x2)
Z0[0]
= − d4
y∆(x − y)J(y)e− i
2
d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2) Z0[0]
Z0[J]
.
Mas, pela eq.(171) temos que
e− i
2
d4x1d4x2 J(x1)∆(x1−x2)J(x2) Z0[0]
Z0[J]
= 1. (212)
Portanto,
¯φ(x) = − d4
y∆(x − y)J(y). (213)
Entretanto, precisamos inverter a eq.(213) uma vez que precisamos de:
J = J(¯φ). Uma maneira de inverter a equa¸c˜ao acima ´e aplicar o operador
∂2
+ m2
a ¯φ(x), ou seja,
(∂2
+ m2
)¯φ(x) = − d4
y[(∂2
x + m2
)∆(x − y)]J(y), (214)
que usando o resultado do apˆendice III (eq.(278)), temos que
64
65. (∂2
+ m2
)¯φ(x) = J(x). (215)
Na eq.(215) temos J(x) como um funcional de ¯φ(x), como desejamos.
Para obtermos Γ0[¯φ], temos ent˜ao
Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] −
1
2
d4
x1d4
x2 J(x1)∆(x1 − x2)J(x2) −
− d4
y J(y)¯φ(y). (216)
Substituindo o resultado (215) na express˜ao (216), ficamos com
Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] −
−
1
2
d4
x1d4
x2 [(∂2
1 + m2
)¯φ(x1)]∆(x1 − x2)[(∂2
2 + m2
)¯φ(x2)] −
− d4
y [(∂2
y + m2
)¯φ(y)]¯φ(y). (217)
Integrando a eq.(217) por partes, e, usando o fato de que as fun¸c˜oes de ¯φ(x)
tendem a zero na fronteira da regi˜ao considerada, ent˜ao
d4
x1 [(∂2
1 + m2
)¯φ(x1)]∆(x1 − x2) =
= d4
x1 [(∂2
1 + m2
)∆(x1 − x2)]¯φ(x2)
= −¯φ(x2). (218)
Assim, voltando a eq. (216), ficamos com
Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] +
1
2
d4
x2
¯φ(x2)[(∂2
2 + m2
)¯φ(x2)] −
− d4
x2
¯φ(x2)(∂2
+ m2
)¯φ(x2) ⇒
⇒ Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] −
1
2
d4
x ¯φ(x)(∂2
+ m2
)¯φ(x). (219)
65
66. Integrando por partes o segundo termo do l.d. da eq. (219), encontramos
que
−
1
2
d4
x ¯φ(x)(∂2
+ m2
)¯φ(x) = −
1
2
d4
x [−∂µ
¯φ∂µ ¯φ + m2 ¯φ(x)]. (220)
Logo,
Γ0[¯φ] = −ilnZ0[0] + d4
x L(¯φ(x), ∂µ
¯φ(x)), (221)
onde
L(¯φ(x), ∂µ
¯φ(x)) =
1
2
∂µ
¯φ(x) ∂µ ¯φ(x) −
1
2
m2 ¯φ(x), (222)
que coincide com a densidade de lagrangeana (147) quando λ = 0. Vemos que
Γ0[¯φ] ´e, essencialmente, a a¸c˜ao do sistema, para a configura¸c˜ao de v´acuo ¯φ(x).
No caso geral em que temos intera¸c˜ao n˜ao ´e conhecida a express˜ao exata de
Γ[¯φ], mas ainda assim identificamo-la com a a¸c˜ao efetiva do sistema.
No caso geral, usamos m´etodos aproximados ou expans˜oes para obter a
express˜ao de Γ[¯φ]. Temos dois tipos de expans˜oes em ¯φ(x): uma ´e a expans˜ao
n˜ao local, com a qual estamos mais acostumados e aparecem as fun¸c˜oes de
v´ertice. A outra ´e a expans˜ao local, na qual aparece o potencial efetivo.
Da mesma maneira que Z[J] e W[J] s˜ao funcionais da corrente externa
J(x) e tˆem s´eries de Taylor funcionais associadas, tamb´em Γ[¯φ] ´e um funcional
de ¯φ(x), e tem associada a si uma s´erie de Taylor funcional. N˜ao discutire-
mos aqui o caso em que existe quebra espontˆanea de simetria (veja
o livro do Amit, p´ag. 91).
Temos ent˜ao a expans˜ao em torno da configura¸c˜ao de v´acuo da teoria,
quando J(x) = 0, ou seja,
¯φ(x) =
δW[J]
δJ
|J=0, (223)
66
67. ou,
δΓ[¯φ]
δ ¯φ(x)
= J(x) = 0. (224)
Como estamos trabalhando com teorias que por hip´otese n˜ao possuem quebra
espontˆanea de simeteria (no nosso caso, m2
> 0), ent˜ao,
¯φ(x) =
δW[J]
δJ
|J=0 = 0, (225)
e Γ[¯φ] pode ser escrita como uma expans˜ao n˜ao local da forma
Γ[¯φ] =
∞
n=0
1
n!
d4
x1 . . . d4
xn Γ(n)
(x1, . . . , xn) ¯φ(x1) . . . ¯φ(xn), (226)
onde ¯φ(x) = δW[J]
δJ(x)
para J(x) = 0.
As fun¸c˜oes Γ(n)
(x1, . . . , xn) s˜ao as chamadas fun¸c˜oes de v´ertice, ou,
fun¸c˜oes pr´oprias de v´ertice. A rela¸c˜ao entre Γ(n)
(x1, . . . , xn) e o funcional
gerador Γ[¯φ(x)] ´e:
Γ(n)
(x1, . . . , xn) =
δn
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x1) . . . δ ¯φ(xn)
|J=0. (227)
As derivadas funcionais s˜ao calculadas na configura¸c˜ao em que temos J(x) =
0. A situa¸c˜ao mais simples (que ´e a que estamos considerando), ´e aquela na
qual ¯φ(x; J = 0) = 0.
Formalmente, conhecemos Γ[¯φ] e as fun¸c˜oes pr´oprias Γ(n)
(x1, . . . , xn),
mas, na verdade, s´o ´e poss´ıvel obter estas quantidades aproximadamente.
Precisamos relacion´a-las `as express˜oes perturbativas que temos para G(n)
e
G(n)
c . Para tanto, usamos as rela¸c˜oes formais conhecidas (eqs.(208) e (209)):
Γ[¯φ] = W[J] − d4
y J(y)¯φ(y), (228)
67
68. e
¯φ(x) =
δW[J]
δJ(x)
, J(x) = −
δΓ[¯φ]
δ ¯φ(x)
. (229)
Assim,
δ2
W[J]
δJ(x)δJ(y)
=
δ ¯φ(x)
δJ(y)
, (230)
e
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(y)¯φ(z)
= −
δJ(y)
δ ¯φ(z)
. (231)
A partir das eqs.(230) e (231), decorre que
d4
y
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(y)δ ¯φ(z)
δ2
W[J]
δJ(x)δJ(y)
= − d4
y
δ ¯φ(x)
δJ(y)
δJ(y)
δ ¯φ(z)
= −
δ ¯φ(x)
δ ¯φ(z)
= −δ(x − z)
⇒ d4
y
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(y)δ ¯φ(z)
δ2
W[J]
δJ(x)δJ(y)
= −δ(x − z). (232)
Portanto, − δ2Γ[¯φ]
δ ¯φ(y)δ ¯φ(z)
´e o inverso de δ2W[J]
δJ(x)δJ(y)
, para qualquer que seja o valor
da corrente externa. Em particular, temos que δ2W[J]
δJ(x)δJ(y)
|J=0 = G(2)
c (x, y), que
´e a fun¸c˜ao de dois pontos conexa da teoria, tamb´em chamada de propagador
vestido. Como nesta fun¸c˜ao de dois pontos s´o temos gr´aficos conexos, ent˜ao
graficamente, podemos escrever, no espa¸co dos momenta:
G(2)
c =
...+++ (233)
68
69. Note que ´e a unidade fundamental, a partir da qual todos os outros
gr´aficos conexos podem ser obtidos. Ent˜ao,
1
[
1 -
1 + =...++ ]
= (234)
onde estamos supondo que o gr´afico no denominador do lado direito ´e menor
que um, para que a s´erie seja convergente. A figura nos d´a a representa¸c˜ao
gr´afica de G(2)
c . Dividindo por p
, temos que
G(2)
c =
-
1
( )
-1
(235)
Como no espa¸co dos momenta,
G(2)
c Γ(2)
= −1 ⇒ Γ(2)
=
− (p2
− m2
) (236)
Vemos que a Γ(2)
est˜ao associados os gr´aficos de dois pontos. Note que a
fun¸c˜ao de dois pontos irredut´ıvel n˜ao possui pernas externas, da´ı serem estas
fun¸c˜oes chamadas de fun¸c˜oes de Green amputadas.
Vejamos o que acontece com Γ(3)
. J´a vimos da eq. (232) que
d4
x
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x)δ ¯φ(z)
δ2
W[J]
δJ(x)δJ(y)
= −δ(y − z).
69
70. Derivando funcionalmente a express˜ao anterior com rela¸c˜ao a J(w) encon-
tramos
d4
x
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x)δ ¯φ(z)
δ3
W[J]
δJ(x)δJ(y)δJ(w)
+
+ d4
x
δ3
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x)δ ¯φ(z)δJ(w)
δ2
W[J]
δJ(x)δJ(y)
= 0 ⇒
⇒ d4
x
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x)δ ¯φ(z)
δ3
W[J]
δJ(x)δJ(y)δJ(w)
+
+ d4
x1d4
x2
δ3
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x1)δ ¯φ(z)δ ¯φ(x2)
δ ¯φ(x2)
δJ(w)
δ2
W[J]
δJ(x1)δJ(y)
= 0, (237)
com δ ¯φ(x2)
δJ(w)
= δ2W[J]
δJ(x2)δJ(w)
. Multiplicando cada um dos termos da eq.(237) por
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(y)δ ¯φ(X)
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(w)δ ¯φ(Y )
, (238)
e integrando sobre y e w, ficamos com
d4
xd4
yd4
w
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(y)δ ¯φ(X)
δ3
W[J]
δJ(x)δJ(y)δJ(w)
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x)δ ¯φ(z)
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(w)δ ¯φ(Y )
+
+ d4
x1d4
x2 d4
y
δ2
W[J]
δJ(x1)δJ(y)
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(y)δ ¯φ(X)
δ3
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x1)δ ¯φ(z)δ ¯φ(x2)
×
× d4
w
δ2
W[J]
δJ(x2)δJ(w)
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(w)δ ¯φ(Y )
= 0. (239)
Os termos entre colchetes resultam, respectivamente, em −δ(x1−X) e −δ(Y −
x2). Portanto,
Γ(3)
(X, Y, t) ≡
δ3
Γ[¯φ]
δ ¯φ(X)δ ¯φ(z)δ ¯φ(Y )
=
= − d4
xd4
yd4
w
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(y)δ ¯φ(X)
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(w)δ ¯φ(Y )
δ3
W[J]
δJ(x)δJ(y)δJ(w)
δ2
Γ[¯φ]
δ ¯φ(x)δ ¯φ(z)
.
(240)
70
71. Ent˜ao, como δ2Γ
δ ¯φ(x1)δ ¯φ(x2)
´e o inverso do propagador, a fun¸c˜ao de v´ertice
Γ(3)
´e a fun¸c˜ao de Green conexa amputada do propagador vestido nas pernas
externas. Diagramaticamente,
Γ
(3)
W =
(241)
De forma que Γ(3)
´e a soma dos gr´aficos de 3 pontos irredut´ıveis. Assim,
generalizando para qualquer n, Γ(n)
´e igual `a soma dos gr´aficos irredut´ıveis
amputados com n pontos externos.
Finalmente, vejamos a expans˜ao local do funcional gerador dos gr´aficos
1PI. Fazemos uma expans˜ao de Γ[¯φ(x)] em torno de uma configura¸c˜ao espe-
c´ıfica ¯φ(x):
−Γ[¯φ] = dx V (¯φ(x)) +
1
2
dx Z(¯φ(x))(∂ ¯φ(x))2
+ . . . , (242)
onde V e Z s˜ao fun¸c˜oes ordin´arias de ¯φ(x), e apenas de ¯φ(x), nunca de
suas derivadas. V (¯φ) ´e chamado de potencial efetivo do sistema. Quando a
configura¸c˜ao m´edia ´e independente da posi¸c˜ao, ¯φ(x) = ¯φ = cte,
−Γ[¯φ] = V (¯φ)Ω, (243)
onde Ω = d4
x. ´E importante ressaltar que, uma vez que sabemos a de-
pendˆencia funcional de V com ¯φ = cte., sabemos que essa dependˆencia ´e
v´alida para qualquer ¯φ(x), pois V n˜ao envolve derivadas de ¯φ(x).
O potencial efetivo ´e dado pela soma das fun¸c˜oes irredut´ıveis com mo-
mentum externo nulo. Par vermos isto, consideramos o funcional da a¸c˜ao
efetiva do modelo λφ4
na ausˆencia de quebra espontˆanea de simetria,
71
74. Vamos considerar cada integral em separado:
a)
d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) ×
×ei(p1x1+...+pnxn)
δ(p1 − (−p2 − . . . − pn)) =
= d4
x1 . . . d4
xn
¯φ(x1) . . . ¯φ(xn)δ(x2 − x1)δ(x3 − x1) . . . δ(xn − x1)
= d4
x1
¯φn
(x1).
b)
d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
¯φ(x1) . . . ¯φ(xn) ×
×ei(p1x1+...+pnxn)
δ(p1 + . . . + pn)pi =
d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
δ(p1 + . . . + pn)
∂
∂xi
ei(p1x1+...+pnxn)
×
ׯφ(x1) . . . ¯φ(xi) . . . ¯φ(xn).
Mas,
∂
∂xi
[ei(p1x1+...+pnxn) ¯φ(x1) . . . ¯φ(xi) . . . ¯φ(xn)] =
=
∂ei(p1x1+...+pnxn)
∂xi
¯φ(x1) . . . ¯φ(xi) . . . ¯φ(xn) +
+ei(p1x1+...+pnxn) ¯φ(x1) . . .
∂ ¯φ(xi)
∂xi
. . . ¯φ(xn). (251)
O termo do l.e. da eq.(251) ´e um termo de superf´ıcie, e, supondo que ϕc(x)
v´a a zero para x → ∞, este n˜ao contribui para a integral (b). Sendo assim,
a integral (b) fica
74
75. d4
x1 . . . d4
xn d4
p1
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
δ(p1 + . . . + pn)ei(p1x1+...+pnxn)
×
ׯφ(x1) . . .
∂ ¯φ(xi)
∂xi
. . . ¯φ(xn) =
= − d4
x1 . . . d4
xn
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
eip2(x2−x1)
eip3(x3−x1)
. . . eipn(xn−x1)
×
ׯφ(x1) . . .
∂ ¯φ(xi)
∂xi
. . . ¯φ(xn)
= − d4
x1
¯φn−1
(x1)
∂ ¯φ(x1)
∂x1
.
Assim,
d4
x1 . . . d4
xn
d4
p2
(2π)4
. . .
d4
pn
(2π)4
piδ(p1 + . . . + pn) ×
ׯφ(x1) . . . ¯φ(xn) ei(p1x1+...+pnxn)
=
= − d4
x1
¯φn−1
(x1)
∂ ¯φ(x1)
∂x1
.
Voltando `a express˜ao (244) temos
Γ[¯φ] =
∞
n=0
˜Γ(n)
(0, . . . , 0)
(n)!
d4
x1
¯φn
(x1) −
−
∞
n=0
1
(n)!
∂˜Γ(n)
∂pi
|{0} d4
x1
¯φn−1
(x1)
∂ ¯φ(x1)
∂x1
+ . . . . (252)
A primeira derivada de ˜Γ ´e nula, pelo menos no caso em que n˜ao h´a quebra
espontˆanea de simetria. Entretanto, a forma na qual as derivadas superi-
ores dos campos aparecem nesta express˜ao ´e a mesma que obtivemos para a
primeira derivada.
75
76. 6 Apˆendice I: M´etrica
O produto escalar no espa¸co de Minkowski em 4-dimens˜oes espa¸co-temporal
´e definido como:
a · b = aµbµ
= gµν
aµbν, µ, ν = 0, 1, 2, 3, (253)
onde o tensor m´etrico gµν
´e escolhido como:
gµν = gµν
=
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
. (254)
Para escrever a m´etrica de forma suscinta, usamos a nota¸c˜ao:
gµν = diag(1, −1, −1, −1). Na eq.(253) usamos a conven¸c˜ao de soma impl´ıcita
em que somamos sobre ´ındices repetidos. Continuaremos a usar esta con-
ven¸c˜ao nestas notas.
Os vetores contra-variantes s˜ao definidos como:
xµ
= (t, x), (255)
enquanto que os vetores covariantes s˜ao definidos como:
xµ = (t, −x), (256)
Relacionamos os vetores contra-variantes e covariantes atrav´es do tensor
m´etrico:
xµ = gµνxν
e xµ
= gµν
xν. (257)
Os 4-vetores diferenciais s˜ao definidos como:
∂
∂xµ
≡ ∂µ = (
∂
∂t
, ), (258)
76
77. e
∂
∂xµ
≡ ∂µ
= (
∂
∂t
, − ). (259)
A rela¸c˜ao (257) entre os vetores covariante e contra-variante continua
v´alida para o 4-vetores diferenciais,
∂µ = gµν∂ν
e ∂µ
= gµν
∂ν. (260)
O operador diferencial d’Alambertiano ´e um escalar de Lorentz:
∂2
≡ ∂µ∂µ
=
∂2
∂t2
− 2
= . (261)
7 Apˆendice II: Prolegomena de Mecˆanica
Est´ıstica
Seja {|n }, o conjunto de auto-vetores da hamiltoniana H, que descreve o
sistema quˆantico,
H|n = En|n , (262)
onde En s˜ao os autovalores correspondentes. Os estados |n s˜ao escolhidos
ortonormais,
n|m = δnm. (263)
Assumimos que os autoestados da hamiltoniana H formam uma base com-
pleta, de forma que satisfazem a rela¸c˜ao de completeza,
77
78. |n
|n n| = 1l. (264)
Qualquer operador quˆantico ˆO, pode ser escrito como:
ˆO = 1l ˆO1l =
n,m
|n n| ˆO|m m|. (265)
Definimos os elementos da representa¸c˜ao matricial do operador ˆO na base
dos auto-vetores da hamiltoniana como:
onm ≡ n| ˆO|m . (266)
O valor m´edio da quantidade f´ısica associada ao operador ˆO, em qualquer
auto-estado da energia, ´e:
l| ˆO|l =
n,m
l|n n| ˆO|m m|l = oll. (267)
que d´a os elementos da diagonal da respresenta¸c˜ao matricial de ˆO na base
dos vetores de estado com energia definida.
Quando o sistema quˆantico est´a em equil´ıbrio termodinˆamico, a proba-
bilidade dele ser encontrado no estado |n , que ´e auto-estado de energia com
autovalor En, ´e:
Pn =
e−βEn
n e−βEn
, (268)
de forma que a m´edia estat´ıstica e quˆantica ´e igual a:
ˆO T =
onne−βEn
n e−βEn
=
1
Z n
n| ˆO|n e−βEn
78
79. =
1
Z n,m
n| ˆO|m m|e−βH
|n =
1
Z n
n| ˆOe−βH
|n
=
Tr[ ˆOe−βH
]
Tr[e−βH]
. (269)
Portanto, a m´edia est´ıstica e quˆantica, de qualquer operador quˆantico ´e:
ˆO T =
Tr[ ˆOe−βH
]
Tr[e−βH]
. (270)
8 Apˆendice III: Fun¸c˜ao de Green da Teoria
Livre
O propagador da teoria livre ´e dado por
∆(x2 − x1) =
1
(2π)2
d4
p
1
(2π)2
e−ip(x2−x1)
p2 − (m2 − i )
, (271)
onde estamos usando a conven¸c˜ao: px ≡ pµxµ
.
Queremos mostrar que ∆(x2 − x1) ´e a fun¸c˜ao de Green da teoria livre.
Para isso, consideremos a equa¸c˜ao de movimento do campo livre.
A densidade de Lagrangeana da teoria livre ´e:
L =
1
2
∂µφ∂µ
φ −
1
2
m2
φ2
. (272)
A equa¸c˜ao de Euler-Lagrange ´e ent˜ao
∂L
∂φ
− ∂µ(
∂L
∂(∂µφ)
) = 0 ⇒ ∂µ∂µ
φ + m2
φ2
= 0. (273)
Definindo ∂2
≡ ∂µ∂µ
, a equa¸c˜ao cl´assica fica:
∂2
φ + m2
φ = 0. (274)
79
80. Aplicamos o operador ∂2
+ m2
`a fun¸c˜ao ∆(x2 − x1):
(∂2
1 + m2
)∆(x2 − x1) =
1
(2π)2
d4
p
1
(2π)2
(
∂2
∂t2
1
− 2
1 + m2
)
e−ip(x2−x1)
p2 − (m2 − i )
,
(275)
onde p2
= p2
0 − p 2
. Ent˜ao,
(
∂2
∂t2
1
− 2
1)e−ip(x2−x1)
= (−p2
0 + p 2
)e−ip(x2−x1)
= −p2
e−ip(x2−x1)
. (276)
Assim,
(∂2
1 + m2
)∆(x2 − x1) =
1
(2π)4
d4
p
−p2
+ m2
p2 − (m2 − i )
e−ip(x2−x1)
= = −δ(x2 − x1). (277)
O i que aparece no denominador da express˜ao (277), n˜ao contribui, pois,
de uma maneira bastante heur´ıstica, vemos que o numerador e o denomi-
nador v˜ao a zero na mesma regi˜ao de momento e, portanto, o quociente dos
dois ´e finito.
Encontramos desta forma que ∆(x2 −x1) ´e a fun¸c˜ao de Green da equa¸c˜ao
de movimento cl´assica da teoria livre,
(∂2
+ m2
)∆(x2 − x1) = −δ(x2 − x1), (278)
e que a prescri¸c˜ao do i ´e utilizada para escolher as condi¸c˜oes de contorno
que da ∆(x1 − x2) deve satisfazer.
80