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Geometria

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Geometria

  1. 1. Problemas Clássicos da Geometria
  2. 2. Quais os problemas clássicos da Geometria??? <ul><li>Duplicação do cubo: </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Dado um cubo, construir outro cubo com o dobro do volume do anterior. </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Trissecção do ângulo: </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Dado um ângulo, construir um ângulo com um terço da amplitude. </li></ul>
  4. 4. <ul><li>  </li></ul><ul><li>  </li></ul>Quadratura do círculo:   Dado um círculo, construir um quadrado com a mesma área.
  5. 5. Problema da Duplicação do Cubo <ul><li>  </li></ul>A complexidade do problema deve-se ao facto dos gregos procurarem uma solução geométrica, usando régua (sem escala) e compasso. A solução desse problema é trivial com os recursos da Álgebra: procura-se a aresta (a) de um cubo cujo volume seja o dobro do volume de um cubo de a = 1 (V cubo = a 3 ):
  6. 6. Cálculo de a :    
  7. 7. Explicando... <ul><li>Ou seja: um cubo de aresta ³√2, tem o dobro do volume de um cubo cuja aresta seja 1 m. </li></ul><ul><li>Este problema trata-se de um problema de Geometria no espaço (enquanto que os outros são problemas de Geometria plana). </li></ul>
  8. 8. O que se pretende? <ul><li>O que se quer aqui é, dado um segmento de recta, que deve ser encarado como uma aresta de um cubo, construir com régua e compasso um segmento, tal que um cubo que tenha esse segmento como aresta tenha o dobro do volume do cubo inicial. Não é difícil ver que o comprimento deste último segmento deverá ser igual ao do segmento inicial multiplicado por ³√2. </li></ul>
  9. 9. Conclui-se que... <ul><li>Entretanto todas as soluções eram teóricas e nenhuma solução prática foi encontrada. </li></ul><ul><li>Apenas no séc. XIX , mais de 2000 anos depois da formulação do problema foi que se estabeleceu a impossibilidade da construção sob a limitação de usar apenas régua e compasso (instrumentos euclidianos). </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  10. 10. Problema da Trissecção do Ângulo <ul><li>Este problema consiste em dividir um ângulo apenas com régua não graduada e compasso, em três partes iguais. </li></ul><ul><li>Enquanto que não é possível duplicar um cubo ou quadrar um círculo, com régua não graduada e compasso, por mais especiais que sejam os valores da aresta do cubo ou do raio do círculo é, no entanto, possível trissectar ângulos de determinadas amplitudes. </li></ul>
  11. 11. Exemplificando... <ul><li>No caso de um ângulo recto é possível trissectá-lo com régua não graduada e compasso, recorrendo a um triângulo equilátero. </li></ul><ul><li>Se o ângulo for obtuso sempre é possível decompô-lo na soma de um ângulo recto com um ângulo agudo. Assim, para tentar resolver o problema da trissecção do ângulo basta considerar um ângulo agudo. </li></ul>
  12. 12. Mas... <ul><li>Alguns ângulos particulares, podem ser trissectados, recorrendo a uma régua não graduada e a um compasso, mas, no caso geral, é impossível dividir um ângulo em três partes iguais dessa forma, pois demonstra-se que a equação usada para resolver o problema é cúbica e tem a forma: </li></ul><ul><li>a 3 - 3a - 3b = 0. </li></ul>
  13. 13. Assim... <ul><li>Não é conhecida a origem deste problema, mas é provável que tenha surgido como extensão da bissecção de um ângulo, resolvida facilmente com régua não graduada e compasso, ou no seguimento da construção de polígonos regulares. </li></ul>
  14. 14. Voltando ao tempo dos Gregos... <ul><li>Na Grécia antiga sabia-se como bissectar qualquer ângulo com régua e compasso. O método era o seguinte: </li></ul>
  15. 16. <ul><li>Em termos de construção com régua e compasso, isto corresponde ao seguinte: </li></ul><ul><li>1. Construir uma circunferência centrada no vértice do ângulo; </li></ul><ul><li>2. Construir duas circunferências do mesmo raio centradas nos pontos de intersecção da circunferência anterior com os lados do ângulo; </li></ul><ul><li>3. As duas circunferências intersectam-se em dois pontos: no vértice do ângulo e num ponto C . A semi-recta com origem no vértice do ângulo e que passa por C divide o ângulo em dois ângulos com a mesma amplitude. </li></ul>
  16. 17. <ul><li>O problema que surge naturalmente após o da bissecção é o da trissecção. </li></ul><ul><li>Os gregos sabiam trissectar alguns ângulos (ângulos de 90°, por exemplo), mas não conheciam um método que funcionasse para todos. </li></ul><ul><li>Hoje em dia sabe-se que, por exemplo, um ângulo de 60° não pode ser trissectado usando apenas régua e compasso. Por outro lado, Arquimedes descobriu um processo de trissectar qualquer ângulo usando apenas régua graduada e compasso e, de facto, apenas basta, para isso, que a régua tenha dois pontos marcados.   </li></ul>
  17. 18. Eis a construção de Arquimedes:
  18. 19. Régua graduada com dois pontos marcados e compasso... <ul><li>1. Construir um ângulo AOB, com a mesma amplitude que o ângulo dado e tal que a distância de O a B seja igual à distância entre dois dos pontos marcados na régua; </li></ul><ul><li>2. Construir a circunferência de centro O e que passa por B ; </li></ul><ul><li>3. Colocar um dos pontos marcados na régua num ponto C da recta definida por O e por A , colocar o outro num ponto D da circunferência e ter a recta a passar por B . </li></ul><ul><li>Logo o ângulo ACB tem um terço da amplitude do ângulo AOB . </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  19. 20. Problema da Quadratura do Círculo
  20. 21. Qual o problema? <ul><li>Dado um círculo de raio r , a sua área é π . r 2 . </li></ul><ul><li>Pretende-se construir um quadrado, de lado x , com área igual. Assim, tem-se que, x 2 = π. r 2 </li></ul><ul><li>logo x=√ π.r . </li></ul>
  21. 22. <ul><li>Como π é um número transcendente, não pode ser expresso por meio de um número finito de operações racionais e raízes reais. Daqui resulta a impossibilidade da quadratura do círculo recorrendo apenas ao compasso e à régua não graduada. </li></ul>
  22. 23. Um pouco de História... <ul><li>O problema da quadratura do círculo é o mais antigo. Dado um círculo, pretende-se construir com régua não graduada e compasso o lado dum quadrado com área igual à desse círculo . A primeira referência deste problema encontra-se num texto do biógrafo Plutarco, onde relata que Anaxágoras de Clazomenes (500-428 a.C.), enquanto permaneceu na prisão (por ter dito que o Sol não era uma divindade) se entretinha a tentar descobrir a relação definitiva entre o círculo e o quadrado. </li></ul>
  23. 24. ... <ul><li>Como o problema da quadratura do círculo está intimamente ligado à história do cálculo do número π, os geómetras gregos, no período helénico, reexaminaram o tema da medição do círculo e, foi Arquimedes de Siracusa o primeiro a obter uma aproximação rigorosa para o valor de π, pelo que reduziu a quadratura do círculo ao problema da rectificação da circunferência . </li></ul><ul><li>Duas soluções para a rectificação da circunferência são: a quadratiz de Dinóstrato e a espiral de Arquimedes.   </li></ul>
  24. 25. Finalizando...   <ul><li>Assim o problema da quadratura do círculo reduz-se à construção, com régua não graduada e compasso, de um segmento igual ao perímetro de um círculo de raio dado, isto é, reduz-se ao problema da rectificação de uma circunferência. Se fosse possível construir um segmento com um determinado comprimento, o problema estaria resolvido. </li></ul>
  25. 26. Anexos <ul><li>As construções com régua e compasso: </li></ul><ul><li>Régua: </li></ul><ul><li>  Só pode ser usada para, dados dois pontos A e B , construir um segmento, tão longo quanto se queira, que contenha aqueles dois pontos; </li></ul><ul><li>  Compasso: </li></ul><ul><li>Só pode ser usado para, dados dois pontos A e B , construir a circunferência de centro A e que passa por B . </li></ul>
  26. 27. Conclusão <ul><li>Estes problemas estimularam o pensamento e as descobertas matemáticas ao longo de dois milénios, até se concluir que não podiam ser resolvidos utilizando apenas um compasso e uma régua não graduada. </li></ul><ul><li>Com efeito, só no século XIX viria a ser demonstrada a impossibilidade da resolução de qualquer dos três problemas nos termos estritos em que tinham sido enunciados, fruto do desenvolvimento da Álgebra. </li></ul>
  27. 28. Bibliografia <ul><li> Enciclopédia Ilustrada do Conhecimento Essencial; Selecções; </li></ul><ul><li> Enciclopédia Pedagógica Universal; História da Ciência e da Tecnologia I; Hiperlivro; </li></ul><ul><li> Internet: www.google.pt;www.portoeditora.pt; www.escolavirtual. </li></ul>

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