Tema 9 abatim. cambio plano,giros

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Abatimientos, cambios de plano y giros para 2º bachillerato

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Tema 9 abatim. cambio plano,giros

  1. 1. ABATIMIENTOS,CAMBIOS DE PLANOS Y GIROS• abatimientos• Cambios de plano• giros
  2. 2. ABATIMIENTOSAbatir un plano sobre otro fijo es hacercoincidir el primero con este al girarloalrededor de su recta de intersección. La rectade intersección, que se toma como eje de giro,se denomina charnela.En diédrico,- si se abate un plano α sobre el plano horizontal, lacharnela es su traza horizontal 1α , Si se abate sobre el plano vertical,la charnela es 2α . Hay que tener en cuenta que cuando hablamos deabatir un punto una recta, lo que en realidad abatimos es el planoque contiene el elemento que queremos abatir. Para efectuar el abatimiento de un punto que se encuentre en unplano, se tendrá en cuenta que dicho punto describe alrededor de lacharnela un arco de circunferencia situado en un plano bperpendicular a la charnela.
  3. 3. Ver siguienteVer siguienteEn diédrico: 1- Por a proyección horizontal A1del punto se trazan la paralela y laperpendicular a la charnela α 1.2- Sobre la paralela, y a partir de A1, se lleva una longitud A1A" igual ala cota c del punto.3- Con centro en A y radio AA" se describe un arco de circunferenciahasta cortar a la perpendicular en el punto A0.ABATIMIENTO SOBRE EL PLANO HORIZONTALDados el plano α y un punto A contenido en él.En el espacio:1- La proyección horizontal A1y el punto abatidoAose encuentran siempre en una rectaperpendicular a la charnela α 1.2- El radio del arco que describe el punto A esigual a la hipotenusa del triángulo rectángulo quese forma con el punto A, su proyección horizontalA1y el punto A de intersección de la charnela conla perpendicular trazada por A1.3- Se abate sobre el plano horizontal el triánguloAA1A en A "A1A; por tanto:
  4. 4. • Abatimiento de un punto sobre el horizontal1. Por la proyección horizontal A1 se traza la perpendicular a a12. Por la proyección horizontal A1 se traza la paralela a a13. Sobre la paralela se transporta la cota c del punto4. Con centro en A’ y radio A’A” se dibuja un arco hastacortar a la perpendicular primera en A0
  5. 5. ABATIMIENTO DE UNA RECTA CUALQUIERA.Para abatir una recta contenida en un plano bastaconabatir dos puntos cualesquiera de la misma. Dados la recta r y el plano α que la contiene :1- Se elige un punto arbitrario A(A1A2) de larecta r(r1r2) y se abate sobre el plano horizontalsiguiendo el proceso descrito anteriormente.2- Se une el punto abatido Aocon la trazahorizontal Hrde la recta que, por pertenecer a lacharnela, es un punto doble.En caso de no disponer de la traza horizontal Hr1se elige un segundo punto B(B1B2) de la recta yse abate de la misma manera que el punto A.Ver siguienteVer siguiente
  6. 6. ABATIMIENTO DE LAS TRAZAS DE UN PLANO La traza vertical de un plano es la recta de intersección del planocon el plano vertical de proyección; por tanto, es una recta más delmismo, susceptible de ser abatida como se ha explicadoanteriormente.Dado el plano α:1- Se elige un punto arbitrario A(A1A2) de la traza vertical α2delplano (los puntos pertenecientes a la traza vertical de un planotienen siempre su proyección horizontal A1en la línea de tierra).2- Por la proyección horizontal A1se traza la perpendicular a lacharnela α13- Con centro en el vértice O del plano y radio OA2, se describeun arco que corta a la perpendicular anterior en Ao1pues en elespacio se cumple que OA2= OA0.4- Se une el punto abatido Aocon el vértice del plano (trazahorizontal de la recta α2), obteniendo así α0, que es la traza verticaldel plano abatida.Al ángulo φ que forman las trazas α1y α0se le denomina amplituddel plano.Ver siguienteVer siguiente
  7. 7. Ver siguienteVer siguienteABATIMIENTO DE UNA FIGURA PLANA: DADAS LAS PROYECCIONES, HALLAR SUVERDADERA MAGNITUDMétodo de las rectas horizontalesEl abatimiento de las trazas de un plano permite abatir un punto por unprocedimiento más ágil que el descrito al principio. Esto resulta práctico cuando seabaten muchos puntos, como sucede al abatir una figura contenida en un plano. Eneste caso, se hacen pasar por los vértices de la flgura rectas horizontales del plano.Sea el plano α y la figura ABC:1- Por el punto A(A1A2) se traza la recta horizontal a.2- Se abate la traza vertical del plano en α0tal como se ha explicado en el apartadoanterior, tomando como punto auxiliar la traza vertical Va.3- Por Vose traza la recta abatida ao, paralela a α14- El punto abatido Aose halla donde se cortan α0y la perpendicular a α1trazada porA1 El resto de los puntos se abaten de la misma manera que el punto A, es decir, se tratade construir los siguientes rectángulos:1- Por B1se traza la paralela a α1hasta cortar a la línea de tierra.2- Por el punto de la línea de tierra se traza la perpendicular a α1hasta cortar a α03- Por el punto de α0se traza la paralela a α14- Por B1 se traza la perpendicular a α1hasta cortar a la paralela anterior en Bo.
  8. 8. • Abatimiento de una figura plana1. Por el punto A se traza la recta horizontal a2. Se abate la traza vertical de la recta en V03. Se abate la recta horizontal en a04. Se determina el punto A0 abatido5. Se realiza la misma operación con los demás vértices del polígono
  9. 9. DESABATIMIENTODADA LA FIGURA, HALLAR SUS PROYECCIONESSupongamos que se desean hallar las proyecciones de unhexágono regular contenido en un plano α y conociendo elcentro O del mismo. En primer lugar se abate el punto O en00y se dibuja, con centro en 00, el hexágono regular enverdadera magnitud; por último, se desabaten todos y cadauno de los vértices del hexágono.Sea un plano α y un punto O contenido en él:1- Se abate la traza vertical del plano en α0y el punto O0en00, tal como se ha explicado antes.2- Con centro en O0se dibuja el hexágono AoBoCoDoEoFoen la posición que se determine y con el radio dado.3- Para hallar la proyección horizontal A1de un punto, porejemplo, se traza la recta aoparalela a α1hasta cortar a α0,después se traza la perpendicular a α1hasta la línea detierra y por este punto la paralela a1a α1hasta cortar a laperpendicular trazada por Aoen A14- La proyección vertical A2se halla trazando primero laproyección vertical de la recta a: donde a1corta a la líneade tierra se traza la perpendicular a la misma hasta cortar aa2en Va, y desde aquí la paralela a2a la línea de tierra.Trazando desde Alla perpendicular hasta cortar a a2sedetermina A2.El resto de los puntos se desabaten de la misma manera.
  10. 10. CAMBIOS DE PLANO
  11. 11. El problema de los cambios de plano consiste en elegir uno delos dos planos de proyección y, sin dejar de ser perpendicularal otro, colocarlo en una posición distinta que sea másfavorable para resolver un ejercicio. Existen, por tanto, dostipos de cambios de plano: el cambio de plano vertical y elcambio de plano horizontal, según se cambie uno u otro.Cuando se efectúa un cambio de plano, todos los elementosproyectados o contenidos en él cambian de posición. Sinembargo, no cambian de posición los elementos del espacio, nilas proyecciones de estos sobre el otro plano de proyecciónque ha permanecido inmóvil.
  12. 12. Al cambiar el plano vertical cambia la posición de lalínea de tierra, que se distingue de la primitiva porque se representa con dos rayitaspor debajo de los extremos. Para indicar el tipo de cambio que se efectúa se colocaV en un extremo de la línea de tierra, para distinguirlo del cambio de planohorizontal que se verá luego. En el espacio :1 El punto P y su proyección P1sobre el plano horizontal permanecen en el mismolugar; su cota, pues, sigue siendo la misma.2 Al cambiar de posición el plano vertical, la proyección vertical P2desaparece dedonde está y pasa a estar en otro lugar que debemos hallar. En diédrico :1 La proyección horizontal primitiva P1coincide con la nueva proyección horizontalP12 Por la proyección horizontal P1se traza la perpendicular a la nueva línea de tierra;en ella se encontrará P23 Sobre la perpendicular trazada anteriormente, y a partir de la nueva línea de tierra,se transporta la cota c que hay desde P2a la línea de tierra primitiva, determinandoasí la nueva proyección vertical P2Cambio de plano verticalVer siguienteVer siguiente
  13. 13. • Cambios de plano: el punto (I)1. La nueva proyección horizontal P’1 coincide con la antigua P12. La nueva proyección vertical se encuentra en la perpendicular a la línea de tierra3. Sobre la perpendicular se traslada la cota c del puntoCambio de plano vertical
  14. 14. Al cambiar el plano horizontal cambia la posición de la línea de tierra, que tambiénse representa con dos rayitas por debajo de los extremos, indicando el tipo decambio H. En el espacio: El punto P y su proyección P2sobre el plano vertical permanecen en el mismolugar; su alejamiento, por tanto, sigue siendo el mismo. La proyección horizontal P1al desaparecer el plano horizontal, pasa a estar enotro lugar. En diédrico: La proyección vertical P2primitiva coincide con la nueva proyección vertical P‘2 Por la proyección vertical P2se traza la perpendicular a la nueva línea de tierra;en ella se va a encontrar P1 Sobre la perpendicular trazada anteriormente y a partir de la nueva línea de tierrase transporta el alejamiento a que hay desde P1a la primitiva línea de tierra,hallando así la nueva proyección horizontal P1Cambio de plano horizontalVer siguienteVer siguiente
  15. 15. • Cambios de plano: el punto (II)1. La nueva proyección vertical P’2 coincide con la antigua P22. La nueva proyección horizontal se encuentra en la perpendicular a la línea de tierra3. Sobre la perpendicular se traslada el alejamiento a del puntoCambio de plano horizontal
  16. 16. Dada la recta r y una nueva línea de tierra, en un cambio de planovertical :Se toman dos puntos A(A1A2) y B(B1B2) arbitrarios de la recta r.Por las proyecciones horizontales Aly B1se trazan lasperpendiculares a la nueva línea de tierra, hallando las nuevasproyecciones verticales A´2y B´2como se ha explicadoanteriormente.Uniendo las proyecciones A´2y B´2se halla la nueva proyecciónvertical r´2de la recta.PROYECCIONES DE UNA RECTA EN UN CAMBIO DE PLANOVer siguienteVer siguiente
  17. 17. • Cambios de plano: la rectaSe eligen dos puntos A y B arbitrariosde la recta rEn un cambio de plano vertical: Se determinan las nuevas proyeccionesA’2 y B’2 de los puntos. La nueva proyección r’2 de la recta esla que une A’2 y B’2
  18. 18.  Dada la recta r : Se coloca el plano verticalparalelo a la recta r; por tanto, lanueva línea de tierra se dibujaparalela a la proyecciónhorizontal r 1de la recta, sinimportar la distancia a la que secoloque. Se toman dos puntoscualesquiera de la recta r y seactúa como en el caso anterior.Uno de los dos puntos puede serla traza horizontal HrtaI comosucede en la figura.Convertir, por cambios de plano, una recta cualquiera en una recta frontal
  19. 19. En el caso de convertir una recta cualquiera en recta horizontal, secoloca el plano horizontal paralelo a la recta, de tal forma que la líneade tierra es, ahora, paralela a la proyección vertical de la recta.A continuación se toman dos puntos arbitrarios y se efectúa elcambio de plano horizontal.
  20. 20.  En un cambio de plano vertical , la traza horizontal α1del plano sigue siendo la misma, pero latraza vertical α2, es decir, la intersección del plano α con el nuevo plano vertical es otra; el nuevovértice O del plano está donde se corta la traza al con la nueva línea de tierra. Por otra parte, la recta de intersección de los dos planos verticales, V y V, se corta con la trazavertical α2en un punto M cuya proyección horizontal está donde se cortan ambas líneas de tierra;dicho punto M es un punto doble y por tanto pertenece a las dos trazas verticales α2Y ´α 2delplano.Dado el plano α (α1α2) y una nueva línea de tierra, en un cambio de plano vertical:Se toma el punto M de la traza vertical α2del plano, cuya proyección horizontal M1coincide conel punto de intersección de las dos líneas de tierra.Se hallan las nuevas proyecciones del punto M: por M1== M1se traza la perpendicular a lanueva línea de tierra y se transporta la cota del punto, hallando M2La nueva traza vertical ´α 2se halla al unir M2con el nuevo vértice O (donde α1se corta con lanueva línea de tierra). La traza horizontal ´α 1sigue siendo la misma que antes α1 En el caso de que las dos líneas de tierra no se corten:Se elige una recta horizontal r(r1r2) cualquiera.Se halla, mediante un punto cualquiera N(N1N2), lanueva proyección vertical r´2de la recta y se determina su nueva traza vertical Vr´Uniendo V´rcon el nuevo vértice O se obtiene ´α 2(en el caso de no disponer de O, se eligeotra recta horizontal y se halla su nueva traza vertical).Para resolver este segundo caso es un error elegir otro punto cualquiera de α2y cambiarlo.TRAZAS DE UN PLANO EN UN CAMBIO DE PLANOVer siguienteVer siguiente
  21. 21. • Cambios de plano: el planoEn un cambio de plano vertical: Se toma el punto M de a2 cuya proyección horizontal M1 está en laintersección de las dos líneas de tierra. Se determina la nueva proyección M’2 La traza α’2 es la que une M’2 con el nuevo vértice del plano O’Las rectas horizontales de α siguen siendo horizontales de α’
  22. 22. Dado el plano α: Se coloca el plano verticalperpendicular al plano α; portanto, la nueva línea de tierrase dibuja perpendicular a latraza horizontal α1del plano,sin importar la distancia a laque se coloque.Convertir un plano cualquiera en un planoproyectante Se actúa como en el casoanterior.
  23. 23. GIROS
  24. 24. A diferencia de los cambios de plano, en los giros son los elementosgeométricos los que se mueven, permaneciendo fijos los planos deproyección.Cuando un punto gira alrededor de una recta describe una circunferencia,cuyo plano es perpendicular a la recta, el centro es la intersección de larecta con el plano y el radio es la distancia del punto a la recta.A la recta alrededor de la que se gira se le denomina eje de giro. Los ejesque consideraremos van a ser perpendiculares a uno de los dos planos deproyección, es decir, los giros se realizarán alrededor de una recta vertical ode una recta de punta.Para girar un punto alrededor de un eje vertical se tendrá en cuenta :1- El punto describe alrededor del eje una circunferencia paralela al planohorizontal.2- La proyección horizontal de la circunferencia que describe el punto esuna circunferencia del mismo radio que la anterior, cuyo centro coincide conla proyección horizontal del eje, que es un punto.3- La proyección vertical de la circunferencia que describe el punto es unsegmento paralelo a la línea de tierra, cuya longitud es igual al diámetro dela circunferencia.Las mismas consideraciones pueden hacerse en un giro alrededor de un ejede punta.Ver siguienteVer siguiente
  25. 25. • Giro de un puntoGiro con eje vertical (perp. P.H.)1. El punto describe una circunferencia paralela al plano horizontal2. La proyección horizontal es otra circunferencia del mismo radio e1P13. La proyección vertical es una recta paralela a la línea de tierra
  26. 26. Giro de un punto alrededor de un eje perpendicular alplano vertical
  27. 27. Existen dos casos: que la recta corte al eje o que no la corte; vamos aestudiar, para no extendernos, el primer caso, por ser el más frecuente.Sea el eje e, perpendicular al plano horizontal, y la recta r, que corta al ejeen el punto A:1- Se elige un punto arbitrario B(B1B2) de la recta r.2- Se gira el punto B, alrededor del eje, un ángulo determinado, hastacolocarlo en su nueva posición B( B1B2)3- Se une el punto B con el punto A que, por pertenecer al eje, es unpunto doble, obteniendo la recta r; la proyección r1se obtiene al unir A1yB1, y r´2se halla uniendo A2y B2.Si el giro de la recta fuese alrededor de un eje perpendicular al planovertical, el proceso hubiera sido análogo.GIRO DE UNA RECTAVer siguienteVer siguiente
  28. 28. • Giro de una rectaGiro de eje vertical1. Se elige un punto arbitrario B de la recta2. Se gira el punto B alrededor del eje e3. Se une el punto B’ girado con el punto A mediante la recta girada r’Si en vez de elegir un punto cualquiera, se elige la traza Hr el resultado es el mismo
  29. 29. Es esta una de las aplicaciones más utilizadas de losgiros, pues al convertir una recta cualquiera en frontal sepueden tomar, en su proyección vertical, verdaderasmagnitudes; recuérdese que, en las rectas frontales, larecta es paralela a su proyección vertical.Sea una recta cualquiera:1- Se traza un eje e cualquiera, perpendicular al planohorizontal, que corte a la recta r; por tanto, la proyecciónhorizontal e1está en la proyección r1de la recta, y laproyección vertical e2es perpendicular a la línea de tierra.La intersección de r y e es el punto A(A1A2).2- Se elige un punto cualquiera B(B1B2) de la recta r.3- Haciendo centro en la proyección horizontal e1del ejey radio e1B1, se describe un arco de circunferencia, de talforma que B1 y A1 estén alineados según una paralela ala línea de tierra.4- Se halla la nueva proyección vertical B´2, trazandopor B2la paralela a la línea de tierra y por B1laperpendicular.5- Se une el punto B con A, que por pertenecer al ejees un punto doble, obteniendo la recta r´; la proyección r1se obtiene al unir A1y B1,y r´2se halla uniendo A2y B´2Convertir una recta cualquiera en una recta frontal
  30. 30. .Para convertir una recta cualquiera en recta horizontal, se elige un ejecualquiera que, cortando a la recta, sea perpendicular al plano vertical,girando a continuación la recta hasta que su proyección vertical seaparalela a la línea de tierra
  31. 31. 2- Se gira la traza horizontal α1: se elige el punto M de intersección de la trazaα1con la perpendicular trazada desde e1;a continuación se gira el punto M elángulo necesario hasta la posición M; y por último se traza por M laperpendicular α´1al segmento e1M, que corta a la línea de tierra en O.3- La nueva traza vertical α´2parte del nuevo vértice O del plano; para hallarotro punto de la nueva traza, se halla la traza vertical Vr´ de la recta horizontalr, que tiene su proyección horizontal r1paralela a α´1. Uniendo O y V´rseobtiene α´2GIRO DE UN PLANOVer siguienteVer siguienteSea el eje e, perpendicular al planohorizontal, y el plano α:1- Se halla el punto A de interseccióndel plano con el eje: se traza la rectahorizontal r de forma que r1pase por e1;A1coincide con e1y A2se encuentradonde se corta r2y e2.
  32. 32. • Giro de un planoGiro de eje vertical1. Se halla el punto A de intersección del eje con el plano α mediante la horizontal r2. Se gira la traza horizontal α1 mediante el punto M3. Se gira la recta horizontal r: r’1 es paralela a α’14. La traza vertical girada α’2 se halla uniendo O’ con Vr’
  33. 33. Convertir un plano cualquiera en un planoproyectante verticalSea un plano α cualquiera:1- Se traza un eje e cualquiera, perpendicular alplano horizontal.2- Se halla el punto A de intersección del plano conel eje mediante la recta horizontal r, cuya proyecciónr1pasa por e13- Se gira, tomando el punto M, la traza horizontalhasta colocarla perpendicular a la línea de tierra,siendo α´1la nueva traza horizontal del plano, quecorta a la línea de tierra en O.4- La nueva traza vertical α´2se halla uniendo Ocon la nueva traza vertical Vr´ de la recta girada, yque se encuentra donde se cortan r2y e2.Evidentemente, al girar un plano, las operaciones sesimplifican si, en el momento de elegir el eje e, ésteestá contenido en el plano vertical, es decir, suproyección vertical es perpendicular a la línea detierra y su proyección horizontal está en e

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