I Frattali

Natale Vinto
137523
Premessa
“Delle grandezze, quella che ha una
dimensione è linea, quella che ne ha due
è superficie, quella che ne ha tre è...
Premessa
    “Per l'uomo razionale solo l'irrazionale è
    intollerabile”

●   Armonia pitagorica
●   Ordine euclideo


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Les Objets fractals
             Benoît Mandelbrot

         ●   Definisce
             formalmente gli
             ogget...
La geometria dei frattali
“A differenza della geometria euclidea, così
rigida nel rappresentare il mondo visibile, e così
...
Definizione formale
"Figura geometrica o oggetto naturale con
una parte della sua forma o struttura che
si ripete a scala ...
In medio stat virtus
            “Tra il dominio del
            caos incontrollato e
            l'ordine eccessivo
     ...
Caratteristiche
    Un frattale può essere definito come un
    insieme F che gode delle seguenti
    proprietà (Falconer)...
Autosimilitudine
●   Due figure geometriche si dicono simili se
    hanno la stessa forma indipendentemente dalle
    loro...
Autosimilitudine
●   Due figure simili hanno:
        –   Angoli corrispondenti uguali
        –   Corrispondenti misure l...
Autosimilitudine
●   Siano S1,S2,....Sm similitudini aventi lo stesso r,
    0<r<1
●   Una figura geometrica F si dice fra...
Autosimilitudine
●   Ogni parte contiene il tutto, cioè se
    ingrandiamo un dettaglio otteniamo
    esattamente l’immagi...
Autosimilitudine nel set di
      Mandelbrot
Autosimilitudine nella curva di
             Koch
Struttura “fine”
        ●   qualunque sia la
            scala di
            osservazione il
            dettaglio
     ...
Considerazioni
●   Le curve frattali sono continue ma non
    ammettono un'unica tangente in un punto.
●   Esse sono conti...
Irregolarità
●   Un frattale è il risultato di una funzione
    ricorsiva.
    “Many other sets may be constructed
    usi...
Dimensione frattale
●   La dimensione frattale è un numero non
    negativo che consente il confronto tra
    insiemi frat...
Dimensione frattale
●   D = log(k)/log(m)
    k = numero di copie per ricoprire la figura
    originale
    m = fattore di...
Dimensione frattale
              Divido il lato del quadrato a metà
          ●   m=2k=4
          ●   D = log(4)/log(2) ...
Alcuni oggetti frattali
●   Frattali geometrici       ●   Frattali matematici
    Generati attraverso           Generati t...
Curva di Koch
           Algortimo di
           creazione:
       ●   Si prende un segmento e lo
           si divide in ...
Isola (o fiocco di neve) di Koch
                ●   L'interno della curva di Koch è
                    detto fiocco di n...
Insieme di Cantor
             Algoritmo:
         ●   Si parte da un segmento di
             lunghezza unitaria
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Triangolo di Sierpinski
            ●   Si parte da un triangolo
                equilatero pieno


            ●   Si rim...
Triangolo di Sierpinski
            ●   m=3k=2
                D=log(3)/log(2)=
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Insieme di Mandelbrot
           ●   Curiosità: ispirato da
               stampante che stampa a
               caso dei ...
Insieme di Julia
        ●   E' definito come il contorno
            di una serie di punti che
            fuggono all'in...
Insieme di Julia
                   c = -j*1,25
Insieme di Julia
          c = 0,27334 + j*0,00742
Insieme di Julia
                   c=j
Il ruolo del caso
●   Secondo Mandelbrot il caso viene
    “sottovalutato”
●   L'omotetia interna fa sì che il caso abbia
...
De rerum natura vol. 2
“Le nuvole non sono sfere, le montagne
non sono coni, le coste non sono cerchi e
la corteccia non è...
Autosimilitudine statistica
                  In natura esistono elementi
                  con “struttura frattale”
     ...
Alberi aurei
   ●   Un fusto lungo l (f >1) si biforca
       in due rami l=1/f inclinati di
       120° rispetto al tronc...
Classificazione curve piane
●   Secondo Mandelbrot nello studio delle
    curve piane appare una gerarchia di
    compless...
Classificazione curve piane
●   1° livello: curve regolari come la retta e la
    circonferenza, che localmente si confond...
Classificazione curve piane
●   2° livello: curve frattali “classiche”, esse
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Classificazione curve piane
●   3° livello: ingrandendo sempre di più la
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Classificazione curve piane
●    4° livello: ingrandendo non si scorge più
    nei dettagli ciò che si vedeva globalmente,...
Crittografia frattale
●   Implementazione di un algoritmo di
    crittografia che utilizzi curve dell'insieme F
        – ...
Crypt::FNA
●   Implementazione nel linguaggio Perl
    dell'algoritmo e creazione di un modulo
    apposito
●   Chiave sim...
Costruzione curve {F}
           ●   Sfrutta l'autosimilitudine
               Esempio su curva di
               Koch
   ...
Costruzione curve {F}
                                                  0

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Costruzione curve {F}
l gruppo cui appartiene l'angolo k-esimo possiamo indicarlo così nel formalismo del Perl:

G(k) = in...
Cripting
●   Ogni byte viene crittografato mediante le
    coordinate del vertice della curva frattale,
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Decrypting
●   Si segue la curva frattale verificando, di
    vertice in vertice, che le coordinate
    corrispondano a qu...
Esempio
●   Compressione con curva di Koch del file
    test.txt con testo :
    “Logica e Matematica Discreta”
Esempio
  my $krypto = Crypt::FNA->new(
               {
                   r=> 7,

                   angle => [0,60,-60,...
Esempio
●   Curva generata convertita in PNG con
    GD::Simple nel file fractal_koch.png
Esempio file test.fna
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-1209.88851212

133.33333349

-1989.43688111

-261.34550263

-2073.3884...
File test_rebuild.txt
●   Logica e Matematica Discreta
●   :-)
Considerazioni
●   Pro
          –   Robusto: algoritmo polialfabetico con un
               numero di alfabeti cifranti v...
Considerazioni
●   Contro?
       –   Sperimentale
       –   Sovrapposizione dei vertici
Bibliografia
●   Gli oggetti frattali – Mandelbrot 1987
●   La sezione aurea – Livio 2008
●   Architetture della complessi...
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Frattali

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Mia presentazione sui frattali per un esame. Ho preso spunto dai libri e dagli articoli che ho letto, nella parte finale ho fornito un esempio di crittografia frattale grazie al modulo Perl Crypt::FNA

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Frattali

  1. 1. I Frattali Natale Vinto 137523
  2. 2. Premessa “Delle grandezze, quella che ha una dimensione è linea, quella che ne ha due è superficie, quella che ne ha tre è corpo, e al di fuori di queste grandezze non si hanno altre grandezze” Aristotele e in mezzo??
  3. 3. Premessa “Per l'uomo razionale solo l'irrazionale è intollerabile” ● Armonia pitagorica ● Ordine euclideo Per secoli è stata aberrata l'idea anche transitoria di disturbo o caos.
  4. 4. Les Objets fractals Benoît Mandelbrot ● Definisce formalmente gli oggetti frattali neologismo dal latino fractus = interrotto
  5. 5. La geometria dei frattali “A differenza della geometria euclidea, così rigida nel rappresentare il mondo visibile, e così lontana dal poter raffigurare le forme reali, la geometria dei frattali è capace di rappresentare i profili di una montagna, di una costa, le nuvole, le strutture cristalline e molecolari, e addirittura le galassie” Gli oggetti frattali – Mandelbrot 1987 (rev)
  6. 6. Definizione formale "Figura geometrica o oggetto naturale con una parte della sua forma o struttura che si ripete a scala differente, con forma estremamente irregolare interrotta e frammentata a qualsiasi scala e con elementi distinti di molte dimensioni differenti"
  7. 7. In medio stat virtus “Tra il dominio del caos incontrollato e l'ordine eccessivo di Euclide, si estende ormai una nuova zona di ordine frattale”
  8. 8. Caratteristiche Un frattale può essere definito come un insieme F che gode delle seguenti proprietà (Falconer): ● Autosimilitudine ● Struttura fine ● Irregolarità ● Dimensione frattale (D)
  9. 9. Autosimilitudine ● Due figure geometriche si dicono simili se hanno la stessa forma indipendentemente dalle loro misure ● Formalmente: similitudine nello spazio euclideo: S = ToRoH se S è similitudine, F e F' sono due figure geometriche tali che: F' = S(F) => F e F' sono simili.
  10. 10. Autosimilitudine ● Due figure simili hanno: – Angoli corrispondenti uguali – Corrispondenti misure lineari legate allo stesso fattore di proporzionalità r
  11. 11. Autosimilitudine ● Siano S1,S2,....Sm similitudini aventi lo stesso r, 0<r<1 ● Una figura geometrica F si dice frattale autosimile quando è l'unione di M distinte figure geometriche tra loro sovrapposte: F=F1 U F2 U..U Fm=S1(F) U S2(F) U..U Sm(F) ● F ripete, in scala sempre più piccola, la sua forma
  12. 12. Autosimilitudine ● Ogni parte contiene il tutto, cioè se ingrandiamo un dettaglio otteniamo esattamente l’immagine di partenza (autosimilitudine stretta) oppure dopo successivi ingrandimenti (es: isola di Koch) ● In caso di dettagli sempre diversi ma simili si parla di autoaffinità
  13. 13. Autosimilitudine nel set di Mandelbrot
  14. 14. Autosimilitudine nella curva di Koch
  15. 15. Struttura “fine” ● qualunque sia la scala di osservazione il dettaglio dell'immagine rimane inalterato ● Immagini da Set di Mandelbrot con il programma XaoS
  16. 16. Considerazioni ● Le curve frattali sono continue ma non ammettono un'unica tangente in un punto. ● Esse sono continue ovunque e mai derivabili. ● La distanza fra due punti della curva è sempre infinita, per quanto essi possano essere vicini. ● (le “nuove anfrattuosità” di Perrin nell'esempio dei fiocchi bianchi)
  17. 17. Irregolarità ● Un frattale è il risultato di una funzione ricorsiva. “Many other sets may be constructed using such recursive procedures” Fractal Geometry - Falconer ● L'insieme dei frattali F è troppo irregolare perché sia descritto con gli strumenti della geometria classica, sia globalmente sia localmente. La sue costruzioni sono dominate dal..caso!
  18. 18. Dimensione frattale ● La dimensione frattale è un numero non negativo che consente il confronto tra insiemi frattali ed esprime il grado di irregolarità di un oggetto frattale ● D non è intera – frazione semplice es: (½) – numero irrazionale es: log(4)/log(3)
  19. 19. Dimensione frattale ● D = log(k)/log(m) k = numero di copie per ricoprire la figura originale m = fattore di scala
  20. 20. Dimensione frattale Divido il lato del quadrato a metà ● m=2k=4 ● D = log(4)/log(2) = 2 ● Df = Dt ! Curva di Koch ● m=3k=4 ● D = log(4)/log(3) = 1,2619...
  21. 21. Alcuni oggetti frattali ● Frattali geometrici ● Frattali matematici Generati attraverso Generati tramite equazioni procedimento geometrico matematiche, trovano la iterativo: loro rappresentazione grafica nel campo complesso: ● Curva di Koch ● Insieme di Mandelbrot ● Insieme di Cantor ● Insieme di Julia ● Triangolo di Sierpinski
  22. 22. Curva di Koch Algortimo di creazione: ● Si prende un segmento e lo si divide in 3; ● Si elimina il segmento mediano; ● Si congiungono i due punti mediani con un altro in modo da avere un triangolo equilatero; ● Si itera il procedimento su ogni segmento.
  23. 23. Isola (o fiocco di neve) di Koch ● L'interno della curva di Koch è detto fiocco di neve. ● Sebbene l'area di un oggetto frattale sia finita, il suo perimetro è infinito! ● Lunghezza tot = (4/3)^(n-1)L (vedi misure delle coste della Gran Bretagna da parte di Richardson)
  24. 24. Insieme di Cantor Algoritmo: ● Si parte da un segmento di lunghezza unitaria ● Lo si divide in tre parti uguali ● Si rimuove la parte centale ● Si ripete il procedimento all'infinito su ogni segmento rimasto Polvere di Cantor: 0<Df<1
  25. 25. Triangolo di Sierpinski ● Si parte da un triangolo equilatero pieno ● Si rimuove il triangolo centrale che hai I vertici nei punti medi dei lati Si ripete il procedimento per ogni triangolo ottenuto
  26. 26. Triangolo di Sierpinski ● m=3k=2 D=log(3)/log(2)= 1.58
  27. 27. Insieme di Mandelbrot ● Curiosità: ispirato da stampante che stampa a caso dei punti su un foglio! ● polinomi complessi quadratici ● L'insieme è costituito da tutti i valori di c per i quali la successione non diverge all'infinito
  28. 28. Insieme di Julia ● E' definito come il contorno di una serie di punti che fuggono all'infinito ● Comportamento caotico ● c = c1 + j*c2 ● Ad ogni punto del piano corrisponde un diverso insieme di Julia e tale insieme è connesso se il punto appartiene all'insieme di Mandelbrot
  29. 29. Insieme di Julia c = -j*1,25
  30. 30. Insieme di Julia c = 0,27334 + j*0,00742
  31. 31. Insieme di Julia c=j
  32. 32. Il ruolo del caso ● Secondo Mandelbrot il caso viene “sottovalutato” ● L'omotetia interna fa sì che il caso abbia importanza a qualsiasi scala ● Sostituire delle forme inaspettate del caso con altre forme familiari
  33. 33. De rerum natura vol. 2 “Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono cerchi e la corteccia non è piana, né un fulmine viaggia su una linea retta.”
  34. 34. Autosimilitudine statistica In natura esistono elementi con “struttura frattale” ● Es: Foglia di felce, nuvole montagne, ecc. ● Sebbene non si può parlare di autosimilitudine matematica ma statistica
  35. 35. Alberi aurei ● Un fusto lungo l (f >1) si biforca in due rami l=1/f inclinati di 120° rispetto al tronco ● Autosimilitudine dell'albero per f=2 ● Per un certo f<2 le porzioni dell'albero inizieranno a sovrapporsi ● Il limite oltre il quale vi è sovrapposizione è 1,6180..=φ
  36. 36. Classificazione curve piane ● Secondo Mandelbrot nello studio delle curve piane appare una gerarchia di complessità crescenti
  37. 37. Classificazione curve piane ● 1° livello: curve regolari come la retta e la circonferenza, che localmente si confonde con la retta. A tale livello appartengono pure le curve classiche elementari.
  38. 38. Classificazione curve piane ● 2° livello: curve frattali “classiche”, esse possono diventare più o meno complicate, ma c’è una invarianza della forma rispetto alla distanza. Abbiamo allora che 0<D<1
  39. 39. Classificazione curve piane ● 3° livello: ingrandendo sempre di più la figura, si riconosce in alcuni particolari ciò che si osserva globalmente. Tuttavia vi è un costante aumento della complessità “e del caos”,sebbene esso abbia una struttura ordinata, perché descrivibile matematicamente.
  40. 40. Classificazione curve piane ● 4° livello: ingrandendo non si scorge più nei dettagli ciò che si vedeva globalmente, ma si osservano delle cose nuove e impreviste, “mostrosuamente” caotico.
  41. 41. Crittografia frattale ● Implementazione di un algoritmo di crittografia che utilizzi curve dell'insieme F – Un algoritmo per la costruzione dell'insieme delle curve frattali – Un algoritmo per la crittografia basata su tali curve
  42. 42. Crypt::FNA ● Implementazione nel linguaggio Perl dell'algoritmo e creazione di un modulo apposito ● Chiave simmetrica ma lunghezza in bit della chiave “illimitata” ● Funzioni: – Crypting e decrypting file di testo e stringhe – Generazione immagini della curve create
  43. 43. Costruzione curve {F} ● Sfrutta l'autosimilitudine Esempio su curva di Koch ● Ro= parametri della base ● r=ordine della curva ● An = numeri angoli della curva n ● An = Ro^r
  44. 44. Costruzione curve {F} 0 0, 60, -60, 0 0, 60, -60, 0, 60, 120, 0, 60, -60, 0, -120, -60, 0, 60, -60, 0 riga per r=0 -> 0 + 0 = 0 riga per r=1 -> 0 + 0 = 0; 0 + 60 = 60; 0 - 60 = -60; 0 + 0 = 0 riga per r=2 -> a. 0 + 0 = 0; 0 + 60 = 60; 0 - 60 = -60; 0+0=0 b. 60 + 0 = 60; 60 + 60 = 120; 60 - 60 = 0; 60 + 0 = 60 c. -60 + 0 = -60; -60 + 60 = 0; -60 - 60 = -120; -60 + 0 = -60 d. 0 + 0 = 0; 0 + 60 = 60; 0 - 60 = -60; 0+0=0
  45. 45. Costruzione curve {F} l gruppo cui appartiene l'angolo k-esimo possiamo indicarlo così nel formalismo del Perl: G(k) = int(k/Ro) La posizione dell'angolo k-esimo nel gruppo è invece: P(k) = k-int(k/Ro) = k-G(k) In definitiva, il valore della direzione k-esima sarà: a(k)=a(G(k)) + a(P(k)) while ($k<$Ro**$r) { $a[$k]=$a[int($k/$Ro)]+$a[$k-int($k/$Ro)]; $k++ }
  46. 46. Cripting ● Ogni byte viene crittografato mediante le coordinate del vertice della curva frattale, ottenuto partendo dal successivo a quello precedentemente valutato, saltando di un numero ulteriore di vertici uguale al magic number più il valore del byte da crittografare.
  47. 47. Decrypting ● Si segue la curva frattale verificando, di vertice in vertice, che le coordinate corrispondano a quelle del crittogramma. Il valore del byte originale viene ricostruito avendo contato quanti vertici si sono succeduti per arrivare all'uguaglianza dei due valori, dall'ultima uguaglianza incontrata. Il numero di vertici, ridotto del magic number sommato all'unità, rappresenta il valore del byte n-esimo.
  48. 48. Esempio ● Compressione con curva di Koch del file test.txt con testo : “Logica e Matematica Discreta”
  49. 49. Esempio my $krypto = Crypt::FNA->new( { r=> 7, angle => [0,60,-60,0] , square => 4096, background => [255,255,255], foreground => [0,0,0], magic => 3 } ); $krypto3->make_fract("fractal_koch",1); $krypto3->encrypt_file("test.txt","test.fna"); $krypto3->decrypt_file("test.fna","test_rebuild.txt");
  50. 50. Esempio ● Curva generata convertita in PNG con GD::Simple nel file fractal_koch.png
  51. 51. Esempio file test.fna -622.22884968 -53.61976878 -1209.88851212 133.33333349 -1989.43688111 -261.34550263 -2073.38849833 -7710.12444523 -2006.24189587 -10996.22155747 -2068.55953372 … ...
  52. 52. File test_rebuild.txt ● Logica e Matematica Discreta ● :-)
  53. 53. Considerazioni ● Pro – Robusto: algoritmo polialfabetico con un numero di alfabeti cifranti virtualmente illimitato – chiave lunga come il dato da cifrare ed un numero di alfabeti pari al numero di elementi costituenti il dato in chiaro.
  54. 54. Considerazioni ● Contro? – Sperimentale – Sovrapposizione dei vertici
  55. 55. Bibliografia ● Gli oggetti frattali – Mandelbrot 1987 ● La sezione aurea – Livio 2008 ● Architetture della complessità: la geometria frattale tra arte, architettura e territorio – Sala, Cappellato – 2004 ● Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications – Falconer 2004 ● Fractal Numerical Algorithm for a new cryptography technology - http://www.perl.it/documenti/articoli/2010/04/anakryptfna.html

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