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CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR
                       PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
                               AULA 06 – DESCONTO COMPOSTO
        Olá, amigos!
        Espero que estejam todos bem!
        Vamos dar início à aula de hoje resolvendo as questões pendentes do nosso...


                                         ...Dever de Casa
35.    (FISCAL TRIB.-CE) Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos
    durante 12 meses, a taxa de 4% ao mês,           atinge o montante de R$ 1.000,00
    (aproxime o resultado para reais).
a) R$ 625,00               d) R$ 650,00
b) R$ 630,00               e) R$ 676,00
c) R$ 636,00
Sol.: A leitura do enunciado revela a presença de elementos de uma operação de Juros. Já
sabemos que só poderemos dar início à resolução quando tivermos certeza de estar trabalhando
no regime simples ou no regime composto.
       Aqui o regime composto foi informado de maneira expressa, não restando qualquer
dúvida de que estamos diante de uma operação de Juros Compostos!
      Se são Juros Compostos, trabalharemos com a Equação Fundamental, que é a seguinte:
         M = C.(1+i)n
      Estamos lembrados que essa fórmula faz uma única exigência, qual seja, a de que taxa e
tempo estejam na mesma unidade (exigência universal da matemática financeira!). Já está
cumprida? Sim! Temos uma taxa mensal (4% ao mês) e o tempo em meses (12 meses).
      Resta-nos, pois, aplicar a equação. Teremos:
         M = C.(1+i)n
         1000 = C.(1+0,04)12           C=1000/(1+0,04)12
      Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos:


               TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL            an = (1 + i)n

                           i   1%       2%       3%         4%      5%
                       n
                       1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000
                       2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500
                       3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625
                       4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506
                       5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281
                       .       ...       ...     ...        ...     ...
                     12        ...       ...     ...    1,601032


      Assim:
         C=1000/1,601032             C= 624,59 ≅ 625,   Resposta!




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                       PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO

36.   (IRB 2004 ESAF) Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante
   três períodos a uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos
   como porcentagem do capital aplicado.
a) 30%                  d) 33,1%
b) 31,3%                e) 34%
c) 32,2%

Sol.: Este enunciado encontrou uma maneira um pouco diferente de revelar o regime: não usou
a palavra simples e nem a palavra composto, mas sim capitalização!
     A mera presença da palavra capitalização imediatamente nos remeterá ao regime
composto! Ok? Sempre assim!
        Agora atentem para a pergunta da questão: calcule os juros como porcentagem do
capital.
      Ora, sempre que o formato da pergunta for este: calcule este elemento como
porcentagem deste outro, atribuiremos ao último o valor de 100 (cem).
      Se a pergunta foi: calcule os juros como porcentagem do capital, chamaremos o capital
de 100. Só isso! Teremos:
         C=100,         n=3 períodos          i=10% ao período             J=?
       Vejam que taxa e tempo já estão compatíveis, na mesma unidade. Que unidade é essa?
Período! Não importa! Poderia ser mês, ano, qualquer uma. O que importa é que a exigência
universal da matemática financeira já está cumprida!
      Ou seja, já estamos prontos para aplicar a equação fundamental dos Juros Compostos.
Teremos:
         M = C.(1+i)n
         M = 100.(1+0,10)3
      Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos:
               TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL               an = (1 + i)n

                          i        1%       2%       3%    ...   10%
                      n
                              1 1,010000 1,020000 1,030000 ... 1,050000
                              2 1,020100 1,040400 1,060900 ... 1,102500
                              3 1,030301 1,061208 1,092727 ... 1,331000


      Assim:
         M=100x1,33100             M=133,10
      E uma vez conhecendo Capital e Montante, encontraremos também o valor dos Juros.
Teremos:
         J= M-C    J=33,10
       Ora, mas a questão não quer saber o valor dos Juros apenas! Ela quer saber juros como
porcentagem do capital. Foi por isso que chamamos o capital de 100. Assim, basta
acrescentarmos aos Juros encontrados o sinal de porcentagem!
      Finalmente, diremos que: J=33,10%           Resposta!




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                            PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
       Consideremos que fosse X o valor dos juros encontrados. Ora, qualquer que fosse esse
X, em relação a 100 seria sempre igual a X%. Ok? É por isso que chamamos o Capital de 100:
para podermos apenas acrescentar o sinal de porcentagem no final! Adiante!


37.   (BACEN) A taxa de 4% ao mês, quando capitalizada com juros compostos,
     corresponde a uma taxa bimestral equivalente a:
a) 8%                    d) 1,0816%
b) 8,16%                 e) 16%
c) 1,08%

Sol.: Esta questão trabalha somente com os conceitos de taxa no regime composto!
      Foi fornecida uma taxa mensal (4% ao mês), e pede-se uma taxa bimestral.
      Ora, a questão nos deu uma taxa efetiva de Juros Compostos! Concordam?
      Já sabemos qual o conceito que deve ser adotado neste caso: o conceito de Taxas
Equivalentes!
     E será sempre assim, quando quisermos alterar a unidade de uma taxa efetiva de juros
compostos. Aprendemos isso na aula passada!
      Fazendo uma prévia análise para utilização das Taxas Equivalentes, teremos:
           %a.b. = I (bimestre é maior que mês).
           %a.m.=i (mês é menor que bimestre).
           K=2 (cabem dois meses em um bimestre!).
      Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos:
           1 + I = (1 + i)k
           1 + I = (1 + 0,04)2
      Consultando a Tabela Financeira, encontraremos que:
                TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL        an = (1 + i)n

                           i    1%     2%      3%      4%        5%
                       n
                       1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000
                       2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500


      Daí:     1 + I = 1,081600
      E:      I=0,0816         I=8,16% ao bimestre   Resposta!


38. (Banespa 97/ FCC) Receber juros compostos de 525% ao ano é equivalente a
    receber juros semestrais de:
a) 175,0%               d) 262,5%
b) 206,25%              e) 150,0%
c) 218,5%


Sol.: Questão semelhante à anterior: o enunciado nos deu uma taxa efetiva de juros
compostos, na unidade anual (525%a.a.), e nos pediu que a alterássemos para a unidade
semestral.
      Qual o conceito que usaremos? O conceito de Taxas Equivalentes, claro! Teremos:

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                          PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
         %a.a. = I (ano é maior que semestre).
         %a.s.=i (semestre é menor que ano).
         K=2 (cabem dois semestres em um ano!).
      Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos:
         1 + I = (1 + i)k
         1 + 5,25 = (1 + i)2
      Trocando de lado, teremos:
         (1+i)2=6,25
       O momento agora seria o de consultar a Tabela Financeira! Todavia, ao tentar fazer essa
consulta, veremos que a tabela não nos será útil para esses valores!
      E nem precisa! Senão, vejamos.
      Você sabe dizer qual é a raiz quadrada de 625? Não? Pois deveria! Aliás, deixa eu abrir
um parêntese aqui nesta resolução, para falar em quadrados perfeitos.
      Convém, muitíssimo, que você conheça os quadrados de 11 a 25. Vejamos:
         112=121
         122=144
         132=169
         142=196
         152=225
         162=256
         172=289
         182=324
         192=361
         202=400
         212=441
         222=484
         232=529
         242=576
         252=625


        Mas, professor, eu preciso mesmo decorar tudo isso? Eu diria que você não precisa
fazer não é obrigado a nada neste mundo. Concorda? Mas que seria muito conveniente, isso
seria! E por quê? Pelo seguinte: se eu sei que 252=625, então a raiz quadrada de 2,52=6,25.
      Assim, a raiz quadrada de 6,25 é igual a 2,5.

      Da mesma forma, teríamos que:      1,21 = 1,1 , ou que   1,44 = 1,2 , e assim por diante!
      Esse conhecimento serve também para a prova de Estatística! Na prova do AFRF-2003,
uma das questões de Estatística Básica só seria resolvida se a pessoa soubesse quanto é a raiz
quadrada de 2,56. E aí? Você agora já saberia dizer quanto vale? Claro! Vejamos:

      Se 162=256, então      2,56 =1,6
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                          PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
      Pois bem! Voltemos ao nosso enunciado. Chegamos a: (1+i)2=6,25

      Daí:     (1+i)= 6,25          (1+i)=2,5    i=1,5   i=150% ao semestre           Resposta!


39. (IRB 2004 ESAF) Indique qual a taxa anual de juros compostos que equivale a
    uma taxa de juros compostos de 2% ao mês.
a) 24%                  d) 24,96%
b) 24,24%               e) 26,8242%
c) 24,48%


Sol.: Novamente a questão quer alteremos a unidade de uma taxa efetiva de juros compostos!
      Mais uma vez usaremos o conceito de Taxas Equivalentes. Teremos:
         %a.a. = I (ano é maior que mês).
         %a.m.=i (mês é menor que ano).
         K=12 (cabem doze meses em um ano!).
      Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos:
         1 + I = (1 + i)k
         1 + I = (1 + 0,02)12
      Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos:

                TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL           an = (1 + i)n

                          i   1%         2%       3%       4%       5%
                      n
                     1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000
                     2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500
                     3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625
                     4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506
                     5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281
                      .       ...         ...      ...      ...     ...
                     12       ...     1,268242     ...   1,601032


      Assim:
         1 + I = 1,268242           I=0,268242    I=26,8242% a.a.         Resposta!


40. (IRB 2006 ESAF) Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à
    taxa de juros compostos de 4% ao mês.
a) 60% ao ano                 d) 10% ao trimestre
b) 30% ao semestre            e) 6% ao bimestre
c) 24% ao semestre

Sol.: Essa questão é um pouquinho mais interessante. Há uma dica a ser aprendida!
      Vocês percebem que vamos partir de uma taxa efetiva de juros compostos mensal.
      E precisaremos chegar a uma taxa equivalente, em uma unidade ainda desconhecida!


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                            PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO
       O truque é o seguinte: vamos imaginar que a taxa fornecida pelo enunciado seja uma
taxa de juros simples. Vejam bem: é apenas uma suposição! Na realidade, conforme sabemos,
a taxa é composta!
      Daí, pensaremos assim:
      Se a taxa 4% ao mês fosse uma taxa de juros simples, para transformá-la numa taxa
bimestral, usaríamos o conceito de taxas proporcionais, e multiplicaríamos por 2 (dois), já
que um bimestre tem dois meses.
      Assim, pelas taxas proporcionais, teríamos que: 4% ao mês = 8% ao bimestre!
      Ora, ocorre que a taxa 4%a.m. não é de juros simples, mas de juros compostos!
       Daí, mesmo antes de aplicarmos o conceito de Taxas Equivalentes, de antemão, uma
certeza nós já temos: a taxa bimestral terá que ser maior que 8% ao bimestre!
       Conclusão: transformando uma taxa qualquer, de uma unidade menor para uma unidade
maior, teremos que o resultado encontrado pelo conceito de taxas equivalentes será
sempre maior que o encontrado pelo conceito de taxas proporcionais.
      Até aqui, a opção E de resposta já está descartada!
       Se a taxa de 4% ao mês fosse de juros simples, para transformá-la numa taxa
trimestral, usaríamos o conceito de taxas proporcionais, e multiplicaríamos por 3 (três), já
que um trimestre tem três meses.
      Teríamos que: 4% ao mês = 12% ao trimestre!
       Todavia, essa taxa 4% é de juros compostos e não de juros simples, assim, de antemão,
mesmo sem aplicar o conceito de taxas equivalentes, já sabemos que a taxa composta
trimestral terá que ser maior que 12%.
      Essa análise já nos fará descartar a opção D. Viram? Adiante!
      Se a taxa de 4% ao mês fosse de juros simples, para transformá-la numa taxa
semestral, usaríamos o conceito de taxas proporcionais, e multiplicaríamos por 6 (seis), já
que um semestre tem seis meses.
      Teríamos que: 4% ao mês = 24% ao semestre!
      Assim, já sabemos que a taxa composta equivalente semestral terá que ser maior
que 24%.
      Com isso, descartamos a alternativa C.
      Por enquanto, estão sobrando duas possibilidades: 60% ao ano ou 30% ao semestre.
      Aqui, aplicaremos o conceito de Taxas Equivalentes. Vamos encontrar a taxa semestral,
Ok? Teremos que:
         %a.s. = I (semestre é maior que mês).
         %a.m.=i (mês é menor que semestre).
         K=6 (cabem seis meses em um semestre!).
      Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos:
         1 + I = (1 + i)k
         1 + I = (1 + 0,04)6


      Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos:



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               TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL             an = (1 + i)n

                          i   1%       2%        3%         4%       5%
                      n
                      1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000
                      2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500
                      3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625
                      4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506
                      5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281
                      6       ...      ...       ...     1,265319


      Assim:
         1 + I = 1,265319           I=0,265319         I=26,5319% ao semestre.


      Com esse resultado, descartamos a letra B.
      Qual restou? Apenas a letra A: 60% ao ano          Resposta!


        Há uma coisa que eu esqueci de pedir a vocês na aula passada. (Esqueci mesmo? Não
sei. Estou esquecido se esqueci... Memória prodigiosa essa minha!). Bem. Se já falei, vou falar
de novo: EU QUERO MUITO QUE VOCÊS DECOREM DUAS COISAS:
      1ª) 3% ao mês = 9,2727% ao trimestre.
      2ª) 4% ao mês = 60,1032% ao ano.


      Essas duas taxas compostas – 9,2727% ao trimestre e 60,1032% ao ano –
aparecem em prova o tempo inteiro! Em aparecendo na sua prova, você não vai perder mais
nem um minuto aplicando o conceito de Taxas Equivalentes. Não vai mais precisar! Por quê?
Porque você vai se lembrar que:
         9,2727% ao trimestre = 3% ao mês.
         60,1032% ao ano = 4% ao mês.
      Ok? Adiante!

41.  (ANEEL 2004 ESAF) A taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal
    corresponde a uma taxa efetiva anual de
a) 26,82%.              d) 24,00%.
b) 25,51%.              e) 22,78%.
c) 25,44%.

Sol.: Aqui uma questão mais completa, em se tratando de conceitos de taxas no regime
composto! E por que isso? Porque está presente no enunciado uma Taxa Nominal. Sempre
que isso ocorrer, já saberemos: nosso primeiro passo será transformar a Taxa Nominal em Taxa
Efetiva.


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      Na aula passada, aprendemos que essa transformação se fará mediante o conceito de
Taxas Proporcionais. Lembrados? Teremos:
        24% a.a. com capitalização mensal = (24/12) = 2% ao mês
      A questão agora pede que você encontre uma taxa efetiva anual.
       Temos uma taxa efetiva mensal, e encontraremos uma taxa efetiva anual. Ou seja,
precisamos alterar a unidade de uma taxa efetiva. Por meio de qual conceito? Por meio do
conceito de taxas equivalentes. Teremos:
        %a.a. = I (ano é maior que mês).
        %a.m.=i (mês é menor que ano).
        K=12 (cabem doze meses em um ano!).
      Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos:
        1 + I = (1 + i)k
        1 + I = (1 + 0,02)12
      Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos:

               TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL             an = (1 + i)n

                         i   1%        2%          3%      4%     5%
                     n
                     1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000
                     2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500
                     3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625
                     4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506
                     5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281
                     .       ...        ...         ...     ...      ...
                    12       ...     1,268242       ...     ...


      Assim:
        1 + I = 1,268242           I=0,268242      I=26,8242% a.a.         Resposta!



42. (TCE-Piauí   2002/FCC) Um contrato de financiamento de imóvel foi celebrado
    considerando-se    uma    taxa   anual   nominal   de   12%,   capitalizada
    quadrimestralmente. A taxa efetiva anual é de
(A) 12,49%              (D) 15,12%
(B) 12,55%              (E) 16,99%
(C) 13,00%


Sol.: Mesmíssimo modelo da questão anterior! Aliás, há um desenho que aprendemos na aula
passada, e que vale perfeitamente para o caso. Relembremos:


            Taxa                               Taxa               Taxa Efetiva em
           Nominal                            Efetiva              outra unidade



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                    Proporcionais                         Equivalentes
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      Comecemos logo transformando a Taxa Nominal em Taxa Efetiva. Faremos:
         12% a.a. com capitalização quadrimestral = (12/3) = 4% ao quadrimestre
      A questão agora pede que você encontre uma taxa efetiva anual. Teremos:
         %a.a. = I (ano é maior que quadrimestre).
         %a.q.=i (quadrimestre é menor que ano).
         K=3 (cabem três quadrimestres em um ano!).
      Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos:
         1 + I = (1 + i)k
         1 + I = (1 + 0,04)3
      Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos:


               TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL         an = (1 + i)n

                         i   1%      2%        3%       4%       5%
                     n
                     1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000
                     2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500
                     3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625


      Assim:
         1 + I = 1,124864         I=0,124864     I=12,49% ao ano       Resposta!


43. (TRF 2006 ESAF) Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa
    nominal de 36% ao ano com capitalização mensal.
a) 2,595% ao mês.       d) 9,703% ao trimestre.
b) 19,405% ao semestre. e) 5,825% ao bimestre.
c) 18% ao semestre.


Sol.: Outra semelhante. Iniciemos transformando a taxa nominal em efetiva. Teremos:
         36% a.a. com capitalização mensal = (36/12) = 3% ao mês
      Só isso já nos leva a descartar a letra A. Concordam?
      De resto, precisaremos encontrar qual a taxa equivalente a 3% ao mês, numa das
unidades das opções de resposta!
        Como entre as alternativas há taxas na unidade bimestral, trimestral e semestral,
usaremos o truque que aprendemos ainda hoje, de fazer de conta que a taxa 3%a.m. é de
juros simples. Olha lá, hein: não é verdade isso! É só faz de conta!
      Assim, passando 3% ao mês simples para bimestral, teríamos: 3x2=6% ao bimestre.
      E eliminamos a letra E.

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      Passando 3% ao mês simples para semestral, teríamos 3x6=18% ao semestre.
       Assim, eliminamos a letra C, pois 3%a.m. sendo composta, teria que resultar numa taxa
equivalente necessariamente maior que 18% ao semestre! (Jamais igual!).
      Há duas opções no páreo: 19,405% ao semestre e 9,703% ao trimestre.
       E aí? Precisaremos fazer as contas? Claro que não! E por que não? Porque aprendemos,
agora há pouco, que 3% ao mês composta é equivalente a 9,2727% ao trimestre!
      Isso elimina a letra D, restando-nos, pois, apenas o seguinte:
         3% ao mês = 19,405% ao semestre            Resposta!


44. (BC-94) A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a
    uma taxa efetiva bimestral de:
a) 20%                  d) 23%
b) 21%                  e) 24%
c) 22%

Sol.: Vamos nós outra vez! Transformando a taxa nominal em efetiva, teremos:
         30% a.t. com capitalização mensal = (30/3) = 10% ao mês
       Essa taxa composta 10% ao mês também é muito comum em prova. Inclusive figurou
em algum dos nossos exemplos da aula passada. Acho que podemos também memorizar essa
alteração sem maiores problemas, e com economia de tempo na nossa resolução.
      Sendo assim, aprendamos de uma vez por todas:
         10% ao mês = 21% ao bimestre!
      Será essa taxa bimestral que encontraremos aplicando o conceito de Taxas Equivalentes!
      Ok? Seguindo o mesmo cálculo, encontraremos também o seguinte:
         10% ao bimestre = 21% ao quadrimestre
         10% ao trimestre = 21% ao semestre
         10% ao semestre = 21% ao ano
      Adiante!



45. (AFC/STN 2005 ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa
    de juros de 60% ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez,
    anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim,
    os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B
    são, respectivamente, iguais a:
a) 69 % e 60 %          d) 60 % e 69 %
b) 60 % e 60 %          e) 120 % e 60 %
c) 69 % e 79 %


Sol.: Eis aqui uma questão bastante interessante!
      Foram fornecidas duas taxas nominais. As seguintes:
         60% ao ano, com capitalização semestral; e
         30% ao semestre, com capitalização mensal.
      Teremos que transformá-las em taxas efetivas, aplicando duas vezes o conceito de taxas
proporcionais. Teremos:
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         60% ao ano, com capitalização semestral = (60/2) = 30% ao semestre
         30% ao semestre, com capitalização mensal = (30/6) = 5% ao mês
      E agora, o que a questão nos pede? Pede-nos que encontremos taxas anuais!
       Ora, de posse de uma taxa efetiva de juros compostos, para alterar sua unidade
aplicaremos o conceito de Taxas Equivalentes! Certo?
      Só que antes disso, faremos uma consideração hipotética, para ver se podemos matar a
questão mais rapidamente. Comecemos trabalhando com a taxa de 30% ao semestre.
       Se ela fosse uma taxa de juros simples, para transformá-la para anual, aplicaríamos o
conceito de taxas proporcionais, e teríamos que:
         30% ao semestre = 30x2 = 60% ao ano.
      Assim, a taxa efetiva anual teria que ser, necessariamente, maior que 60% ao ano!
      Agora, façamos o mesmo com a taxa de 5% ao mês.
       Se ela fosse taxa simples, aplicaríamos o conceito de taxas proporcionais para
transformá-la em taxa anual, e teríamos que:
         5% ao mês = 5x12 = 60% ao ano.
      Assim, a taxa efetiva anual também teria que ser, neste caso, necessariamente maior
que 60% ao ano!
     Conclusão: a resposta que procuramos tem que apresentar duas taxas maiores que
60%! Dêem uma olhadinha nas alternativas! Viram?
      Somente uma opção de resposta atende essa condição!
      Daí: letra C   Resposta!


      É isso! Espero que tenham resolvido bem essas questões!
       Ainda nos restou falar alguma coisa sobre os Juros Compostos. Um tema importante e
que cai muito em prova. Vamos lá.


# Convenção Linear:
       Na aula passada, aprendemos a resolver questões de Juros Compostos, mediante a
aplicação da Equação Fundamental, que consistia no seguinte:
         M=C.(1+i)n
      Até aqui, nada de novo!
     Ocorre que existe uma forma alternativa para resolvermos questões de Juros
Compostos! Essa forma alternativa tem um nome: Convenção Linear!
      Assim, a Convenção Linear nada mais é que um método diferente para trabalharmos
operações de Juros Compostos! Só isso!
      Precisamos saber que esse caminho alternativo é, na verdade, o caminho da exceção!
       E assim sendo, só iremos resolver uma questão de Juros Compostos pela Convenção
Linear quando o enunciado mandar expressamente! Ok? Só nesse caso!
      No mais, temos que conhecer a equação da Convenção Linear. É a seguinte:
         M=C.(1+i)INT.(1+i.Q)
      Onde:

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         INT é a parte inteira do tempo; e
         Q é a parte quebrada do tempo.
       Pela própria fórmula, vocês vão deduzir o seguinte: nos enunciados de Convenção
Linear, o tempo de aplicação do capital será sempre apresentado (ou convertido por nós) em
duas partes: uma inteira e outra quebrada.
      Assim sendo, faremos neste exemplo uma adaptação à exigência universal da
matemática financeira: na Convenção Linear, temos que a taxa tem que estar na mesma
unidade das duas partes do tempo (a parte inteira e a parte quebrada).
      Por exemplo: se a questão falar 3 meses e 15 dias e uma taxa mensal.
      Passando tudo para meses (a unidade da taxa), teremos que:
         3 meses e 15 dias = 3 meses (parte inteira) + 0,5 mês (parte quebrada).
      Outro exemplo: se a questão falar em 5 meses e 10 dias, e uma taxa mensal.
Teremos:
         5 meses e 10 dias = 5 meses (parte inteira) + (1/3) mês (parte quebrada).
      Entenderam?
       Pois bem! Se a questão falar em Convenção Linear, só precisaremos nos lembrar da
Equação apropriada, bem como de colocar a as duas partes do tempo na mesma unidade da
taxa! Só isso! É uma das questões mais fáceis da prova!
(ESAF) Uma pessoa aplicou $10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3
anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final do
prazo era de:
a) $ 16.590             d) $ 16.705
b) $ 16.602             e) $ 16.730
c) $ 16.698
Sol.: O enunciado falou expressamente em convenção linear, de sorte que já identificamos o
assunto da questão! Teremos, pois, que aplicar a seguinte equação:
         M=C.(1+i)INT.(1+i.Q)
      Percebamos agora que a taxa é anual (15% ao ano) e que o tempo está anos e meses.
      O que teremos que fazer é transformar 8 meses em uma fração de ano. Nada mais fácil.
Teremos que o tempo completo é o seguinte: 3 anos e (8/12) ano.
       Se quisermos, pode ficar só assim mesmo. Mas, se você preferir ainda simplificar mais
aquela fração, teremos: 3 anos e (2/3) ano. Melhorou?
      Feito isso, e considerando que a taxa e as duas partes do tempo já estão na mesma
unidade, resta-nos, tão somente, aplicar a fórmula. Teremos:
         M=C.(1+i)INT.(1+i.Q)
         M=10000.(1+0,15)3.[1+0,15x(2/3)]
         M=16.729,63 ≅ 16.730,00       Resposta!


      Deixarei outras questões de Convenção Linear para resolvermos no Dever de Casa.
      Passemos agora a falar acerca do Desconto Composto!
      Para nossa sorte, um dos assuntos mais rápidos e mais fáceis do nosso Curso! Vejamos.




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# DESCONTO COMPOSTO:
       O que vem a ser uma operação de Desconto? Já sabemos disso: é aquela em que se
projeta para o dia de hoje um valor monetário conhecido numa data futura. Já sabemos
também qual é o desenho básico de toda e qualquer operação de Desconto. (Não sabemos?)
      É o seguinte:
                                            N
                      A




      Pois bem! Sabemos ainda quais são os cinco elementos do Desconto. Os seguintes:
         Valor Nominal: N
         Tempo de antecipação: n
         Valor Atual: A
         Desconto: D
         Taxa: i


       No estudo do Desconto Simples, aprendemos uma pequena equação, válida para todas
as operações de Desconto, quer simples, quer composto. Alguém se lembra dela? É a seguinte:
         D=N-A.
      Isso é sempre verdade. Ok?
      No Desconto         Composto,   a   exemplo   do   regime   simples,   haverá   também   duas
modalidades:
         Desconto Composto por Dentro ou Racional;
         Desconto Composto por Fora ou Comercial.
       A respeito disso, há uma ressalva a ser feita: a Esaf, elaboradora da prova da Receita
Federal (e de tantas outras) não faz constar o Desconto Composto por Fora (Comercial) sequer
nos programas de seus editais.
      Isso porque existe uma linha de autores de matemática financeira, segundo o qual o
Desconto Comercial Composto é uma ficção! Não existe, na verdade!
       Assim, há um verdadeiro facilitador neste assunto – Regime Composto – quando a
elaboradora da prova for a Esaf. Qual? O de já sabermos que a operação de Desconto Composto
ocorrerá, necessariamente, na modalidade de Desconto por Dentro.
      Todavia, esse entendimento restritivo do Desconto Composto não é absoluto. A
Fundação Carlos Chagas (FCC), por exemplo, explorou, em prova bastante recente, o
conhecimento do Desconto Composto por Fora (Comercial). Assim, convém que conheçamos
tudo!
     Eu lhes digo que, a bem da verdade, o que a questão de Desconto Composto quer
mesmo saber, é se você conhece a equação que será empregada naquela resolução.


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     Sendo assim, aprenderemos uma forma boa de memorizar tanto a equação do Desconto
Composto por Dentro, quanto a do Desconto Composto por Fora. Vamos lá.


       Comecemos pelo Desconto Composto por Dentro: primeiramente, ao lermos o
enunciado, descobriremos que se trata de uma questão de desconto, e que estamos
trabalhando no regime composto!
       Ora, quais são as formas de identificarmos que estamos no regime composto (e não no
simples)? Primeira forma: quando o enunciado expressamente o disser. Aí é fácil. Se a questão
em algum momento falar “...usando o desconto composto...”, não restará duvida alguma sobre
o regime da operação.
      A segunda forma de sabermos que o regime        é o composto é a mera presença, no
enunciado, de uma taxa nominal. Estamos lembrados     do que é uma taxa nominal, certo? Se
encontrarmos em nossa questão de desconto uma         taxa no formato 48% ao ano com
capitalização mensal, por exemplo, saberemos que o    desconto é o composto!
      Pois bem! Identificado que a questão é de desconto, e identificado que o desconto é
composto, restará ainda uma última conclusão a se chegar: qual é a modalidade desta operação
de desconto composto?
      Agora suponhamos que o enunciado tenha dito: “... adote o desconto racional
composto.” Pronto! Essas três palavras nos informam tudo o que precisamos saber acerca desta
questão. Trata-se de uma questão de desconto, no regime composto, e na modalidade de
desconto racional, que é o desconto por dentro!
      Só nos falta aprender as fórmulas. Façamos um “passo-a-passo”:


      1º) Faremos o desenho “genérico” de uma operação de desconto:

                               N
            A




       2º) Lembraremos daquele conceito que foi feito no capítulo de Desconto Simples,
quando dissemos que haveria um dos lados que seria considerado o lado do desconto por
dentro, e um que seria o lado do desconto por fora. Será que ainda lembramos disso?
         O lado do desconto por dentro é o lado do Atual;
         O lado do desconto por fora é o lado do Nominal.


      Como estamos em uma questão de desconto por dentro, teremos que:

                               N
            A

        d



      Esse d é só para lembrar que o lado do Atual é o lado do desconto por dentro.



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      3º) Iremos lembrar de uma pequena frase, que nos auxiliará a formar a equação do
desconto composto. A frase é a seguinte: Composto rima com oposto.


       Ora, se composto rima com oposto, e o lado do desconto por dentro é o lado do
Atual, então nossa fórmula começará pelo lado oposto. Ou seja: começará pelo Nominal:


                               N
            A

        d



      Essa nossa fórmula é linear. Teremos que:

                                         N=A.(1......)

      Primeiramente colocaremos apenas isso: Nominal é igual a Atual vezes um parêntese
começando por 1.
       Feito isso, pensaremos: a fórmula começou pelo Nominal; esse Nominal é maior ou
menor que o Atual? É claro que é maior! Logo, se é maior, então depois desse 1 vem um sinal
de +. Teremos:
                                         N=A.(1+i)n
      É esta a equação fundamental do desconto composto por dentro!
      Como podemos ver, nela aparecem o valor nominal, o valor atual, a taxa composta e o
tempo que separa as datas do valor atual e nominal.
     Esta equação faz uma única exigência, antes de podermos aplicá-la. Qual? É isso
mesmo, a exigência universal: taxa e tempo terão de estar na mesma unidade!
       Suponhamos que um enunciado qualquer de desconto composto racional tenha nos
fornecido o valor nominal (N), o valor da taxa (i) e o valor do tempo (n), e venha solicitar que
encontremos o valor atual (A) desta operação. O que faríamos para aplicar a fórmula acima?
Ora, apenas isolaríamos o valor atual, e passaríamos o parêntese famoso para o outro lado,
dividindo. Teríamos, portanto:
                                         A=N/(1+i)n
      Obviamente que não precisaremos decorar essa segunda fórmula! Claro que não! É mero
desdobramento da primeira! E ainda assim, esta acima é a segunda fórmula do desconto
composto por dentro.
        Passemos à construção da fórmula do Desconto Composto Comercial (Por Fora). O
raciocínio é muito semelhante ao que desenvolvemos acima. Começaremos fazendo o desenho
“genérico” das operações de desconto.
      Teremos:
                               N
            A




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      Daí, lembraremos novamente daquele trato, só que agora no que diz respeito ao
desconto por fora: o lado do desconto por fora é o lado do Nominal. Teremos:



                                 N
          A

                                 f



      Agora nos lembraremos da frase da rima, que nos diz que composto rima com
oposto! Ora, se o lado do desconto por fora é o lado do Nominal, então nossa fórmula
começará pelo lado oposto, ou seja, começará pelo Atual.


                                 N
          A

                                 f



       Teremos, portanto, que:
                                         A=N.(1......)

      A princípio, escrevemos somente isso: Atual é igual a Nominal, que multiplica por um
parêntese que começa por 1.
       E depois perguntamos: esse elemento que começa a fórmula (o Atual) é maior ou menor
que o Nominal? Obviamente que é menor! Logo, após o 1 do parêntese surgirá um sinal de
subtração (-). Teremos:
                                          A=N.(1-i)n
       Esta é a equação fundamental do desconto composto por fora!
       A exigência desta fórmula, estou certo disso, somos todos capazes de adivinhar: taxa e
tempo têm que estar na mesma unidade. Se esta exigência estiver cumprida, então é só
jogar os dados da questão na fórmula.
        E se, por acaso, o enunciado fornecer o valor atual (A), o valor da taxa (i) e o valor do
tempo (n), e solicitar que encontremos o Valor Nominal da operação. O que faríamos para
aplicar a fórmula acima? Ora, isolaríamos o valor nominal, passando o parêntese (que não é o
famoso!) para o lado contrário, dividindo.
       Teríamos:
                                          N=A/(1-i)n
       Ei-la: esta é a segunda equação do desconto composto por fora, cuja exigência de
aplicação é aquela nossa velha conhecida: taxa e tempo na mesma unidade!


      Pois bem! Agora que conhecemos as equações todas do Desconto Composto, resta-nos
lembrar – mais uma vez – que:
         É preciso usar taxa e tempo na mesma unidade!


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      E se taxa e tempo estiverem em unidades diferentes, faremos duas tentativas naquela
ordem já nossa conhecida: 1ª) Recorreremos ao tempo, tentado adaptá-lo para a mesma
unidade da taxa.
      E se falhar a primeira tentativa: 2ª) Recorreremos à taxa, e alteraremos sua unidade,
adaptando-a à unidade do tempo. Neste recurso, e já dispondo de uma taxa composta efetiva,
usaremos o conceito de taxas equivalentes!
      No mais, é só fazer as contas e acertar a questão!
      Uma perguntinha: vocês acham que é possível, no enunciado de uma questão de
Desconto, estar presente uma taxa como 36% ao ano, com capitalização mensal?
      O que vocês acham? Claro que sim! Trata-se de uma taxa nominal. Aprendemos que a
presença da Taxa Nominal, por si, já indica que estamos no Regime Composto! (Não precisará a
questão falar isso expressamente!). E já sabemos também o que fazer diante de uma taxa
nominal. Lembrados? Iremos transformá-la em Taxa Efetiva, por meio do conceito de Taxas
Proporcionais!
      Pronto! Já sabemos tudo sobre o Desconto Composto!
      Vejamos uma questão recente de prova.
01.Obtenha o valor hoje de um título de $10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim
    de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto
    racional composto e desprezando os centavos.
a) $ 9.140,
b) $ 9.151,
c) $ 9.100,
d) $ 9.126,
e) $ 9.174,

Sol.: Essa questão não ofereceu muita resistência. Facilmente identificamos o assunto, de uma
forma completa e segura. Isso se fez por meio de três palavras presentes no enunciado:
“...desconto racional composto...”! Pronto! É tudo o que precisamos saber para a resolvermos:
a questão é de desconto; o regime é o composto; e a modalidade é a de desconto por dentro!
Anotemos os dados que foram fornecidos:
          N=10.000,00
          n=3 meses
          i=3% ao mês (juros compostos)
          A=?

      Ora, usaremos a equação fundamental do desconto composto racional, notando que a
exigência universal já está cumprida pelo enunciado. Ou seja, taxa e tempo já estão na mesma
unidade. Em suma: aplicação direta da fórmula!
      Teremos:
                                             N                    10000
         N = A ⋅ (1 + i ) n    Daí: A =                E: A =
                                          (1 + i ) n            (1 + 3%) 3

       Aqui, podemos recorrer à Tabela Financeira do parêntese famoso, para encontrarmos
que: (1+3%)3 =1,092727

                                  Daí:        A=10000/1,092727

       Vamos usar um truque, do qual já falamos neste Curso, para facilitar a feitura desta
divisão! O truque é o seguinte: com um olho você olha para a conta; com o outro, para as
opções de resposta! Vejamos:


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       1º Passo) Temos que dividir 10.000 por 1,092727. Vamos decidir logo com quantas
casas decimais iremos trabalhar essa divisão. Em geral, o trabalho com três casas decimais
costuma ser satisfatório, e muito seguro! Podemos, então, optar por isso. Daí, nossa conta
será: 10.000 / 1,092

       2º Passo) Agora igualaremos o número de casas decimais. Então vamos lá: 1,092 tem
quantas casas decimais? (Para os mais esquecidos, casa decimal é algarismo depois da
vírgula!). Então. Quantos? Tem 3 casas decimais. E o 10.000 tem quantas casas decimais?
Nenhuma. Então, pegaremos os 10000, passaremos uma vírgula e acrescentaremos três zeros.
Daí, teremos:
                                      10.000,000 / 1,092

        Perceba que conseguimos igualar o número de casas decimais: três para cada lado. Feito
isso, o arremate: excluímos as vírgulas! Nossa conta será, portanto, somente:
                                       10.000.000 / 1.092

       Agora, sim, vem a parte boa! É aqui que vocês vão perceber a importância de se
resolver a conta de divisão olhando para as respostas! Vamos iniciar a nossa conta.
       Primeiramente, olhamos para as opções de resposta. Qual o algarismo que inicia todas
elas? Olha lá!

a) $ 9.140,   b) $ 9.151,      c) $ 9.100,   d) $ 9.126,     e) $ 9.174,


      É um 9. Daí, você – gênio da matemática – começa colocando logo um 9 no quociente.
Ficamos com:

                 10000’000        1092
                   9828            9
                    172

      Agora desce um zero. Teremos:

                 10000’0’00       1092
                   9828            9
                    1720


       E agora? Agora você olha para as respostas novamente. Qual é o segundo dígito (o
segundo algarismo) que aparece em todas elas? Vejamos:
a) $ 9.140,    b) $ 9.151,  c) $ 9.100,     d) $ 9.126, e) $ 9.174,


       Daí, nem precisa adivinhar quem será o próximo valor no nosso quociente! Obviamente
que será o 1. Teremos:
                 10000’0’00      1092
                   9828           91
                    1720
                    1092
                     628

       Reparemos que nossa conta está quase no fim! Claro! Basta darmos uma outra olhadela
nas opções de resposta, e conferirmos qual é o terceiro algarismo que aparece em cada uma
delas. Façamos isso:

a) $ 9.140,   b) $ 9.151,      c) $ 9.100,     d) $ 9.126,     e) $ 9.174,
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        Olha aí, minha gente! Em todas as opções, não houve terceiro algarismo repetido! Isso
significa que se encontrarmos no quociente agora um 4, a resposta será a letra a; se
encontramos um 5, a resposta será a letra b; se encontrarmos um 0, será a letra c; se
encontramos um 2, será a letra d; finalmente, se encontrarmos um 7, nossa resposta será a
letra e.
      Sem medo de ser feliz!
      Voltando à nossa conta. Desce mais um zero. Teremos:


                10000’0’0’0     1092
                  9828            91
                   1720
                   1092
                     6280

      Ora, não ficou muito difícil perceber que caberá aí um 5 no nosso quociente! Vejamos:

                10000’0’0’0     1092
                  9828            915
                   1720
                   1092
                     6280
                     5460

      Não dava para ser um 7, porque 7x1092=7644, que já passava de 6280.

       Pronto! Nem precisamos mais levar adiante essa divisão. Podemos ter certeza absoluta
que a resposta será a opção B.

                                  Daí: A = 9.151,      Resposta!


      É isso! Creio que por hoje é só. Já estamos prontos para pôr em prática os
ensinamentos de hoje.
      Assim, seguem as questões do nosso...
                                       ... Dever de Casa
01. (AFTN-85 ESAF) Uma    pessoa aplicou $10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo
    prazo de 3 anos e      8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da
    aplicação ao final    do prazo era de:
d) $ 16.590                d) $ 16.705
e) $ 16.602                e) $ 16.730
f) $ 16.698

02. (ACE MICT/1998/ESAF) Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao
     mês, juros compostos, do dia 10 de fevereiro ao dia 30 de maio. Obtenha os
     juros da aplicação, usando a convenção linear.
a) R$ 110,00             d) R$ 114,58
b) R$ 113,48             e) R$ 115,00
c) R$ 114,47

03. (Fiscal PA- 2002/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos durante dois
    períodos e meio a uma taxa de 20% ao período. Calcule o montante em relação
    ao capital inicial, considerando a convenção linear para cálculo do montante.
a) 150%                 d) 160%

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b) 157,74%           e) 162%
c) 158,4%

04. (TRF 2006 ESAF) Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado a juros compostos à
    taxa de 18% ao semestre. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de
    quinze meses usando a convenção linear.
a) R$ 150.108,00        d) R$ 152.223,00
b) R$ 151.253,00        e) R$ 152.510,00
c) R$ 151.772,00
05. (AFPS – 2002/ESAF) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à
    taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses,
    usando a convenção linear para cálculo do montante.
a) 22,5%                d) 26,906%
b) 24%                  e) 27,05%
c) 25%

06.   (Analista de Compras de Recife 2003/ESAF) Um título é descontado por R$
   10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês.
   Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o
   desconto racional composto. Despreze os centavos.
  a) R$ 11.255,00             d) R$ 11.800,00
  b) R$ 11.295,00             e) R$ 12.000,00
  c) R$ 11.363,00

07.   (ATE–MS2001/ESAF) Um título é descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes
   do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título considerando que foi
   aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. (Despreze os
   centavos, se houver).
  a) R$ 4.400,00              d) R$ 4.952,00
  b) R$ 4.725,00              e) R$ 5.000,00
  c) R$ 4.928,00

08.      (AFTN-91) Um “comercial paper” com valor de face de $1.000.000,00 e
      vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros
      compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional. Obtenha o valor do
      resgate:
      a) $ 751.314,80           d) $ 729.000,00
      b) $ 750.000,00           e) $ 700.000,00
      c) $ 748.573,00

09.      (ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 500.000,00 , 60 (sessenta)
      dias antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto.
      Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a.a., o líquido
      recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no resultado final)
  Dados:       (1,84)1/3= 1,22538514
               (1,84)1/4= 1,1646742
               (1,84)1/6= 1,10697115

      a) $ 429.304,00              d) $ 449.785,00
      b) $ 440.740,00              e) $ 451.682,00
      c) $ 446.728,00


      Bons estudos! Um forte abraço e fiquem com Deus!




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  • 1. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO AULA 06 – DESCONTO COMPOSTO Olá, amigos! Espero que estejam todos bem! Vamos dar início à aula de hoje resolvendo as questões pendentes do nosso... ...Dever de Casa 35. (FISCAL TRIB.-CE) Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 12 meses, a taxa de 4% ao mês, atinge o montante de R$ 1.000,00 (aproxime o resultado para reais). a) R$ 625,00 d) R$ 650,00 b) R$ 630,00 e) R$ 676,00 c) R$ 636,00 Sol.: A leitura do enunciado revela a presença de elementos de uma operação de Juros. Já sabemos que só poderemos dar início à resolução quando tivermos certeza de estar trabalhando no regime simples ou no regime composto. Aqui o regime composto foi informado de maneira expressa, não restando qualquer dúvida de que estamos diante de uma operação de Juros Compostos! Se são Juros Compostos, trabalharemos com a Equação Fundamental, que é a seguinte: M = C.(1+i)n Estamos lembrados que essa fórmula faz uma única exigência, qual seja, a de que taxa e tempo estejam na mesma unidade (exigência universal da matemática financeira!). Já está cumprida? Sim! Temos uma taxa mensal (4% ao mês) e o tempo em meses (12 meses). Resta-nos, pois, aplicar a equação. Teremos: M = C.(1+i)n 1000 = C.(1+0,04)12 C=1000/(1+0,04)12 Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos: TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 . ... ... ... ... ... 12 ... ... ... 1,601032 Assim: C=1000/1,601032 C= 624,59 ≅ 625, Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 1
  • 2. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 36. (IRB 2004 ESAF) Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante três períodos a uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem do capital aplicado. a) 30% d) 33,1% b) 31,3% e) 34% c) 32,2% Sol.: Este enunciado encontrou uma maneira um pouco diferente de revelar o regime: não usou a palavra simples e nem a palavra composto, mas sim capitalização! A mera presença da palavra capitalização imediatamente nos remeterá ao regime composto! Ok? Sempre assim! Agora atentem para a pergunta da questão: calcule os juros como porcentagem do capital. Ora, sempre que o formato da pergunta for este: calcule este elemento como porcentagem deste outro, atribuiremos ao último o valor de 100 (cem). Se a pergunta foi: calcule os juros como porcentagem do capital, chamaremos o capital de 100. Só isso! Teremos: C=100, n=3 períodos i=10% ao período J=? Vejam que taxa e tempo já estão compatíveis, na mesma unidade. Que unidade é essa? Período! Não importa! Poderia ser mês, ano, qualquer uma. O que importa é que a exigência universal da matemática financeira já está cumprida! Ou seja, já estamos prontos para aplicar a equação fundamental dos Juros Compostos. Teremos: M = C.(1+i)n M = 100.(1+0,10)3 Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos: TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% ... 10% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 ... 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 ... 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 ... 1,331000 Assim: M=100x1,33100 M=133,10 E uma vez conhecendo Capital e Montante, encontraremos também o valor dos Juros. Teremos: J= M-C J=33,10 Ora, mas a questão não quer saber o valor dos Juros apenas! Ela quer saber juros como porcentagem do capital. Foi por isso que chamamos o capital de 100. Assim, basta acrescentarmos aos Juros encontrados o sinal de porcentagem! Finalmente, diremos que: J=33,10% Resposta! www.pontodosconcursos.com.br 2
  • 3. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Consideremos que fosse X o valor dos juros encontrados. Ora, qualquer que fosse esse X, em relação a 100 seria sempre igual a X%. Ok? É por isso que chamamos o Capital de 100: para podermos apenas acrescentar o sinal de porcentagem no final! Adiante! 37. (BACEN) A taxa de 4% ao mês, quando capitalizada com juros compostos, corresponde a uma taxa bimestral equivalente a: a) 8% d) 1,0816% b) 8,16% e) 16% c) 1,08% Sol.: Esta questão trabalha somente com os conceitos de taxa no regime composto! Foi fornecida uma taxa mensal (4% ao mês), e pede-se uma taxa bimestral. Ora, a questão nos deu uma taxa efetiva de Juros Compostos! Concordam? Já sabemos qual o conceito que deve ser adotado neste caso: o conceito de Taxas Equivalentes! E será sempre assim, quando quisermos alterar a unidade de uma taxa efetiva de juros compostos. Aprendemos isso na aula passada! Fazendo uma prévia análise para utilização das Taxas Equivalentes, teremos: %a.b. = I (bimestre é maior que mês). %a.m.=i (mês é menor que bimestre). K=2 (cabem dois meses em um bimestre!). Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i)k 1 + I = (1 + 0,04)2 Consultando a Tabela Financeira, encontraremos que: TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 Daí: 1 + I = 1,081600 E: I=0,0816 I=8,16% ao bimestre Resposta! 38. (Banespa 97/ FCC) Receber juros compostos de 525% ao ano é equivalente a receber juros semestrais de: a) 175,0% d) 262,5% b) 206,25% e) 150,0% c) 218,5% Sol.: Questão semelhante à anterior: o enunciado nos deu uma taxa efetiva de juros compostos, na unidade anual (525%a.a.), e nos pediu que a alterássemos para a unidade semestral. Qual o conceito que usaremos? O conceito de Taxas Equivalentes, claro! Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 3
  • 4. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO %a.a. = I (ano é maior que semestre). %a.s.=i (semestre é menor que ano). K=2 (cabem dois semestres em um ano!). Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i)k 1 + 5,25 = (1 + i)2 Trocando de lado, teremos: (1+i)2=6,25 O momento agora seria o de consultar a Tabela Financeira! Todavia, ao tentar fazer essa consulta, veremos que a tabela não nos será útil para esses valores! E nem precisa! Senão, vejamos. Você sabe dizer qual é a raiz quadrada de 625? Não? Pois deveria! Aliás, deixa eu abrir um parêntese aqui nesta resolução, para falar em quadrados perfeitos. Convém, muitíssimo, que você conheça os quadrados de 11 a 25. Vejamos: 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 Mas, professor, eu preciso mesmo decorar tudo isso? Eu diria que você não precisa fazer não é obrigado a nada neste mundo. Concorda? Mas que seria muito conveniente, isso seria! E por quê? Pelo seguinte: se eu sei que 252=625, então a raiz quadrada de 2,52=6,25. Assim, a raiz quadrada de 6,25 é igual a 2,5. Da mesma forma, teríamos que: 1,21 = 1,1 , ou que 1,44 = 1,2 , e assim por diante! Esse conhecimento serve também para a prova de Estatística! Na prova do AFRF-2003, uma das questões de Estatística Básica só seria resolvida se a pessoa soubesse quanto é a raiz quadrada de 2,56. E aí? Você agora já saberia dizer quanto vale? Claro! Vejamos: Se 162=256, então 2,56 =1,6 www.pontodosconcursos.com.br 4
  • 5. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Pois bem! Voltemos ao nosso enunciado. Chegamos a: (1+i)2=6,25 Daí: (1+i)= 6,25 (1+i)=2,5 i=1,5 i=150% ao semestre Resposta! 39. (IRB 2004 ESAF) Indique qual a taxa anual de juros compostos que equivale a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. a) 24% d) 24,96% b) 24,24% e) 26,8242% c) 24,48% Sol.: Novamente a questão quer alteremos a unidade de uma taxa efetiva de juros compostos! Mais uma vez usaremos o conceito de Taxas Equivalentes. Teremos: %a.a. = I (ano é maior que mês). %a.m.=i (mês é menor que ano). K=12 (cabem doze meses em um ano!). Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i)k 1 + I = (1 + 0,02)12 Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos: TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 . ... ... ... ... ... 12 ... 1,268242 ... 1,601032 Assim: 1 + I = 1,268242 I=0,268242 I=26,8242% a.a. Resposta! 40. (IRB 2006 ESAF) Indique o valor mais próximo da taxa de juros equivalente à taxa de juros compostos de 4% ao mês. a) 60% ao ano d) 10% ao trimestre b) 30% ao semestre e) 6% ao bimestre c) 24% ao semestre Sol.: Essa questão é um pouquinho mais interessante. Há uma dica a ser aprendida! Vocês percebem que vamos partir de uma taxa efetiva de juros compostos mensal. E precisaremos chegar a uma taxa equivalente, em uma unidade ainda desconhecida! www.pontodosconcursos.com.br 5
  • 6. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO O truque é o seguinte: vamos imaginar que a taxa fornecida pelo enunciado seja uma taxa de juros simples. Vejam bem: é apenas uma suposição! Na realidade, conforme sabemos, a taxa é composta! Daí, pensaremos assim: Se a taxa 4% ao mês fosse uma taxa de juros simples, para transformá-la numa taxa bimestral, usaríamos o conceito de taxas proporcionais, e multiplicaríamos por 2 (dois), já que um bimestre tem dois meses. Assim, pelas taxas proporcionais, teríamos que: 4% ao mês = 8% ao bimestre! Ora, ocorre que a taxa 4%a.m. não é de juros simples, mas de juros compostos! Daí, mesmo antes de aplicarmos o conceito de Taxas Equivalentes, de antemão, uma certeza nós já temos: a taxa bimestral terá que ser maior que 8% ao bimestre! Conclusão: transformando uma taxa qualquer, de uma unidade menor para uma unidade maior, teremos que o resultado encontrado pelo conceito de taxas equivalentes será sempre maior que o encontrado pelo conceito de taxas proporcionais. Até aqui, a opção E de resposta já está descartada! Se a taxa de 4% ao mês fosse de juros simples, para transformá-la numa taxa trimestral, usaríamos o conceito de taxas proporcionais, e multiplicaríamos por 3 (três), já que um trimestre tem três meses. Teríamos que: 4% ao mês = 12% ao trimestre! Todavia, essa taxa 4% é de juros compostos e não de juros simples, assim, de antemão, mesmo sem aplicar o conceito de taxas equivalentes, já sabemos que a taxa composta trimestral terá que ser maior que 12%. Essa análise já nos fará descartar a opção D. Viram? Adiante! Se a taxa de 4% ao mês fosse de juros simples, para transformá-la numa taxa semestral, usaríamos o conceito de taxas proporcionais, e multiplicaríamos por 6 (seis), já que um semestre tem seis meses. Teríamos que: 4% ao mês = 24% ao semestre! Assim, já sabemos que a taxa composta equivalente semestral terá que ser maior que 24%. Com isso, descartamos a alternativa C. Por enquanto, estão sobrando duas possibilidades: 60% ao ano ou 30% ao semestre. Aqui, aplicaremos o conceito de Taxas Equivalentes. Vamos encontrar a taxa semestral, Ok? Teremos que: %a.s. = I (semestre é maior que mês). %a.m.=i (mês é menor que semestre). K=6 (cabem seis meses em um semestre!). Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i)k 1 + I = (1 + 0,04)6 Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos: www.pontodosconcursos.com.br 6
  • 7. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 6 ... ... ... 1,265319 Assim: 1 + I = 1,265319 I=0,265319 I=26,5319% ao semestre. Com esse resultado, descartamos a letra B. Qual restou? Apenas a letra A: 60% ao ano Resposta! Há uma coisa que eu esqueci de pedir a vocês na aula passada. (Esqueci mesmo? Não sei. Estou esquecido se esqueci... Memória prodigiosa essa minha!). Bem. Se já falei, vou falar de novo: EU QUERO MUITO QUE VOCÊS DECOREM DUAS COISAS: 1ª) 3% ao mês = 9,2727% ao trimestre. 2ª) 4% ao mês = 60,1032% ao ano. Essas duas taxas compostas – 9,2727% ao trimestre e 60,1032% ao ano – aparecem em prova o tempo inteiro! Em aparecendo na sua prova, você não vai perder mais nem um minuto aplicando o conceito de Taxas Equivalentes. Não vai mais precisar! Por quê? Porque você vai se lembrar que: 9,2727% ao trimestre = 3% ao mês. 60,1032% ao ano = 4% ao mês. Ok? Adiante! 41. (ANEEL 2004 ESAF) A taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal corresponde a uma taxa efetiva anual de a) 26,82%. d) 24,00%. b) 25,51%. e) 22,78%. c) 25,44%. Sol.: Aqui uma questão mais completa, em se tratando de conceitos de taxas no regime composto! E por que isso? Porque está presente no enunciado uma Taxa Nominal. Sempre que isso ocorrer, já saberemos: nosso primeiro passo será transformar a Taxa Nominal em Taxa Efetiva. www.pontodosconcursos.com.br 7
  • 8. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Na aula passada, aprendemos que essa transformação se fará mediante o conceito de Taxas Proporcionais. Lembrados? Teremos: 24% a.a. com capitalização mensal = (24/12) = 2% ao mês A questão agora pede que você encontre uma taxa efetiva anual. Temos uma taxa efetiva mensal, e encontraremos uma taxa efetiva anual. Ou seja, precisamos alterar a unidade de uma taxa efetiva. Por meio de qual conceito? Por meio do conceito de taxas equivalentes. Teremos: %a.a. = I (ano é maior que mês). %a.m.=i (mês é menor que ano). K=12 (cabem doze meses em um ano!). Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i)k 1 + I = (1 + 0,02)12 Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos: TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 . ... ... ... ... ... 12 ... 1,268242 ... ... Assim: 1 + I = 1,268242 I=0,268242 I=26,8242% a.a. Resposta! 42. (TCE-Piauí 2002/FCC) Um contrato de financiamento de imóvel foi celebrado considerando-se uma taxa anual nominal de 12%, capitalizada quadrimestralmente. A taxa efetiva anual é de (A) 12,49% (D) 15,12% (B) 12,55% (E) 16,99% (C) 13,00% Sol.: Mesmíssimo modelo da questão anterior! Aliás, há um desenho que aprendemos na aula passada, e que vale perfeitamente para o caso. Relembremos: Taxa Taxa Taxa Efetiva em Nominal Efetiva outra unidade www.pontodosconcursos.com.br 8 Taxas Taxas Proporcionais Equivalentes
  • 9. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Comecemos logo transformando a Taxa Nominal em Taxa Efetiva. Faremos: 12% a.a. com capitalização quadrimestral = (12/3) = 4% ao quadrimestre A questão agora pede que você encontre uma taxa efetiva anual. Teremos: %a.a. = I (ano é maior que quadrimestre). %a.q.=i (quadrimestre é menor que ano). K=3 (cabem três quadrimestres em um ano!). Aplicando esses dados ao conceito de Taxas Equivalentes, teremos: 1 + I = (1 + i)k 1 + I = (1 + 0,04)3 Consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso, encontraremos: TABELA I - FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n i 1% 2% 3% 4% 5% n 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 Assim: 1 + I = 1,124864 I=0,124864 I=12,49% ao ano Resposta! 43. (TRF 2006 ESAF) Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal. a) 2,595% ao mês. d) 9,703% ao trimestre. b) 19,405% ao semestre. e) 5,825% ao bimestre. c) 18% ao semestre. Sol.: Outra semelhante. Iniciemos transformando a taxa nominal em efetiva. Teremos: 36% a.a. com capitalização mensal = (36/12) = 3% ao mês Só isso já nos leva a descartar a letra A. Concordam? De resto, precisaremos encontrar qual a taxa equivalente a 3% ao mês, numa das unidades das opções de resposta! Como entre as alternativas há taxas na unidade bimestral, trimestral e semestral, usaremos o truque que aprendemos ainda hoje, de fazer de conta que a taxa 3%a.m. é de juros simples. Olha lá, hein: não é verdade isso! É só faz de conta! Assim, passando 3% ao mês simples para bimestral, teríamos: 3x2=6% ao bimestre. E eliminamos a letra E. www.pontodosconcursos.com.br 9
  • 10. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Passando 3% ao mês simples para semestral, teríamos 3x6=18% ao semestre. Assim, eliminamos a letra C, pois 3%a.m. sendo composta, teria que resultar numa taxa equivalente necessariamente maior que 18% ao semestre! (Jamais igual!). Há duas opções no páreo: 19,405% ao semestre e 9,703% ao trimestre. E aí? Precisaremos fazer as contas? Claro que não! E por que não? Porque aprendemos, agora há pouco, que 3% ao mês composta é equivalente a 9,2727% ao trimestre! Isso elimina a letra D, restando-nos, pois, apenas o seguinte: 3% ao mês = 19,405% ao semestre Resposta! 44. (BC-94) A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de: a) 20% d) 23% b) 21% e) 24% c) 22% Sol.: Vamos nós outra vez! Transformando a taxa nominal em efetiva, teremos: 30% a.t. com capitalização mensal = (30/3) = 10% ao mês Essa taxa composta 10% ao mês também é muito comum em prova. Inclusive figurou em algum dos nossos exemplos da aula passada. Acho que podemos também memorizar essa alteração sem maiores problemas, e com economia de tempo na nossa resolução. Sendo assim, aprendamos de uma vez por todas: 10% ao mês = 21% ao bimestre! Será essa taxa bimestral que encontraremos aplicando o conceito de Taxas Equivalentes! Ok? Seguindo o mesmo cálculo, encontraremos também o seguinte: 10% ao bimestre = 21% ao quadrimestre 10% ao trimestre = 21% ao semestre 10% ao semestre = 21% ao ano Adiante! 45. (AFC/STN 2005 ESAF) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60% ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a: a) 69 % e 60 % d) 60 % e 69 % b) 60 % e 60 % e) 120 % e 60 % c) 69 % e 79 % Sol.: Eis aqui uma questão bastante interessante! Foram fornecidas duas taxas nominais. As seguintes: 60% ao ano, com capitalização semestral; e 30% ao semestre, com capitalização mensal. Teremos que transformá-las em taxas efetivas, aplicando duas vezes o conceito de taxas proporcionais. Teremos: www.pontodosconcursos.com.br 10
  • 11. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 60% ao ano, com capitalização semestral = (60/2) = 30% ao semestre 30% ao semestre, com capitalização mensal = (30/6) = 5% ao mês E agora, o que a questão nos pede? Pede-nos que encontremos taxas anuais! Ora, de posse de uma taxa efetiva de juros compostos, para alterar sua unidade aplicaremos o conceito de Taxas Equivalentes! Certo? Só que antes disso, faremos uma consideração hipotética, para ver se podemos matar a questão mais rapidamente. Comecemos trabalhando com a taxa de 30% ao semestre. Se ela fosse uma taxa de juros simples, para transformá-la para anual, aplicaríamos o conceito de taxas proporcionais, e teríamos que: 30% ao semestre = 30x2 = 60% ao ano. Assim, a taxa efetiva anual teria que ser, necessariamente, maior que 60% ao ano! Agora, façamos o mesmo com a taxa de 5% ao mês. Se ela fosse taxa simples, aplicaríamos o conceito de taxas proporcionais para transformá-la em taxa anual, e teríamos que: 5% ao mês = 5x12 = 60% ao ano. Assim, a taxa efetiva anual também teria que ser, neste caso, necessariamente maior que 60% ao ano! Conclusão: a resposta que procuramos tem que apresentar duas taxas maiores que 60%! Dêem uma olhadinha nas alternativas! Viram? Somente uma opção de resposta atende essa condição! Daí: letra C Resposta! É isso! Espero que tenham resolvido bem essas questões! Ainda nos restou falar alguma coisa sobre os Juros Compostos. Um tema importante e que cai muito em prova. Vamos lá. # Convenção Linear: Na aula passada, aprendemos a resolver questões de Juros Compostos, mediante a aplicação da Equação Fundamental, que consistia no seguinte: M=C.(1+i)n Até aqui, nada de novo! Ocorre que existe uma forma alternativa para resolvermos questões de Juros Compostos! Essa forma alternativa tem um nome: Convenção Linear! Assim, a Convenção Linear nada mais é que um método diferente para trabalharmos operações de Juros Compostos! Só isso! Precisamos saber que esse caminho alternativo é, na verdade, o caminho da exceção! E assim sendo, só iremos resolver uma questão de Juros Compostos pela Convenção Linear quando o enunciado mandar expressamente! Ok? Só nesse caso! No mais, temos que conhecer a equação da Convenção Linear. É a seguinte: M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) Onde: www.pontodosconcursos.com.br 11
  • 12. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO INT é a parte inteira do tempo; e Q é a parte quebrada do tempo. Pela própria fórmula, vocês vão deduzir o seguinte: nos enunciados de Convenção Linear, o tempo de aplicação do capital será sempre apresentado (ou convertido por nós) em duas partes: uma inteira e outra quebrada. Assim sendo, faremos neste exemplo uma adaptação à exigência universal da matemática financeira: na Convenção Linear, temos que a taxa tem que estar na mesma unidade das duas partes do tempo (a parte inteira e a parte quebrada). Por exemplo: se a questão falar 3 meses e 15 dias e uma taxa mensal. Passando tudo para meses (a unidade da taxa), teremos que: 3 meses e 15 dias = 3 meses (parte inteira) + 0,5 mês (parte quebrada). Outro exemplo: se a questão falar em 5 meses e 10 dias, e uma taxa mensal. Teremos: 5 meses e 10 dias = 5 meses (parte inteira) + (1/3) mês (parte quebrada). Entenderam? Pois bem! Se a questão falar em Convenção Linear, só precisaremos nos lembrar da Equação apropriada, bem como de colocar a as duas partes do tempo na mesma unidade da taxa! Só isso! É uma das questões mais fáceis da prova! (ESAF) Uma pessoa aplicou $10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final do prazo era de: a) $ 16.590 d) $ 16.705 b) $ 16.602 e) $ 16.730 c) $ 16.698 Sol.: O enunciado falou expressamente em convenção linear, de sorte que já identificamos o assunto da questão! Teremos, pois, que aplicar a seguinte equação: M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) Percebamos agora que a taxa é anual (15% ao ano) e que o tempo está anos e meses. O que teremos que fazer é transformar 8 meses em uma fração de ano. Nada mais fácil. Teremos que o tempo completo é o seguinte: 3 anos e (8/12) ano. Se quisermos, pode ficar só assim mesmo. Mas, se você preferir ainda simplificar mais aquela fração, teremos: 3 anos e (2/3) ano. Melhorou? Feito isso, e considerando que a taxa e as duas partes do tempo já estão na mesma unidade, resta-nos, tão somente, aplicar a fórmula. Teremos: M=C.(1+i)INT.(1+i.Q) M=10000.(1+0,15)3.[1+0,15x(2/3)] M=16.729,63 ≅ 16.730,00 Resposta! Deixarei outras questões de Convenção Linear para resolvermos no Dever de Casa. Passemos agora a falar acerca do Desconto Composto! Para nossa sorte, um dos assuntos mais rápidos e mais fáceis do nosso Curso! Vejamos. www.pontodosconcursos.com.br 12
  • 13. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO # DESCONTO COMPOSTO: O que vem a ser uma operação de Desconto? Já sabemos disso: é aquela em que se projeta para o dia de hoje um valor monetário conhecido numa data futura. Já sabemos também qual é o desenho básico de toda e qualquer operação de Desconto. (Não sabemos?) É o seguinte: N A Pois bem! Sabemos ainda quais são os cinco elementos do Desconto. Os seguintes: Valor Nominal: N Tempo de antecipação: n Valor Atual: A Desconto: D Taxa: i No estudo do Desconto Simples, aprendemos uma pequena equação, válida para todas as operações de Desconto, quer simples, quer composto. Alguém se lembra dela? É a seguinte: D=N-A. Isso é sempre verdade. Ok? No Desconto Composto, a exemplo do regime simples, haverá também duas modalidades: Desconto Composto por Dentro ou Racional; Desconto Composto por Fora ou Comercial. A respeito disso, há uma ressalva a ser feita: a Esaf, elaboradora da prova da Receita Federal (e de tantas outras) não faz constar o Desconto Composto por Fora (Comercial) sequer nos programas de seus editais. Isso porque existe uma linha de autores de matemática financeira, segundo o qual o Desconto Comercial Composto é uma ficção! Não existe, na verdade! Assim, há um verdadeiro facilitador neste assunto – Regime Composto – quando a elaboradora da prova for a Esaf. Qual? O de já sabermos que a operação de Desconto Composto ocorrerá, necessariamente, na modalidade de Desconto por Dentro. Todavia, esse entendimento restritivo do Desconto Composto não é absoluto. A Fundação Carlos Chagas (FCC), por exemplo, explorou, em prova bastante recente, o conhecimento do Desconto Composto por Fora (Comercial). Assim, convém que conheçamos tudo! Eu lhes digo que, a bem da verdade, o que a questão de Desconto Composto quer mesmo saber, é se você conhece a equação que será empregada naquela resolução. www.pontodosconcursos.com.br 13
  • 14. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Sendo assim, aprenderemos uma forma boa de memorizar tanto a equação do Desconto Composto por Dentro, quanto a do Desconto Composto por Fora. Vamos lá. Comecemos pelo Desconto Composto por Dentro: primeiramente, ao lermos o enunciado, descobriremos que se trata de uma questão de desconto, e que estamos trabalhando no regime composto! Ora, quais são as formas de identificarmos que estamos no regime composto (e não no simples)? Primeira forma: quando o enunciado expressamente o disser. Aí é fácil. Se a questão em algum momento falar “...usando o desconto composto...”, não restará duvida alguma sobre o regime da operação. A segunda forma de sabermos que o regime é o composto é a mera presença, no enunciado, de uma taxa nominal. Estamos lembrados do que é uma taxa nominal, certo? Se encontrarmos em nossa questão de desconto uma taxa no formato 48% ao ano com capitalização mensal, por exemplo, saberemos que o desconto é o composto! Pois bem! Identificado que a questão é de desconto, e identificado que o desconto é composto, restará ainda uma última conclusão a se chegar: qual é a modalidade desta operação de desconto composto? Agora suponhamos que o enunciado tenha dito: “... adote o desconto racional composto.” Pronto! Essas três palavras nos informam tudo o que precisamos saber acerca desta questão. Trata-se de uma questão de desconto, no regime composto, e na modalidade de desconto racional, que é o desconto por dentro! Só nos falta aprender as fórmulas. Façamos um “passo-a-passo”: 1º) Faremos o desenho “genérico” de uma operação de desconto: N A 2º) Lembraremos daquele conceito que foi feito no capítulo de Desconto Simples, quando dissemos que haveria um dos lados que seria considerado o lado do desconto por dentro, e um que seria o lado do desconto por fora. Será que ainda lembramos disso? O lado do desconto por dentro é o lado do Atual; O lado do desconto por fora é o lado do Nominal. Como estamos em uma questão de desconto por dentro, teremos que: N A d Esse d é só para lembrar que o lado do Atual é o lado do desconto por dentro. www.pontodosconcursos.com.br 14
  • 15. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 3º) Iremos lembrar de uma pequena frase, que nos auxiliará a formar a equação do desconto composto. A frase é a seguinte: Composto rima com oposto. Ora, se composto rima com oposto, e o lado do desconto por dentro é o lado do Atual, então nossa fórmula começará pelo lado oposto. Ou seja: começará pelo Nominal: N A d Essa nossa fórmula é linear. Teremos que: N=A.(1......) Primeiramente colocaremos apenas isso: Nominal é igual a Atual vezes um parêntese começando por 1. Feito isso, pensaremos: a fórmula começou pelo Nominal; esse Nominal é maior ou menor que o Atual? É claro que é maior! Logo, se é maior, então depois desse 1 vem um sinal de +. Teremos: N=A.(1+i)n É esta a equação fundamental do desconto composto por dentro! Como podemos ver, nela aparecem o valor nominal, o valor atual, a taxa composta e o tempo que separa as datas do valor atual e nominal. Esta equação faz uma única exigência, antes de podermos aplicá-la. Qual? É isso mesmo, a exigência universal: taxa e tempo terão de estar na mesma unidade! Suponhamos que um enunciado qualquer de desconto composto racional tenha nos fornecido o valor nominal (N), o valor da taxa (i) e o valor do tempo (n), e venha solicitar que encontremos o valor atual (A) desta operação. O que faríamos para aplicar a fórmula acima? Ora, apenas isolaríamos o valor atual, e passaríamos o parêntese famoso para o outro lado, dividindo. Teríamos, portanto: A=N/(1+i)n Obviamente que não precisaremos decorar essa segunda fórmula! Claro que não! É mero desdobramento da primeira! E ainda assim, esta acima é a segunda fórmula do desconto composto por dentro. Passemos à construção da fórmula do Desconto Composto Comercial (Por Fora). O raciocínio é muito semelhante ao que desenvolvemos acima. Começaremos fazendo o desenho “genérico” das operações de desconto. Teremos: N A www.pontodosconcursos.com.br 15
  • 16. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Daí, lembraremos novamente daquele trato, só que agora no que diz respeito ao desconto por fora: o lado do desconto por fora é o lado do Nominal. Teremos: N A f Agora nos lembraremos da frase da rima, que nos diz que composto rima com oposto! Ora, se o lado do desconto por fora é o lado do Nominal, então nossa fórmula começará pelo lado oposto, ou seja, começará pelo Atual. N A f Teremos, portanto, que: A=N.(1......) A princípio, escrevemos somente isso: Atual é igual a Nominal, que multiplica por um parêntese que começa por 1. E depois perguntamos: esse elemento que começa a fórmula (o Atual) é maior ou menor que o Nominal? Obviamente que é menor! Logo, após o 1 do parêntese surgirá um sinal de subtração (-). Teremos: A=N.(1-i)n Esta é a equação fundamental do desconto composto por fora! A exigência desta fórmula, estou certo disso, somos todos capazes de adivinhar: taxa e tempo têm que estar na mesma unidade. Se esta exigência estiver cumprida, então é só jogar os dados da questão na fórmula. E se, por acaso, o enunciado fornecer o valor atual (A), o valor da taxa (i) e o valor do tempo (n), e solicitar que encontremos o Valor Nominal da operação. O que faríamos para aplicar a fórmula acima? Ora, isolaríamos o valor nominal, passando o parêntese (que não é o famoso!) para o lado contrário, dividindo. Teríamos: N=A/(1-i)n Ei-la: esta é a segunda equação do desconto composto por fora, cuja exigência de aplicação é aquela nossa velha conhecida: taxa e tempo na mesma unidade! Pois bem! Agora que conhecemos as equações todas do Desconto Composto, resta-nos lembrar – mais uma vez – que: É preciso usar taxa e tempo na mesma unidade! www.pontodosconcursos.com.br 16
  • 17. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO E se taxa e tempo estiverem em unidades diferentes, faremos duas tentativas naquela ordem já nossa conhecida: 1ª) Recorreremos ao tempo, tentado adaptá-lo para a mesma unidade da taxa. E se falhar a primeira tentativa: 2ª) Recorreremos à taxa, e alteraremos sua unidade, adaptando-a à unidade do tempo. Neste recurso, e já dispondo de uma taxa composta efetiva, usaremos o conceito de taxas equivalentes! No mais, é só fazer as contas e acertar a questão! Uma perguntinha: vocês acham que é possível, no enunciado de uma questão de Desconto, estar presente uma taxa como 36% ao ano, com capitalização mensal? O que vocês acham? Claro que sim! Trata-se de uma taxa nominal. Aprendemos que a presença da Taxa Nominal, por si, já indica que estamos no Regime Composto! (Não precisará a questão falar isso expressamente!). E já sabemos também o que fazer diante de uma taxa nominal. Lembrados? Iremos transformá-la em Taxa Efetiva, por meio do conceito de Taxas Proporcionais! Pronto! Já sabemos tudo sobre o Desconto Composto! Vejamos uma questão recente de prova. 01.Obtenha o valor hoje de um título de $10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional composto e desprezando os centavos. a) $ 9.140, b) $ 9.151, c) $ 9.100, d) $ 9.126, e) $ 9.174, Sol.: Essa questão não ofereceu muita resistência. Facilmente identificamos o assunto, de uma forma completa e segura. Isso se fez por meio de três palavras presentes no enunciado: “...desconto racional composto...”! Pronto! É tudo o que precisamos saber para a resolvermos: a questão é de desconto; o regime é o composto; e a modalidade é a de desconto por dentro! Anotemos os dados que foram fornecidos: N=10.000,00 n=3 meses i=3% ao mês (juros compostos) A=? Ora, usaremos a equação fundamental do desconto composto racional, notando que a exigência universal já está cumprida pelo enunciado. Ou seja, taxa e tempo já estão na mesma unidade. Em suma: aplicação direta da fórmula! Teremos: N 10000 N = A ⋅ (1 + i ) n Daí: A = E: A = (1 + i ) n (1 + 3%) 3 Aqui, podemos recorrer à Tabela Financeira do parêntese famoso, para encontrarmos que: (1+3%)3 =1,092727 Daí: A=10000/1,092727 Vamos usar um truque, do qual já falamos neste Curso, para facilitar a feitura desta divisão! O truque é o seguinte: com um olho você olha para a conta; com o outro, para as opções de resposta! Vejamos: www.pontodosconcursos.com.br 17
  • 18. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 1º Passo) Temos que dividir 10.000 por 1,092727. Vamos decidir logo com quantas casas decimais iremos trabalhar essa divisão. Em geral, o trabalho com três casas decimais costuma ser satisfatório, e muito seguro! Podemos, então, optar por isso. Daí, nossa conta será: 10.000 / 1,092 2º Passo) Agora igualaremos o número de casas decimais. Então vamos lá: 1,092 tem quantas casas decimais? (Para os mais esquecidos, casa decimal é algarismo depois da vírgula!). Então. Quantos? Tem 3 casas decimais. E o 10.000 tem quantas casas decimais? Nenhuma. Então, pegaremos os 10000, passaremos uma vírgula e acrescentaremos três zeros. Daí, teremos: 10.000,000 / 1,092 Perceba que conseguimos igualar o número de casas decimais: três para cada lado. Feito isso, o arremate: excluímos as vírgulas! Nossa conta será, portanto, somente: 10.000.000 / 1.092 Agora, sim, vem a parte boa! É aqui que vocês vão perceber a importância de se resolver a conta de divisão olhando para as respostas! Vamos iniciar a nossa conta. Primeiramente, olhamos para as opções de resposta. Qual o algarismo que inicia todas elas? Olha lá! a) $ 9.140, b) $ 9.151, c) $ 9.100, d) $ 9.126, e) $ 9.174, É um 9. Daí, você – gênio da matemática – começa colocando logo um 9 no quociente. Ficamos com: 10000’000 1092 9828 9 172 Agora desce um zero. Teremos: 10000’0’00 1092 9828 9 1720 E agora? Agora você olha para as respostas novamente. Qual é o segundo dígito (o segundo algarismo) que aparece em todas elas? Vejamos: a) $ 9.140, b) $ 9.151, c) $ 9.100, d) $ 9.126, e) $ 9.174, Daí, nem precisa adivinhar quem será o próximo valor no nosso quociente! Obviamente que será o 1. Teremos: 10000’0’00 1092 9828 91 1720 1092 628 Reparemos que nossa conta está quase no fim! Claro! Basta darmos uma outra olhadela nas opções de resposta, e conferirmos qual é o terceiro algarismo que aparece em cada uma delas. Façamos isso: a) $ 9.140, b) $ 9.151, c) $ 9.100, d) $ 9.126, e) $ 9.174, www.pontodosconcursos.com.br 18
  • 19. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Olha aí, minha gente! Em todas as opções, não houve terceiro algarismo repetido! Isso significa que se encontrarmos no quociente agora um 4, a resposta será a letra a; se encontramos um 5, a resposta será a letra b; se encontrarmos um 0, será a letra c; se encontramos um 2, será a letra d; finalmente, se encontrarmos um 7, nossa resposta será a letra e. Sem medo de ser feliz! Voltando à nossa conta. Desce mais um zero. Teremos: 10000’0’0’0 1092 9828 91 1720 1092 6280 Ora, não ficou muito difícil perceber que caberá aí um 5 no nosso quociente! Vejamos: 10000’0’0’0 1092 9828 915 1720 1092 6280 5460 Não dava para ser um 7, porque 7x1092=7644, que já passava de 6280. Pronto! Nem precisamos mais levar adiante essa divisão. Podemos ter certeza absoluta que a resposta será a opção B. Daí: A = 9.151, Resposta! É isso! Creio que por hoje é só. Já estamos prontos para pôr em prática os ensinamentos de hoje. Assim, seguem as questões do nosso... ... Dever de Casa 01. (AFTN-85 ESAF) Uma pessoa aplicou $10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final do prazo era de: d) $ 16.590 d) $ 16.705 e) $ 16.602 e) $ 16.730 f) $ 16.698 02. (ACE MICT/1998/ESAF) Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, juros compostos, do dia 10 de fevereiro ao dia 30 de maio. Obtenha os juros da aplicação, usando a convenção linear. a) R$ 110,00 d) R$ 114,58 b) R$ 113,48 e) R$ 115,00 c) R$ 114,47 03. (Fiscal PA- 2002/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos durante dois períodos e meio a uma taxa de 20% ao período. Calcule o montante em relação ao capital inicial, considerando a convenção linear para cálculo do montante. a) 150% d) 160% www.pontodosconcursos.com.br 19
  • 20. CURSOS ON-LINE – MATEMÁTICA FINANCEIRA – CURSO REGULAR PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO b) 157,74% e) 162% c) 158,4% 04. (TRF 2006 ESAF) Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 18% ao semestre. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de quinze meses usando a convenção linear. a) R$ 150.108,00 d) R$ 152.223,00 b) R$ 151.253,00 e) R$ 152.510,00 c) R$ 151.772,00 05. (AFPS – 2002/ESAF) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a convenção linear para cálculo do montante. a) 22,5% d) 26,906% b) 24% e) 27,05% c) 25% 06. (Analista de Compras de Recife 2003/ESAF) Um título é descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto. Despreze os centavos. a) R$ 11.255,00 d) R$ 11.800,00 b) R$ 11.295,00 e) R$ 12.000,00 c) R$ 11.363,00 07. (ATE–MS2001/ESAF) Um título é descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. (Despreze os centavos, se houver). a) R$ 4.400,00 d) R$ 4.952,00 b) R$ 4.725,00 e) R$ 5.000,00 c) R$ 4.928,00 08. (AFTN-91) Um “comercial paper” com valor de face de $1.000.000,00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional. Obtenha o valor do resgate: a) $ 751.314,80 d) $ 729.000,00 b) $ 750.000,00 e) $ 700.000,00 c) $ 748.573,00 09. (ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 500.000,00 , 60 (sessenta) dias antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva de 84% a.a., o líquido recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no resultado final) Dados: (1,84)1/3= 1,22538514 (1,84)1/4= 1,1646742 (1,84)1/6= 1,10697115 a) $ 429.304,00 d) $ 449.785,00 b) $ 440.740,00 e) $ 451.682,00 c) $ 446.728,00 Bons estudos! Um forte abraço e fiquem com Deus! www.pontodosconcursos.com.br 20