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Mate

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MATEMATICA FINANCIERA

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  • muy interesante para eestudiar ...gracias Monita Dominguez ;)
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Mate

  1. 1. recc UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO. FACULTAD DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA MATEMATICA FINANCIERA CARRERA: CONTABILIDAD Y AUDITORIA SEMESTRE: SEGUNDO PROFESOR: Dr. Mg. ROBERTO CARRILLO AMBATO - ECUADOR SEPTIEMBRE 2009
  2. 2. recc TASAS PORCENTUALES TASA PORCENTUAL: Es una o varias partes que se toman de una cantidad. CLASE DE TASAS: Existen tasas del tanto por uno, del tanto por ciento, del tanto por mil, etc. Tanto por uno: Para encontrar el tanto por uno, dividimos el número dado para el total. Ejemplo: En segundo semestre de un total de 46 estudiantes, 13 son hombres. 282608,0 46 13  = 0,28 son hombres Tanto por cien: Para encontrar el tanto por cien, multiplicamos el tanto por uno por 100. Al tanto por cien, también se le conoce con el nombre de PORCENTAJE o TANTO POR CIENTO. Tanto por mil: Para encontrar el tanto por mil, multiplicamos el tanto por uno por 1000. Ejemplo: En una provincia X, se reunieron los alcaldes de 5 cantones para tratar sobre la desnutrición existente: hallar el tanto por uno, tanto por ciento, tanto por mil, tanto por diez mil y el tanto por cien mil. Cantones TOTAL Nº Cociente Tanto x 1 x 100 x 1.000 x 10.000 x 100.000 Pelucones Sube rápido baja el sábado Pitufos Chavos Mamita pega duro 800 500 700 1000 650 80 180 300 150 425 80/800 180/500 300/700 150/1000 425/650 0,1 0,36 0,43 0,15 0,65 10 36 43 15 65 100 360 429 150 654 1.000 3.600 4.286 1.500 6.538 10.000 36.000 42.857 15.000 65.385 TASAS DE INCREMENTO Y DISMINUCIÓN Estas tasas, sirven para indicar en qué proporción una cantidad se incrementa o disminuye. Toda tasa de incremento, tiene una tasa de disminución que nos permite regresar a la cifra original. d d i t t t   1 De donde ti = tasa de incremento td = tasa de disminución
  3. 3. recc (1 - td) ti = td ti – td.ti = td -td.ti – td = -ti td.ti + td = ti td (ti + 1) = ti 1  i i d t t t Ejemplo: De $ 2000 incrementar el 30%: Hallar su tasa de disminución 2.000 100% TOTAL PORCENTAJE x 30% 2.600 100% x 23,07692308% %100 %30*000.2 x 600x 600x TOTAL = 2.600 TOTAL = 2.600 - 600 1  i i d t t t = 2.000 30,1 30,0 dt %07692308,23dt PRÁCTICA De $ 3.500 disminuir 15%; Hallar la tasa de incremento 3.500 100% 2.975 100% x 15% x 17,647% %100 %15*500.3 x %100 %647,17*975.2 x 525x 99,524x 525x TOTAL = 3.500 – 525 TOTAL = 2.975+525 TOTAL = 2.975 TOTAL = 3.500 d d i t t t   1
  4. 4. recc 85,0 15,0 it %64705882,17it DEBER Nº 1 1. En la provincia de Tungurahua la empresa eléctrica analizó el consumo eléctrico de 3 cantones, para tratar el total del consumo eléctrico. Hallar el tanto por uno, tanto por ciento, tanto por mil y tanto por diez mil. Cevallos total de consumo 5.000 kw. Quero 10.000 Kw. Baños 150.000 Kw. 2. En la Universidad Técnica de Ambato, se reunieron los decanos de 3 facultades, para tratar sobre el número de mujeres existentes. Hallar el tanto por uno, tanto por ciento, tanto por mil y tanto por diez mil. Facultades TOTAL Nº Cociente Tanto x 1 x 100 x 1.000 x 10.000 Contabilidad Sistemas Civil 700 300 100 3. De 4.500 incrementar el 40%. Hallar su tasa de disminución. 4. De $ 1.000 incrementar el 20%. Hallar su tasa de disminución. 5. De $ 5.000 disminuir 15%; Hallar la tasa de incremento 6. De $ 3.500 disminuir 25%; Hallar la tasa de incremento FÓRMULAS PARA ENCONTRAR EL IMPORTE DE VENTA a. Sabiendo el porcentaje sobre el costo.  iCV  1 i V C   1 b. Sabiendo el porcentaje sobre el importe de venta. i C V   1  iVC  1 De donde: V = Importe de venta C = Costo i = T(porcentaje) / 100 Ejemplo 1. Gabriela compro un abrigo cuyo costo fue de $ 700 a. Encontrar el importe de venta si se desea obtener una utilidad del 30%
  5. 5. recc b. Encontrar el importe de venta si se desea obtener una utilidad del 30% sobre el importe a.  iCV  1 b. i C V   1  3,01700 V 3,01 700  V 910V 000.1V Ejemplo 2. Se compró un artículo pagando $ 400 y la ganancia es un porcentaje del 30% sobre el costo. Hallar el importe de venta.  iCV  1  3,01400 V 520V Se tiene un artículo cuyo costo es $ 5.850. Se desea venderlo ganando 35% del importe de venta. Hallar dicho importe de venta i C V   1 35,01 850.5  V 000.9V Se tiene un artículo que se vende en $ 6.500. Hallar el costo si se sabe que se está ganando el 30% sobre el costo. i V C   1 3,01 500.6  C 000.5C A un artículo se ha fijado un importe de venta de $ 8.000. Hallar el costo, si se sabe que se está ganando el 22% de la venta.  iVC  1  22,01000.8 C 240.6V DEBER Nº 2 De los ejemplos dados a continuación, extraer conclusiones e incrementar 5 de su autoria.
  6. 6. recc Ejemplos: 1. Se tiene una bicicleta que se vende en $ 250. Hallar: a. El costo si se está ganando el 20% sobre el costo. b. El costo si se está ganando el 20% del importe a. i V C   1 b. )1( iVC  2,01 250  C )2,01(250 C 33,208C 200C 2. Se tiene un televisor que se vende en $ 550. Hallar: a. El costo si se está ganando el 20% sobre el costo. b. El costo si se está ganando el 20% del importe a. i V C   1 b. )1( iVC  2,01 550  C )2,01(550 C 33,458C 440C 3. Se tiene una laptop que se vende en $ 1.550. Hallar: a. El costo si se está ganando el 20% sobre el costo. b. El costo si se está ganando el 20% del importe a. i V C   1 b. )1( iVC  2,01 1500  C )2,01(500.1 C 250.1C 200.1C 4. Se tiene un microondas que se vende en $ 300. Hallar: a. El costo si se está ganando el 20% sobre el costo. b. El costo si se está ganando el 20% del importe a. i V C   1 b. )1( iVC  2,01 300  C )2,01(300 C 250C 240C 5. Se tiene un MP4 que se vende en $ 130. Hallar: a. El costo si se está ganando el 20% sobre el costo.
  7. 7. recc b. El costo si se está ganando el 20% del importe a. i V C   1 b. )1( iVC  2,01 130  C )2,01(130 C 33,108C 104C
  8. 8. recc DESCUENTOS MERCANTILES E IMPORTE DE VENTAS Estos descuentos, se realizan por: a. Fechas especiales. b. Liquidación. c. Promociones. d. Pago en efectivo. e. Compra al por mayor, etc. Para encontrar el importe de venta cuando se realizan una serie de descuentos, aplicamos la siguiente fórmula:    ..........111 321 dddLV  V = importe de venta L = valor (importe de lista) d = descuento Ejemplo 1: En una empresa, entre otros artículos expende sillones para en enanos. Este artículo esta promoción. Por eso la fábrica lo vende con 5% de descuento. Además por la compra de 300 o más unidades otorga un descuento adicional del 10%. Un cliente, el señor Teófilo Bonito compra 300 unidades. El importe de lista unitario es de $ 115. Calcular el importe de venta total que realmente se cobrará.    ..........111 321 dddLV  V = 300 unidades * $ 115 = $ 34.500 V = 34.500 (1 – 0,05) (1 – 0,10) V = $ 29.497,50 Verificación: Valor a pagar 1 = $ 34.500 – 5% Valor a pagar 1 = $ 34.500 – ($ 34.500*5%) Valor a pagar 1 = $ 32.775 Total a pagar = $ 32.775 – 10% Total a pagar = $ 32.775 – ($ 32.775*10%) Total a pagar = $ 29.497,50 Ejemplo 2:
  9. 9. recc La empresa Chespirito S.A. tiene un artículo al cual le ha fijado un importe mínimo de venta de $ 1.131,60. El gerente de ventas desea calcular un importe de lista para consignarlo en su catálogo y poder ofrecer un descuento de 8% por promoción y otro descuento del 25% por volumen para quienes compren 50 o más unidades. Calcular el valor de la venta unitario.    ..........111 321 ddd V L     25,0108,01 60,131.1  L 640.1 69,0 60,131.1 L
  10. 10. recc DEBER Nº 3 1. En una empresa, entre algunos artículos promocionan un televisor con un descuento del 30%, además por la compra de 3 televisores o más; y algún otro artículo que se encuentre en promoción recibirá el 10%. Sabiendo que el importe es de $ 350 por unidad. El señor Carlos Pérez compra 4 televisores. Calcular el importe total que realmente se cobrará.    ..........111 321 dddLV  400.14*350 V   1,013,01.400.1 V 882$.V 2. En una empresa, Friolight tiene un artículo al cual le ha fijado un importe mínimo de venta de $ 1.500. El gerente de ventas desea calcular, un importe de lista para consignarlo en su catálogo y poder ofrecer un descuento de 10% por promoción y otro descuento de 30% por volumen para los que compren 20 o más unidades. Calcular el valor de venta unitario.    ..........111 321 ddd V L     3,011,01 500.1  L 63,0 500.1 L 95,380.2L
  11. 11. recc EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 2 a. Hallar la td para una ti de 18% 350 100% 413 100% x 18% x 15,25% %100 %18*350 x %100 %25,15*413 x 63x 6398,62 x TOTAL = 350 +63 TOTAL = 413 – 63 TOTAL = 413 TOTAL = 350 1  i i d t t t 18,1 18,0 dt %25,151525,0 dt b. Hallar la ti para una td de 28% 1.500 100% 1.080 100% x 28% x 33,88% %100 %28*500.1 x %100 %88,33*080.1 x 420x 42099,419 x TOTAL = 1.500 – 420 TOTAL = 1.080+420 TOTAL = 1.080 TOTAL = 1.500 d d i t t t   1 72,0 28,0 it %88,333388,0 it c. Se tiene un artículo cuyo costo es $ 900. Se desea venderlo ganando 40% del costo. Hallar el importe de venta.  iCV  1  4,01900 V 260.1V d. Se tiene un artículo cuyo costo es $ 1.494. Se desea venderlo ganando 17% del importe de venta. Hallar dicho importe de venta.
  12. 12. recc i C V   1 17,01 494.1  V 800.1V e. Se tiene un artículo cuyo importe de venta es $ 1.380. Con ese importe de venta, se está ganando 15% del costo. Calcular dicho costo. i V C   1 15,01 380.1  C 200.1C f. Se tiene un artículo cuyo importe de venta es $ 2.400. Sabemos que está ganando 16% de dicho importe de venta. Calcular el costo.  iVC  1  16,01400.2 C 016.2V g. Un artículo se vende en $ 4.680, ganando 30% sobre el importe de la compra. Hallar dicho importe de venta. i V C   1 3,01 680.4  C 600.3C h. Un artículo costó $ 413,60. Se desea venderlo ganando 15% del costo, y otorgando un descuento de 20% sobre el importe de lista L. hallar L.  iCV  1  15,0160,413 V 64,475V   211 ddLV i   2,0164,475 V
  13. 13. recc 51,380V i. Un artículo costó $ 1.411,20. La empresa desea venderlo ganando 16% de la venta y otorgando un descuento de 30% sobre el importe de lista L. Hallar L. i C V   1 3,01 204,411.1  V 680.1V   211 ddLV i   3,01680.1 V 176.1V j. El importe de lista de un artículo es $ 1.560. Se vende otorgando dos descuentos sucesivos de 16% y 5%. Hallar el importe de venta.   211 ddLV i    05,0116,01560.1 V 88,244.1V k. El importe de lista de un artículo es $ 150. Se vende otorgando descuentos sucesivos de 10%, 16% y 4%. Hallar el importe de venta.   211 ddLV i     04,0116,011,01150 V 86,108V l. El importe de la venta mínima de un artículo es $ 2.274,30. Se desea presentar un importe de lista que permita ofrecer descuentos sucesivos de 5%, 10% y 15%. Hallar el importe de lista L.   211 ddLV i     15,0110,0105,0130,274.2 V 84,652.1V m. Un artículo costaba el año pasado $ 25 y ahora cuesta $ 33. Calcular el porcentaje de variación CV C CF i 1
  14. 14. recc 32,01 25 33  %32var iación
  15. 15. recc TIEMPO ORDINARIO Y TIEMPO EXACTO Tiempo ordinario.- Para calcular el tiempo, se considera: Al mes comercial 30 días, año comercial 360 días. Tiempo exacto.- Se considera a cada mes el que le corresponde en días calendario, el año de 365 días y si es bisiesto es de 366 días (es cuando sus dos últimas cifras son 00 o múltiplos de 4) Ejemplo: 5.124, 3.000, 3940, etc. Ejemplo: calcular el tiempo ordinario y exacto desde 29 de mayo de 1983 al 01 de octubre de 2007 Tiempo ordinario       días días dicnovoctsepagojuljun mayo .211 .210 ,,,,,, 1.29 .83      06,05,04,03,02,01,00,99 98,97,96,95,94,93,92,91 90,89,88,87,86,85,84 díasx .280.836023      díasoctubredíadíassepagojuljunmay abrmarfebene .271..1.270,,,, ,,,, .2007 271280.8211 Total días762.8 1 año 360 x 8.762 años.3388889,24 360 762.8  1 año 360 0.3888889 x años.0000004,1223888889,0*360  díasmesesañosTotal 2,.4,.24 Ejemplo: Desde 06 de julio de 1980 hasta 04 de octubre del 2007
  16. 16. recc       días días dicnovoctsepago julio .174 .150 ,,,, 24.06 .1980       06,05,04 ,03,02,01,00,99,98,97 ,96,95,94,93,92,91,90,89 ,88,87,86,85,84,83,82,81 díasx .360.936026      díasoctubredíadíassepagojuljunmay abrmarfebene .274..4.270,,,, ,,,, .2007 díasTotal .808.9274360.9174  Exacto:       días días dicnovoctsepago julio .178 .153 ,,,, 25.06 .1980 díasdíasdíasxAños .496.9.6490.9.36526{       díasdías díasdíasmesesx 2774273 5270309 .2007 951.9Total Ordinario: años.2444444,27 360 808.9  1 año 12 meses 0,2444444 x = 2,2333333 meses 1 mes 30 días 0,9333333 x = 28 días díasmesesañosTotal .28,.2,.27 Exacto: años.2630137,27 365 951.9  1 año 12 meses 0,2630137 x = 3,156144 meses
  17. 17. recc 1 mes 30 días 0,156164 x = 4,684932 días 1 días 24 horas 0,684932 x = 16,438368 horas 1 hora 60 minutos 0,438368 x = 26,30208 minutos 1 minuto 60 segundos 0,30208 x = 18,1248 segundos segundoshorasdíasmesesañosTotal .1248,18min,.26,.16,.4,.3,.27 DEBER Nº 4 1. 16 de marzo de 1982 al 6 de octubre de 2007          días días dicnovoctsepago juljunmayabr marzo .290 .275 ,,,, ,,,, 15.16 .1982      06,05,04,03,02,01,00,99 ,98,97,96,95,94,93,92,91 ,90,89,88,87,86,85,84,83 díasx .640.836024      díasoctubredíadíassepagojuljunmay abrmarfebene .281..6.273,,,, ,,,, .2007 díasTotal .211.9281640.8290  años.5861111,25 360 211.9  1 año 12 meses 0,5861111 x = 7,0333333 meses 1 mes 30 días 0,0333333 x = 10 días
  18. 18. recc Exacto: años.65277778,25 360 235.9  Mes 7 + 0,8333336 1 mes 30 días 0,8333336 x = 25,0000008 días díasTotal .217.9281646.8290  años.25205479,25 365 217.9  Años 25 Meses 3,02465748 Días 7.397244 Horas 9.533856 horasdíasmesesañosTotal .9,.7,.3,.25 2. 06 de octubre de 2004 al 6 de octubre 2007       días días dicnov Octubre .85 .60 , 25  06,05 díasx .7203602      díasoctubredíasdíassepagojuljunmay abrmarfebene .276..6.270,,,, ,,,, .2007 díasTotal .081.127672085  años.002777778,3 360 081.1  1 año 12 meses 0,002777778 x = 0,0333336 meses 1 mes 30 días 0,0333336 x = 1 días Exacto: años.0409589,3 365 100.1 
  19. 19. recc 1 año 12 meses 0,0409589 x = 0,4915068 meses 1 mes 30 días 0,4915068 x = 4 días díasmesesañosTotal .4,.0,.3 3. 30 de noviembre de 2002      dìasdic .30 030 .2002  06,05,04,03 díasx .440.13604      díassepagojuljunmay abrmarfebene .270,,,, ,,,, .2007 díasTotal .740.1270440.130  años.333333,4 360 740.1  1 año 12 meses 0,3333333 x = 9,9999996 meses 1 mes 30 días 0,9999996 x = 30 días díasmesesañosTotal .30,.9,.4 díasTotal .766.1274461.131  años.838356164,4 365 766.1  1 año 12 meses 0,838356164 x = 10,06027397 meses 1 mes 30 días 0,06027397 x = 1 días díamesesañosTotal .1,.10,.4
  20. 20. recc INTERÉS SIMPLE Interés.- Es la ganancia o beneficio que recibe el prestador o ahorrista por el uso de su dinero. Capital.- Es el dinero que se presta o ahorra. Tiempo.- Es el lapso que dura la transacción financiera. Tanto por ciento.- Es una o varias partes que se toman de cada cien. Por comodidad para encontrar el tanto por ciento o porcentaje, se aplica la regla de tres simple directa. Ejemplo: de $ 300 calcular el 15% Desarrollo: 100 → 15 100 → 15 100 → 15 300 → 45 Aplicando la regla de tres directa, tenemos 300 100% x 15% 45 %100 300*%15 x Calcular el 25% de $ 500 Desarrollo: 100 → 25 100 → 25 100 → 25 100 → 25 100 → 25 500 → 125 Aplicando la regla de tres directa, tenemos 500 100% x 25% 125 %100 500*%25 x Interés simple.- Es la ganancia o beneficio por el uso del dinero, un tipo determinado y aun tanto por ciento fijado. Monto.- Es la suma del capital más el interés.
  21. 21. recc FORMULAS tiCI .. ICM   tiCM .1  De donde: I = Interés C = Capital 100 T i  (tanto por 100 dado) dadotiempoalacuerdodeañodelparteslas dadotiempo t ..... .  Ejemplo: 2 1 .1  semestret 12 28 .28  semanast 2 5 .5  semestrest 3 5 .5  recuatrimestt 4 5 .5  trimestrest 6 8 .8  bimestrest 52 25 .25  semanast 12 3 .3  mesest 26 7 .7  quincenast EJERCICIO Determinar el monto y el interés simple de $ 750 durante 9 meses al 5,5% Datos: M = ? I = ? C = 750 t = 9 meses i = 5,5% tiCI ..  tiCM .1  12 9 *055,0*750I        12 9 *055,01750M 9375,30I 9375,780M ICM  CMI  9375,30750 M 7509375,780 I 9375,780M 9375,30I
  22. 22. recc Determinar el monto y el interés simple de $ 600 durante 5 meses al 6% Datos: M = ? I = ? C = 600 t = 5 meses i = 6% tiCI ... ICM  12 5 *06,0*600I 15600M 15I 615M DEBER Nº 5 1. Determinar el monto y el interés simple de $ 1.000 durante 11 bimestres al 6% Datos: M = ? I = ? C = 1.000 t = 11 bimestres i = 6% tiCI ... ICM  6 11 *06,0*000.1I 110000.1 M 110I 110.1M 2. Determinar el monto y el interés simple de $ 650 durante 2 bimestres al 5,5% Datos: M = ? I = ? C = 650 t = 2 bimestres i = 5,5% tiCI ... ICM  6 2 *055,0*650I 9166,11650 M 9166,11I 9166,661M 3. Determinar el monto y el interés simple de $ 800 durante 9 meses al 6,5% Datos: M = ? I = ? C = 800 t = 9 meses
  23. 23. recc i = 6,5% tiCI ... ICM  12 9 *065,0*800I 39800 M 39I 839M 4. Determinar el monto y el interés simple de $ 500 durante 2 semanas al 5% Datos: M = ? I = ? C = 500 t = 2 semanas i = 5% tiCI ... ICM  52 2 *05,0*500I 9615,0500 M 9615,0I 9615,500M 5. Determinar el monto y el interés simple de $ 900 durante 7 trimestres al 4,5% Datos: M = ? I = ? C = 900 t = 7 trimestres i = 4,5% tiCI ... ICM  4 7 *045,0*900I 876,70900 M 875,70I 876,970M 6. Determinar el monto y el interés simple de $ 200 durante 2 bimestres al 5% Datos: M = ? I = ? C = 200 t = 2 bimestres i = 5% tiCI ... ICM  6 2 *05,0*200I 3333,3200 M 3333,3I 3333,203M
  24. 24. recc 7. Determinar el monto y el interés simple de $ 350 durante 5 semestres al 5,3% Datos: M = ? I = ? C = 350 t = 5 semestres i = 5,3% tiCI ... ICM  2 5 *053,0*350I 375,46350 M 375,46I 375,396M 8. Determinar el monto y el interés simple de $ 310 durante 3 semestres al 6,3% Datos: M = ? I = ? C = 310 t = 3 semestres i = 6,3% tiCI ... ICM  2 3 *063,0*310I 295,29310 M 295,29I 295,339M 9. Determinar el monto y el interés simple de $ 730 durante 5 semestres al 5,7% Datos: M = ? I = ? C = 730 t = 5 semestres i = 5,7% tiCI ... ICM  2 5 *057,0*730I 025,104730 M 025,104I 025.834M 10. Determinar el monto y el interés simple de $ 333 durante 3 quincenas al 5,9% Datos: M = ? I = ? C = 330 t = 3 quincenas i = 5,9%
  25. 25. recc tiCI ... ICM  26 3 *059,0*333I 26696,2333 M 26696,2I 26696,335M
  26. 26. recc EJERCICIO Hallar la tasa de interés simple sabiendo que el monto es de 1.677,50, con un capital de 1650 en 4 meses Datos: M = 1.650 I = ? C = 1.650 t = 4 meses T = 5,5% tiCI ..  tiCM .1  tC I i .  t C M i 1  12 4 *650.1 50,27 i 12 4 1 650.1 50,1677  i %5i %5i Que produce en 8 meses $ 48 al 6% Datos: C = ? I = 48 t = 8 meses T = 6% tiCI ... ti I C .  12 8 *06,0 48 C 200.1C DEBER PROBLEMAS PROPUESTOS 19) Determinar el monto y el interés simple de a) $ 750 durante 9 meses al 5.5%
  27. 27. recc DATOS: M =? I =? C= 750 t= 9 meses T= 5.5% I = Cit M = C+I I = 750. 5,5 . 9 M = 750+30,95 100 12 M = $ 780,94 I = $30,94 b) $1800 durante 10 meses al 4% 4,5% DATOS: M =? I =? C = $1800 M =C+I t = 10 meses M = $1800+$ 67,50 T = 4,5% M = $ 1867,50 I = Cit I = 1800 . 4,5 . 10 100 12 I = $ 67,50 c) $ 600 durante 5 meses al 6% DATOS: M =? I =?
  28. 28. recc t =5 meses C = $ 600 T = 6% I = Cit I = 600 . 6 . 5 100 12 M = C+I M = $600 + $ 15 M = $615 d) $ 900 durante 4 meses al 3% 5% DATOS: M =? I =? t =4 meses C = $900 T = 5% I = Cit I = 900 . 5 . 4 100 12 M = C+I M = $900 + $15 M = $ 915 20) Hallar la tasa de interés simple sabiendo que el monto de $ 1650 es: a) $ 1677,50 en 4 meses
  29. 29. recc DATOS: T =? I = M-C C = $1650 I = $1677,50-$1650 M = $1677,50 I = $27,50 t = 4 meses I =Cit 27,50 = 1650 . T . 4 100 12 27,50 = 5,5 T 5,5T = 27,50 T = 27,50 5,5 T = 5% b) $ 1705 en 10 meses DATOS: T =? C = $1650 I =M-C M = $1705 I = $1705-$1650 t = 10 meses I = $55 I = $55 I = Cit 55 = 1650 . T . 10 100 12 55 = 13,75 T 13,75T = 55 T = 55 13,75
  30. 30. recc T = 4% 21¿Que capital produce en 8 meses? a) $48 al 6% DATOS: I =$ 48 T = 6% t = 8 meses C =? I = Cit 4 48 = C 6 . 8 100 12 2 48 = 0,04 C 0,04C = 48 C = 48 0,04 C = $1200 b) $ 50 al 5% DATOS: t = 8 meses I = $50 T = 5% C =? I = Cit 50= C 5 . 8 100 12 50 = C 30
  31. 31. recc 50*30 = C C = $1500 22.- En que tiempo un capital de $ 3000 a) Produce $90 al 4% de interés simple DATOS: I = $90 1 año 12 meses T = 4% 0,75 x C = $3000 t =? x = 12 meses * 0,75 años 1 año x = 9 meses I = Cit 90 = 3000 . 4t 100 90 = 120t 120t = 90 90 t = 120 t =0,75 b) Alcanza un monto de $3100 al 5% de interés simple DATOS: M = $3100 1 año 12 meses T =5% 0,666 años x C = $3000 x = 12 meses * 0,666 años 1año
  32. 32. recc x = 8 meses I = Cit 100 = 3000 . 5t 100 100 = 150t t = 100 150 t =0,666 23.- Determinar la fecha de vencimiento y el valor al vencimiento de cada uno de los siguientes pagares. VALOR NOMINAL FECHA PLAZO TASA DE INTERES b) $ 2000 25 de abril 3 meses 5% 5,5% DATOS: T = 5,5% t = 3 meses M = C+I C = 2000 M = 2000 +27,50 M = $2027,50 I = 2000 . 5,5 . 3 100 12 I = $ 27,50 25 de julio $ 2000 VALOR NOMINAL FECHA PLAZO TASA DE INTERES f) $3200 28 de noviembre 45 días 8%
  33. 33. recc DATOS: Fv =? m =? t =? C = 3200 i = 7% t = 45 360 I = Cit I = 3200* 7 * 45 100 360 I = $ 28 M = C + I M = 3200+28 M = $3228 FV = 12 de enero VALOR NOMINAL FECHA PLAZO TASA DE INTERES h) $2750 5 de julio 135 días 6% DATOS: C =$2750 t = 135 días I =Cit I = 2750 * 6 * 135 100 360 I = $61,88
  34. 34. recc M = C + I M = 2750+ 61,88 M = $2811,88 FV = 17 de noviembre APLICACIONES Para resolver ejercicios de Aplicación sobre interés simple, debemos tener presente lo siguiente: 1.-Fecha focal es la fecha en la cual se va a cancelar una deuda o a su vez es la fecha de vencimiento 2.-Si no existe fecha focal, se elige cualquiera 3.- Si se cancela la deuda después del vencimiento calculamos el monto 4.-Si se cancela la deuda antes del vencimiento, calculamos el capital. 5.-Si existen dos tantos porcientos se trabaja por separado teniendo presente: 3 y 4 anotados anteriormente FORMULAS:    it S CtiCS   1 1 EJEMPLOS: * Determinar el valor de un préstamo de $2500 con vencimiento dentro de 9 meses a) El día de hoy C = 2500 1+ 6 . 9 100 12 C = $2392,34 b) dentro de 3 meses
  35. 35. recc C = 2500 1+ 6 . 6 100 12 C = $2427,18 c) Dentro de7 meses C = 2500 1+ 6 . 2 100 12 C = $ 2475,25 d) Dentro de un año; suponiendo un rendimiento del 6% S =2500 (1 + 6 . 3 ) 100 12 S =$2537,50 26.- X obtiene de Y un préstamo de $ 1200 a dos años con interés al 6% ¿Que cantidad tendría que aceptar y como liquidación del préstamo 15 meses después de efectuado suponiendo que desea un rendimiento del 5%? S = 1200 (1 + 6 . 2 ) 100 12 S = $1344 C = 1344 1 + 5 . 9 100 12 C = $ 1295,42
  36. 36. recc 28.- En el problema 27 ¿Cuál deberá ser el pago único a partir de hoy. a) Después de tres meses C1 = 450 1 + 5 . 4 100 12 C1 = $ 448,13 C2 = 600 1 + 5 . 3 100 12 C2 = $ 592,59 C = C1 + C2 C = 448,13 +592,59 C = $1040,72 b) después de 5 meses S = 450 (1 + 5 . 1 ) 100 12 S = $451,88 C2 = 600 1 + 5 . 1 100 12 C2 = $597,51 T = $451,88 + $597,51
  37. 37. recc T = $1049,39 29.- ¿Qué oferta es mas conveniente para el comprador de una casa $ 4000 iniciales y $6000 después de 6 meses o $6000 iníciales y $ 4000 después de un año? Supóngase un interés del 6% y compárese en la fecha de la compra el valor de cada oferta. C1 = $6000 C1 = $4000 + $ 5825,24 1 + 6 . 6 C1 = $9825,24 100 12 C1 = $5825,24 2) C2 = $ 4000 C2 = $6000 + $3773,58 1 + 6. 1 C2 = $9773,58 100 C2 = $3773,58 30.- Una persona debe $2000 para pagar en un año con interés al 6%. Conviene pagar $500 al final de 6 meses. ¿Qué cantidad tendría que pagar al final de un año para liquidar el resto de la deuda suponiendo del 6%? Tomar como fecha focal después de un año S1 = 2000(1 + 6 . 1 ) S2 = 500 (1 + 6 . 6 ) 100 100 12 S2 =$515 S1 = $2120 T = S1 + S2 T = $ 2120 + $515 T = $1605
  38. 38. recc 31.-Una persona debe $ 2000 con vencimiento en 2 meses, $ 1000 con vencimiento en 5 meses y $ 1800 con vencimiento en 9 meses. Desea liquidar sus deudas mediante dos pagos iguales con vencimiento en 6 meses y 12 meses respectivamente. Determinar el importe de cada pago suponiendo un vencimiento del 6 % y tomando como fecha focal la fecha un año después. x ( 1 + 6 . 6 ) + x = 2000 ( 1 + 6 . 10 ) +1000 ( 1 + 6 . 7 ) + 1800 ( 1 + 6 . 3 ) 100 12 100 12 100 12 100 12 1,03X + X = 2100+1035+1827 X = 4962 2103 X= $2444,33 32.- Una persona debe $ 500 con vencimiento en 3 meses e interés al 5% y $ 1500 con vencimiento en 9 meses al 4%. ¿Cual será el importe del pago único que tendrá que hacerse dentro de 6 meses para liquidar las deudas suponiendo un rendimiento del 6%? Tomar como fecha focal la fecha. a) Al final de 6 meses PRIMERA DEUDA M1 =500 ( 1 + 5 . 3 ) = $506,25 T = M2 + C 100 12 T = $513,84+ $1522,17 T= $2036,01 M2 = 506 ( 1 + 5 . 3 ) = $513,84| 100 12 SEGUNDA DEUDA M3 = 1500 ( 1 + 4 . 9 ) = $1545 100 12 C = 1545 1 + 6 . 3 100 12 b) Al final de 9 meses
  39. 39. recc PRIMERA DEUDA M1= 500 ( 1 + 5 . 3 ) = $ 506,25 100 12 M2 =506,25 ( 1 + 6 . 6 ) = $521,44 100 12 C1 = 521,44 1 + 6 . 3 100 12 SEGUNDA DEUDA M3 = 1500 ( 1 + 4 . 9 ) = $1545 100 12 C2 = 1545 = $ 1522,17 1 + 6 . 3 100 12 IMPORTE = C1 + C2 = $513,73 + $ 1522,17 = $2035,90 33.- El señor Jiménez adquiere un terreno de $ 5000 mediante un pago de contado de $ 500. Conviene en pagar el 6% de interés sobre el resto. Si paga $ 2000 3 meses después de la compra y $1500 6 meses más tarde ¿Cual será el importe del pago que tendrá que hacer un año después para liquidar totalmente el saldo? Tomar como fecha focal la fecha al final de un año. M1 = 2000 ( 1 + 6 . 9 ) = $2090 100 12 M2 = 1500 (1 + 6 . 3 ) = $1522,50 100 12 DEUDA
  40. 40. recc M3 = 4500 ( 1 + 6 . . 1 ) = $4770 100 SALDO = 4770 – 2090 – 1522,50 = $1157,50 DESCUENTO SIMPLE Es el que se obtiene por pagar interés de la fecha de vencimiento por pago en efectivo, por liquidación por compras al por mayor, etc. Son de dos clases:  El descuento racional o legal y  El comercial DESCUENTO RACIONAL.- Para calcular este descuento, se considera a la cantidad dado como monto. FORMULA D = S * it DESCUENTO COMERCIAL.-Se obtiene de la diferencia entre el monto menos capital. D = S –C de donde C = S – D entonces C = S – sit entonces C = S ( 1 +it ) S = C 1 + it EJERCICIOS El banco central descuenta al 5% un documento sin interés de $5000 con vencimiento en 60 días, el mismo día el documento es descuento a descontar por el banco del ahorro al 4%, pero utilizándose un año de 365 días en el calculo. Determinar la utilidad obteniendo por el banco comercial en la operación. D = S * it D = S * it D = 5000. 5 . 60 D = 5000 . 4 . 60 100 360 100 365
  41. 41. recc D = $41,67 D = $32,88 UTILIDAD: U = 41,67 -32,88 U = $8,79 19.- VALOR NOMINAL FECHA PLAZO T. DE INTERES F. DE D. T. DE D. 2000 19 de abril 3 meses interés 30 de mayo 6% D = 2000 . 6 . 50| 100 360 3 meses 19 de abril mayo 1 D = $ 16,67 junio 30 19 de julio 19 IMPORTE = 2000 – 16,67 = $ 1988,33 50 días DEBER 11.- Una hipoteca tiene un valor de $ 1200 al vencimiento. Determinar su valor 5 meses antes del vencimiento, suponiendo un rendimiento 4 1/2 % de interés simple ¿Cual es el descuento racional? S C = 1 + it D = S - C D = 750 – 745,34 1200 D = $ 4,66 C = 1 + (0,045) ( 5 ) 12 C = $ 1177,91 12.-Determinar el descuento simple sobre. a) $ 3500 por 60 días al 4% de descuento simple
  42. 42. recc D = S. d.t D = 3500 . 4 . 60 100 360 D = $23,33 b) $ 500 por 90 dias al 3 1/2 % de descunero simple. D = S.d.t D = 5000 . 3,5 . 90 100 360 D = $ 43,75 c) $ 1200 por 4 meses al 5% de descuento simple. D = S.d.t D = 1200 . 5 . 4 100 12 D = $ 20 d) $2500 del 5 marzo al 10 abril, al 6% de descuento simple. D =2500 . 6 . 36 100 360 D = $ 15 e) $4000 del 10 de octubre al 13 de noviembre el 5 1 % de descuento simple. 2 D = 4000 . 5,5 . 34 100 360 D = $ 20,78
  43. 43. recc 13.-Un documento por $ 600 establece 5% de interés simple por 120 días. Si B descuenta el documento 30 días antes del vencimiento para obtener 4% de interés simple. ¿Cual es el descuento? VALOR AL VENCIMIENTO = 600 + 600 (0,05 ) ( 120 ) = $ 610 360 D = 610 ( 0,04 ) ( 30 ) 360 D =$ 2,03 14.-Un banco carga el 6% de interés simple por adelantado, 6% de descuento simple en préstamos a corto plazo. Determinar la cantidad recibida por una persona que solicita. a) $ 1500 por 60 días. C = S ( 1 – dt) C = 1500 ( 1 – 0,06 ) ( 60 ) 360 C = $ 1485 b) $ 1750 por 6 meses C = 1750 (1 - 6 . 6 ) 100 12 C = $ 1697,50 c) $ 2000 por 8 meses C = 2000 (1 - 6 . 8 ) 100 12 C = $ 1920 d) $1000 del primero de marzo al 20 de abril C = 1000 (1 - 6 . 50 ) 100 360 C = 1000 (1 - 300 ) 36000 C = $ 991,67 e) $ 3000 del primero de junio al 18 de noviembre
  44. 44. recc C = 3000 (1 - 6 . 170 ) 1 de junio 29 100 360 julio 31 agosto 31 C = 3000 (1 - 102) septiembre 30 3600 octubre 31 18 de noviemb. 18 C = $ 2915 170 15.- ¿Qué tasa de interés simple pago al prestatario en cada uno de los prestamos del problema 14? a) $ 1500 por 60 días I = 1500 1485 . 60 360 I = 6,06% b) $1750 por 6 meses C = 1750 1 + i. 6 12 C = 1750 1 + i 2 C = 1750 2 + i 2 C = 3500 2 + i 1697,50 = 3500 2+i 1697,50 i=3500 -3395
  45. 45. recc 1697,50 i = 105 i = 105 1697,50 i = 0,06185 6,19% c) $ 2000 por 8 meses C = 2000 1 + i . 8 12 C = 2000 1 + i 2 3 C = 2000 3 + 2i 3 C = 6000 3 +2i 1920 = 6000 3+ 2i 3840 i = 6000 -5760 3840 i =240 i = 240 3840 i = 0,0625 6,25% d) $ 1000 de primero de marzo al 20 de abril C = 1000 1 + i 50 360
  46. 46. recc C = 1000 1 + i 5 36 C = 36000 36 + 5i 991,67 = 36000 36 + 5i 4958,35i = 36000 – 35700,12 4958,35i = 299,88 i = 299,88 4958,35 i = 0,06479 6,0479 6,05 % 16.- Un banco carga el 5% de descuento simple en préstamos a corto plazo. Determinar el valor del documento sin interés, dado al banco si el préstamo recibe. a) $ 2500 por 60 días C = S 1 –df C = 2500 1 – 5 . 60 100 360 C = 2500 1 – 30 360 C = $2521,01 b) $1250 por 3 meses
  47. 47. recc C = 1250 1 – 5 . 3 100 12 C = 1250 1 - 5 400 C = $ 1265,82 b) $1750 por 5 meses C = 1750 1 – 5 . 5 100 12 C = 1750 1 - 5 400 C = $ 1787,23 18.- E l banco central descuenta al 5% un documento sin interés de $ 5000 con vencimiento en 60 días. E l mismo día, el documento es vuelto a descontar por el banco de ahorro al 4% pero utilizándose un año de 365 días en el calculo. Determinar la utilidad obtenida por el banco central en la operación. DESCUENTO 1 BANCO CENTRAL D = S * it D = 5000 . 5 . 60 100 360 D = $ 41,67 DESCUENTO 2 D = 500 . 4 . 60 100 360
  48. 48. recc D = $32,88 U = D1 – D2 U = 41,67 – 32,88 U = $8,79 19.-Determinar el importe de la operación en la fecha de descuento de cada uno de los siguientes documentos: VALOR NOMINAL FECHA PLAZO T. DE INTERES F. DESCU. T. DESCU. $ 2000 19 de abril 3 meses ---------- 30 de mayo 6% D = S (1 – dt) D = 2000 (1 - 6 . 50 ) 100 360 D = $ 1983,33 b) 3500 5 de junio 4 meses --------- 21 de agosto 5% D = 3500 ( 1 - 5 . 45 ) 100 360 D = $ 3478,13 c) $1000 10 de julio 75 días ------------ 25 de julio 5 1 % 2 D = 1000 ( 1 - 5,5 . 60 ) 100 360 D = $ 990,23 d) $ 4500 15 de marzo 90 días ------------ 26 de mayo 8% D = 4500 ( 1 - 8 . 18 ) 100 360
  49. 49. recc D = $4482 e) $ 3000 12 de enero 6 meses 4% 28 de abril 5% D = 3000 (1 + 4 . 6 ) 100 12 D = $3060 D = Sit D = 3060 . 5 . 75 100 360 D = $ 31,88 IMPORTE = 3060 -31,88 = $3082,12 f) $1200 1 de noviembre 4 meses 6 % 4 de febrero 5% D = 1200 (1 + 6 . 4 ) 100 12 D = $ 1224 D = 1224 . 5 . 25 100 360 D = $4,85 IMPORTE = 1224 – 4,25 = $ 1219,75 g) $2700 1 de noviembre 120 días 6% 21 de enero 5%
  50. 50. recc D = 2700 (1 + 6 . 120 ) 100 360 D = $ 2754 D = 2754 . 5 . 36 100 360 D = $ 13,77 IMPORTE = 2754 – 13,77 = $ 2740,23 h) $ 2500 30 de marzo 90 dias 7% 14 de mayo 8% D = 2500 (1 + 7 . 90 ) 100 360 D = $ 2543,75 D = 2543,75 . 8 . 45 100 360 D = $ 25,3475 IMPORTE = 52543,75 – 25,4375 = $2518,31 20.- Determinar en el problema, la tasa de interés que gane le comprador si conserva los documentos hasta su vencimiento. a) C = 2000 1 + 50i 360 C = 72000 36 + 5i
  51. 51. recc 1983,33 = 72000 36 + 5i 9916,65i = 72000 - 71399,88 i = 600,12 9916,65 i = 0,06052 6,05% c) 𝐶 = 1000 1+ 60𝑖 360 = 36000 36+6𝑖 990,83 = 36000 36 + 6𝑖 5944,98𝑖 = 36000 − 35669,88 𝑖 = 330,12 5944,98 𝑖 = 0,05553 → 5,55% d) 𝐶 = 4500 1+ 18 360𝑖 = 1620000 360+18𝑖 4482 = 1620000 360 + 18𝑖 80676𝑖 = 1620000− 1613520 𝑖 = 6480 80676 𝑖 = 0,08032 → 8,03 e) 𝐶 = 3000 1+ 1 2 .𝑖 = 6000 2+𝑖 3028 = 6000 2 + 𝑖 1128,02𝑖 = 6000 − 6056,24 𝑖 = 56,24 3028,12 𝑖 = 0,01857 → 1,86% 𝐶 = 3060 1 + 75 360 = 1101600 360 + 75𝑖 3028,12 = 1101600 360 + 75𝑖 227109𝑖 = 1101600− 1090123,2
  52. 52. recc 𝑖 = 1476 ,8 227109 𝑖 = 0,050534 → 5,05% f) 𝐶 = 805 1+ 25 360 𝑖 = 289800 360+25𝑖 801,37 = 289800 360 + 25𝑖 20034,25𝑖 = 289800− 288493,2 𝑖 = 1306,8 20034,25 𝑖 = 0,065228 → 6,53% g) 𝑐 = 1224 1+ 25 360 𝑖 = 440640 360+25𝑖 1219,75 = 440640 360 + 24𝑖 30493,75𝑖 = 440640− 439110 𝑖 = 1530 30493,75 𝑖 = 0,05017 → 5,02% h) 𝑐 = 2754 1+ 35 360 𝑖 = 27540 10+𝑖 2740,23 = 27540 10 + 𝑖 2740,23𝑖 = 27590 − 27402,3 𝑖 = 137,7 2740,23 𝑖 = 137,7 2740,23 𝑖 = 0,05025 → 5,03% i) 𝐶 = 2543,75 1+ 45 360 𝑖 = 915750 360+45𝑖 2518,31 = 915750 360 + 45𝑖 113323,95𝑖 = 915750− 906591,6 𝑖 = 9158,4 11323,95 𝑖 = 0,080816 → 8,08% j) 3056,25 1+ 70 360 𝑖 = 110025 36+7𝑖
  53. 53. recc 3032,48 = 110025 36 + 7𝑖 2122,36𝑖 = 110025 − 109169,28 𝑖 = 855,72 21227,36 𝑖 = 0,040312 → 4,03% PAGOS PARCIALES En ciertas ocasiones, el deudor realiza una serie de pagos parciales para extinguir una deuda, el asunto es encontrar el saldo insoluto cuando se realiza esta serie de pagos. Para hallar el saldo insoluto, podemos aplicar dos reglas: la regla comercial y la regla Americana (EE.UU.). REGLA COMERCIAL.- Para encontrar el saldo insoluto aplicando esta regla, procedemos de la siguiente manera: 1. Hallamos el monto de la deuda al vencimiento. 2. Encontramos los montos de los pagos parciales, tomando como referencia al tiempo que falta para el vencimiento. 3. Sumamos los montos de los pagos parciales. 4. Restamos el monto de la deuda menos la suma de los montos parciales Ejemplo: Una deuda de $ 2000 con interés al 5% vence 1 año. El deudor paga $ 600 en 5 meses y $ 800 en 9 meses. Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento. Aplicando la regla comercial. 𝑆𝑑 = 2000(1 + 5 100 ∙ 1) → 𝑆𝑑 = $ 2100 Pagos parciales 𝑆1 = 600(1 + 5 100 ∙ 7 12 ) → 𝑆𝑖 = $ 617,50 𝑆1 = $ 2041,67 −600 1441,67 𝑆2 = 1441,67 (1 + 5 100 ∙ 4 12 ) 𝑆2 = $1465,70 −800 665,70
  54. 54. recc 𝑆𝐹 = 665,70(1 + 5 100 ∙ 3 12 ) 𝑆𝐹 = $ 674,02 DEBER 11) Aplicando (a) la regla comercial, y (b) la regla de los Estados Unidos, hallar el saldo en la fecha de vencimiento de un documento de $ 7500 a 10 meses al 6% si es reducido mediante dos pagos iguales de $ 2500 cada uno, efectuados 4 meses y 7 meses de la fecha de vencimiento. 4 m 7 m 10 m 6 m $ 7500 3 m 3 m a) 𝑆𝑑 = 7500(1 + 6 100 ∙ 10 12 ) 𝑆𝑑 = $ 7875 Pagos Parciales 𝑆1 = 2500 (1 + 6 100 ∙ 6 12 ) 𝑆1 = 2500(1 + 6 100 ∙ 3 12 ) 𝑆𝑑 = $ 2575 𝑆2 = $ 2537,50 𝑆𝑆𝑇 = 𝑆1 + 𝑆2 𝑆𝑆𝑇 = $ 2575+ $ 2537,50 𝑆𝑆𝑇 = $ 5112,5 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 = $ 7875− $5112,5 = $ 2762,50 b) 𝑆1 = 7500 (1 + 6 100 ∙ 4 12 ) 𝑆2 = $ 5227,25 −2500,00 5150,00 𝑆2 = 5150(1 + 6 100 ∙ 3 12 ) 𝑆2 = $ 5227,25 −2500,00 2727,25
  55. 55. recc 𝑆𝐹 = 2727,25(1 + 6 100 ∙ 3 12 ) 𝑆𝐹 = $ 2768,16 12) Una deuda de $ 9000 con intereses al 6%, vence en 9 meses. Si se pagan $ 1000 después de 4 meses y 1200 3 meses más tarde. Hallar el saldo insoluto en la fecha de vencimiento aplicando: (a) La regla (b) la regla de los EE.UU. a) 𝑆𝑑 = 3000(1 + 6 100 ∙ 5 12 ) → 𝑆1 = $ 1212 𝑆𝑇 = $ 2237 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 = $ 3135− $ 2237 = $ 898 b) 𝑆1 = 3000 (1 + 6 100 ∙ 4 12 ) 𝑆2 = $ 2090,9 −1200,0 $ 890,9 𝑆𝐹 = 890,9(1 + 6 100 ∙ 2 12 ) 𝑆𝐹 = $ 899,81 13) El firmante de un documento a 180 días por $ 5000, con un interés del 5% fechado el 10 de marzo de 1969, paga $ 1500 el 6 de mayo de 1969, $ 750 el 20 de junio de 1969 y $ 1000 el 19 de agosto de 1969. Hallar el saldo insoluto en la fecha de vencimiento, aplicando. (a) la regla general (b) la regla de los EE.UU. 57 d â 1500 102 162 d 180 10 marzo 21 Abril 30 Mayo 31 Junio 30 Julio 31 19 Agosto 19 162 a) 𝑆𝑑 = 5000(1 + 5 100 − 180 360 ) 𝑆𝑑 = $5125 𝑆1 = 1500 (1 + 5 100 ∙ 123 360 ) → 𝑆1 = $ 1525,625 𝑆2 = 750(1 + 5 100 ∙ 78 360 ) → 𝑆2 = $ 758,125 𝑆3 = 1000(1 + 5 100 ∙ 18 360 ) → 𝑆3 = $ 1002,5 $ 3286,25 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 = $ 5125− $ 3286,25 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 = $ 1838,75
  56. 56. recc b) 𝑆1 = 5000 (1 + 5 100 ∙ 57 360 ) 𝑆1 = $ 5039,58 $ 1500,00 $ 3539,58 𝑆2 = 3539,58(1 + 5 100 ∙ 45 360 ) 𝑆2 = $ 3561,70 −750,00 $ 2811,70 𝑆3 = 2811,70(1 + 5 100 ∙ 60 360 ) 𝑆3 = $ 2835,13 −1000,00 1835,13 𝑆𝐹 = 1835,13(1 + 5 100 ∙ 8 360 ) 𝑆𝐹 = $ 1839,72 14) Sr. M pide a un banco un préstamo de $ 8.000 por 8 meses, al 5% al termino de de 2 meses paga $ 4000 y al término de 6 meses desea pagar insoluto. ¿Cuánto tendrá que pagar de acuerdo con la regla de los EE.UU.? 2 m 6 m 8 m ? 𝑆1 = 8000 (1 + 5 100 ∙ 2 12 ) 𝑆1 = $ 8066,67 −4000,00 $ 4066,67 𝑆2 = 4066,67(1 + 5 100 ∙ 1 12 ) 𝑆2 = $ 4134,45 15) Una persona de $ 3600 de cuota inicial por la compra de una casa cuyo precio es de $ 10000. Posteriormente pagará $ 1000 al final de cada trimestre durante 3 trimestres. ¿Hallar el saldo insoluto al final del año aplicando la regla de los EE.UU. y suponiendo un interés al 8%.
  57. 57. recc 1 Trim 2 Trim 4 Trim 3 Trim 3600 1000 1000 1000 ? 𝑆1 = 10000(1 + 8 100 ∙ 1 4 ) 𝑆1 = 10200 −1000 9200 𝑆2 = 9200(1 + 8 100 − 1 4 ) 𝑆2 = 9384 −1000 9200 𝑆3 = 8384(1 + 8 100 ∙ 1 4 ) 𝑆3 = 8551,68 −1000,00 7551,68 𝑆𝐹 = 7551,68(1 + 8 100 ∙ 1 4 ) 𝑆𝐹 = $ 7702,71 −1000,00 6702,71 𝑆𝐹 = 6702,71(1 + 8 100 ∙ 1 4 ) 𝑆𝑇 = 6836,76 𝑆𝑇 = 6836,76 − 3600 𝑆𝑇 = 3236,76 TASAS DE INTERÉS APROXIMADAS Esta, se calcula cuando el comprador se compromete a realizar a dar una cuota inicial y el saldo en cuotas fijas semanales, quincenales, mensuales, etc. FORMA RESIDUAL O COMERCIAL 𝑖 = 2𝑛𝐼 𝐵( 𝑛 + 1) − 𝐼( 𝑛 − 1) FORMULA RAZÓN CONSTANTE
  58. 58. recc 𝑖 = 2𝑛𝐼 𝐵( 𝑛 + 1) FORMULA SERIE DE PAGOS 𝑖 = 2𝑛𝐼 𝑅𝑛( 𝑛 + 1) RAZÓN DE DIRECTA 𝑖 = 6𝑚𝐼 3𝐵( 𝑛 + 1) + 𝐼( 𝑛 − 1) De donde: m = # de pagos en el año n = # de pagos a realizarse B = Valor de contado – Cuota Inicial R = Pago periódico I = Rn – B PROBLEMA PROPUESTOS Resolver los problemas 16 – 20 para i o d aplicando (a) la fórmula comercial, (b) la fórmula de razón constante, (c) la fórmula de serie de pagos, y (d) la fórmula de razón directa. 16) Un radio marcado para su venta en $ 74,95, es vendido en abonos mediante $ 9,95 iniciales y 10 pagos semanales de $ 6,25 cada uno. m = 52 n = 10 B = 74,95 – 9,95 = 65 R = $ 6,25 I = 6,75 (10) – 65 = $ 2,50 a) 𝑖 = 2 (52)(2,5) 65(11)−2,5(9) = 260 715 −22,5 = 0,3754 𝑖 = 37,5% b) 𝑖 = 2𝑚𝐼 𝐵( 𝑛+1) 𝑖 = 2(52)(2,5) 6,75( 𝑛 + 1) = 260 715 = 0,3636 = 36,4% c) 𝑖 = 2𝑚𝐼 𝑅𝑛(𝑛+1) 𝑖 = 2(52)(2,5) 6,75(10)(10+ 1) = 260 67,5(11) = 260 742,5 = 0,35016 = 36%
  59. 59. recc d) 𝑖 = 6𝑛𝐼 3𝐵( 𝑛+1)+𝐼( 𝑛−1) 𝑖 = 6(52)(2,5) 3 ∗ 65(11)+ 2,5(9) = 780 2145 + 22,5 = 780 2167,5 = 0,359861 = 36% 17) Un congelador de $ 475 se ofrece mediante cuota inicial de $ 175 y el saldo en 4 pagos mensuales de $ 30 cada uno. m = 11 n = 12 B = 300 R = 30 I = 30 a) 𝑖 = 2𝑚𝐼 8( 𝑛+1)−𝐼( 𝑛−1) 𝑖 = 2(2)(30) 300(12) − 30(10) = 720 3300 𝑖 = 0,21818181 → 𝑖 = 21,8% b) 𝑖 = 2𝑚𝐼 𝐵( 𝑛+1) 𝑖 = 2(12)(30) 300(12) = 720 8600 = 0,2 → 20% c) 𝑖 = 2𝑚𝐼 𝑅𝑛( 𝑛+1) 𝑖 = 2(12)(30) 30(11)(12) = 720 3960 = 0,181818 → 18,2% d) 𝑖 = 6𝑚𝐼 3𝐵( 𝑛+1)+𝐼( 𝑛−1) 𝑖 = 6(12)(30) 3(300)(12) + 30(10) = 2160 11100 = 0,1945945 → 19,5% 18) Una lavadora cuyo precio de contado es $ 199,95 se vende con $ 19,95 de cuota inicial, el saldo se pagará mediante 10 pagos mensuales iguales calculados con interés global de 6% anual. m = 12 n = 10 B = 199,95 – 19,95 = 180 𝐼 = 𝑐 𝑖 𝑡 R = $ 18,9 𝐼 = 180 ∗ 6 100 ∙ 10 12 I = 9 𝐼 = 9 𝐼 + 𝐶 = 𝑅𝑛 𝑅 = 𝐼 + 𝐵 𝑛
  60. 60. recc 𝑅 = 9 + 180 10 = 189 10 = 18,9 a) 𝑖 = 2𝑚𝐼 9( 𝑛+1)−𝐼( 𝑛−1) 𝑖 = 2(12)(9) 180( 𝑛) − 9(9) = 216 1899 = 0,1374 → 11,4% b) 𝑖 = 2𝑚𝐼 𝐵(𝑛+1) 𝑖 = 2(12)(9) 180(11) = 216 1980 = 0,109090 → 10,9% c) 𝑖 = 2𝑚𝐼 𝑅𝑛( 𝑛+1) 𝑖 = 2(12)(9) (18,9)(10)(11) = 216 2579 = 0,103896 → 10,4% d) 𝑖 = 6𝑚𝐼 3𝐵( 𝑛+1)+𝐼( 𝑛−1) 𝑖 = 6(12)(9) (3)(180)(11)+ (9)(9) = 648 6021 = 0,107623 → 10,8% 19) Una compañía de ventas por catálogo cargo 10% sobre el precio de contado cuando la venta se efectúa a plazos. Se requiere una cuota inicial de una tercera parte y la diferencia en 12 mensualidades iguales. Supóngase un precio de contado de $ 300. m = 12 n = 12 B = 300 – 110 = 190 R = 18,33 I = 30 a) 𝑖 = 2𝑚𝐼 𝐵( 𝑛+1)−𝐼( 𝑛−1) 𝑖 = 2(12)(30) 190(13) − 30(11) 𝑖 = 33,6% b) 𝑖 = 2𝑚𝐼 𝐵( 𝑛+1) 𝑖 = 2(12)(30) 190(13) 𝑖 = 29,14% c) 𝑖 = 2𝑚𝐼 𝑅𝑛( 𝑛+1) 𝑖 = 2(12)(30) 18,33(12)(13)
  61. 61. recc 𝑖 = 25,2% d) 𝑖 = 6𝑚𝐼 𝐵( 𝑛+1)−𝐼( 𝑛−1) 𝑖 = 6(12)(30) 190(13) − 30(11) 𝑖 = 10,093 20) El valor de contado de una bicicleta es $ 3050 M debía pagar $ 750,00 de cuota inicial por la bicicleta usada pero pagó $ 500. Acordó pagar el saldo en 5 meses al 6% de interés global. m = 12 n = 15 B = 3050 – 500 = 2550 𝐼 = 𝐶. 𝑖. 𝑡 R = 182,75 𝐼 = 2550 ∙ 6 100 ∙ 15 12 I = 191,25 𝐼 = 191,25 a) 𝑖 = 2𝑚𝐼 𝐵( 𝑛+1)−𝐼( 𝑛−1) 𝑖 = 2(12)(191,25) 2550(16)− 191,25(14) 𝐼 = 𝑅𝑛 − 𝐵 𝑖 = 12,04% 𝐼 = 191,25 + 2550 𝑖 = 12,04% 𝐼 = 182,75 21) Aplicar la fórmula de razón constante, para obtener la tasa aproximada de interés pagado en cada una de las siguientes operaciones. m = 12 n = 12 B = 400 R = I = 28 a) 𝑖 = 2𝑚𝐼 𝐵( 𝑛+1) 𝑖 = 2(12)(28) 400(13) 𝑖 = 12,90% m = 12 n = 15 B = 800 R = I = 64 b) 𝑖 = 2𝑚𝐼 𝐵( 𝑛+1)
  62. 62. recc 𝑖 = 2(12)(64) 800(14) 𝑖 = 12% m = 12 n = 18 B = 1000 R = I = 100 c) 𝑖 = 2𝑚𝐼 𝐵( 𝑛+1) 𝑖 = 2(12)(100) 100(19) 𝑖 = 12,6% d) 𝑖 = 6𝑚𝐼 3𝐵( 𝑛+1)+𝐼( 𝑛−1) 𝑖 = 6(12)(28) 3(400)(13) + 28(11) 𝑖 = 12,6% INTERÉS COMPUESTO Es la capitalización de los intereses en cada periodo. Monto = Incremento al capital (valor futuro) FORMULAS 𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖 ∙ 𝑡) → Interés simple 1. 𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖) 𝑡 → impuesto. 𝑖 = 𝑇 100. 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑎 𝑡 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 2. 𝐶 = 𝑆 (1+𝑖) 𝑡 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 √ 𝑆 𝐶 𝑡 = √(1 + 𝑖) 𝑡𝑡 √ 𝑆 𝐶 𝑡 = 1 + 𝑖 3. 𝑖 = √ 𝑆 𝐶 𝑡 − 1
  63. 63. recc 𝑆 𝐶 = (1 + 𝑖) 𝑡 𝐿𝑜𝑔 𝑆 − log 𝐶 = 𝑡 log(1 + 𝑖) 4. log 𝑆 − log 𝐶 = 𝑡 log(1 + 𝑖) Ej.: 𝑇𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑖 = 𝑆 400 𝑆𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑙 𝑖 = 𝑆 5200 𝐶𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑖 = 𝑆 300 5% 𝐼 = 𝑠 100 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 → 1 200 Ejemplos: 22) UN padre coloca $ 500,00 en una cuenta de ahorros al nacer su hijo. Si la cuenta paga el 2,5% convertible semestralmente. ¿Cuánto habrá, al cumplir 18 años su hijo? 𝑆 = 500(1+ 𝑖) 𝑡 𝑆 = 500(1 + 215 200 ) 36 𝑆 = $ 781,97 23) Una póliza total de $ 10000, cuyo vencimiento fue el 1ro. De mayo de 1962, fue dejada en la compañía de seguros al 3,5% convertible anualmente. ¿Cuál fue su valor el 1ro. De mayo de 1970? 𝑆 = 10000(1 + 3,5 100 ) 8 𝑆 = 13168,09 24) ¿Cuántos años se necesitan para que: a) $ 1500 aumenten al doble, al 6% convertible trimestralmente? 𝑡 = log5 − log1500 𝑙𝑜𝑔(1 + 6 400 ) 1 𝑎ñ𝑜 4 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑥 46,55 𝑡 = 46,55 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑥 = 46,55 4 = 11,64 𝑎ñ𝑜𝑠 25) Hallar la tasa de interés i por periodo de conversión y el número n de periódos de conversión, cuando se invierte un capital C.
  64. 64. recc (h) del 15 de marzo de 1947 al 15 de septiembre de 1962, al 3,5% convertible semestralmente. 𝑖 = 3,5 200 → 0,0175 1962 09 15 1947 03 15 15 6 0 30 Semestral +1 = 31 semestres. 26) Hallar el valor de: (b) $ 2000 pagaderos en 8,5 años al 5% convertible semestralmente 𝐶 = 𝑆 (1 + 𝑖) 𝑡 𝐶 = 2000 (1 + 6 200 ) 17 𝐶 = $ 1314,39 27) Al nacer su hijo, un padre desea invertir una cantidad tal, que acumulada al 3,5% convertible semestralmente importe $ 6000. Cuando el hijo tenga 21 ¿Cuánto tendrá que invertir? 𝐶 = 𝑆 (1 + 𝑖) 𝑡 𝐶 = 6000 (1 + 3,5 200 ) 42 𝐶 = $ 2896,38 DEBER 28) Hallar la tasa de interés i por periodo de conversión y el número n de periodos de conversión. ¿Cuándo se invierte un capital C? a) Por 5 años al 4% 𝑖 = 4 100 𝑖 = 0,4 𝑛 = 5 𝑎ñ𝑜𝑠 b) Por 8 años al 5% 𝑖 = 5 100 𝑖 = 0,05 𝑛 = 8 𝑎ñ𝑜𝑠 c) Por 6 años el 4½% convertible semestralmente.
  65. 65. recc 𝑖 = 4,5 200 1 𝑎ñ𝑜 2 𝑠𝑒𝑚 8 𝑥 𝑖 = 0,0225 𝑥 = 6 × 2 1 = 12 n = 12 d) Por 10 años al 3,5% convertible semestralmente 𝑖 = 4 400 1 𝑎ñ𝑜 4 𝑡𝑟𝑖𝑚 5,5 𝑥 𝑖 = 0,01 𝑥 = 5,5 × 4 1 = 22 n = 22 e) Por 6 años 9 meses, al 6% convertible trimestralmente 𝑖 = 6 400 1 𝑎ñ𝑜 4 𝑡𝑟𝑖𝑚 6,75 𝑥 𝑖 = 0,015 𝑖 = 4 × 6,75 1 = 27 n = 27 f) Del 1ro de enero de 1960 al 1ro de julio de 1971 al 5% convertible semestralmente. 𝑖 = 5 200 1971 07 01 1960 01 01 11 6 0 𝑖 = 0,025 1 𝐴ñ𝑜 25𝑠𝑒𝑚 𝑛 𝑥 n = 23 g) Del 15 de marzo de 1947 al 15 de septiembre de 1962, al 3,5% convertible semestralmente. 𝑖 = 3,5 200 = 0,075 1 𝑎ñ𝑜 2 𝑠𝑒𝑚 15 𝑥 1957 02 18 1948 08 18 8 4 0 𝑥 = 4 × 8,5 = 34 𝑛 = 34 h) Del 20 de enero de 1955 al 20 de julio de 1962 al 6% convertible mensualmente. 𝑖 = 6 1200 = 0,005 1962 07 20 1955 01 20 7 6 0 𝑖 = 0,005 1 𝑎ñ𝑜 12𝑚 7,5 𝑥 𝑥 = 7,5 × 12𝑚 1𝑚 = 90 n = 90 i) Del 30 de septiembre de 1947 al 30 de marzo de 1963, al 3% convertible mensualmente. 𝑖 = 3 1200 = 0,0025 1 𝑎ñ𝑜 12𝑚 15,33 𝑥
  66. 66. recc 1963 03 30 1947 09 30 15 4 0 𝑥 = 15,33 × 12 = 184 j) Hallar el monto compuesto de $ 100 al 5% por a. 10 años en forma aproximada. ¿Cuánto el monto compuesto es el doble del capital original? 𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖) 𝑡 𝑆 = 100(1 + 5 100 ) 10 𝑆 = $ 162,83 b. 20 años 𝑆 = 100(1 + 5 100 ) 20 𝑆 = $ 265,33 c. 30 años 𝑆 = 100(1 + 5 100 ) 30 𝑆 = $ 432,19 29) Un padre coloca $ 500 en una cuenta de ahorros al nacer su hijo. Si la cuenta paga el 2,5% convertible semestralmente. ¿Cuánto habrá, al cumplir 18 años su hijo? 𝑆 = 500(1 + 2,5 260 ) 36 𝑆 = $ 781,97 30) Una póliza total de $ 10000 cuyo vencimiento fue el 1ro de mayo de 1962, fue dejada en la compañía de seguros al 3,5% convertible anualmente. ¿Cuál fue su valor al 1ro de mayo de 1970? 𝑆 = 10000(1 + 3,5 100 ) 8 1970 05 01 1962 05 01 8 0 0 𝑆 = $ 13168,09 31) Acumular $ 2000 por 6 años al 6,4% convertible semestralmente. 𝑆 = 200(1 + 6,4 200 ) 12 𝑆 = $ 298,70 32) ¿Cuántos años se necesitan para que?: (a) El monto de $ 2500 sea $ 6000 al 5% convertible semestralmente. 𝑡 = log6000 − log2500 log(1 + 5 200 ) t = 35,45 Semestres
  67. 67. recc 1 𝑎ñ𝑜 2 𝑠𝑒𝑚 𝑥 35,45 𝑥 = 35,45 2 = 17,73 𝑎ñ𝑜𝑠 (b) El monto de $ 4000 sea $ 7500 al 4,6% convertible trimestralmente. 𝑡 = log7500 − log4000 𝑙𝑜𝑔(1 + 4,6 400 ) 𝑡 = 54,98 1 𝑎ñ𝑜 4 𝑡𝑟𝑖𝑚 𝑥 54,98 x = 13,74 años DEBER # 2 33) M Firma un documento comprometiéndose a pagar a N $ 3000 en 6 años con intereses al 5% convertible trimestralmente. Cuatro años después, N vende el documento a P. ¿Cuánto pagó P por el documento si la tasa de interés era del 4% convertible semestralmente? 6 años 4% 10 años P 5% 3000 𝑆 = 3000(1 + 5 200 ) 24 𝑆 = 4042,05 𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖) 𝑡 𝑆 = 4042,05(1 + 4 200 ) −4 𝑆 = $ 3734,23 34) Una deuda de $ 500 pagaderos en 2 años y otra de $ 750 pagaderos en 6 años se van a liquidar mediante un pago único dentro de 4 años. Hallar el importe del pago suponiendo un rendimiento de 4% convertible trimestralmente. 2 años 750 6 años4 años 500 4% 𝑆1 = 500 (1 + 4 400 ) 8 𝑆1 = $ 541,43
  68. 68. recc 𝑆 = 750(1 + 4 400 ) 8 𝑆 = $ 692,61 𝑇 = $ 234,04 TASAS FINANCIERAS En el sistema financiero nacional, existen dos tasas financieras, la tasa efectiva y la tasa nominal. TASA EFECTIVA.- Es cuando el período de capitalización es el año (Anual) TASA NOMINAL.- Es cuando el período de capitalización es diferente al año (semanal, quincenal, mensual, bimensual, trimestral, etc.). TASAS EQUIVALENTES.- Se dice que dos tasas son equivalentes, cuando producen el mismo interés en el año. Para hallar tasas equivalentes, procedemos de la siguiente manera:  Igualamos los factores de conversión correspondientes en el año.  Reemplazamos los valores dados.  Realizamos todas las operaciones posibles hasta encontrar la tasa buscada. Ejemplo: 35) Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente equivalente al 5% convertible semestral. 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑠 (1 + 𝑖) 𝑛 = (1 + 𝑖−1) 𝑛′ (1 + 𝑇 400 ) 4 = (1 + 5 200 ) 2 √(1 + 𝑇 400 ) 44 = √1,050625 4 1 + 𝑇 400 = √1,050625 4 𝑇 = 400(√1,050625 4 ) 𝑇 = 4,969% Hallar la tasa nominal convertible semestral ≅ al 5% (1 + 𝑖) 𝑛 = (1 + 𝑖) 𝑛1 (1 + 𝑇 5200 ) 52 = √1,05 52 𝑇 = 5200 ( √1,01 52 − 1) 𝑇 = 4,88%
  69. 69. recc 36) Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente a la cual el monto de $ 3500 es $ 5000 en 5¼ años. 𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖) 𝑡 5000 = 3500(1 + 𝑇 400 ) 21 5000 3500 = (1 + 𝑇 400 ) 21 √ 50 35 21 = 1 + 𝑇 400 𝑇 = 400( √( 10 7 ) 21 − 1) 𝑇 = 6,85% Hallar la tasa nominal convertible mensualmente equivalente al 8% convertible cuatrimestralmente. ( 𝑖 + 𝑖) 𝑛 = (1 + 2) 𝑛1 (1 + 𝑇 1200 ) 12 = (1 + 𝑇 300 ) 3 √(1 + 𝑇 1200 ) 1212 = √1,08 3 𝑇 = 1200( √1,08 12 − 1) 𝑇 = 7,72% 37) Una deuda de $ 250 vencida dos años y otra de $ 750 pagaderos en 3 años se van a liquidar en la fecha mediante un pago único. Hallar el importe del pago suponiendo un rendimiento al 5% convertible semestralmente. 𝑆 = 250( 5 200 + 1) 4 𝑆 = $ 275,95 𝐶 = 750 ( 5 200 + 1) 6 𝐶 = $ 646,72 Importe = S + C Importe = $ 922,67 DEBER
  70. 70. recc 38) ¿Qué tasa convertible anualmente es equivalente al 6% convertible trimestralmente? (1 + 𝑖) 𝑛 = (1 + 𝑖′) 𝑛1 (1 + 𝑇 100 ) = (1 + 6 400 ) 4 1 + 𝑇 100 = 1,0636 𝑇 = 100(1,06136−1) 𝑇 = 6,136% 39) Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente equivalente al 5% convertible semestralmente. (1 + 𝑖) 𝑛 = (1 + 𝑖′) 𝑛1 (1 + 𝑇 400 ) 4 = (1 + 5 200 ) 2 √(1 + 𝑇 400 ) 44 = √1,050625 4 𝑇 = 400(√1,050625 4 − 1) 𝑇 = 4,969% 40) Hallar la tasa nominal convertible mensualmente equivalente al 5% convertible semestralmente. (1 + 𝑖) 𝑛 = (1 + 𝑖′) 𝑛1 (1 + 𝑇 1200 ) 12 = (1 + 5 200 ) 2 √(1 + 𝑇 1200 ) 124 = √1,050625 12 𝑇 = 1200( √1,05062512 − 1) 𝑇 = 4,949% 41) Hallar la tasa nominal convertible semestralmente a la cual el monto de $ 2500 es $ 3250 en 5 años. 𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖) 𝑡 1 𝑎ñ𝑜 2 𝑠𝑒𝑚 5 𝑥 3250 = 2500(1 + 𝑇 200 ) 10 √ 3250 2500 10 = √(1 + 𝑇 200 ) 1010 √ 325 250 10 = 1 + 𝑇 200
  71. 71. recc 𝑇 = 200( √( 325 250 ) 10 − 1) 𝑇 = 5,317% 42) Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente a lo cual el monto de $ 3500 es $ 5000 en 5¼ años. 𝑆 = 𝐶(1 + 𝑖) 𝑡 5000 = 3500(1 + 𝑇 400 ) 21 √ 5000 3500 21 = √(1 + 𝑇 400 ) 2121 √ 50 35 21 = 1 + 𝑇 400 𝑇 = 400( √( 52 35 ) 21 − 1) 𝑇 = 6,85% 33.- Hallar la tasa nominal convertiblemente mensualmente a la cual el monto de $3250 es $4000 en 8 años. S = C ( 1 + i )t 4000 = 3250 ( 1 + T )96 1200 96 4000 = 96 1 + T 96 3250 1200 T= 1200 96 400 - 1 325 T= 2,6%
  72. 72. recc 11.- Al nacer su hijo, un padre desea invertir una cantidad tal, que acumulada al 3.5% convertible semestralmente importe $6000 cuando el hijo tenga 21 años ¿Cuánto tendrá que invertir? C= S ( 1 + i ) C= 6000 1 + 3,5 42 200 C= $2895,38 12.- Un deudor puede liquidar una deuda pagando (a) $8.000 en la fecha o $10.000 dentro de 5 años ¿Qué opción debe aceptar? C= 8.000 C= 10.000 ( 1 + 5 )2 ( 1 + 5 )10 200 200 C= 7.614,51 C= 7.811,98 Opción: b 13.- ¿Cuál es el valor presente de un aumento por $1200 con intereses al 5% convertible semestralmente por 10 años si el rendimiento actual es de 4,5% efectivo? S= C ( 1+i )n S= 1200( 1+ 5 )20 200 S= $1966,34 14.- M firma un documento comprometiéndose a pagar a N 3.000 en 6 años con intereses al 5% convertible trimestralmente. 4 años después N vende el documento a P ¿Cuánto pagó P por el documento si la tasa de interés era del 4% convertible semestralmente?
  73. 73. recc S= 3.000(1 + 5 )24 400 S= $4042,053151 C= 4042,053151 (1 + 4 )4 200 C= 3734,23 15.- Una deuda de $500 pagaderos en 2 años y otra $750 en 6 años se van a liquidar mediante un pago único dentro de 4 años. Hallar el importe del pago suponiendo un rendimiento al 4% convertible trimestralmente. S= 500( 1 + 4 )8 C= 750 400 (1 + 4 )8 400 S= 541,43 C= 652,61 T= $1234,04 16.- Una deuda de $250 vencida hace dos años y otra de $750 pagaderos en tres años se van a liquidar en la fecha mediante un pago único. Hallar el importe del pago suponiendo un rendimiento al 5% convertible semestralmente. S= 250 ( 1 + 5 )4 C= 750 200 (1 + 5 )6 200 S= $275,95 C= $646,72 T= $922,67
  74. 74. recc 17.- M debe $1000 pagaderos dentro de tres años. Si hace, el día de hoy, un pago de $400, ¿cuál será el importe del pago que tendrá que hacer en 2 años para liquidar su deuda suponiendo un rendimiento del 5% convertible semestralmente? S= 1000 ( 1 + 5 )6 C= 462,29 200 (1 + 5 )4 400 S= 862,29 -400 S= $462,29 C= $646,72 18.- El día de hoy, un comerciante compra artículos por valor de $1500 iniciales y $500 al término de cuatro meses. Suponiendo un rendimiento de 6% convertible mensualmente, ¿cuál será el importe del pago final que tendrá que hacer al término de 6 meses? 500 1000 1 2 3 4 S= 1000 ( 1 + 6 )48 C= 770,49 1200 (1+ 6 )76 1200 S= 1270,49 - 500 S= $ 770,49 C= $527,40 19.- M firmó un documento por $1500 con intereses acumulados por 2 años al 5% convertible trimestralmente, vencido el día de hoy. Paga $500 únicamente y acuerda pagar el resto en 1 año. Hallar el importe del pago requerido. S= 1500 ( 1 + 5 )8 400 S= 1656,73 - 500 Saldo $ 1156,73
  75. 75. recc S= 1156,73( 1 + 5 )4 400 S= 1215,66 20.- Supóngase en el problema 19, que M acuerda pagar el resto en dos pagos con vencimiento a 6 meses y 1 año a partir de hoy. Hallar el importe de los pagos requeridos. 1156,73= x X ( 1 + 5 )2 + ( 1 + 5 )4 400 400 1156,73= 1,92698533 x= 1156,73 1,92698533 x= $600,28 21.- Sustituir dos deudas de $400 y $800 con vencimiento en 3 años y en 5 años respectivamente, por dos pagos iguales con vencimiento en 2 y 4 años, suponiendo un rendimiento del 5% convertible semestralmente. C= 400 + 800 = x + x ( 1 + 5 )2 ( 1 + 5 )6 ( 1 + 5 )2 200 200 200 1070,56 = 1,905450 x x= 1070,56 1,905450 x= $ 561,84 22.- Un terreno es vendido por $500 en efectivo y $250 anuales por los próximos 4 años. Suponiendo un rendimiento del 6% efectivo. Hallar el precio de contado del terreno. 1500= 800 + 8 1 + T =1,04 ( 1 + T ) ( 1 + T )2 100 100 100
  76. 76. recc 1500 ( 1 + T ) = 800 ( 1 + T ) 800 T = 01,0412691 100 100 100 haciendo 15 ( 1 + T ) = X T = 4,41% 100 X= 8 + 64 + 480 30 X= 8 + 544 30 X= 1,04 Anualidades Formulas: VENCIDAS ANTICIPADOS S=a ( 1 + i )n -1 S=a( 1 + i ) ( 1 + i )n -1 i i P=a 1 - ( 1 + i )-n P=a( 1 + i ) 1 - ( 1 + i )-n i I De donde a= anualidad b= valor presente o valor actual También VENCIDAS ANTICIPADAS a= Si a= Si ( 1 + i )n – 1 ( 1 + i ) [( 1 + i )n – 1] log Si + 1 log Si + 1 n= a (1+ i) n= a (1+ i) log ( 1 + i ) log ( 1 + i )
  77. 77. recc Ejemplos: 14.- M está pagando $22.50 al final de cada semestre por concepto de la prima de una póliza total la cual la pagará $1000 al término de 20 años. ¿Qué cantidad tendrá? S=a ( 1 + i )n _ 1 i 22,50 ( 1 + 3 )40 _ 1 S= 200 3 200 S= 1221,03 DEBER 11.- Hallar el monto y el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias: (a) $400 anuales durante 12 años al 2.5% S= a ( 1 + i )n - 1 p = a 1 - (1+ i )-n i i (1+ 2,5 )12 - 1 1 - ( 1 + 2,5 )-12 S= 400 100 p= 400 100 2,5 2,5 100 100 S= 400 0,344888 p= $4103,10 0,025 S= 5518,22 b) $150 mensuales durante 6 años 3 meses al 6% convertible mensualmente. (1+ 6 )75 - 1 p = a 1 - (1+ i )-n S= 150 1200 i 6 1200 1 - ( 1 + 6 )-75 p= 150 1200 S= $13608,98 6 1200
  78. 78. recc 1 Año 12m X 3m p= $9362,05 X= 3 = 0,25 12 c) $500 trimestralmente durante 8 años, 9 meses, al 6% convertible trimestralmente. (1+ 6 )35 - 1 p = a 1 - (1+ i )-n S= 500 400 i 6 400 1 - ( 1 + 6 )-35 p= 500 400 S= $22796,04 6 400 p= $13537,80 12.- B ahorra $600 cada medio año y los invierte al 3% convertible semestralmente. Hallar el importe de sus ahorros después de dos años. S= a ( 1 + i )n - 1 i (1+ 3 )20 - 1 S= 600 200 3 200 S= $13874,20 13.- Hallar el valor efectivo equivalente a una anualidad de $100 al final de cada tres meses durante quince años, suponiendo un interés del 5% convertible trimestralmente. p = a 1 - (1+ i )-n i
  79. 79. recc 1 - ( 1 + 5 )-60 p= 100 400 5 400 p= $4203,46 14.- M está pagando $22,50 al final de cada semestre por concepto de la prima de una póliza total, la cual la pagará $1000 al término de 20 años. ¿Qué cantidad tendrá si en su lugar depositará cada pago en una cuenta de ahorros que le produjera el 3% convertible semestralmente? ( 1+ 3 )40 - 1 S= 22,50 200 3 200 S= $1221,03 15.- ¿Qué es más conveniente, comprar un automóvil en $2750 de contado o pagar $500 iniciales y $200 al final de cada mes por los próximos 12 meses. Suponiendo intereses calculados al 6% convertible mensualmente. ( 1 + 6 )12 - 1 S= 200 1200 6 1200 S= $2467,11 +VI= $500,00 Total= $2967,11 Es mejor comprarlo al contado
  80. 80. recc 16.- ¿Qué cantidad debió ser depositada al 1ro de junio de 1950 en un fondo que produjo el 5% convertible semestralmente con el fin de poderse hacer retiros semestrales de $600 cada uno, a partir del 1ro de diciembre de 1950 y terminando el 1ro de diciembre de 1967? 1 - ( 1 + 5 )-35 p= 600 200 5 200 p= $13887,09 17.- Se estima que un terreno boscoso producirá $15000 anuales por su explotación en los próximos 10 años y entonces la tierra podrá venderse en $10000. Encontrar su valor actual suponiendo intereses al 5%. p = a ( 1 + i ) 1 - (1+ i )-n i 1 - ( 1 + 5 )-10 p= 100 ( 1 + 5 /100) 100 5 100 p= 15750 (7,721) p= $121605,75 18.- Suponiendo intereses al 5,2% convertible trimestralmente, ¿qué pago único inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $100 cada uno, haciéndose el primero al final de tres meses? 1 - ( 1 + 5,2 )-15 p= 100 400 5,2 400 p= $1354,85
  81. 81. recc 19.- M invierte $250 al final de cada 6 meses en un fondo que paga el 33/4. Convertible semestralmente. ¿Cuál será el importe del fondo, (a) precisamente después del 12O? ( 1 + 3,75 )72 - 1 S= 250 200 3,75 200 S= $3329,55 b) ¿Antes del 12O depósito? ( 1 + 3,75 )11 - 1 S= 250 ( 1 + 3,75 ) 200 200 ( 1 + 3,75 ) 200 S= $3079,55 c) Precisamente antes del 15O depósito? S = a ( 1 + i ) 1 - ( 1 + i )-n - 1 i ( 1 + 3,75 )17 - 1 S= 250 ( 1 + 3,75 ) 200 200 3,75 200 S= $4034,52 20.- Al comprar M un coche nuevo de $3750, la reciben su coche usado en $1250. ¿Cuánto tendrá que pagar en efectivo si el saldo restante lo liquidará mediante el pago de $125 al final de cada mes durante 18 meses, cargándole intereses al 6% convertible mensualmente? p = a 1 - (1+ i )-n 3.750,00 i - 1250,00 2500,00
  82. 82. recc 1 - ( 1 + 6 )-8 - 2146,00 p= 125 1200 353,40 6 1200 p= $2146,60 21.- Un contrato estipula pagos semestrales de $400 por los próximos 10 años y un pago adicional de $2500 al término de dicho período. Hallar el valor efectivo equivalente del contrato al 7% convertible semestralmente. 1 - ( 1 + 5,2 )-8 p= 400 200 C= 2500 7 ( 1 + 7 ) 200 200 p= $5689,96 C= 1256,41 R= 6941,37 22.- M acuerda liquidar una deuda mediante 12 pagos trimestrales de $300 cada uno. Si omite los tres primeros pagos, ¿qué pago tendrá que hacer en el vencimiento del siguiente para, (a) quedar al corriente en sus pagos? (b) saldar su deuda? Tomar intereses al 8% convertible trimestralmente. a) ( 1 + 8 )4 - 1 S= 3000 400 8 400 S= $1236,48 b) 1 - ( 1 + 8 )-8 p= 300 400 8 400 p= $2197,64 23.- Con el objeto de reunir una cantidad que le será entregada a su hijo al cumplir 21 años, un padre deposita $200 cada seis meses en una cuenta de ahorro que paga el 3% convertible
  83. 83. recc semestralmente. Hallar el monto de la entrega si el primer deposito se hizo el día del nacimiento del hijo y el último cuando tenía 201/2 años. ( 1 + 3 )42 - 1 S= 1200 200 3 200 S= 11584,62 ( 1 + 3 ) 200 S= $11758,40 24.- M ha depositado $25 al final de cada mes durante 20 años en una cuenta que paga el 3% convertible mensualmente. ¿Cuánto tenía en la cuenta al final de dicho periodo? ( 1 + 3 )240 - 1 S= 25 1200 3 1200 S= $8207,55 25.- ¿Cuánto debió depositarse el 1ro de junio de 1940 en un fondo que pagó el 4% convertible semestralmente, con el objetivo de poder hacer retiros semestrales de $500 cada uno, desde el 1ro de junio de 1955 hasta el 1ro de diciembre de 1970? ( 1 + 4 )-61 ( 1 + 4 )-31 p1= 500 200 p2= 500 200 4 200 p2 = $11468,85 p1 = $17529,84 ( 1 + 4 )29 p3= 500 200 4 200 p3 = $10972,19 p= p1 - p3 p= $6607,65
  84. 84. recc DEBER 11.- Un televisor es comprado con $50 de cuotas inicial y $50 mensual durante 4 meses. Si se carga intereses de 21% convertible mensualmente, ¿cuál es el valor de contado del televisor? 1 - ( 1 + 4 )14 p= 50 1200 21 1200 p = $616,10 + $50,00 p= $666,10 12.- B alquila un edificio en $10.000 cada t3 meses pagados por adelantado. Invierte en forma inmediata $7500 de cada pago en un fondo que paga el 5% convertible trimestralmente. ¿Cuál será el importe del fondo al término de 6 años? ( 1 + 5 )24 - 1 S= 7500 ( 1 + 5 ) 400 400 5 400 S= $211015,76 13.- La prima anual por adelantado de una póliza de seguro temporal a 10 años es $178,40 ¿Cuál es el equivalente de contado al 31/2 %? 1 - ( 1 + 3,5 )-10 p= 178,40 ( 1 + 3,5 ) 100 100 3,5 100 p= $1535,61
  85. 85. recc 14.- M acuerda pagar $250 al principio de cada año durante 15 años. Al 41/2 % hallar el valor de los pagos restantes, (a) justamente después que haga el tercer pago, (b) justamente entes de hacer el sexto pago. (c) si después de hacer el pago inicial, M deja de hacer los 4 pagos siguientes, ¿Cuánto tendrá que pagar al vencimiento del siguiente pago para ponerse al corriente? a) p = a ( 1 + i ) 1 - ( 1 + i )-n i ( 1 + 4,5 )-13 p= 250 ( 1 + 4,5 ) 100 100 4,5 100 p = $2529,65 - $250,00 $2279,64 b) ( 1 + 4,5 )-10 p= 250 ( 1 + 4,5 ) 100 100 4,5 100 p = $2067,20 c) S = a ( 1 + i ) 1 - ( 1 + i )n - 1 i 1 - ( 1 + 4,5 )4 - 1 S= 250 ( 1 + 4,5 ) 100 100 4,5 100 S= $1117,68 + $250,00 $1367,68
  86. 86. recc 15.- El valor de contado de un coche usado es $1750. B desea pagarlo en15 abonos mensuales, venciendo el primero el día de la compra. Si se carga el 18% de interés convertible mensualmente, hallar el importe del pago mensual. a= Pi ( 1 + i ) [1 - ( 1 + i )-n ] 1750 ( 18 ) a= 1200 ( 1 + 18 ) [1 - ( 1 + 18 )-15] 1200 1200 a= $129,21 16.- La renta por un edificio es $1500 anuales por adelantado. ¿Cuál es la renta mensual por adelantado equivalente al 6% convertible mensualmente? 1500 ( 6 ) a= 1200 ( 1 + 6 ) [1 - ( 1 + 6 )-12] 1200 1200 a= $128,46 17.- Un granjero compró un tractor el 1ro de marzo, comprendiendo que haría pagos mensuales de $200 durante 24 meses, el primero con vencimiento el 1ro de octubre. Si el interés es al 12% convertible mensualmente, hallar el valor de contado equivalente. 1ro marzo 1ro octubre 1 - ( 1 + 12 )-30 1 - ( 1 + 12 )-6 p1= 200 1200 p2= 200 1200 12 12 1200 1200 p1= $5161,54 p2= $1159,09 p= p1 - p2 p= 5161,54 - 1159,09
  87. 87. recc pT= 4002,45 18.- El 1ro de junio de 1958 se compra un negocio con $10.000 de cuota inicial y 10 pagos trimestrales de $2500 cada uno, el primero con vencimiento el 1ro de junio de 1961. ¿Cuál es el valor de contado del negocio suponiendo intereses al 6% convertible trimestralmente? 1 - ( 1 + 6 )-21 1 - ( 1 + 6 )-11 p1= 2500 400 p2= 2500 400 6 6 400 400 p1= $44750,34 p2= $22177,69 p= p1 - p2 p= 44750,34 - 25177,69 1961-06-01 1955-06-01 p= 19572,55 //3 // // +$ 10000,00 12 trimestre pT= $29572,55 19.- En esta fecha, B adquiere un préstamo de $25.000 para adquirir un plantío de frutas cítricas. Piensa liquidar el préstamo con intereses de 51/2 % en 10 pagos iguales anuales iguales, haciendo el primero en 8 años. Hallar el pago anual X. 1 - ( 1 + 5,5 )-17 1 - ( 1 + 5,5 )-7 25000 = a 100 - a 100 5,5 5,5 100 100 25000= 10,861 - 5,68a 25000= 5,18a a= 25000,00 5,68 a= 4826,25
  88. 88. recc 20.- Al nacimiento de su hijo, M desea depositar en una fiduciaria una cantidad tal que le proporcione a su hijo pagos de $1250 cada 6 meses durante 4 años, venciendo el primero cuando cumpla 18 años. Si la fiduciaria paga el 3% convertible semestralmente, ¿cuánto tendrá que depositar M? 1 - ( 1 + 3 )-44 - 1 p1= 1250 ( 1 + 3 ) 200 200 3 200 p1= $40651,54 1 - ( 1 + 3 )-36 - 1 p2= 1250 ( 1 + 3 ) 200 200 3 200 p2= $35094,49 p= p1 - p2 p= 40651,54 - 35094,49 pT= 5557,05 21.- En esta fecha, M contrae una deuda con interés al 5% convertible trimestralmente, la cual será pagada mediante desembolsos de $250 al final de cada tres meses por los próximos 5 años, seguidos de pagos de $400 trimestrales por los siguientes 4 años. Hallar el importe de la deuda. ( 1 + 12 )20 - 1 1 - ( 1 + 5 )-16 S= 250 400 p2= 400 400 5 5 400 400 S= $5640,74 p2= $5768,12 ST= $11408,86 p= p1 - p2 C= M p= 5161,54 - 1159,09 1+i pT= 4002,45 C= 11408,86 ( 1 + 5 )20 400
  89. 89. recc C= $8899,008 22.- Suponiendo que una granja produzca $5000 anuales indefinidamente, ¿cuál es su valor real sobre la base de 5%? p= a ( 1 + i )n - 1 p= 5000 ( 1 + 5 ) - 1 100 p= $1000000 23.- ¿Qué cantidad es necesaria para patrocinar una serie de conferencias que cuestan $2500 al principio de cada año, indefinidamente, suponiendo intereses al 5% convertible trimestralmente? p= a ( 1 + i )n - 1 p= 2500 ( 1 + 5 )4 - 1 400 p= $49072,20 + 2500,00 $51572,20 AMORTIZACIÓN Y FONDO DE AMORTIZACIÓN Amortización.- Se dice que un documento causa interés, esta amortizado cuando se va pagando el capital y los intereses correspondientes en cada periodo. Elaboración de una tabla de amortización. Una tabla de amortización, consta de5 columnas. 1. En la primera, van los periodos de pago. 2. En la segunda, el capital insoluto o deuda al inicio del periodo.
  90. 90. recc 3. En la tercera, el interés simple de la deuda en cada periodo. 4. En la cuarta, el pago o depósito que se debe realizar, el mismo que se tiene aplicando la siguiente formula. a= Si ( 1 + i ) ( 1 + i )n _ 1 5.- En la quinta, el capital pagado el mismo que se obtiene restando el interés del depósito o pago. Ejemplo: Una deuda de $8000 al 8% convertible semestralmente durante 4 años, elaborar la tabla de amortización. 8000 ( 8 ) ( 1 + 8 )8 - 1 I= C i t a= 200 200 I= 8000 ( 8 ) ( 1 ) ( 1 + 8 )8 - 1 200 2 200 I= 8000 ( 8 ) 200 a= $1188,52 I= $320 PERIODO INTERÉS DEPÓSITO INCREMENTO IMPORTE 1 2 3 4 5 6 7 8 8000,00 7131,77 6228,82 5289,75 4313,12 3297,42 2241,09 1142,51 320,00 285,27 249,15 211,59 172,52 131,89 89,64 45,70 1188,52 1188,52 1188,52 1188,52 1188,52 1188,52 1188,52 1188,52 868,22 902,95 939,07 976,63 1015,70 1056,32 1098,57 1142,51 FONDO DE AMORTIZACIÓN En este método, el acreedor recibe el interés pactado en su vencimiento y el valor nominal de la deuda al término del plazo. Elaboración del fondo de amortización. Consta de 5 columnas. 1. En la primera, van los depósitos. 2. En la segunda, el interés simple del importe del fondo en cada periodo (partiendo desde cero).
  91. 91. recc 3. En la tercera, el pago periódico o depósito. 4. En la cuarta, el incremento del fondo del mismo que se obtiene sumando el depósito más el interés simple. 5. En la quinta, el importe del fondo el mismo que se obtiene sumando el importe anterior con el incremento al fondo en cada periodo. NOTA: Para calcular el depósito en el fondo de amortización. DEPÓSITO: Aplicamos la siguiente formula. a= Si ( 1 + i )n _ 1 8000( 8 ) a= 200 ( 1 + 8 ) - 1 200 a= 868,22 PERIODO INTERÉS DEPÓSITO INCREMENTO IMPORTE 1 2 3 4 5 6 7 8 0 34,73 70,84 108,40 147,47 188,10 230,35 274,30 868,22 868,22 868,22 868,22 868,22 868,22 868,22 868,22 868,22 902,94 939,06 976,63 1015,69 1056,32 1098,57 1142,52 868,22 1771,17 2710,23 3686,86 4702,55 5758,87 6857,44 7999,99 Ejemplo: Una deuda de $1000 al 5% convertible cuatrimestralmente durante 2 años. Complete lo que falta. 
  92. 92. recc PERIODO CAPITAL INTERÉS DEPÓSITO CAPITAL PAGADO 1 2 3 4 5 6 10000 8401,44 6776,23 5123,94 3444,11 1736,28 166,67 140,02 112,94 85,40 57,40 28,94 1765.23 1765.23 1765.23 1765.23 1765.23 1765.23 1598,56 1625,21 1652,29 1679,83 1707,83 1736,28 10000( 5 ) a= 300 = 1598,56 ( 1 + 5 )6 - 1 300 PERIODO INTERÉS DEPÓSITO INCREMENTO IMPORTE 1 2 3 4 5 6 0 24,64 53,73 81,27 109,26 137,73 1598,56 1598,56 1598,56 1598,56 1598,56 1598,56 1598,56 1625,20 1652,29 1679,83 1707,82 1736,29 1598,56 3223,76 4876,05 6555,88 8263,70 9999,99

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