UNAM
ENP 9 “Pedro de Alba”

Los puentes de Königsberg
Profa. Norma Ramírez Sánchez
Colegio de Matemáticas
Turno Diurno
Los 7 Puentes de Königsberg
En el siglo XVIII, siete puentes
atravesaban el río Pregel a través de
la pequeña ciudad unive...
Los pobladores se preguntaban
“¿Cómo puede una persona planear
su paseo del domingo en la tarde, de
modo que cruce una sol...
¿Crees que es posible encontrar un
trayecto que cruce cada uno de los
siete puentes sólo una vez?
En caso afirmativo, dibu...
En San Petersburgo, el gran Euler
resolvió el problema en 1735:
Reemplazó la tierra por puntos y los
puentes por líneas qu...
Euler
Basilea, Suiza, 1707-San
Petersburgo,
1783)
Matemático suizo. Contribuiría
con resultados destacados en
el campo de ...
Grafos
Grafo G=(V,E)
Estructura formada por un conjunto
de puntos no vacío V
Conjunto E de pares no ordenados
de puntos de...
Un grafo se representa por medio de
un diagrama de nodos y líneas.
Grafo dirigido
Un grafo donde los elementos de E
son pares ordeandos.
Cada par e=(u,v) le llamamos arco y
u y v son sus ex...
Algunas definiciones
Bucles, aristas (u,v) o arcos (u,v) con
u=v.
Grafos que no posen bucles se
llaman simples.
Pseudograf...
(u,v) ϵ E(G) entonces (u,v) ϵ E(G1) y
(v,u) ϵ E(G1)

G
G1
Grado de un vértice dG(v) o di
grado del vértice vi
Número de aristas que inciden con v.
El bucle, contribuye con dos
unid...
¿Cuál es el número de aristas
de un grafo k-regular de n
vértices?
Cadenas, caminos y conexión
Una cadena en G es una sucesión
finita en la que se alternan vértices y
aristas:
Voe1v1e1v2…. ...
y final de las cadenas, siendo los
restantes interiores
Una cadena es simple si las aristas
son distintas dos a dos , y es...
El camino más corto de u a v, si existe
suele recibir el nombre de geodésica
Una cadena es cerrada si los vértices
inicial...
Componente conexa de G.
Subgrafo de G maximal respecto del
conjunto de aristas.
comp(G) es el número de
componentes conexa...
Regresando al problema
¿Podemos dibujar, sin levantar el lápiz,
pasando una vez por cada arista?
Cuando debemos comenzar y terminar
en el mismo vértice:
Teorema: Un grafo conexo posee un
ciclo euleriano todos sus vértic...
Cuando comenzamos en un vértice y
terminamos en otro:
Teorema: Un grafo conexo contiene
un camino euleriano tiene
exactame...
¿Se podrá hacer algo con el sobre?

¿Con el sobre abierto?
GRACIAS
Los puentes de köningsberg
Los puentes de köningsberg
Los puentes de köningsberg
Los puentes de köningsberg
Los puentes de köningsberg
Los puentes de köningsberg
Los puentes de köningsberg
Los puentes de köningsberg
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Los puentes de köningsberg

404 views

Published on

Se plantea el problema de los puentes de Köningsberg y la teoría para resolverlo.

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
404
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
49
Actions
Shares
0
Downloads
5
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Los puentes de köningsberg

  1. 1. UNAM ENP 9 “Pedro de Alba” Los puentes de Königsberg Profa. Norma Ramírez Sánchez Colegio de Matemáticas Turno Diurno
  2. 2. Los 7 Puentes de Königsberg En el siglo XVIII, siete puentes atravesaban el río Pregel a través de la pequeña ciudad universitaria alemana de Königsberg. Cuatro de ellos unían las orillas opuestas con la pequeña isla de Kneiphof. Un puente comunicaba Kneiphof con otra isla y los dos restantes unían a ésta con tierra firme.
  3. 3. Los pobladores se preguntaban “¿Cómo puede una persona planear su paseo del domingo en la tarde, de modo que cruce una sola vez cada uno de los siete puentes?”
  4. 4. ¿Crees que es posible encontrar un trayecto que cruce cada uno de los siete puentes sólo una vez? En caso afirmativo, dibuja el trayecto que cumpla con estos requisitos. Si consideras que es imposible, explica por qué.
  5. 5. En San Petersburgo, el gran Euler resolvió el problema en 1735: Reemplazó la tierra por puntos y los puentes por líneas que unían estos puntos. ¿Puede dibujarse la figura con un trazo continuo del lápiz, sin levantarlo del papel?
  6. 6. Euler Basilea, Suiza, 1707-San Petersburgo, 1783) Matemático suizo. Contribuiría con resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales, además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos naturales).
  7. 7. Grafos Grafo G=(V,E) Estructura formada por un conjunto de puntos no vacío V Conjunto E de pares no ordenados de puntos de V. V, conjunto de vértices. E, conjunto de aristas.
  8. 8. Un grafo se representa por medio de un diagrama de nodos y líneas.
  9. 9. Grafo dirigido Un grafo donde los elementos de E son pares ordeandos. Cada par e=(u,v) le llamamos arco y u y v son sus extremos inicial final
  10. 10. Algunas definiciones Bucles, aristas (u,v) o arcos (u,v) con u=v. Grafos que no posen bucles se llaman simples. Pseudografos o multigrafo (con bucles o no) existen varias aristas entre u y v. Un grafo G puede ser considerado como un grafo dirigido G1 en el que
  11. 11. (u,v) ϵ E(G) entonces (u,v) ϵ E(G1) y (v,u) ϵ E(G1) G G1
  12. 12. Grado de un vértice dG(v) o di grado del vértice vi Número de aristas que inciden con v. El bucle, contribuye con dos unidades al valor del grado del vértice en el que incide. Un grafo G no dirigido es k-regular si el grado de cada vértice es k. Si el grado es cero, el vértice se llama aislado.
  13. 13. ¿Cuál es el número de aristas de un grafo k-regular de n vértices?
  14. 14. Cadenas, caminos y conexión Una cadena en G es una sucesión finita en la que se alternan vértices y aristas: Voe1v1e1v2…. ekvk eiϵE vi ϵV Cada arista ei es incidente con los dos vértices inmediatamente anterior y posterior vi-1 y vi. A v0 y vk les llamamos vértice inicial
  15. 15. y final de las cadenas, siendo los restantes interiores Una cadena es simple si las aristas son distintas dos a dos , y es un camino si son los vértices los que son distintos dos a dos. ¿Es toda cadena simple un camino? El número de aristas de una cadena la llamalos longitud de la cadena. Distancia entre dos vértices u,v d(u,v} es la longitud del camino más corto
  16. 16. El camino más corto de u a v, si existe suele recibir el nombre de geodésica Una cadena es cerrada si los vértices inicial y final coinciden. Ciclo, toda cadena simple cerrada donde los vértices interiores son distintos dos a dos y distintos de los extremos. Dos vértices están conectados si existe una cadena de longitud mayor o igual que cero que los une.
  17. 17. Componente conexa de G. Subgrafo de G maximal respecto del conjunto de aristas. comp(G) es el número de componentes conexas de G G es conexo si comp(G)=1, es decir, si dos vértices cualesquiera de G están conectados.
  18. 18. Regresando al problema ¿Podemos dibujar, sin levantar el lápiz, pasando una vez por cada arista?
  19. 19. Cuando debemos comenzar y terminar en el mismo vértice: Teorema: Un grafo conexo posee un ciclo euleriano todos sus vértices tienen grado par. Por tanto, en el caso de los puentes de Königsberg no se puede conseguir lo que queremos (ya que ninguno de sus vértices tiene grado par).
  20. 20. Cuando comenzamos en un vértice y terminamos en otro: Teorema: Un grafo conexo contiene un camino euleriano tiene exactamente dos vértice de grado impar. Por tanto en el caso de los puentes de Königsberg tampoco se podría conseguir esto, ese grafo tampoco contiene un camino euleriano.
  21. 21. ¿Se podrá hacer algo con el sobre? ¿Con el sobre abierto?
  22. 22. GRACIAS

×