Cinemática vectorial ¿Qué estudia la cinemática vectorial?
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Vector posición, itinerario y trayectoria x  = 3 t y  = 2 t 2 Ejemplo 1. El itinerario de una partícula que se mueve en el...
Vector posición, itinerario y trayectoria <ul><li>¿Posición en  t = 2 s? </li></ul><ul><li>¿Posición en  t = 3 s? </li></u...
Vectores desplazamiento y Velocidad media y x Posición inicial  Velocidad media: <ul><li>-¿Cuál es el desplazamiento de la...
Velocidad instantánea El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria. Nótese que el movimiento en el plano p...
Volvamos al ejemplo 1: - ¿Cuál es la velocidad instantánea de la partícula en función del tiempo? Puesto que: Entonces: - ...
Vectores velocidad Componentes: Módulo: Componentes: Módulo: Velocidad en t = 2 s Velocidad en t = 3 s
Aceleración media En el intervalo   t hay un cambio de velocidad: Se define la aceleración media como: Como: Por lo tanto...
Aceleración instantánea En el ejemplo 1 teníamos que la posición en función del tiempo era: Y la velocidad en función del ...
Lanzamiento de un proyectil v ox v x v y v oy y x En todo lanzamiento en que Es decir: Si consideramos que: se obtiene par...
Ejemplo 2: Desde el origen se lanza un proyectil con una velocidad de 76,2 m/s, en una dirección que forma un ángulo de 66...
Continuación del ejemplo 2... b) ¿A qué distancia del origen cae el proyectil? (Alcance) La simetría indica que si demora ...
Movimiento circular uniforme y x P  r v Se trata de um MCU de un objeto P que se mueve en dirección contraria a los punte...
y x P  r v Tenemos, entonces que: Hagamos el producto punto entre estos dos vectores. Se obtiene: Es decir,  v   es perpe...
y x P  r v En resumen: Puesto que     = cte. en que  T  es el período del movimiento En un MCU, el itinerario es: y la v...
Ejemplo 3. En una prueba de resistencia,  un astronauta está sentado en una plataforma, a 4 metros del centro de giro. La ...
y x P  a v en que  T  es el período del movimiento Por lo tanto, el vector aceleración tiene dirección opuesta a  r , es ...
Volvamos al ejemplo 3. En una prueba de resistencia, un astronauta está sentado en una plataforma, a 4 metros del centro d...
y x r v Por lo tanto, en el instante t = 0.5 s... Sigamos con el ejemplo 3... f) Dibuje estos tres vectores. e) Anote los ...
y x r  Movimiento circular no uniforme Las componentes de la velocidad son: y el módulo de la velocidad es: Derivando se ...
Componentes tangencial y normal Definamos los siguientes vectores unitarios: Vector unitario tangente a la trayectoria. Ve...
Componente normal de la aceleración (Aceleración centrípeta) Es decir, a Por lo tanto, el vector aceleración en componente...
Ejemplos de aplicación de: 1. Movimiento circular uniforme Puesto que: a y su módulo es 2. Objeto aumentando su rapidez en...
 
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  1. 1. Cinemática vectorial ¿Qué estudia la cinemática vectorial?
  2. 2. Vector posición, itinerario y trayectoria y x x(t) y(t) Función itinerario: Si se elimina el parámetro t se obtiene la ecuación de la trayectoria: y = f (x) x = f (t) y = f (t) Son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria A continuación veremos un ejemplo...
  3. 3. Vector posición, itinerario y trayectoria x = 3 t y = 2 t 2 Ejemplo 1. El itinerario de una partícula que se mueve en el plano x – y es el siguiente: 0 < t < 5 s, x : m Son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria - Determinar la posición de la partícula en los instantes t = 1, 2, 3, 4 s <ul><li>Dibujar la trayectoria de la partícula. </li></ul>32 12 4 18 9 3 8 6 2 2 3 1 y (m) x (m) t (s)
  4. 4. Vector posición, itinerario y trayectoria <ul><li>¿Posición en t = 2 s? </li></ul><ul><li>¿Posición en t = 3 s? </li></ul><ul><li>¿Cuál es la ecuación de la trayectoria? </li></ul>Si se elimina el parámetro t se obtiene la ecuación de la trayectoria Vector posición en t = 2 s Vector posición en t = 3 s
  5. 5. Vectores desplazamiento y Velocidad media y x Posición inicial Velocidad media: <ul><li>-¿Cuál es el desplazamiento de la partícula entre t = 2 s y t = 4 s? </li></ul><ul><li>6i+24j m </li></ul><ul><li>¿Cuál es el vector velocidad media de la partícula en ese intervalo? </li></ul><ul><li>3i+12j m/s </li></ul>Posición después de un intervalo  t Desplazamiento: En el ejemplo 1:
  6. 6. Velocidad instantánea El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria. Nótese que el movimiento en el plano puede considerarse como la combinación de dos movimientos ortogonales.
  7. 7. Volvamos al ejemplo 1: - ¿Cuál es la velocidad instantánea de la partícula en función del tiempo? Puesto que: Entonces: - ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el instante t = 2 s? - ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el instante t = 3 s? Representemos estos vectores velocidad en el gráfico de la trayectoria...
  8. 8. Vectores velocidad Componentes: Módulo: Componentes: Módulo: Velocidad en t = 2 s Velocidad en t = 3 s
  9. 9. Aceleración media En el intervalo  t hay un cambio de velocidad: Se define la aceleración media como: Como: Por lo tanto el vector aceleración tiene la misma direccón que el vector  v.
  10. 10. Aceleración instantánea En el ejemplo 1 teníamos que la posición en función del tiempo era: Y la velocidad en función del tiempo: Entonces: - ¿Cuál es la aceleración en función del tiempo? La aceleración de la partícula es constante, apunta en la dirección del eje y y su módulo es 4 m/s 2 .
  11. 11. Lanzamiento de un proyectil v ox v x v y v oy y x En todo lanzamiento en que Es decir: Si consideramos que: se obtiene para el itinerario las siguientes ecuaciones: 
  12. 12. Ejemplo 2: Desde el origen se lanza un proyectil con una velocidad de 76,2 m/s, en una dirección que forma un ángulo de 66,8° con la horizontal. a) Determine la máxima altura y m que alcanza el proyectil. en que y o = 0, v o = 76,2 m/s,  = 66,8° Pero para y máxima v y = 0 y, por lo tanto, y, sustituyendo t en la ecuación para y, se obtiene: Reemplazando los datos: y m = 245,3 metros. Las ecuaciones para este movimiento son:
  13. 13. Continuación del ejemplo 2... b) ¿A qué distancia del origen cae el proyectil? (Alcance) La simetría indica que si demora t ym en alcanzar la máxima altura, demora el doble en llegar de vuelta al suelo. Por lo tanto: y reemplazando en la ecuación para x, o, lo que es igual: Reemplazando los datos, x m = 420,5 metros. Verifique que el alcance máximo se obtiene para un ángulo  = 45°
  14. 14. Movimiento circular uniforme y x P  r v Se trata de um MCU de un objeto P que se mueve en dirección contraria a los punteros del reloj. Nótese que Velocidad angular Unidades de  : rad/s o s -1 Velocidad: En que:
  15. 15. y x P  r v Tenemos, entonces que: Hagamos el producto punto entre estos dos vectores. Se obtiene: Es decir, v es perpendicular a r en todo instante. El módulo de v se obtiene haciendo el producto punto: Por lo tanto: y si consideramos que: en que T es el período del movimiento, obtenemos:
  16. 16. y x P  r v En resumen: Puesto que  = cte. en que T es el período del movimiento En un MCU, el itinerario es: y la velocidad en función del tiempo es: Además, se cumple que:
  17. 17. Ejemplo 3. En una prueba de resistencia, un astronauta está sentado en una plataforma, a 4 metros del centro de giro. La plataforma está girando a razón de media vuelta/segundo. a) Anote los vectores posición y velocidad del astronauta en función del tiempo. pero, y derivando obtenemos... en que b) Anote los valores de la rapidez del astronauta, su velocidad angular y el período de giro.
  18. 18. y x P  a v en que T es el período del movimiento Por lo tanto, el vector aceleración tiene dirección opuesta a r , es decir, apunta siempre hacia el centro de giro. Se le llama aceleración centrípeta. Aceleración en el movimiento circular uniforme Pero Por lo tanto: a = -  2 r Además se cumplen las siguientes relaciones:
  19. 19. Volvamos al ejemplo 3. En una prueba de resistencia, un astronauta está sentado en una plataforma, a 4 metros del centro de giro. La plataforma está girando a razón de media vuelta/segundo. c) Anote los vectores posición, velocidad y aceleración del astronauta en función del tiempo. d) ¿Cuánto vale el módulo de la aceleración centrípeta del astronauta?
  20. 20. y x r v Por lo tanto, en el instante t = 0.5 s... Sigamos con el ejemplo 3... f) Dibuje estos tres vectores. e) Anote los vectores posición, velocidad y aceleración del astronauta en el instante t = 0.5 s. r = 4 j (m) a v = -12.6 i (m/s) a = -39.5 j (m/s 2 )
  21. 21. y x r  Movimiento circular no uniforme Las componentes de la velocidad son: y el módulo de la velocidad es: Derivando se obtienen las componentes de la aceleración:
  22. 22. Componentes tangencial y normal Definamos los siguientes vectores unitarios: Vector unitario tangente a la trayectoria. Vector unitario normal a la trayectoria. Componente tangencial de la aceleración Pero, Por lo tanto,
  23. 23. Componente normal de la aceleración (Aceleración centrípeta) Es decir, a Por lo tanto, el vector aceleración en componentes tangencial y normal es el siguiente:
  24. 24. Ejemplos de aplicación de: 1. Movimiento circular uniforme Puesto que: a y su módulo es 2. Objeto aumentando su rapidez en una trayectoria curva. En que r es el radio de curvatura de la trayectoria. a a a

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