Pré-cálculo para Engenharia

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Cornélio Procópio
Diretoria de Graduação e Educação Profissional
Coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática
ENGENHARIAS
APOSTILA DE PRÉ-CÁLCULO PARA OS ALUNOS
INGRESSANTES NOS CURSOS DE ENGENHARIA
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Profª. Me. Gabriela Castro S. Cavalheiro
CORNÉLIO PROCÓPIO
2012

Pré-cálculo para os ingressantes dos Cursos de Engenharia da UTFPR –Câmpus Cornélio Procópio
Prof. Armando Paulo da Silva e Profª .Gabriela Castro Silva Cavalheiro
1
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
O desenvolvimento científico e tecnológico do
homem nos últimos séculos, é uma consequência
natural da descoberta da contagem (forma de
expressar os números).
Mesmo desconhecendo a ideia de coleção, o
homem primitivo já usava a ideia de números, para
determinar “quantos” animais possuía, “quantas”
pessoas viviam na tribo, etc..
Assim, pela necessidade de contagem, surgiu o
primeiro conjunto numérico, denominado conjunto
dos números naturais.
a) Conjunto dos Números Naturais: Quando
contamos os elementos de um conjunto, o
resultado é número natural.
N = { 0, 1, 2, 3, .....}
Do conjunto N, obtemos o subconjunto N*
:
N*
= { 1, 2, 3, 4, ...}
De modo geral, o asterisco indica que o zero foi
excluído do conjunto mencionado.
b) Conjunto dos Números Inteiros: A
necessidade de calcular a diferença entre dois
números naturais, em que o primeiro é menor
que o segundo, deu origem aos números
inteiros.
Z = { ....  3,  2, 1, 0 , 1, 2, 3, ....}
SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE Z :
a) Conjunto dos inteiros não- nulos.
Z*
= {...3, 2, 1, 1, 2, 3, ...}
b) Conjunto dos inteiros não- negativos.
Z+ = { 0 , 1, 2, 3, 4, ....}
c) Conjunto dos inteiros não-positivos.
Z  = { ...., 4,  3,  2, 1, 0}
d) Conjunto dos inteiros positivos.
*
Z = { 1, 2, 3, 4, 5, ....}
e) Conjunto dos inteiros negativos.
*
Z  = {...., 4,  3,  2, 1}
O conjunto N também é um subconjunto de Z, pois
N = Z+ = { 0 , 1, 2, 3, 4, ....}.
c) Conjunto dos Números Racionais: A
necessidade de calcular o quociente entre dois
números naturais quaisquer a e b ( 0b  )
deu origem aos números fracionários.
Q =






 *ZqeZpqueem,
q
p
x/x
Assim:
a) Todo número natural é racional.
Exemplo: .....
2
6
1
3
3 
b) Todo número inteiro é racional
Exemplo: .....
2
8
1
4
4 




c) Toda dízima periódica é racional.
Exemplos: 0,333.. .=
3
1
2,555... =
9
23
d) Todo número decimal exato é
racional.
Exemplos:
0,5 = ....
4
2
2
1

2,43 = ...
200
486
100
243




Portanto, os conjuntos dos números naturais e
dos inteiros são subconjuntos dos números
racionais.
d) Conjunto dos Irracionais: Toda raiz não-
exata, bem como todo número decimal
não-exato e não-periódico é um número
Irracional (Q’)
Exemplos:
a) ....414213,12 
b) .....141592,3
c) e = 2, 71828.....
d) ....154434,2103 
Observamos que tais números, não podem ser
escritos na forma de fração.

2
e) Conjunto dos números Reais: Chamamos
número real todo nº Racional ou Irracional, ou
seja, o conjunto dos nºs reais ( R) é a reunião
do conjunto dos números racionais (Q) com o
conjunto dos números irracionais ( 'Q ), isto é:
R=Q  'Q .
É óbvio que: QZN  e 'Q   .
Graficamente, temos:
Obs. Um número não é real quando ocorrem dois
casos:
a) divisão por zero;
b) raiz de índice par e radicando negativo.
1.1 INTERVALOS REAIS
Intervalos Limitados (os dois extremos do
intervalo são finitos)
a) fechados :
na reta:
3 7
colchetes: [ 3 , 7 ]
desigualdades:  7x3/x 
b) abertos:
na reta:
3 7
colchetes: ] 3 , 7 [ ou  7,3
desigualdades:  7x3/x 
c) mistos:
na reta:
3 7
colchetes: [ 3 , 7 [ ou  7,3
desigualdades:  7x3/x 
na reta:
3 7
colchetes: ] 3 , 7 ] ou  7,3
desigualdades:  7x3/x 
Intervalo Ilimitado: (quando pelo menos um
dos extremos não é finito)
a)
na reta:
7
colchetes: [,7[  ou  +,7 
desigualdades:  7x/x 
b)
na reta:
3
colchetes:    ,-3-ou3, 
desigualdades:  3x/x 
c)
na reta:
3 8
colchetes: [,8[[3,] 
desigualdades:  8xou3x/x 
N
2. Z
1. Q 'Q
R

3
1.2 OPERAÇÕES COM INTERVALOS
1.2.1 Intersecção:
Sejam A e B dois intervalos reais. Chama-se
BA  o conjunto formado pelos elementos x tal
que x  A e x  B.
Em símbolos:
 BxeAx/xBA 
Exemplos
Resolva as seguintes operações
   
   
   
   
   +,23,)e
8x4/x4x/x)d
3,22,2)c
2,4,1)b
8,35,2)a





1.2.2 União:
BA  o conjunto formado pelos elementos x tal
que x  A ou x  B.
Em símbolos:
 BxouAx/xBA 
Exemplos
Resolva as seguintes operações
   
   
 
   
   2,13,)e
8x4/x4x/x)d
5,
2
3
2,2)c
2,4,1)b
8,35,2)a











1.2.3 Diferença:
AB o conjunto formado pelos elementos x tal
que x  A e x  B.
Em símbolos:
}BxeAx/Sx{BA  .
O evento diferença é formado pelos pontos
amostrais que pertencem unicamente a A
Obs.: Note que A  B  B  A.
Exemplos
Seja A = ]3,( e B = ),1[  , determine
A  B.
Exercícios
1. Construa um diagrama contendo os
conjuntos N, Z, Q, Q*
e  e cite os seguintes
números:
3,123;
2
4
4,123....;2,1313...;0;;3;
8
3
;4;2 3
2. Represente cada intervalo na reta real e
represente na notação de desigualdades:
 
 
 
 5,5e)
3,+-d)
]2,])c
5,2b)
1,4)a




3. Represente cada conjunto numérico com a
notação de intervalos, e na reta real:
   
   3x0/xd)4x3/xc)
2x/xb)4x/x)a


SA
B

4
4. Dados os intervalos:
A=[ 3, 2 ]; B=]1, 1 ]; C=[2,4] e D=]0,3[ ,
efetue as seguintes operações:
   DCBAe)C)BA(d)
DAc)CAb)CB)a


5. Considerando os seguintes intervalos:
   
   2,2=De3,0C
+,3Be2,A


efetue as operações:
)DC()CB)(dC)BA)(c
CBb)BA)a


6. Efetue as seguintes operações:
   
   
   
  2,
2
9
,1)e
,02,)d
3
4
,0
5
2
,1c)
3,12,0)b
3,12,0)a























Respostas
4.
 
 2,2)b
1,1)a


 
 
 3,1)e
2,2)d
0,3)c



5.
   
   3,0)d3,0)c
0,3)b2,3)a 
6.
   
   2,0)5/2,0)
2,1)2,1)
dc
ba
 2,1)e 
2. NÚMEROS RACIONAIS
Chamamos de número racional a todo número
que pode ser representado na forma
b
a
( fração
com a e b inteiros e b  0).
Exemplos
8;
100
17
;0;2;
3
5
;
3
4

Verificamos que os números naturais e
inteiros, pertencem ao conjunto dos números
racionais.
2.1 FRAÇÕES EQUIVALENTES
A possibilidade de representar qualquer fração
por outra equivalente permite-nos facilitar os
cálculos necessários.
As frações
8
4
e
6
3
;
4
2
;
2
1
representam a
mesma quantidade do todo referência. Elas são
equivalentes, e podemos escrever:
8
4
6
3
4
2
2
1

Quando duas frações são equivalentes, os seus
termos estão relacionados pela multiplicação
ou pela divisão.
Exemplos
 
 
 2
12
8
6
4
)
5pordividimos
2
1
10
5
)b
4
8
4
2
1
)
pormosmultiplicac
pormosmultiplicaa



2.2 O INVERSO DE UM NÚMERO
RACIONAL
Consideremos os números
4
1
e
3
2
;5;2


Seus respectivos inversos são:
4
1
deinversooé4
3
2-deinversooé
2
3
5-deinversooé
5
1
2,deinversooé
2
1



5
2.3 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Para somar ou subtrair frações, é preciso que elas
possuam o mesmo denominador.
Se as frações possuem o mesmo denominador,
basta somar ou subtrair os numeradores.
Se as frações possuem denominadores diferentes,
primeiramente devemos reduzi-las ao mesmo
denominador, usando para isso, a regra prática do
m.m.c.
Exemplos
60
73
60
124540
5
1
4
3
3
2
)a 


2.4 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
O produto de duas ou mais frações é uma nova
fração onde:
i) o numerador é o produto dos numeradores
ii) o denominador é o produto dos denominadores
Entretanto, devemos atenção às regras de sinais:
Lembrando:
Exemplos
Efetue as operações:





 















10
2
8
3
.
5
4
)
7
2
.
4
3
)
3
1
.
4
1
)
c
b
a
2.5 DIVISÃO DE FRAÇÕES
Conserva-se a primeira fração e multiplica-se pelo
inverso da segunda fração
Exemplos
 




 



45
10
9
)d
2
9
1
)c
12
5
8
3
)b
5
4
5
2
)a
  
2
1
4)e
3. NÚMEROS DECIMAIS
No século XVI, na Europa ocidental, surgiu
uma nova maneira de fazer cálculos sem
precisar usar frações. Era um jeito mais rápido
e simples que os mercadores ambulantes
encontraram para contar. Hoje utilizamos essa
notação em diversos momentos do nosso dia-a-
dia.
Exemplos
a) o preço de um abacaxi: R$1,79 a unidade
b) a extensão do rio amazonas é superior à 6,5
mil quilômetros.
Esses números, em cuja representação aparece
uma vírgula, indicam as frações na forma
decimal. Por isso eles são conhecidos como
números decimais.
Os Algarismos à esquerda da vírgula
constituem a parte inteira , e os que estão à
direita, constituem a parte decimal .
1,23
parte
inteira
do número
3.1 TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO
PARA DECIMAL
Para se escrever uma fração decimal sob forma
de numeração decimal, escreve-se o seu
numerador e separa-se com uma vírgula (a
partir da direita), tantos algarismos quantos são
os zeros do denominador.
Exemplos
milésimos)5einteiros8(005,8
1.000
8.005
milésimos)décimos29(0029,0
1.0000
29
)centésimos58einteiros32(58,32
100
258.3





)).(()).((
)).(()).((
2 décimos
3 centésimos

6
3.2 TRANSFORMAÇÃO DE DECIMAL
PARA FRAÇÃO
Um número decimal é igual a fração que se obtém,
escrevendo para numerador o número sem a
vírgula e para denominador o número 1 seguido de
tantos zeros quantos forem os algarismos da parte
decimal.
Exemplos
19 25 1
1,9 0,25
10 100 4
1
0,001
1000
  

3.3 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
O número decimal não altera seu valor quando se
acrescentam ou se suprimem zeros à direita do seu
último algarismo significativo.
Por exemplo:
2,7 = 2,70 = 2,700 = 2,7000 = . . .
3.4 POTÊNCIAS DE 10
Para facilitar a escrita de números que contém
muitos algarismos, dos quais grande parte deles
são zeros, podemos usar as potências de 10.
Exemplos
a) 1 bilhão = 1 000 000 000 = 109
b) 1 centésimo de milésimo =
0,00001= 510
510
1
0000.10
1 
c) 1000=
d) 0,001=
e) 0,01 =
f) O diâmetro do sol é de aproximadamente
1 390 000 km. Este número pode ser escrito mais
simplificado como mostramos a seguir:
1 390 000 = 139*10 000 = 139*104
Exemplos
Escreva os números que aparecem abaixo usando
potências de 10
a) a velocidade da luz é de, aproximadamente,
300 000 000 m/s.
b) há vírus cuja espessura é de, aproximadamente,
0,0006mm.
c) a população da China em 2001 era de,
aproximadamente, 1300000000 de habitantes.
d) o raio de um átomo é de, aproximadamente,
0,00000000005 mm .
e) 5,6 milhões de panfletos de imóveis são
distribuídos por fim de semana.
f) 6,2 bilhões
3.5 NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Cientistas, astrônomos, biólogos, químicos e
outros profissionais, costumas trabalhar com
números muito “grandes” ou muito“
pequenos”, isto é, com muitos algarismos. Para
tornar essa escrita mais simples, foi criada a
notação científica, que usa as potências de 10.
CARACTERÍSTICAS
Um número escrito na notação científica deve
ter as seguintes características:
 Deve ser escrito como um produto de
dois fatores;
 Um dos fatores deve ser um número
entre 1 e 10
 O outro fator deve ser uma potência de
10
Observe estes números escritos em notação
científica:
Exemplos
a) Plutão é o planeta que fica mais distante do
Sol, e a distância média entre eles é de 5 910
000 000 km.
Em notação científica temos: 5,91 * 109
b) Uma molécula chega a ter um diâmetro de
0,0000018 mm.
Em notação científica temos: 1,8*10-6
Exemplos
Escreva os números abaixo em notação
científica:
a) diâmetro do Sol: 1 390 000 km
b) comprimento de uma célula do olho:
0,0045cm
Exemplos
Escreva os números abaixo em escrita decimal
comum
a) 1,23 * 104
b)1,75 * 10-3

7
Exercícios
1. Calcule:
9
5
)a de 18
5
4
)b de R$ 135,00
8
1
)c de 576
11
2
)d de 121
100
3
)e de R$ 4.000,00
6
5
)f de 96
2. Efetue as seguintes operações
3
2
7
3
1)d
3
2
5
3
2)c
5
1
.
4
3
2
3
)b
2
1
.
3
2
4
3
)a








5
2
.
6
5
)h
2
4
3
)g
6
5
3
2
2
1
)f
3
1
7
3
)e




















  


















6
1
9
2
3
1
)j2
3
2
1)i
3
2
2
1
)l
4
1
10
3
)k 
























  
































2
1
.
2
1
4
3
)p
5
1
12)o
5
2
8
3
)n
5
2
1
)m
3. Escreva os números abaixo em notação
científica:
a) 49000 000 000
b) 0,00000607
c) 9 000 000
d) 0,00001
e) 10 000 000 000 000
f) 0, 00007
g) 0, 0000018
h) 5 910 000 000
4. Escreva os números abaixo em forma de
escrita decimal comum




810*5,1)d
510*25,4)c
610*3,3)b
810*5,1)a
5. O diâmetro de um grão de areia varia entre
0,0006 m e 0,0021 m. Escreva estes números
em notação científica.
6. Efetue os cálculos abaixo e coloque o
resultado em notação científica




 












 













 





310*5710*965,2)d
310*2,3*310*1,5)c
210*2,1310*6,3)b
110*5*310*7,3)a
Respostas
1.
a) 10 b) 108 c) 72
d) 22 e) 120 f) 80
2.
a)5/12 b)2/5 c) 11/15 d)7/2
e)-2/21 f)-1/3 g)9/16 h)-1/3
i)5/6 j)6 k)-11/20 l)1/64
m)-1/32 n)-15/16
o)-4/5 p)-1/2
3.
a) 4,9 * 1010
b)6,07 * 10-6
c) 9 * 10 6
d)1 * 10-5
e) 1 * 1013
f) 7 * 10 -5
g) 1,8* 10 – 6
h) 5,91 * 10 9
4.
a)150 000 000 b) 0,0000033 c)425 000
5. 6*10-4
e 2,1 * 10 –3
6.
3)1,85 *10 )3 *10
9)1,632 *10 )5,93 *10
a b
c d

4.1 Reta real
Os números reais podem ser representados pelo sistema de coordenadas chamado reta real
(ou eixo x) como mostra a figura 1.
Figura 1: Reta real
• O sentido positivo (para a direita) mostra o sentido dos valores crescentes de x. Já o
sentido negativo (para a esquerda) mostra o sentido dos valores decrescentes de x;
• O número real que corresponde a um determinado ponto na reta é chamado de coorde-
nada do ponto
.• O ponto da reta real que corresponde ao zero é chamado de origem
.• Os números à direita da origem são positivos e os números à esquerda da origem são
negativos.
A reta real é importante porque fornece uma representa¸cão conceitualmente perfeita dos
números reais.
Cada ponto na reta real corresponde a um, e somente a um, número real e vice-versa
chamado correspondência biun´ıvoca como mostra a figura 2.
4. RETA REAL E ORDEM
8
Figura 2: Cada ponto na reta real corresponde a um, e somente a um, número
real

4.2 Ordem e intervalos na reta real
Uma propriedade importante dos números reais é que eles são ordenados: O número 0 é
menor que 1, −3 é menor que −2, 5, etc.
Indicamos a < b ⇔ a estiver à esquerda de b na reta real.
Exemplo 1:3
4
< 1 como mostra a figura 3.
Figura 3: Gráfico
Se três números reais a, x e b estão ordenadas de modo que a < x e x < b, diz-se que x está
entre a e b e escreve-se: a < x < b.
O conjunto de todos os números reais entre a e b é chamado de Intervalo aberto entre a
e b e denotado por (a, b).
OBS: Neste caso as extremidades não estão contidos no intervalo.
Os intervalos que incluem as extremidades são chamados de fechados e denotados por [a, b].
Intervalos da forma [a, b) e (a, b] não são fechados e nem abertos. A figura 4 mostra os nove
tipos de intervalos na reta real.
9
Figura 4: Intervalos na reta real

5. Valor absoluto e distância na reta real
5.1 Valor absoluto de um número real
Defini¸cão: O valor absoluto de um número real a é:
|a| =



a, se ;a ≥ 0
−a, se a < 0
Pela defini¸cão vemos que o valor absoluto de a ∈ R não pode ser negativo.
Exemplo 2:|a| = | − 3| = −(−3) = 3
Propriedades:
(a) |ab| = |a|.|b|;
(b) a
b
= |a|
|b|
, b = 0;
(c) |an
| = |a|n
;
(d)
√
a2 = |a|.
Exemplo 3:Se a = 2 ⇒
√
22 =
√
4 = 2 , mas se a = −2 ⇒ (−2)2 =
√
4 = 2 .
5.2 Distância na reta real
Considere dois pontos distintos na reta real como mostra a figura 5
Figura 5: Distância entre dois pontos
10

• A distância orientada de a até b é b − a;
• A distância orientada de b até a é a − b;
• A distância entre a e b é |a − b| ou |b − a|;
Observando a figura 5 vemos que a distância entre dois pontos na reta real nunca pode ser
negativa. A distância d entre dois pontos x1 e x2 na reta real é dada por
d = |x2 − x1| = (x2 − x1)2
ou seja,
|x2 − x1| = |x1 − x2|pois(x2 − x1)2
= (x1 − x2)2
.
Exemplo 4:
A distância entre −3 e 4 na reta real é dada por | − 3 − 4| = | − 7| = 7 ou |4 − (−3)| = |7| = 7
como mostra a figura 6
Figura 6: Distância de −3 até 4
A distância orientada de −3 a 4 é 4 − (−3) = 7.
A distância orientada de 4 até −3 é −3 − 4 = −7.
5.3 Intervalos definidos por valores absolutos
Para entendermos melhor a defini¸cão de um intervalo na reta analisaremos o seguinte exem-
plo:
Exemplo 5:Determine o intervalo da reta real que contém todos os números que estão até
duas unidades de 3.
Solu¸cão:
Seja x um ponto neste intervalo. É preciso determinar todos os x de modo que a distância
entre x e 3 seja menor ou igual a 2, ou seja
|x − 3| ≤ 2
ou seja x − 3 deve estar entre −2 e 2. Logo escrevemos
.
11

−2 ≤ x − 3 ≤ 2
−2 + 3 ≤ x − 3 + 3 ≤ 2 + 3
1 ≤ x ≤ 5
Logo o intervalo [1, 5] como mostra a figura 7
Figura 7: Intervalo
Dois tipos básico de inequa¸cões que envolvem valores absolutos:
Suponha a, d ∈ R em que d > 0.
• |x − a| ≤ d ⇔ a − d ≤ x ≤ a + d.
As interpreta¸cões e os gráficos respectivos dos ´ıtens acima são analisados da figura 8
Figura 8: Análise dos intervalos
5.4 Exerc´ıcios
1. Nos exerc´ıcios abaixo, determine (a) a distância orientada de a até b; (b) a distância
orientada de b até a; e (c) a distância entre a e b.
.
12
• |x − a| ≥ d ⇔ x ≤ a − d ou a + d ≤ x.

(a) a = 126, b = 75
(b) a = 9, 34, b = −5, 65
(c) a = 16
3
, b = 112
75
(d) a = −126, b = −75
(e) a = −2, 05, b = 4, 25
(f) a = −18
5
, b = 61
15
2. Nos exerc´ıcios, utilize valores absolutos para descrever o intervalo dado (ou par de inter-
valos) na reta real.
(a) [−2, 2]
(b) (−∞, −2) ∪ (2, ∞)
(c) [2, 8]
(d) (−∞, 0) ∪ (4, ∞)
(e) Todos os números a menos de três uni-
dades de 5
(f) Todos os números acima de cinco uni-
dades de 2
(g) y está no máximo a duas unidades de a
(h) y está a menos de h unidades de c.
(i) (−3, 3)
(b) (−∞, −3) ∪ (3, ∞)
(c) (−7, −1)
(d) (−∞, 20) ∪ (24, ∞)
3. Nos Exerc´ıcios, resolva a inequa¸cão e fa¸ca o esbo¸co da solu¸cão na reta real.
(a) |x| < 4
(b) |x
2
| > 3
(c) |x − 5| < 2
(d) |x−3
2
| ≥ 5
(e) |10 − x| > 4
(f) |9 − 2x| < 1
(g) |x − a| ≤ b, b > 0
(h) |3x−a
4
| < 2b, b > 0
(i) |2x| < 6
(j) |3x| > 12
(k) |3x + 1| ≥ 4
(l) |2x + 1| < 5
(m) |25 − x| ≥ 20
(n) |1 − 2x
3
| < 1
(o) |2x − a| ≥ b, b > 0
(p) |a − 5x
2
| > b, b > 0.
13

14
6. EXPRESSÕES RACIONAIS E RADICAIS
Exercícios:
1) Reduza a termos de menor grau:
2 3 3 2 25 8 3 ( )
) b) )
225 9
x x x a x h x
a c
x a hx
    

4 4 3 2 1
) e)
4 2 2 4 3 22 3 3 1
3 3( )
f)
x y x x x
d
x x y y x x x
x h x
h
   
    
 
1 2 2: ) b) )2
5 3
2 2 2 1 2 2) e) f)3 3
2 2 2 2 1
x
R a x ax a c x h
x
x y x
d x xh h
x y x x

  

 
 
  
2) Explique por que todo polinômio é também
uma expressão racional
R: Uma expressão racional é aquela que pode ser
escrita como o quociente de dois polinômios. Todo
polinômio P pode ser escrito como P/1, sendo que
o numerador e o denominador são polinômios;
portanto, todo polinômio é igualmente uma
expressão racional.
3) Faça as operações indicadas:
2 3 27 12 6 9
) .
2 3 29 4
2( 3)
( 3)
x x x x x
a
x x x
x
R
x x
   
 



2 24 2 2) :( 3 2 )
22
1
( )
x y
b x xy y
xy y
R
y x y

 



1 1
) R
( )
h
c
x h x x x h

 
 
2 3 4 2 1
) R
21 1 11
x
d
x x xx

  
  
1 3 3
)
( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)
1
R
( 1)( 1)
e
x x x x x x
x x
 
     

 
5 3 1
)
22 2 4
3 27 5 36 12
R
4 16
x
f
x x x
x x x
x

 
  
  


3 1 2 5
)
2 2 2( 4) 4
3 22 5 11 21
R
2 2( 4)
x x
g
x x
x x x
x
 

 
  


2 5 42)( 3 2).
3 26 8
2 2 1
x x
h x x
x x x
x x
R
x
  
  
   
 

4) Escreva cada fração complexas na forma
de fração simples com termos de menor
grau:
2
2 2
) R
2 3
x
y
y xy
a
y y



11 1) R
1 1
x x
x xb
x x x
x x

  

 
2
3 23 42) R
4 2( 2)(4 )
x xxc
x xx
x

  
 
1 1
1
) Rx ad
x a ax

 


15
5) Simplifique:
2 4 3 5)3( 3) (2 1) 8( 3) (2 1)
2( 3) (2 27)
5(2 1)
a x x x x
x x
R
x
     
 
 

2 2( ) 2
) R
2 2( )
x h x x h
b
h x x h
    


6) Escreva na notação mais simples para forma
radical:
3 4 5 2 2) 20 R 2 5a x y z xy z xz
33 5 6 2 2) 108 ( ) R 3 ( ) 4b x x y x x y x  
153
) R=
5 5
xyx
c
y y
3 24 62
3) R
2 39
x xy zx
d
yzyz

4 6 7 8 24 2 3) 48 R 2 3e x y z xyz x y
4 2 32 3015
4) R
7 28 2
x yzx
f
y z y z

7) Racionalize o denominador:
32 23 2 4
) R
23 32
x y x yx y
a
xy

) R
11
x x x
b
xx



2
) R
x h x xh h
c
x hx h
  


2 216
) R ( 4 )( 2 )
2
x y
d x y x y
x y

  

1
) R
a b
e
a ba b



2 3 2
) R
11
x x x
f
xx
  


8) Racionalize o numerador:
) R
1
x x
a
x x x

 
) R
2
x h x h
b
x h x xh h
 

  
1
) R
x h x
c
h x h x
 

 
1 1 1
) R
1 1
x a
d
x a x a
  

   
3 3 1
) R
3 32 23
x a
e
x a
x xa a



 
1 1
)
1
R
(
x h xf
h
x x h x x h




  
9) Escreva em notação exponencial:
3 1 2 3 2) Ra xy x y
3 2 5 2 3 1 3 5 3) ( ) R ( )b a b x y a b x y  
10) Escreva como uma soma ou diferença
de termos em notação exponencial:
1 1 2 1 2) R
x
a x x
x
  
3 26 3 1
)
3 56
1 1 14 3 1 3 2 3 5 3
6 2 6
x x x
b
x
R x x x x
  
    
11) Escreva como uma única fração de
termos de menor grau possível. Não
racionalize os denominadores.
2
) 2 R
2 2
x
a x
x x
  
 

16
2
2 1
2 1)
2 1
1
2 3 2( 1)
x
x
xb
x
R
x
 




2 2 1 2 2( 9) 9
)
2
9
2 2 1 2( 9)
x x x
c
x
R
x x
  



12 1 3 2 2 3( 9) 3 (4 )( )( 9) (2 )
3)
2 1 3 2[( 9) ]
2 81
2 4 33( 9)
x x x x
d
x
x
R
x
  




12) Sejam 4 7 e w 6 5z i i     dois
números complexos. Calcule:
) 2 2
) 10 12
) . 11 62
59 22
)
65
2) 18 64
a z w i
b w z i
c w z i
w i
d
z
e w iz i
   
   
 
 

  
7. EXPOENTES
7.1.Expoentes naturais: são definidos por:
. (n fatores de )n
x x x x x
Exemplos
) . . . .a x x x x x
4 3
)5 5 . . . . . . .b x yz x x x x y z z z
3 3
)5 3(2 ) 5 . . .
3.(2 ).(2 ).(2 )
c a b ab a a a b
ab ab ab
  

7.2.Expoente zero:
0 *
1 ( )x x   .
0
0 não é definido.
7.3. Expoentes inteiros negativos: são
definidos por:
*1
( )n
n
x x
x

  
*
0 (não é definido )n
n
 
Exemplos
5
5
1
)a x
x


3
3
4
)4b y
y


3
3
1 1
)5
1255
c 
 
2
2
1 1
) 4
164
d 
    
7.4. Expoentes racionais:
1/ n
x , a raiz n-ésima de x, é definida, sendo n
um inteiro maior que 1, como se segue:
Se n é ímpar,
1/ n
x é o único número real y
que elevado à potência n é igual a x.
Se n é par, então,
Se
1/
0, n
x x é o número real positivo y
que elevado à potência n é igual a x;
Se
1/
0, 0n
x x  ;
Se
1/
0, n
x x não é um número real.
Exemplos
1/3
)8 2a 
1/3
)( 8) 2b   
1/3
) 8 2c   
1/ 4
)16 2d 
1/ 4
)( 16) não é um número reald 
1/ 4
) 16 = 2e  

17
m
nx é definido por:
1
( )
m
mn nx x ,
Desde que
1
nx seja real.
/
/
1m n
m n
x
x


Exemplos
2/3 1/3 2 2)125 (125 ) 5 125  a
1 1 1 14/3)8
4/3 1/3 4 4 168 (8 ) 2
    b
(50.000.000)(0,0000000006)
)
3(20.000)
7 10(5x10 )(6x10 )
4 3(2x10 )
330x10 153,75x10
128x10


 

 
c
5
6)( 64) não é um número reald


7.5. Propriedades para expoentes: Para a e b
números racionais e x e y números reais (evitando
raízes pares de números negativos e divisão por
zero):
. :a b a b a b a b
x x x x x x 
 
( . ) . : 1/a a a a b b a
x y x y x x x 
 
.
( ) ( : ) :a b a b a a a
x x x y x y 
( : ) (y: ) : y :  
 m m n m m n
x y x x y x
Observação:
/1/
se é ímpar ou se é par
e não é negativo
n n
x x n n
x

/1/
se é par e não é negativon n
x x n x
Exemplos
Para x qualquer:
2 1/ 2
)( )a x x
3 1/3
)( )b x x
4 1/ 2 2 2
)( )c x x x 
6 1/ 2 3
)( )d x x
Exercícios de fixação
1) Fatore:
3 3
4 4
3 4
)4(3 2) 3( 5)
3( 5) (3 2)
3(3 2) ( 5) ( +18)
a x x
x x
R x x x



  
  
  
3 2/3 2 5/3
2 2/3
)5 (3 1) 3 (3 1)
(3 1) (14 3)
b x x x x
R x x x
  
  
2) Simplifique:
2
) R=
p q
q
p q
x
a x
x


1 2 1 2 4
)( ) ( ) R=p p p
b x x x 
2
1/n
) R=
mn
m n
n
x
b x
x

 
 
 
 
3) Simplifique sem considerar que as variáveis
das bases são positivas:
4 1/4
)( ) R=a x x
2 4 6 1/2 2 3
)( y z ) R=y zb x x
3 6 9 1/3 2 3
)( y z ) R=xyc x z
2 1/2
)[ ( ) ] R=d x x h x x h 
4)Escreva em notação científica:
a)a velocidade da luz é 186.000
milhas/segundo
b)o número de segundos em um ano.
c)a distância que a luz percorre em um ano.
5) Simplifique:
2/3 3/ 4 5/3 1/ 2 3
17/3 9/ 4
)3 (2 )
24 y
a x y x y
R x

18
2 2/3 2/3
3/ 4 3 11/12 23/9
(8 ) 2
)
2( )
x y
b R
x y x y

2/3 2
8/3 5/3 2/3
) ( 3)
3
c x x x
R x x x
 
  
1/ 2 1/ 2 2
1/ 2 1/ 2
)( )
R 2
d x y
x x y y

  
1/3 1/3 2
2/3 1/3 1/3 2/3
)( )
R 2
d x y
x x y y

  
Nos Exercícios de 1 a 8 as bases são assumidas
como positivas, a menos que seja dito o contrário.
1)Simplifique:
2 3 4 3 2 14 9)2(3 ) ( ) 54a x y x y R x y
5 3 2 7(4 ) 8
)
4 3 62( )
x y x
b R
xy y

2)Simplifique e escreva com expoentes positivos:
2 3 1
)
3 3 6
x y
a R
x y xy


2 3 2
8 22
3 4 4
( )
)
( )
x y
b R x y
x y
 


2 2 2
4 2 2 4
1
)( )
2
c x y R
x x y y

 
 
10
5 2 4 3
12
125
)(3 ) (5 )
9
x
d x y R
y
  

2 2 2
4 2 2 4
1 2 1
)( )c x y R
x x y y
 
   
3 4 6
3
5 3 3
64
)( )
4
t u t
f R
t u u


3) Simplifique:
1/ 2 1/3 5/6
)a x x R x
2/3 5/8 1/ 24
) :b x R x
4 4 1/ 2 2 2
)( ) 1/ yc x y R x

4 4 1/ 2 4 4
)( ) 1/ +yd x y R x
 
4) Fatore:
4 2 2 2
) 3 +2 ( +1)( +2)a x x R x x   
 
2/3 1/3 1/3 1/3
) 6 ( 3)( 2)b x x R x x    
11/3 8/3 5/3
5/3
) 7 12
( 3)( 4)
c x x x
R x x x
 
  
2 3 3
)( 2) ( 2) ( 2) ( 3)d x x R x x  
     
5 3 6 4 5 4
)6 3 3 (2 )e x y x y R x y y x  
  
5) Simplifique:
0 0 0
) ( ) 3a x y x y R   
20 5 10
5 3 16
8 9
)
3 64
x y x
b R
x y y


 
 
 
 
3/52 4
7 6 3 6
32 8
)
x y
c R
x y x y
 
 
 
 
6) Faça as operações indicadas:
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
)( )( )a x y x y R x y   
1/3 1/3 1/3 1/3
2/3 2/3
)( )( )b x y x y
R x y
 
 
1/3 1/3 2/3 1/3 1/3 2/3
)( )( )c x y x x y y
R x y
  
 
2/3 2/3 3
2 4/3 2/3 2/3 4/3 2
)( )
3 3
d x y
R x x y x y y

   
7) Coloque em evidência os fatores comuns:
8 7 7 8 8 8
) ( )a x y x y R x y y x     
  
5/3 3 2/3 2 5/3 2
) ( )b x y x y R x y y x  
  
) R= ( 1)p q p p q
c x x x x
 

19
2 3/ 2 1/3)4( 4) (3 5) +
4/3 2 1/ 2(3 5) ( 4) 3
1/3 2 1/ 2 2R=(3 5) ( 4) (13 15 16)
d x x
x x x
x x x x
 
  
   
8) Coloque em evidência os fatores comuns:
5 4 3 5 2
) 2 2 (1 2 2 )a x x x R x x x   
    
2 2 3/ 2 3 2 1/ 2)6 ( 1) + ( 1) (6 )
2 2 1/ 2 26 ( 1) (2 1)
b x x x x x
R x x x
 
  
9) Calcule:
1/ 2 1/ 2)25 16 1/ 20a R   
1/ 2)(25 16) 1/3b R 
3/ 4 3/ 4
)16 16 65/8c R
 
10) Simplifique e escreva em notação científica:
3 12 10)(7,2x10 )(5x10 ) 3,6x10a R 
3 12 15)(7,2x10 ):(5x10 ) 1,44x10b R 
5 3 3(3x10 )(6x10 ) 10) 8x10
12 2(9x10 )
c R
 


11) Há aproximadamente
23
6,01x10 átomos de
Hidrogênio em um grama. Calcule a massa
aproximada, em grama de um átomo de
Hidrogênio.
24
1,67x10R grama

8. POLINÔMIOS
8.1 Introdução
Polinômios são funções cuja forma geral
obedece à expressão:
0x0a1x1a2x2a..1nx1nanxna)x(P 

onde n  , 0121nn a,a,a.....,,a,a  são os
coeficientes e x é a variável.
Exemplos de Polinômios:
t20t5t2)t(P)d
6x2)x(P)c
1x2x3x)x(Pb)
x20x15x5)x(P)a
53
34
56




Contra – exemplos:
xx4b)P(x)
3
x
1
x)x(P)a 1

 
8.2 Grau de um Polinômio
Seja P(x) um polinômio não nulo. Chamamos
de grau do polinômio e indicamos por GR(P)
o maior expoente de x tal que o coeficiente do
termo onde este expoente aparece seja
diferente de zero.
Obs. P(x) = 0, não se define o grau do
polinômio.
Exemplos: Em função das variáveis K, m ou
n, determine o grau dos seguintes polinômios:
7x2x3kx)x(P)a 23 
Resolução:
2serápolinômiodograuo,0kSe
3,serápolinômiodograuo,0kSe


4x5nxkx)x(P)b 23 
Resolução:
1serápolinômiodograuo,0ne0kSe
2.serápolinômiodograuo,0ne0kSe



Não são polinômios
pois n não pertence
aos naturais

20
8x)2p(x)3m(nxkx)x(P)c 234 
Resolução:
1serápol.dograuo2pe3m0,n0,kSe
2serápol.dograuo3me0n,0kSe
3serápolinômiodograuo0,ne0kSe




8.3. Polinômio Nulo ou Identicamente Nulo
Quando todos os coeficientes de um polinômio são
iguais a zero, dizemos que este polinômio é nulo.
0ae0a,...,0a,0a0)x(P 011nn  
Notação: 0)x(P 
Exemplos
1) 0x0x0)x(p 2 
2) Determine m , n e k, para os quais os
polinômios abaixo sejam nulos:
x)nK(x)2n(mx)x(P)a 23 
Resolução:
m=0
n-2=0 logo n = 2
k+n=0 logo k = -2
234 Kxx)5n(x)2m()x(P)b 
Resolução:
m+2=0 logo m = -2
n-5=0 logo n = 5
k=0
8.4. Polinômios Idênticos
Dados os polinômios
0
0
1
1
2
2
1n
1n
n
n xaxaxa..xaxa)x(P  

e
0
0
1
1
2
2
1n
1n
n
n xbxbxb...xbxb)x(Q  

dizemos que P(x) é idêntico a Q(x) se, e somente
se,



















00
11
22
2n2n
1n1n
nn
ba
ba
ba
ba
ba
ba

Notação: )x(Q)x(P 
Exemplos
1) Determinar a ,b e c para que o polinômio
)2c(x)5b(x)1a()x(P 2  seja nulo.
Resolução:
a – 1 = 0a =1
b – 5 =0b =5
c – 2 =0c =2
2) Determinar m ,n e p para que o polinômio
)pn(x)1nm(x)3nm()x(P 2 
seja nulo
Resolução:
1p0p-1
:temos1ncomo(3)0pn
1n03-n2
:temos1equaçãonadosubstituin
2m04m2
(2)01nm
)1(03nm









8.5. Valor Numérico de um Polinômio
Os polinômios são funções, desta maneira,
para cada valor da variável, existe um único
valor correspondente como resultado. Esse
resultado é chamado de valor numérico de um
polinômio.
Exemplo
Se 1x2xx2)x(P 23 
Temos para x = 3:
5213.233.2)3(P 23 
De modo geral: Se
0
0
1
1
2
2
1n
1n
n
n xaxaxaxaxa)x(P  
 

21
o valor numérico de P(x) para x = b é:
0
0
1
1
2
2
1n
1n
n
n bababababa)b(P  
 
8.6. Raiz de um Polinômio
Dado um polinômio P(x) e um número  ,
dizemos que  é raiz ou zero do polinômio P(x) se
e somente se P(  )=0.
Exemplo
Dado 6x5x)x(p 2  verifique se os números
1, 2, 3 são raízes do polinômio.
Resolução:
polinômiodoraizénão1logo,
261.51)1(p
:temos1xpara6x5x)x(p
2
2


polinômiodoraizé2logo,
062.52)2(p
2
2


polinômiodoraizé3logo,
063.53)3(p
2
2


01) Calcule m   de modo que o polinômio
7x5x).1m(x).1m()x(P 2243 
seja do 1° grau em relação a x. R: m
= 1
02) Determine m  , para que o polinômio
4x).4m(x).16m()x(P 22  seja de
grau 2. R: m  
4
03) Calcule os valores de m, p e q para os quais o
polinômio abaixo seja identicamente nulo:
)q23(x).2p5(x).1m2()x(P 23 
R:
2
3
qe
5
2
p,
2
1
m 
04) Dados cx).1b(x).1a()x(A 2  e
c3x.bx.a)x(B 2  , calcule a, b e c,
para que: 0)x(B)x(A 
R:
0ce
2
1
b,
2
1
a 
05) Determine os valores de m, n e p, de modo
que sejam idênticos os polinômios:
nx)pn(
mxx)1p(x)pnm()x(P 234
1


m2mx5x).7p2(mx2)x(P 23
2 
R: m =1, n=2 e p=
3
06) Dado o polinômio:
1xxx4)x(P 23  , calcule:
a)  2P R: 329 
b)
)0(P
)1(P)1(P 
R: 10
c)











 
2
1
P.2
)0(P
3
1
P
R:
27
140
07) Ache o polinômio P(x) do segundo grau em
x, sabendo que admite 2 como raiz e
P(1) = 2 e P(3) =4. R:
2xx)x(P 2 
8.7. Operações com Polinômios
8.7.1 Adição e Subtração
Para somar ou subtrair polinômios, basta somar
ou subtrair os coeficientes dos termos
correspondentes. Assim, dados os polinômios:
0
0
1
1
2
2
1n
1n
n
n xaxaxa..xaxa)x(P  

e
0
0
1
1
2
2
1n
1n
n
n xbxbxb...xbxb)x(Q  

a soma de P(x) com Q(x) é dada por:
   
  )ba(x.ba...
x.bax.ba)x(Q)x(P
0011
n
1n1n
n
nn

 

22
a subtração é dada por:
   
  )ba(x.ba...
x.bax.ba)x(Q)x(P
0011
n
1n1n
n
nn

 
Obs.: Os polinômios P(x) e Q(x) não precisam ser
necessariamente do mesmo grau.
Exemplo: Considere os polinômios:
8x5x2xQ(x)
e2x3x5x3x5)x(P
23
234


Determine P(x) + Q(x) e P(x)  Q(x)
Resolução:
6x8x3x4x5)x(Q)x(P
8x5x2x
2x3x5x3x5)x(Q)x(P
234
23
234



)8x5x2x(
2x3x5x3x5)x(Q)x(P
23
234


10x2x7x2x5)x(Q)x(P
8x5x2x
2x3x5x3x5)x(Q)x(P
234
23
234



8.7.2 Multiplicação
Para multiplicar polinômios devemos multiplicar
cada termo de um polinômio por todos os termos
do outro, e efetuar a redução dos termos
semelhantes.
Exemplo
Sejam P(x) e Q(x) do exemplo anterior, então o
produto será dado por:
16x14
x59x41x48x24x7x5)x(Q).x(P
16
x10x42xx24x15x6x3
x40x25x105xx24x15
x6x3x40x25x10x5)x(Q).x(P
)8x5x2(x.
).2x3x5x3x5()x(Q).x(P
234567
23234
234534
564567
23
234








8.7.3 Divisão de Polinômios
a) Método da chave( algoritmo de Euclides)
Dados os polinômios A(x) e D(x) , não nulos,
dividir A(x) por D(x) é obter os polinômios
Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes
condições:
A(x) D (x)
R(x) Q(x)
Assim:
A(x) = D(x).Q(x) + R(x)
R(x) = 0 ou gr ( R) < gr(D)
gr ( Q) = gr(A)  gr(D)
Onde:
A(x) é o dividendo;
D(x) é o divisor;
Q(x) é o quociente;
R(x) é o resto.
Exemplos
1) Calcule o quociente e o resto da divisão da
A(x) por B(x) dados
1x32xB(x)
8x2x2x3x6)x(A)a
2
245


8x2x2x3x6 245  1x32x2 
345 x3x9x6  3x3 2x3 x3 4
8x2x2x3x60 234 
234 x3x9x6 
8x2xx60 23 
x3x9x6 23 
8x5x80 2 
4x12x8 2 
4x70 
Importante:
Quando R(x) = 0 dizemos que A(x) é divisível
por D(x).

23
47xR(x)4x3x3x3)x(Q 23 
1xB(x)
4x3x)x(A)b
2
23


2) Determine k, de modo que 3kxx)x(P 3 
seja divisível por B(x) = x1
b) Método dos Coeficientes a Determinar
(Método de Descartes)
Já vimos que, na divisão de A(x) por B(x), temos:
A(x) = D(x).Q(x) + R(x)
R(x) = 0 ou gr ( R) < gr(D)
gr ( Q) = gr(A)  gr(D)
Essas relações podem ser usadas como recursos
para determinarmos os coeficientes de um
polinômio em uma divisão.
Exemplo
Determinar o quociente e o resto da divisão de
2x3x2x)x(A 23  por 1xx)x(B 2 
Resolução:
O quociente é um polinômio do primeiro grau,
pois: gr (Q) = gr (A)  gr (B) = 3 2 = 1, logo:
bax)x(Q 
Como gr (R) < gr (B), sendo o divisor
1xx)x(B 2  , então gr ( B) = 2 e gr ( R) < 2,
isto é, o resto tem no máximo, grau 1, assim:
dcx)x(R 
Como A(x)  B(x).Q(x)+R(x), podemos escrever:
2x3x2x 23  =  1xx2  . bax  + cx + d
Comparando os termos, temos:











1d
5c
1b
1a
Logo 1x)x(Q  e 1x5)x(R 
Exemplos
1) Determinar K, de modo que 3kxx3  seja
divisível por x  1.
2) Determinar K e m, de modo que
kxmxx3x 234  seja divisível por
x3x2  .
8.7.4 Teorema do Resto
O resto da divisão de P(x) por  ax  é P (a).
8.7.5 Teorema de D’Alembert
Um polinômio P (x) é divisível por  ax  se,
e somente se, P (a) = 0 .
Exemplos
1) Determinar K, de modo que o resto da
divisão de 4kxx3x)x(P 23  por x 2
seja 10.
2) Calcular a e b, de modo que os polinômios
b3axx)x(P 2  e bax2x)x(Q 3 
sejam divisíveis por x  1.
8.7.6 Divisão de P(x) por ( ax + b), a  0
O resto da divisão de P(x) por ( ax + b) é







a
b
P
Exemplos
Determinar K, de modo que
4kxxx)x(P 23  seja divisível por 2x
+ 1.
8.7.7 Dispositivo prático de Briot- Ruffini
Utilizado para determinar o quociente e o resto
da divisão de um polinômio P(x) por um
binômio (xa)
Exemplo 01: Obter o quociente e o resto da
divisão
de 3x2x7x3x4x3)x(P 2345  por
(x 1)
a) Primeiramente devemos dispor os
coeficientes de P(x) e a raiz de x-1
conforme abaixo:
b)
1 3 + 4 +3 7  2 3
Raiz de
x1
Coeficientes
do polinômio

24
c) Abaixa o primeiro coeficiente de p(x), o qual será
o primeiro coeficiente do quociente.
1 3 + 4 +3 -7 - 2 3
3
d) Multiplica-se o 1 (a raiz) pelo 3 (primeiro
coeficiente), o resultado obtido adiciona-se
com o segundo coeficiente do polinômio, e o
resultado encontrado será o segundo
coeficiente do quociente.
1 3 +4 +3 7 2 3
3 7
e) Análogo a isso, devemos agora multiplicar o 1
( raiz) por 7 ( segundo coeficiente do
quociente ), somar o resultado com 3 (
terceiro coeficiente do polinômio e o
resultado encontrado será o terceiro
coeficiente do quociente.
1 3 +4 +3 7 2 3
3 7
Assim por diante, e encontraremos o quociente
e o resto.
Como o polinômio dado era do grau 5,
dividindo por um binômio do tipo (x  1)
abaixaremos um grau. Assim o quociente e o
resto encontrado será:
1x3x10x7x3)x(Q 234 
R(x) = 4
Exemplo 2: Divida
10x4x2x3)x(P 34  por (x - 2),
determinando o quociente e o resto.
Exercícios
1) Dados os polinômios
5x10xx2)x(A 23  ,
4x4x)x(B 3  , C(x) = x3 e D(x)=
x 2, determine o valor de:
 
)x(C
)x(D.)x(B2)x(A 
R:
2xx2 
2) Dados os polinômios
3nxmxx2)x(P 23
1  e
3xx)x(P 2
2  , se P1(x) é divisível por
P2(x), então m  n é igual a:
R: 8
3) Dividindo um polinômio P(x) por x 3,
resulta um resto de 7 e um quociente de x  4.
Qual é P(x)?
R: 5x7x2 
4) A divisão de do polinômio P(x) por x a
fornece quociente 1xxx)x(Q 23  e resto
P(a) =1. Sabendo-se que P(0) = 15, o valor de a
é? R: 16
1 3 + 4 +3 7  2 3
3 7 10 3 1 4
Soma
3+4=7
Multiplica-se
1x3=3
Soma
7+3=10
Multiplica-se
1x7=7

25
5) Dados os polinômio P(x) e Q(x), onde
m2x3x3mxP 23  )()(
e x)3m2(x)2m(x)1m()x(Q 23 
determine P(x).Q(x) de modo que gr(P+Q) = 1.
R: x4x3x4x2xxQxP 2346 )().(
6) Sabendo-se que 


 1x
B
4x
A
4x3x
10x5
2 

,
calcular A e B. R: A = 2 e B =3
7) Se
6x
B
4x
A
24x2x
1x
2 





, então 2A + B é
igual a: R:
2
3
8) Um polinômio cbxaxx)x(P 23  que
satisfaz as condições P(1)= 0, P( x) +P(x) = 0,
qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2)?
R: P(2) = 6
9) O resto da divisão do polinômio
xxxxxx)x(P 392781243  por x1 é?
R: 6
10) Qual é o número real que se deve adicionar a
,xx2x)x(P 23  para se obter um polinômio
divisível por x 3? R: a = 12
9 EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Equação polinomial ou algébrica é toda equação
redutível à forma:
0xaxaxa...xaxa 0
0
1
1
2
2
1n
1n
n
n  

Chamamos de zero ou raiz de uma equação
polinomial P(x) = 0 todo número  tal que
0)(P 
Lembrando que quando um número  é raiz de
uma equação, o resto é igual a zero.
9.1 Resolução de uma Equação Polinomial
Resolver uma equação polinomial é obter o
seu conjunto verdade, que é o conjunto de
todas as suas raízes.
a equação for do primeiro grau:
Isolamos a variável através de operações
elementares.
Exemplo:
3x
03x


A equação admite uma única solução.
Se a equação for do segundo grau:
Usaremos a fórmula de Báskara ou as relações
de Girard para resolver.
Exemplo:
02x3x2 
Solução x = 2 e x = 1
Se a equação for de grau > 2
Utilizaremos o diapositivo prático de Briot
Ruffini, para facilitar nosso trabalho,
primeiramente encontraremos as possíveis
raízes racionais da equação.
9.2 Teorema das Raízes Racionais
Dada a equação polinomial com coeficientes
inteiros:
0xaxaxa...xaxa 0
0
1
1
2
2
1n
1n
n
n  

Seja p os divisores de a0 e seja q os divisores
de an. Os possíveis valores das raízes
racionais são dados pela razão: Q
q
p

Exemplo 1 : Encontre as possíveis raízes da
equação 05x14x23x4 23  .
Temos que:
p ( divisores de 5) = { 1 ,1, 5, 5}
q (divisores de 4 ) = { 1, 1, 2, 2, 4, 4}

26
Possíveis raízes racionais da equação







4
5
;
2
5
;5;
4
1
;
2
1
;1
q
p
Agora para encontrar as raízes, utilizaremos o
dispositivo de BriotRuffini, testando as possíveis
raízes. Lembrando que se for raíz o resto da
equação será zero.
Assim, temos:
Assim , as raízes da equação são x = 1, x = ¼
e x = 5.
Exemplo 2 : Encontre as possíveis raízes da
equação
06x73x 
9.3 DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO
EM FATORES DO 1º GRAU (FATORAÇÃO)
Se P(x) = 0 é de grau n ( 1n  ) e tem raízes
n21 ...,,  , então
P(x) pode ser decomposto em n fatores do 1º grau,
sendo  1nn  o fator em evidência:
Exemplos
1) Decomponha (fatore) a equação 04x2 
Como as raízes desta equação são – 2 e 2,
temos
0)2x)(2x(
04x2


2) Decomponha (fatore) a equação
02x3x2 
Como as raízes desta equação são 1 e 2 , temos
0)2x)(1x(
02x3x2


9.4 RAÍZES MÚLTIPLAS
As raízes de uma equação polinomial podem
ser todas distintas, ou não.
Se uma equação possui duas raízes iguais, a
raiz terá multiplicidade 2, isto é, será uma raiz
dupla, se tiver três raízes iguais , a raiz terá
multiplicidade 3, isto é, será uma raiz tripla, e
assim, sucessivamente.
Se um número  for uma só vez raiz de uma
equação algébrica, ele será chamado raiz
simples ou raiz de multiplicidade 1.
Exemplos
1) Determine a multiplicidade das raízes 1, 2 e
–3 na equação e coloquea na forma fatorada.
012x44x59x32x2x4x 23456 
1 1 4 2 32 59 44 12
1 1 3 5 27 32 12 0
1 1 2 7 20 12 0
1 1 1 8 12 0
2 1 1 6 0
2 1 3 0
3 1 0
Notamos que esta equação tem uma raiz tripla
igual a 1, uma raiz dupla igual a 2 e uma raiz
simples igual a –3.
2)Resolva a equação 04x3x 23 
0)nx)...(2x).(1x.(na
0x0a1x1a...1nx1nanxna



4 +23 14 5
1 4 27 41 36
1 4 19  5 0
1/2 4 25 43/2 33/2
1/4 4 20 0 0
 5 4 0
x = 1 não é raiz da equação
x =1 é raiz da equação
x=1/2 não é raiz da equação
x= ¼ é raiz da equação
x =  5 é raiz da equação

27
Exercícios:
1) Em função das variáveis k, m e n, determine o
grau de cada polinômio abaixo:
kx)3n(x)4m()x(P)c
px2nx3x)8m()x(P)b
2x3x)1m2()x(P)a
22
23
2



2) Determine os valores de m, n e k para os quais o
polinômio abaixo seja identicamente nulo
x)2k(nxx)3m()x(P)b
)k23(x)2n5(x)1m2()x(P)a
34
23


3) Determine os valores de m, n e k para que os
polinômios A(x) e B(x) sejam idênticos.
x3xB(x)
x)2k(x)
2
1
n(x)2m()x(A)b
2x35xB(x)
kx)2n(x)3m()x(A)a
3
23
2
2




4) Dado o polinômio 1xxx4)x(P 23 
calcule:
a) P(2) b) P(1) c) P(0)
5) Entre os números 1, 1, 2, 2, 3 e –3, quais são
raízes de 12x4x15x5x3x)x(P 2345 
?
6) Divida utilizando o método da chave, D(x) por
d(x), indicando o quociente e o resto.
1-xd(x)e1x2xc)D(x)
3xd(x)e2x35xb)D(x)
1-2xd(x)e2xx3x2)x(D)a
23
2
23



7) Divida A(x) por B(x) , utilizando o dispositivo
de BriotRuffini, indicando o quociente e o resto:
4 3 2) ( ) 5 2 3 1
e B(x) x-2
3 2b)A(x) 2x 1
e B(x) x-1
2c)A(x) 5x 3 2
e B(x) 3
a A x x x x x
x
x
x
    

  

  
 
8) Resolva as seguintes equações e coloqueas
na forma fatorada:
0x6x11x6x)f
03x13x13x3)e
01x2xx2)d
04x5x)c
018x3x13x7x)b
010x13x2x)a
3456
23
23
24
234
23






Respostas dos exercícios 1 ao 8
1)
grauprimeirodoserápolinômioo
2
1
-mSe
grau.segundodoserápolinômioo
2
1
-mSe)a


grau1ºdoserápolinômioo0pe0n,8mSe
grau2ºdoserápolinômioo0ne8mSe
grau.terceirodoserápolinômioo8mSe)b



grau1ºdoserápolinômioo3ne2mSe
grau.2ºdoserápolinômioo2mSe)c


2)
2k0,n,3m)b
2
3
k,
5
2
n,
2
1
m)a


3)
5k,
2
1
n3,b)m
2k5,n,2m)a


4) a) 29 b) –7 c) -1
5)1, -1, 2, -2, -3

28
6)
0R(x),1x2xc)Q(x)
56R(x),18-5xb)Q(x)
2R(x),xx)x(Q)a
2
2



7)
56R(x)e18-5xc)Q(x)
0R(x)e1x2xb)Q(x)
11-R(x)e5x4x3x)x(Q)a
2
23



8)
0)3x)(2x).(1x.()x)(f
0)3x).(1x).(
3
1
x.(3)e
0)1x).(1x).(
2
1
x.(2)d
0)1x)(2x).(1x).(2x)(c
0)2x.()3x).(1x)(b
0)2x).(1x).(5x)(a
3
2







29
9. TRIGONOMETRIA
10.1 ORIGEM DA TRIGONOMETRIA:
A etimologia da palavra TRIGONOMETRIA significa “
medida dos triângulos”, sendo formada pelos radicais gregos tri (
três), gonos ( ângulo) e metron ( medir).
A trigonometria teve origem na antiga Grécia, em
decorrência dos estudos das relações entre os lados
e os ângulos de um triângulo, possivelmente com o
intuito de resolver problemas de navegação,
agrimensura e astronomia. O astrônomo grego
Hiparco ( 150 a.C.) construiu a primeira tabela
trigonométrica, mas o vocábulo Trigonometria foi
criado em 1595 pelo matemático alemão
Bartholomaus Pitiscus (15611613).
10.2 ÂNGULO:
Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por
10.3 MEDIDA DE UM ÂNGULO.
É igual à medida do arco que ele determina sobre
uma circunferência, cujo centro é o vértice.
10.4 RELAÇÕES MÉTRICAS NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO:
Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e
dois ângulos agudos e complementares. Os lados
de um triângulo retângulo chamamse catetos e
hipotenusa. Os catetos são sempre perpendiculares
e formam um ângulo reto.
Quando construímos sobre um ângulos agudo
dois triângulos retângulos, estes serão
semelhantes e, portanto, terão lados
proporcionais.
Os triângulos ABC e APQ são semelhantes.
Como seus lados são proporcionais, podemos
escrever:
Reescrever estas proporções utilizando a
nomenclatura de catetos e hipotenusa, temos:
Estas relações que acabamos de generalizar
recebem nomes especiais.
A primeira é chamada seno do ângulo x e
escrevese:
vértice ângulo
lado
lado
B
A
0
 ˆ ABmed AOB med

30
cateto oposto
sen x =
hipotenusa
A segunda é chamada cosseno do ângulo x e escrevese:
cateto adjacente
cos x =
hipotenusa
A terceira é chamada tangente do ângulo x e
escrevese:
cateto oposto
tg x =
cateto adjacente

Determinar o diâmetro d da cabeça do parafuso, conforme as
medidas da figura.
R: d = 22,44 mm

A torre de Pisa, na Itália, é um campanário cuja construção
iniciouse em 1174. Devido ao tipo de solo, a torre inclinouse,
significativamente, desde sua construção. A reta vertical que passa
pelo centro A de seu terraço superior encontra o solo em um
ponto B distante 4m do centro C de sua base. Sabendo que a
distância CA é 56 m, calcule a inclinação )ACˆB( dessa torre,
em graus.
R:  85º14’

Um observador na margem de um rio, vê o topo de uma
torre na outra margem segundo um ângulo de 56º.
Afastandose vê a mesma torre segundo um ângulo de 35º.
Calcule a largura do rio.
R: x=17,95 m
Quebra Cabeça: Quaisquer dois quadrados,
não importa seus tamanhos relativos, podem
ser cortados em cinco peças que se juntarão
novamente para formar um só quadrado maior.
Os cortes estão ilustrados nos quadrados do
exemplo abaixo.
Trace outros dois quadrados. Você sabe onde
fazer os cortes de modo que depois sejamos
capazes de remontar as peças num outro
quadrado?
Exercícios:

31
1) Determine os elementos incógnitos:
a)
b)
c)
R: a) x =26,75m; b) x =8,76m, y = 7,10m e z
=5,75m c) x =12,99m e y = 10m
2) Determine a altura de um painel de
propaganda situado no topo de um
edifício, sabendose que o observador está
situado a 100 m do edifício e pode
visualizar a base inferior e superior,
segundo um ângulo de 30º e 45º,
respectivamente. (R.: 42 m )
3) Numa rua horizontal um menino vê o topo
de um prédio sob um ângulo de 36º.
Deslocandose 18 m no sentido do prédio,
passa a avistálo sob um ângulo de 42º.
Calcular a altura do prédio. (R.:
66,67 m ou 69,56 m).
4) Um engenheiro civil que constrói uma
estrada diz que, em certo trecho, há uma
“rampa” de 33%. Qual, então, a medida
aproximada do ângulo de inclinação? ( R.:
  18º).
5) Um mastro de 6 m está em cima de uma
colina de altura d. De um ponto A
avistamos seu pé sob um ângulo de 60º e
sua ponta sob 75º. Calcule a altura da
colina. ( R: 5,19 m ou 5, 22 m).
6) As posições relativas de uma pista de
aeroporto e de uma torre de controle de 6,1
m de altura são ilustradas na figura abaixo.
A cabeceira da pista está a uma distância
perpendicular de 100 metros da base da
torre. Se x é a distância percorrida na pista
por um avião, expresse a distância d entre
o avião e a torre de controle como função
de x.
(R:   2d 10037 x )
7) De um ponto exterior P que está a h
unidades de um círculo de raio r, traça-se uma
tangente ao círculo (veja a figura). Seja y a
distância do ponto P ao ponto de tangência T.
Expresse y como função de h e r. ( lembre-se

32
que se C é o centro do círculo, PT é perpendicular a
CT.) Se r é o raio da terra e h é a altura de um
foguete, então podemos deduzir uma fórmula para a
distância máxima ( à terra) que um astronauta pode
ver da nave.
Em particular, se h= 321.800 m e r = 6 436
000 m, dê uma aproximação para y.
(R: 2 2 y h hr  2.060 milhões )
10.5 PONTO MÓVEL SOBRE UMA CURVA
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se
um ponto P pertence à curva, dizemos que P é um
ponto fixo da mesma. Se assumirmos que este
ponto possa ser deslocado sobre a curva, este
ponto receberá o nome de ponto móvel. Um ponto
móvel localizado sobre uma circunferência,
partindo de um ponto A pode percorrer esta
circunferência em dois sentidos opostos. Por
convenção, o sentido antihorário (contrário aos
ponteiros de um relógio) é adotado como sentido
positivo.
10.6 ARCOS DA CIRCUNFERÊNCIA
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o
arco é denominado arco orientado e simplesmente
pode ser denotado por AB se o sentido de percurso
for de A para B e BA quando o sentido de
percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orientação dos
arcos formados por dois pontos A e B sobre
uma circunferência, temos dois arcos não
orientados sendo A e B as suas extremidades.
10.7 MEDIDA DE UM ARCO
A medida de um arco de circunferência é feita
por comparação com um outro arco da mesma
circunferência tomado como a unidade de arco.
Se u for um arco de comprimento unitário
(igual a 1), a medida do arco AB , é o número
de vezes que o arco u cabe no arco AB .
Na figura abaixo, a medida do arco AB é 5
vezes a medida do arco u . Denotando a
medida do arco AB por m( AB ) e a medida do
arco u por m(u ), temos:
m( AB ) = 5 m(u ).
A medida de um arco de circunferência é a
mesma em qualquer um dos sentidos.
10.8 UNIDADES DE MEDIDA DE ARCOS
A unidade de medida de arco do Sistema
Internacional (SI) é o radiano, mas existem
outras medidas utilizadas pelos técnicos que são
o grau e o grado. Este último não é muito
comum.
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo
comprimento que o raio da circunferência na
qual estamos medindo o arco. Assim o arco
tomado como unidade tem comprimento igual
ao comprimento do raio ou 1 radiano, que
denotaremos por 1 rad.

33
Lembramos que o comprimento de uma
circunferência de raio r é dado por 2r. Assim,
para calcularmos em radianos a medida a de um
arco de uma volta, fazemos:
a = 2r/r = 2rad
Exemplos:
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360
do arco completo da circunferência na qual
estamos medindo o arco.
Exemplos:
Dividindo a
circunferência em
4 e 6 partes
congruentes,
temos:
O grau comporta ainda os submúltiplos,
minuto ( ’) e segundo (”) , de forma que:
1º = 60' e 1' = 60”
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400
do arco completo da circunferência na qual
estamos medindo o arco.
10.9 ARCOS DE UMA VOLTA
Se AB é o arco correspondente à volta completa
de uma circunferência, então:
2 rad = 360º
Podemos estabelecer os seguintes resultados:
Desenho
Grau 90º 180º 270º 360º
Grado 100 200 300 400
Radiano /2  3/2 2
Obs: 0 graus = 0 grado = 0 radianos
10.10 MUDANÇA DE UNIDADES
Consideremos um arco AB de medida R em
radianos, esta medida corresponde a G graus. A
relação entre estas medidas é obtida pela
seguinte proporção:
2 rad …………… 360 graus
R rad …………… G graus
Assim, temos a igualdade R/2 = G/360, ou
ainda:
a)
b)
c)

34
180
GR


Exercícios:
1) Determinar a medida em radianos dos arcos:
120º e 300º ( R: rad
8
5
erad
3
2 
).
2) Determinar a medida em graus de um arco de
medida 1 radiano ( R: 57º19’29”).
11 CICLO TRIGONOMÉTRICO
Considere uma circunferência de raio unitário com
centro na origem de um sistema cartesiano
ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto A será
tomado como a origem dos arcos orientados nesta
circunferência e o sentido positivo considerado será
o antihorário. Assim, chamase círculo
trigonométrico ou ciclo trigonométrico, ao círculo
orientado de raio unitário, cujo centro é a origem do
sistema de coordenadas cartesianas, conforme
figura a seguir.
Os eixos OX e OY decompõem o ciclo
trigonométrico em quatro quadrantes que são
enumerados como segue:
2o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: positiva
90º<ângulo<180º
1o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: positiva
0º<ângulo<90º
3o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada:
negativa
180º<ângulo<270º
4o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada:
negativa
270º<ângulo<360º
Obs.: Os quadrantes são usados para localizar
pontos e a caracterização de ângulos
trigonométricos. Por convenção, os pontos situados
sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos
quadrantes.
11.1 ARCOS COM MAIS DE UMA
VOLTA
Em Trigonometria, algumas vezes precisamos
considerar arcos cujas medidas sejam maiores
do que 360º. Por exemplo, se um ponto móvel
parte de um ponto A sobre uma circunferência
no sentido antihorário e para em um ponto M,
ele descreve um arco AM .
A medida deste arco (em graus) poderá ser
menor ou igual a 360º ou ser maior do que
360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º,
dizemos que este arco está em sua primeira
determinação.
Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a
circunferência uma ou mais vezes em um
determinado sentido, antes de parar no ponto
M, determinando arcos maiores do que 360º ou
arcos com mais de uma volta. Existe uma
infinidade de arcos, mas com medidas
diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja
extremidade é o ponto M.
Seja o arco AM cuja primeira determinação
tenha medida igual a m. Um ponto móvel que
parte de A e pare em M, pode ter várias
medidas algébricas, dependendo do percurso.
Se o sentido for o antihorário, o ponto M da
circunferência trigonométrica será extremidade

35
de uma infinidade de arcos positivos de medidas:
m, m+2, m+4, m+6, ...
Se o sentido for o horário, o ponto M será
extremidade de uma infinidade de arcos negativos
de medidas:
m2, m4, m6, ...
Generalizando este conceito, se m é a medida da
primeira determinação positiva do arco AM,
podemos representar as medidas destes arcos por:
µ( AM ) = m + 2k
onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao
conjunto Z={...,2,3,1,0,1,2,3,...}.
Família de arcos: Uma família de arcos { AM } é
o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em
A e extremidade em M.
Exemplo: Se um arco de circunferência tem
origem em A e extremidade em M, com a primeira
determinação positiva medindo 2/3, então os arcos
desta família { AM }, medem:
Exemplos:
Obter a menor determinação, o quadrante e a
expressão geral dos arcos.
a) AB = 1690º
 Dividimos o arco por 360º
 O quociente representa o número de
voltas que o arco descreve sobre a
circunferência trigonométrica.
 O resto será a menor determinação.

Menor Determinação: 250º
Quadrante:3º
Expressão Geral: AB K.360º 250º
  



 
b) AM = 1270º15’40”
 Dividimos o arco por 360º
 O quociente representa o número
de voltas no sentido negativo sobre
o ciclo trigonométrico.
 O resto é um arco negativo,
portanto, não é a menor
determinação.
 Para obtermos a menor
determinação, adicionamos 360º ao
resto obtido.

Menor Determinação: α = 169º44'20"
Quadrante:4º
Expressão Geral: AM = K.360º +169º44'20"





c) AC = rad
3
23
 Dividimos o numerador pelo dobro
do valor do denominador.
 O quociente representa o número
de voltas que o arco descreve sobre
a circunferência trigonométrica.
 O resto será o numerador da menor
determinação procurada.

5
Menor Determinação:
3
Quadrante: 4º
5
Expressão Geral: AC 2K
3

 


 
   

Exercícios:
Determinações positivas (sentido antihorário)
k=0 µ( AM ) = 2/3
k=1 µ( AM ) = 2/3+2=8/3
k=2 µ( AM ) = 2/3+4=14/3
k=3 µ( AM ) = 2/3+6=20/3
... ...
k=n µ( AM ) = 2/3+2n = (2+6n) /3
Determinações negativas (sentido horário)
k=1 µ( AM ) = 2/32 = 4/3
k=2 µ( AM ) = 2/34 = 6/3
k=3 µ( AM ) = 2/36 = 16/3
k=4 µ( AM ) = 2/38 = 22/3
... ...
k=n µ( AM ) = 2/32n = (26n) /3

36
1) Obter a menor determinação , o quadrante e a
expressão geral dos arcos dados:¨
a) AM = 535º R:
175º
2º
 



 
quadrante
AM 360º.K 175º
b) AC =  430º R:
290º
4º
2
 



 
quadrante
AM 360º.K 90º
c) AR = 1079º23” R:
59º37"
1º
59º37"
 



 
quadrante
AM 360º.K
d) AB = rad
5
26
R:
6
.
5
3º
6
2 .
5

  



    

rad
quadrante
AP .K. rad
e) AP = rad
11
43
 R:
11
1º
2
11

 


 
   

rad
quadrante
AP .K. rad
11.2 ARCOS CÔNGRUOS
Dois arcos trigonométricos são ditos côngruos,
quando a diferença entre eles é um número
múltiplo de 360º. Assim é que sendo x e y dois
arcos trigonométricos, eles serão côngruos se e
somente se:
x  y = k . 360º , onde k é um número inteiro.
Portanto, para descobrir se dois arcos são
côngruos, basta verificar se a diferença entre eles é
um múltiplo de 360º (ou 2 radianos, pois 2 rad =
360º).
OBS. ARCOS DE UMA MESMA FAMÍLIA SÃO
CÔNGRUOS.
EXEMPLO:
Os arcos 2780º e 1700º, são côngruos, pois:
2780º  1700º = 1080º e
1080º é divisível por 360º (1080º / 360º = 3).
Exercício resolvido:
Quantos são os valores de m compreendidos
entre 30 e 40, que tornam côngruos os arcos de
medidas (4m+10).180º e (3m2).180º ?
Solução:
Pela definição de arcos côngruos dada,
deveremos ter:
(4m+10).180º  (3m2).180º = k . 360º, com
k.
720m + 1800 [540m  360] = k . 360
720m + 1800  540m + 360 = k . 360
180m + 2160 = k . 360
180m = k . 360  2160
m = 2k  12
Mas, pelo enunciado, temos 30 < m < 40. Logo:
30 < 2k  12 < 40
42 < 2k < 52
21 < k < 26  k = 22, 23, 24 ou 25.
Existem 4 valores possíveis para k e, portanto,
também 4 valores possíveis para m, já que m =
2k  12. Portanto:
m = 32, 34, 36 e 38.
Exercícios:
1) Testes: Verdadeiro  Falso
a) Os arcos de 4200º e 3480º são
côngruos
b) Os arcos de ( 420º ) e 300º são
côngruos.
c) O arco de 10.002º pertence ao
segundo quadrante.
d) O arco de ( 200º) pertence ao
segundo quadrante.
R: Verdadeiro: a, b e d.
11.3 ARCOS DE MESMA ORIGEM,
SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AO
EIXO OX
Sejam AM e 'AM arcos no círculo
trigonométrico, com A=( 1, 0 ) e os pontos M e
M' simétricos em relação ao eixo horizontal
OX.
Se a medida do arco AM é igual a m, então a
medida do arco 'AM é dada por: µ( 'AM ) =
2m.

37
11.4 ARCOS DE MESMA ORIGEM,
SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AO EIXO
OY
trigonométrico, com A = ( 1 ,0 ) e os pontos M e
M' simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se a
medida do arco AM for igual a m, então a medida
do arco 'AM será dada pela expressão µ( 'AM ) =
m.
11.5 ARCOS COM A MESMA ORIGEM E
EXTREMIDADES SIMÉTRICAS EM
RELAÇÃO À ORIGEM
trigonométrico, com A=( 1 ,0 ) e os pontos M e M'
simétricos em relação a origem (0,0). Se a medida
do arco AM é igual a m, então a medida do arco
'AM é dada por: µ( 'AM ) =  +m.
12 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTAIS
Seja a figura:
Aplicando o teorema de Pitágoras no
triângulo retângulo OQM, temos:
     
2 2 2
QM OQ OM 
como:
QM OP senx 
OQ cosx
OM r 1  , temos a relação trigonométrica
fundamental nº 01:
Dividindo a relação fundamental nº 01 por
sen2
(x) e por cos2
(x) e aplicando os conceitos
de tangente, cotangente, secante e
cossecante, teremos outras duas relações
fundamentais, a saber:
e
Exemplos:
01) Simplifique a expressão:
cossecx senx
cotgx secx


Solução:
Utilizando os conceitos vistos, temos:
2
2 2
1 1 sen x
senx
senx senx 1 sen x cos x
cosx 1 1
.
senx cosx senx


   
sen2
x + cos2
x = 1
tg2
x + 1 = sec2
x cotg2
x + 1 = cosec2
x
M
v
uQ
P
0
x

38
02) Sendo x um arco tal que cos x = tgx , calcule
senx.
Solução:
Sabemos que tgx =
senx
cosx
Substituindo tgx por cosx (dado do problema),
vem:
cosx =
senx
cosx
donde vem: cos2
x = senx.
Mas, cos2
x = 1  sen2
x .
Substituindo, fica: 1  sen2
x = senx.
Daí, vem: sen2
x + senx 1 = 0
Fazendo senx = y e substituindo: y2
+ y  1 = 0.
Resolvendo esta equação do 2º grau, fica:
Como y = senx e , temos somente um dos valores
acima satisfazendo o problema, ou seja:
5 1
senx ,
2

 que é a resposta procurada.
03) Para que valor de m a expressão:
y = (m 1)(sen4
x  cos4
x) + 2cos2
x + m.cosx
 2.cosx + 1 é independente de x?
Solução:
Podemos escrever:
y = (m  1)[(sen2
x  cos2
x)(sen2
x + cos2
x)] +
2cos2
x + mcosx  2cosx + 1
Como sen2
x + cos2
x = 1, substituindo, fica:
y = (m1)(sen2
x cos2
x) +2cos2
x + mcosx 2cosx
+1
y = m.sen2
x  m.cos2
x  sen2
x + cos2
x + 2cos2
x +
m.cosx
 2cosx + 1
Escrevendo tudo em função de cosx, lembrando
que sen2
x = 1  cos2
x, vem:
y = m(1  cos2
x)  mcos2
x  (1  cos2
x) + cos2
x +
2cos2
y = m  mcos2
x  mcos2
x  1 + cos2
x + cos2
x +
2cos2
Simplificando os termos semelhantes, fica:
y = m + (4  2m)cos2
x + (m  2)cosx
Para que a expressão acima seja independente de x,
deveremos ter necessariamente 4  2m = 0 e m  2
= 0
portanto: m = 2, que é a resposta procurada.
Exercícios:
1) Dado
3
sen x
5
 , com x
2

   , calcule
as demais funções.
R.:  
4
cos x
5
;  
3
tgx
4
;  
5
sec x
4
;

5
csc x
3
;  
4
cot x
3
2) Sendosecx 2  e x
2

   , calcule tgx
e senx. R.:
 
2
tgx 1 e senx=
2
3) Sendo cot a = 3 e
3
a
2

   ,calcule o
valor de :
seca cosseca
y
cosseca cosa



R.: 
1
y
3
4) Sendo 2 232sen x 16cos x 25  , calcule o
valor do senx. R.:   
3
y senx
4
5) Calcule m, de modo que se tenha
simultaneamente:
m 2
senx
8

 e
5 m
cosx
2

 . R.: m =2
6)Para que valor de m a expressão:
y = m(sen4
x  cos4
x) + 2cos2
x 1 + m é
independente de x?
R.: m=1

39
13 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Uma igualdade entre expressões trigonométricas é
chamada Identidade, quando a igualdade é
satisfeita para todos os valores que pertencem aos
domínios das funções que envolvem.
Para provarmos uma identidade trigonométrica,
podemos proceder de duas maneiras:
Tomando um dos membros (geralmente o mais
“complicado”) transformando-o no outro.
Tomando os dois membros e transformando
simultaneamente em expressões iguais.
Exemplos: Provar as identidades:
a) 4 4 2cos x sen x 2sen x 1  
b)    2 2 21 tgx 1 tgx 2sec x   
c)
3
tgx senx secx
1 cosxsen x



14 OPERAÇÕES COM ARCOS
Conhecidas as linhas trigonométricas dos arcos a e
b, determinaremos as funções circulares dos arcos
da forma a + b, a  b, 2.a e
a
.
2
14.1 Fórmulas de Adição e Subtração de arcos
a) sen(a b) sena.cosb senb.cosa  
b) sen(a b) sena.cosb senb.cosa  
c) cos(a b) cosa.cosb sena.senb  
d) cos(a b) cosa.cosb sena.senb  
e)
tga tgb
tg(a b)
1 tga.tgb

 

f)
tga tgb
tg(a b)
1 tga.tgb

 

Obs. Nota: nas duas fórmulas da tangente, sempre
leve em conta a absoluta impossibilidade da
divisão por zero!
Exemplos:
01) Calcular sen 75º.
Solução:
Sen 75º = sen (30º+45)
= sen30º. cos 45º+sen45º.cos 30º
=
1 2 2 3
. .
2 2 2 2
 =
2 6
4

02) Determine cos (x  90º)
Solução:
Aplicando a equação d, temos:
cos (x  90º) = cosx . cos90º + senx . sen90º
como cos90º = 0 e sen90º = 1, substituindo,
vem:
cos(x  90º) = senx.
Se fizermos a = 0º na fórmula do cosseno da
diferença, teremos:
cos(0  b) = cos0 . cosb + sen0 . senb
e como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0,
substituindo, fica: cos( b) = cosb
03) Sabendo-se que sen x =
8
17
, cos y =
3
5
 ,
0 x
2

  e y ,
2

   calcular tg(x+y):
Solução:
Pela expressão e, temos:
tg( x + y) =
tgx tgy
1 tgx.tgy


=
8 4
15 3
8 4
1 .
15 3
 
  
 
 
  
 
=
8 20
15
32
1
45


tg( x+ y) =
12 45
.
15 77

tg( x+ y) =
36
77

Exercícios:
1) Simplificar as expressões abaixo:
a)
cos(a b) cos(a b)
y
sen(a b) sen(a b)
  

  
b)
senb.cos(a b) sen(a b)
y
sen(a 60º) sen(a 60º)
  

  
c)
2sen (a b) 2.senb.cosa.sen(a b)
y
sen(a b).sen(a b)
  

 
R: a) cotg a; b) 1; c) 1

40
2) Calcule tg (a b). Sabendo-se que cot a =2,
secb 2  e
3
b ,
2

   R:
1
3

3) Calcular sen a, sabendo-se que a + b = 150º,
3
sen.b
4
 e b .
2

   R:
7 3 3
8
 
4) Achar a sec( ab), dados tg a =
3
4
,cossec b
=
13
,
12

3
a
2

   e
3
b 2 .
2

  
R:
65
33
5) Simplificar a seguinte expressão:
y = cos(x  90º)  cos(x  270º). R:
2senx
6) Calcule:
a)cos 15º R:
6 2
4

b) tg 75º R: 2 3
c) sen 105º R:
6 2
4

7) Sabendo que
13
12
acos  , a + b = 120º e
0 a
2

  , calcule o cos b. R:
12 5 3
26
 
14.2 ARCO DUPLO
Fazendo a = b nas fórmulas da soma, vem:
 2 2cos(2a) cos a sen a 
 sen(2a) 2sena.cosa
 2
2.tga
tg(2a)
1 tg a


Obs. A fórmula acima somente é válida para tg a
 1 e tg a  1, já que nestes casos o denominador
seria nulo.
EXEMPLOS:
a) sen4x = 2.sen2x.cos2x
b) senx = 2.sen(x/2).cos(x/2)
c) cosx = cos2
(x/2) - sen2
(x/2)
d) cos4x = cos2
2x - sen2
2x
EXERCÍCIOS:
1) Dado tg x 2 1  , calcule tg 2x . R: 1
2) Sendo sen x + cos x =
5
6
, calcular: sen 2x.
R:
11
25
3) Calcular sen(2a+b) , sendo sen
a =
3
5
e sen b =
5
,
13
0 a e b
2 2
 
     . R:
253
325

14.3 ARCO METADE
Vamos agora achar as funções trigonométricas da metade de
um arco, partindo das anteriores.
Cosseno do arco metade:
Sabemos que:
cos2a = cos
2
a  sen
2
a
Substituindo sen2
a, por: 1  cos2
a e sen2
a +
cos2
a por 1, vem:
cos2a = 2.cos2
a  1, isolando cos2
a :
cos2
a = (1+cos2a) / 2
Fazendo a = x/2, vem, cos2
(x/2) = [1+cosx]/2.
Podemos escrever então a fórmula do cosseno
do arco metade como:
 x 1 cosx
cos
2 2

 
Seno do arco metade: De maneira análogo,
obtemos o seno e do arco metade.
 x 1 cosx
sen
2 2

 
Tangente do arco metade: Dividindo membro
a membro as equações anteriores, lembrando
que
tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:

x 1 cosx
tg
2 1 cosx

 


41
Obs: o sinal algébrico de cada expressão, vai
depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.
Exercício resolvido:
Sabendo que sen x =
4 3
e <x<
5 2

  , calcular tg
x
2
.
Resolução:
1º passo: determinar o quadrante de
x
2
:
Se
3
<x<
2

 , dividindo todos os termos por 2,
temos:
x 3
2 2 4
 
  , isto é:
x
2
é um arco do 2º
quadrante.
2º passo: cálculo de cos x:
2
24
cos x 1
5
 
   
 
3
cosx
5
  
3º passo: cálculo de tg
x
2
2 5x
sen
x 52tg 2
x2 5cos
2 5
   

Exercícios:
1) Sabendo que tg a=
7
3
 e
3
a 2
2

   ,
calcular
a
sen
2
. R:
2
4
2) Calcular cotg
a
2
, sabendo que sec a =
5
4
 e
3
a
2

   . R:
1
3

3) Dada
2 3
cossecx
3
 e x
2

   , calcular tg
x
2
. R: 3
15 TRANSFORMAÇÃO DE SOMAS EM
PRODUTO
Veremos nesta seção transformações de
expressões da forma sen p  sen q e cos p 
cos q, em produto, cujas fórmulas são de
grande importância nas simplificações de
expressões trigonométricas.
Já sabemos que:
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a  b) = sen a . cos b  sen b . cos a
Fazendo :
a + b = p
a b = q



, temos:
p q
2
p + q
a =
2
b =






Somando membro a membro estas igualdades,
obteremos:
sen(a + b)+ sen(a  b) = 2.sen a . cos b. Daí:
 p q p q
senp senq 2sen .cos
2 2
 
 
Analogamente, obteríamos as seguintes
fórmulas:
 p q p q
senp senq 2sen .cos
2 2
 
 

p q p q
cosp cosq 2cos .cos
2 2
 
 

p q p q
cosp cosq 2sen .sen
2 2
 
  
Exemplos:
01) Transformar em produto a expressão:
y = sen50º + sen40º
Solução:
50º 40º 40º 50º
y 2sen .cos
2 2
 

y 2sen45º.cos( 5º)  , como cos (a) = cos a,
temos
y 2sen45º.cos5º
02) cos 30º + cos 10º = 2.cos20º.cos10º
03) cos 60º +cos40° = 2.sen50º.sen10º
04) sen70º  sen 30º = 2 sen20°.cos 50º

42
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01) Se sen3x + senx = cos3x + cosx, então
tg2x é igual a:
Solução:
Usando as fórmulas de transformação em produto,
teremos:
3x x 3x x 3x x 3x x
2.sen .cos 2cos .cos
2 2 2 2
   

2.sen2x.cosx = 2.cos2x.cosx.Simplificando:
sen2x = cos2x e, portanto,
sen2x
1
cos2x
  tg2x =1.
02) Determine o período da função:
y = sen20x.cos10x + sen10x.cos20x.
Solução:
Sabemos que sena.cosb + senb.cosa = sen (a + b).
Logo,
y = sen20x.cos10x+sen10x.cos20x =
sen(20x+10x) = sen30x
Portanto, a função dada é equivalente a y = sen30x.
Como, o período de uma função da forma y =
senbx é dado por T = 2 / b.
O período da função dada será: T = 2 / 30 =  /15
rd.
03) Qual o valor máximo da função y = f(x)
definida por:
100
y
100 cosx.cos4x senx.sen4x

 
Solução:
Sabemos que:
cosx.cos4x senx.sen4x = cos(x + 4x) = cos5x
Portanto, podemos escrever:
100
y
100 cos5x


Para que y seja máximo, devemos ter 100+cos5x
sendo o mínimo, e isto só ocorrerá quando cos5x
=1.
Logo, o valor máximo da função será:
100 100
y
100 1 99
 

.
04) Seja dada a função y = f(x), definida por:
cosx.cos13x
y
cos3x cos5x


. Nestas condições, pedese
calcular o valor de y = f( /17).
Solução:
Vamos transformar em produto o denominador
da função:
cosx.cos13x cos13x
y
2.cos4x.cosx 2.cos4x
 
mas, cos13x = cos(17x  4x)
= cos17x.cos4x + sen17x.sen4x.
Como x =  /17, vem imediatamente que 17x =
 .
Logo, substituindo vem:
cos13x = cos .cos4x + sen .sen4x
= 1.cos4x + 0.sen4x
=  cos4x
Já que cos13x =  cos4x , para x =  /17,
substituindo, vem finalmente:
y =  cos4x / (2.cos4x) = 1/2.
Exercícios:
1) Transformar em produto:
sen28º  sen52º
tg20º + tg60º
2senx + sen2x
sen5a + sena + sen9a  sen3a
R: a) 2sen12ºcos40º
b)
2 80
20
sen º
cos º
c) 24
2
x
senxcos
d) 4sen3a.cos4a.cos2a

43
16 TRIÂNGULO QUALQUER
16.1 LEI DOS SENOS
Num triângulo qualquer, a razão entre cada lado e o
seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro
da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:
     
2
a b c
R
sen Bsen A sen C
  
Demonstração: Para simplificar as notações
iremos denotar o ângulo correspondente a cada
vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o
triângulo de vértices ABC os ângulos serão A, B e
C respectivamente, assim quando escrevermos
sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ângulo
correspondente ao vértice A.
Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa
circunferência de raio R. Tomando como base do
triângulo o lado BC, construímos um novo
triângulo BCA', de tal modo que o segmento BA'
seja um diâmetro da circunferência. Este novo
triângulo é retângulo em C.
Temos três casos a considerar, dependendo se o
triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou
retângulo.
Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes
aos vértices A e A' são congruentes, pois são
ângulos inscritos à circunferência que
correspondem a um mesmo arco BC. Então:
  2
a
sen A
R

isto é,
 
2
a
R
sen A

Repetindo o mesmo processo para as bases AC
e AB, encontraremos os outros quocientes
   
2
b c
R
sen B sen C
 
Triângulo obtusângulo: Se A e A' são os
ângulos que correspondem aos vértices A e A',
a relação entre eles é dada por A' =  A, pois
são ângulos inscritos à circunferência
correspondentes a arcos replementares BAC e
BA'C. Então
 
2
a
sen A senA
R
   
isto é,
 
2
a
R
sen A

Repetindo o mesmo processo para as bases AC
e AB, encontraremos os outros quocientes:
   
2
b c
R
sen B sen C
 

44
Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um
triângulo retângulo, é imediato que
      90 1
b c
sen B , sen C e sen A sen º
a a
   
Como, neste caso a=2R, temos,
     
a b c
sen Bsen A sen C
 
16.2 LEI DOS COSSENOS:
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida
de um lado é igual a diferença entre a soma dos
quadrados das medidas dos outros dois lados e o
dobro do produto das medidas desses lados pelo
cosseno do ângulo formado por estes lados.
 a² = b² + c²  2bc cos( A )
 b² = a² + c²  2ac cos( B )
 c² = a² + b²  2ab cos(C C)
Demonstração: Temos três casos a considerar,
dependendo se o triângulo ABC é acutângulo,
obtusângulo ou retângulo.
Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é
retângulo, com ângulo reto no vértice A. A relação
a² = b² + c²  2bc cos(A)
recai no teorema de Pitágoras.
a² = b² + c²
uma vez que cos(A)=cos(/2)=0.
Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC
um triângulo acutângulo com ângulo agudo
correspondente ao vértice A, como mostra a
figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao
lado AB (altura do triângulo relativa ao lado
AB), passando pelo vértice C. Aplicando o
Teorema de Pitágoras no triângulo CHB,
temos:
a² = h² + ( c x)²
= h² + (c ²2cx + x²)
= (h² + x²) + c² 2cx (Equação 01)
No triângulo AHC, temos que:b² = h² + x²
e também cos(A)=x / b, ou seja, x = b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq.
01), obtemos:
a² = b² + c²  2bc cosA
Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo
obtusângulo ABC com o ângulo obtuso
correspondente ao vértice A, como mostra a
figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao
lado AB (altura do triângulo relativa ao lado
AB), passando pelo vértice C. Aplicando o
Teorema de Pitágoras no triângulo CHB, temos
que:
a² = h² + ( c x)²

45
= h² + (c ²2cx + x²)
= (h² + x²) + c² 2cx (Equação 02)
No triângulo AHC, temos que b² = h² + x² e
também: cos(D)= x / b= cos( A) = cos(A),
então, x = b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq.02),
obtemos:
a² = b² + c²  2bc cos(A)
Exemplos:
01) Dadas duas forças concorrentes F1 = 10 Kgf
e F2 =15 Kgf, sabendo que formam um ângulo de
120º, calcular a resultante.
Solução:
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
2 2 2
r 1 21 2F F F 2F F cos60º  
2 2 2
r
1
F 10 15 2.10.15.
2
  
2
rF 175
rF 175
rF 5 7 Kgf
02) Num triângulo dois lados de medidas 4cm e
8cm formam entre si um angulo de 60º. Qual a
medida do outro lado?
Solução:
Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos:
x2
= 42
+ 82
– 2.4.cos60º = 16 + 64 – 8.(1/2),
já que cos60º = 1/2.
x2
= 16 + 64 – 4 = 76
x2
= 22
.19  x = 2 19 cm
03) Determine o comprimento do lado de um
hexágono regular inscrito num círculo de raio R.
Solução:
R = raio do círculo.
Sabemos que um hexágono regular possui 6
lados de medidas congruentes, ou seja de
medidas iguais. Observe que o angulo A é
igual a 60º. Logo, o lado PQ do hexágono
regular será dado pela lei dos cossenos por:
PQ2
= R2
+ R2
– 2.R.R.cos60º = 2R2
– R2
PQ2
= R2
, de onde conclui-se: PQ = R, ou seja,
a medida do lado de um hexágono regular
inscrito num círculo de raio R é igual a R
03) Em uma região há um rio com curso
irregular. Sua largura não é constante e ele faz
muitas curvas. Entre os ponto A e B, situados
em margens opostas, deseja-se construir uma
ponte. Para isso, é necessário determinar a
distância AB. O topógrafo, que está na margem
inferior assinala com uma estaca um ponto C
qualquer. Com a trena, ele mede a distância
AC e encontra 56 m. Com o teodolito ele
mede os ângulos BAC e ACB encontrando
118º e 35º, respectivamente. Qual será o valor
da distância AB?
Solução:
Vamos analisar o triângulo ABC. Se A =118º e
C = 35º, então podemos calcular o ângulo B .
Como sabemos, a soma dos triângulos é 180º.
118º B 35º 180º B 27º    
F1 60º
120º
F2

46
Determinando AB = c e AC = b, a lei dos senos
nos informa que:
c b
senBsenC
 , ou seja,
c 56
sen35º sen27º

Utilizando uma calculadora científica,
determinamos o valor de c = 70,75 m.
Exercícios:
1) Num triângulo ABC, b = 7m, c = 5 m e Â= 60º.
Calcule a medida do lado a. R: 39a cm
2) Em um triângulo, são dados: a = 4cm , b =
3cm, c = 3cm, calcule o cos Â. R: A = arc cos
1
9
3) Em um triângulo, são dados: A = 30º, B = 45º
e a = 4m . Calcule os lados b e c.
R:  4 2 2 2 b m e c= 2 6 m
4) Num triângulo, os lados que formam um ângulo
de 60º, a medida de um é o dobro do outro.
Calcular a medida dos demais ângulos internos. R:
30º e 90º
Desafio final: O ângulo sob o qual um observador
vê uma torre duplica quando ele se aproxima 110m
e triplica quando se aproxima mais 50m. Calcular a
altura da torre. R: 88 m

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