IntroducciónMatemática Nivelatoria“La simplicidad de las cosas no  depende de ellas, sino de la complicación de las person...
Números Naturales• Algunos autores definen el Conjunto de  Números naturales como el conjunto que  sirve para contar.• Se ...
Expresión General de un         Numero NaturalProceso de sustituir el valor de las variables  por su valor numérico.Si n =...
EvaluarEvaluar la siguiente expresión:• 3n2-2m, si n=2 y m=1• 3n2-2m, si n=5 y m=4
Sucesor y Antecesor• La expresión n+1 en los naturales se  llama sucesor de n y se representa por:n+ = n +1• La expresión ...
Por lo tanto• El sucesor del numero 4 es :4+ = 4 +1=5• El antecesor del numero 4 es:4- = 4 -1= 3
Operaciones Básicas con los      Números Naturales• La adición es una operación binaria por  que se opera con dos elemento...
Multiplicación en los Naturales• Es también una operación binaria , es  decir se opera siempre sobre dos  números. Los dos...
Propiedades Multiplicación de      Números Naturales• Asociativa• Si a, b, c son números naturales  cualesquiera se cumple...
Propiedades Multiplicación de      Números Naturales• Conmutativa• Si a, b son números naturales  cualesquiera se cumple q...
Propiedades Multiplicación de      Números Naturales• Distributiva del producto• Si a, b, c son números naturales  cualesq...
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Importante• Todo numero dividido por 1 es igual al  mismo numero.• Cuando el divisor es 0, la división no esta  definida. ...
Propiedades Adición de         Números Naturales• Asociativa:Si a, b, c son números naturales cualesquiera se  cumple que:...
Propiedades Adición de        Números Naturales• Conmutativa• Si a, b son números naturales  cualesquiera se cumple que:• ...
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Potencias en Números            Naturales• Cuando dos o mas numeros se  multiplican, cada uno de ellos se llama  factor. T...
Potencias en Números            Naturales• A veces un mismo numero aparece mas  de una vez como factor de un producto:3 x ...
Definicion• Si a y n son números naturales, tal que  n≥0, a≠0, llamaremos potencia enésima  de a y la representaremos an a...
Leyes Exponentes, Base y      Exponente Natural• Multiplicación potencias de misma baseam.an = am+n• Para multiplicar pote...
Leyes Exponentes, Base y      Exponente Natural• Potencia de Potencia(am)n=amn• Para desarrollar una potencia de potencia,...
Leyes Exponentes, Base y      Exponente Natural• Cociente de potencia de la misma baseam÷an=am-n• Para dividir potencias d...
Resolver• Simplificar la expresión:• 35 x 38 x 30 x 34      32 x 39• 25 x 36 x (32)3  24 x 32 x (33)2
Jerarquía de las Operaciones• Efectuar primero las potencias.• Efectuar después de las multiplicaciones y  divisiones (la ...
Esto Implica•   36 ÷ 4 -1 = Significa (36÷4)-1= 9-1 = 8•   7 x 4 +3 = Significa (7x4)+3 = 28+3 = 31•   6x8 - 7x2= Signific...
Operaciones CombinadasResolver los siguientes ejercicios• 23 + 3 x 22 – 5 x 8 + 60• 82 ÷ 16 + 32 x 18 - 45 ÷ 32 -17
Operaciones con Paréntesis y   con Números Naturales• Todo los que esta encerrado dentro de un  paréntesis se considera co...
Ejercicios• Realizar los siguientes ejercicios:5 +{2 +4 + 3 (5-1) – [18÷3]}3{172 +[32 – (14-6) +8]} - 256
Raíz Cuadrada Exacta de un        Numero Natural• Un cuadrado perfecto es un numero  positivo que tiene raíz cuadrada ente...
Importante• √0 = 0• √n2 = n siendo n un cuadro perfecto  Positivo• √n = b entonces b2 = n, siendo n≥0• √n2 = (√n2 ) 2 es i...
Propiedad Multiplicativa de las            raíces• Si m y n no son cuadros perfectos  entonces:√n*m = √n * √mResolver     ...
Valor Absoluto de un Entero• El valor absoluto de un numero esta  definido por el numero natural que le  corresponde, es d...
Propiedades Valor Absoluto• El valor absoluto de un producto es igual  al producto de los valores absolutos de los  factor...
Propiedades Valor Absoluto• El valor absoluto de una suma es, menor  o igual que la suma de los valores  absolutos de los ...
División en el conjunto de los          Números Enteros•   (+) ÷ (+) = +, mas entres mas, da mas•   (+) ÷ (-) = -, mas ent...
Mínimo Común Múltiplo• Dados números naturales a,b, llamaremos  Mínimo Común Múltiplo de a y b y lo  representaremos por m...
Máximo Común Divisor• Dados los números naturales a,b,  llamaremos Máximo Común Divisor de a y  b y lo representaremos por...
Lineamientos para Resolver          Problemas• Entender el problema• Traducir problema al lenguaje matemático• Realizar lo...
2.3 Fracciones• Conocer símbolos de la multiplicación e  identificar los factores• Reducir fracciones• Multiplicar fraccio...
Símbolos de Multiplicación          Definición• Los números o variables multiplicados en  un problema de multiplicación se...
Reducir Fracciones• El numero que esta en la parte superior de  una fraccion se llama numerador y el que  esta en la parte...
Para simplificar una fraccion• Determine el numero mayor que divida  (sin residuo) tanto al numerador como al  denominador...
EjemploSimplifique:• 10/25• 6/18
Multiplicar Fracciones• Para multiplicar dos o mas fracciones,  multiplique sus numeradores y después  sus denominadores.•...
Importante• Para evitar tener que simplificar  respuestas, es necesario que antes de  multiplicar fracciones divida tanto ...
Dividir Fracciones• Para dividir una fracción entre otra,  invierta el divisor (la segunda fracción, si  es necesario que ...
Suma y resta de fracciones• Solo se pueden sumar o restar las  fracciones que tienen el mismo  denominador.• Para sumar o ...
Evaluar
Denominadores Diferentes• Primero debemos reescribir con el mismo,  o común denominador. El numero mas  pequeño que es div...
Evaluar
Convertir números mixtos a    fracciones, y viceversa.• Considere el numero . Este es un  ejemplo de numero mixto. Un nume...
Cambiar una fracción a mixto• Cambiar   a un numero mixto
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Mate nivelatoria semana1

  1. 1. IntroducciónMatemática Nivelatoria“La simplicidad de las cosas no depende de ellas, sino de la complicación de las personas” Ing. Medardo Galindo
  2. 2. Números Naturales• Algunos autores definen el Conjunto de Números naturales como el conjunto que sirve para contar.• Se identifica con el símbolo N y comprende la siguiente colección: N={0,1,2,3,4,5….}
  3. 3. Expresión General de un Numero NaturalProceso de sustituir el valor de las variables por su valor numérico.Si n = 1, entonces n+1=1+1= 2Si n = 5, entonces n+5= 5+1= 6
  4. 4. EvaluarEvaluar la siguiente expresión:• 3n2-2m, si n=2 y m=1• 3n2-2m, si n=5 y m=4
  5. 5. Sucesor y Antecesor• La expresión n+1 en los naturales se llama sucesor de n y se representa por:n+ = n +1• La expresión n-1 en los naturales se llama antecesor de n y se representa por:n- = n -1
  6. 6. Por lo tanto• El sucesor del numero 4 es :4+ = 4 +1=5• El antecesor del numero 4 es:4- = 4 -1= 3
  7. 7. Operaciones Básicas con los Números Naturales• La adición es una operación binaria por que se opera con dos elementos (números) . Los dos elementos se llaman sumandos y el resultado suma o total.12,820 + 4320 = 17,140Sumandos Suma o Total
  8. 8. Multiplicación en los Naturales• Es también una operación binaria , es decir se opera siempre sobre dos números. Los dos números se separan por medio del signo x, un ., o (). Así• a x b = c , siendo a el multiplicando• a·b = c, siendo b el multiplicador• (a)(b)= c, siendo c el producto
  9. 9. Propiedades Multiplicación de Números Naturales• Asociativa• Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:• (a · b) · c = a · (b · c)• Por ejemplo:• (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30• 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
  10. 10. Propiedades Multiplicación de Números Naturales• Conmutativa• Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:• a·b=b·a• Por ejemplo:• 5 · 8 = 8 · 5 = 40
  11. 11. Propiedades Multiplicación de Números Naturales• Distributiva del producto• Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:• a · (b + c) = a · b + a · c• Por ejemplo:• 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55• 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
  12. 12. Sustracción en los Números Naturales• No siempre la diferencia entre dos números naturales es otro numero natural. Los dos números se llaman Minuendo el primero y Sustraendo el segundo y el resultado se llama diferencia. Sustraendo S 2,508 – 1,349 = 1,159 , Luego; M-S=DMinuendo M Diferencia D
  13. 13. División en los Números Naturales• La división N es una operación Binaria. No siempre el resultado de la división entre dos naturales es otro numero natural.• El primer numero se llama dividendo, el segundo divisor, el tercero cociente y lo que sobra residuo.
  14. 14. Importante• Todo numero dividido por 1 es igual al mismo numero.• Cuando el divisor es 0, la división no esta definida. (a/0, 0/0; no es posible realizar)• Cuando el residuo es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta
  15. 15. Propiedades Adición de Números Naturales• Asociativa:Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:(a + b) + c = a + (b + c)• Por ejemplo:(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 167 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
  16. 16. Propiedades Adición de Números Naturales• Conmutativa• Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:• a+b=b+a• En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:• 7+4=4+7
  17. 17. Propiedades Adición de Números Naturales• Elemento neutro• El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:• a+0=a
  18. 18. Potencias en Números Naturales• Cuando dos o mas numeros se multiplican, cada uno de ellos se llama factor. Tanto el multiplicando como el multiplicador son factores. Según lo anterior:5 x 4 = 20, 5 y 4 son factores de 2016 x 5 = 80, 16 y 5 son factores de 80
  19. 19. Potencias en Números Naturales• A veces un mismo numero aparece mas de una vez como factor de un producto:3 x 3 = 9, 9 tiene dos factores iguales a 3• Cuando existen productos de factores iguales se leen así:3 x 3 = 32 , Se lee ´´Tres a la dos´´
  20. 20. Definicion• Si a y n son números naturales, tal que n≥0, a≠0, llamaremos potencia enésima de a y la representaremos an al producto a.a.a…n veces. El numero a se llama Base y n se llama Exponente.
  21. 21. Leyes Exponentes, Base y Exponente Natural• Multiplicación potencias de misma baseam.an = am+n• Para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base y se suman los exponentes de los factores.23x 25x 20x 21= 23+5+0+1=29
  22. 22. Leyes Exponentes, Base y Exponente Natural• Potencia de Potencia(am)n=amn• Para desarrollar una potencia de potencia, se escribe la base y se multiplican los exponentes.• ((72)3)4=72x3x4=724
  23. 23. Leyes Exponentes, Base y Exponente Natural• Cociente de potencia de la misma baseam÷an=am-n• Para dividir potencias de la misma base, se escribe la base y se restan los exponentes.34÷32=34-2=32
  24. 24. Resolver• Simplificar la expresión:• 35 x 38 x 30 x 34 32 x 39• 25 x 36 x (32)3 24 x 32 x (33)2
  25. 25. Jerarquía de las Operaciones• Efectuar primero las potencias.• Efectuar después de las multiplicaciones y divisiones (la primera que se encuentre) en el orden de izquierda a derecha.• Por ultimo, efectuar las adiciones y sustracciones (la primera que se encuentre) en el orden de izquierda a derecha
  26. 26. Esto Implica• 36 ÷ 4 -1 = Significa (36÷4)-1= 9-1 = 8• 7 x 4 +3 = Significa (7x4)+3 = 28+3 = 31• 6x8 - 7x2= Significa (6x8)-(7x2)=48-14=34• 30 ÷ 10 x 3= Significa (30÷10)x3 =3x3= 9
  27. 27. Operaciones CombinadasResolver los siguientes ejercicios• 23 + 3 x 22 – 5 x 8 + 60• 82 ÷ 16 + 32 x 18 - 45 ÷ 32 -17
  28. 28. Operaciones con Paréntesis y con Números Naturales• Todo los que esta encerrado dentro de un paréntesis se considera como una sola cantidad.• En muchos casos el paréntesis puede estar encerrado, encajado y anidado dentro de otro.• Los signos mas usados son Paréntesis Común (), Corchetes [], Llaves {}
  29. 29. Ejercicios• Realizar los siguientes ejercicios:5 +{2 +4 + 3 (5-1) – [18÷3]}3{172 +[32 – (14-6) +8]} - 256
  30. 30. Raíz Cuadrada Exacta de un Numero Natural• Un cuadrado perfecto es un numero positivo que tiene raíz cuadrada entera exacta.• Todo cuadrado perfecto se puede expresar como el producto de dos factores iguales, es decir como una potencia de exponente 2.
  31. 31. Importante• √0 = 0• √n2 = n siendo n un cuadro perfecto Positivo• √n = b entonces b2 = n, siendo n≥0• √n2 = (√n2 ) 2 es igual a n
  32. 32. Propiedad Multiplicativa de las raíces• Si m y n no son cuadros perfectos entonces:√n*m = √n * √mResolver 1) 225 2) 400𝑦 2
  33. 33. Valor Absoluto de un Entero• El valor absoluto de un numero esta definido por el numero natural que le corresponde, es decir, por 0 o por un positivo.• Si x es un numero entero, entonces el valor absoluto de x, esx si x > 00 si x = 0-x si x < 0
  34. 34. Propiedades Valor Absoluto• El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.• El valor absoluto de un cociente es igual al cociente de los valores absolutos de los términos del cociente
  35. 35. Propiedades Valor Absoluto• El valor absoluto de una suma es, menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.• El valor absoluto de un numero negativo, es igual al valor absoluto del mismo numero positivo.
  36. 36. División en el conjunto de los Números Enteros• (+) ÷ (+) = +, mas entres mas, da mas• (+) ÷ (-) = -, mas entre menos, da menos• (-) ÷ (-) = +, menos entre menos da mas• (-) ÷ (+) = -, menos entre mas, da menos
  37. 37. Mínimo Común Múltiplo• Dados números naturales a,b, llamaremos Mínimo Común Múltiplo de a y b y lo representaremos por m.c.m(a,b) al menor de los múltiplos distinto de cero, comunes a ambos• Encontrar el m.c.m de:1) (32, 48, 108) 3) (18, 24, 30)2) (80, 120, 350)
  38. 38. Máximo Común Divisor• Dados los números naturales a,b, llamaremos Máximo Común Divisor de a y b y lo representaremos por M.C.D(a,b), al mayor de los divisores comunes a ambos numeros• Encontrar el M.C.D de:1) (12, 20, 36)2) (170, 204, 102)
  39. 39. Lineamientos para Resolver Problemas• Entender el problema• Traducir problema al lenguaje matemático• Realizar los cálculos matemáticos necesarios para resolver el problema• Comprobar la respuesta obtenida en el paso 3• Asegurarse de haber respondido la pregunta
  40. 40. 2.3 Fracciones• Conocer símbolos de la multiplicación e identificar los factores• Reducir fracciones• Multiplicar fracciones• Dividir fracciones• Sumar y restar fracciones• Convertir números mixtos a fracciones y viceversa.
  41. 41. Símbolos de Multiplicación Definición• Los números o variables multiplicados en un problema de multiplicación se llaman factores.• Si a x b = c, entonces a y b son factores de c• Por ejemplo , en 3 x 5 = 15 los números 3 y 5 son factores del producto 15
  42. 42. Reducir Fracciones• El numero que esta en la parte superior de una fraccion se llama numerador y el que esta en la parte inferior se llama denominador. Por lo tanto en la fraccion 3/5, 3 es el numerador y 5 el denominador.
  43. 43. Para simplificar una fraccion• Determine el numero mayor que divida (sin residuo) tanto al numerador como al denominador. Este numero se llama MCD• Después divida tanto el numerador como el denominador entre el máximo común divisor
  44. 44. EjemploSimplifique:• 10/25• 6/18
  45. 45. Multiplicar Fracciones• Para multiplicar dos o mas fracciones, multiplique sus numeradores y después sus denominadores.• Multiplique:3/13 por 5/118/17 por 5/16
  46. 46. Importante• Para evitar tener que simplificar respuestas, es necesario que antes de multiplicar fracciones divida tanto el numerador como el denominador entre el MCD
  47. 47. Dividir Fracciones• Para dividir una fracción entre otra, invierta el divisor (la segunda fracción, si es necesario que esta escrita con el signo ÷) y proceda como en la multiplicación• Evaluar3/5 ÷ 5/63/8 ÷ 12
  48. 48. Suma y resta de fracciones• Solo se pueden sumar o restar las fracciones que tienen el mismo denominador.• Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, sume o reste los numeradores y conserve el denominador
  49. 49. Evaluar
  50. 50. Denominadores Diferentes• Primero debemos reescribir con el mismo, o común denominador. El numero mas pequeño que es divisible entre dos o mas denominadores se llama mcd
  51. 51. Evaluar
  52. 52. Convertir números mixtos a fracciones, y viceversa.• Considere el numero . Este es un ejemplo de numero mixto. Un numero mixto consta de un entero no negativo seguido de una fracción.• El numero mixto puede cambiarse a una fracción de la siguiente manera:
  53. 53. Cambiar una fracción a mixto• Cambiar a un numero mixto

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