Elegibilidad8°matematicaopcion b

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Elegibilidad8°matematicaopcion b

  1. 1. TexTo del esTudianTe Autores: Natacha Astromujoff Eleamar Barrios Marcelo Casis Ivette León Paula Olivares Marta Riveros Josrge Soto
  2. 2. Estructura didáctica El Texto del Estudiante de Matemática de 8° Básico contiene 6 unidades didácticas. El cuerpo de cada unidad está conformado por páginas binarias de contenido que se articulan en torno a un tema que contextualiza los objetivos de aprendizaje de cada una de ellas. Al inicio de cada unidad existen páginas que contienen activi- dades introductorias y como cierre se plantean el uso de recursos tecnológicos, un resumen de la unidad y una evaluación sumativa final. Además, se incorpora cuando corresponde, el ícono que enlaza los contenidos del texto con las actividades multimediales del Hipertexto. La estructura detallada de cada unidad de este texto es la siguiente: Entrada de unidad Primera aproximación al OFT que articula la unidad. Imagen alusiva al tema Actividad motivadora transversal de la unidad inspirada en el OFT que se desarrolla en la unidad. Red conceptual con los Aprendizajes que se espera contenidos de la unidad adquieras tras la revisión de la unidad. Actividad inicial Historieta que te propone Actividades que podrán ser una situación que debes utilizadas como evaluación observar y analizar con diagnóstica de materias detención. vistas en cursos anteriores y que servirán para la revisión de los temas de la unidad. Páginas binarias de contenido Ejercicios individuales para Ejemplo explicativo que que apliques lo que acabas de contiene una situación aprender en forma individual. problemática, que es Ejercicios grupales de análisis resuelta paso a paso a y reflexión o de carácter modo de ejemplificación. lúdico para que resuelvas con uno o más compañeros y compañeras. Cuadro de definición de los contenidos fundamentales. Problemas que plantean situaciones matemáticas contextualizadas en diferentes temas y que puedes resolver en forma individual o grupal. 4 Estructura didáctica
  3. 3. Resolución de problemas Problemas propuestos que debes resolver aplicando el método. Problema modelo que te propone un método de cinco pasos para que lo apliques en la resolución de problemas de diversa índole. Tecnología activa Ejemplificación del uso de Actividades propuestas para herramientas tecnológicas que apliques la herramienta para resolver actividades tecnológica descrita. relacionadas con los temas vistos en la unidad. Síntesis de la unidad Evaluación Cuadros con las definiciones que resumen los contenidos Tres páginas en las que se tratados en la unidad. evalúan los temas vistos en la unidad. Dos de ellas te proponen ejercicios de desarrollo y una ejercicios con alternativas. Además, en las páginas del texto se incluyen cuatro tipos de apartados y el ícono de Hipertexto: Archívalo Enlace con… Desafío Indicación práctica o nota recordatoria para Definiciones y concep- al ingenio una mejor comprensión tos directamente liga- Breve vinculación del Actividades lúdicas que del tema tratado. dos con los temas de tema tratado en la pági- requieren del ingenio la página. na binaria y otras ramas matemático para su del conocimiento. realización. HIPERTEXTO Ícono que relaciona el Texto del Estudiante con las actividades del Hipertexto. Matemática Estructura didáctica 5
  4. 4. Índice de contenidos Unidad • Potencias de exponente 2 y raíces 1 cuadradas.................................................. 44 y 45 Productos y cocientes • Teorema de Pitágoras ............................... 46 y 47 • Tríos pitagóricos ........................................ 48 y 49 Resolución de problemas ...........................50 y 51 Entrada de unidad ........................................... 8 y 9 Tecnología activa ........................................ 52 y 53 Actividad inicial ............................................10 y 11 • Multiplicación y división de enteros positivos ..12 y 13 Síntesis de la unidad .......................................... 54 • Multiplicación y división de enteros de Evaluación.................................................... 55 a 57 diferente signo ........................................... 14 y 15 • Multiplicación y división de enteros negativos ................................................... 16 y 17 • Propiedades de la multiplicación en ℤ ..... 18 y 19 Unidad 3 • Operaciones combinadas en ℤ ................ 20 y 21 Ecuaciones y Resolución de problemas .......................... 22 y 23 Tecnología activa ........................................ 24 y 25 proporcionalidad Síntesis de la unidad .......................................... 26 Evaluación.................................................... 27 a 29 Entrada de unidad ....................................... 58 y 59 Actividad inicial ........................................... 60 y 61 • Variables dependientes e independientes.. 62 y 63 • Relación directamente proporcional ......... 64 y 65 Unidad 2 • Representación de una relación Potencias y sus directamente proporcional......................... 66 y 67 • Relación inversamente proporcional ......... 68 y 69 aplicaciones • Representación de una relación inversamente proporcional .........................70 y 71 Entrada de unidad ....................................... 30 y 31 • Modelos matemáticos de proporcionalidad Actividad inicial ........................................... 32 y 33 directa ........................................................ 72 y 73 • Potencias de base entera y exponente • Modelos matemáticos de proporcionalidad natural ....................................................... 34 y 35 inversa ........................................................74 y 75 Interpretación de potencias con • Funciones .................................................. 76 y 77 exponente entero ...................................... 36 y 37 Resolución de problemas .......................... 78 y 79 • Multiplicación y división de potencias de igual base .................................................. 38 y 39 Tecnología activa ........................................ 80 y 81 • Crecimiento exponencial ............................40 y 41 Síntesis de la unidad .......................................... 82 • Decrecimiento exponencial ....................... 42 y 43 Evaluación.................................................... 83 a 85 6 Índice de contenidos
  5. 5. Unidad Transformaciones Resolución de problemas .......................132 y 133 4 isométricas, circunferencia y círculo Tecnología activa .....................................134 y 135 Síntesis de la unidad ........................................ 136 Evaluación.................................................137 a 139 Entrada de unidad ....................................... 86 y 87 Actividad inicial ........................................... 88 y 89 • Traslación .................................................. 90 y 91 Unidad 6 • Reflexión ................................................... 92 y 93 • Rotación .................................................... 94 y 95 Datos agrupados y • Teselaciones ............................................. 96 y 97 probabilidades • Definición de circunferencia y círculo ....... 98 y 99 • Elementos lineales de una Entrada de unidad .................................... 140 y 141 circunferencia .........................................100 y 101 Actividad inicial ........................................142 y 143 • Elementos angulares de circunferencias • Datos cuantitativos discretos y y círculos.................................................102 y 103 continuos ................................................144 y 145 • Perímetro de una circunferencia ............104 y 105 • Intervalo de clase ................................... 146 y 147 • Área de un círculo ..................................106 y 107 • Marca de clase .......................................148 y 149 Resolución de problemas .......................108 y 109 • Media aritmética y moda para datos Tecnología activa ......................................110 y 111 agrupados ..............................................150 y 151 Síntesis de la unidad .........................................112 • Construcción de gráficos con datos Evaluación................................................. 113 a 115 agrupados ..............................................152 y 153 • Métodos de muestreo ............................154 y 155 • Experimentos aleatorios equiprobables .156 y 157 • Regla de Laplace ...................................158 y 159 • Verificación de una probabilidad ............160 y 161 Unidad 5 Resolución de problemas .......................162 y 163 Tecnología activa .....................................164 y 165 Cuerpos redondos Síntesis de la unidad ........................................ 166 Evaluación................................................ 167 a 169 Entrada de unidad .................................... 116 y 117 Actividad inicial ........................................ 118 y 119 Solucionario..............................................170 a 173 • Cuerpos redondos..................................120 y 121 • El cilindro ................................................122 y 123 Índice temático ...................................................174 • El cono ...................................................124 y 125 Bibliografía y páginas web ............................... 175 • La esfera ................................................126 y 127 Evaluación modelo............................................ 176 • Área de cuerpos redondos .....................128 y 129 • Volumen de cuerpo redondos ................130 y 131 Índice de contenidos 7
  6. 6. 3 Unidad Ecuaciones y proporcionalidad Red conceptual Dependientes Variables pueden ser Independientes Proporcionalidad directa Ecuaciones y determinación de Modelos proporcionalidad matemáticos Proporcionalidad inversa Dominio Funciones identificación de Recorrido 58
  7. 7. ¿Cuáles son los beneficios del comercio electrónico? El e-business o comercio electrónico es cualquier actividad empresarial que se efectúa a través de internet, no solo de compra y venta de productos, sino también de servicio al cliente y cola- boración de las empresas con sus socios comerciales. El comercio electrónico beneficia tanto a las empresas como a los consumidores. Hace más eficientes las actividades de las empresas, ya que reduce las barreras de acceso a los mercados, en especial para pequeñas empresas, y abre oportunidades de explotar nuevos mercados. En cuanto a los consumidores, el comercio electrónico amplía la capacidad de los consumidores de acceder a los distintos productos y les permite comparar ofertas y provee de información sobre la calidad del producto que consumen. Hoy en día son cada vez más las personas que realizan sus compras a través de internet, sobre todo en países desarrollados, donde ya se ha vencido el miedo que existía inicialmente con respecto a la transparencia de las transacciones. Con el comercio electrónico, las operaciones comerciales son mucho menos burocráticas ya que se pueden realizar desde cualquier computador personal y en cualquier momento del día. ¿Has comprado algún producto por internet? ¿Cuál? ¿Crees que en el futuro ya no será necesario ir a una tienda o almacén para comprar un producto? ¿Puedes resolver? Una empresa ha decidido sacar un nuevo producto al mercado, el cual po- drá ser adquirido a través de su página web. Las ventas de dicho producto en los primeros cuatro meses fueron las siguientes: Mes Julio Agosto Septiembre Octubre Unidades vendidas 2 000 3 000 4 500 6 750 Confecciona un gráfico que muestre la cantidad de unidades vendidas cada mes. Si se mantiene la tendencia, ¿cuántas unidades del producto se venderán en noviembre? rás a: En esta unidad aprende . ndientes e independientes Identificar variables depe forma directa o inversa- ria bles están relacionadas en Reconocer cuando dos va mente proporcional. ersamente proporcionales . s de relaciones directa e inv Construir tablas y gráfico nes no proporcionales. Distinguir relaciones proporcionales de relacio . nalidad directa e inversa Reconocer modelos matemáticos de proporcio e son funciones. Identificar relaciones qu HIPERTEXTO Motivación 59
  8. 8. Actividad inicial Cotidianamente nos vemos en la necesidad, muchas veces sin darnos cuenta, de dar solución a situaciones que relacionan variables que se condicionan una a la otra bajo determinadas pautas matemáticas. Amplificar la cantidad de ingredientes en una receta de cocina, calcular la cantidad de provisiones necesarias para una sema- na, conociendo la requerida para un día, o determinar el costo de una visita al cine si un grupo de amigos aparece a última hora, son situaciones que la mayoría de las veces resolvemos por métodos meramente intuitivos. Pero, ¿existe un procedimiento matemático formal para resolverlas? Formen grupos de tres personas y luego realicen las actividades que se presentan a continuación. A Lean la historieta y luego contesten las preguntas de la página siguiente: 60 Unidad 3
  9. 9. Unidad Los niños, además de muchos huevos, disponen de: • 625 g de harina. • 312,5 g de azúcar. • 250 g de margarina. • 250 g de chocolate. a) Calculen la razón entre la cantidad de cada uno de los ingredientes de la re- ceta y las correspondientes cantidades de ingredientes que tienen los niños. ¿Qué características observan en estas razones? b) ¿Cuántas galletas pueden hacer los niños con los ingredientes que tienen? c) Si los niños quisieran preparar 75 galletas, ¿qué cantidad de cada ingrediente necesitarían? d) Completen la siguiente tabla con la cantidad que se necesita de cada ingre- diente, según la cantidad de galletas que se desea preparar: Cantidad de Chocolate Margarina Harina (g) Azúcar (g) galletas en polvo (g) (g) 10 20 40 500 g 250 g 200 g 200 g 80 e) Luego de analizar la tabla an- 1000 terior, y teniendo en cuenta la 900 cantidad de galletas a preparar y la masa de harina necesaria para 800 cada cantidad, señalen los pares 700 Harina (gramos) de valores en el gráfico como 600 muestra el ejemplo y luego unan 500 los puntos. ¿Qué obtienen? 400 B Supongamos que las galletas que 300 harán los alumnos y alumnas se 200 repartirán entre ellos en partes 100 iguales. Respondan las siguientes 0 preguntas: 0 10 20 30 40 50 60 70 80 a) Si hay 40 galletas de chocolate y Galletas 20 estudiantes, ¿cuántas galletas comerá cada uno? b) Si hay 40 galletas de chocolate y 40 estudiantes, ¿cuántas galletas comerá cada uno? c) Si hay 40 galletas de chocolate y 80 estudiantes, ¿cuántas galletas comerá cada uno? HIPERTEXTO Diagnóstico Ecuaciones y proporcionalidad 61
  10. 10. Variables dependientes e independientes Los valores de una va- La junta de vecinos de una población está reuniendo fondos para riable dependiente se refaccionar su centro social. Los fondos se obtendrán de dos fuentes: ubican en el eje horizon- tal (abscisas), mientras una donación de $ 400 000 que realizará una empresa del sector y una que los valores de una rifa organizada por la comunidad. Cada número de la rifa tendrá un variable independiente se valor de $ 500. ubican en el eje vertical (ordenadas). f ¿De qué depende el monto de los fondos que reunirá la junta de vecinos? f ¿Qué ecuación expresa los fondos que obtendrá la junta de vecinos? f Si se venden 400 números para la rifa, ¿cuál será el monto que reunirá? Desafío El monto de los fondos que la junta de vecinos reúna en la rifa de- al ingenio pende de cuántos números se vendan. Marcela es amante de Si llamamos y a los fondos que reunirá la junta de vecinos y x a la los animales y en su casa tiene varias mascotas. De cantidad de números de la rifa que se vendan entonces: estas, todas son perros y = 500x + 400 000 menos dos, todas son gatos menos dos y todas donde x e y pueden tomar distintos valores. son loros menos dos. ¿Cuántos animales tiene Marcela en su casa? Se llama variable independiente a aquella variable cuyo valor solo depende de sí misma. Se llama variable dependiente a aquella cuyo valor depende del valor de otra variable. En este caso los fondos que reunirá la junta de vecinos (y) dependen de la cantidad de números de rifa que se vendan (x). Por lo tanto, x es la variable independiente e y la variable dependiente. Si se venden 400 números de la rifa, el dinero que reunirá la junta de vecinos será: y = 500 · 400 + 400 000 y = 600 000 Si se venden 400 números de la rifa, la junta de vecinos reunirá $ 600 000. 62 Unidad 3
  11. 11. Unidad Ejercicios individuales A. Calcula el valor de la variable dependiente cuando el valor de la variable independiente es igual a 5: a) y = 2x – 5 c) n = 10 – 2m e) y = 5 · (x – 10) y= n= y= b) w = 5z + 8 d) c = 5a – 20 f) -2x + 6 = y w= c= y= B. Señala en cada caso cuál es la variable dependiente (D) y cual la variable independiente (I): a) La cantidad de personas que asiste a un partido de fútbol. La recaudación del partido de fútbol. b) El número de años cursados por un estudiante universitario. Los años que le restan por cursar. c) El perímetro de un cuadrado. La medida de los lados del cuadrado. d) El precio del producto terminado. El precio de los materiales necesarios para fabricar el producto. e) El volumen de un cuerpo al irlo calentando. El tiempo durante el que va aplicándose calor. Problemas 1. Don Pedro vende helados a $ 200. a) ¿De qué depende la cantidad de dinero que recauda por las ventas? b) ¿Qué ecuación expresa la cantidad de dinero que don Pedro recaudará en la semana? c) Si don Pedro vende 420 helados en una semana, ¿cuánto dinero recaudará? 2. Fernando es 28 años más joven que su padre. a) ¿Qué edad tendrá Fernando cuando su padre tenga 56, 67 y 81 años? b) Señala la variable dependiente y la independiente y ex- plica cómo las identificaste. Ecuaciones y proporcionalidad 63
  12. 12. Relación directamente proporcional Los estudiantes del 8° C han decidido pintar la pared de la sala donde está ubicado el diario mural, cuya área es de 16 m2. Según lo que averiguaron con sus compañeros del 8º B, estiman que con 1 tarro Una cantidad y el por- de pintura pueden pintar 4 m2 de pared. centaje que representa de una cantidad fija, co- f ¿Cuántos tarros de pintura se necesitan para pintar la pared? rresponden a variables directamente proporcio- f Escribe la ecuación que relaciona el número de tarros de pintura y nales. Por ejemplo: la superficie que puede ser pintada. Cantidad % f ¿Qué superficie se podrá pintar con 9 tarros de pintura? 48 100 36 75 La siguiente tabla relaciona el área de pared que se puede pintar con un número determinado de tarros de pintura: 24 50 12 25 Tarros 1 2 3 4 6 12,5 Área [m2] 4 8 12 16 De la tabla se lee que con 4 tarros de pintura pueden pintarse los 16 m2 de la pared. El área de la pared y el número de tarros de pintura necesarios para pintarla, son dos variables que establecen una relación directamente Recuerda que cuando entre dos variables existe proporcional. una relación directamente proporcional, puedes Existe una relación directamente proporcional entre dos varia- ocupar la regla de tres bles cuando ambas varían en la misma razón, es decir, el cocien- directa para calcular algún te entre ellas es siempre el mismo. A este cociente se le llama valor desconocido. razón o constante de proporcionalidad directa. Si A y B son directamente proporcionales y A B Metros pared y 4 8 12 16 = = = = = =4 a1 b1 Tarros pintura x 1 2 3 4 a2 X La razón de proporcionalidad es 4. Entonces: y Como = 4, podemos despejar y obtener la ecuación que relaciona X= a2 · b1 x a1 la cantidad de metros cuadrados de pared y el número de tarros de pintura, que se necesitan para pintarla. y=4·x Si tenemos 9 tarros de pintura, x = 9. Por lo tanto: y = 4 · 9 = 36 Con 9 tarros de pintura se pueden pintar 36 m2. 64 Unidad 3
  13. 13. Unidad Ejercicios individuales A. Calcula la constante de proporcionalidad en las siguientes situaciones: a) Un joven recorre 2 cuadras en 10 minutos y 5 cuadras en 25 minutos. b) Clara hizo 20 galletas con 200 g de harina, María 30 galletas con 300 g de harina y Antonia 60 galletas con 600 g de harina. c) Un bus recorre 225 km en 2,5 horas y 378 km en 4,2 horas. B. Resuelve las siguientes situaciones planteando la ecuación correspondiente: a) Marcelo utiliza cada día una mina para su porta-mina. ¿Cuántas minas utilizará en una se- mana? b) Una máquina puede fabricar 5 000 ladrillos en 4 horas. ¿Cuántas podrá fabricar en 6 horas? c) Un taxista cobra $ 280 por cada 300 m recorridos. ¿Cuánto debería cobrar por un recorrido de 3 800 m si aplicara una tarifa proporcional? d) Un taxista cobra $ 270 por cada 3 minutos de recorrido. ¿Cuánto debería cobrar por un reco- rrido de media hora si aplicara una tarifa proporcional? e) Miguel se demoró 10 días en leer 1 libro. ¿Cuántos días se demoraría en leer 4 libros simi- lares? Problemas 1. Un artesano necesita 8 días para construir un barco de ma- dera. a) Si un coleccionista le ha encargado 5 barcos, ¿en cuántos días podrá terminarlos? b) ¿Cuántos barcos podrá construir en 24 días? Calcula la razón de proporcionalidad. c) Escribe la ecuación de proporcionalidad que relaciona el número de barcos hechos y el número de días que necesita el artesano en hacerlos. 2. Un perro consume 3 raciones de alimento al día. a) ¿Cuántas raciones de alimento consume el perro a la semana? b) ¿Cuántas raciones de alimento consumirá el perro en 12 días? c) Escribe la ecuación de proporcionalidad que relaciona el número de meses transcurridos y el número de raciones que el perro consume en esos meses. Considera meses de 30 días. Ecuaciones y proporcionalidad 65
  14. 14. Representación de una relación directamente proporcional Los alumnos y alumnas de octavo básico han organizado una obra de Enlace con… teatro para representar Noche de Reyes de W. Shakespeare en el gimnasio La Literatura del colegio, cuya capacidad es de 700 personas. Tras analizar la relación Noche de Reyes o la Duodé- costo-beneficio, decidieron cobrar $ 3 000 la entrada por persona. cima noche es una comedia teatral escrita por el poeta y f ¿Qué relación existe entre las entradas que se vendan y el dinero dramaturgo inglés William que genera su venta? Shakespeare (1564 - 1616) alrededor del 1600. Es f ¿Cuánto dinero esperan reunir los estudiantes? una de las comedias más populares de este autor y Entre el dinero generado y el número de entradas vendidas existe una ha sido llevada al cine y a la relación directamente proporcional. Los estudiantes pueden construir una televisión en innumerables tabla con el número de entradas que vendan y el ingreso respectivo: oportunidades. Número de Número de Ingreso Ingreso entradas entradas 0 $ 0 400 $ 1 200 000 100 $ 300 000 500 $ 1 500 000 200 $ 600 000 600 $ 1 800 000 300 $ 900 000 700 $ 2 100 000 Otra herramienta útil es un gráfico con los datos de la tabla: Gráfico de proporcionalidad directa La gráfica de una relación directamente proporcional 2 500 000 es una línea recta que debe, necesariamente, 2 000 000 Ingresos [$] pasar por el origen. 1 500 000 1 000 000 5000 000 0 0 100 200 300 400 500 600 700 Entradas La tabla de una relación directamente proporcional contiene los valores de las variables relacionadas. El gráfico de una relación directamente proporcional es el que representa los datos de esta tabla y corresponde a una línea recta. 66 Unidad 3
  15. 15. Unidad Ejercicios individuales A. Completa las tablas de relaciones directamente proporcionales entregadas en las siguientes situaciones. Calcula la constante de proporcionalidad y grafica: a) Un carpintero construye una puerta de madera en 1 día. Dos carpinteros construyen 2 puertas en 2 días. Número de Puertas por 6 carpinteros día Puertas por día 5 1 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0 0 1 2 3 4 5 6 6 Número de carpinteros b) Un ciclista viaja con rapidez constante. 42 Distancia [km] Tiempo [h] 36 6 1 30 Distancia [km] 12 24 18 3 12 4 6 5 0 36 0 1 2 3 4 5 6 7 7 Tiempo [h] 2. Los ingredientes necesarios para preparar un pastel de choclos para cuatro personas son: N° de choclos vs N° de personas 6 choclos, 4 presas de pollo, 0,25 kg de posta 14 picada, 2 cebollas, 1 taza de leche, 2 dientes de 12 ajo, 8 aceitunas, pasas, sal, comino y pimienta. 10 Choclos a) En la figura adjunta se muestra el gráfico de 8 proporcionalidad directa para los choclos. 6 Construye la tabla de proporcionalidad 4 directa a partir del gráfico. 2 b) Construye la tabla y el gráfico de proporcio- 0 nalidad directa para todos los ingredientes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 del pastel de choclo considerando 1, 2, 4, Personas 10 y 20 personas. Ecuaciones y proporcionalidad 67
  16. 16. Relación inversamente proporcional Los alumnos y alumnas de un curso quieren ir de paseo por un fin de semana a un camping. El dueño del camping cobrará al grupo $ 50 000 Recuerda que cuando por el fin de semana. El curso tiene 30 estudiantes y cada uno de ellos entre dos variables existe una relación inversamente no puede pagar más de $ 5 000 para ir al camping. proporcional, puedes f Si van todos los estudiantes del curso, ¿cuánto debe pagar cada uno? ocupar la regla de tres inversa para calcular algún f Si va solo la mitad, cuánto deberá pagar cada estudiante? valor desconocido. Si A y B son inversamente f ¿Cuántos estudiantes deben ir como mínimo para que cada uno proporcionales y gaste $ 5 000 o menos? A B Podemos observar que mientras más estudiantes vayan al campamento a1 b1 menos dinero tendrá que pagar cada uno, pero que siempre el producto a2 Y del número de alumnos y alumnas que vayan y el dinero que tienen que Entonces: pagar individualmente, debe ser 50 000. Esto quiere decir que existe una a1 · b1 relación inversamente proporcional entre el costo a cancelar por cada Y= a2 uno y la cantidad de estudiantes que asistan al campamento. Existe una relación inversamente proporcional entre dos variables cuando al aumentar una, la otra disminuye en la misma razón. Es decir, cuando el producto de las dos variables es el mismo. A este producto constante se le llama factor o constante de proporciona- lidad inversa. La constante o factor de Si van todos los estudiantes tenemos que dividir 50 000 : 30 ≈ 1667, proporcionalidad inversa entonces, podemos decir que cada uno tendrá que pagar $ 1 667. se obtiene calculando el producto de las dos va- Si va la mitad tenemos que dividir 50 000 : 15 = 3 333, es decir, cada riables involucradas. uno tendrá que pagar $ 3 333. Por último, tenemos que dividir 50 000 por 5 000 para averiguar cuántos estudiantes deben asistir para que cada uno pague $ 5 000 o menos. Es decir, deberán asistir al menos 50 000 : 5 000 = 10 estudiantes para que el precio a pagar sea inferior que $ 5 000. Si multiplicamos el número de estudiantes que asistirá al paseo por lo que debe pagar cada uno, siempre obtendremos 50 000. Podemos deducir entonces que la ecuación que relaciona el número de estudiantes que asiste al campamento y lo que tendrán que pagar cada uno es: y · x = 50 000 y: cantidad de estudiantes que asistirán al campamento. x: dinero que deberá cancelar cada estudiante. 68 Unidad 3
  17. 17. Unidad Ejercicios individuales A. Calcula la constante de proporcionalidad inversa de las variables relacionadas en los siguientes enunciados: a) Dos cargadores demoran 5 horas en cargar un camión con escombros. Cuatro cargadores demoran 2,5 horas en realizar el mismo trabajo. b) Si tengo un gato, el alimento me alcanza para un mes; si tengo dos gatos, el alimento alcanza para medio mes; si tengo tres gatos, el alimento alcanza para un tercio de mes. B. Las siguientes expresiones relacionan las variables a y b. Señala con un √ los casos en que las variables se relacionan en forma inversamente proporcional: a 1 1 a) =2 c) ·b=3 e) a = b a b b) a · b = 10 d) 5a · 5b = 5 f) b = 10a Problemas 1. Veinte obreros demoran 3 meses en construir el piso de un edificio. a) ¿Cuánto se demorarían 15 obreros en construir el mismo piso? b) ¿Cuántos obreros se necesitan para que tarden dos meses en construir el piso del edificio? c) Escribe la ecuación que relaciona el número de obreros con el tiempo que tardan en construir el piso del edificio. d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa entre el número de obreros y el tiempo que tardan en construir el piso del edificio? 2. Manuel tiene un hámster en su casa y una bolsa de alimento le alcanza para un mes. ¿Para cuánto tiempo le alcanzaría la bolsa si tuviera 3 hámsteres? 3. Tres andinistas perdidos en la montaña tienen alimento sufi- ciente para que una persona sobreviva 9 días. ¿Cuánto tiempo podrán sobrevivir los tres con este alimento? 4. Un grupo de 7 estudiantes realiza un trabajo de investigación y demoran 4 horas en escribir el informe. ¿Cuánto se demo- rarían 10 estudiantes en escribir el mismo informe? 5. Un grupo de 10 personas ha contratado un microbús de tu- rismo por $ 30 000 para recorrer el sur de Chile. Si deciden repartirse el gasto en partes iguales, ¿cuánto pagará cada persona?, ¿cuánto deberían pagar si fueran 8 personas? Ecuaciones y proporcionalidad 69
  18. 18. Representación de una relación inversamente proporcional Archívalo Los estudiantes de octavo básico de un colegio organizarán un cam- Una hipérbola es una curva peonato de futbolito con los octavos de otros colegio de su ciudad. Para que resulta de la intersec- esto arrendarán un gimnasio que tiene capacidad para 5 000 personas ción de un plano con dos a un costo de $ 5 000 000. La idea del Centro de estudiantes es costear secciones de cono circular recto. el arriendo del gimnasio y generar una utilidad de $ 10 000 000 con la venta de entradas. f ¿Cómo puedes visualizar la relación existente entre la cantidad de asistentes y el precio de las entradas? f ¿Cuál será el costo de cada entrada si el gimnasio se llena? ¿Y si asisten 3 000 personas? Entre el precio de la entrada y el número de asistentes al evento existe una relación inversamente proporcional. Una herramienta útil para visualizar esta relación es una tabla como la siguiente: Personas Precio Personas Precio Desafío al ingenio 100 $ 150 000 2 000 $ 7 500 Las variables A y B son 500 $ 30 000 3 000 $ 5 000 inversamente proporcio- nales, tal que A · B = K. Las 1 000 $ 15 000 4 000 $ 3 750 variables A y C también son inversamente proporciona- También es de gran utilidad graficar los datos de la tabla: les, verificando A · C = L. ¿Qué relación existe entre las variables B y C? Si Gráfico de proporcionalidad inversa esta relación es de pro- 160 000 porcionalidad, ¿cuál es 140 000 la constante? 120 000 Precio [$] 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 0 0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 Personas 70 Unidad 3
  19. 19. Unidad La tabla de una relación inversamente proporcional contiene los valores de las variables relacionadas. El gráfico de una relación inversamente proporcional es el que representa los datos de esta tabla y corresponde a una curva llamada hipérbola. Si el gimnasio se llenara, la entrada costaría $ 3 000; y si asisten 3 000 personas, costaría $ 5 000. Ejercicios individuales A. Completa las tablas de relaciones inversamente proporcionales entregadas en los siguientes problemas. Calcula la constante de proporcionalidad inversa y grafica. a) 1 persona demora 24 horas en pintar una casa. 2 personas demoran 12 horas en pintarla. Número de 30 Tiempo [h] personas Tiempo [h] 25 1 24 20 2 15 10 8 5 4 0 5 0 1 2 3 4 5 6 4 Número de personas b) 1 manguera demora 6 días en llenar una piscina. 2 mangueras demoran 3 días en llenarla. Número de 6 Tiempo [días] mangueras 5 Tiempo [días] 1 6 4 2 3 2 2 1 4 0 5 0 1 2 3 4 5 6 1 Número de mangueras 2. Luis celebrará su cumpleaños con sus amigos. Para agasajarlos compró una torta. a) ¿Qué fracción de la torta comerá cada invitado si asisten 3 amigos de Luis? b) ¿Qué fracción de la torta comerá cada invitado si asisten 5 amigos de Luis? c) Confecciona una tabla en la que se indique la fracción de torta que come cada participante considerando que no hay invitados, que acude 1 invitado, que acuden 2, etc. d) Construye un gráfico de líneas con los datos de la tabla anterior. Ecuaciones y proporcionalidad 71
  20. 20. Modelos matemáticos de proporcionalidad directa Enlace con… La Ciencia En la naturaleza existen muchas magnitudes que están relacionadas La aceleración de gravedad en forma directamente proporcional. Dos magnitudes que guardan tal varía de planeta en planeta. Su relación son la masa y el peso. valor depende de la masa del planeta y de su tamaño. La masa m es una medida de la cantidad de materia que contiene un Se calcula por la fórmula: cuerpo, mientras que el peso p es una medida de la fuerza con que la G·M Tierra atrae a este cuerpo. A mayor masa del cuerpo, mayor también g= R2 es la fuerza con que el cuerpo es atraído por la Tierra. Donde: G= 6,67 · 10-11 (constante). La relación entre masa y peso queda definida por la fórmula: M: masa del planeta (kg). R: radio del planeta (m). p = mg Los valores de la acelera- Evidentemente la constante de proporcionalidad directa es g, que ción de gravedad (medida en [m/s2]) en la superficie como sabemos, es prácticamente constante en las cercanías de la su- de los planetas del Sistema perficie de nuestro planeta y supondremos que vale 10 m/s2: Solar son: p Mercurio: 4,0 =g Venus: 8,2 m Tierra: 9,8 f ¿Cuál es el peso de un gato cuya masa es de 4 kg? Marte: 3,9 Sustituyendo el valor de la masa queda: Júpiter: 26,0 Saturno: 11,2 p = 4 · 10 = 40 N Urano: 10,3 Neptuno: 13,9 El peso del gato es de 40 N. De esta manera, la tabla de la relación entre masa y peso es: Masa [kg] 1 2 3 4 5 6 Desafío Peso [N] 10 20 30 40 50 60 al ingenio Tras una serie de mediciones Y el gráfico es: de dos variables relacio- nadas A y B, se elaboró la Gráfico Masa vs Peso siguiente tabla de datos: 100 90 A B 80 -2 1,2 70 Peso [N] 60 -1 0,6 50 0 0 40 30 1 0,6 20 2 1,2 10 0 ¿Cómo puedes modelar 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 esta relación? Masa [kg] 72 Unidad 3
  21. 21. Unidad En la naturaleza existen muchas magnitudes que están ligadas por una relación directamente proporcional, cuya expresión ma- temática es del tipo: y = Kx Con x e y las variables relacionadas y K la constante de propor- cionalidad directa. Ejercicios individuales A. Modela mediante la expresión matemática correspondiente las relaciones y completa las tablas que están más abajo. Considera g = 10 m/s2: a) Para un cuerpo cuya masa (m) permanece constante, la fuerza que se le aplica (F) y la ace- leración que adquiere debido a ella (a) son magnitudes directamente proporcionales entre sí. Considera que dispones de un bloque de 12 kg. Variable dependiente: Variable independiente: Constante: F [N] 96 126 220,8 288 Fórmula: a [m/s2] 8 14,2 22 F=m·a b) La energía potencial gravitatoria es aquella magnitud que posee un cuerpo debido a su po- sición respecto a la Tierra. Para un cuerpo cuya masa (m) permanece constante, la energía potencial gravitatoria (U) y la altura respecto a la superficie del planeta (h) son magnitudes directamente proporcionales entre sí. Considera que dispones de un bloque de 26 kg. Variable dependiente: Variable independiente: Constante: U [J] 1 040 3 380 8 580 Fórmula: h [m] 1 7 25 U = mgh c) Las equivalencias entre unidades monetarias corresponden a relaciones directamente pro- porcionales. Considera un día en que el valor del euro (€) es de 750 pesos chilenos ($). Variable dependiente: Variable independiente: Constante: € 1 4,5 12 Fórmula: $ 1 875 5 400 11 625 $ = k€ B. Unos investigadores realizaron dos experimentos, obteniendo los resultados que están en las tablas. Modélalos y determina si corresponden a relaciones directamente proporcionales: a) A 12 18 21,4 38 b) C 175 231,25 300 393,75 B 4,8 7,2 8,56 15,2 D 14 18,5 24 31,5 Fórmula matemática: Fórmula matemática: Constante: Constante: Ecuaciones y proporcionalidad 73
  22. 22. Modelos matemáticos de proporcionalidad inversa Cuando presionamos un cuerpo con la suficiente intensidad, este tiende Enlace con… a disminuir su tamaño o bien a deformarse. Por ejemplo, si presionas La Ciencia El químico británico Ro- un globo verás que puedes disminuir su volumen hasta cierto límite y bert Boyle (1627 - 1691) si continúas apretándolo, estallará. Estas son experiencias cotidianas fue uno de los primeros que fueron modeladas matemáticamente para sustancias gaseosas hace científicos que describió algunos siglos por el científico inglés Robert Boyle. en forma exhaustiva sus procedimientos, técnicas La “Ley de Boyle” dice que para una cantidad de masa gaseosa y observaciones, marcan- fija, la presión ejercida sobre él (P) y el volumen que ocupa (V) son do una diferencia con los químicos anteriores a su magnitudes inversamente proporcionales entre sí. época que realizaban sus experiencias en condiciones Matemáticamente esta relación la escribimos así: secretas y poco claras. Se PV = K dice que “aplicó el método científico a la alquimia”, y f ¿Cuál es el volumen de un gas (K = 30) si lo sometemos a una pre- que esto sentó las bases sión de 1,5 atm? para el enorme desarrollo de la química de los siglos Sustituyendo el valor de la presión queda: XVIII y XIX. 1,5 · V = 30 30 V= = 20 L 1,5 La disposición de las El volumen del gas es de 20 L. hipérbolas en el plano depende del valor del De esta manera, la tabla de la relación entre presión y volumen es: factor de proporcionalidad K. Observa: Presión [atm] 0,5 1 1,5 2 2,5 3 H1 H2 H3 Volumen [L] 60 30 20 15 12 10 Y el gráfico es: Gráfico Volumen vs Presión 70 60 50 Volumen [L] 0 x K1 40 H1: Y = X 30 K2 H2 : Y = 20 X K3 10 H3: Y = Y 0 En este caso K3 > K2 > K1. 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Presión [atm] 74 Unidad 3
  23. 23. Unidad En la naturaleza existen muchas magnitudes que están ligadas por una relación inversamente proporcional, cuya expresión ma- temática es del tipo: xy = K Con x e y las variables relacionadas y K la constante de propor- cionalidad inversa. Ejercicios individuales A. Indica con un √ cuál o cuáles de las siguientes situaciones que involucran dos magnitudes pueden ser modeladas mediante una fórmula de proporcionalidad inversa: a) _____ La rapidez de un bus (v) y el tiempo (t) que demora en recorrer una distancia fija. b) _____ El número de vigas (n) distribuidas uniformemente que mantienen una construcción y el peso que soporta cada una (p). c) _____ La cantidad de habitantes de una ciudad (N) y la cantidad de atenciones de urgencia (M) que hay en el único centro hospitalario de ella. d) _____ El peso de un automóvil (p) y la rapidez con que se desplaza por la carretera (v). e) _____ La cantidad de camiones de una flota de transportes (N) y el tiempo que (t) demoran en transportar una carga fija. Ejercicios grupales A. En grupos de dos estudiantes determinen los valores que debe adquirir la variable B dados los valores de A, de manera que las variables A y B estén ligadas por una relación inversamente proporcional a través de la constante que se indica en cada caso: a) K = 0,5 b) K = 3 c) K = 120 A B A B A B 1 0,5 12 2 1 24 3 1,5 48 4 2 96 5 2,5 192 B. Expresen la fórmula matemática que relaciona las variables E y F a partir de las tablas de datos que están a continuación: a) b) c) E F E F E F 4 3 1,8 2,5 0,2 24 8 1,5 3 1,5 0,25 30 12 1 4 1,125 0,3 36 16 0,75 20 0,225 0,35 42 Ecuaciones y proporcionalidad 75
  24. 24. Funciones Archívalo A un arquitecto se le ha encargado construir una casa en un bal- Las condiciones formales neario. El tiempo que demore en construir la casa dependerá del que debe cumplir una fun- ción de un conjunto A en número de obreros que contrate. La cantidad de obreros y el tiempo un conjunto B son: que se demorarán en construir la casa están ligados por una relación Existencia: todos los ele- inversamente proporcional. Según las estimaciones del arquitecto, si mentos de A están rela- contrata 6 obreros demorarán 10 días en terminar la casa. Por razones cionados con elementos de B. de presupuesto, el arquitecto no puede contratar más de 6 obreros y Unicidad: cada elemento por razones de tiempo, no puede emplear menos de 2 obreros. de A está relacionado solo con un elemento de B. f Escribe la ecuación que relaciona el número de obreros y el tiempo que demorarán en construir la casa. f Escribe algunos valores de la relación y dibuja un diagrama con ellos. Las funciones pueden La ecuación que relaciona el número de obreros (N) y el tiempo que ser representadas en un gráfico. Por ejemplo la demorarán en construir la casa (T) es: función f de X en Y: N · T = 60 ƒ Número de obreros Tiempo [días] N T X Y 2 30 0 1 3 20 1 3 4 15 2 5 5 12 3 7 6 10 La gráfica es: El conjunto de los valores que puede tomar N es {2, 3, 4, 5, 6} y el y 8 conjunto de valores que puede tomar T es {10, 12, 15, 20, 30}. 7 Observa el siguiente diagrama: 6 ƒ 5 N T 4 3 2 30 2 3 20 1 4 15 0 5 12 0 1 2 3 4 5 x 6 10 Si te fijas, cada elemento del conjunto N está relacionado con uno y solo uno de los elementos del conjunto T. 76 Unidad 3
  25. 25. Unidad Dados dos conjuntos A y B, una función ƒ es una relación entre estos dos conjuntos tal que cada elemento del conjunto A está El dominio de una función relacionado con un único elemento del conjunto B. coincide con el conjunto desde el que parte la función (en el ejemplo, Diremos que la relación inversamente proporcional existente entre el conjunto N), pero el la cantidad de obreros y el tiempo que demoran en construir la casa, recorrido no siempre coincide con el conjunto corresponde a una función f del conjunto N en el conjunto T. al que llega la función (en El dominio (Dom) de una función son todos los valores desde los el ejemplo, el conjunto T). En el problema estudiado que sale una flecha y su recorrido (Rec) son todos los valores a los que sí coinciden, pero esto no llega una flecha. En el caso del ejemplo tenemos: es una generalidad. Dom ƒ = {2, 3, 4, 5, 6} Rec ƒ = {10, 12, 15, 20, 30} Ejercicios individuales A. Determina el dominio y el recorrido de cada función a) ƒ b) g a 1 1 4 b 2 2 8 c 3 3 12 d 4 4 16 e 5 5 20 24 Dom ƒ = { } Dom g = { } Rec ƒ = { } Rec g = { } B. Determina el dominio y el recorrido de las funciones que se describen. Dibuja un diagrama que represente cada función. a) Un artículo vale $ 10. En el almacén sólo b) y = 3x + 1. x sólo puede adquirir valores enteros quedan 6 artículos. mayores que 7 y menores que 14. ƒ g Artículos $ x y 1 10 8 25 Dom ƒ = { } Dom g = { } Rec ƒ = { } Rec g = { } HIPERTEXTO Desarrollo Ecuaciones y proporcionalidad 77
  26. 26. Resolución de problemas Temperatura Volumen Problema modelo [K] [ml] Un alumno está estudiando la relación que existe entre el volumen y la temperatura en un gas cuando la presión de este se mantiene constan- 293,80 452 te. Para esto, llenó un globo con el gas y fue variando la temperatura, 323,70 498 registrando los datos que están en la tabla. 365,95 563 a) Grafica los datos de la tabla. ¿Qué tipo de relación hay entre el vo- 416,65 641 lumen y la temperatura? 458,25 705 b) Plantea y resuelve la ecuación que permite predecir la temperatura cuándo el volumen es de 800 ml. a) Entiende: ¿Qué sabes del problema? • Las variables volumen y temperatura están relacionadas y que esta relación se expresa en la tabla. b) Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema? • Graficamos las variables volumen y temperatura. Si obtenemos una recta, la relación es directa- mente proporcional y si obtenemos una hipérbola, la relación es inversamente proporcional. • Calculamos la constante de proporcionalidad y planteamos la ecuación correspondiente. • Para calcular la temperatura desconocida reemplazamos V = 800 ml y despejamos T. c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta Gráfico Volumen vs Temperatura 293,8 800 k= = 0,65 700 452 T Volumen QmlU 600 500 = 0,65 400 V 300 T 200 Si V = 800 ml, entonces = 0,65. 800 100 Por lo tanto: 0 0 100 200 300 400 500 T = 800 · 0,65 = 520 K Temperatura QKU d) Responde: Contesta las preguntas del problema • Entre el volumen y la temperatura de un gas existe una relación directamente proporcional. • La temperatura para un volumen de 800 ml es de 520 K. e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado T • Podemos verificar que para todos los datos de la tabla, el cociente es igual a 0,65 V 78 Unidad 3
  27. 27. Unidad Problema 1 La siguiente tabla muestra distintos valores de presión y temperatura Temperatura Presión para un gas cuando su volumen se mantiene constante. [K] [Pa] a) Grafica los datos de la tabla. ¿Qué tipo de relación hay entre la tem- 295,00 103,25 peratura y la presión? 323,70 113,295 b) Calcula la constante de proporcionalidad según corresponda. 365,95 128,0825 c) Plantea y resuelve la ecuación que permite predecir la presión cuando la temperatura es de 380 K. 416,65 145,8275 Problema 2 Número de Precio por El director de un colegio contrató a un actor profesional para hacer clases estudiantes estudiante de teatro a los estudiantes. El actor aceptará un mínimo de 10 alumnos 10 $ 3 000 y alumnas y un máximo de 30. La tabla muestra cuanto debería pagar 15 $ 2 000 cada estudiante según la cantidad de inscritos en la clase de teatro. a) Grafica los datos de la tabla y descubre qué tipo de relación hay entre 20 $ 1 500 las dos variables. 25 $ 1 200 b) Calcula la constante de proporcionalidad. 30 $ 1 000 c) Si se permitiera que 40 estudiantes tomaran el curso de teatro, ¿cuánto debería pagar cada uno? Problema 3 Pastel El gráfico muestra la relación existente entre la cantidad de 10 harina necesaria para preparar un pastel y la cantidad de 8 personas que podrían comerlo. Personas 6 a) ¿Qué tipo de relación hay entre las dos variables que se muestran en el gráfico? 4 b) A partir del gráfico construye una tabla y luego calcula la 2 constante de proporcionalidad. 0 c) ¿Qué cantidad de harina se necesitaría para que 25 per- 0 100 200 300 400 500 sonas comieran del pastel? Harina [g] Problema 4 En el acelerador de partículas europeo CERN un joven físico expe- rimenta con una nueva partícula –que ha llamado partícula qoppa–. Sus estudios le han permitido deducir que el número de partículas que aparecen por centímetro cuadrado y por segundo, es directamente proporcional a la rapidez con que se mueve la partícula de alta energía a partir de la que se generan. Para una rapidez de 0,75c, se generan 18 partículas qoppa. a) Calcula la constante de proporcionalidad. b) Si la partícula de alta energía se mueve a 0,875c, ¿aproximadamente, cuántas partículas qoppa se generarán por segundo y por centímetro cuadrado? c) Si se generan 16 partículas por segundo y por centímetro cuadrado, ¿con qué rapidez se mueve la partícula de alta energía? Ecuaciones y proporcionalidad 79
  28. 28. Tecnología activa Representación gráfica de relaciones proporcionales El comportamiento de los gases ideales fue ampliamente estudiado por científico de los siglos XVII y XVIII. Las relaciones que se descubrieron empíricamente fueron modeladas usando relaciones directa e inversamente proporcionales. Las magnitudes que determinan el estado de un gas son la presión (P), el volumen (V) y la temperatura (T). A continuación gra- ficaremos en Excel la relación existente entre dos de ellas manteniendo constante la tercera. 1. Construcción de planilla de cálculo para P y V. Manteniendo constante la temperatura, el modelo matemático que describe el comporta- miento de la presión y el volumen de un gas ideal es: PV = K (Ley de Boyle) Por lo tanto, la presión y el volumen son magnitudes que presentan un comportamiento inversa- mente proporcional, al aumentar uno, el otro disminuye en la misma razón, y viceversa. Consideremos los datos de un gas obtenidos en un experimento a temperatura constante: P [atm] 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 V [L] 12 8 6 4,8 4 3,43 3 2,67 2,4 ❯ Crea un archivo, llámalo “Leyes de los gases”. ❯ Ingresa los datos de la tabla como se indica en la imagen. ❯ Haz clic en el ícono , selecciona el gráfico tipo Líneas y haz clic en Serie. Si hay una o más series ya definidas quítalas y presiona Agregar. ❯ En Nombre anota “Gráfico P versus V”; en Valores haz clic en , selecciona los valores numéricos de la columna V y haz clic en ; y en Rótulo eje de categorías (X) haz clic en , selecciona los datos numéricos de la columna P y nuevamente haz clic en . Gráfico P versus V ❯ En la siguiente ventana selecciona 14 Títulos y pon a los ejes los nombres 12 Volumen [L] que corresponde, Presión [atm] para 10 8 el eje horizontal y Volumen [L] para 6 el vertical. 4 2 ❯ Finaliza tu trabajo. El gráfico debe 0 verse como indica la figura. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 Presión [atm] 80 Unidad 3
  29. 29. Unidad 2. Construcción de planilla de cálculo para P y T. Manteniendo constante el volumen de una gas ideal y midiendo los cambios en su tempe- ratura (expresada en kelvin) producto de variaciones de presión, podemos establecer que el modelo matemático que representa estos cambios es: P = KT (Ley de Gay-Lussac) Por lo tanto, la presión y la temperatura son magnitudes que presentan un comportamiento directamente proporcional, vale decir, al aumentar uno, el otro aumenta en la misma razón, y viceversa. Para graficar esta relación trabajaremos con datos de presión de 0; 0,4; 0,8; 1,2; 1,6; 2; 2,4; 2,8 y 3,2. Los valores de temperatura los calcularemos considerando una constante de pro- porcionalidad K = 0,01. ❯ Haz clic en Hoja 2 de tu archivo. ❯ Ingresa los datos de presión en la columna A. ❯ En la celda B2 anota “=A2/0,01” y arrastra esta fórmula hasta la celda B10. Tu planilla debe verse como la figura del costado. ❯ Haz clic en el ícono , selecciona el gráfico tipo Líneas y haz clic en Serie. Si hay una o más series ya definidas quítalas y presiona Agregar. ❯ En Nombre anota “Gráfico P versus T”; en Valores, selecciona los valores numéricos de la columna Gráfico P versus T T; y en Rótulo eje de categorías 350 (X) selecciona los datos numéricos 300 Temperatura [K] de la columna P. 250 ❯ En la siguiente ventana selec- 200 ciona Títulos y pon a los ejes 150 los nombres que corresponde, 100 Presión [atm] para el eje hori- 50 zontal y Temperatura [K] para 0 el vertical. 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 Presión [atm] ❯ Finaliza tu trabajo. El gráfico debe verse como indica la figura. 3. Aplicando lo aprendido. a) Grafica la relación P versus V para los b) Grafica la relación P versus T para datos medidos de volumen 2, 4, 6, 8, 10, los datos de temperatura de 100, 110, 12 y 14 litros y una constante K = 4. 120, 130, 140, 150 y 160 kelvin y una ¿Qué forma tiene la gráfica obtenida? constante K = 0,2. ¿Qué forma tiene la gráfica obtenida? Ecuaciones y proporcionalidad 81
  30. 30. Síntesis de la unidad Ficha1 Una variable independiente es aquella cuyo valor solo depende de sí misma. Una variable dependiente es aquella cuyo valor depende del valor de otra variable. Ficha 2 Ficha 3 Entre dos variables existe una relación direc- La tabla de una relación directamente tamente proporcional cuando ambas varían proporcional es una tabla que contiene en la misma razón y el cociente entre ellas es las variables relacionadas en forma direc- siempre un mismo número, llamado constante tamente proporcional. El gráfico de una o razón de proporcionalidad directa. relación directamente proporcional es el que representa los datos de esta tabla y corresponde a una línea recta que pasa por el origen. Ficha 4 Entre dos variables existe una relación inversamente pro- porcional cuando al aumentar una la otra disminuye en la misma razón. El producto de las dos variables relacionadas es siempre un mismo número, llamado constante o factor de proporcionalidad inversa. Ficha 5 La tabla de una relación inversamente proporcional es una tabla que contiene las variables que están relacionadas en forma inversamente proporcional. El gráfico de una relación inversamente proporcional es el que representa los datos de esta tabla y corresponde a una línea curva llamada hipérbola. Ficha 6 Un modelo matemático de proporciona- Ficha 7 lidad directa es una ecuación matemática que relaciona las variables involucradas. Un modelo matemático de proporciona- La ecuación que generaliza una relación lidad inversa es una ecuación matemática directamente proporcional es y = K · x. que relaciona las variables involucradas. La ecuación que generaliza una relación inver- samente proporcional es y · x = K. Ficha 8 Dados dos conjuntos A y B, una función ƒ entre ambos es una relación que relaciona cada elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto B. HIPERTEXTO 82 Unidad 3 Síntesis
  31. 31. Unidad I Evaluación Ejercicios de desarrollo A. En las siguientes ecuaciones encuentra el valor de la variable desconocida: a) x + 2y = 12 d) 2x + 6z – 20 = 0 Si x = 6, entonces y = . Si x = 1, entonces z = . b) w – 2z = 3 e) 5x = 3y Si w = , entonces z = 1. Si x = , entonces y =10. c) 3x + 2y = 1 f) 2x + 2y + 30 = 14 Si x = 1, entonces y = . Si x = -5, entonces y = . 2. Determina si las siguientes variables se relacionan en forma directamente proporcional (PD), inversamente proporcional (PI) o no hay proporcionalidad entre ellas (NP). Grafica en Excel y calcula la constante de proporcionalidad si corresponde. a) x y PD PI NP 1 3 3 9 Constante: 6 18 9 27 Modelo matemático: 12 36 b) x y PD PI NP 4 28 8 10 Constante: 10 70 12 60 Modelo matemático: 15 30 c) x y PD PI NP 4 35 5 28 Constante: 7 20 Modelo matemático: 10 14 14 10 Ecuaciones y proporcionalidad 83
  32. 32. 3. Dados los siguientes gráficos identifica cuál representa proporcionalidad directa y cuál propor- cionalidad inversa. Determina en cada caso la constante de proporcionalidad correspondiente e incorporar a las tablas los datos destacados en rojo: a) b) B D 80 100 70 90 80 60 70 50 60 40 50 30 40 30 20 20 10 10 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C Tipo de proporcionalidad: Tipo de proporcionalidad: Constante de proporcionalidad: Constante de proporcionalidad: Modelo matemático: Modelo matemático: A B C D 4. Marca con un √ las relaciones que son funciones: a) b) c) ƒ g h 0 0 2 A 1 1 1 1 4 B 2 3 2 2 6 C 3 5 3 3 8 D 4 7 4 4 E 5 9 F 6 11 84 Unidad 3
  33. 33. Unidad II Ejercicios con alternativas Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la tabla que allí aparece. a La suma de las edades de Carolina (x) y 5 3 pintores demoran 21 días en pintar un edi- Andrea (y) es 40. ¿Cuál de las siguientes ficio. ¿Cuántos días demorarán 7 pintores? ecuaciones expresa esta información? a) 12 días a) x + y = 40 b) 20 días b) x – y = 40 c) 9 días c) x · y = 40 d) 18 días d) x + y + 40 = 0 2 Hay ocho personas invitadas a tomar té en la f Según los datos de la tabla, ¿para cuántos casa de Victoria. Ella encuentra una receta niños alcanzarán 25 bebidas? de un pastel para 20 personas que sugiere Bebidas 1 5 10 15 utilizar 800 gramos de harina ¿Cuánta harina debe utilizar para 8 personas? Niños 6 30 60 90 a) 400 g a) 120 niños b) 750 g b) 150 niños c) 320 g c) 200 niños d) 300 g d) 240 niños c ¿Cuál es la ecuación que representa la g Los alumnos y alumnas de un curso rea- relación inversamente proporcional entre lizarán una choripanada. El kilogramo de dos variables X e Y, si la constante de pro- longanizas cuesta $ 3 300. ¿Cuánto cuestan porcionalidad inversa es 33? 2,5 kilogramos de longanizas? 33 a) $ 8 250 a) Y = X b) $ 3 500 b) Y = 33X c) $ 8 200 1 d) $ 8 500 c) X = Y d) X = Y 4 Observa la tabla. ¿Qué tipo de relación hay 8 ¿Cuál es la constante de proporcionalidad entre las variables A y B? inversa para las variables X e Y? A 3 4 5 6 7 X 1 2 3 4 B 15 20 25 30 35 Y 15 7,5 5 3,75 a) Relación inversamente proporcional. a) 0,06 b) No hay relación entre las variables. b) 0,26 c) Relación directamente proporcional. c) 15 d) Ninguna de las anteriores. d) 17 HIPERTEXTO Evaluación Ecuaciones y proporcionalidad 85
  34. 34. 5 Unidad Cuerpos redondos Red conceptual Cilindro descripción de Elementos Cuerpos construcción Cono usando Redes redondos cálculo de Áreas y volúmenes Esfera 116

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