SFC Design theory 2012 6/13

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慶應義塾大学SFC大学院授業「デザインセオリー」第9回の講義資料です

SFC Design theory 2012 6/13

  1. 1. Design Theory第9回 2012 6/13 村松 充 政策・メディア研究科 後期博士課程3年目 X-Design Program 山中デザイン研究室
  2. 2. Lecture Theme CAXD -Computer Aided X-Design- ■3DCG基礎  ー3次元表現のための数学基礎 ■滑らかな形の科学  ー3D CAD による形状表現 ■自然、物理学と形 ■コンピューターによるX-Design  ー動きのデザイン、シミュレーション  ーアルゴリズムによる形状生成
  3. 3. Lecture Theme CAXD -Computer Aided X-Design- ■3DCG基礎  ー3次元表現のための数学基礎 ■滑らかな形の科学  ー3D CAD による形状表現 ■自然、物理学と形 ■コンピューターによるX-Design  ー動きのデザイン、シミュレーション  ーアルゴリズムによる形状生成
  4. 4. Lecture 2 滑らかな形の科学 滑らかな形状をCADでモデリングするために必要な 曲線の性質、理論、数学を学ぶ
  5. 5. Lecture 2 「滑らかさ」は数学的に定義することが出来る 美しい形の作り方を教える事は難しい 「滑らか」な形を作るための理論を知る事は 美しい形を作るための助けになる。(と思っています)
  6. 6. Computer Aided Design CAD ーコンピューター支援設計ー 製品の形状、その他の属性データからなるモデルを、 コンピュータの内部に作成し解析・処理することに よって進める設計 JIS(日本工業規格) における定義
  7. 7. Computer Aided Design CAD ーコンピューター支援設計ー 主にハードウェアを対象として、設計対象に合わせた 様々なソフトウェアが開発されている。 ex) 車、製品筐体、機械、建築、電子回路
  8. 8. Computer Aided Design 主なモデリングのシステム サーフェスモデリング ワイヤーフレームに面を張っていくことで形状を生成 - Rhinoceros, Autodesk Alias, ...etc ソリッドモデリング 塊(ソリッド)のモデルに操作を加える事で形状を生成 - Solidworks, Autodesk Inventor, ...etc ポリゴンモデリング ポリゴンを操作して形状を生成(CADでは使われない) - Blender, Autodesk Maya, modo ...etc ※上に挙げたのはそのソフトが得意とするモデリング手法ですが  ほとんどのソフトが複数のモデリング手法に対応しています
  9. 9. Computer Aided Design 主なモデリングのシステム サーフェスモデリング ワイヤーフレームに面を張っていくことで形状を生成 複雑な曲面を作成出来るため、主に車のボディや 工業製品の外装等の意匠面の設計に用いられる
  10. 10. Computer Aided Design 主なモデリングのシステム ソリッドモデリング 塊(ソリッド)のモデルに操作を加える事で形状を生成 モデリングの履歴を保持出来るため、後から設計パラメーター を変更する機械部品の設計等に用いられる
  11. 11. Computer Aided Design 主なモデリングのシステム 複雑な曲面ー滑らかな線、面ーのモデリングには 主にサーフェスモデリングが用いられる。 サーフェスモデリングにおいて重要な 「滑らか」な曲線、曲面の概念を理解する
  12. 12. Computer Aided Design Smooth Curve 「滑らか」とは?
  13. 13. Computer Aided Design Smooth Curve 「滑らか」な曲線は?
  14. 14. Computer Aided Design Smooth Curve 「滑らか」な曲線は?
  15. 15. Computer Aided Design 直線 円弧 直線
  16. 16. Computer Aided Design 直線 円弧 直線
  17. 17. Computer Aided Design Smooth Curve 車の動きとステアリングの角度の関係 θ 動く前の車の向きから θだけ回転した方向に L Lの距離進む
  18. 18. Computer Aided Design ステアリングを一定角度に 保っていると、一定の半径の θ 円弧を描くように動く 車の動きの軌跡は、ハンドル の角度に反比例する半径の大 きさの円弧の集合になる
  19. 19. Computer Aided Design ー車体の向きをΦ ーステアリングの向きをθ Φ ー単位時間に移動可能な距離をL θ とすると 一定時間後の車の位置は X = L*cos(Φ+θ) Y = L*sin(Φ+θ)
  20. 20. Computer Aided Design Smooth Curve
  21. 21. Computer Aided Design Smooth Curve クロソイド曲線
  22. 22. Computer Aided Design Smooth Curve 直線 滑らかなカーブ 直線
  23. 23. Computer Aided Design Smooth Curve ハンドルの傾きを徐々に変化させ て曲がることが出来るカーブが 「滑らか」なカーブ
  24. 24. Computer Aided Design Smooth Curve CAD、工業製品の曲線/曲面において 「滑らかさ」はどのような意味を持つか?
  25. 25. Computer Graphics Basic Environmental Mapping 映り込みの表現 前回説明した拡散反射光、鏡面反射光に加えて、 金属や磨かれた樹脂表面では、周りの景色が映り込む
  26. 26. Computer Graphics Basic Environmental Mapping ー環境マッピングー 映り込みを表現するために物体の外側の球面に景色等の テクスチャを張りつけ、反射して見える景色を近似的に 計算し、映り込みを表現する。
  27. 27. Computer Graphics Basic Environmental Mapping 反射 視点 物体
  28. 28. Computer Graphics Basic Environmental Mapping nV n * refEV refEV R eV eV |eV|*cos(θ)*nV P(x,y) θ
  29. 29. Computer Graphics Basic Environmental Mapping ーサンプルプログラムー http://www.openprocessing.org/sketch/63980
  30. 30. Computer Graphics Basic Environmental Mapping ーCADソフト上で確認ー
  31. 31. Computer Graphics Basic Environmental Mapping ーCADソフト上で確認ー
  32. 32. Computer Graphics Basic Environmental Mapping ーCADソフト上で確認ー
  33. 33. Computer Aided Design Smooth Curve ハンドルの傾きを徐々に変えながら走る車の軌跡のような 「滑らか」な曲線を使用する事は 曲面上の綺麗な映り込みを実現するために重要である
  34. 34. Computer Aided Design Smooth Curve 「ハンドルの傾きが徐々に変わる」 曲面の性質としてはどのように定義することが出来るか?
  35. 35. Computer Aided Design Smooth Curve ステアリングを一定角度に 保っていると、一定の半径の θ 円弧を描くように動く 車の動きの軌跡は、ハンドル の角度に反比例する半径の大 きさの円弧の集合になる
  36. 36. Computer Aided Design Smooth Curve ステアリングを一定角度に保っていると、一定の半径 の円弧を描くように動く 車の動きの軌跡は、ハンドルの角度に反比例する半径 の大きさの円弧の集合になる 曲線Sを、ハンドルの角度θで微小な時間 Δt 走った時の軌道である円弧ΔS の集合と定義 ※実際の車ではハンドルの角度と車の向き(タイヤの傾き)は一致しま せんが、ここでは簡略化のためこのようなモデルとして定義します。
  37. 37. Computer Aided Design Smooth Curve 曲線Sを、ハンドルの角度θで微小な時間 Δt 走った時の軌道である円弧ΔS の集合と定義 「ハンドルの角度θが徐々に変化する」という ことは「θによって決まる円弧ΔS の曲がり具 合が徐々に変化する」ことである。 曲がり具合がなだらかに変化する →曲線が滑らかである
  38. 38. Computer Aided Design Smooth Curve 曲がり具合の定義 角度θによって決まる微小な円弧の曲がり具合 (カーブの急さ)はその円弧の半径に反比例する。 R1 R2 R1>R2
  39. 39. Computer Aided Design Smooth Curve 曲がり具合の定義 曲線を細かくわけた時に出来る微小な 円弧の半径を「曲率半径」 曲率半径に反比例する曲がり具合を表す パラメーターを「曲率」 と定義
  40. 40. Computer Aided Design Smooth Curve 曲率半径を求める Δ Δθ (曲率半径) R θ ΔS Φ Φ+Δθ
  41. 41. Computer Aided Design Smooth Curve 曲率半径を求める Δ ΔS = R*Δθ θ R = ΔS / Δθ θ (曲率半径) R Δ ΔS
  42. 42. Computer Aided Design Smooth Curve 曲率半径を求める ΔS C(t+Δt) [x+Δx,y+Δy] C(t) [x,y]
  43. 43. Computer Aided Design Smooth Curve 曲率半径を求める Δ v Δθの求め方は少しややこしいので v+ 割愛します。 Δv(接線の変化率)で表せる事に着目 v v Δ Δv |v| = |v+Δv|=1 とする v+ Δθ Δvは微小なので |Δv| = |v|*Δθ v
  44. 44. Computer Aided Design Smooth Curve 曲率の定義 曲率(曲線上のある点における曲がり具合) 1 C=ー R (曲率半径の逆数) Δθ C=ー ΔS
  45. 45. Computer Aided Design Smooth Curve 曲率半径を求める 曲率半径を求めるには、曲線の接線の変化率を用いる 接線:曲線の傾き、曲線の変化率 →曲線の一階微分 曲率:曲線の曲がり具合、接線の変化率 →曲線の二階微分
  46. 46. Computer Aided Design Smooth Curve 滑らかな曲線 曲率が連続している曲線 →曲線の二階微分が連続している
  47. 47. Computer Aided Design Curve Continuity 曲線の連続性 C0連続 (位置連続) 位置が連続している曲線 C1連続 (接線連続) 接線(一階微分)が連続している曲線 C2連続 (接線連続) 曲率 (二階微分) が連続している曲線 … Cn連続 n階微分 が連続している曲線
  48. 48. Computer Aided Design Curve Continuity Gn連続 CADのソフトウェア上では、 Cn連続性ではなく、 Gn連続性が用いられる。 Gn連続性は「許容される範囲内で」n階の連続性が 保たれる、という意味で、数学的に厳密でないプロ グラム上ではGn連続性が用いられる。
  49. 49. Computer Aided Design Bezier Curve ベジェ曲線の連続性
  50. 50. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線
  51. 51. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線
  52. 52. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線
  53. 53. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線 一階微分 二階微分
  54. 54. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線 3次のベジェ曲線は、曲線上すべての点で曲率 が連続している。(G2連続である) n次のベジェ曲線 n次のベジェ曲線は、曲線上すべての点でG(n-1) 連続になる。
  55. 55. Computer Aided Design PA1 PA2 Bezier Curve 3次のベジェ曲線の接続 PA0 PB0 PA3 PB2 PB1 PB3 PA3 = PB0 であれば、位置連続 (曲線は接続されている)
  56. 56. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線の接続 接線連続で接続する条件 Ba(1)と Bb(0) での接線(微分)が等しければ、 2曲線は接線連続になる。
  57. 57. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線の接続 接線連続で接続する条件
  58. 58. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線の接続 接線連続で接続する条件 PA3 - PA2 PB1 - PB0
  59. 59. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線の接続 曲率連続で接続する条件 Ba(1)と Bb(0) での曲率(二階微分)が等しければ、 2曲線は曲率連続になる。
  60. 60. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線の接続 曲率連続で接続する条件
  61. 61. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線の接続 曲率連続で接続する条件

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