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Matemática conjuntos

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Slides para 4 aulas sobre Conjuntos. As aulas são intercaladas de exercícios com os alunos.

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Matemática conjuntos

1. 1. Conjuntos Conjunto: conjunto é um grupo ou 1. Reescreva cada conjunto abaixo oucoleção de coisas. por enumeração de seus elementos ouEm matemática normalmente nos através de uma propriedade:interessamos por conjuntos numéricos. a. A = {x ∈ IN / x < 4}Representações de um conjunto: A = {0, 1, 2, 3}• por enumeração de seus elementos: b. B = {x ∈ IN / x > 10} A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {11, 12, 13, ...}• através do diagrama de Venn: c. C = {x ∈ IN / x < 8 e x é impar} C = {1, 3, 5, 7} A 2 d. D = {5, 6, 7, 8, 9} 1 0 D = {x ∈ IN / 5 ≤ x < 10} 3 4 5 e. E = {0, 5, 10, 15, 20}• através de uma propriedade: E = {x ∈ IN / x ≤ 20 e x é múltiplo de 5} A = {x ∈ IN / x < 6} f. F = {2, 3, 5, 7, 11, 13} A = {x ∈ IN / x ≤ 5} F = {x ∈ IN / x < 15 e x é primo} A = {x ∈ IN / 0 ≤ x ≤ 5} ... Milton Sgambatti Júnior álgebra
2. 2. ConjuntosRelações de pertinência: Importante: Os símbolos de pertenceUsamos o símbolo de pertence ( ∈ ) ou ( ∈ ) ou de não pertence ( ∉ ) só devemo de não pertence ( ∉ ) para indicar se ser utilizados entre um elemento e seuum elemento pertence ou não a um conjunto.conjunto. 3. Dado o conjunto A = {0, 1, 2, {2}, 3},Dado o conjunto A = {0, 1, 5, 7, 9}, complete as lacunas com ∈ ou ∉.podemos dizer que: a. 1 ∈ A d. {3} ∉ A0∈A 2∉A ... b. 2 ∈ A e. 3 ∈ A1∈A 8∉A c. {2} ∈ A f. {1, 2} ∉ A2. Dado o conjunto A = {0, 1, 2, {3}, 4},complete as lacunas com ∈ ou ∉. Importante: Existe uma lista dos símbolos mais utilizados na página 10a. 0 ∈ A d. {3} ∈ A do livro Exercícios de matemática –b. 5 ∉ A e. 4 ∈ A volume 1 (livro rosa).c. 3 ∉ A f. ∅ ∉ A Milton Sgambatti Júnior álgebra
3. 3. ConjuntosAnálise de diagramas de Venn-Euler: Elementos que pertencem a A e B: {2, 4}Observe: Elementos que pertencem a A ou B: U {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} A B Elementos que pertencem apenas a A: 1 2 0 {1, 3, 5} 5 3 4 6 8 Elementos que não pertencem nem a A, nem a B: {7, 9} 7 9 4. Dados os conjuntosDo diagrama acima podemos concluir: A = {1, 3, 5, 7}A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 3, 4} e U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, desenhe umB = {0, 2, 4, 6, 8} diagrama de Venn para representá-los:U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A B UO conjunto Universo ( U ) é o conjunto 5 1 2ao qual pertencem todos os elementos 7 3 4 6envolvidos no exercício ou exemplo. 0 Milton Sgambatti Júnior álgebra
4. 4. ConjuntosRelações de inclusão: Lembre-se: O conjunto vazio pode ser representado de duas formas: F = { } ouUsamos o símbolo de está contido ( ⊂ ), de F = ∅.não está contido ( ⊄ ), de contém ( ⊃ ) ou ode não contém ( ) para relacionar dois ⊄ Cuidado: O conjunto G = { ∅ } é umconjuntos ou subconjuntos. conjunto unitário cujo elemento é a letra grega ∅ (phi). Dica: O “lado aberto” da relação de inclusão deve ficar “sempre” voltado para o Importante: O conjunto vazio está contido em conjunto que for “maior” (tiver a maior qualquer outro conjunto inclusive nele mesmo quantidade de elementos). (no exemplo anterior teríamos: F ⊂ ∅).Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 5. Dados os conjuntos:B = {1, 3, 5}, C = {2, 4, 6}, D = {5, 6, 7}, A = {x ∈ IN / x < 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, CE = {3, 1, 5} e F = { }, podemos dizer que: = {1, 3, 5}, D = {8, 9, 10} e E = { }, complete as lacunas usando uma relação de inclusão. A⊃B C⊂A D A ⊄ a. A ⊃ B D (⊄) g. B ⊃ C ⊄ d. A A⊃C B⊃E A ⊄ D ... b. A ⊃ E e. D ⊃ E h. C ⊂ B B⊂A B⊂E E⊄D f. E ⊂ C i. D ⊄ B (⊄) c. A ⊃ C F⊂A F⊂E C⊃F Milton Sgambatti Júnior álgebra
5. 5. Conjuntos Operações entre conjuntos: Intersecção entre conjuntos: União entre conjuntos: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, determine o conjunto B = {0, 2, 4, 6, 8}, determine o conjunto A ∩ B. A ∪ B. A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 0, 6, 8} Reescrevendo: Se preferir “arrumar” os elementos: A ∩ B = {2, 4} A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} A B 1 2 0 A B 1 2 0 5 3 4 6 8 5 3 4 6 8 A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B} A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈ B} Em uma operação de intersecção entre osEm uma operação de união entre os conjuntos A e B conjuntos A e B devemos escrever apenas osdevemos ‘juntar’ todos os elementos de A a todos elementos que estiverem ao mesmo tempo em Aos elementos de B (não é necessário escrever os e em B. (o conjunto intersecção de A com B terá“repetidos”, nem colocar em ordem, embora esse apenas os elementos comuns a A e B).último seja conveniente). Milton Sgambatti Júnior álgebra
6. 6. Conjuntos Operações entre conjuntos: 6. Dados os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {5, 6, 7, 8}, Diferença entre conjuntos: C = {1, 3, 5, 7, 9} e D = {8, 9, 10}, determine o Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e que se pede em cada item abaixo: B = {0, 2, 4, 6, 8}, determine o conjunto A – B. a. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A – B = {1, 2, 3, 4, 5} b. A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} Reescrevendo: A – B = {1, 3, 5} c. A ∪ D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} d. B ∪ C = {5, 6, 7, 8, 1, 3, 9} A B 1 2 0 e. B ∩ C = {5, 7} 5 3 4 6 8 f. A ∩ D = { } g. C ∩ D = {9} A – B = { x / x ∈ A e x ∉ B}Em uma operação de diferença entre os conjuntos A h. A – B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4}e B devemos escrever o primeiro conjunto e retirar i. B – C = {5, 6, 7, 8} = {6, 8}dele os elementos que aparecerem no segundoconjunto (atenção: só podem ‘sobrar’ elementos do j. D – B = {8, 9, 10} = {9, 10}primeiro conjunto). Milton Sgambatti Júnior álgebra
7. 7. Conjuntos Operações entre conjuntos: 7. Dados os conjuntos: A = {p, e, r, n, a, m, b, u, c, o}, B = {a, l, e}, Conjunto complementar: C = {p, e, r, n, a}, D = {c, a, m, p, o} e Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {e, l, a}, determine o que se pede em cada B = {1, 3, 5}, C = {1, 2}, D = {4, 5, 6} e item abaixo: E = {1, 2}, determine cada um dos a. A ∪ B = {p, e, r, n, a, m, b, u, c, o, l} conjuntos que se pede abaixo: b. C ∩ D = {p, a} Dica: Quando se procura o conjunto complementar de B em A, a pergunta a que c. C – D = {e, r, n} se deve responder é: d. C = {m, b, u, c, o} O que falta no B para ele ficar A B = igual ao A? A e. D = {e, r, n, b, u} c. A a. B = {2, 4} D =∃ A A (não existe) f. B =∃ C b. C = {3, 4, 5} d. C ={ } A E g. B ={ }Importante: Resposta não existe é muito Ediferente da resposta conjunto vazio. Milton Sgambatti Júnior álgebra
8. 8. ConjuntosConjunto das Partes de um conjunto qualquer:O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto dos subconjuntos possíveis apartir do conjunto A.Exemplo:Seja o conjunto A = {1, 2, 3}.A partir deste conjunto podemos “criar” vários subconjuntos:Subconjuntos com nenhum elemento: { }Subconjuntos com um elemento: { 1 }, { 2 }, { 3 }.Subconjuntos com dois elementos: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.Subconjuntos com três elementos: {1, 2, 3}Assim concluímos que o conjunto das partes de A “P(A)” é dado por:P(A) = { { }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} } Milton Sgambatti Júnior álgebra
9. 9. ConjuntosImagine a situação:Rose, tem três amigos (Ana, Beto e Claudia) e quer ir ao cinema, acompanhada ounão, quantas e quais são a maneiras que ela pode ir ao cinema?Ela pode ir ao cinema sozinha: { }Acompanhada de um dos seus amigos: { Ana }, { Beto }, { Claudia }Acompanhada de dois de seus amigos: {Ana, Beto}, {Ana, Claudia}, {Beto, Claudia}Acompanhada com seus três amigos: {Ana, Beto, Claudia}As maneiras com que Ana pode ir ao cinema estão listadas acima e como podemosver são 8 (1 + 3 + 3 + 1) maneiras diferentes.Para encontrar apenas a quantidade de subconjuntos possíveis a partir de umconjunto qualquer podemos usar uma regra (fórmula).O número de elementos de P(A) é dado por: n ( P( A ) ) = 2 n( A ) onde: n(P(A)) = número de subconjuntos de A n(A) = número de elementos de ANo exemplo onde A = {1, 2, 3} teríamos: n ( P( A ) ) = 2n( A ) ⇒ n ( P( A ) ) = 23 = 8 subconjunt os Milton Sgambatti Júnior álgebra
10. 10. ConjuntosAmpliando o estudo do conjunto complementarRepresentações no diagrama de Venn-Euler: a. B c. B A A U 1 2 U 5 3 4 A B B 1 0 2 5 3 4 6 8 7 b. A U 9 U d. (A ∩ B) A B U 1 2 0 5 3 4 6 8 7 A B U 9 1 2 0 5 3 4 6 8 7 9 Milton Sgambatti Júnior álgebra
11. 11. ConjuntosAmpliando o estudo do conjunto complementarRepresentações no diagrama de Venn-Euler:e. (A ∪ B) Representação “alternativa” do conjunto U complementar quando o conjunto de U referência for o conjunto universo: A B 1 2 0 A =A U 5 3 4 6 8 7 9 B =B Uf. (A – B) C =C U U U A B (A ∪ B) = (A ∪ B) 1 0 U 2 5 3 4 6 8 7 (A ∩ B) = (A ∩ B) U 9 Milton Sgambatti Júnior álgebra
12. 12. ConjuntosProblemas envolvendo conjuntos:8. Em uma sala de aula com 50 alunos, 9. Em uma sala de aula com 50 alunos,35 deles lêem o jornal A, 17 lêem o todos lêem jornal, se 35 deles lêem ojornal B e 10 lêem ambos os jornais (A jornal A e 31 lêem o jornal B.e B), quantos alunos não lêem nenhum a. Qual o número de alunos que lê osdos dois jornais? dois jornais? 16 alunos b. Qual o número de alunos que lê U apenas o jornal A? 19 alunos A B c. Qual o número de alunos que lê 25 10 7 apenas um destes dois jornais? 34 alunos 8 U A B 25 + 10 + 7 = 42 16 19 15Resposta: 8 alunos não lêem nenhumdos dois jornais 0 66 – 50 = 16 19 + 15 = 34 Milton Sgambatti Júnior álgebra
13. 13. Conjuntos10. Em uma pesquisa feita com 150  Upessoas sobre a utilização de três A Bprodutos A, B e C obtivemos os 10 23 35resultados: Utilizam o Número de 15 22 25 produto pessoas A 70  6 C 14 B 85  C 68  40 – 15 = 25 AeB 25  37 – 15 = 22 AeC 37 a. Quantas pessoas consomem só o 25 – 15 = 10produto A?C Be 40  C: 22 + 15 + 25 = 62b. Quantase C A e B pessoas não consomem 15  B: 10 + 15 + 25 = 50nenhum dos três produtos? A: 22 + 15 + 10 = 47 23 pessoas U: 23 + 10 + 35 + 22 + 15 + 25 + 6 = 136 14 pessoas Milton Sgambatti Júnior álgebra