Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Matemaatiline anal¨ us I                  u¨      Jaan Janno
ii
Sisukord1 Funktsioonid ja nendega seotud m˜isted  o                                    1  1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absol...
3.5  Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeruvuse geomeetriline        sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
Peat¨ kk 1    uFunktsioonid ja nendegaseotud m˜isted        o1.1     Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨¨rtuse              ...
ratsionaal- kui ka irratsionaalarav. Seet˜ttu ei oma ratsionaalarvude ja irrat-                                         os...
Reaalarvu a vasakpoolseks umbruseks nimetatakse suvalist pooll˜iku                                   ¨                    ...
Funktsiooni m˜iste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks                o(ehk uheseks funktsiooniks) nimeta...
kirjeldab funktsiooni, mille m¨¨ramispiirkonnaks on l˜ik [0, 1] ja iga x kor-                                     aa      ...
T˜epoolest: kui leiduks y-teljega paralleelne sirge, mis l˜ikaks graafikut       o                                         ...
y                                        C                                                                               x...
Funktsioon cos α on defineeritud kui x-telje suhtes nurga α all paikneva tasandilise vektorix-koordinaadi suhe tema pikkuse...
¨ u                                             ¨ uUks¨ hese funktsiooni p¨¨rdfunktsioon. Uks¨hese funktsiooni y = f (x)  ...
Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. J¨tkame eelmises paragrahvis                                                   aalu...
neist esimene iga x ∈ [− π , π ] korral.                         2 2    Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti uks¨hene ...
y                        1                                 xJoonis 1.4: y = ax kui a > 1               y           1      ...
y                                  x      1Joonis 1.6: y = loga x kui a > 1y                                  x      1Joon...
y                     1                                                    x2Π   3Π   Π    Π              Π       Π   3Π  ...
y                                                     x2Π   3Π   Π      Π            Π        Π   3Π   2Π      2          ...
y        Π        2                         x  1                  1        Π        2Joonis 1.12: y = arcsin x            ...
y       Π       2                            x       Π       2Joonis 1.14: y = arctan x           y       Π       Π       ...
1.5     Tehted funktsioonidega. Elementaarfunkt-        sioon. Pol¨ noom ja ratsionaalfunktsioon.                  uAlgebr...
aritmeetiliste tehetega;elementaarfunktsioon y = arcsin (3x ) on p˜hiliste elementaarfunktsioonide y =                    ...
N¨ide. Vaatleme v˜rrandit    a               o                                  x2 + y 2 = 1 .                            ...
yy                                             b                                                            G             ...
V˜ttes x ja y v˜rrandid kokku, paneme antud funktsiooni jaoks kirja j¨rgmise  o             o                             ...
Nii nagu h¨perboolsed trigonomeetrilised funktsioonid, on ka areafunktsioonid          uelementaarfunktsioonid.Toome siink...
V˜rrandiga (1.12) antud joont nimetatakse h¨perbooliks (joonis 1.17). H¨perbool o                                         ...
y                     xJoonis 1.18: y = sinh x            y        1                          xJoonis 1.19: y = cosh x    ...
y       1                              x       1Joonis 1.20: y = tanh x           y       1                          x    ...
Peat¨ kk 2    uPiirv¨¨rtus ja pidevus     aa2.1     Muutuva suuruse piirprotsessid.Muutuva suuruse x kohta ¨eldakse, et ta...
teise, v¨iksema raadiusega umbruse, nt (a − 0.01, a + 0.01). Arvestades j¨llegi        a                     ¨            ...
Defineerime ka sellised piirprotsesseid, mille k¨igus x l¨heneb pluss v˜i mii-                                             ...
L˜plikku piirv¨¨rtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul    o            aanimetatakse jada hajuvaks.     ...
Teoreem 2.1. Suurus α on l˜pmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus                          o1α on l˜pmatult kasva...
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Mat.analüüs
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Mat.analüüs

1,057 views

Published on

mata

Published in: Self Improvement
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Mat.analüüs

  1. 1. Matemaatiline anal¨ us I u¨ Jaan Janno
  2. 2. ii
  3. 3. Sisukord1 Funktsioonid ja nendega seotud m˜isted o 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨¨rtuse m˜iste. Reaalarvudest aa o koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨¨vad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m˜iste ja esitusviisid. aa o 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨¨rdfunktsiooni m˜iste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 oo o 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨noom ja u ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨perboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22 u2 Piirv¨¨rtus ja pidevus aa 27 2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Jada piirv¨¨rtus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aa 29 2.3 L˜pmatult kahanevad, l˜pmatult kasvavad ja t˜kestatud suurused. o o o 30 2.4 Funktsiooni piirv¨¨rtus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aa 32 2.5 Funktsiooni uhepoolsed piirv¨¨rtused. . . . . . . . . . . . . . . . ¨ aa 37 2.6 Funktsiooni piirv¨¨rtuste omadused. . . . . . . . . . . . . . . . . aa 41 2.7 L˜pmatult kahanevad, kasvavad ja t˜kestatud suurused kui funk- o o tsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L˜pmatult kahanevate ja l˜pmatult kasvavate suuruste v˜rdlemine. o o o 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L˜igul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . o 523 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m˜isted. . . 57 o 3.2 N¨iteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 a 3.3 Tuletiste arvutamise p˜hireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 o 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨¨rdfunktsiooni ja parameetrilise funk- oo tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 iii
  4. 4. 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa. Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨hend. . . . a 69 3.7 N¨iteid diferentsiaali ja lineaarse l¨henduse kasutamise kohta prak- a a tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8 Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. Fermat’ lemma . . . . . . . 74 3.9 Keskv¨¨rtusteoreemid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aa 75 3.10 l’Hospitali reegel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.11 K˜rgemat j¨rku tuletised ja diferentsiaalid. . . . . . . . . . . . . o a 80 3.12 Taylori ja McLaurini pol¨noomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . u 814 Tuletise rakendused funktsiooni uurimisel 87 4.1 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Lokaalsete ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. . . . 88 4.3 Funktsiooni suurima ja v¨hima v¨¨rtuse leidmine l˜igul. . . a aa o . . . 92 4.4 Joone kumerus, n˜gusus ja k¨¨nupunktid. . . . . . . . . . . o aa . . . 92 4.5 Joone as¨mptoodid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u . . . 965 Integraalid 103 5.1 Algfunktsioon ja m¨¨ramata integraal. . . . . . . . . . . . . . . . aa 103 5.2 Integraalide tabel. M¨¨ramata integraali omadused. . . . . . . . aa 104 5.3 Asendusv˜te ja ositi integreerimine m¨¨ramata integraali aval- o aa damisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Ratsionaalfunktsioonide integreerimine. Ratsionaalfunktsiooni in- tegraalile taanduvad integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Integraalsumma ja m¨¨ratud integraal. . . . . . . . . . . . . . . . aa 118 5.6 M¨¨ratud integraali geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . aa 120 5.7 M¨¨ratud integraali omadused. Integraali keskv¨¨rtusteoreem. . aa aa 122 5.8 Muutuva ulemise rajaga integraal. Newton-Leibnitzi valem. . . . ¨ 124 5.9 Asendusv˜te ja ositi integreerimine m¨¨ratud integraali korral. . o aa 127 5.10 P¨ratud integraalid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 129 5.11 M¨¨ratud integraali rakendusi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aa 131 iv
  5. 5. Peat¨ kk 1 uFunktsioonid ja nendegaseotud m˜isted o1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨¨rtuse aa m˜iste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. oEnne arvu m˜iste k¨sitlemist toome sisse m˜ned hulkadega seotud t¨hised. o a o a Hulk (tavalises m˜ttes) koosneb elementidest (e hulga liikmetest), kusjuures oelemendid ei kordu ja nende j¨rjestus ei ole kindlaks m¨¨ratud. Hulga t¨histami- a aa aseks eraldame vaadeldavad elemendid komadega ja piiritleme hulga loogelistesulgudega. N¨iteks {0, 7, 5} on elementidest 0, 7 ja 5 koosnev hulk. Hulk v˜ib a oolla antud ka keerulisemal kujul. N¨iteks {x2 ∥ x = 1, 2, 3} on hulk, mille ele- amendid on arvutatavad valemiga x2 , kusjuures x v˜ib omandada v¨¨rtusi 1, 2 o aaja 3. Viimase hulga v˜ib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}. o Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨rjestatud hulki. J¨rjestatud a ahulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh-ta on v˜imalik ¨elda, kumb neist on eelnev, kumb j¨rgnev. Tavalise hulga ja o o aj¨rjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨histamisel kasutame a aloogeliste sulgude asemel umarsulgi. Peale selle lubame j¨rjestatud hulga ele- ¨ amentidel ka korduda. N¨iteks (−1, 1, −1, 1, . . .) on j¨rjestatud hulk, milles −1-le a aj¨rgneb 1, sellele omakorda −1 jne. a Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨isarvude hulk on Z = a{. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨isarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse akahe t¨isarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q ̸= 0. Ratsionaalarvude hulga t¨his a aon Q. Seega, l¨ hidalt kirjutades Q = { p ∥ p, q ∈ Z, q ̸= 0}. Iga ratsionaalarvu u qsaab esitada kas l˜pliku v˜i l˜pmatu perioodilise k¨mnendmurruna. o o o u L˜pmatuid mitteperioodilisi k¨mnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. o uIrratsionaalarvude hulga t¨his on I. Uks ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii a ¨ 1
  6. 6. ratsionaal- kui ka irratsionaalarav. Seet˜ttu ei oma ratsionaalarvude ja irrat- osionaalaarvude hulgad uhisosa, st Q ∩ I = ∅. ¨ Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvude hulga.Reaalarvude hulga t¨his on R. Seega R = Q ∪ I. aArvtelje m˜iste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, opikkus¨hik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje upunktidele seada vastavusse reaalarvud. T˜epoolest, nullpunktist uhe uhiku o ¨ ¨v˜rra positiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule 1, poole uhiku v˜rra o ¨ onegatiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule −1/2 jne. V˜ib v¨ita, o aet igale arvtelje punktile vastab uks ja ainult uks reaalarv ja vastupidi: igale ¨ ¨ ¨ ¨ ¨reaalarvule vastab uks ja ainult uks arvtelje punkt. Oeldu p˜hjal saab reaalarvud osamastada sirge (arvelje) punktidega. Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Needmoodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideksnimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandipunktile vastab uks ja ainult uks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja ¨ ¨vastupidi: igale arvupaarile vastab uks ja ainult uks tasandi punkt. Matemaatikas ¨ ¨t¨histatakse tavaliselt uhel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu a ¨x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy-teljestikuga ja me saame r¨¨kiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest. aaAbsoluutv¨¨rtuse m˜iste. Reaalarvu a absoluutv¨¨rtuseks nimetatakse j¨rg- aa o aa amist mittenegatiivset reaalarvu: { a kui a ≥ 0 |a| = −a kui a < 0 .Reaalarvu a absoluutv¨¨rtust |a| v˜ib t˜lgendada kui punkti a ja nullpunkti aa o ovahelist kaugust arvteljel. Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v˜rdub arvuga |a − b|. ¨ oAbsoluutv¨¨rtuse omadused: aa 1. | − a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| ≤ |a| + |b| 4. |a − b| ≥ | |a| − |b| |Reaalarvude ja l˜pmatuste umbrused. Reaalarvu a umbruseks nimetatakse o ¨ ¨suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on umbruse raadius. Arv x kuulub ¨arvu a umbrusesse (a − ε, a + ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel ¨on arvust a v¨iksem kui ε, st |x − a| < ε. a N¨iteks arvu 0 umbrus on suvaline vahemik (−ε, ε). Arv x kuulub 0-i a ¨umbrusesse siis ja ainult siis, kui |x| < ε.¨ 2
  7. 7. Reaalarvu a vasakpoolseks umbruseks nimetatakse suvalist pooll˜iku ¨ o(a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse umbrusesse (a − ε, a] ¨siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨iksem kui ε, st a|x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x ≤ a. Reaalarvu a parempoolseks umbruseks nimetatakse suvalist pooll˜iku ¨ o[a, a + ε), kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse umbrusesse [a, a + ε) ¨siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨iksem kui ε, st a|x − a| < ε, ja x ei asetse a-st vasakul, st x ≥ a. Suuruse l˜pmatus umbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ∞), kus o ¨M > 0. Arv x kuulub l˜pmatuse umbrusesse (M, ∞) siis ja ainult siis, kui o ¨x > M. Suuruse miinus l˜pmatus umbruseks nimetatakse suvalist vahemikku o ¨(−∞, −M ), kus M > 0. Arv x kuulub miinus l˜pmatuse umbrusesse (−∞, −M ) o ¨siis ja ainult siis, kui x < −M . ¨ Umbrusi kasutatakse piirprotsesside defineerimisel. Suurus x l¨heneb arvule a, kui ta aliigub j¨rjest l¨hemale arvule a, st satub arvu a umbrusesse j¨rjest v¨iksema raadiusega ε. a a ¨ a aSuurus x l¨heneb l˜pmatusele, kui ta asub j¨rjest l¨hemal l˜pmatusele, st satub l˜pmatuse a o a a o oumbrusesse j¨rjest suurema vasakpoolse otspunktiga M . T¨psemalt tuleb sellest juttu j¨rgmises¨ a a apeat¨ kis. uT˜kestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse t˜kestatuks, o okui leidub l˜plik vahemik (a, b) nii, et A ⊂ (a, b). o T˜kestatud hulgad on n¨iteks k˜ik l˜plikud vahemikud (a, b), l˜igud [a, b] o a o o oja pooll˜igud [a, b), (a, b]. T˜kestamata hulgad on aga n¨iteks l˜pmatud va- o o a ohemikud (−∞, a), (a, ∞) ja l˜pmatud pooll˜igud (−∞, a], [a, ∞). o o1.2 J¨¨vad ja muutuvad suurused. Funktsiooni aa m˜iste ja esitusviisid. oJ¨¨vad ja muutuvad suurused. Suurust, mis v˜ib omandada erinevaid aa oarvulisi v¨¨rtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, aamille arvuline v¨¨rtus ei muutu, nimetatakse j¨¨vaks suuruseks. N¨iteks uhtlase aa aa a ¨liikumise korral on kiirus j¨¨v suurus ja l¨bitud teepikkus muutuv suurus. aa aSamas mitte¨ htlase liikumise korral on ka kiirus muutuv suurus. Seega v˜ib u okonkreetne suurus olla uhes protsessis j¨¨v kuid teises protsessis muutuv. Nii ¨ aamatemaatikas kui f¨usikas on olemas ka suurusi, mis igas olukorras on j¨¨vad. u¨ aaNeid suurusi nimetatakse absoluutseteks konstantideks. Absoluutsed konstan-did on n¨iteks ringjoone umberm˜˜du ja l¨bim˜˜du suhe π, valguse kiirus c jne. a ¨ oo a ooMuutumispiirkonna m˜iste. Muutuva suuruse k˜igi v˜imalike v¨¨rtuste o o o aahulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. N¨iteks keha tempe- aratuur v˜ib teoreetiliselt omada k˜iki v¨¨rtusi, mis on suuremad v˜i v˜rdsemad o o aa o okui absoluutne miinimum −273.15◦ C. Seega on temperatuuri muutumispiirkondl˜pmatu pooll˜ik [−273.15; ∞). o o 3
  8. 8. Funktsiooni m˜iste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks o(ehk uheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale ¨v¨¨rtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y uhe kindla v¨¨rtuse. aa ¨ aaMuutujat x nimetatakse seejuures s˜ltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja omuutujat y s˜ltuvaks muutujaks. o Matemaatikas on levinud funktsiooni t¨hised f, g, u, v, φ, ψ jne. a Olgu antud funktsioon f , mille argumendiks on x ja s˜ltuvaks muutujaks oy. Muutuja y v¨¨rtust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse aafunktsiooni f v¨¨rtuseks kohal x ja t¨histatakse s¨mboliga f (x). Seega v˜ime aa a u okirjutada seose y = f (x) , (1.1)mis v¨ljendab muutuja y ”seotust” argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost a(1.1) nimetatakse funktsiooni v˜rrandiks. o M˜nikord kasutatakse funktsiooni ja s˜ltuva muutuja t¨histamiseks uhte ja o o a ¨sama s¨mbolit. Sellisel juhul omab v˜rrand (1.1) kuju y = y(x). u o Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f m¨¨ramispiirkon- aanaks. M¨¨ramispiirkonna t¨hisena kasutame edaspidi s¨mbolit X. Hulka aa a u Y = {f (x) || x ∈ X}nimetatakse funktsiooni f v¨¨rtuste hulgaks. aaMitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igalev¨¨rtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y v¨¨rtusi, aa aakusjuures leidub v¨hemalt uks x v¨¨rtus, millele vastab mitu y v¨¨rtust. Ar- a ¨ aa aagumendi, s˜ltuva muutuja, m¨¨ramispiirkonna ja v¨¨rtuste hulga m˜isted on o aa aa omitmese funktsiooni korral analoogilised vastavate m˜istetega uhese funktsiooni o ¨korral. NB! K¨esolevas konspektis t¨hendab m˜iste ”funktsioon” ilma t¨iendita a a o a”mitmene” alati uhest funktsiooni. ¨Funktsiooni esitusviisid. 1. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi v˜imalikud v¨¨rtused esi- o aa tatakse tabeli uhes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni v¨¨rtused ¨ aa tabeli teises reas (veerus). On v˜imalik vaid siis, kui funktsiooni argu- o mendil on l˜plik arv v¨¨rtusi. o aa 2. Anal¨utiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisa- u¨ takse ka m¨¨ramispiirkonna kirjeldus. N¨iteks avaldis aa a y = x2 , x ∈ [0, 1] 4
  9. 9. kirjeldab funktsiooni, mille m¨¨ramispiirkonnaks on l˜ik [0, 1] ja iga x kor- aa o ral sellelt l˜igult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni v¨¨rtused o aa f (x) vastavalt valemile f (x) = x2 . Anal¨utiliselt antud funktsiooni loomulikuks m¨¨ramispiirkonnaks nimeta- u¨ aa takse argumendi k˜igi nende v¨¨rtuste hulka mille korral funktsiooni avaldis o aa on t¨ielikult m¨¨ratud. N¨iteks ulaltoodud funktsioon y = x2 , x ∈ [0, 1] ei a aa a ¨ ole antud oma loomulikus m¨¨ramispiirkonnas. Selle funktsiooni loomulik aa m¨¨ramispiirkond on X = R. aa3. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordi- naadistikus. Olgu antud funktsioon f , mille argument on x, s˜ltuv muu- o tuja y ja m¨¨ramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. aa Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb k˜ikv˜imalikest punk- o o tidest P = (x, f (x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb l¨bi kogu a m¨¨ramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. aa Seega, l¨hidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku definitsioon j¨rgmine: u a G = {P = (x, f (x)) || x ∈ X} . Graafiku punkti P teist koordinaati f (x) v˜ib t˜lgendada P ”k˜rgusena” o o o x- telje suhtes. Kui f (x) > 0, siis on graafiku ”k˜rgus” positiivne, st o graafik paikneb ulalpool x-telge. Kui aga f (x) < 0, siis on ”k˜rgus” ¨ o negatiivne, st graafik j¨¨b x-teljest allapoole (vt joonis 1.1). aa yy y = f (x) P1• f (x1 ) > 0 x2 G x1 x f (x2 ) < 0 • P2 Joonis 1.1 Kuna xy-teljestikus antud punkti uldkuju on P = (x, y), funktsiooni f ¨ graafik koosneb aga punktidest P = (x, f (x)), siis rahuldavad graafiku punktid v˜rrandit y = f (x). o Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut l˜igata mak- o simaalselt uhes punktis. See omadus tuleneb otseselt funktsiooni uhesusest. ¨ ¨ 5
  10. 10. T˜epoolest: kui leiduks y-teljega paralleelne sirge, mis l˜ikaks graafikut o o mitmes punktis, siis oleks funktsiooni graafikul vaadeldavas kohas mitu ”k˜rgust”, seega oleks ka funktsioonil uhe argumendi korral mitu v¨¨rtust. o ¨ aa ¨ (Uhesel) funktsioonil ei saa aga mitut v¨¨rtust olla. aa Juhul, kui vaadeldav funktsioon on mitmene, siis eksisteerib v¨hemalt a uks y-teljega paralleleelne sirge, mis l˜ikab funktsiooni graafikut mitmes ¨ o punktis.1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funkt- sioonid.Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunkt-siooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib v˜rdus f (−x) = f (x). Funktsiooni of nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib v˜rdus of (−x) = −f (x).Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kuileidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib v˜rdus f (x + C) = f (x). oV¨ikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. aKasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f m¨¨ramispiir- aakonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtibv˜rratus o x 1 < x2 .Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 v˜rratuse m¨rk ei muutu, o ast f (x1 ) < f (x2 ),siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidelex1 ja x2 v˜rratuse m¨rk muutub vastupidiseks, st o a f (x1 ) > f (x2 ),siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik t˜useb, okahanemispiirkonnas aga langeb.Konstantne funktsioon. Astme- ja eksponent- ja trigonomeetrilisedfunktsioonid. K¨esolevas alamparagrahvis alustame p˜hiliste elementaarfunkt- a osioonide loetlemist ja omaduste kirjeldamist.Konstantne funktsioon y = C. Ilmselt selle funktsiooni korral X=R ja Y = {C}.Graafik on selline: 6
  11. 11. y C x Joonis 1.2: konstantne funktsioon y = CAstmefunktsioon on funktsioon j¨rgmisel kujul a y = xa ,kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni m¨¨ramispiirkond, aav¨¨rtuste hulk ja graafik s˜ltuvad oluliselt astmest a. aa oM¨¨ramispiirkond on j¨rgmine. aa a a) a = p/q, kus p, q ∈ Z ja q on paaritu. Selle juhu alla kuuluvad n¨iteks k˜ik t¨isarvuliste a o a astendajatega funktsioonid: y = x, y = x2 , y = x−1 , y = x−2 jne, sest a ∈ Z on esitatav kujul a = a/1. Samuti h˜lmab see juht paarituid juuri: y = x1/3 , y = x1/5 , o y = x−1/3 , y = x−1/5 jne. Paneme t¨hele, et kui a > 0, siis on k˜ik need funktsioonid a o suvalise reaalaravu x korral m¨¨ratud. Kui a < 0, siis j¨¨b m¨aramispiirkonnast v¨lja aa aa a¨ a nullpunkt, sest nulliga jagamine ei ole v˜imalik. Seega: kui a > 0, siis X = R ja kui o a < 0, siis X = R {0}. b) a = p/q, kus p, q ∈ Z ja q on paaris v˜i a on irratsionaalarv. Selle juhu alla kuuluvad o n¨iteks k˜ik paaris juured: y = x1/2 , y = x1/4 , y = x−1/2 , y = x−1/4 jne. Kui a o a > 0, siis on taolised funktsioonid x ≥ 0 korral m¨¨ratud. Kui a < 0, siis j¨¨b aa aa m¨aramispiirkonnast v¨lja lisaks ka punkt x = 0. Seega: kui a > 0, siis X = [0, ∞) ja a¨ a kui a < 0, siis X = (0, ∞).Eksponentfunktsioon on funktsioon j¨rgmisel kujul: a y = ax ,kus astme alus a on konstantne ja rahuldab v˜rratust a > 0. Lisaks sellele ov˜rratusele eeldame veel, et a ̸= 1, sest a = 1 korral saame konstantse funkt- osiooni y = 1x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0, ∞).Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 kvalitatiivselt erinev (vt joonised 1.4ja 1.5 tagapool). Nagu graafikutelt n¨htub, on funktsioon y = ax kasvav kogu aoma m¨¨ramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma m¨¨ramispiirkonnas, aa aakui 0 < a < 1.Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot xradiaanides antud argumendiga x. 7
  12. 12. Funktsioon cos α on defineeritud kui x-telje suhtes nurga α all paikneva tasandilise vektorix-koordinaadi suhe tema pikkusesse, ja sin α kui taolise vektori y-koordinaadi suhe temapikkusesse. Kraadides antud nurga teisendamisel radiaanidesse kehtib seos 180 kraadi =π radiaani. Funktsioonid sin α ja cos α on l˜igult α ∈ [0, 2π] j¨tkatud perioodiliselt kogu o a sin α 1arveljele. Funktsioonid tan α ja cot α on defineeritud valemitega tan α = cos α ja cot α = tan α . Trigonometriliste funktsioonide m¨¨ramispiirkonnad ja v¨¨rtuste hulgad on aa aaj¨rgmised: a y = sin x : X = R, Y = [−1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [−1, 1] , { } (2k + 1) y = tan x : X =R π || k ∈ Z , Y = R , 2 y = cot x : X = R {kπ || k ∈ Z}, Y = R .Graafikud leiab lugeja joonistelt 1.8 - 1.11 tagapool. Funktsioonid y = sin x jay = cos x on perioodilised perioodiga 2π ning y = tan x ja y = cot x perioodigaπ. Funktsioonid y = sin x, y = tan x ja y = cot x on paaritud ning y = cos xpaaris.1.4 P¨¨rdfunktsiooni m˜iste. Logaritmfunktsioon. oo o Arkusfunktsioonid. ¨ uUks¨ hese funktsiooni m˜iste. Olgu antud funktsioon y = f (x). Vas- otavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argu-mendi x v¨¨rtusele oma m¨¨ramispiirkonnast vastavusse uhe kindla y v¨¨rtuse. aa aa ¨ aaVaatleme n¨ud teatud kitsamat erijuhtu. Nimelt eeldame, et ka argument x u¨funktsiooni v¨¨rtuse f (x) kaudu uheselt m¨¨ratud. See t¨hendab, et iga y kor- aa ¨ aa aral hulgast Y leidub ainult uks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see ¨ o ¨ u ¨ uon nii, siis ¨eldakse, et funktsioon f on uks¨hene. Uks¨hese funktsiooni korralon v˜rrand y = f (x) muutuja x suhtes uheselt lahenduv. o ¨ N¨iteks kuupfunktsioon y = x3 on uks¨hene. Iga y korral leidub ainult uks a ¨ u ¨x nii, et valitud y on selle x-i kuup. Arv 8 on ainult uhe arvu (so 2) kuup, arv ¨−27 on ainult uhe arvu (so −3) kuup jne. Lahendades v˜rrandi y = x3 muutuja ¨ o √x suhtes saame argumendi x esituse y kaudu: x = 3 y. Seevastu ruutfunktsioony = x2 ei ole uks¨ hene. Iga y > 0 korral leidub kaks x-i nii, et valitud y on ¨ um˜lema x-i ruut. Arv 4 nii −2 kui 2 ruut. V˜rrandi y = x2 lahendamisel saame o o √ √ √kaks funktsiooni x = y ja x = − y ehk uhe mitmese funktsiooni x = ± y. ¨ Funktsiooni uks¨hesust saab kindlaks teha ka graafiku abil. Kui suvaline ¨ ux-teljega paralleelne sirge l¨bib funktsiooni graafikut maksimaalselt uhes punk- a ¨tis, siis on see funktsioon uks¨ hene. Nii on see n¨iteks kuupfunktsiooni y = x3 ¨ u agraafikuga. Seevastu ruutfunktsiooni y = x2 graafikut (parabooli) l¨bib x- ateljega paralleelne ja selle telje peal asuv sirge kahes punktis. Nagu n¨gime, ei aole viimasel juhul tegemist uks¨hese funktsiooniga. ¨ u 8
  13. 13. ¨ u ¨ uUks¨ hese funktsiooni p¨¨rdfunktsioon. Uks¨hese funktsiooni y = f (x) oop¨¨rdfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f (x)-le funktsiooni f oov¨¨rtuste hulgast vastavusse x-i. P¨¨rdfunktsiooni avaldise saame, kui lahen- aa oodame v˜rrandi y = f (x) muutuja x suhtes. P¨¨rdfunktsioonis funktsiooni argu- o ooment ja s˜ltuv muutuja vahetavad oma kohad. See t¨hendab, et kui funktsiooni o af argumendiks on x ja s˜ltuvaks muutujaks y, siis funktsiooni f p¨¨rdfunktsiooni o ooargumendiks on y ja s˜ltuvaks muutujaks x. Samuti vahetavad p¨¨rdfunktsioonis o ookohad esialgse funktsiooni m¨¨ramispiirkond ja v¨¨rtuste hulk. aa aa Olgu x = g(y) uks¨hese funktsiooni y = f (x) p¨¨rdfunktsioon. Siis funkt- ¨ u oosioonid f ja g kompenseerivad teineteist j¨rgmises m˜ttes. Fikseerime mingi x a ov¨¨rtuse ja arvutame f (x). Seej¨rel arvutame g[f (x)], st funktsioon g kohal aa af (x). Tulemusena saame esialgse x v¨¨rtuse tagasi. Samuti arvutades antud y aakaudu f [g(y)] saame y v¨¨rtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul aa g[f (x)] = x , f [g(y)] = y . (1.2)Kui g of funktsiooni f p¨¨rdfunktsiooni, siis f on g p¨¨rdfunktsioon. oo oo Funktsiooni y = f (x) ja tema p¨¨rdfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad ooxy-teljestikus. See on nii sellep¨rast, et funktsioonid y = f (x) ja x = g(y) am¨¨ravad uhed ja samad arvupaarid (x, y), seega ka uhed ja samad punktid aa ¨ ¨P = (x, y) tasandil. Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb ainult selles, et fseab x-le vastavusse y-i, kuid g seab y-le vastavusse x-i. yy     y = f (x) ⇔ x = g(y)              y = g(x)           G x Joonis 1.3 Kui aga p¨¨rdfunktsiooni x = g(y) avaldises muutujate x ja y kohad va- oohetada, st esitada ta kujul y = g(x), siis selle funktsiooni graafik peegeldubule sirge y = x. Seega on funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud¨s¨mmeetrilised sirge y = x suhtes (joonis 1.3). u 9
  14. 14. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. J¨tkame eelmises paragrahvis aalustatud p˜hiliste elementaarfunktsioonide loetelu m˜nede oluliste p¨¨rdfunkt- o o oosioonidega.Logaritmfunktsioon.Suvaline x-teljega paralleelne sirge l¨bib eksponentfunktsiooni y = ax graafikut amaksimaalselt uhes punktis (vt joonised 1.4, 1.5). Seega on eksponentfunktsioon ¨uks¨hene ning tal on olemas p¨¨rdfunktsioon. Eksponentfunktsiooni y = ax¨ u oop¨¨rdfunktsioon on logaritmfunktsioon oo x = loga y ,kus a on logaritmi alus. Nii nagu eksponentfunktsiooni korral eeldame, et a > 0ja a ̸= 1. Vastavalt valemitele (1.2) kehtivad seosed loga [ax ] = x ja aloga y = y. Kuna p¨¨rdfunktsiooni v˜tmisel m¨¨ramispiirkond ja v¨¨rtuste hulk va- oo o aa aahetavad oma kohad, siis l¨htudes eksponentfunktsioonist (vt §1.3) n¨eme, et a afunktsiooni y = loga x m¨¨ramispiikond ja v¨¨rtuste hulk on vastavalt aa aa X = (0, ∞) ja Y = R.Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 erinev (joonised 1.6 ja 1.7). V˜rreldes ograafikuid joonistel 1.4 - 1.7 n¨eme, et y = loga x graafik on y = ax graafiku apeegeldus sirge y = x suhtes.Arkusfunktsioonid.Trigonomeetriliste funktsioonide p¨¨rdfunktsioonid on nn. arkusfunktsioonid. ooPeamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide p¨¨ramisel on see, et nad ei ooole terves oma m¨¨ramispiirkonnas uks¨hesed. T˜epoolest, vaadeldes trigono- aa ¨ u omeetriliste funktsioonide graafikuid joonistel 1.8 - 1.11 n¨eme, et x-teljega pa- aralleelsed sirged v˜ivad neid graafikuid l˜igata paljudes punktides. Seet˜ttu ei o o oole v˜imalik saada neile funktsioonidele terves oma m¨¨ramispiirkonnas uheseid o aa ¨p¨¨rdfunktsioone. P¨¨rdfunktsioonid defineeritakse nende funktsioonide m¨¨ra- oo oo aamispiirkondade alamhulkadel. Vaatleme seda iga trigonomeetrilise funktsioonikorral l¨hemalt. a Funktsioon y = sin x ei ole uks¨hene, sest uhele sin x v¨¨rtusele vastab ¨ u ¨ aal˜pmata palju x v¨¨rtusi. N¨iteks x-telg l˜ikab siinuse graafikut l˜pmata arvus o aa a o oerinevates punktides (vt joonis 1.8). Funktsiooni y = sin x p¨¨ramisel ahen- oodatakse tema m¨¨ramispiirkond kokkuleppeliselt l˜iguks [− π , π ], st j¨etakse aa o 2 2 avaatluse alt v¨lja kogu see sin x osa, mille korral x ̸∈ [− π , π ]. Vaadeldes joonisel a 2 21.8 l˜igul [− π , π ] paiknevat siinuse graafiku osa n¨eme, et suvaline x-teljega o 2 2 aparalleelne sirge l˜ikab seda maksimaalselt uhes punktis. Seega on funktsioon o ¨ π π y = sin x, x ∈ [− , ] 2 2uks¨hene. Selle funktsiooni p¨¨rdfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja¨ u oot¨histatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed a arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, (1.3) 10
  15. 15. neist esimene iga x ∈ [− π , π ] korral. 2 2 Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti uks¨hene kogu arvteljel, p¨¨ramisel ¨ u ooahendatakse tema m¨¨ramispiirkond l˜iguks [0, π]. Sellel l˜igul on ta uks¨hene aa o o ¨ u(joonis 1.9). Funktsiooni y = cos x, x ∈ [0, π]p¨¨rdfunktsioon kannab nimetust arkuskosinus ja seda t¨histatakse x = arccos y. oo aKehtivad valemid arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y,neist esimene iga x ∈ [0, π] korral. Funktsioonide y = tan x ja y = cot x p¨¨ramisel ahendatakse tan x va- oohemikule (− π , π ) ja cot x vahemikule (0, π). Funktsioonide 2 2 π π y = tan x, x ∈ (− , ) ja y = cot x, x ∈ (0, π) 2 2p¨¨rdfunktsioonid on vastavalt arkustangens x = arctan y ja arkuskotangens oox = arccot y. Kehtivad valemid arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y,neist esimene iga x ∈ (− π , π ) ja kolmas iga x ∈ (0, π) korral. 2 2 Arkusfunktsioonide m¨¨ramispiirkonnad ja v¨¨rtuste hulgad on j¨rgmised: aa aa a π π y = arcsin x : X = [−1, 1], Y = [− , ] , 2 2 y = arccos x : X = [−1, 1], Y = [0, π] , π π y = arctan x : X = R, Y = (− , ) , 2 2 y = arccot x : X = R, Y = (0, π) .Need saab leida lihtsalt, kui vahetada ulaltoodud trigonomeetriliste funktsioonide ¨ahendite m¨¨ramispiirkonnad ja v¨¨rtuste hulgad. aa aa Arkusfunktsioonide graafikud on kujutatud joonistel 1.12 - 1.15. V˜rreldes oomavahel jooniseid 1.8 - 1.11 ja 1.12 - 1.15 n¨eme, et arkusfunktsioonide graafikud aon trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graafikute peegeldused ule sirge ¨y = x.P¨¨rdfunktsioon funktsioonist, mis ei ole uks¨ hene. Olgu vaadeldav funktsioon y = oo ¨ uf (x) oma m¨¨ramispiirkonnaga X ja v¨artuste hulgaga Y k¨ll uhene, kuid mitte uks¨ hene. aa a¨ u ¨ ¨ uFunktsiooni f p¨¨rdfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis igale y ∈ Y seab vastavusse k˜igi oo oselliste x ∈ X hulga, mille korral kehtib v˜rdus f (x) = y. o ¨ Uhese, kuid mitte uks¨ hese funktsiooni p¨¨rdfunktsioon on mitmene. Selliste funkt- ¨ u oosioonide n¨ideteks on terves oma m¨¨ramispiirkonnas antud trigonomeetriliste funktsioonide a aap¨¨rdfunktsioonid ehk ”suure algust¨hega” arkusfunktsioonid. T¨psemalt: terves m¨aramis- oo a a a¨piirkonnas antud funktsioonide y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x p¨ordfunktsioonid o¨on vastavalt x = Arcsin y, x = Arccos y, x = Arctan y ja x = Arccot y. Arvutame n¨iteks Arcsin 0. Kuna k˜igi selliste x hulk, mille korral sin x v˜rdub nulliga, a o oon {kπ || k = 0, ±1, ±2, . . .}, siis saamegi Arcsin 0 = {kπ || k = 0, ±1, ±2, . . .}. 11
  16. 16. y 1 xJoonis 1.4: y = ax kui a > 1 y 1 x Joonis 1.5: y = ax kui 0 < a < 1 12
  17. 17. y x 1Joonis 1.6: y = loga x kui a > 1y x 1Joonis 1.7: y = loga x kui 0 < a < 1 13
  18. 18. y 1 x2Π 3Π Π Π Π Π 3Π 2Π 2 2 1 2 2 Joonis 1.8: y = sin x y 1 x2Π 3Π Π Π Π Π 3Π 2Π 2 2 1 2 2 Joonis 1.9: y = cos x 14
  19. 19. y x2Π 3Π Π Π Π Π 3Π 2Π 2 2 2 2 Joonis 1.10: y = tan x y x2Π 3Π Π Π Π Π 3Π 2Π 2 2 2 2 Joonis 1.11: y = cot x 15
  20. 20. y Π 2 x 1 1 Π 2Joonis 1.12: y = arcsin x y Π Π 2 x 1 1Joonis 1.13: y = arccos x 16
  21. 21. y Π 2 x Π 2Joonis 1.14: y = arctan x y Π Π 2 xJoonis 1.15: y = arccot x 17
  22. 22. 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunkt- sioon. Pol¨ noom ja ratsionaalfunktsioon. uAlgebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y =f (x) ja y = g(x) uhise m¨¨ramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa ¨ aaon defineeritud kui kujutis, mis seab igale x ∈ X vastavusse muutuja y v¨¨rtuse aavalemiga y = f (x) + g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik t¨his on f + g. aSeega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f (x) + g(x).Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y = (f − g)(x) =f (x) − g(x), korrutis y = (f g)(x) = f (x)g(x) ja jagatis y = (f /g)(x) =f (x)/g(x). Summa, vahe ja korrutise m¨¨ramispiirkonnaks on X. Jagatise aam¨¨ramispiirkond koosneb k˜igist sellistest x ∈ X, mille korral g(x) ̸= 0. aa oLiitfunktsiooni m˜iste. Olgu antud kaks funktsiooni: y = f (x) m¨¨ramispiir- o aakonnaga Xf ja z = g(y) m¨¨ramispiirkonnaga Yg . Asendades suuruse y funkt- aasiooni g avaldises f (x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x jas˜ltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = og[f (x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga.T¨histame seda funktsiooni s¨mboliga g ◦ f . Seega v˜ime kirjutada v˜rduse a u o o z = (g ◦ f )(x) = g[f (x)].Liitfunktsiooni g ◦ f m¨¨ramispiirkond ei tarvitse kattuda f m¨¨ramispiirkon- aa aanaga. Liitfunktsioon g ◦ f on m¨¨ratud ainult sellistel x-i v¨¨rtustel hulgas Xf , aa aamille korral f (x) asub funktsiooni g m¨¨ramispiirkonnas. T˜epoolest, ainult aa osellisel juhul saame me leida funktsiooni g v¨¨rtuse kohal f (x) ehk suuruse aag[f (x)]. Seega on g ◦ f m¨¨ramispiirkond j¨rgmine: aa a Xg◦f = {x || x ∈ Xf , f (x) ∈ Yg } . √ N¨iteks annavad f (x) = sin x ja g(y) = y liitfunktsiooni (g ◦ f )(x) = a√ sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0, ∞), siis Xg◦f = {x || sin x ∈ [0, ∞)} ={x || 2kπ ≤ x ≤ (2k + 1)π, k ∈ Z)}.Elementaarfunktsiooni m˜iste. P˜hilisteks elementaarfunktsioonideks on o oj¨rgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa , y = ax , y = sin x, y = acos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan xja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud p˜hilistest oelementaarfunktsioonidest l˜pliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahuta- omiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. N¨iteid elementaarfunktsioonide kohta: a exelementaarfunktsioon y = 5 + 7 tan x − cos x on moodustatud p˜hilistest elemen- otaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ex ja y = cos x l˜pliku arvu o 18
  23. 23. aritmeetiliste tehetega;elementaarfunktsioon y = arcsin (3x ) on p˜hiliste elementaarfunktsioonide y = o3x ja y = arcsin x liitfunktsioon; √elementaarfunktsioon y = 2arccos x + tan2 x − 4 on saadud p˜hilistest elemen- 3 otaarfunktsioonidest y = 2x , y = arccos x, y = 3, y = tan x, y = x2 , y = 4 jay = x1/2 l˜pliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamisega. o Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka pol¨noomid ja ratsionaalfunkt- usioonid. n- astme pol¨noom on defineeritud avaldisega u P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an−1 xn−1 + an xn ,kus a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , an on konstandid ja an ̸= 0. Ratsionaalfunktsioon onkahe pol¨noomi jagatis u a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an−1 xn−1 + an xn R(x) = . b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm−1 xm−1 + bm xm K˜ik funktsioonid ei ole elementaarfunktsioonid. Selle kohta saab tuua usna o ¨lihtsaid n¨iteid. N¨iteks ei ole elementaarfunktsioon nn Heaviside’i funktsioon, a amis on defineeritud j¨rgmise eeskirjaga: a { 1 kui x ≥ 0, Θ(x) = 0 kui x < 0.1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Para- meetrilisel kujul antud jooned ja funktsioonid.Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Anal¨utiliselt antud funktsioon u¨v˜ib olla kas ilmutatud v˜i ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f (x) ilmutatud o okujuks on v˜rrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis v˜ib o osisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. N¨iteks y = x2 − x. a Funktsiooni y = f (x) ilmutamata kujuks on v˜rrand, mis sisaldab x ja y ol¨bisegi, st v˜rrand a o F (x, y) = 0 , (1.4)kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. N¨iteks x2 − sin y + y = 0. a Kui me asendame muutuja y funktsiooni f (x) ilmutatud avaldisega v˜rrandis o(1.4), siis muutub see v˜rrand samasuseks F (x, f (x)) ≡ 0. Seda on illustreeritud oallpooltoodud n¨ites. a Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada v˜rrand o(1.4) muutuja y suhtes. Kui sellel v˜rrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta omitu funktsiooni. 19
  24. 24. N¨ide. Vaatleme v˜rrandit a o x2 + y 2 = 1 . (1.5) √Kui me √lahendame selle v˜rrandi y suhtes, saame kaks funktsiooni: y = − 1 − x2 oja y = 1 − x2 . Seega m¨¨rab v˜√ aa orrand (1.5) ilmutamata kujul kaks erinevat √funktsiooni. Asendades kas y = − 1 − x2 v˜i y = 1 − x2 v˜rrandisse (1.5) √ o osaame v˜rduse x2 + [ 1 − x2 ]2 = 1, mis peale lihtsustamist muutub samasuseks o0 ≡ 0.Parameetriliselt antud joon. Olgu l˜igul [T1 , T2 ] antud kaks funktsiooni ox = φ(t) ja y = ψ(t). Kirjutame need funktsioonid ules s¨steemina ¨ u { x = φ(t) (1.6) y = ψ(t) , t ∈ [T1 , T2 ] .S¨steem (1.6) m¨¨rab iga t ∈ [T1 , T2 ] korral uhe kindla arvupaari ehk tasandi u aa ¨ ¨punkti ristkoordinaatidega (x, y) = (φ(t), ψ(t)). Uldiselt vastavad muutuja terinevatele v¨¨rtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb aal¨bi kogu l˜igu [T1 , T2 ], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. a oV˜rrandeid (1.6) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v˜rranditeks ja muu- o otujat t selle joone parameetriks. N¨ide. Vaatleme joont a { x = a cos t (1.7) y = b sin t , t ∈ [0, 2π] ,kus a ja b on positiivsed konstandid. Arvutame x2 y2 (a cos t)2 (b sin t)2 2 + 2 = 2 + = (cos t)2 + (sin t)2 = 1 . a b a b2J¨relikult on vaadeldava joone v˜rrand x ja y kaudu esitatuna j¨rgmine: a o a x2 y2 2 + 2 = 1. a bSeda joont nimetatakse ellipsiks (joonis 1.16). Arve a ja b nimetatakse ellipsipooltelgedeks. 20
  25. 25. yy b G −a a x −b Joonis 1.16Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Vaatleme funktsiooni y = f (x).Toome lisaks muutujatele x ja y sisse ka kolmanda muutuja t (nn parameetri).Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st x = φ(t).Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. T˜epoolest: kasutades omuutuja x valemit arvutame y = f (x) = f [φ(t)] = (f ◦ φ)(t). Seega, t¨histades aψ = f ◦ φ saame v˜rrandi o y = ψ(t).V˜tame need kaks v˜rrandit kokku uhte s¨steemi. Kui parameetri t muutu- o o ¨ umispiirkond on l˜ik [T1 , T2 ], n¨eb see s¨steem v¨lja j¨rgmine: o a u a a { x = φ(t) (1.8) y = ψ(t) , t ∈ [T1 , T2 ] .V˜rrandeid (1.8) nimetatakse funktsiooni y = f (x) parameetrilisteks v˜rrandi- o oteks. V˜rranditega (1.8) antud joon on uhtlasi funktsiooni y = f (x) graafikuks. o ¨ N¨iteks vaatleme funktsiooni a b√ 2 y = a − x2 , akus a ja b on positiivsed konstandid. Asendame muutuja x parameetri t kauduj¨rgmiselt: a x = a cos t.Siis saame b√ 2 √ y = a − a2 cos2 t = b 1 − cos2 t. aEeldame, et parameeter t asub l˜igul [0, π]. Sellel l˜igul on funktsioon sin t mit- o √ otenegatiivne. Seet˜ttu kehtib v˜rdus 1 − cos2 t = sin t. N¨ud saame muutuja o o u¨y jaoks j¨rgmise v˜rrandi: a o y = b sin t. 21
  26. 26. V˜ttes x ja y v˜rrandid kokku, paneme antud funktsiooni jaoks kirja j¨rgmise o o aparameetrilise esituse: { x = a cos t y = b sin t , t ∈ [0, π] . √Funktsiooni y = a a2 − x2 graafikuks on joonisel 1.16 toodud ellipsi ulemine b ¨(x-telje peal asuv) kaar, mis vastab parameetri v¨¨rtustele t ∈ [0, π]. aa Joonte ja funktsioonide parameetrilist esitust kasutatakse rohkelt f¨usikas. u¨Parameeter t t¨histab seal enamasti aega. N¨iteks esitab parameetiline joon a aajas liikuvat punkti tasandil.1.7 H¨ perboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. uSelles paragrahvis defineerime veel m˜ned olulised elementaarfunktsioonid. Mate- omaatikas ja selle rakendustes kasutatakse palju nn h¨perboolseid trigonomeetri- ulisi funktsioone. Nendeks on ex − e−x sinh x = − h¨perboolne siinus , u 2 ex + e−x cosh x = − h¨perboolne kosinus , u 2 sinh x ex − e−x tanh x = = − h¨perboolne tangens , u cosh x ex + e−x cosh x ex + e−x coth x = = − h¨perboolne kotangens . u sinh x ex − e−xM¨¨ramispiirkonnad ja v¨¨rtuste hulgad on j¨rgmised: aa aa a y = sinh x : X = R, Y = R , y = cosh x : X = R, Y = [1, ∞) , y = tanh x : X = R, Y = (−1, 1) , y = coth x : X = R {0}, Y = (−∞, −1) ∪ (1, ∞) .Graafikud on toodud joonistel 1.18 - 1.21. H¨ perboolse siinuse ja kosinuse kaudu on defineeritud veel u 1 2 sech x = = x − h¨perboolne seekant : u cosh x e + e−x 1 2 csch x = = x − h¨perboolne koseekant . u sinh x e − e−xFunktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x p¨¨rdfunktsioonid on nn area- oofunktsioonid: x = arsinh y − areasiinus (funktsiooni y = sinh x p¨¨rdfunktsioon) , oo x = arcosh y − areakosinus (funktsiooni y = cosh x p¨¨rdfunktsioon) , oo x = artanh y − areatangens (funktsiooni y = tanh x p¨¨rdfunktsioon) , oo x = arcoth y − areakotangens (funktsiooni y = coth x p¨¨rdfunktsioon) . oo 22
  27. 27. Nii nagu h¨perboolsed trigonomeetrilised funktsioonid, on ka areafunktsioonid uelementaarfunktsioonid.Toome siinkohal areafunktsioonide avaldised p˜hiliste elementaarfunktsioonide kaudu koos om¨¨ramispiirkondade ja v¨¨rtuste hulkadega: aa aa ( √ ) arsinh x = ln x + x2 + 1 : X = R, Y = R , ( √ ) arcosh x = ln x + x2 − 1 : X = [1, ∞), Y = [0, ∞) , 1 1+x artanh x = ln : X = (−1, 1), Y = R , 2 1−x 1 x+1 arcoth x = ln : X = (−∞, −1) ∪ (1, ∞), Y = R {0} . 2 x−1 H¨perboolne siinus ja kosinus on seotud teatud teist liiki joone, nn h¨perbooliga. u uSelle selgitamiseks tuletame k˜igepealt uhe abivalemi. Arvutame: o ¨ ( )2 ( x )2 ex + e−x e − e−x (cosh x) − (sinh x) = 2 2 − 2 2 1 [ 2x ] 1 [ 2x ] = e + e−2x + 2 − e + e−2x − 2 4 4 e2x e−2x 1 e2x e−2x 1 = + + − − + = 1. 4 4 2 4 4 2J¨relikult kehtib valem a (cosh x)2 − (sinh x)2 = 1 . (1.9)See seos on tuntud trigonomeetria valemi (cos x)2 + (sin x)2 = 1 analoog h¨per- uboolsete trigonomeetriliste funktsioonide korral. Vaatleme n¨ud kahte parameetriliselt antud joont, millest esimene on kirjel- u¨datud v˜rranditega o { x = R cosh t (1.10) y = R sinh t , t ∈ R ,ja teine v˜rranditega o { x = −R cosh t (1.11) y = R sinh t , t ∈ R ,kus kordaja R on positiivne konstant. Nii joone (1.10) kui (1.11) korral kehtibj¨rgmine v˜rdus a o x2 − y 2 = (R cosh t)2 − (R sinh t)2 = R2 [(cosh t)2 − (sinh t)2 ] = R2ehk x2 − y 2 = R2 . (1.12) 23
  28. 28. V˜rrandiga (1.12) antud joont nimetatakse h¨perbooliks (joonis 1.17). H¨perbool o u ukoosneb kahest x - telje suhtes s¨mmeetrilisest harust. Parempoolse haru para- umeetrilised v˜rrandid on (1.10) ja vasakpoolse haru parameetrilised v˜rrandid o oon (1.11). yy y = −x y=x G −R R x Joonis 1.17 24
  29. 29. y xJoonis 1.18: y = sinh x y 1 xJoonis 1.19: y = cosh x 25
  30. 30. y 1 x 1Joonis 1.20: y = tanh x y 1 x 1Joonis 1.21: y = coth x 26
  31. 31. Peat¨ kk 2 uPiirv¨¨rtus ja pidevus aa2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid.Muutuva suuruse x kohta ¨eldakse, et ta on j¨rjestatud, kui tema v¨¨rtustest on o a aamoodustatud j¨rjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on v˜imalik a oo¨elda, kumb neist on eelnev ja kumb j¨rgnev. a J¨rjestatud muutuva suuruse erijuhuks on ajast s˜ltuv suurus. Sel juhul a oon loomulik lugeda kahest suuruse v¨¨rtusest j¨rgnevaks seda, mis vastab suu- aa aremale ajamuutuja v¨¨rtusele. N¨iteks materiaalse objekti sirgjoonelisel liiku- aa amisel l¨bitud teepikkus S(t) on j¨rjestatud suurus. Kui t2 > t1 , siis teepikkuse a av¨¨rtus S(t2 ) j¨rgneb teepikkuse v¨¨rtusele S(t1 ). aa a aa J¨rjestatud muutuva suuruse erijuhuks on ka reaalarvude jada a x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . .Sel juhul genereerib jada indeks j¨rjestuse. Kui k > i, siis jada element xk aj¨rgneb elemendile xi . a Selles paragrahvis tegeleme me selliste j¨rjestatud suurustega, mis m¨¨da a ooj¨rjestust edasi liikudes l¨henevad teatud fikseeritud arvule. Need on nn koondu- a avad e piirv¨¨rtust omavad suurused. Nendest m˜istetest arusaamiseks k¨sitleme aa o ak˜igepealt uhte n¨idet mehaanika vallast. o ¨ a Olgu vaatluse all vedru, mis on uhest otsast kinnitatud ja teine ots on lah- ¨tine. Olgu tasakaaluasendis vedru pikkus a. Kui vedrut kokku suruda v˜i v¨lja o avenitada ja seej¨rel vabastada, hakkab tema lahtine otspunkt tasakaaluasendi aumber v˜nkuma. Vedru pikkus on sel juhul ajast s˜ltuv (seega j¨rjestatud) muu-¨ o o atuv suurus x. V˜nkumisprotsessi m˜jutavad mitmesugused takistusj˜ud, mille o o otagaj¨rjel v˜nkumine sumbub, st vedru pikkus x l¨heneb arvule a. Vaatame a o akuidas oleks v˜imalik sellist l¨henemisprotsessi matemaatilistes terminites kir- o a ¨jeldada. Uks v˜imalus on j¨rgmine. Valime mingisuguse tasakaalupunkti umbruse, o a ¨n¨iteks (a − 0.1, a + 0.1). Kuna v˜nkumine sumbub, siis mingist ajahetkest (st x a ov¨¨rtusest) alates k˜ik j¨rgnevad vedru pikkuse v¨¨rtused x j¨¨vad vahemikku aa o a aa aa(a − 0.1, a + 0.1), st rahuldavad v˜rratust |x − a| < 0.1. Edasi valime mingi o 27
  32. 32. teise, v¨iksema raadiusega umbruse, nt (a − 0.01, a + 0.01). Arvestades j¨llegi a ¨ aseda, et v˜nkumine sumbub, leidub mingi teine, eelnevast suurem ajahetk ja osellele vastav x v¨¨rtus nii, et k˜ik j¨rgnevad x v¨¨rtused j¨¨vad vahemikku aa o a aa aa(a − 0.01, a + 0.01), st rahuldavad v˜rratust |x − a| < 0.01. Sellist arutelu v˜ib o oj¨tkata suvalise kuitahes v¨ikse raadiusega umbrusega (a − ε, a + ε). J¨relikult, a a ¨ aiga kuitahes v¨ikese positiivse arvu ε korral saab n¨idata sellist suuruse x a av¨¨rtust, millest alates k˜ik j¨rgnevad muutuva suuruse v¨¨rtused kuuluvad aa o a aaarvu a umbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad v˜rratust |x − a| < ε. ¨ o Muutuva suuruse piirv¨¨rtuse uldine definitsioon on j¨rgmine: aa ¨ a Olgu x j¨rjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x apiirv¨¨rtuseks, kui iga kuitahes v¨ikese positiivse arvu ε korral saab n¨idata sel- aa a alist suuruse x v¨¨rtust, millest alates k˜ik j¨rgnevad muutuva suuruse v¨¨rtused aa o a aakuuluvad arvu a umbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad v˜rratust |x − a| < ε. ¨ o Kui arv a on suuruse x piirv¨¨rtus, siis ¨eldakse, et suurus x l¨heneb arvule aa o aa ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x→a v˜i o lim x = a . Piirv¨¨rtuse uldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, pare- aa ¨malt v˜i m˜lemalt poolt) muutuja x l¨henemine arvule a toimub. Seega on o o apiirprotsessi x → a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x l¨heneb arvule a a ¨ainult vasakult v˜i paremalt. Uhepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame ouldisest piirv¨¨rtuse definitsioonist, kui me seal esineva umbruse (a−ε, a+ε) kit-¨ aa ¨sendame kas vasakpoolseks v˜i parempoolseks umbruseks (a − ε, a] v˜i [a, a + ε). o ¨ o Muutuv suurus x l¨heneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes v¨ikese posi- a atiivse arvu ε korral saab n¨idata sellist suuruse x v¨¨rtust, millest alates k˜ik a aa oj¨rgnevad muutuva suuruse v¨¨rtused kuuluvad pooll˜iku (a − ε, a]. Sellisel a aa ojuhul kirjutatakse x → a− . Muutuv suurus x l¨heneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes v¨ikese posi- a atiivse arvu ε korral saab n¨idata sellist suuruse x v¨¨rtust, millest alates k˜ik a aa oj¨rgnevad muutuva suuruse v¨¨rtused kuuluvad pooll˜iku [a, a + ε). Siis kirju- a aa otatakse x → a+ . Saab konstrueerida ka lihtsaid mehaanilisi mudeleid, mis illustreerivad uhe- ¨poolset koondumist. N¨iteks, kui vedru on uhendatud mingi tugeva v˜nkumist a ¨ osummutava seadmega (nt amortisaatoriga), siis v˜nkumist umber tasakaalupunkti o ¨ei teki. Vedru pikkus x l¨heneb a-le ainult vasakult v˜i paremalt s˜ltuvalt sell- a o oest, kas vedru on kokku surutud v˜i v¨lja venitatud. o a 28
  33. 33. Defineerime ka sellised piirprotsesseid, mille k¨igus x l¨heneb pluss v˜i mii- a a onus l˜pmatusele. Idee poolest on need definitsioonid sarnased eelpooltoodud odefinitsioonidele, ainult reaalarvu a umbruste asemel kasutatakse l˜pmatuse v˜i ¨ o omiinus l˜pmatuse umbrust. o ¨ Alustame suurusest, mis l¨heneb pluss l˜pmatusele. Piltlikult v¨ljendudes a o aon tegemist sellise j¨rjestatud suurusega, mis m¨¨da j¨rjestust edasi liikudes a oo akasvavab piiramatult, st saab suuremaks kuitahes suurest positiivsest arvustM . Selgitame seda l¨hemalt. Olgu n¨iteks M = 100. Leidub selline x v¨¨rtus, a a aamillest alates k˜ik j¨rgnevad x v¨¨rtused on 100-st suuremad. Suurendame arvu o a aaM . Olgu nt M = 10000. Leidub selline (eelnevast suurem) x v¨¨rtus, millest aaalates k˜ik j¨rgnevad x v¨¨rtused on 10000-st suuremad jne. Kokkuv˜ttes, o a aa okuitahes suure positiivse arvu M korral saab n¨idata sellist suuruse x v¨¨rtust, a aamillest alates k˜ik j¨rgnevad muutuva suuruse v¨¨rtused on arvust M suure- o a aamad, st rahuldavad v˜rratust x > M . o ¨ Uldine definitsioon on j¨rgmine: a Muutuva suuruse x piirv¨¨rtus on l˜pmatus ehk muutuv suurus x l¨heneb aa o al˜pmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab n¨idata sellist o asuuruse x v¨¨rtust, millest alates k˜ik j¨rgnevad muutuva suuruse v¨¨rtused aa o a aakuluvad l˜pmatuse umbrusesse (M, ∞), st rahuldavad v˜rratust x > M . Taolist o ¨ opiirprotsessi t¨histatakse j¨rgmiselt: a a x→∞ v˜i o lim x = ∞ . Analoogiliselt saab defineerida ja selgitada ka piirprotsessi x → −∞. Definit-sioon on j¨rgmine: a Muutuva suuruse x piirv¨¨rtus on miinus l˜pmatus ehk muutuv suurus x aa ol¨heneb miinus l˜pmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab a on¨idata sellist suuruse x v¨¨rtust, millest alates k˜ik j¨rgnevad muutuva suuruse a aa o av¨¨rtused kuuluvad miinus l˜pmatuse umbrusesse (−∞, −M ), st rahuldavad aa o ¨v˜rratust x < −M . Sellise piirprotsessi t¨histusviis on o a x → −∞ v˜i o lim x = −∞ .2.2 Jada piirv¨¨rtus. aaKuna jada on j¨rjestatud muutuva suuruse erijuht, saab muutuva suuruse piir- av¨¨rtuse definitsiooni jadale otseselt ule kanda. See j¨rgmine: aa ¨ a Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1 , x2 , x3 , . . . piirv¨¨rtuseks, kui iga aakuitahes v¨ikese positiivse arvu ε korral saab n¨idata sellist jada elementi xn , a amillest alates k˜ik j¨rgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a umbrusesse (a − o a ¨ε, a + ε). Jada piirv¨¨rtuse kirjutusviis on j¨rgmine: aa a xn → a v˜i o lim xn = a . 29
  34. 34. L˜plikku piirv¨¨rtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul o aanimetatakse jada hajuvaks. n N¨ide. Vaatleme jada elementidega xn = 1 + (−1) . Taolise jada piirv¨¨rtus a 2n aaon 1. Selle t˜estamiseks kontrollime piirv¨¨rtuse definitsiooni kehtivust arvuga o aaa = 1. Vastavalt definitsioonile peame me n¨itama, et suvalise kuitahes v¨ikese a apositiivse arvu ε leidub selline jada element, millest alates k˜ik j¨rgnevad jada o aelemendid kuuluvad arvu 1 umbrusesse (1 − ε, 1 + ε). Taolisesse umbrusesse ¨ ¨kuuluvad jada elemendid rahuldavad v˜rratust 1 − ϵ < xn < 1 + ϵ. Lahendame oselle v˜rratuse arvu n suhtes: o n n 1 − ε < xn < 1 + ε ⇔ 1 − ε < 1 + (−1) < 1 + ε ⇔ −ε < (−1) < ε ⇔ 2n 2n 2n < ε ⇔ 1 < 2 ε ⇔ 2 > ε ⇔ n > log2 ε . 1 n n 1 1J¨relikult: kui me etteantud ε > 0 korral valime elemendi xm nii, et m > log2 1 , a εsiis kehtib xn ∈ (1 − ε, 1 + ε) iga xm -le j¨rgneva jada liikme xn korral. Seega aon jada piirv¨¨rtuse definitsioon t¨idetud arvuga a = 1. Olemegi t˜estanud, ( aa ) a o net lim 1 + (−1) 2n = 1. Illustreerime seda t˜estust veel m˜nede erijuhtude o ovaatlemisega . Selleks paneme kirja m˜ned jada esimesed elemendid: o x1 = 0.5, x2 = 1.25, x3 = 0.875, x4 = 1.0625, x5 = 0.96875, x6 = 1.015625, x7 = 0.9921875, x8 = 1.0039625, . . .Olgu ε = 0.1. N¨eme, et alates neljandast elemendist kuuluvad k˜ik j¨rgnevad a o ajada elemendid umbrusesse (1 − ε, 1 + ε) = (1 − 0.1, 1 + 0.1) = (0.9, 1.1). ¨J¨rgmiseks olgu ε = 0.05. Alates viiendast elemendist kuuluvad k˜ik j¨rgnevad a o ajada elemendid umbrusesse (1−ε, 1+ε) = (1−0.05, 1+0.05) = (0.95, 1.05). Kui ¨ε = 0.01, siis alates seitsmendast elemendist kuuluvad k˜ik j¨rgnevad elemendid o aumbrusesse (1 − ε, 1 + ε) = (1 − 0.01, 1 + 0.01) = (0.99, 1.01) jne.¨2.3 L˜pmatult kahanevad, l˜pmatult kasvavad o o ja t˜kestatud suurused. oJ¨rgnevalt vaatleme detailsemalt selliseid suurusi, mis l¨henevad nullile v˜i kas- a a ovavad piiramatult. Traditsiooniliselt kasutatakse selliste suuruste t¨histamiseks akreeka t¨hestiku esimesi t¨hti α, β, γ, . . .. a aL˜pmatult kahanevad ja kasvavad suurused. oMuutuvat suurust α nimetatakse l˜pmatult v¨ikeseks ehk l˜pmatult kahanevaks, o a okui lim α = 0.Muutuvat suurust α nimetatakse l˜pmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞. o L˜pmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. oNimelt on nad teineteise p¨¨rdarvud. Kehtib j¨rgmine v¨ide. oo a a 30
  35. 35. Teoreem 2.1. Suurus α on l˜pmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus o1α on l˜pmatult kasvav. o 1T˜estus. T˜estame ainult selle v¨ite esimese poole, so: kui α on l˜pmatult kahanev, siis α o o a o 1on l˜pmatult kasvav. Vastupidine v¨ide (kui α on l˜pmatult kasvav, siis α on l˜pmatult o a o okahanev) t˜estatakse analoogiliselt. o Niisiis olgu α l˜pmatult kahanev, st α → 0. Me peame t˜estama, et suurus β = α on o o 1l˜pmatult kasvav, st |β| = α → ∞. Vastavalt selle piirprotsessi definitsioonile (vt §2.1) tuleb o 1meil n¨idata, et suvalise kuitahes suure positiivse arvu M korral eksisteerib selline suuruse β av¨¨rtus βM nii, et k˜ik βM -le j¨rgnevad β v¨¨rtused rahuldavad v˜rratust |β| > M . aa o a aa o Fikseerimegi mingi positiivse arvu M ja kasutame eeldust α → 0. Vastavalt piirprotsessiα → 0 definitsioonile (vt §2.1) eksisteerib suvalise kuitahes v¨ikese positiivse arvu ε korral aselline suuruse α v¨artus αε nii, et k˜ik αε -le j¨rgnevad α v¨¨rtused rahuldavad v˜rratust a¨ o a aa o|α| < ε. 1 Kuna viimases lauses v˜ib ε olla suvaline positiivne arv, saame me valida ε = M . Siis okehtivad k˜igi αε -le j¨rgnevate α v¨artuste korral j¨rgmised seosed: o a a¨ a 1 1 1 |α| < ⇔ |α|M < 1 ⇔ >M ⇔ > M ⇔ |β| > M. M |α| αSeega defineerides 1 βM = αεn¨eme, et k˜ik βM -le j¨rgnevad β v¨¨rtused rahuldavad v˜rratust |β| > M . Seda oligi vaja a o a aa ot˜estada. o N¨iteid. 1. Vaatleme jadasid a 1 αn = (so 1, 1 , 1 , 1 ...) 2 3 4 n βn = n (so 1, 2, 3, 4 ...). 1Nende jadade liikmed on teineteise p¨¨rdarvud, st βn = αn . K˜igepealt m¨rgime, oo o aet jada αn on l˜pmatult kahanev, st αn → 0. T˜epoolest, kui me suvalise posi- o otiivse arvu ε korral valime jada liikme, mille indeks n ≥ 1 , siis k˜igi sellele ϵ oliikmele j¨rgnevate jada liikmete αn korral kehtivad seosed a 1 1 n> ⇔ nε > 1 ⇔ < ε ⇔ an < ε. ϵ nKuna lisaks αn > 0, siis saamegi v˜rratuse |αn | < ε, mis n¨itab, et αn → 0. o aVastavalt teoreemile 2.1 on jada βn l˜pmatult kasvav, st |βn | → ∞. M¨rgime, o aet kuna antud juhul βn > 0, siis |βn | = βn ja j¨relikult βn → ∞. a2. Vaatleme jadasid (−1)n αn = (so −1, 1 , − 1 , 1 ...) 2 3 4 n βn = (−1) n (so −1, 2, −3, 4...). nJ¨llegi βn = αn . Peale selle αn → 0. T˜epoolest, kui me suvalise positiivse a 1 oarvu ε korral valime jada liikme, mille indeks n ≥ 1 , siis k˜igi sellele liikmele ϵ oj¨rgnevate jada liikmete αn korral kehtivad seosed a 1 1 n> ⇔ nε > 1 ⇔ < ε ⇔ |an | < ε. ϵ n 31

×