Elementos basicos para geometria

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ELEMENTOS DE GEOMETRIA

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Elementos basicos para geometria

  1. 1. GeometríaLa Geometría trata sobre las formas y sus propiedades.Los dos temas más comunes son: Geometría Plana (sobre formas planas como líneas rectas, círculos y triángulos... formas que se pueden dibujar en un trozo de papel) Geometría Sólida (sobre objetos tridimensionales como cubos y pirámides).Si te gusta jugar con objetos, o te gusta dibujar, ¡la geometría es para ti! Pista: Intenta dibujar algunas de las formas y ángulos en el momento en que los aprendes... eso ayuda.¡Sólidos!La Geometría Sólida es la geometría del espacio tridimensional, el tipo de espaciodonde vivimos... Poliedros: (deben tener caras planas) Sólidos Platónicos
  2. 2. Prismas Pirámides No Poliedros: (si alguna Esfera Toro superficie no es plana) Cilindro ConoTambién: Volumen de un OrtoedroGeometría PlanaLa Geometría Plana trata las formas en una superficie plana (como una hoja depapel sin fin).
  3. 3. Plano Un plano es una superficie lisa sin grosor. Nuestro mundo tiene tres dimensiones, pero un plano sólo tiene dos dimensiones. Ejemplos: longitud y altura, o xey Y así sin final.Ejemplos¡Es difícil dar ejemplos reales! Cuando dibujas algo en un trozo plano de papel estás dibujando en un plano... ... ¡aunque el papel no es un plano él mismo, porque tiene un poco de grosor! Y tampoco se extiende indefinidamente. ¡Así que la idea correcta es la parte superior de un trozo perfectamente liso de papel sin fin!También las superficies de una mesa, el suelo y una pizarra son como un plano.ImaginaImagina que vivieras en un mundo bidimensional. Podrías viajar, visitar a losamigos, pero no habría nada en el mundo que tuviera altura.Podrías medir distancias y ángulos.Podrías viajar rápido o lento. Avanzar, retroceder o ir de lado. Podrías moverte enlínea recta, en círculos, o cualquier otra cosa que no sea subir o bajar.¿Cómo sería vivir en un plano?
  4. 4. Símbolos en geometríaSímbolos que se usan con frecuencia en geometríaLos símbolos nos ayudan a ahorrar tiempo y espacio cuando escribimos. Aquítienes los símbolos geométricos más comunes: Símbolo Significado Ejemplo En palabras ABC tiene 3 El triángulo ABC tiene Triángulo lados iguales tres lados iguales ABC mide El ángulo formado por Ángulo 45° ABC mide 45 grados. La línea AB es Perpendicular AB CD perpendicular a la línea CD La línea EF is paralela a Paralela EF GH la línea GH 360° es un Grados círculo completo Un ángulo recto mide 90 Ángulo recto (90°) mide 90° grados Segmento de línea AB La línea entre A y B "AB" La línea infinita que pasa Línea "AB" por A y B La línea que empieza en Rayo "AB" A, pasa por B y continúa El triángulo ABC es Congruente (mismo ABC congruente con el tamaño y forma) DEF triángulo DEF Similar (misma DEF El triángulo DEF es forma, distinto MNO similar al triángulo MNO tamaño) a es igual que b, por Por tanto a=b b=a tanto b es igual que a
  5. 5. Nombrar ángulosEn los ángulos la letra del medio dice dónde está el ángulo. Por ejemplo cuandoveas " ABC mide 45°", el punto "B" es donde está el ángulo.Ejemplo breve Así que si alguien escribe: En ABC, BAC es Ya sabes que quiere decir: "En el triángulo ABC, el ángulo BAC es un ángulo recto" Áreas de formas planas Triángulo Cuadrado Área = ½b×h Área = a2 b = base a = longitud del lado h = altura vertical Rectángulo Paralelogramo Área = b×h Área = b×h b = anchura b = anchura h = altura h = altura Círculo Trapecio Área = πr2 Área = ½(a+b)h Circunferencia=2πr h = altura vertical r = radio Sector Elipse Área = ½r2θ Área = πab r = radio θ = ángulo en radianes
  6. 6. Congruencia Si se puede convertir una forma en otra usando giros, volteos y deslizamientos, las dos formas son congruentes: Rotación ¡Gira! Reflexión ¡Voltea! Traslación ¡Desliza! Después de estas transformaciones (girar, voltear, deslizar) la forma sigue teniendo el mismo tamaño,área, ángulos y longitudes de líneas.EjemplosTodas estas formas son congruentes: Reflejada y Girada Reflejada y girada desplazada¿Congruente o similar?Las dos figuras deben tener el mismo tamaño para ser congruentes. (Si hastenido que reescalar una figura para llegar a la otra, entonces son similares)
  7. 7. Si... entonces son... ... sólo giras, reflejas y/o trasladas congruentes ... necesitas hacer una homotecia similares ¿Congruentes? ¿Por qué esta palabra tan rara significa "igual"? Probablemente porque dos figuras sólo serían "iguales" si una cubriera exactamente la otra. En cualquier caso, la palabra viene del latín congruere, que se podría traducir como "estar de acuerdo". Así que las figuras "están de acuerdo". Teorema de Pitágoras Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formales:En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la sumade los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)
  8. 8. Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a 2 + b 2 = c2¿Seguro... ?Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulorecto, así que la fórmula debería funcionar. Veamos si las áreas son la misma: 32 + 4 2 = 5 2 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25 ¡sí, funciona!¿Por qué es útil esto?Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, elTeorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Perorecuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)¿Cómo lo uso?Escríbelo como una ecuación: a 2 + b 2 = c2Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estosejemplos:
  9. 9. a 2 + b 2 = c2 a 2 + b 2 = c2 52 + 122 = c2 92 + b2 = 152 25 + 144 = 169 81 + b2 = 225 c2 = 169 Resta 81 a ambos lados c = √169 b2 = 144 c = 13 b = √144 b = 12 Ternas pitagóricas Son simplemente números enteros que cumplen la regla: a2 + b 2 = c2 (esta es la ecuación del teorema de Pitágoras) Algunos ejemplos: Triángulo 3,4,5 Triángulo 5,12,13 Triángulo 9,40,41 32 + 4 2 = 5 2 52 + 122 = 132 92 + 402 = 412¡Hay infinitos triángulos así!
  10. 10. La manera más fácil de encontrar más ternas pitagóricas es reescalar una ternaque conozcamos.Ejemplo: multiplicar 3,4,5 por 2 da 6,8,10 que también cumple la fórmula a2 + b2 =c2 Cuadriláteros Cuadrilátero significa "cuatro lados" (cuad significa cuatro, látero significa lado). Las figuras de cuatro lados se llaman cuadriláteros. Pero los lados tienen que ser rectos, y la figura tiene que ser bidimensional. Triángulos Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos Los tres ángulos siempre suman 180°Equilátero, isósceles y escaleno
  11. 11. Hay tres nombres especiales de triángulos que indican cuántos lados (o ángulos)son iguales.Puede haber 3, 2 o ningún lados/ángulos iguales: Triángulo equilátero Tres lados iguales Tres ángulos iguales, todos 60° Triángulo isósceles Dos lados iguales Dos ángulos iguales Triángulo escaleno No hay lados iguales No hay ángulos iguales¿Qué tipos de ángulos?Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos Triángulo acutángulo Todos los ángulos miden menos de 90° Triángulo rectángulo Tiene un ángulo recto (90°) Triángulo obtusángulo Tiene un ángulo mayor que 90°
  12. 12. Combinar los nombresA veces los triángulos tienen dos nombres, por ejemplo: Triángulo isósceles rectángulo Tiene un ángulo recto (90°), y los otros dos ángulos iguales ¿Adivinas cuánto miden?Área Área = ½bhLa fórmula (1/2)bh vale para todos los triángulos. Asegúrate de que la "h" la midesperpendicularmente a la "b".Imagina que "doblas" el triángulo (volteándolo a lo largo de uno de los lados dearriba) para tener una figura de cuatro lados (que será en realidad un
  13. 13. "paralelogramo"), entonces el área sería bh. Pero eso son dos triángulos, así queuno solo es (1/2)bh. Polígonos Un polígono es una figura plana con lados rectos.¿Es un polígono?Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma es"cerrada" (todas las líneas están conectadas). Polígono No es un polígono No es un polígono (lados rectos) (tiene una curva) (abierto, no cerrado)Tipos de polígonosSimple o complejoUn polígono simple sólo tiene un borde que no se cruza con él mismo. ¡Uno complejo seinterseca consigo mismo! Polígono simple Polígono complejo (este es un pentágono) (también es un pentágono)Cóncavo o convexoUn polígono convexo no tiene ángulos que apunten hacia dentro. En concreto, los ángulosinternos no son mayores que 180°.
  14. 14. Si hay algún ángulo interno mayor que 180° entonces es cóncavo. (Para acordarte:cóncavo es como tener una "cueva") Convexo CóncavoRegular o irregularSi todos los ángulos son iguales y los lados también, es regular, si no es irregular Regular IrregularMás ejemplos Polígono complejo (un "polígono estrellado", en Octágono cóncavo Hexágono irregular este caso un pentagrama)Nombres de polígonos Si es regular... Nombre Lados Forma Ángulo interior Triángulo (o trígono) 3 60°
  15. 15. Cuadrilátero (o tetrágono) 4 90° Pentágono 5 108° Hexágono 6 120° Heptágono (o Septágono) 7 128.571° Octágono 8 135° Nonágono (or eneágono) 9 140° Decágono 10 144°Endecágono (or undecágono) 11 147.273° Dodecágono 12 150° Tridecágono 13 152.308° Tetradecágono 14 154.286° Pentadecágono 15 156° Hexadecágono 16 157.5° Heptadecágono 17 158.824° Octadecágono 18 160° Eneadecágono 19 161.053° Icoságono 20 162° Triacontágono 30 168° Tetracontágono 40 171° Pentacontágono 50 172.8° Hexacontágono 60 174° Heptacontágono 70 174.857° Octacontágono 80 175.5° Eneacontágono 90 176° Hectágono 100 176.4° Chiliágono 1,000 179.64° Miriágono 10,000 179.964° Megágono 1,000,000 ~180° Googológono 10100 ~180°
  16. 16. n-ágono n (n-2) × 180° / nPara polígonos con 13 lados o más, se puede escribir (y es más fácil) "13-ágono", "14-ágono" ... "100-ágono", etc. El pentagrama El pentagrama (o pentáculo) es como una estrella de 5 puntas. A lo mejor te parece que tiene que ver con brujería, pero de hecho es más conocido como símbolo mágico y es un símbolo sagrado en algunas religiones. De hecho, esta figura tan simple es sorprendente. Dentro del pentagrama hay un pentágono Puedes dibujar un pentagrama empezando por un pentágono y alargando los lados. O uniendo los vértices de un pentágono.
  17. 17. Proporciones Pero el pentagrama tiene oculto un número especial, la razón de oro, que vale aproximadamente 1.618 a/b = 1.618... b/c = 1.618... c/d = 1.618... Cuando lo dibujé, medí las 4 longitudes y obtuve a=216, b=133, c=82, d=51. Vamos a comprobar las proporciones: 216/133 = 1.624... 133/82 = 1.622... 82/51 = 1.608... ¡Si lo hubiera dibujado y medido con más precisión, el resultado habría sido más correcto! ¿Por qué no pruebas tú? Dibuja un pentagrama regular Mide las longitudes Calcula las proporciones Pentagrama irregular Hasta ahora sólo hemos visto pentagramas regulares (todos los lados y ángulos iguales), pero también hay pentagramas irregulares. Elipse Una elipse es una circunferencia aplastada. Una circunferencia tiene un centro, pero una elipse tiene dos focos ("A" y "B" abajo).
  18. 18. Definición Una elipse es el conjunto de todos los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es una constante. Así que, no importa dónde estés en la elipse, puedes sumar las distancias al punto "A" y al punto "B" y siempre saldrá lo mismo. (Los puntos "A" y "B" se llaman los focos de la elipse)DibújalaClava dos clavos en un tablero, pon un lazo de cuerda alrededor de ellos, y pon un lápiz enel lazo. Tensa la cuerda para que forme un triángulo, y sigue la línea... habrás dibujado unaelipse.Una circunferencia es una elipseEn realidad una circunferencia es una elipse, donde los dos focos son el mismo punto (elcentro). O sea, una circunferencia es un "caso especial" de elipse. Sección de un cono También sale una elipse cuando cortas un cono (con un ángulo pequeño). Por tanto, la elipse es una sección cónica (una sección de un cono).
  19. 19. Calculando Área El área de una elipse es π × r × s (Si es una circunferencia, r y s son iguales, y sale π × r × r = πr2, ¡que es correcto!)Aproximación al perímetroAunque parezca extraño, el perímetro de una elipse es muy difícil de calcular, así que hecreado una página especial para ese tema: lee Perímetro de una elipse para ver los detalles.Pero una aproximación sencilla que está a menos de 5% del valor correcto (siempre que rno sea más de 3 veces s) es la siguiente: Secciones cónicas Sección cónica: una sección (rodaja) a través de un cono.¿Sabías que cortando un cono en rodajas puedes crear una circunferencia, una elipse, unaparábola o una hipérbola? Conos Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola paralelo al recto a través con poco ángulo ángulo elevado borde del cono
  20. 20. ¡Así que estas curvas están todas relacionadas!Ecuación generalDe hecho, podemos escribir una ecuación que vale para todas ellas.Como son curvas planas (aunque salgan de cortar un sólido) sólo nos hacen faltacoordenadas cartesianas "x" e "y".Pero no son simples líneas rectas, así que no vale sólo con una "x" y una "y"... tenemos queir al siguiente nivel, y usar x2 e y2, y también x (sin la y), y (sin la x), x e y juntas (xy) y untérmino constante.También tendremos coeficientes (A,B,C etc.) así que la ecuación general que cubre todaslas secciones cónicas es:A partir de esta ecuación podemos crear ecuaciones para la circunferencia, elipse, parábolay hipérbola... pero eso va más allá de esta página.Latus Rectum No, no es ningún insulto. Quiere decir la cuerda paralela a la directriz y que pasa por el foco. Se aplica a todas las secciones cónicas. En una parábola, la longitud del latus rectum es igual a cuatro veces la longitud focal.

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