Optimizacion con multiplicador de Lagrange

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Se presenta un ejemplo de optimización con multiplicador de Lagrange y uso de quickmath.

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Optimizacion con multiplicador de Lagrange

  1. 1. Optimización restringida:tutorial sencilloCálculo diferencial e integral 17 de marzo de 2011
  2. 2. Derivadas parcialesAntes de realizar la optimización, sedebe recordar cómo realizar unaderivada parcial, como en el ejemplomostrado. f (x, y) = x2 + y 2 + xy + y fx = 2x + y fy = 2y + x + 1
  3. 3. Derivación parcialRecuérdese que en la derivaciónparcial sólo se derivan los términosque tienen la variable de interés yel resto de variables y constantes,permanecen fijas, como en fy anteriorno se derivó x2 porque no contiene lay.
  4. 4. Multiplicador de LagrangePara obtener los valores óptimos(máximos, mínimos o incluso puntos desilla), se recurre a losmultiplicadores de Lagrange y seutiliza la derivación parcial. Vamosa resolver el ejemplo siguiente: OPT f (x, y) = x2 + y 2 SA 2x + 3y = 7
  5. 5. Multiplicador de Lagrange1. Construir la función de Lagrange(recordar que la restricción debeestar igualada a cero): 2 + L(x, y, λ) = x + y λ(2x + 3y − 7)
  6. 6. Multiplicador de Lagrange2. Se obtienen las derivadasparciales de la función de Lagrange yposteriormente se igualan a cero: Lx = 2x + 2λ = 0 Ly = 2y + 3λ = 0 Lλ = 2x + 3y − 7 = 0Por lo tanto, se forma un sistema de3 ecuaciones que se puede resolvermanualmente o mediante el servicio dehttp://www.quickmath.com
  7. 7. Multiplicador de LagrangeVamos a hallar las soluciones óptimasde x* e y* con ayuda de quickmath yen clase las veremos manualmente.
  8. 8. Multiplicador de LagrangeIr al website de quickmath y entrar a Equations / Solve /Advanced
  9. 9. Multiplicador de LagrangeIr al website de quickmath y entrar a Equations / Solve /Advanced
  10. 10. Multiplicador de LagrangeEn el recuadro de Equation(s)escribir las tres derivadas parcialesigualadas a cero.En el recuadro de Variable(s)escribir x, y, b. Ojo: b = λ porquequickmath no acepta ese símbolo.Dar clic en Solve para obtener losvalores óptimos de x e y.
  11. 11. Multiplicador de Lagrange ¡Clic!
  12. 12. Multiplicador de LagrangeLos valoresóptimos Conclusión delaparecen al ejercicio confinal de la los valorespágina, óptimos de lasexactos oaproximados variables

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